ESTATISTICA REGULAR 1

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CURSO REGULAR DE ESTATÍSTICA BÁSICA 
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AULA 01 
 Olá, amigos! 
 Espero que estejam todos bem! E bem dispostos, a propósito! 
Isso porque considero esta nossa primeira aula como a mais importante delas. 
Conforme dito no final do encontro anterior, exploraremos hoje tudo o que pode ser 
dito acerca de uma Distribuição de Freqüências! 
Sem mais delongas, demos início ao nosso estudo. 
A Distribuição de Freqüências é nada mais que uma tabela, por meio da qual 
conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada. 
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de 
duzentas pessoas que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma 
delas lêem por ano. (Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito 
para uma tabela, e apresentado da forma seguinte: 
 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
 
 
 Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Freqüências! 
Trata-se, portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa 
realizada. A característica marcante da Distribuição de Freqüências é que a variável 
estudada estará subdivida em classes! 
 As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito 
intuitivo. Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro 
classes: 
 ? 1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano; 
 ? 2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano; 
 ? 3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano; 
 ? 4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano; 
 Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamados 
respectivamente de limite inferior (linf) e limite superior (lsup). 
 Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e 
no fim de cada classe. Assim, teremos que: 
 ? 1ª Classe) linf=0 e lsup=5 
 ? 2ª Classe) linf=5 e lsup=10 
 ? 3ª Classe) linf=10 e lsup=15 
 ? 4ª Classe) linf=15 e lsup=20 
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 Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa a 
próxima! Não é verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite 
inferior da classe seguinte. 
 Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas 
olhando para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano 
entrará na contagem da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente: 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
 
 Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e 
aí? Quem lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira? 
 Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de 
intervalo de classe! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiver 
presente entre os limites da classe. 
 No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !---- 
 Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos 
melhor: 
 
 Linf Lsup 
 
 
 A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará 
incluído no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda. 
 A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este 
limite estará excluído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita. 
 Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos: 
 
 5 10 
 
 Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê 
exatamente 10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez 
que 10 é limite superior desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita. 
Ou seja, o limite superior está excluído desta contagem, embora faça parte da classe 
como um de seus limites! 
 Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o 
intervalo é a simbologia que separa os limites das classes. 
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 Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemos 
sempre! É, por assim dizer, a simbologia clássica! 
 Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e 
aberto à esquerda. 
 E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que 
em uma Distribuição de Freqüências, trabalha-se sempre com variáveis contínuas! 
 Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumir 
qualquer resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver 
qualquer descontinuidade. 
 E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável, 
faz-se necessário que onde termine uma classe, comece a próxima. 
 Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável 
discreta! Sim. Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma 
Distribuição de Freqüências. Não fui muito rigoroso com o exemplo. Ok? 
 Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na 
Distribuição de Freqüências, trabalhamos com variáveis contínuas! 
 Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe. 
Como não são de nosso interesse, não trataremos a seu respeito. 
 O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe. Um conceito 
muito simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude da 
classe será, portanto, o tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a 
letra h (minúscula). 
 Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe 
apresentam a mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos: 
Classes 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
? h=5 
? h=5 
? h=5 
? h=5 
 
 Pergunta: é obrigado que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não! 
Não é obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de 
Freqüência trazidas em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma 
regra. É apenas o usual. Na prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e 
apresentou uma Distribuição em que nem todas as classes possuíam a mesma 
amplitude. 
 Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de 
estarmos diante de uma Distribuição de Freqüência com classes de amplitudes 
diversas. Ok? A rigor, não muda quase nada. 
 Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora, o nome 
é sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da 
classe. Cada classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível 
determinar o PM de uma classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo. 
Vejamos: qual é o valor que está exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro! 
 Daí, 2,5 é o PM da primeira classe. 
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 Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 24,5. Pode 
ser que não seja assim tão imediata a determinação desse PM. 
 Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse 
resultado por dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2. 
 Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22. 
 Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Freqüências, e construamos a 
coluna dos Pontos Médios. Teremos: 
 
Classes PM 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10!--- 15 
15 !--- 20 
2,5 
7,5 
12,5 
17,5 
 
 Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? 
Vemos que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma 
constante. Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre 
igual ao anterior somado a uma constante. 
 Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? 
Foi este também o valor da amplitude das classes! 
 Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de 
Freqüências tiverem a mesma amplitude (mesmo h), observaremos que o próximo 
Ponto Médio será igual ao anterior somado àquela amplitude. 
 É este o primeiro atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não 
deixa de ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, 
a primeira coisa a observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o 
caso, você irá apenas descobrir o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira 
classe). Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesma 
operação, até chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo, 
teremos: 
Classes PM 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
 2,5 ? 1º PM, calculado! 
(2,5+5) = 7,5 
(7,5+5) = 12,5 
(12,5+5)= 17,5 
 
 Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de 
Freqüências. Agora precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que 
vêm a ser essas tais freqüências? É sobre isso que falaremos a seguir. 
 Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo: 
 
 
 
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Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
 
 Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que 
participa da classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna 
do fi significa que há 108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por 
ano (cinco exclusive). 
 Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada freqüência absoluta simples, 
indica o número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É a 
freqüência de mais fácil compreensão! E a mais importante delas também! 
Precisaremos conhecer os valores da fi para podermos resolver quase todas as 
questões de uma prova. 
 Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro 
passo, saber reconhecer o tipo de freqüência apresentado na tabela da prova! Uma 
vez feito esse reconhecimento, se a freqüência fornecida houver sido a fi (freqüência 
absoluta simples), então já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a prova 
houver fornecido um outro tipo de coluna de freqüência, diferente do fi, então 
precisaremos fazer algum trabalho preliminar, no intuito de transformar a coluna de 
freqüência da tabela na freqüência absoluta simples fi. 
 Ou seja, diante de uma Distribuição de Freqüências, convém seguirmos os 
seguintes passos: 
 1º) Reconhecer o tipo de freqüência fornecida na tabela; 
 2º-A) Se for a freqüência absoluta simples (fi), ótimo: começamos a resolver a 
prova; 
 2º-B) Se for um outro tipo de freqüência, diferente do fi, teremos que fazer 
algum trabalho preliminar, no sentido de transformar a freqüência fornecida na 
freqüência absoluta simples (fi). 
 Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste 
Curso, se não souber fazer esse tal de trabalho preliminar! Saber fazer isso se 
tornou, por assim dizer, a alma da prova! Ok? Vamos a esse estudo. 
 Existem seis tipos de colunas de freqüências, as quais podem estar presentes 
numa Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a fi, freqüência absoluta simples. 
 Há ainda outros dois tipos de freqüências absolutas: a fac – freqüência absoluta 
acumulada crescente, e a fad – freqüência absoluta acumulada decrescente. 
 Haverá também três tipos de freqüências relativas: a Fi, freqüência relativa 
simples; a Fac – freqüência relativa acumulada crescente; e a Fad – freqüência 
relativa acumulada decrescente. 
 Relacionando-as todas, teremos: 
 
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? Freqüências Absolutas: 
 - fi : freqüência absoluta simples; 
 - fac: freqüência absoluta acumulada crescente; 
 - fad: freqüência absoluta acumulada decrescente. 
? Freqüências Relativas: 
 - Fi : freqüência relativa simples; 
 - Fac: freqüência relativa acumulada crescente; 
 - Fad: freqüência relativa acumulada decrescente. 
 
 A primeira delas (fi) está em destaque para que não nos esqueçamos: é a mais 
importante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê-la previamente, antes 
de começarmos a resolver a prova! 
 Vou criar outro exemplo de Distribuição de Freqüências. Ok? Suponhamos que a 
tabela abaixo represente os pesos de um grupo de crianças. Certo? Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 Já sabemos o significado da fi. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10 
quilos (exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças, 
peso variando entre 20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30 
e 40 quilos. Assim, se perguntarmos quantos elementos há neste conjunto, ou seja, 
quantas crianças há neste grupo? Para responder isso, basta somarmos os valores da 
coluna do fi. 
 Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um n 
(minúsculo). Assim, teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será 
encontrado somando a coluna do fi. Guarde isso! 
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 Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da fac (freqüência 
absoluta acumulada crescente). 
 Neste caso, devemos saber do seguinte: 
1º) A fac é construída diretamente a partir da fi. (São freqüências irmãs!) 
2º) A fac será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são 
crescentes, partindo da primeira classe; 
3º) A fac e a fi apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac 
começa a ser construída, ou seja, são iguais na primeira classe. 
4º) Os demais valores da fac serão obtidos somando-se o valor da fac anterior 
com a fi da diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo). 
Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
 n=20 
 
