Aula 7 - Teoria das Estruturas - Linhas de Influência - Estruturas Hiperestáticas

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TEORIA DAS ESTRUTURAS – LINHAS DE INFLUÊNCIA: 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
TEORIA DAS 
ESTRUTURAS
PROFª. DANIELLE FREIRE DE ARAÚJO
TEORIA DAS ESTRUTURAS – LINHAS DE INFLUÊNCIA: 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
No caso das estruturas hiperestáticas, a forma de construção das linhas de influência são semelhantes ao das
estruturas isostáticas, porém é necessário optar pelo método das forças ou pelo método dos deslocamentos para a
resolução da estrutura.
Como exemplificação, tomaremos a aplicação com a determinação das linhas de influência do momento fletor nas
secções S e B e da rotação do nó B da viga contínua representada na Figura 1a. Na figura 1b apresenta-se a
discretização adoptada na resolução deste problema.
Fig. 1a Fig. 1b
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1. Método Direto Associado ao Método das Forças
❑ A resolução da estrutura sob a ação da carga móvel unitária é feita recorrendo ao método das forças. Para tal é
necessário, com base na escolha de um sistema base isostático, determinar as parcelas complementar e particular
da solução.
❑ A parcela particular da função de influência corresponde à função de influência do esforço, reação ou
deslocamento na estrutura isostática que serve de sistema base.
❑ Escolha do sistema base e análise da solução complementar:
Fig. 2a Fig. 2b
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Fig. 2a Fig. 2b
Na Figura 2a representa-se o sistema base escolhido, o qual consiste na libertação do momento fletor na secção
inicial da barra 2. Para este sistema base, apresenta-se na Figura 2b a distribuição de momentos fletores associada
à aplicação da incógnita hiperestática unitária.
Na análise da ação da carga móvel deve-se considerar separadamente a colocação da carga em cada um dos
tramos. Nas Figuras 3a e 3b apresenta-se a distribuição de momentos fletores referentes ao caso em que a carga
móvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente.
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Fig. 3a Fig. 3b
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A ação da carga móvel é quantificada a partir do vector dos esforços, X0, bem como do vetor das deformações
devidas às cargas de vão, denominado ut . Assim, para a carga na barra 1 obtém-se:
Sendo o momento fletor na secção S igual a:
𝑀𝑆 = 𝑥1 −
𝑥0
𝐿
∙ 𝑥1 Para a carga entre A e S:
Para a carga entre S e B:𝑀𝑆 = 𝑥0 −
𝑥0
𝐿
∙ 𝑥1
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O valor do momento fletor na secção B é nulo e a rotação do nó B é igual a:
Para a carga na barra 2, tem-se:
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O momento fletor nas secções S e B, como a rotação do nó B, são nulos. O valor da descontinuidade associada à
incógnita hiperestática toma o valor:
quando a carga se encontra na barra 1.
quando a carga móvel atua na barra 2.
Estas expressões correspondem à função de influência do momento fletor na secção B.
Para a Linha de influência do momento fletor na secção S, temos: 
• carga móvel na barra 1
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• carga móvel na barra 2
Linha de influência do momento fletor na secção B:
• carga móvel na barra 1
• carga móvel na barra 2
Sendo:
Sendo:
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Linha de influência da rotação do nó B
• carga móvel na barra 1
• carga móvel na barra 2
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2. Método Direto Associado ao Método dos Deslocamentos
❑ A resolução da estrutura para a ação da carga móvel unitária é feita recorrendo ao método dos deslocamentos. Para
tal é necessário identificar os deslocamentos independentes e determinar as parcelas complementar e particular da
solução.
❑ A parcela complementar resulta da imposição dos deslocamentos independentes unitários. Na parcela particular
deve-se considerar separadamente a atuação isolada da carga rolante em cada um dos elementos de barra que
constituem o caminho de rolamento.
❑ A solução da estrutura é obtida por meio da imposição do equilíbrio de forças associadas aos deslocamentos
independentes.
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❑ Deslocamentos independentes e análise da solução complementar
Na Figura 4a indica-se qual o deslocamento independente escolhido, a rotação do nó B. A solução complementar é
obtida impondo um valor unitário para este deslocamento. Na Figura 4b apresenta-se a distribuição de momentos
fletores associada à solução complementar.
Fig. 4a Fig. 4b
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Tendo em conta as características geométricas e mecânicas da estrutura, a solução complementar permite obter o
seguinte coeficiente de rigidez da estrutura:
O momento fletor na secção S na solução complementar é igual a:
O momento fletor na secção B, considerando-a como secção final da barra 1, é igual a:
A rotação do nó B toma um valor unitário.
Fig. 4a Fig. 4b
𝑀𝑆 =
3𝐸𝐼
𝐿
∙ 𝑥0
𝑀𝐵 =
3𝐸𝐼
𝐿
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❑ Na análise da ação da carga móvel é necessário considerar separadamente a colocação da carga em cada um dos
tramos. Nas Figuras 5a e 5b apresenta-se a distribuição de momentos fletores referentes ao caso em que a carga
móvel se encontra na barra 1 e na barra 2, respectivamente.
Fig. 5a Fig. 5b
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A ação da carga móvel é quantificada a partir do vetor das forças de fixação.
Assim, para a carga na barra 1 obtém-se: 𝑉0 = −
𝑥1 ∙ 𝐿
2 − 𝑥1
2
2𝐿²
Sendo o momento fletor na secção S igual a: 𝑀𝑆 = 𝑥1 +
𝑥1
3 − 3𝐿²𝑥1
2𝐿³
∙ 𝑥0 para a carga entre A e S quando:
Sendo o momento fletor na secção S igual a: 𝑀𝑆 = 𝑥0 +
𝑥1
3 − 3𝐿²𝑥1
2𝐿³
∙ 𝑥0 para a carga entre S e B quando:
O momento fletor na secção B é igual a: 𝑀𝐵 = −
𝑥1 ∙ (𝐿
2 − 𝑥1
2)
2𝐿²
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Para a carga na barra 2, tem-se: 𝑉0 =
𝑥2 ∙ 𝐿 − 𝑥2 ∙ (2𝐿 − 𝑥2)
2𝐿²
Sendo que os valores podem ser nulos para o momento fletor nas secções S e B, e para a rotação do nó B.
Tendo em conta a equação de equilíbrio, obtém-se para a rotação do nó B os seguintes valores:
• carga móvel na barra 1
• carga móvel na barra 2
Estas expressões correspondem à função de influência da rotação do nó B.
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❑ Para se obter as expressões da função de influência do momento fletor em S, basta sobrepor a solução
complementar com a solução particular, ou seja:
• carga móvel na barra 1
• carga móvel na barra 2
A expressão obtida para a linha de influência do momento fletor na secção S é idêntica à obtida recorrendo ao
método das forças.
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❑ A linha de influência em relação ao momento fletor na secção B é determinada da mesma forma, tomando os
seguintes valores:
• carga móvel na barra 1
• carga móvel na barra 2
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Traçado da linha de influência do
momento fletor na seção B.
Traçado linha de influência do
momento fletor na seção S.
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❑ Traçado da linha de influência da rotação do nó B, a qual corresponde à função de influência do deslocamento
independente, q.