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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 4 Vetores 2 4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2 4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componentes . . . . . . . . 2 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam0.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 3 LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20 4 Vetores 4.1 Problemas e Exercı´cios 4.1.1 Soma de vetores P 3-6 (3-??/6 � edic¸a˜o) Um vetor � tem mo´dulo � unidades e esta´ dirigido para leste. Um outro vetor, � , esta´ dirigido para � ��� a oeste do norte e tem mo´dulo de � unidades. Construa diagra- mas vetoriais para calcular � � e ��� � . Estime o mo´dulo e a orientac¸a˜o dos vetores � � e ��� � a partir desses diagramas. � Para resolver este problema como o livro deseja, necessita-se de papel milimetrado, re´gua e um transferi- dor, para medir aˆngulos. Irei resolver o problema usando sua representac¸a˜o alge´brica. As componentes dos vetores � e � sa˜o ����� ��� ������� � e ff ��� � � sen � � � � �flfi�ffi fi� � ff �!� �#"%$�&�� � � � ��ffi'fi)(*ffi O sinal de ff � e´ negativo pois para fazer a soma algebri- camente, precisamos primeiro transladar o vetor � para a origem do sistema de coordenadas. ´E claro que tal translac¸a˜o na˜o e´ necessa´ria no processo gra´fico utiliza- do para a soma. Entenda bem o que esta´ sendo feito, as diferenc¸as entre os dois me´todos de obter a soma. Portanto, para a soma + �,�- � temos + � ./� � ff � � � � ff �10 � . � �2fi�ffi'fi3 � � �4ffi fi�( 065 . fi�ffi7( � ��ffi � 0 � cujo mo´dulo e´ 89�;: 8=< � >8?< � �A@ . fi�ffi'( 0 <B ,. �4ffi � 0 <fl� �4ffi'fi3C 5 �Dffi fi�ffi O aˆngulo que a soma + faz com a horizontal e´ E3F � arctan 8=� 8 � � arctan ��ffi'fi)( fi�ffi'( � � � ffi � � 5 � � � ffi Dito de modo equivalente, o vetor + esta´ direcionado de um aˆngulo de � � � � � � � � � � a Oeste do Norte. Para o vetor diferenc¸a G � �H� � temos G �I. �flfi�ffi'fi3 J� ��� �4ffi fi�( � � 0K5 . �9(�ffi � � �4ffi � 0 � cujo mo´dulo e´ L � : L < � L < � �A@ . �9(*ffi � 0 < �. ��ffi � 0 < ��M ffi �4N 5 M ffi O aˆngulo que a diferenc¸a G faz com a horizontal e´ E1O � arctan L � L � � arctan �4ffi � �9(*ffi � � fi1�Dffi � � ffi Dito de modo equivalente, o vetor G esta´ direcionado de um aˆngulo de fi1�Dffi � � a Norte do Oeste. Ou ainda, a � � �2fi1�4ffi � � � C � ffi7( � a Oeste do Norte. 4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componen- tes P 3-29 (3-??/6 � edic¸a˜o) Uma estac¸a˜o de radar detecta um avia˜o que vem do Les- te. No momento em que e´ observado pela primeira vez, o avia˜o esta´ a � ��� m de distaˆncia, � � � acima do hori- zonte, O avia˜o e´ acompanhado por mais N fi3� � no plano vertical Leste-Oeste e esta´ a M C � m de distaˆncia quando e´ observado pela u´ltima vez. Calcule o deslocamento da aeronave durante o perı´odo de observac¸a˜o. � Chamemos de P a origem do sistema de coordenadas, de Q a posic¸a˜o inicial do avia˜o, e de R a sua posic¸a˜o fi- nal. Portanto, o deslocamento procurado e´ ��S QflR � �DS P�RA� �)S P�QTffi Para �DSP�R temos, definindo E �UN fi3� � � � � �V � � � (1� � , que �DS P�R � W P�R WX. � sen E9Y "%$�& E[Z 0 � ./M C � 0 . � sen (1� � Y "%$)&\(1� � Z 0 � � M fi)fi�ffi ��fi Y fi � N ffi ��� Z Analogamente, para ��SP�Q temos �)S P�Q � W P�Q WX. "%$�&�� � � Y sen � � � Z 0 � . � ��� 0 . "]$)&*� � � Y sen � � � Z 0 � � � C�ffi ��fi Y fi � (*ffi N�N Z Portanto ��S QflR � �DS P�RA� �)S P�Q � . � M fi�fi�ffi �*fi^�_� � C�ffi ��fi � fi � N ffi ���^�2fi � (*ffi N�N 0 � . � N)N fi M ffi M � � � � ffi C�( 0 � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 3 LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20 cuja magnitude e´ W ��S QflR W��I@ . � N)N fi M ffi M � 0 < ,. � � ffi C*( 0 < � N�N fi M ffi M � � 5 N�N � � m ffi O aˆngulo que o vetor ��SQ9R faz com a parte negativa do eixo ` e´ arctan a � � ffi C�( � N�N fi M ffi M �cb �,� ffi ��� � rad �d� ffi fi M � � o que significa que o avia˜o voa quase que horizontal- mente. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 3 LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 20 de Novembro de 2004, a`s 11:51 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 4 Movimento em duas e treˆs dimenso˜es 2 4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 4.1.1 Ana´lise do Movimento de Proje´teis . . . . . . . . . . . . 2 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam0.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 2 LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 20 de Novembro de 2004, a`s 11:51 4 Movimento em duas e treˆs di- menso˜es 4.1 Problemas e Exercı´cios 4.1.1 Ana´lise do Movimento de Proje´teis P 4-37 (4-29/6 � edic¸a˜o) Uma bola e´ jogada do solo para o ar. A uma altura de ����� m a velocidade e´ � �� � �� ���������� em metros por se- gundo (i horizontal, j vertical). (a) Qual a altura ma´xima alcanc¸ada pela bola? (b) Qual sera´ a distaˆncia horizon- tal alcanc¸ada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola (mo´dulo e direc¸a˜o), no instante em que bate no solo? � (a) Chame de � o tempo necessa´rio para a bola atingir a velocidade dada. Neste caso teremos ���fiff �ffifl�� ����� � �! #"�$&% ��' ()ff �ffifl�� ����� � � " � $+* , % � , Eliminando � " entre estas duas equac¸o˜es obtemos - � � � , �.����� � $ ����� �0/�' cujas raı´zes sa˜o �1��/ � 2 �34 e �1� $65 ��� 5 / � . Substituin- do a raiz positiva na expressa˜o �! #" � �����7�.��� 2 � encontramos que � " � � - � �82:9;� - � m/s. Portanto a bola ira´ atingir uma altura ma´xima de (8< � � , " 5=% � ff � - � �fl , 5�ff ��� 2 fl � �8� m � (b) Como a componente horizontal da velocidade e´ sem- pre a mesma, temos > � � �?A@ 5!� " %CB � ff � � fl 5�ff � - � 8fl ��� 2 � 585 � 2D9 5�E m � (c) O mo´dulo da velocidade e´ � � F � , �? � � , " � G ff � � fl , �ff � - � �fl , � �H��� 3 9I� m/s � O aˆngulo que � faz com a horizontal e´ J � tan K * @ �8Lffi" � �? B � tan K * @ � - � � � B � � 5 � �4� L 90� E L ' ou seja, esta´ orientada � E L abaixo da horizontal. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 2 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o. “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Contents 5 Forc¸as e Movimento – I 2 5.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 5.2.1 Segunda Lei de Newton . . . . 2 5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas . . 2 5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton . 