Aula 5 Diagrams de ESI (DEC e DMF)

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CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I
Aula	05	– Diagramas	de	ESI	– DEC	e	DMF
Mapa	Conceitual
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 2
Material	didático	e	Bibliografia
Maria	Cascão	Ferreira	de	Almeida,	Estruturas	Isostáticas,	editora:	
Oficina	de	Textos,	edição:	1,	ano:	2009
MARTHA,	L.	F.	C.	R.	Análise	de	estruturas:	conceitos	e	métodos	
básicos.	Rio	de	Janeiro:	Elsevier,	2010.	
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FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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Vigas	Isostáticas
üSimples
–Viga	bi	apoiada
–Viga	bi	apoiada	dotada	de	balanços
–Viga	engastada	e	livre	
ü Compostas
–Nós	rígidos	e	articulados	(vigas	Gerber)	
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Viga	Simples	bi	apoiada	com	carga	concentrada
1) Calcular	as	reações	de	apoio
2) Determinar	os	ESI	na	seção	S
3) Traçar	os	diagramas	de	esforços	internos	(DEC	e	DMF)
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Calcular	as	reações	de	apoio
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!𝐹# = 0��𝐻( = 0!𝐹)�� = 0𝑉+ − 𝑃 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 𝑃
!𝑀+�� = 0−𝑃. 𝑎 + 𝑉(. 𝐿 = 0𝑽𝑩 = 𝑷. 𝒂𝑳𝑉+ = 𝑃 − 𝑃. 𝑎𝐿𝑽𝑨 = 𝑷. 𝒃𝑳
Determinar	os	ESI	na	seção	S - Se
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Q-
M+
Q+
M-
!𝑀:;�� = 0𝑀 − 𝑃𝑏𝐿 . 𝑎 = 0𝑀 = 𝑃𝑏𝑎𝐿
!𝐹)�� = 0−𝑄 + 𝑃𝑏𝐿 = 0𝑄 = 𝑃𝑏𝐿 Q-
M+
Q+
M-
Determinar	os	ESI	na	seção	S - Sd
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Q-
M+
Q+
M-
!𝐹)�� = 0𝑄 + 𝑃𝑎𝐿 = 0𝑄 = −𝑃𝑎𝐿
!𝑀:>�� = 0−𝑀 + 𝑃𝑎𝐿 . 𝑏 = 0𝑀 = 𝑃𝑎𝑏𝐿
Traçar	os	diagramas	de	esforços	internos	(DEC	e	DMF)
üDiagrama	de	Esforço	Cortante	(DEC)
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Traçar	os	diagramas	de	esforços	internos	(DEC	e	DMF)
üDiagrama	de	Momento	Fletor (DMF)
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Exemplo	01
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!𝐹)�� = 0𝑉+ − 10 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 10
