Projeções Cotadas Exercícios e Teoria

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Notas de Aula de Geometria Descritiva ­ GGM ­ IME ­ UFF ­ 2011
Aula 13 ­ Projeções Cotadas
1) Escalas
Antes de se começar a estudar Projeções Cotadas é fundamental que seja relembrado o conceito de                             
escalas.
Por definição, escala é a relação entre um comprimento que representa graficamente uma      e)(                    
determinada grandeza (distância gráfica ­ ) e o valor real dessa grandeza (distância real – ), expressos,        d                    D  
obrigatoriamente, na mesma unidade. Uma escala é, portando, um número adimensional. Assim tem­se que:
 ou /De = d e = d : D
1.1) Exemplo
Se, em um desenho, é usado um comprimento de 8 cm para representar um comprimento real de                      d)(            
40 cm  , a escala utilizada será:D)(
/D cm/40cm /40 /5e = d = 8 = 8 = 1 = 1 : 5
que chamamos de Titulo da Escala, e é lida como “1 para 5” ou “1 por 5”.
Uma escala pode ser de ampliação, quando o desenho é maior do que o objeto real, sendo utilizada                                 
para se desenhar peças de pequeno tamanho como um “chip” de computador, por exemplo, ou de redução,                               
em caso contrário, como nas cartas gráficas. Nesse trabalho serão utilizadas somente escalas de redução.
Todo desenho deve ter a indicação da escala em que foi desenhado, pois, se não, será considerado                               
como estando em tamanho real (escala 1:1).
2) O Estudo das Projeções Cotadas
O método das projeções cotadas foi idealizado pelo geógrafo francês Fellipe Büache, tendo sido                         
utilizado pela primeira vez em 1737, no levantamento da carta hidrográfica do Canal da Mancha.
O método das projeções cotadas utiliza apenas um plano horizontal de projeção, normalmente                       
considerado com cota igual a zero, sobre o qual são obtidas as projeções ortogonais dos pontos                             
acompanhados de suas respectivas cotas.
A cota de um ponto é a sua distância até o plano de projeção. Se o ponto está situado na região acima                                         
desse plano terá cota positiva (altura). Em caso contrário sua cota será negativa (profundidade).
O método das projeções cotadas é gráfico­algébrico, de modo que as soluções dos problemas tanto                             
podem ser obtidas graficamente quanto algebricamente, permitindo, com isso, o uso de computadores para a                           
solução de problemas mais complexos.
As distâncias e cotas, se não explicitado o contrário, serão sempre expressas em metros.
3) O Ponto
O ponto é representado por sua projeção sobre o plano horizontal tomado como de comparação,                           
representado por , acompanhado por sua respectiva cota, subscrita ao seu lado e entre parênteses    )(π0                        
(pode­se também representar a cota de um ponto sobrescrita ao seu lado ou ao seu lado e entre parênteses).
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A figura a seguir apresenta uma visão de como são obtidas as projeções de diversos pontos do                               
espaço.
Na próxima figura temos as projeções cotadas desses pontos tal como elas são marcadas no papel (o                               
papel equivale ao plano ) através uso de coordenadas cartesianas: (ou de coordenadas polares:        )(π0             P )(x, )( y        
).P )(θ, )( ρ
Caso se deseje ter apenas pontos com cotas positivas, podemos, por exemplo, usar um plano de                             
referência com cota 4 metros inferior ao primeiro. Assim, deverão ser somados 4 metros a cada cota, fazendo                                 
com que todas passem a ter valores positivos ou nulos, conforme a figura seguinte:
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4) Distância entre Dois Pontos do Espaço
Na próxima figura, deseja­se determinar a distância d entre os pontos e , o primeiro com cota                      A)(     B)(          x
e o segundo com cota  , cujas projeções distam   metros entre si.y l
Essa distância pode ser obtida de duas maneiras distintas:
4.1) Processo Algébrico
Utiliza­se o teorema de Pitágoras no triângulo    A)(B)M( :  d =√|x |− y 2 + l2 
4.2) Processo Gráfico
Rebate­se a reta (que liga os pontos (A) e (B)) sobre o plano de projeção, em seguida mede­se o      d                                
comprimento d em VG,  levando­se em conta a escala utilizada no desenho.
4.3) Problema
São dados os pontos (A) de cota 3,5 metros e (B) de cota 1,5 metros. As projeções desses pontos                                   
distam 5 metros entre si. Pede­se determinar a distância entre eles.
