AULA 14: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 14: Técnicas de Integração 
Unidade V: Técnicas de integração 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 14: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
PROCEDIMENTOS ALGÉBRICOS 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
POR PARTES 
2 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
FRAÇÕES PARCIAIS 
3 
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AULA 14: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Procedimentos algébricos: 
• A ideia é processar alguns procedimentos algébricos para simplificar a solução. 
• Como não existe um método fechado vamos trabalhar alguns exemplos. 
 
. 
 



dx
xx
x
15
159
3
2



dx
xx
x
15
53
3
3
2
153  xxu
Percebe-se que o polinômio do numerador 
pode ser obtido pela derivação do 
polinômio do denominador. 
  dudxxx
dx
du
 5353 22
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Procedimentos algébricos: 
• A ideia é processar alguns procedimentos algébricos para simplificar a solução. 
• Como não existe um método fechado vamos trabalhar alguns exemplos. 
 
. 
 
Realizando as substituições: 
CxxCuC
u
duudu
u
dx
xx
x
dx
xx
x









1566
2
1
3
3
1
3
15
53
3
15
159
3
2
1
2
1
3
2
3
2
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Procedimentos algébricos: 
• A ideia é processar alguns procedimentos algébricos para simplificar a solução. 
• Como não existe um método fechado vamos trabalhar alguns exemplos. 
 
. 
 
Exercitando a potência 
   dxxx
2
csc cotg
    dxxxxxdxxx csccsc cotg2 cotgcsc cotg
222
Já foi visto que: 
Cxdxx  cotg csc
2
Cxdxxx  csc csc cotg
1csc cotg 22  xx
e 
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Procedimentos algébricos: 
• A ideia é processar alguns procedimentos algébricos para simplificar a solução. 
• Como não existe um método fechado vamos trabalhar alguns exemplos. 
 
. 
 
Substituindo: 
     dxxxxxdxxx csccsc cotg21csccsc cotg
222
   dxxxx csc cotg21csc2
2
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Procedimentos algébricos: 
• A ideia é processar alguns procedimentos algébricos para simplificar a solução. 
• Como não existe um método fechado vamos trabalhar alguns exemplos. 
 
. 
 
Resolvendo: 
 
Cxxx
dxxxdxdxx
dxxxxdxxx



 

csc2 cotg2
 csc cotg2 1 csc2
 csc cotg21csc2csc cotg
2
22
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Identidades trigonométricas 
. 
 
1cos sen 22  xx
xtgx 22 1 sec 
xx 22 cotg1 csc 
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Calcule: 
. 
 


dx
xx 4
1
2
podemos utilizar alguns artifícios algébricos para que a expressão do denominador apresente, 
por exemplo, o formato “a2 – u2”, o que nos permitiria aplicar a regra: 
 







C
a
u
du
ua
sen arc
1
22
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Calcule: 
. 
 


dx
xx 4
1
2
vamos somar e subtrair o valor 4, no denominador da raiz: 
  












dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
dx
xx
222222
222
)2(2
1
2)2(
1
2)2(
1
4)44(
1
444
1
4
1
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Calcule: 
. 
 


dx
xx 4
1
2
C
x
dx
xx





 


 2
2
sen arc
4
1
2
se considerarmos e teremos 
2 xu 2a dxdu 
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Quando a função do integrando é uma fração algébrica em que o grau do numerador 
é maior ou igual ao grau do denominador (fração imprópria) geralmente é possível 
dividir o numerador pelo denominador fazendo surgir como resultado um polinômio e 
uma fração própria. 
Exemplo: 
. 
 
 

dx
x
xx
12
94 2
Vamos dividir por 
xx 94 2 
12 x
xx 94 2  12 x
xx 24 2 
2
7
2 x
x7
2
7
7 x
2
7

12
94
)(
2



x
xx
xf
12
2
7
2
7
2



x
x
24
7
2
7
2)(


x
xxf
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Exemplo: 
. 
 