𝑽𝑨 = 5	𝑲𝑵
!𝑀+�� = 0−10.3 + 𝑉(. 6 = 0𝑉( = 306𝑽𝑩 = 5	𝑲𝑵
Exemplo	01
Seção	à	direita	da	carga:!𝐹)�� = 0𝑄 + 5 = 0𝑄 = −5	𝐾𝑁
!𝑀H>�� = 0−𝑀 + 5.3 = 0𝑀 = 15	𝐾𝑁𝑚
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Seção	à	esquerda	da	carga:!𝐹)�� = 0−𝑄 + 5 = 0𝑄 = 5	𝐾𝑁
!𝑀H;�� = 0𝑀 − 5.3 = 0𝑀 = 15	𝐾𝑁𝑚
Q-
M+
Q+
M-
Exemplo	01
• DEC
• DMF
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Exemplo	02
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 15
!𝐹)�� = 0𝑉+ − 12 + 𝑉(= 0𝑉+ + 𝑉( = 12
𝑽𝑨 = 𝟗	𝑲𝑵
!𝑀+�� = 0−12.2 + 𝑉(. 8 = 0𝑉( = 248𝑽𝑩 = 𝟑	𝑲𝑵
Exemplo	02
Seção	à	esquerda	da	carga:!𝐹)�� = 0−𝑄 + 9 = 0𝑄 = 9	𝐾𝑁
!𝑀H;�� = 0𝑀 − 9.2 = 0𝑀 = 18	𝐾𝑁𝑚
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Q-
M+
Q+
M-
Seção	à	direita	da	carga:!𝐹)�� = 0𝑄 + 3 = 0𝑄 = −3	𝐾𝑁
!𝑀H>�� = 0−𝑀 + 3.6 = 0𝑀 = 18	𝐾𝑁𝑚
Exemplo	02
• DEC
• DMF
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 17
Exemplo	03
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 18
!𝐹)�� = 0𝑉+ − 70 − 110 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 180
𝑽𝑨 = 𝟖𝟓	𝑲𝑵
!𝑀+�� = 0−70.3 − 110.5 + 𝑉(. 8 = 0𝑉( = 210 + 5508 = 7608𝑽𝑩 = 𝟗𝟓	𝑲𝑵
Exemplo	03
Seção	à	esquerda	de	70	KN:!𝐹)�� = 0−𝑄 + 85 = 0𝑄 = 85	𝐾𝑁
!𝑀;�� = 0𝑀 − 85.3 = 0𝑀 = 255	𝐾𝑁𝑚
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 19
Q-
M+
Q+
M-
Q-
M+
Q+
M-
Seção	à	esquerda	de	110	KN:!𝐹)�� = 0−𝑄 + 85 − 70 = 0𝑄 = 15	𝐾𝑁
!𝑀;�� = 0𝑀 − 85.5 + 70.2 = 0𝑀 = 285	𝐾𝑁𝑚
Seção	à	direita	de	110	KN:!𝐹)�� = 0𝑄 + 95 = 0𝑄 = −95	𝐾𝑁
!𝑀>�� = 0−𝑀 + 95.3 = 0𝑀 = 285	𝐾𝑁𝑚
Exemplo	03
• DEC
• DMF
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 20
Viga	Simples	biapoiada	com	carga	distribuída
1) Calcular	as	reações	de	apoio
2) Determinar	os	ESI	na	seção	S
3) Traçar	os	diagramas	de	esforços	internos	(DEC	e	DMF)
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 21
Calcular	as	reações	de	apoio
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 22
!𝐹)�� = 0𝑉+ − 𝑞. 𝐿 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 𝑞. 𝐿𝑉+ = 𝑞. 𝐿 − 𝑞. 𝐿2𝑽𝑨 = 𝒒. 𝑳𝟐
!𝑀+�� = 0−𝑞𝐿. 𝐿2 + 𝑉(. 𝐿 = 0𝑉( = 𝑞. 𝐿V2. 𝐿𝑽𝑩 = 𝒒. 𝑳𝟐
Determinar	ESI	na	seção	S
• OBS:	Para	qualquer	seção	S,	onde	0	≤	x	≤	L.