4.3.1) Solução Algébrica
.385m  d =√(x )− y 2 + l2  =√(3.5 .5)− 1 2 + 52  = √29 = 5
4.3.2) Solução Gráfica
Rebatendo o segmento (A)(B), obtem­se:
B mA = 5
(A) .5mA = 3
(B) .5mB = 1
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Medindo­se com uma régua a distância entre os pontos (A) e (B) após o rebatimento, verifica­se que                               
. Como a escala usada é de 1:100, então temos  ..4cmd = 5 .4md = 5
O erro entre o processo gráfico e o algébrico foi, portanto, de 15 cm, o que pode ser pequeno ou não,                                       
dependendo da finalidade da medição. Assim, no caso de necessidade de precisão, a melhor solução será                             
sempre a algébrica.
Nesse trabalho será dada ênfase às soluções gráficas, sendo que, em alguns casos, também será                           
indicada a solução algébrica, apenas para fins comparativos. Sugere­se que o leitor refaça ele mesmo as                             
soluções gráficas apresentadas, de modo a verificar a precisão com que está conseguindo executar seus                           
desenhos.
5) Exercícios
Exercício 01
(a) Qual a escala que foi utilizada em um desenho no qual uma distância de 120 km foi representada por um                                       
comprimento de 6 cm? (b) Qual a distância que representa no desenho um comprimento real de 400 m,                                 
utilizando­se de uma escala de 1:5000?
Exercício 02
(a) Através do processo gráfico, determine a distância entre os pontos (A) e (B), dados por suas projeções                                 
cotadas, em cada um dos casos abaixo. Escala = 1:100. (b) Usando o processo algébrico, confira os valores                    
encontrados.
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6) A Reta
Em projeções cotadas, a reta fica determinada quando se têm as projeções de dois de seus pontos. A                                 
seguinte figura apresenta a projeção de uma reta  , conhecidas as projeções dos seus pontos (A) e (B).r)(
6.1) Posições da Reta
Como em projeções cotadas só existe um plano de projeção, a reta só pode ocupar uma das                               
seguintes posições no espaço:
6.1.1) Reta Horizontal
É paralela ao plano de projeção. Todos seus pontos possuem a mesma cota
6.1.2) Reta Vertical
É perpendicular ao plano de projeção. As projeções de todos os seus pontos são coincidentes.
6.1.3) Reta Genérica ou Qualquer
É oblíqua ao plano de projeção. Cada um de seus pontos tem uma cota diferente da dos demais.
7) Pertinência de Ponto em Reta
Um ponto pertence a uma reta quando sua projeção se encontra sobre a projeção da reta e sua cota é                                     
igual à cota do ponto da reta naquele local. A figura seguinte exibe a explicação para este fato:
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O ponto (C) de cota 4 metros pertence à reta determinada pelo segmento (A)(B), definido por suas                               
projeções e , distantes entre si de 4 metros, pois sua projeção encontra­seexatamente no local  A(1)   B(5)                    C(4)        
correspondente à cota 4 metros da reta (veja o rebatimento). Se quiser, confira algebricamente o resultado.
7.1) Problema
Dada uma reta em projeções cotadas por dois de seus pontos, pede­se:
a) Marcar sobre ela um ponto (C) de cota 3,5 m.
b) Determinar o valor de x, cota do ponto (D).
Escala = 1:100
Determinando o valor de y
.6y .68 .95my6.4 = 4.9−2.3
3.5−2.3 ⇒ y6.4 = 2.61.2 ⇒ 2 = 7 ⇒ y = 2
Determinando o valor de x
.4x 4.72 .4x 5.64 .01m  x−2.36.4−2.2 = 6.4
4.9−2.3 ⇒ 4.2x−2.3 = 6.42.6 ⇒ 6 = 1 ⇒ 6 = 2 ⇒ x = 4
Confira os valores encontrados algebricamente com os medidos. Refaça o problema graficamente e confira                         
novamente.
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8) Graduação da Reta
Graduar uma reta é marcar sobre ela pontos de cotas redondas (em geral, números inteiros),                           
mantendo­se constante a diferença entre eles.
8.1) Equidistância
A equidistância é a diferença entre cotas consecutivas da graduação. Essa diferença pode variar    e)(                        
conforme a finalidade do trabalho. Em geral consideramos uma equidistância de 1 metro. A equidistância é                             
expressa em metros.