 

dx
x
xx
12
94 2
Cx
x
x
dx
x
dxdxx
dx
x
dxdxx
dx
x
xdx
x
xx


















24ln7
2
7
 
24
1
7
2
7
 2
 
24
7
 
2
7
 2
24
7
2
7
2
12
94
2
2
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Integração por partes: 
Técnica utilizada para integrar alguns tipos de funções na forma de produto f(x) . g(x), 
desde que f(x) possa ser derivada repetidamente e g(x) possa ser integrada 
repetidamente sem dificuldade. 
. 
 
u
dx
dv
v
dx
du
dx
uvd

)(
Integrando ambos lados, tem-se: 
  dxudx
dv
dxv
dx
du
dx
dx
uvd
 
)(
uvdx
dx
uvd

)(
  duvdxvdx
du
 
  dvudxudx
dv
 
  dvuduvuv 
  duvuvdvu 
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Calcule a integral indefinida: 
. 
 
  duvuvdvu 
 dxxe
x
xeu 
dxxdv 
dxedu x
2
2x
v 
  dxe
xx
edxxe xxx
22
 
22 Complicou.. 
Vamos tentar outra substituição. 
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Calcule a integral indefinida: 
. 
 
  duvuvdvu 
 dxxe
x
xu 
dxedv x 
dxdu 
xev 
).1(
 





xeCexe
dxexe
duvuvdvu
xxx
xx
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Calcule a integral: 
. 
 
  duvuvdvu 
. sen 2 dxxx
2xu 
dxxdv sen 
dxxdu 2
dxxv cos




dxxxxx
dxxxxxdxxx
 cos2cos
 2 )cos()cos( sen 
2
22
 dxxxxx cos2cos
2
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Calcule a integral: 
. 
 
  duvuvdvu 
. sen 2 dxxx  dxxxxx cos2cos
2
xu 
dxxdv cos
dxdu 
xv sen 
1)cos(sen 
 sen sen cos
Cxxx
dxxxxdxxx

 
1cossen Cxxx 
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Calcule a integral: 
. 
 
. sen 2 dxxx
.2cos2sen 2cos
)cossen (2cos sen 
1
2
1
22
Cxxxxx
Cxxxxxdxxx

.cos2sen 2cos sen 22 Cxxxxxdxxx 
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Frações parciais: 
No estudo sobre frações algébricas, quando temos que efetuar uma soma de duas (ou 
mais) delas, primeiro obtemos uma expressão que será utilizada como denominador 
comum das frações que serão somadas. 
Em seguida, obtemos exatamente as frações equivalentes à primeira e com o 
denominador comum que foi obtido para realizar a operação de adição (o mesmo 
acontece com a subtração). 
. 
 
4
3
2
5


 xx
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. 
 
4
3
2
5


 xx
82
148
82
63205
824
)2(3)4(5
)4)(2(
)2(3
)4)(2(
)4(5
4
3
2
5
2
2
2


















xx
x
xx
xx
xxx
xx
xx
x
xx
x
xx
4
3
2
5


 xx
82
148
2 


xx
x
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. 
 
dx
xx
x
 
82
148
2 

4
3
2
5
82
148
2 





xxxx
x
Cxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
x
























4ln2ln5
4
1
3
2
1
5
4
3
2
5
4
3
2
5
 
82
148
2
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O método de integração por frações parciais consiste em escrever o integrando na forma 
de frações parciais, ou seja, modificar o integrando de tal forma que seja possível utilizar 
as regras básicas de integração. 
. 
 
dx
xx
x
 
32
193
2 

)1)(3(322  xxxx
1332
193
2 





x
B
x
A
xx
x
)1)(3(
)3()1(
32
193
2 




xx
xBxA
xx
x
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O método de integração por frações parciais consiste em escrever o integrando na forma 
de frações parciais, ou seja, modificar o integrando de tal forma que seja possível utilizar 
as regras básicas de integração. 
. 
 )1)(3(
)3()1(


xx
xBxA
BAxBAx
BBxAAxx
xBxAx
3)(193
3193
)3()1(193








193
3
BA
BA A = –7 e B = 4. 
Cxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
dx
xx
x
























1ln43ln7
1
1
4
3
1
7
1
4
3
7
1
4
3
7
 
32
193
2
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A aplicação do método de integração por frações parciais para integrar funções na forma 
é possível em situações que “obedecem” às seguintes condições: 
 
 
• A função f(x) do numerador deve ter grau menor que a função g(x) do denominador. Caso isso 
não aconteça, é possível efetuar a divisão de f(x) por g(x) e trabalhar com o resto dessa divisão. 
• É necessário conhecer os termos que nos permitem fatorar a expressão g(x). Mesmo que, 
teoricamente, todo polinômio com coeficientes reais possa ser escrito na forma fatorada, 
sabemos que, em muitos casos, há grandes dificuldades em determinar os fatores que tornam 
isso possível, dificultando (ou inviabilizando) a aplicação do método de integração por frações 
parciais. 
 
. 
 
)(
)(
xg
xf
Assuntos da próxima aula: 
1. A Regra de L'Hôpital – Integrais 
Impróprias.