 E para construir os demais valores da fac, seguiremos o comando de somar 
com a diagonal. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 (=3+6) 
 N=20 
 
 E depois: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 
16 (=9+7) 
 n=20 
 
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 E finalmente: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 
16 
20 (=16+4) 
 n=20 
 
 Observação importante: a fac termina sempre com o mesmo valor de n 
(número de elementosdo conjunto)! 
 É isso! Aprendemos a construir a coluna da fac, a partir da freqüência absoluta 
simples (fi). Todos entenderam? Basta lembrar: 
 # De fi para fac: 
? fi e fac são freqüências irmãs! 
? fi e fac são iguais na primeira classe; 
? o resto da fac se constrói somando com a diagonal. 
 
 E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a fi 
partindo da fac? Como se fará isso? Vejamos: 
 1º) fac e fi são iguais na primeira classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
 n=20 
 
 2º) O restante da coluna da fi será construída subtraindo a próxima fac da fac 
anterior. Vejamos como se faz isso: 
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
(9-3=) 6 
3 
9 
16 
20 
 
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 E depois: 
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
 6 
(16-9=) 7 
3 
9 
16 
20 
 n=20 
 
 E finalmente: 
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
 6 
 7 
(20-16=) 4 
3 
9 
16 
20 
 n=20 
 
 Daí, concluímos, que: 
 # De fac para fi: 
? fi e fac são freqüências irmãs! 
? fi e fac são iguais na primeira classe; 
? o resto da fi se constrói subtraindo a próxima fac da 
fac anterior. 
 
 Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna 
da freqüência absoluta simples fi e pretendemos construir a coluna da fad – 
freqüência absoluta acumulada decrescente. 
 A primeira coisa a saber é que fi e fad são freqüências irmãs, ou seja, são 
construídas uma por meio da outra. 
 A fad, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta 
última classe, fad e fi terão o mesmo valor! 
 O restante da coluna da fad seguirá um comando já conhecido nosso. Qual? 
Somar com a diagonal. Vejamos: 
 
 
 
 
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 1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 
 
4 
 n=20 
 
 2º) Subindo e somando com a diagonal, teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 
11 (=4+7) 
4 
 n=20 
 
 E depois: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
17 (=11+6) 
11 
4 
 n=20 
 
 E, finalmente: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
20 (=17+3) 
17 
11 
4 
 n=20 
 
Iguais na última 
classe 
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 Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos 
construir a coluna da freqüência absoluta simples fi a partir do conhecimento da 
freqüência absoluta acumulada decrescente fad, como fazê-lo? 
 Simples. Basta lembrar que: 1º) fi e fad são iguais na última classe; 2º) O 
restante da coluna da fi será construída fazendo próxima acumulada menos 
acumulada anterior. Vejamos: 
 1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 
4 
20 
17 
11 
4 
 
 2º) O restante da coluna da fi será construída subindo e subtraindo a próxima 
fad da fad anterior. Vejamos como se faz isso: 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
(11-4=) 7 
4 
20 
17 
11 
4 
 
 E depois: 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
(17-11=) 6 
 7 
4 
20 
17 
11 
4 
 
 E finalmente: 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
(20-17=) 3 
 6 
 7 
4 
20 
17 
11 
4 
 
 É isso! 
 