8.2) Intervalo
O intervalo é a distância, em projeção, entre dois pontos consecutivos da graduação, levando­se    i)(                        
em consideração o valor fixado para a equidistância. Se a equidistância é 1 metro, o intervalo é dito intervalo                                   
unitário. O intervalo também é expresso em metros.
A seguinte figura representa a graduação de uma reta definida pelos pontos e , dados por                        A(1.2)     B(4.5)    
suas projeções, utilizando­se uma escala de 1:100.
Sobre o rebatimento de (A)(B) são marcados os pontos N, O e P, onde: BN = 2 m, BO = 3 m, BP = 4                                               
m, determinando uma diferença constante de cotas igual a 1 metro entre os pontos , e , obtidos                           C(2)  D(3)    E(4)  
a partir de N, O e P, conforme indicação no próprio desenho.
Pelas definições anteriores, tem­se:
Distâncias: NO = OP = 1 m = e (equidistância)
Distâncias:   =   = x m = i (intervalo)C(2) D(3) D(3) E(4)
8.3) Inclinação
A inclinação é o ângulo que a reta faz com o plano de projeção. Normalmente a inclinação é    α)(                                
expressa em graus.
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8.4) Declividade
A declividade de uma reta é a tangente trigonométrica de sua inclinação. A declividade é, portanto,    d)(                            
um número adimensional, podendo ser expressa por uma fração ordinária, por um número decimal ou por                             
uma percentagem. Assim, por exemplo, 1/2, 0,5 ou 50% correspondem a uma mesma declividade.
Na figura pode­se observar graficamente a inclinação de uma reta (AB) bem como o cálculo de sua                               
declividade.
Do triângulo (A)M(B) tem­se:
d = tg  = M(B) / (A)M = M(B) / ABα)(
Do triângulo (C)N(D), vê­se que:
d = e / i ; mas como  e = 1 m ; d = 1 / i ; donde  i = 1 / d,
ou seja,
“Quando a equidistância é de 1 metro, o intervalo é numericamente igual ao inverso da                           
declividade.”
9) Posições Relativas entre Duas Retas
Duas retas no espaço podem ser coplanares (pertencerem a um mesmo plano) ou reversas. No caso                             
de serem coplanares, elas serão concorrentes (quando se cortam em um ponto finito) ou paralelas (cortam­se                             
em um ponto do infinito).
9.1) Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes no espaço quando o ponto de interseção de suas projeções possui a                             
mesma cota para ambas as retas. Na figura a seguir o ponto   é comum para as retas   e  .C(4) r)( p)(
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9.2) Retas Paralelas
Duas retas são paralelas no espaço quando suas projeções possuem a mesma direção, possuem o                           
mesmo intervalo (ou mesma inclinação) e são graduadas no mesmo sentido.
9.3) Retas Reversas
Se as retas não são concorrentes ou paralelas, elas serão reversas.
10) Exercícios
Exercício 01
A reta (r) é dada por seus pontos   e  , cujas projeções distam 6,8 metros entre si. Pede­se:A(2.4) B(7.2)
a – A cota do ponto (Z), localizado na metade do segmento (AB).
b – A graduação de (r), com a marcação de pelo menos sete pontos de cota redonda.
c – Qual o valor de seu intervalo?
d – Sua declividade em valor percentual.
Exercício 02
Determinar a projeção cotada de uma reta (q) de declividade 2/5, assinalando pelo menos quatro de seus                               
pontos.
Exercício 03
Graduar a reta definida pelos pontos e , distantes 8 metros em projeção (sugestão: utilizar um           C(202)    D(207.3)                
plano de referência de cota = 200 m).
Exercício 04
Marcar cinco pontos da reta (p) que passa pelos pontos e , sabendo­se que suas projeções distam                   E(2)    F (402)          
800 metros entre si (sugestão: calcular algebricamente o intervalo da reta).
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Exercício 05
Sejam os pontos A(2 m) e B(6 m) desenhados (em escala 1 : 100) nas posições (1 cm, 1 cm) e (4 cm, 5 cm),                                               
respectivamente. Seja (r) a reta que passa pelos pontos (A) e (B).
(a) Marque o ponto (C) pertencente à (r) de cota 4m
(b) Determine graficamente a cota do ponto (D) posicionado em (3 cm, 3,66 cm) de forma que (D)                                 
pertença à (r).
(c) Resolva os ítens (a) e (b) por meio de uma solução algébrica.
(d) Gradue a reta (r). Qual a inclinação e declividade dessa reta?
11) O Plano
Normalmente, em projeções cotadas, o plano é tradicionalmente representado por sua reta de maior                         
declive, devidamente graduada e com suas horizontais correspondentes.