3 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 5 Forc¸as e Movimento – I 5.1 Questo˜es Q 5-?? Cite bla-bla-bla... � 5.2 Problemas e Exercı´cios 5.2.1 Segunda Lei de Newton E 5-7 (5-7/6 � edic¸a˜o) Na caixa de � kg da Fig. 5-36, sa˜o aplicadas duas forc¸as, mas somente uma e´ mostrada. A acelerac¸a˜o da caixa tambe´m e´ mostrada na figura. Determine a se- gunda forc¸a (a) em notac¸a˜o de vetores unita´rios e (b) em mo´dulo e sentido. � (a) Chamemos as duas forc¸as de ��� e ��� . De acordo com a segunda lei de Newton, ��� ���� ����� , de modo que ������������� � . Na notac¸a˜o de vetores unita´rios temos ���������ff� e �fi�fl��ffi � sen !��#" � �$ffi �&%('#)*!��#",+��fl��-.�/��ffi0�21 34+�1 Portanto ���5� 67�98(6:��-#8*�; �6<��8=6:��ffi0�21 3>8(+��?�@�.� � AB��!#�&�/�C�;ffi9+=D N 1 (b) O mo´dulo de ��� e´ dado por E ���GF E � �IH E � �IJ �GK 6:��!9�98 � L6:� �;ffi,8 � �L!�M N 1 O aˆngulo que ��� faz com o eixo N positivo e´ dado por tan OP� E �IJ E �IH � � �;ffi ��!#� ���21 -#Q@-;1 O aˆngulo e´ ou !�! " ou !�! " Rffi0M9� " �L�;ffi0! " . Como ambas componentes E �SH e E �IJ sa˜o negativas, o valor correto e´ �*ffi,! " . 5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas E 5-11 (5-???/6 � ) Quais sa˜o a massa e o peso de (a) um treno´ de -�!9� kg e (b) de uma bomba te´rmica de 3#�;ffi kg? � (a) A massa e´ igual a -9!�� kg, enquanto que o peso e´ T �U�WVX�Y6Z-�!9�98=6Z[;1 M98&�L-;ffi]\ 3 N. (b) A massa e´ igual a 3#�;ffi kg, enquanto que o peso e´ T �U�WVX�Y6^3#�;ffi,8=6Z[;1 M98&��32ffi ��Q*1 M N. E 5-14 (5-11/6 � ) Uma determinada partı´cula tem peso de ��� N num ponto onde V_�`[21 M m/s � . (a) Quais sa˜o o peso e a massa da partı´cula, se ela for para um ponto do espac¸o onde Va�b321 [ m/s � ? (b) Quais sa˜o o peso e a massa da partı´cula, se ela for deslocada para um ponto do espac¸o onde a acelerac¸a˜o de queda livre seja nula? � (a) A massa e´ �c� T V � �9� [;1 M ���;1 � kg 1 Num local onde V��d321 [ m/s � a massa continuara´ a ser �;1 � kg, mas o peso passara´ a ser a metade: T �e�WVX�d6<�*1f��8=6^321 [98ff�dffi�ffi N 1 (b) Num local onde Vg��� m/s � a massa continuara´ a ser �;1 � kg, mas o peso sera´ ZERO. E 5-18 (5-9/6 � ) (a) Um salame de ffi�ffi kg esta´ preso por uma corda a uma balanc¸a de mola, que esta´ presa ao teto por outra corda (Fig. 5-43a). Qual a leitura da balanc¸a? (b) Na Fig. 5- 43b, o salame esta´ suspenso por uma corda que passa por uma roldana e se prende a uma balanc¸a de mola que, por sua vez, esta´ presa a` parede por outra corda. Qual a leitura na balanc¸a? (c) Na Fig. 5-43c, a parede foi substituı´da por outro salame de ffi�ffi kg, a` esquerda, e o conjunto ficou equilibrado. Qual a leitura na balanc¸a agora? Em todos os treˆs casos a balanc¸a na˜o esta´ acelerando, o que significa que as duas cordas exercem forc¸a de igual magnitude sobre ela. A balanc¸a mostra a magnitude de qualquer uma das duas forc¸as a ela ligadas. Em cada uma das situac¸o˜es a tensa˜o na corda ligada ao salame tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame pois o salame na˜o esta´ acelerando. Portanto a leitura da balanc¸a e´ �fiV , onde � e´ a massa do salame. Seu valor e´ T �G6:ffi9ffi,8=6ZM;1 [98&�Yffi0�9M N 1 http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton P 5-21 (5-19/6 � ) Um foguete experimental pode partir do repouso e alcanc¸ar a velocidade de ffi,-���� km/h em ffi�1 M s, com acelerac¸a˜o constante. Qual a intensidade da forc¸a me´dia necessa´ria, se a massa do foguete e´ Q@�9� kg? � Basta usarmos E �c��� , onde E e´ a magnitude da forc¸a, � a acelerac¸a˜o, e � a massa do foguete. A acelerac¸a˜o e´ obtida usando-se uma relac¸a˜o simples da cinema´tica, a saber, ����� � . Para ��� ffi,-���� km/h � ffi0-9�����]!;1 - ��3�393 m/s, temos que � ��393�3��>ffi�1 M � �]3*\ m/s � . Com isto a forc¸a me´dia e´ dada por E �e���X�Y6<Q@���#8(6<�]3>\�8 �Yffi�1f� ffi,��� N 1 E 5-23 (5-??/6 � ) Se um neˆutron livre e´ capturado por um nu´cleo, ele pode ser parado no interior do nu´cleo por uma forc¸a forte. Esta forc¸a forte, que mante´m o nu´cleo coeso, e´ nula fora do nu´cleo. Suponha que um neˆutron livre com veloci- dade inicial de ffi�1 3 �ffi,��� m/s acaba de ser capturado por um nu´cleo com diaˆmetro � � ffi,��� ��� m. Admitindo que a forc¸a sobre o neˆutron e´ constante, determine sua intensidade. A massa do neˆutron e´ ffi�1 -#\� ffi,��� � � kg. � A magnitude da forc¸a e´ E � ��� , onde � e´ a acelerac¸a˜o do neˆutron. Para determinar a acelerac¸a˜o que faz o neˆutron parar ao percorrer uma distaˆncia � , usamos � � ��� � � $�����/1 Desta equac¸a˜o obtemos sem problemas �g� � � ��� � � ��� � � 6:ffi�1 3ff ffi,���=8 � �;6 ffi0� � �fi� 8 �fl��[21 Mff ffi0� � � m/s � 1 A magnitude da forc¸a e´ E �U���g�G6:ffi�1 -#\� ffi0� � � � 8(67[;1 Mfl ffi,� � � 8ff�Yffi0-;1 3 N 1 E 5-28 (5-15/6 � ) Veja a Fig. 5-27. Vamos considerar a massa do bloco igual a M;1fQ kg e o aˆngulo OL� !9� " . Determine (a) a tensa˜o na corda e (b) a forc¸a normal aplicada sobre o bloco. (c) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco se a corda for cortada. � (a) O diagrama de corpo isolado e´ mostrado na Fig. 5- 27 do livro texto. Como a acelerac¸a˜o do bloco e´ zero, a segunda lei de Newton fornece-nos ffi � �fiV sen O � � � � �fiV %('9);O � �;1 A primeira destas equac¸o˜es nos permite encontrar a tensa˜o na corda: ffi ���fiV sen O �Y6ZM21 Q98(6Z[21 M#8 sen !��#"���3#� N 1 (b) A segunda das equac¸o˜es acima fornece-nos a forc¸a normal: � �e�WV %='9)*OP�Y6ZM;1fQ�8=6Z[21 M#8*%('#)*!��9"��_\@� N 1 (c) Quando a corda e´ cortada ela deixa de fazer forc¸a sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente N da segunda lei de Newton fica sendo agora ���fiV sen OC� ��� , de modo que �g�d��� sen O �Y� 6Z[;1 M98 sen !9�#" �Y��321 [ m/s � 1 O sinal negativo indica que a acelerac¸a˜o e´ plano abaixo. E 5-33 (5-???/6 � ) Um ele´tron e´ lanc¸ado horizontalmente com velocidade de ffi91 � dffi,��� m/s no interior de um campo ele´trico, que exerce sobre ele uma forc¸a vertical constante de 3/1 Q! ?ffi,��� ��" N. A massa do ele´tron e´ [;1 ffi�ffi# ?ffi,���%$ � kg. Determine a distaˆncia vertical de deflexa˜o do ele´tron, no intervalo de tempo em que ele percorre !��mm, horizon- talmente. � A acelerac¸a˜o do ele´tron e´ vertical e, para todos efeitos, a u´nica forc¸a que nele atua e´ a forc¸a ele´trica; a forc¸a gravitacional e´ totalmente desprezı´vel frente a` forc¸a ele´trica. Escolha o eixo N no sentido da velocidade inicial e o eixo & no sentido da forc¸a ele´trica. A origem e´ escolhida como sendo a posic¸a˜o inicial do ele´tron. Como a acelerac¸a˜o e forc¸a sa˜o constantes, as equac¸o˜es cinema´ticas sa˜o N��'� � � e &X� � � � � � � � � E � � ��( onde usamos E � ��� para eliminar a acelerac¸a˜o. O tempo que o ele´tron com velocidade � � leva para viajar uma distaˆncia horizontal de N$� !9� mm e´ � � N)�*� � e sua deflexa˜o na direc¸a˜o da forc¸a e´ & � � � E � + N � ��, � � � � + 3/1 Q ffi0�-� �." [21 ffi9ffi/ ffi0� �%$ � , + !