1ª Aula Discussão sobre a Representação dos Números Reais

Prévia do material em texto

Centro Multidisciplinar de Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Cálculo I
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Discussão sobre a Representação dos Números Reais
Data: 21 de novembro de 2017
1 Situando os conceitos
Se relatarmos, as raízes do Cálculo remontam ao trabalho de Arquimedes, matemática
grego, com o cálculo de tangentes a curva espiral. Mas sua fundamentação foi feita por
Isaac Newton (inglês) e Gottgried Leibniz (alemão) ao final do século XVII.(Haward, 2015,
p. xviii).
E uma das motivações foi a busca de retas tangentes se inserir em problemas re-
lacionados ao estudo do movimento, como por exemplo, ao precisar descrever: curvas que
representam trajetórias, permitindo determinar a direção de um projétil, ou curvas
ópticas, determinando o formato de lentes (Roque, 2012, p. 337). 1.
E já que até o advento do Cálculo, a ”Matemática era uma ciência das quantidades”
(Roque, 2012, p.344), esse trabalho sobre curvas relacionava quantidades geométrica, o que
pediu complementação para entender fenômenos físicos como as marés, as fases da luas,
a natureza da luz ou mesmo a gravidade.
Assim, para essas investigações, necessitaríamos de métodos além dos geomé-
tricos já conhecidos. Nesse contexto, na segunda metade do século XVII, nasce o Cálculo
Infinitesimal (Roque, pág. 341).
E podemos ver que o conceito central desse assunto está na noção de função. Apesar
de tal noção ter sido formalizada após aprimoramento das técnicas diferenciais. Por isso, inici-
amos com o conjunto dos números reais e sua álgebra, seguindo por pelo conceito de
função e suas características para depois conhecermos a teoria que chamamos de Cálculo
Diferencial e Integral a uma Variável.
2 Representação dos números reais
Definição 1. Chamamos de coleção o agrupamento de objetos que têm alguma relação
entre si. Chamamos de conjuntos o agrupamento de números (representação simbólica de
grandezas) que têm características semelhantes.
E como notação, enumeramos seus elementos entre chaves {}.
Por exemplo,
1[Roque, Tatiana. História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de
janeiro: Zahar, 2012.]
1
1. O conjunto do números naturais: N = {0, 1, 2, 3, . . .};
2. O conjunto do números Inteiros: Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .};
3. O conjunto do números Racionais: Q =
{
p
q
∣∣p, q ∈ Z e q 6= 0};
Definição 2. Chamamos de forma decimal de um número, a representação de agrupamentos
de 10 e em 10 ou
1
10
em
1
10
.
Assim, temos:
(a) Formas decimais finitas, como
7
4
= 1, 75;
(b) Formas decimais infinitas e periódicas, como
4
11
= 0, 363636 . . ..
Essa última chamamos de dízima periódica, pois contém a repetição infinita de umamesma
sequência de algarismos. E como notação usamos 0, 36, onde a barra indica qual sequência
se repete. E
(c) Formas decimais infinitas e não periódicas, como
√
3 = 1, 7320508 . . ..
Esses não são resultado da divisão de dois números inteiros, ou seja, não admitem
representação fracionária, sendo aqueles que não tem uma sequência de algarismos que se
repete. E agrupados receberam o nome de Números Irracionais, que denotamos por I.
Definição 3. Simbolicamente, o conjunto dos números reais é dado por
R = Q ∪ I,
ou seja, número real é todo aquele que pode ser escrito na forma decimal.
Por exemplo,
1
17
∼= 0, 0588235294, que é racional, e pi = 3, 14159265 . . . são número reais.
Usamos o simbolo ∼= (aproximadamente igual a), quando a sequência de algarismos que
se repetem for muito grande, ao em vez da barra sobre ela.
3 Reais na reta
Por ser um conjunto ordenado, os números reais podem ser postos em correspondência
biunívoca com os pontos de uma reta. Assim,
Definição 4. Chamamos de reta real a representação gráfica dos Números Reais aomarcamos
o número real 0 (zero), que chamamos de origem, em uma reta horizontal, e fazemos
corresponder a cada ponto à sua direita os números reais positivos e à sua esquerda os
números reais negativos, obtendo a reta real.
Por exemplo,
2
O número associado ao ponto é dito coordenada do ponto e indica a distância
(sempre positiva) desse ponto até a origem.
Também por ser um conjunto ordenado podemos comparar dois números reais
distintos. Assim,
Definição 5. Sejam a e b números reais quaisquer. Dizemos que:
1. a é maior do que b, se a− b é positivo. Simbolicamente, a > b;
2. a é menor do que b, se a− b é negativo. Simbolicamente, a < b;
3. a é maior ou igual a b, se a− b é positivo ou zero. Simbolicamente, a ≥ b;
4. a é menor ou igual a b, se a− b é negativo ou zero. Simbolicamente, a ≤ b;
Tal comparação é sempre possível, pois:
Teorema 1. (Lei da tricotomia) Se a e b ∈ R, então ou a < b ou a = b ou a > b.
Assim, temos que
Definição 6. Chamamos de intervalos de R seus subconjuntos cujos elementos satisfazem
uma sequência de desigualdades.