A reta de maior declive de um plano é qualquer uma de suas retas perpendiculares ao seu traço no                                   
plano de projeção, que é a horizontal de cota igual a zero. Ela é representada no desenho por duas retas                                     
paralelas entre si, a curta distância, de espessuras diferentes e deve ser colocada em um canto, a fim de não                                     
atrapalhar o desenho.
Nas figuras a seguir temos uma vista espacial e em projeção de um plano que faz um ângulo                            α)(         θ
(inclinação) com o plano de projeção.
A próxima figura tem como objetivo explicar como deve ser entendida a projeção de um plano. Ela                               
representa um plano a partir de sua horizontal de cota 4 metros. Os pontos e pertencem a esse plano                            A)(     B)(        
e estão dados por suas projeções  e  .A(5) B(6)
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Ao se “caminhar” pela superfície do plano a partir do ponto até o ponto , ambos dados por suas                      A)(         B)(        
projeções, tem­se que independentemente do trajeto escolhido, ou , indicados por suas projeções e              j)(     l)(           j   l 
, subiu­se 1 metro, pois se saiu de um ponto de cota 5 metros e se chegou a um outro ponto de cota 6                                             
metros. Se a trajetória for em linha reta, a distância percorrida em projeção corresponderá ao                          l)(    
comprimento , que une as projeções e . A distância real percorrida entre os pontos e em  l           A(5)   B(6)               A)(     B)(  
linha reta, como visto anteriormente, será de  l)  ( =√(6 ) .− 5 2 + l2
12) Pertinência de Ponto e Reta num PlanoUm ponto pertencerá a um plano se pertencer a uma horizontal do plano e uma reta pertencerá a esse                                   
plano se passar por dois pontos do mesmo.
Dessa forma, é fácil de se concluir que os pontos e , da seguinte figura, pertencem ao plano                    A)(     B)(            
, de declividade , pois eles tem cotas iguais às cotas das horizontais sobre as quais suasα)(       /idα = 1 α                             
projeções se situam.
Logo a reta  , de declividade  , que passa por esses pontos, também pertence ao plano.r)( /idr = 1 r
Lembre­se que se   pertence ao plano   então  .r)( α)( dr ≤ dα
13) Determinação da Representação do Plano
Matematicamente um plano pode ser definido por:
1. Duas retas concorrentes
2. Duas retas paralelas
3. Uma reta e um ponto que não lhe pertença
4. Três pontos não colineares
Queremos obter a forma usual de representação do plano por sua reta de maior declive dado um plano                                 
definido por alguma das formas acima.
Se o plano é definido por duas retas concorrentes devemos traçar retas horizontais que unem pontos                             
de mesma cota dessas retas concorrentes. Note que essas retas horizontais pertencem ao plano e que elas                               
são perpendiculares à reta de maior declive do plano. A figura abaixo mostra a obtenção da reta de maior                                   
declive do plano que contém as retas r e s.
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No caso do plano ser definido por duas retas paralelas, o procedimento é o mesmo do caso de retas                                   
concorrentes. Se o plano é definido por três pontos não colineares ou por uma reta e um ponto que não lhe                                       
pertença, facilmente obtemos duas retas concorrentes e a obtenção da reta de maior declive do plano recai                               
no caso de retas concorrentes.
Se os elementos disponíveis já tiverem os pontos de cotas redondas necessários, a solução fica bem                             
mais fácil, pois as uniões dos pontos de mesma cota já correspondem às horizontais do plano. Em caso                                 
contrário, a primeira providência será obter esses pontos de cota redonda (graduação da reta que passa pelos                               
pontos disponíveis).
14) Interseção e Paralelismo
14.1) Interseção de Planos
Em projeções cotadas, a interseção de dois planos é a reta que passa pelos pontos de interseção das                                 
horizontais de mesma cota dos dois planos. Na figura abaixo notamos que o ponto A(2) pertence à reta                                 
horizontal de nível 2 dos dois planos, logo pertence à interseção dos planos. Pelo mesmo motivo, B(3)                               
também pertence à interseção dos planos. Daí temos que a reta que passa por A(2) e B(3) é a interseção dos                                       
planos.
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Se as projeções das retas de maior declive dos dois planos são paralelas entre si, a construção                               
anterior não resolve o problema de achar a interseção dos planos.