��ff ffi0�-�%$ ffi�1f� ffi,� � , � � ffi�1fQ! ffi,� �%$ m �L�;1 ���;ffi Q mm 1 http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 ´E jogando ele´trons contra um tubo de imagens que sua TV funciona... Isto sera´ estudado nos capı´tulos 23 e 24 do livro. P 5-38 (5-29/6 � ) Uma esfera de massa ! ffi0��� � kg esta´ suspensa por uma corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera de maneira que ela fac¸a um aˆngulo de !#\ " com a verti- cal de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade da forc¸a aplicada e (b) a tensa˜o na corda. � (a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado para a esfera tem treˆs forc¸as: a tensa˜o ffi na corda, apon- tando para cima e para a direita e fazendo um aˆngulo O � !>\ " com a vertical, o peso �WV apontando verti- calmente para baixo, e a forc¸a E da brisa, apontando horizontalmente para a esquerda. Como a esfera na˜o esta´ acelerada, a forc¸a resultante deve ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as com- ponentes horizontais e verticais das forc¸as satisfazem as relac¸o˜es, respectivamente, ffi sen O�� E � � ( ffi %('#)*O�� �fiV � �;1 Eliminando ffi entre estas duas equac¸o˜es obtemos E �U�WV tan O � 6Z!ff ffi0� � � 8(6Z[21 M#8 tan !>\@" � �;1 �;ffi/ ffi0� �%$ N 1 (b) A tensa˜o pedida e´ ffi � �fiV %('9);O � 6Z! ffi,��� � 8(6Z[21 M#8 %('9)2!#\ " �e!21 -9M ffi0� �%$ N 1 Perceba que talvez fosse mais simples ter-se primeiro determinado ffi e, a seguir, E , na ordem contra´ria do que pede o problema. P 5-39 (5-??/6 � ) Uma moc¸a de 39� kg e um treno´ de M;1 3 kg esta˜o sobre a superfı´cie de um lago gelado, separados por ffi,Q m. A moc¸a aplica sobre o treno´ uma forc¸a horizontal de Q;1 � N, puxando-o por uma corda, em sua direc¸a˜o. (a) Qual a acelerac¸a˜o do treno´? (b) Qual a acelerac¸a˜o da moc¸a? (c) A que distaˆncia, em relac¸a˜o a` posic¸a˜o inicial da moc¸a, eles se juntam, supondo nulas as forc¸as de atrito? � (a) Como o atrito e´ desprezı´vel, a forc¸a da moc¸a no treno´ e´ a u´nica forc¸a horizontal que existe no treno´. As forc¸as verticais, a forc¸a da gravidade e a forc¸a normal do gelo, anulam-se. A acelerac¸a˜o do treno´ e´ ��� � E � � � Q;1 � M21 3 �L�;1 -9� m/s � 1 (b) De acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a do treno´ na moc¸a tambe´m e´ de Q*1f� N. A acelerac¸a˜o da moc¸a e´, portanto, ��� � E � � � Q*1f� 3#� ���21 ffi,! m/s � 1 (c) A acelerac¸a˜o do treno´ e da moc¸a tem sentidos opos- tos. Suponhamos que a moc¸a parta da origem e mova-se na direc¸a˜o positiva do eixo N . Sua coordenada e´ N � � � � � � � � 1 O treno´ parte de N �YN � � ffi Q m e move-se no sentido negativo de N . Sua coordenada e´ dada por N � �eN � � � � � � � � 1 Eles se encontram quando N�� ��N � , ou seja quando � � � � � � �eN � � � � ��� � � ( donde tiramos facilmente o instante do encontro: � � � �]N � � � ��� ( quando enta˜o a moc¸a tera´ andado uma distaˆncia N �fl� � � ��� � � � N � ��� � � ��� � 6:ffi,Q98(67�;1 ffi0!98 �;1 ffi0!� �;1 -9� �L�;1 - m 1 P 5-40 (5-31/6 � ) Dois blocos esta˜o em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada a um dos blo- cos, como mostrado na Fig. 5-45. (a) Se � � � �;1 ! kg e ��� �flffi91 � kg e E ��!21 � N, determine a forc¸a de contato entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forc¸a E for aplicada a � � , ao inve´s de � � , a forc¸a de contato entre os dois blocos e´ �;1 ffi N, que na˜o e´ o mesmo valor obtido em (a). Explique a diferenc¸a. � (a) O diagrama de corpo isolado para a massa � � tem quatro forc¸as: na vertical, � �IV e � � , na horizontal, para a direita a forc¸a aplicada E e, para a esquerda, a forc¸a de contato �� que ��� exerce sobre � � . O diagrama de corpo isolado para a massa � � conte´m treˆs forc¸as: na http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 vertical, ��� V e � � e, na horizontal, apontando para a direita, a forc¸a . Note que o par de forc¸as �� e e´ um par ac¸a˜o-reac¸a˜o, conforme a terceira lei de Newton. A segunda lei de Newton aplicada para � � fornece E � ��e� � � ( onde � e´ a acelerac¸a˜o. A segunda lei de Newton apli- cada para ��� fornece ��e��� �41 Observe que como os blocos movem-se juntos com a mesma acelerac¸a˜o, podemos usar o mesmo sı´mbolo � em ambas equac¸o˜es. Da segunda equac¸a˜o obtemos � � � � � que substitu- ida na primeira equac¸a˜o dos fornece : �� E ��� � � R� � � 6Z!21 �98(6 ffi�1f��8 �*1 !� effi91 � �dffi91 ffi N 1 (b) Se � for aplicada em ��� em vez de � � , a forc¸a de contato e´ �� E � � � � R� � � 6Z!21 �98(6<�*1 !98 �*1 !� effi91 � �L�;1 ffi N 1 A acelerac¸a˜o dos blocos e´ a mesma nos dois casos. Como a forc¸a de contato e´ a u´nica forc¸a aplicada a um dos blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco a mesma acelerac¸a˜o que ao bloco ao qual � e´ aplicada. No segundo caso a forc¸a de contato acelera um bloco com maior massa do que no primeiro, de modo que deve ser maior. P 5-44 (5-33/6 � ) Um elevador e sua carga, juntos, teˆm massa de ffi,-���� kg. Determine a tensa˜o no cabo de sustentac¸a˜o quando o el- evador, inicialmente descendo a ffi,� m/s, e´ parado numa distaˆncia de 3>� m com acelerac¸a˜o constante. � O diagrama de corpo isolado tem duas forc¸as: para cima, a tensa˜o ffi no cabo e, para baixo, a forc¸a �WV da gravidade. Se escolhermos o sentido para cima como positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que ffi ���WVg� ��� , onde � e´ a acelerac¸a˜o. Portanto, a tensa˜o e´ ffi �e�C6 V� �*8 1 Para determinar a acelerac¸a˜o que aparece nesta equac¸a˜o usamos a relac¸a˜o � � � � � � $��� & ( onde a velocidade final e´ � � � , a velocidade inicial e´ � � � ��ffi � e &_� ��3#� , a coordenada do ponto final. Com isto, encontramos �X� � � � � ��& � � 6 ��ffi,�98 � �;6:��3>��8 � ffi � \ �dffi91f\*ffi m/s � 1 Este resultado permite-nos determinar a tensa˜o: ffi �e�C6 V� �*8ff�Y6 ffi0-9���98 � [21 M� �ffi�1 \>ffi����Yffi�1 M! ffi,� � N 1 P 5-52 (5-35/6 � ) Uma pessoa de M9� kg salta de pa´ra-quedas e experimenta uma acelerac¸a˜o, para baixo, de �;1 Q m/s � . O pa´ra-quedas tem Q kg de massa. (a) Qual a forc¸a exercida, para cima, pelo ar sobre o pa´ra-quedas? (b) Qual a forc¸a exercida, para baixo, pela pessoa sobre o pa´ra-quedas? � (a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+pa´ra- quedas conte´m duas forc¸as: verticalmente para cima a forc¸a E � do ar, e para baixo a forc¸a gravitacionalde um objeto de massa � �Y67M��& �Q�8&�LM9Q kg, correspondente a`s massas da pessoa e do pa´ra-quedas. Considerando o sentido para baixo como positivo, A se- gunda lei de Newton diz-nos que �WV � E � �U��� ( onde � e´ a acelerac¸a˜o de queda. Portanto, E � �U�C6 Vg� �*8ff�G6ZM#Q�8(67[;1 M��C�;1 Q98 �L-9��� N 1 (b) Consideremos agora o diagrama de corpo isolado apenas para o pa´ra-quedas. Para cima temos E � , e para baixo temos a forc¸a gravitacional sobre o pa´ra-quedas de massa ��� . Ale´m dela, para baixo atua tambe´m a forc¸a E � , da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos enta˜o que � � V� E � � E � �e� � � , donde tiramos E � �e� � 6 �P� V;8 E � � 6<Q�8=67�*1fQ�� [21 M#8 R-#�@� � Q�M�� N 1 P 5-55 (5-???