Iguais na última 
classe 
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 Se tentarmos esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê-lo da seguinte 
forma: 
 De simples para acumulada: somar com a diagonal 
 fac (iguais na primeira classe) 
 fi 
 fad (iguais na última classe) 
 De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior 
 
 Agora passamos a falar sobre as Freqüências Relativas! 
 A primeira coisa a saber é que as freqüências relativas dizem respeito a valores 
percentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a diferença entre 
freqüências absolutas e relativas: 
 ? Freqüências Absolutas: dizem respeito a número de elementos; 
 ? Freqüências Relativas: dizem respeito a porcentagem de elementos. 
 Se quisermos construir a coluna da Freqüência Relativa Simples Fi, partindo do 
conhecimento da freqüência absoluta simples fi, faremos apenas o seguinte: 
 1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (fi e Fi), sabendo que: 
? a soma da freqüência simples é sempre n (número de elementos do 
conjunto); e 
? a soma da freqüência relativa simples é sempre 100%. 
2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois 
somatórios. Ou seja, compararemos n com 100%, e descobriremos qual a relação 
entre esses dois valores. (Vocês vão já entender isso melhor!) 
Voltemos ao nosso exemplo. Teremos: 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 n=20 100% 
 
 1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do 
que 100, então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem: 
multiplicaremos por quanto? Por 5, já que 20x5=100. 
Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de 
freqüências (fi e Fi), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais 
valores da freqüência conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida! 
Vejamos: 
 
 
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Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% (=3x5) 
30% (=6x5) 
35% (=7x5) 
20% (=4x5) 
 n=20 100% 
 (x5) 
 
 A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se 
construir a coluna da fi partindo do conhecimento da Fi. Teremos: 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 15% 
30% 
35% 
20% 
 n=? 100% 
 
 Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor 
do n (número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele 
o valor do n, adotaremos que n=100. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)! 
 Suponhamos aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que n=20 
elementos. Teremos: 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 (=15÷5) 
6 (=30÷5) 
7 (=35÷5) 
4 (=20÷5) 
15% 
30% 
35% 
20% 
 n=20 100% 
 (÷5) 
 
 Lembrem-se apenas de pôr o sinal de porcentagem % nas freqüênciasrelativas 
e de não colocá-lo nas freqüências absolutas! 
 Resta agora aprendermos como construir as colunas das freqüências relativas 
acumuladas (Fac e Fad). Para construí-las, partiremos de um mesmo lugar: da 
freqüência relativa simples Fi. 
 E o faremos seguindo o mesmo esquema utilizado nas transformações entre as 
freqüências absolutas. Teremos: 
 
 
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 De simples para acumulada: somar com a diagonal 
 Fac (iguais na primeira classe) 
 Fi 
 Fad (iguais na última classe) 
 De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior 
 
 Vejamos estas transformações: 
 
 # De Fi para Fac: 
Classes fi Fi Fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
15% 
45% (=15%+30%) 
80% (=45%+35%) 
100% (=35%+20%) 
 n=20 100% 
 
 
 # De Fac para Fi: 
Classes fi Fi Fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% (=45%-15%) 
35% (=80%-45%) 
20% (=100%-80%) 
15% 
45% 
80% 
100% 
 n=20 100% 
 
 
 # De Fi para Fad: 
Classes fi Fi Fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
100%(=85%+15%) 
85% (=55%+30%) 
55% (=20%+35%) 
20% 
 n=20 100% 
 
 
 
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 # De Fad para Fi: 
Classes fi Fi Fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% (=100%-85%) 
30% (=85%-55%) 
35% (=55%-20%) 
20% 
100% 
85% 
55% 
20% 
 n=20 100% 
 
 Certamente vocês observaram que a coluna da Freqüência Relativa Acumulada 
Crescente Fac termina sempre com 100%. E a da Freqüência Relativa Acumulada 
Decrescente começa sempre com 100%. 
 Será sempre assim! Anote: 
 ? Fac: apresenta 100% na última classe! 
 ? Fad: apresenta 100% na primeira classe! 
 
 Vocês perceberam também que as duas freqüências absolutas acumuladas (fac 
e fad) nascem da freqüência absoluta simples (fi). E viram que as duas freqüências 
relativas acumuladas (Fac e Fad) nascem da freqüência relativa simples (Fi). 
 Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e 
chegaremos ao seguinte: 
 
 De simples para acumulada: somar com a diagonal 
 fac (iguais na primeira classe) 
 fi 
 fad (iguais na última classe) 
 
 (comparam-se os dois somatórios) 
 
 Fac (iguais na primeira classe) 
 Fi 
 Fad (iguais na última classe) 
 De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior 
 
 
 Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de 
freqüências em outra, até chegar à freqüência absoluta simples fi, é algo 
simplesmente fundamental. 
 
