Mini Curso Geogebra 3D

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Mini – Curso : 
Geogebra e a Janela 3D: Numa aplicação do teorema de Pappus-Guldinus.
Professores: Me. Eder Regiolli Dias e Claudemir Miranda Barboza
Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
Pergunta Motivadora:
É possível determinar o volume de uma forma obtida por meio de uma revolução sem que para isso sejam necessários conhecimentos de Cálculo Diferencial ou sem recorrer às “ fórmulas Clássicas” para o cálculo de volume?
Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
Para Pesquisadores brasileiros, Cury e Bisognin (2006) , que investigam causas de dificuldades na aprendizagem, afirmam que os estudantes trazem de escolarizações anteriores algumas defasagens que podem comprometer a resolução de problemas quando os procedimentos envolvem conhecimentos sobre geometria.
Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
Balomenos, Ferrini – Mundy e Dick(1994) corraboram para esse mesmo sentido, acreditam que muitas estudantes compreendem a aplicação das fórmulas tradicionais para o cálculo de volume de prisma retangular, de um cilindro ou de cone, mesmo muitas vezes não sabendo justificar essas fórmulas. 
Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
Afim de colaborar para uma aprendizagem significativa e reflexiva no estudo de volume de formas de revolução e seu alcance no que diz respeito a aplicações em situações cotidianas, é que propomos esse mini-curso.
Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
O problema motivador será:
Determinar o volume de uma lata de refrigerante.
Figura 1: lata de refrigerante com capacidade de 350ml
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Antes porém, vejamos algumas construções de formas de Revolução.
Segundo Rautenberg (2013), as formas de revolução podem ser obtidas pela rotação de uma região de um plano em torno de uma reta desse plano, chamado eixo de revolução ou rotação, que toca a fronteira a fronteira da região ou não intersecta a região em nenhum ponto.
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Em Dantas (2015) é descrito um processo de construção de formas de revolução no Geogebra a partir de polígonos. Inspirado nesse processo, apresentaremos os comandos necessários para essas construções:
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Passo 1) Construir quatro pontos livres: A, B, C, D, conforme figura 1.
Figura 2: pontos janela de visualização 2D
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Passo 2) Digitar no campo de entrada o comando:
Polígono[A,B,C,D].
Passo 3) Tornar a malha visível, para isso click com o botão direito do mause sobre a janela de visualização e acessar a opção malha para torna-la visível.
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Passo 4) Obtermos agora um conjunto de imagens do retângulo ABCD por meios de giros. Para isso devemos exibir a janela de visualização 3D.
Acesse o menu exibir e clicar na janela de visualização 3D
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Passo 6) vamos obter várias “cópias” do pol2 por diferentes giros em torno do eixo Z. Para isso, utilizaremos o comando sequência e girar conjuntamente.
O comando sequência possui a seguinte sintaxe:
Sequência[ <Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Incremento> ]
Esse comando é possível construir sequências numéricas, algébricas e geométricas.
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Passo 7) Antes de digitar o comando sequência no campo de entrada, construir um controle deslizante n( com mínimo 0, máximo 100 e incremento 1), feito isso, digitar no campo de entrada o comando:
Sequência[Girar[pol2, i*2π/n, EixoZ], i, 0, n, 1]
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O comando sequência assim escrito com os parâmetros, é baseado na variável i, que assume valores de 0 até n-1
Figura 3: Cilindro com n variando de 0 a 30
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Cálculo de Volume:
Em materiais didáticos voltados ao Ensino Médio (Lima et al.(2006), Dante(2010), Paiva(2009), o volume do cilindro, da esfera e de outras formas de revolução é geralmente calculando utilizando –se o princípio de Cavalieri.
 Dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então, esses sólidos têm mesmo volume(Lima, et al. 2006, p.285)
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Assim construção da figura (3) , vamos determinar o volume:
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Área S=pol2 = 25 e o baricentro , usamos o comando:
O=CentroDeGravidade[pol2], 
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2ª parte
Modelando objetos tridimensionais
Voltamos agora ao problema motivador:
Escolhemos uma lata de refrigerante que produza uma imagem de sua silhueta. Usa-se uma maquina fotográfica ou um smartphone.
Obtém se as medidas do objeto: Altura e largura.
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Insira a imagem no geogebra usando a opção:
ABC inserir imagem e escolha a imagem da lista de arquivos.
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Redimensionar o posicionamento da figura 
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No Passo seguinte, ocultem-se os pontos A e B e, com a ferramenta Ponto, constroem –se pontos sobre o contorno da silhueta, concentrando uma maior quantidade de pontos nas curvas mais acentuadas do contorno da silhueta.
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Próximo passo é construir uma curva de equação paramétrica que passa pelo pontos sobre a silhueta do objeto.
Uma forma de produzir esse tipo de curva é utilizar o comando: 
Spline( <Lista de Pontos> ), assim digite no campo de entrada o comando:
a= Spline[{C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q}]
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Para melhor visualização ocultemos os pontos utilizados para construção da curva. Em seguida, construir um conjunto de pontos homogeneamente distribuídos sobre a curva. Para isso construir um controle deslizante n, com mínimo 0, máximo 150 e incremento 1.
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Na janela de visualização 3D, em qualquer campo da janela, clica-se com o botão direito do mause e na opção de janela de visualização. Na caixa que abrir , na aba básico, marque a opção “eixo y é vertical”
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O passo seguinte consiste em obter n círculos centrados no eixo y, passando pelos pontos da silhueta. Para isso, o campo de entrada, digite o comando:
L_2=Sequência[Círculo[(0, y(Elemento[L_1, i]), 0), x(Elemento[L_1, i]), EixoY], i, 1, n]
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Para o cálculo do Volume aplicaremos o teorema de Pappus, 
1º passo) Achar o polígono formado pela L_1, digite no campo de entrada:
 pol1=Polígono(L_1)
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2º passo) Determinar o baricentro, para isso digitamos no campo de entrada:
Baricentro=CentroDeGravidade[pol1]
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Pappus-Guldinus
2º passo) Determinar o baricentro, para isso digitamos no campo de entrada:
Baricentro=CentroDeGravidade[pol1]
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Geogebra e a Janela 3D: Uma aplicação do teorema de Pappus-Guldinus
Fim, 
Obrigado a todos!