/6 � ) Imagine um mo´dulo de aterrisagem se aproximando da superfı´cie de Callisto, uma das luas de Ju´piter. Se o motor fornece uma forc¸a para cima (empuxo) de !9��-�� N, o mo´dulo desce com velocidade constante; se o mo- tor fornece apenas ���@�9� N, o mo´dulo desce com uma acelerac¸a˜o de �21 !9[ m/s � . (a) Qual o peso do mo´dulo de aterrisagem nas proximidades da superfı´cie de Callisto? (b) Qual a massa do mo´dulo? (c) Qual a acelerac¸a˜o em queda livre, pro´xima a` superfı´cie de Callisto? http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 � Chamemos de V a acelerac¸a˜o da gravidade perto da superfı´cie de Callisto, de � a massa do mo´dulo de ater- risagem, de � a acelerac¸a˜o do mo´dulo de aterrisagem, e de E o empuxo (a forc¸a para cima). Consideremos o sentido para baixo como o sentido positivo. Enta˜o �WV�� E �`��� . Se o empuxo for E � �`!#�@-9� N, a acelerac¸a˜o e´ zero, donde vemos que �fiV � E ���e�21 Se o empuxo for E �����9�@��� N, a acelerac¸a˜o e´ �*� � �21 !9[ m/s � , e temos �WV � E � ����� � 1 (a) A primeira equac¸a˜o fornece o peso do mo´dulo de aterrisagem: T ���fiVg� E ����!#�@-�� N 1 (b) A segunda equac¸a˜o fornece a massa: �c� T � E � � � � !#�@-����?���@�9� �;1 !�[ � �*1 \� ffi,� $ kg 1 (c) O peso dividido pela massa fornece a acelerac¸a˜o da gravidade no local, ou seja, VX� T � � !#�@-�� �*1 \ ffi0� $ �Yffi�1f� m/s � 1 P 5-57 (5-41/6 � ) Uma corrente formada por cinco elos, com massa de �;1 ffi0� kg cada um, e´ levantada verticalmente com uma acelerac¸a˜o constante de �*1fQ@� m/s � , como mostrado na Fig. 5-51. Determine (a) as forc¸as que atuam entre elos adjacentes, (b) a forc¸a � exercida sobre o elo superior pela pessoa que levanta a corrente e (c) a forc¸a resul- tante que acelera cada elo. � (a) Enumere os elos de baixo para cima. As forc¸as atuando no elo bem de baixo sa˜o a forc¸a da gravidade �WV , para baixo, e a forc¸a E � � do elo 2 sobre o elo 1, para cima. Suponha a direc¸a˜o “para cima” como sendo positiva. Aplicada ao elo 1, a segunda Lei de Newton fornece E � � � �WVg�e��� . Portanto E � ���U�C6 V �*8ff�G6Z�21 ffi,�98(67[;1 M� �;1 Q98 �Yffi�1f�@! N 1 As forc¸as atuando no elo 2 sa˜o: a forc¸a �fiV da gravidade, para baixo, a forc¸a E � � para baixo (do elo 1 sobre o elo 2), e a forc¸a E $ � do elo 3, para cima. A segunda Lei de Newton para o segundo elo e´ E $ ��� E �:���R�WV � ��� , de modo que E $ �5� � 6^V� �*8 E �:� � 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M� $�*1fQ�8 �ffi�1f�@! �L�;1 3#- N 1 Para o elo 3 temos E � $ � E � $ � �WVg�e��� , ou seja, E � $ � � 6^V� �*8 E � $ � 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M� $�*1fQ�8 $�*1 39- ��!21 -9[ N ( onde usamos E � $ � E $ � . Para o elo 4 temos E � � � E $ � � �WVg�e��� , ou seja, E � � � � 6^V� �*8 E $ � � 6Z�;1 ffi,8=6Z[21 M� $�*1fQ�8 !;1 -�[ �e3/1 [#� N ( onde usamos E $ ��� E � $ . (b) Para o elo do topo temos E � E � � �C�fiVW�_��� , ou seja, E � � 6^V� �>8 E � � � 6Z�21 ffi 8(6Z[21 M� $�*1fQ�8 R321 [9���e-21 ffi Q N ( onde usamos E � � � E � � . (c) Cada elo tem a mesma massa e a mesma acelerac¸a˜o, de modo que a forc¸a resultante em cada um deles e´ E res �����X�d6Z�21 ffi 8(6<�*1fQ�8ff�e�21 �9Q N 1 P 5-58 (5-43/6 � ) Um bloco de massa � � � !;1 \ kg esta´ sobre um plano com !�� " de inclinac¸a˜o, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprezı´veis, e tem na outra extremidade um segundo bloco de massa � � � �;1 ! kg, pendurado verticalmente (Fig. 5-52). Quais sa˜o (a) os mo´dulos das acelerac¸o˜es de cada bloco e (b) o sentido da acelerac¸a˜o de � � ? (c) Qual a tensa˜o na corda? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � (a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado para cada um dos blocos. Para ��� , apontando para cima temos a magnitude ffi da tensa˜o na corda, e apontando para baixo o peso � �(V . Para ��� , temos treˆs forc¸as: (i) a tensa˜o ffi apontando para cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 � perpendicular ao plano inclinado e apontando para cima e para a esquerda, e (iii) a forc¸a peso � �IV , apon- tando para baixo, fazendo um aˆngulo O$� !�� " com o prolongamento da normal. Para � � , escolhemos o eixo N paralelo ao plano incli- nado e apontando para cima, e o eixo & na direc¸a˜o da normal ao plano. Para � � , escolhemos o eixo & apon- tando para baixo. Com estas escolhas, a acelerac¸a˜o dos dois blocos pode ser representada pela mesma letra � . As componentes N e & da segunda lei de Newton para � � sa˜o, respectivamente, ffi � � � V sen O � � � � ( � � � �IV %='9)*O � �;1 A segunda lei de Newton para � � fornece-nos � � V � ffi �e� � �41 Substituindo-se ffi � � � � �� � V sen O (obtida da primeira equac¸a˜o acima), nesta u´ltima equac¸a˜o, obte- mos a acelerac¸a˜o: � � 6Z��� � � � sen O98 V ���ff R��� � A �*1 !�� !21f\ sen !9� " D 6Z[21 M#8 !;1 \� �;1 ! ���21f\@!9Q m/s � 1 (b) O valor de � acima e´ positivo, indicando que a acelerac¸a˜o de � � aponta para cima do plano inclinado, enquanto que a acelerac¸a˜o de � � aponta para baixo. (c) A tensa˜o ffi na corda pode ser obtida ou de ffi � � � �� R� � V sen O � 6Z!21f\�8(A �;1 \]!9Q [;1 M sen !�� " D � �@�;1 M@3 N ( ou, ainda, da outra equac¸a˜o: ffi � � � V� R� � � � 6<�*1 !98(A [;1 M��C�;1 \]!9Q]D/���@�21 M�3 N 1 P 5-60 (5-45/6 � ) Um bloco e´ lanc¸ado para cima sobre um plano incli- nado sem atrito, com velocidade inicial � � . O aˆngulo de inclinac¸a˜o e´ O . (a) Que distaˆncia ao longo do plano ele alcanc¸a? (b) Quanto tempo leva para chegar ate´ la´? (c) Qual sua velocidade, quando retorna e chega embaixo? Calcule numericamente as respostas para OG� !