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S à	esquerda:
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Q-
M+
!𝐹)�� = 0−𝑄 + 𝑞. 𝐿2 − 𝑞𝑥 = 0𝑸(𝒙) = −𝒒𝒙 + 𝒒. 𝑳2
!𝑀:;�� = 0𝑀 − 𝑞𝐿2 . 𝑥 + 𝑞𝑥. 𝑥2 = 0𝑴(𝒙) = −𝒒𝒙V2 + 𝒒𝑳𝒙2
Diagrama	de	Esforço	Cortante:	𝑸(𝒙) = −𝒒𝒙 + 𝒒.𝑳𝟐
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𝑥 = 0𝑄 𝑥 = −𝑞𝑥 + 𝑞. 𝐿2𝑄 0 = −𝑞. 0 + 𝑞. 𝐿2𝑄 0 = 𝑞. 𝐿2
𝑥 = 𝐿2𝑄 𝑥 = −𝑞𝑥 + 𝑞. 𝐿2𝑄 𝐿2 = −𝑞. 𝐿2 + 𝑞. 𝐿2𝑄 𝐿2 = 0
𝑥 = 𝐿𝑄 𝐿 = −𝑞𝐿 + 𝑞. 𝐿2𝑄 𝐿 = −𝑞. 𝐿2
Diagrama	de	momento	fletor:	𝑴(𝒙) = −𝒒𝒙𝟐𝟐 + 𝒒𝑳𝒙𝟐
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 26
𝑥 = 0𝑀 0 = −𝑞. 0 V2 + 𝑞. 𝐿. 02𝑴 𝟎 = 𝟎𝑥 = 𝐿2𝑀 𝐿2 = −𝑞2 . 𝐿2 V + 𝑞. 𝐿2 . 𝐿2𝑀 𝐿2 = −𝑞𝐿V8 + 𝑞𝐿V4𝑴 𝑳𝟐 = 𝒒𝑳𝟐𝟖
𝑥 = 𝐿
𝑀 L = −𝑞. 𝐿 V2 + 𝑞. 𝐿. 𝐿2𝑴 𝟎 = 𝟎
Exemplo	04
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 27
!𝐹)�� = 0𝑉+ − 15.8 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 120
𝑽𝑨 = 𝟔𝟎	𝑲𝑵
!𝑀+�� = 0−120.4 + 𝑉(. 8 = 0𝑉( = 4808𝑽𝑩 = 𝟔𝟎	𝑲𝑵
Exemplo	04
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 28
𝑥 = 0𝑸 𝒙 = 𝒒. 𝑳𝟐𝑄 0 = 15.82𝑸 𝟎 = 𝟔𝟎	𝑲𝑵
𝑥 = 4𝑄 4 = −15. (4) + 15. (4)𝑸 𝟒 = 𝟎	𝑲𝑵 𝑥 = 8𝑸 𝒙 = −𝒒. 𝑳𝟐𝑄 8 = −15.82𝑸 𝟖 = −𝟔𝟎	𝑲𝑵
𝑴 𝟎 = 𝟎
𝑀 𝑥 = 𝑞𝐿V8𝑀 4 = 15. 8V8𝑴 4 = 120	𝑲𝑵𝒎 𝑴 𝟖 = 𝟎
𝑸(𝒙) = −𝒒𝒙 + 𝒒. 𝑳𝟐 𝑴(𝒙) = −𝒒𝒙𝟐𝟐 + 𝒒𝑳𝒙𝟐
Exemplo	04
• DEC
• DMF
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 29
Exemplo	05
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 30
!𝐹)�� = 0𝑉+ − 40.2 − 20 + 𝑉( = 0𝑉+ + 𝑉( = 100
𝑽𝑨 = 𝟔𝟓	𝑲𝑵
!𝑀+�� = 0−40.2.1 − 20.3 + 𝑉(. 4 = 0𝑉( = 1404𝑽𝑩 = 𝟑𝟓	𝑲𝑵
Exemplo	05
Momento Máximo (Q=0)	em S∑𝐹)�� = 0 ou	𝑸 = 065 − 40. 𝑥 = 0𝑥 = 6540𝒙 = 𝟏, 𝟔𝟐𝟓	𝒎𝑀 − 65.1,625 + 40.1,625. 1,6252 = 0𝑀 = 52,8125	𝐾𝑁𝑚
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 31
Q-
M+
Q+
M-
Q-
M+
Q+
M-
Seção	à	esq.	carga	dist.:!𝐹)�� = 0−𝑄 + 65 − 80 = 0𝑄 = −15	𝐾𝑁
!𝑀;�� = 0𝑀 − 65.2 + 80.1 = 0𝑀 = 50	𝐾𝑁𝑚
Seção	à	dir.	carga	20KN!𝐹)�� = 0𝑄 + 35 = 0𝑄 = −35	𝐾𝑁
!𝑀>�� = 0−𝑀 + 35.1 = 0𝑀 = 35	𝐾𝑁𝑚
x
S
65 KN
40.x KN
Exemplo	05
• DEC
• DMF
15	August	2017 CCE0370	- Teoria	das	Estruturas	I 32
FTOOL:	www.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
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