Classificamos como intervalos limitados, aqueles em que todos os números reais se-
quenciais estão entre valores a e b ditos extremos do intervalo. São eles, os intervalos:
1. {x ∈ R|a < x < b}, dito aberto e denotamos por (a, b) ou ]a, b[;
2. {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}, dito fechado e denotamos por [a, b];
3. {x ∈ R|a < x ≤ b}, dito semiaberto à esquerda e denotamos por (a, b] ou ]a, b];
4. {x ∈ R|a ≤ x < b}, dito semiaberto à direita e denotamos por [a, b) ou [a, b[.
E os não limitados, onde o simbolo −∞ significa infinito negativo, o +∞ infinito
positivo, indicando que tais subconjunto não tem limitação na extremidade indicada:
1. [a,+∞) = [a,+∞[= {x ∈ R|x ≥ a};
2. (a,+∞) =]a,+∞[= {x ∈ R|x > a};
3. (−∞, b] =]−∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b};
4. (−∞, b) =]−∞, b[= {x ∈ R|x < a};
3
5. (−∞,∞) =]−∞,+∞[= R.
Agora, geometricamente ou graficamente,
1. a < b significa que a está à esquerda de de b na reta real;
2. Usamos bolinhas vazias para aos extremos que não pertencem ao intervalo;
3. Usamos bolinhas cheias para aos extremos que pertencem ao intervalo.
Assim, representamos os intervalos por:
Por exemplo, podemos converter a notação de intervalo para desigualdade e vice-versa, bem
como representar graficamente os seguintes intervalo:
a) [−6, 3[
b) (−∞,−1)
c) −2 ≤ x ≤ 3
Resolvendo...
a) corresponde a −6 ≤ x < 3, que é fechado à esquerda e aberto à direita e tem extremos
−6 e 3. Graficamente,
b) corresponde a x < −1, que é não limitado inferiormente e aberto à direita e tem
extremo −1. Graficamente,
c) corresponde a [−2, 3], que é fechado e tem extremos −2 e 3. Graficamente,
4
4 Propriedades algébricas de R
Os Números Reais R, além de ser um conjunto ordenado, apresenta uma estrutura
algébrica, ou seja, duas operações: a adição, representada por + e a multiplicação, represen-
tada por ·, que trazem consigo propriedades válidas para todos os elementos desse conjunto.
E para estudá-las usamos:
• as variáveis - letras ou símbolos que representam números reais não específicos;
• e as constantes - letras ou símbolos que representam números reais específico.
Com as quais formarmos o que chamamos de expressões algébricas, mostrando com
estas que dada propriedade vale para tais números reais.
Definição 7. Se u, v e w ∈ R, então:
1. u+ v = v + u (propriedade comutativa);
2. (u+ v) + w = v + (u+ w) (propriedade associativa);
3. u+ 0 = u (elemento neutro);
4. u+ (−u) = 0(elemento oposto aditivo);
5. uv = vu (propriedade comutativa);
6. (uv)w = v(uw) (propriedade associativa);
7. u · 1 = u (elemento neutro);
8. u · 1
u
= 1, u 6= 0 (elemento oposto multiplicativo);
9. u(v + w) = uv + uw (propriedade distributiva).
:::::::::::::
Observação: Notemos que:
• Devido a existência dos elementos opostos aditivos temos a operação de subtração,
a− b := a+ (−b);
• Devido a existências dos elementos opostos multiplicativos temos a operação de
divisão, a÷ b:= a · 1
b
, b 6= 0;
• Devido a propriedade distributiva temos a forma fatorada de uma expressão algé-
brica, lado esquerdo da igualdade, e forma expandida, lado direito: a(b+ c) = ab+ ac.
• E não esquecer que: em expressões sem parenteses efetuamos primeiro multiplicações
e divisões da esquerda para direita, em seguida, soma e subtrações, também nessa direção.
5
Por exemplo, a forma expandida de (a+2)x é ax+2x e a forma fatorada de 3y−by é (3−b)y.
Apresenta também notações que simplificam, como a notação exponencial:
Definição 8. Sejam a ∈ R e n ∈ Z+. Definimos
an := a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n fatores
como a n-ésima potência de a, onde n é o expoente, a é a base e an lê-se ”a elevado a n”.
Que tem suas propriedades:
Teorema 2. Se u e v ∈ R− {0} e m, n ∈ Z, então:
1. umun = um+n;
2.
um
un
= um−n;
3. u0 = 1;
4. u−n =
1
un
;
5. (uv)m = umvm;
6. (um)n = umn;
7. (
u
v
)m =
um
vm
.
Por exemplo, a expressão
(
2
xy
)−3
=
(xy
2
)3
=
x3y3
8
.
E, finalizando, a notação científica
Definição 9. Sejam c ∈ R+, tal que 1 ≤ c < 10 e m ∈ Z. Definimos
c× 10m
como a notação científica de c · 10 · 10 · . . . · 10︸ ︷︷ ︸
m vezes
.
Esta é útil para expressar números muito grandes ou muito pequenos. E assim,
• se temos a forma original do número, ao mover a vírgula para direita indica quem < 0;
• se temos a forma original do número, ao mover a vírgula para esquerda, indica que
m > 0 .
Por exemplo, note que 0, 000000053 = 5, 3× 10−8 e 149.597870, 691 ∼= 1, 5× 108. Ou ainda,
0, 03750 · 4800000
50000
∼= (3, 7 · 10
−2)(4, 8 · 106)
5 · 104 =
3, 7 · 4, 8
5
· 10−2+6−4 = 3, 5 · 100.
6
	Situando os conceitos
	Representação dos números reais
	Reais na reta
	Propriedades algébricas de R