#� " e � � �L!;1fQ m/s. � O diagrama de corpo isolado conte´m duas forc¸as: a forc¸a N normal a` superfı´cie, e o peso �WV , para baixo. Escolha o eixo N paralelo ao plano e apontando para baixo, na direc¸a˜o da acelerac¸a˜o, e o eixo & na direc¸a˜o da forc¸a normal. A componente N da segunda lei de New- ton nos diz que �WV sen OP�e��� ( de modo que a acelerac¸a˜o e´ �P�eV sen O . (a) Escolha a origem embaixo, no ponto de partida. As equac¸o˜es cinema´ticas para o movimento ao longo do eixo N sa˜o Ne� � � � � � � ��� e � � � � � � . O bloco para quando �C� � . A segunda equac¸a˜o nos diz que a parada ocorre para � �G� � � ��� . A coordenada em que o corpo para e´ N � � � + � � � � , � � � � � � � � , � � � � � � � � � �d� � � � � � V sen O � � � � � 6 ��!;1fQ�8 � [;1 M sen !#� "�� �d��ffi91 ffi,M m 1 (b) O tempo decorrido ate´ parar e´ � �Y� � � � �Y� � � V sen O �Y� ��!21 Q [;1 M sen !#� " �e�21 ->\ 3 s 1 (c) Primeiro coloque N���� na equac¸a˜o NW� � � � � � � ��� e resolva-a para � . O resultado e´ � �Y� �*� � � �Y� ��� � V sen O �fl� �26:��!;1fQ�8 [;1 M sen !#� " �Yffi�1 !9Q s 1 Neste instante a velocidade e´ �X��� � � � � � � � � ��� � � ��� � �?�*� � �Y� � � ( como era de esperar-se pois na˜o existe dissipac¸a˜o no problema. � NOTA: no capı´tulo 8 iremos aprender a resolver este problema de um modo bem mais fa´cil, usando conservac¸a˜o da energia. Chamando de � a altura que o bloco sobe, temos � � ��� � �e�WV�� 1 Portanto o mo´dulo da distaˆncia N ao longo do plano pode ser facilmente extraida da relac¸a˜o trigonome´trica N sen OP��� , ou seja, N�� � � � V sen O ( que coincide com o mo´dulo do valor anteriormente cal- culado. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 P 5-63 (5-47/6 � ) Um macaco de ffi,� kg sobe por uma corda de massa de- sprezı´vel, que passa sobre o galho de uma a´rvore, sem atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de ffi Q kg, que esta´ no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o mo´dulo da acelerac¸a˜o mı´nima que o macaco deve ter para levantar a caixa do solo? Se, apo´s levantar a caixa, o macaco parar de subir e ficar agarrado a` corda, quais sa˜o (b) sua acelerac¸a˜o e (c) a tensa˜o na corda? � (a) Consideremos “para cima” como sendo os senti- dos positivos tanto para o macaco quanto para a caixa. Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo com uma forc¸a de magnitude E . De acordo com a terceira lei de Newton, a corda puxa o macaco com uma forc¸a de mesma magnitude, de modo que a segunda lei de New- ton aplicada ao macaco fornece-nos E � � � VX�e� � � � ( onde � � e � � representam a massa e a acelerac¸a˜o do macaco, respectivamente. Como a corda tem massa de- sprezı´vel, a tensa˜o na corda e´ o pro´prio E . A corda puxa a caixa para cima com uma forc¸a de mag- nitude E , de modo que a segunda lei de Newton aplicada a` caixa e´ E � � ���,V �U����� � ( onde ��� e � � representam a massa e a acelerac¸a˜o da caixa, respectivamente, e � e´ a forc¸a normal exercida pelo solo sobre a caixa. Suponhamos agora que E � E ����� , onde E ����� e´ a forc¸a mı´nima para levantar a caixa. Enta˜o � � � e � �fi� � , pois a caixa apenas ‘descola’ do cha˜o, sem ter ainda comec¸ado a acelerar. Substituindo-se estes val- ores na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que E � � � V que, quando substituida na segunda lei de Newton para o macaco (primeira equac¸a˜o acima), nos permite obter a acelerac¸a˜o sem problemas: � � � E � � � V � � � 6Z� � � � � 8 V � � � 6 ffi,Q���ffi0�98=6Z[21 M#8 ffi,� �e321 [ m/s � 1 (b) Para a caixa e para o macaco, a segunda lei de New- ton sa˜o, respectivamente, E � ���,V � � ��� � ( E � � ��V � � �/��� 1 Agora a acelerac¸a˜o do pacote e´ para baixo e a do macaco para cima, de modo que � � �d� � � . A primeira equac¸a˜o nos fornece E �U���;6 V� � �@8ff�����*6^VP� ����8 ( que quando substituida na segunda equac¸a˜o acima nos permite obter � � : ��� � 6Z� ��� � ��8 V � � � � � � 6 ffi,Q��$ffi,�98 V ffi,Q� �ffi0� �L� m/s � 1 (c) Da segunda lei ne Newton para a caixa podemos obter que E �U���26 V � ����8ff�G6:ffi Q�8=6Z[;1 M��C�;1 �#8ff�flffi �@� N 1 P 5-67 (5-49/6 � ) Um bloco de Q kg e´ puxado sobre uma superfı´cie hori- zontal, sem atrito, por uma corda que exerce uma forc¸a E � ffi,� N, fazendo um aˆngulo O�� ��Q " com a hori- zontal, conforme a Fig. 5-57. (a) Qual a acelerac¸a˜o do bloco? (b) A forc¸a E e´ lentamente aumentada. Qual e´ esta forc¸a no instante anterior ao levantamento do bloco da superfı´cie? (c) Qual a acelelra¸ca˜o nesse mesmo in- stante? � (a) A u´nica forc¸a capaz de acelerar o bloco e´ fornecida pelacomponente horizontal da forc¸a aplicada. Portanto, a acelerac¸a˜o do bloco de massa �c� Q kg e´ dada por �g� E %('#)2��Q " � � ffi,� %('#)2��Q " Q ���*1 ffi0M m/s � 1 (b) Enquanto na˜o existir movimento vertical do bloco, a forc¸a total resultante exercida verticalmente no bloco sera´ dada por E sen �9Q " � � �WVX�e� ( onde � representa a forc¸a normal exercida pelo solo no bloco. No instante em que o bloco e´ levantado teremos � � � . Substituindo este valor na equac¸a˜o acima e resolvendo-a obtemos E � �fiV sen �9Q " � 67Q�8=6Z[21 M#8 sen ��Q " �dffi9ffi0- N 1 (c) A forc¸a horizontal neste instante e´ E %='9)2�9Q " , onde E � ffi9ffi0- Newtons. Portanto, a acelerac¸a˜o horizontal sera´ �g� E %='9)2�9Q " � � ffi9ffi0- %('9)/��Q " Q �L�*ffi m/s � 1 http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:41 A acelerac¸a˜o vertical continuara´ a ser ZERO pois a forc¸a vertical lı´quida e´ zero. P 5-70 (5-53/6 � ) Um bala˜o de massa � , com ar quente, esta´ descendo, verticalmente com uma acelerac¸a˜o � para baixo (Fig. 5- 59). Que quantidade de massa deve ser atirada para fora do bala˜o, para que ele suba com uma acelerac¸a˜o � (mesmo mo´dulo e sentido oposto)? Suponha que a forc¸a de subida, devida ao ar, na˜o varie em func¸a˜o da massa (carga de estabilizac¸a˜o) que ele perdeu. � As forc¸as que atuam no bala˜o sa˜o a forc¸a ��� da gravidade, para baixo, e a forc¸a � � do ar, para cima. Antes da massa de estabilizac¸a˜o ser jogada fora, a acelerac¸a˜o e´ para baixo e a segunda lei de Newton fornece-nos E � � � VX�d� � � ( ou seja E � � � 6 V � �*8 . Apo´s jogar-se fora uma massa � , a massa do bala˜o passa a ser � � � e a acelerac¸a˜o e´ para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos agora a seguinte expressa˜o E � �U6 � � ��8 VX�d6 � � ��8��41 Eliminando E � entre as duas equac¸o˜es acima encon- tramos sem problemas que �c� � � � �� CV � � � ffi ?V-��� 1 http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 9 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o. “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Contents 6 Forc¸as e Movimento – II 2 6.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 6.2.1 Propriedades do Atrito . . . . . 