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 Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu 
Distribuições de Freqüências com as quais se precisaria fazer o trabalho preliminar de 
descobrir qual a freqüência daquela tabela e, a partir daquela freqüência, construir a 
fi. Vejamos abaixo duas destas Distribuições. Vamos a elas. 
# (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Sol.: O primeiro passo nosso será descobrir que freqüência foi essa trazida na tabela. 
A primeira conclusão a tomar é se se trata de uma freqüência absoluta ou de uma 
freqüência relativa. 
 Será Freqüência Relativa em três casos: 
 1º) Se o enunciado o disser expressamente; 
 2º) Se houver um sinal de porcentagem (%) no cabeçalho da coluna; 
 3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna. 
 Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de freqüência relativa esteve presente, o 
que nos leva a concluir que estamos diante de uma coluna de freqüências absolutas. 
 Sabendo disso, resta-nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de freqüência 
absoluta é essa? Há três tipos: fi (freqüência absoluta simples), fac (freqüência 
absoluta acumulada crescente) e fad (freqüência absoluta acumulada decrescente). 
 Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma 
freqüência acumulada. Logo, restam-nos duas possibilidades: fac ou fad. Para decidir 
se a freqüência é acumulada crescente ou decrescente, basta observar os seus 
valores: começamos com 12; e aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja, 
estamos diante de uma freqüência absoluta acumulada crescente (fac). 
 Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um trabalho 
preliminar, no sentido de construir agora a coluna da freqüência absoluta simples fi. 
 Já sabemos fazer isso. Teremos: 
Classes fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
 
 Somente então seria possível começar a resolver a prova! 
 Vamos ao próximo exemplo. 
 
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# (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Sol.: Comecemos identificando a coluna de freqüência fornecida. O cabeçalho 
apresenta um sinal de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência 
relativa, e é muito conveniente que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos 
os valores desta coluna. Teremos: 
Classes P (%) 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
 
 Ora, aprendemos que as duas freqüências relativas acumuladas começarão ou 
terminarão com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas 
classes: a primeira e a última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe! 
Conclusão: trata-se de uma freqüência relativa acumulada. 
 Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus 
valores. Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante. 
 Conclusão: estamos diante da coluna da freqüência relativa acumulada 
crescente, Fac. 
No intuito de construir a coluna da freqüência absoluta simples (fi), 
construiremos, como primeiro passo, a coluna da freqüência relativa simples (Fi). 
Teremos: 
Classes Fac Fi 
70-90 5% 5% 
90-110 15% 10% (=15%-5%) 
110-130 40% 25% (=40%-15%) 
130-150 70% 30% (=70%-40%) 
150-170 85% 15% (=85%-70%) 
170-190 95% 10% (=95%-85%) 
190-210 100% 5% (=100%-95%) 
 
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 Daí, finalmente, faremos a transformação da freqüência relativa simples para a 
freqüência absoluta simples. Ou seja, passaremos de simples para simples. Neste 
caso, conforme aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas 
duas colunas de freqüências.Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do 
conjunto n. A questão disse que foram examinados 200 itens... Traduzindo: n=200. 
Daí, teremos: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 Total 100% n=200 
 (x2) 
 
 E somente neste momento a tabela estaria pronta para deixar você começar a 
resolver a prova! 
 
 Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência, 
deixarei alguns exercícios, algumas Distribuições de Freqüências, para que vocês 
procurem identificar a necessidade de fazer o trabalho preliminar com as colunas de 
freqüências, e em caso afirmativo, que vocês encontrem a coluna da freqüência 
absoluta simples. Ok? Outra coisa: revisem esta aula com carinho! Valorizem esta 
aula: ela é importantíssima! 
 
 Eu fico hoje por aqui (dez para quatro da manhã!), e os deixo com o dever de 
casa de hoje. Um forte abraço a todos e fiquem com Deus! 
 
 
Dever de Casa 
 
Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o 
trabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi. 
 
 
01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma 
amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
 
Classes Freqüências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
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02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências 
abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classe Freqüência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
 
 
03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
freqüências seguinte: 
Classes Freqüência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
 
04. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, 
não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classe Freqüência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100