Para determinar a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 6, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os pontos onde a velocidade é zero: Isso nos ajudará a identificar os intervalos onde a partícula muda de direção. Para isso, resolvemos a equação \(v(t) = t^2 - 2t - 8 = 0\). Usando a fórmula de Bhaskara: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] onde \(a = 1\), \(b = -2\) e \(c = -8\): \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \] Isso nos dá \(t = 4\) e \(t = -2\) (não consideramos \(t = -2\) porque está fora do intervalo). 2. Dividir o intervalo em partes: Agora, temos os intervalos [0, 4] e [4, 6]. 3. Calcular a integral da função de velocidade: Precisamos calcular a integral definida da função de velocidade em cada intervalo. - Para o intervalo [0, 4]: \[ \int_0^4 (t^2 - 2t - 8) \, dt \] Calculando a integral: \[ \int (t^2 - 2t - 8) \, dt = \frac{t^3}{3} - t^2 - 8t \] Avaliando de 0 a 4: \[ \left[\frac{4^3}{3} - 4^2 - 8 \cdot 4\right] - \left[\frac{0^3}{3} - 0^2 - 8 \cdot 0\right] = \left[\frac{64}{3} - 16 - 32\right] = \left[\frac{64}{3} - \frac{48}{3} - \frac{96}{3}\right] = \frac{64 - 48 - 96}{3} = \frac{-80}{3} \] Como a distância não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto: \(\frac{80}{3}\). - Para o intervalo [4, 6]: \[ \int_4^6 (t^2 - 2t - 8) \, dt \] Avaliando a integral: \[ \left[\frac{6^3}{3} - 6^2 - 8 \cdot 6\right] - \left[\frac{4^3}{3} - 4^2 - 8 \cdot 4\right] \] Calculando: \[ \left[\frac{216}{3} - 36 - 48\right] - \left[\frac{64}{3} - 16 - 32\right] = \left[72 - 36 - 48\right] - \left[\frac{64}{3} - \frac{48}{3}\right] = -12 - \frac{16}{3} = -\frac{36}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{52}{3} \] Novamente, consideramos o valor absoluto: \(\frac{52}{3}\). 4. Somar as distâncias: \[ \text{Distância total} = \frac{80}{3} + \frac{52}{3} = \frac{132}{3} \approx 44 \] Portanto, a distância total percorrida pela partícula no intervalo de tempo de 0 a 6 é aproximadamente \(44\) metros.