2 6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Ve- locidade Limite . . . . . . . . . 5 6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 6 6.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 8 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 6 Forc¸as e Movimento – II 6.1 Questo˜es Q 6-10 Cite bla-bla-bla... � 6.2 Problemas e Exercı´cios 6.2.1 Propriedades do Atrito E 6-1 (6-1 na 6 � edic¸a˜o) Um arma´rio de quarto com massa de ��� kg, incluindo gavetas e roupas, esta´ em repouso sobre o assoalho. (a) Se o coeficiente de atrito esta´tico entre o mo´vel e o cha˜o for ��� ��� , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa devera´ aplicar sobre o arma´rio para coloca´-lo em movi- mento? (b) Se as gavetas e as roupas, que teˆm � kg de massa, forem removidas antes do arma´rio ser em- purrado, qual a nova forc¸a mı´nima? � (a) O diagrama de corpo livre deste problema tem quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita esta´ a forc¸a aplicada � , para a esquerda a forc¸a de atrito � . Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a nor- mal do piso, para baixo a forc¸a ��� da gravidade. Escolhando o eixo � na horizontal e o eixo � na vertical. Como o arma´rio esta´ em equilı´brio (na˜o se move), a se- gunda lei de Newton fornece-nos como componentes � e � as seguintes equac¸o˜es ����� � ��� fffi� �ffifl � ��� Donde vemos que ��� � e ff!� �ffifl . Quando � aumenta, � aumenta tambe´m, ate´ que � � "$# ff . Neste instante o arma´rio comec¸a a mover-se. A forc¸a mı´nima que deve ser aplicada para o arma´rio comec¸ar a mover-se e´ �%� " # ff&� " # �ffifl �(' ��� ���*) ' �+�,) '.- � /+) �10 �*� N � (b) A equac¸a˜o para � continua a mesma, mas a massa e´ agora �+� � � �10 / kg. Portanto �%� "$# �2fl �(' ��� �+�,) '30 /,) '.- � /+) � � 0 � N � P 6-2 (6-3 na 6 � ) Um jogador de massa � � - kg escorrega no campo e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito � � �� 4� N. Qual e´ o coeficiente de atrito cine´tico "65 entre o jogador e o campo? � Neste problema, o diagrama de corpo livre tem ape- nas treˆs forc¸as: Na horizontal, apontando para a es- querda, a forc¸a � de atrito. Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a normal do solo sobre o jogador, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade. A forc¸a de atrito esta´ relacionada com a forc¸a normal atrave´s da relac¸a˜o �7� "65 ff . A forc¸a normal ff e´ obtida considerando-se a segunda lei de Newton. Como a com- ponete vertical da acelerac ca˜o e´ zero, tambe´m o e´ a componente vertical da segunda lei de Newton, que nos diz que fffi� �ffifl � ��� ou seja, que ff8� �ffifl . Portanto " 5 � � ff � � �2fl � �� 4� ' - ) '9- � /,) � ��� :��;� E 6-8 (6-5 na 6 � ) Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de �*� kg, para moveˆ-la sobre o cha˜o, com uma forc¸a de 0*0 � N. O coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� <,� . (a) Qual o mo´dulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a˜o da caixa? � (a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a � que a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda a forc¸a de atrito � . Na vertical, para cima a forc¸a normal do piso, e para baixo a forc¸a ��� da gravidade. A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por �8� " 5 ff , onde " 5 e´ o coeficiente de atrito cine´tico. Como a componente vertical da acelerac¸a˜o e´ zero, a segunda lei de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo- nentes verticais da forc¸a deve ser zero: ff(� �ffifl � � , ou seja, que ff&� �2fl . Portanto �7� "$5 ff&� "$5 �2fl �%' ��� <,�*) ' �,�*) '9- � /,) � �=/ - N � (b) A acelerac¸a˜o e´ obtida da componente horizontal da segunda lei de Newton. Como �1���7� ��> , temos > � � �?� � � 0,0 � � �=/ - �*� � ���@�4: m/s A*� http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 E 6-11 (6-9 na 6 � ) Uma forc¸a horizontal � de � 0 N comprime um bloco pesando � N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O coeficiente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´ ��� : , e o coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� � . Suponha que inicialmente o bloco na˜o esteja em movimento. (a) O bloco se movera´? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede sobre o bloco, em notac¸a˜o de vetores unita´rios? � (a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua- tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita, temos a forc¸a � e apontando para a esquerda a forc¸a normal ff . Na vertical, apontandoverticalmente para baixo temos o peso �2fl , e apontando para cima a forc¸a de atrito � . Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a magnitude � da forc¸a de fricc¸a˜o nevessa´ria para mante- lo sem acelerar bem como encontrar a forc¸a da parede sobre o bloco. Se ��� " # ff o bloco na˜o desliza pela parede mas se ��� "$# ff o bloco ira´ deslizar. A componente horizontal da segunda lei de Newton re- quer que � � ff � � , de modo que � � ff � � 0 N e, portanto, " # ff � ' ��� :,) ' � 0 ) � �� 0 N. A componente vertical diz que � � �ffifl � � , de modo que �7� �2fl � � N. Como ��� " # ff , vemos que o bloco na˜o desliza. (b) Como o bloco na˜o se move, � � � N e ff � � 0 N. A forc¸a da parede no bloco e´ ��� �(� ff�� ��� �(' � � 0 �� � � ) N � NOTE: os resultados sa˜o radicalmente diferentes se por engano usassemos " 5 em vez de "$# ! P 6-17 (6-11 na 6 � ) Um trabalhador deseja empilhar um monte de areia, em forma de cone, dentro de uma a´rea circular. O raio do cı´rculo e´ � e nenhuma areia vaza para fora do cı´rculo (Fig. 6-22). Se "�� e´ o coeficiente de atrito esta´tico en- tre a camada de areia da suprfı´cie inclinada e a camada imediatamente abaixo (sobre a qual a camada superior pode deslizar), mostre que o maior volume de areia que pode ser empilhado desta forma e´ � "�� �����4< . (O volume de um cone e´ ���ff�4< , onde � e´ a a´rea da base e � a altura do cone.) � A secc¸a˜o reta do cone e´ um triaˆngulo iso´sceles (tem dois lados iguais) cuja base mede 0 � e cuja altura e´ � . Como a a´rea da base e´ fixa, o problema consiste em ir-se depositando areia de modo a fazer � ter o maior valor possı´vel. Ao ir-se depositando areia a inclinac¸a˜o da superfı´cie lateral aumenta, ate´ tornar-se ta˜o grande que toda areia que for adicionada comec¸a deslizar. Desejamos determinar a maior altura � (i.e. a maior inclinac¸a˜o) para a qual a areia na˜o deslize. Para tanto consideramos o diagrama de corpo isolado de um gra˜o de areia na situac¸a˜o imediatamente de que a su- perfı´cie possa deslizar. Sobre