Note que nesse caso, a interseção dos planos é uma horizontal dos planos. Devemos rebater as retas                               
de maior declive dos planos sobre a mesma reta base. O ponto A, interseção das retas rebatidas indica uma                                   
posição de mesma cota em ambos os planos, logo a reta de interseção dos planos é a horizontal dos planos                                     
que passa por A.
14.2) Interseção entre uma Reta e um Plano
Para obter a interseção entre uma reta (r) e um plano fazemos uso de um plano auxiliar que                      α)(               β)(  
contenha (r).  Executamos os seguintes passos:
1. Criamos o plano auxiliar  cuja reta de maior declive é (r).β)(
2. Obtemos a reta (s): a interseção entre os planos   e   .α)( β)(
3. O ponto (A) de interseção entre a reta (r) e o plano necessariamente pertence à reta (s) pois                        α)(            
qualquer reta do plano (entre elas a reta (r)) intercepta o plano em algum ponto de (s). Daí        β)(                   α)(            
temos que o ponto (A) é a interseção entre as retas (r) e (s), isto é:  .A) r) α) r) s)( = ( ⋂ ( = ( ⋂ (
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14.3) Paralelismo entre Dois Planos
Planos paralelos têm suas retas de maior declive paralelas logo a projeção dessas retas são paralelas,                             
com o mesmo intervalo (ou declividade) e sentido de graduação. A figura a seguir mostra dois planos                               
paralelos.
15) Rebatimento do Plano
As figuras situadas em um plano que não seja paralelo ao de projeção (declividade diferente de            α)(                    
zero) não se projetam em verdadeira grandeza. Para a determinação da verdadeira grandeza dessas figuras                           
utilizamos a geometria descritiva para rebater esse plano sobre o de projeção usando como eixo de                             
rebatimento a horizontal de cota zero. O exemplo abaixo ilustra esse procedimento.
15.1) Exemplo
Sejam (A), (B) e (C) pontos pertencentes ao plano definido pela reta de maior declive na figura a                  α)(                  
seguir. Obter a V.G. do triângulo (A)(B)(C).
Solução: Devemos executar os seguintes passos:
1. Rebater a reta de maior declive como fizemos na seção de retas.
2. Introduzimos a geometria descritiva no problema criando uma linha de terra coincidente com a reta de                             
Notas de Aula de Geometria Descritiva ­ GGM ­ IME ­ UFF ­ 2011
maior declive (e com o zero da linha de terra igual ao zero da reta de maior declive).
3. Note que o traço vertical do plano coincide com o rebatimento de reta feito no passo 1 e que o nosso                                       
plano (sob essa linha de terra) é um plano de topo. Daí temos que as projeções verticais A’, B’ e C’                                       
estão nas interseções do traço vertical do plano com as linhas de chamada de A, B e C.
4. Rebatimento do plano sobre o plano de projeção horizontal como feito nas aulas de métodos      α)(                        
descritivos. Daí obtemos os pontos (A)1, (B)1 e (C)1 (em V.G.).
          
16) Aplicações de Projeções Cotadas
Projeções Cotadas surgem naturalmente em diversos problemas de engenharia pois vários métodos                     
de medida nos fornecem somente a altura do objeto. Em levantamentos altimétricos, em que queremos obter                             
o relevo da superfície terrestre, são utilizados principalmente teodolitos, fotografias aéreas ou dados de                         
satélites. Para os levantamentos batimétricos, onde representamos fundos dos rios, lagos e mares, são                         
utilizados varas, cordas com peso nas pontas, ecobatímetros, etc.
Projeções Cotadas têm a vantagem da simplicidade de apenas um plano de projeção (ao invés dos                             
dois planos da geometria descritiva). Uma restrição ao uso de projeções cotadas surge quando queremos                           
modelar objetos que se projetam em várias alturas diferentes num mesmo ponto, por ex. cavernas, sólidos.                             
Nesse caso devemos fazer uso de métodos mais sofisticados de modelagem.
Considerando­se apenas superfícies planas, as projeções cotadas são aplicadas diretamente na                   
construção de telhados, pois as ripas podem ser consideradas como as horizontais de um plano.
Cada “água” do telhado será, portanto, um plano, que interceptará outras “águas”, conforme mostradode forma simplificada a seguir, onde o retângulo seria a planta de uma casa, cujo telhado teria 4 “águas”, uma                                     
na direção perpendicular a cada parede externa.
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Em se considerando a superfície natural da terra, as projeções cotadas são aplicadas diretamente na                           
topografia. Um morro ou um trecho inclinado são representados por curvas de nível, que nada mais são do                                 
que a união dos diversos pontos do terreno que têm uma mesma cota, normalmente um número inteiro.