tal gra˜o atuam treˆs forc¸as: a forc¸a fi � �2fl da gravidade, a forc¸a nornal ff e a forc¸a � do atrito que impede o gra˜o de deslizar. Como o gra˜o na˜o desliza, sua acelerac¸a˜o e´ zero. Escolhemos como eixo � um eixo paralelo a` superfı´cie e apontando para baixo, como eixo � um eixo apontando na mesma direc¸a˜o da normal ff , e chamamos de fl o aˆngulo que a superfı´cie lateral faz com a base. Com estas escolhas, as componente � e � da segunda lei de Newton sa˜o dadas, respectivamente, por �2fl sen fl � � � � fffi� �2fl�ffi! #"�fl � ��� Para que o gra˜o na˜o deslize devemos ter ��� " � ff . Isto significa ter-se �ffifl sen fl � " � �2fl�ffi! $" fl isto e´ tan fl � " � . A superfı´cie do cone tera´ a maior inclinac¸a˜o (e, simultaneamente, a maior altura) quando tan fl � "%� � Entretanto, da figura vemos que � � � tan fl � � "�� . Como a a´rea da base e´ � � �&� A , temos, finalmente, que '(� �(� < � � "%� ��� < � P 6-22 (6-13 na 6 � ) Uma caixa de :*/ kg e´ puxada pelo cha˜o por uma corda que faz um aˆngulo de �=�#) acima da horizontal. (a) Se o coeficiente de atrito esta´tico e´ ��� � , qual a tensa˜o mı´nima necessa´ria para iniciar o movimento da caixa? (b) Se " 5 � ��� <+� , qual a sua acelerac¸a˜o inicial? � (a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forc¸as. Apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl � � � ) com a horizontal temos a tensa˜o * na corda. Hor- izontalmente para a esquerda aponta a forc¸a de atrito � . Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal do cha˜o sobre a caixa, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade. Quando a caixa ainda na˜o se move as acelerac¸o˜es sa˜o zero e, consequentemente, tambe´ o sa˜o as respectivas http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda lei de Newton nos fornece para as componente horizon- tal e vertical as equac¸o˜es, respectivamente, � ffi! #"�fl ��� � ��� � sen fl fffi� �2fl � ��� Esta equac¸o˜es nos dizem que � ��� ffi! #"�fl e que ff � �2fl ��� sen fl . Para a caixa permanecer em repouso � tem que ser menor do que " # ff , ou seja, � ffi! #"�fl � "$# ' �ffifl ��� sen fl,) � Desta expressa˜o vemos que a caixa comec¸ara´ a mover- se quando a tensa˜o � for tal que os dois lados da equac¸a˜o acima compemsem-se: � ffi! #"�fl � "$# ' �ffifl ��� sen fl,) � donde tiramos facilmente que � � "$# �2fl ffi $"�fl "$# sen fl � ' ���@�*) ' :*/+) '.- � /+) ffi $" � � ) ���@� sen �=� ) � <,�4� N � (b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton nos diz que � ffi $"�fl ��� � ��> � ff �� sen fl � �ffifl � ��� Agora, pore´m temos �7� "$5 ff&� "$5 ' �ffifl ��� sen fl,) � onde tiramos ff da segunda equac¸a˜o acima. Substi- tuindo este � na primeira das equac¸o˜es acima temos � ffi $"�fl � " 5 ' �2fl ��� sen fl,) � ��> � de onde tiramos facilmente que > � � ' ffi $" fl " 5 sen fl,) � � " 5 fl � ' <*�*�+) ' ffi! #" �=�$) ��� <+� sen �=�$) ) :*/ � ' ��� <,�,) '.- � /+) � �*� < m/s A4� Perceba bem onde se usa " # e onde entra " 5 . P 6-24 (6-15 na 6 � ) Na Fig. 6-24, A e B sa˜o blocos com pesos de �*� N e 0,0 N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi- lo de deslizar, sabendo que o coeficiente " � entre A e a mesa e´ ��� 0 . (b) Se o bloco C for repentinamente reti- rado, qual sera´ a acelerac¸a˜o do bloco A, sabendo que " 5 entre A e a mesa e´ ��� �=� ? � (a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O diagrama para o corpo B tem apenas duas forc¸as: para cima, a magnitude da tensa˜o � na corda, e para baixo a magnitude fi�� do peso do bloco B. O diagrama para o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na hor- izontal, apontando para a direita temos a tensa˜o � na corda, e apontando para a esquerda a magnitude � da forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal ff exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o peso fi�� , peso total de A+C. Vamos supor que os blocos esta˜o parados (na˜o aceler- ados), e escolher o eixo � apontando para a direita e o eixo � apontando para cima. As componentes � e � da segunda lei de Newton sa˜o, respectivamente, � �?� � ��� fffi� fi�� � ��� Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como sendo positivo, obtendo que fi�� ��� � ��� Portanto temos que � � fi�� e, consequentemente, que �7��� � fi�� . Temos tambe´m que ff!� fi � . Para que na˜o ocorra deslizamento, e´ necessa´rio que � seja menor que "%� ff , isto e´ que fi � � "%� fi�� . O menor valor que fi � pode ter com os blocos ainda parados e´ fi�� � fi�� "%� � 0*0 ��� 0 � �*�=� N � Como o peso do bloco A e´ �*� N, vemos que o menor peso do bloco C e´ fi� � �,� � � �*� � :,: N � (b) Quando existe movimento, a segunda lei de New- ton aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos fornece as equac¸o˜es � � � � fi�� fl > � ff8� fi�� � ��� fi�� ��� � fi � fl > � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 Ale´m destas, temos � � " 5 ff , onde ff � fi�� (da segunda equac¸a˜o acima). Da terceira acima tiramos � � fi � � ' fi � �=fl�) > . Substituindo as duas u´ltimas ex- presso˜es na primeira equac¸a˜o acima obtemos fi � � fi � fl> � " 5 fi�� � fi�� fl > � Isolando > encontramos, finalmente, > � fl ' fi � � " 5 fi�� ) fi � fi�� � '9- � /,)�� 0,0 � ' ��� � �*) ' �*��)�� �*� 0*0 � 0 � < m/s A4� Perceba bem onde entra " � e onde se usa " 5 . 6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite P 6-30 (6-19 na 6 � ) O bloco � da Fig. 6-30 pesa ��,� N. O coeficiente de atrito esta´tico entre o bloco e a superfı´cie horizontal e´ ��� 0 � . Determine qual o peso ma´ximo do bloco � para o qual o sistema ainda permanece equilibrado. � No no´ onde o peso fi�� esta´ aplicado temos treˆs forc¸as aplicadas: (i) o peso fi � , para baixo, (ii) uma forc¸a � , para a direita, fazendo um aˆngulo fl � <*��) com a hor- izontal, (iii) uma forc¸a ��� , apontando horizontalmente para a esquerda, na direc¸a˜o do corpo � . Para que na˜o haja movimento, tais forc¸as devem equilibrar-se. Por- tanto, escolhendo o eixo � horizontal e o eixo � verti- cal, encontramos para as componentes � e � , respectiva- mente, ��� ffi $"�fl ��� � � ��� sen fl � fi � � ��� Por outro lado, no corpo � temos quatro forc¸as apli- cadas: fi � , ff , � � e a forc¸a � de atrito. Esta forc¸as esta˜o dispostas de modo que as componentes � e � nos fornec¸am as seguintes equac¸o˜es adicionais: � � �?