As curvas de nível são associadas às horizontais do plano, permitindo que se aplique o mesmo                             
raciocínio estudado até agora, só que considerando a superfície do solo em lugar do “comportado” plano.
No desenho acima, se “andarmos” sobre uma curva de nível de cota 30, por exemplo, isto significa                               
que a todo momento estaremos 30 metros acima do nível de referência, que normalmente é o nível do mar.
No centro da planta vemos um pequeno morro de 60 e poucos metros de altura, pois as curvas de                                   
nível se fecham, mostrando que há uma elevação no local.
O método de projeções cotadas é usado também em matemática para representar o gráfico de curvas                             
de nível de funções de duas variáveis. Por exemplo, na figura a seguir temos o gráfico das curvas de nível do                                       
parabolóide de revolução z=x2 + y2.
Notas de Aula de Geometria Descritiva ­ GGM ­ IME ­ UFF ­ 2011
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17) Exercícios
Exercício 01
Dado o plano da figura, pede­se verificar se os pontos pertencem ou não ao mesmo.
Exercício 02
Determinar, sob a forma usual, o plano definido pelos elementos dados.
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Exercício 03
(a) Desenhe em escala = 1:100 um plano de declividade  ./3dα = 2
(b) Marque sobre esse plano uma reta de declividade  ./4dr = 1
(c) Sejam dois pontos cuja diferença de cotas é de 2m e que pertencem a essa reta de declividade .                                      /4dr = 1
Qual a distância real (no espaço) entre esses pontos?
Exercício 04
Desenhe em escala = 1:100 um plano que faz 30° com o de projeção e marque sobre ele um segmento                                     
(A)(B) de declividade 1/4  e com comprimento real de 6m?
Exercício 05
Sejam os pontos A(0), B(2), C(1), D(2), E(1,5), F(2), G(3) cujas projeções no plano horizontal são                             
representadas num desenho (em escala 1 : 100) respectivamente em (0, 0), (0, 4), (4, 0), (4, 0), (2, 2), (2, 2),                                         
(4, 4) (em cm). Seja (r) a reta que passa pelos pontos (A) e (C), (s) a reta que passa por (B) e (G) e (t) a reta                                                     
que passa por (B) e (E). Resolva os seguintes ítens:
(a) Determine entre as retas (r), (s), (t), quais são paralelas, quais são concorrentes e quais não se                                 
interceptam.
(b) Seja um plano definido pela reta de máximo declive que passa pelos pontos (F) e (G). Determinar                                 
quais dentre os pontos (A), (B), (C), (D) pertencem ao plano.
(c) Seja o plano que passa pelos pontos (A), (B) e (C). Determinar se as retas (r), (s), (t) pertencem a                                       
esse plano.
(d) Determinar a interseção entre os planos definidos nos ítens (b) e (c).
Exercício 06
Em projeções cotadas, desenhe um plano qualquer   e uma reta qualquer (r).α)(
(a) Determine o ponto A, a interseção entre o plano   e a reta (r). Qual a cota de A?α)(
(b) Desenhe um plano   paralelo ao plano  .β)( α)(
(c) Desenhe um plano que não seja paralelo ao plano , mas que a projeção da reta de maior      γ)(               α)(                
declive de   seja paralela à de   . Obtenha a interseção entre eles.γ)( α)(
Exercício 07
Seja um plano definido pela reta de máximo declive que passa pelos pontos (A) e (B). Sabendo­se que a                                   
declividade do plano é 2, a cota de (A) é 800m e a cota de (B) é 1700m, pede­se:
(a) Qual a distância entre as projeções horizontais dos pontos (A) e (B)?
(b) Represente os pontos (A) e (B) em um desenho de escala 1 : 10:000. Qual o comprimento do                                   
segmento de reta que liga os pontos (A) e (B)?
(c) Traçe o caminho sobre o plano entre os pontos (A) e (B) de comprimento mínimo de forma que a                                     
declividade máxima no caminho seja de 0,8. Qual o comprimento desse caminho?
Exercício 08
Construir as projeções cotadas de um hexágono regular de lados iguais a 2,5 metros, situado sobre um plano                                 
de declividade igual a 1/2 , sabendo­se que seu centro (O) possui cota 9 metros e que uma de suas diagonais                                       
que passam pelo centro tem declividade 1/3 (1 só solução – escala = 1:100).