� � ��� ff � fi � � ��� Eliminando-se as duas tenso˜es � e � � obtemos ex- presso˜es que fornecem � e ff em termos de fi � e fi � . Devemos enta˜o escolher fi�� de modo que �7� "%� ff . Do primeiro conjunto de equac¸o˜es obtemos � � � fi�� � tan fl�� Substituindo-a na primeira das equac¸o˜es do segundo conjunto de equac¸o˜es obtemos �7� fi�� � tan fl�� O bloco � permanecera´ parado quando � � "�� ff . O maior valor possı´vel para fi � sera´ aquele para o qual fi � tan fl � "%� fi � � donde obtemos fi�� � "%� fi � tan fl � ' ��� 0 �*) ' ��,�=) ' tan <,� ) ) � �=�*� N � P 6-31 (6-21 na 6 � ) O corpo � na Fig. 6-31 pesa � � 0 N e o corpo � pesa < 0 N. Os coeficientes de atrito entre � e o plano inclinado sa˜o "�� � ��� �*: e " 5 � ��� 0 � . Determine a acelerac¸a˜o do sistema se (a) � estiver inicialmente em repouso, (b) � estiver se movendo para cima no plano inclinado e (c) � estiver se movendo para baixo. � P 6-43 (6-33 na 6 � ) Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um mı´ssil de �*< cm de diaˆmetro, viajando na velocidade de cruzeiro de 0 �4� m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e´ �*� 0 kg/m � . Suponha � ��� 4� . � Use a Eq. 6-18 do livro texto: �� � � 0� �� �� A � onde � e´ a densidade do ar, � e´ a a´rea da secc¸a˜o reta do mı´ssil, e´ a velocidade do mı´ssil, e e´ o coeficiente de viscosidade. A a´rea e´a dada por � � �&� A , onde � � ��� �*<#� 0 � ��� 0 :,� m e´ o raio do mı´ssil. Portanto, � � � 0 ' ���@ *�*) ' �*� 0 ) ' �$) ' ��� 0 :+�*) A '90 �*�,) A � :�� 0�� � � � N � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 6.2.3 Movimento Circular Uniforme E 6-47 (6-37 na 6 � ) Se o coeficiente de atrito esta´tico dos pneus numa rodovia e´ ��� 0 � , com que velocidade ma´xima um carro pode fazer uma curva plana de �� � � m de raio, sem der- rapar? � A acelerac¸a˜o do carro quando faz a curva e´ �A���� , onde e´ a velocidade do carro e � e´ o raio da curva. Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´nica forc¸a que evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada com os pneus. A componente horizontal da segunda lei de Newton e´ � � � �A ��� . Sendo ff a forc¸a normal da estrada sobre o carro e � a massa do carro, a compo- nente vertical da segunda lei nos diz que ff8� �ffifl � � . Portanto, ff � �2fl e " � ff � " � �2fl . Se o carro na˜o derrapa, � � " � �2fl . Isto significa que A � � � " � fl , ou seja, que � � " � �;fl . A velocidade ma´xima com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar e´, portanto, quando a velocidade co- incidir com o valor a´ direita na desigualdade acima, ou seja, quando max ��� " � �;fl � � ' ��� 0 �,) ' � ��@�*) '.- � /,) � �,� m/s � E 6-55 ( � na 6 � ) No modelo de Bohr do a´tomo de hidrogeˆnio, o ele´tron descreve uma o´rbita circular em torno do nu´cleo. Se o raio e´ ��� < � �=��� � � m e o ele´tron circula :�� : � � � ��� vezes por segundo, determine (a) a velocidade do ele´tron, (b) a acelerac¸a˜o do ele´tron (mo´dulo e sentido) e (c) a forc¸a centrı´peta que atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante da atrac¸a˜o entre o nu´cleo, positivamente carregado, e o ele´tron, negativamente carregado.) A massa do ele´tron e´ - � �,� � �=��� � � kg. � E 6-56 (6-41 na 6 � ) A massa � esta´ sobre uma mesa, sem atrito, presa a um peso de massa , pendurado por uma corda que passa atrave´s de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6- 39). Determine a velocidade escalar com que � deve se mover para permanecer em repouso. � Para permanecer em repouso a tensa˜o � na corda tem que igualar a forc¸a gravitacional fl sobre . A tensa˜o e´ fornecida pela forc¸a centrı´peta que mante´m � em sua o´rbita circular: � � � A �� , onde e´ o raio da o´rbita. Portanto, fl � � A �� , donde tiramos sem problemas que �� fl� � � P 6-62 (6-43 na 6 � ) Um estudante de :,/ kg, numa roda-gigante com ve- locidade constante, tem um peso aparente de �,�4� N no ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda-gigante dobrar? Atenc¸a˜o: observe que o enunciado deste prob- lema na quarta edic¸a˜o do livro fala em “peso aparente de �*: kg”, fazendo exatamente aquilo que na˜o se deve fazer: confundir entre si, peso e massa. A origem do problema esta´ na traduc¸a˜o do livro. O livro original diz que “um estudante de �=�*� li- bras” ....“tem um peso aparente de � 0 � libras”. O tradutor na˜o percebeu que, como se pode facilemente ver no Apeˆndice F, “libra” e´ tanto uma unidade de massa, quanto de peso. E e´ pre- ciso prestar atenc¸a˜o para na˜o confundir as coisas. Assim, enquanto que as �=�*� libras referem-se a uma massa de :,/ kg, as � 0 � libras referem-se a um peso de �*�*� N. � (a) No topo o acento empurra o estudante para cima com uma forc¸a de magnitude ��� , igual a �*�*� N. A Terra puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude fi , igual a :*/4fl � ' :,/,) '9- � /,) � :*:,: N. A forc¸a lı´quida apontando para o centro da o´rbita circular e´ fi � ��� e, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a � �A ��� , onde e´ a velocidade do estudante e � e´ o raio da o´rbita. Portanto � �A � � fi �?��� � :*:*: � �*�*� � �*�=: N � Chamemos de ��� a magnitude da forc¸a do acento sobre o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a lı´quida que aponta para o centro do cı´rculo e´ � � � fi . Assim sendo, temos � � � fi � � A ��� , donde tiramos � � � � +A � fi � �*�=: :,:*: � 4/ 0 N � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 que correspondem a uma massa aparente de � � � � � fl � 4/ 0 - � / � - � kg � (b) No topo temos fi � ��� � � �A���� , de modo que � � � fi � � +A � � Se a velocidade dobra, � A � � aumenta por um fator de � ,passando a ser �*�=: � � � �+:4� N. Enta˜o � � � :,:*: � �+:4� � 0 � 0 N � correspondendo a uma massa efetiva de � � � � � fl � 0 � 0 - � / � 0 ��� : kg � P 6-65 (6-45 na 6 � ) Um avia˜o esta´ voando num cı´rculo horizontal com uma velocidade de �+/*� km/h. Se as asas do avia˜o esta˜o incli- nadas �,�#) sobre a horizontal, qual o raio do cı´rculo que o avia˜o faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a necessa´ria seja obtida da “sustentac¸a˜o aerodinaˆmica”, que e´ perpendicular a` superfı´cie das asas. � O diagrama de corpo isolado do avia˜o conte´m duas forc¸as: a forc¸a �7� da gravidade, para baixo, e a forc¸a � , apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de fl com a horizontal. Como as asas esta˜o inclinadas �,� ) com a horizontal, a forc¸a de sustentac¸a˜o e´ perpendicular as asas e, portanto, fl � - �#) � �,�#) � �4�#) . Como o centro da o´rbita esta para a direita do avia˜o, es- colhemos o eixo � para a direita e o eixo � para cima. A componente � e � da segunda lei de Newton sa˜o, re- spectivamente, � ffi! #"�fl � � +A � � � sen fl � �ffifl � ��� onde � e´ o raio da o´rbita. Eliminando � entre as duas equac¸o˜es e rearranjando o resultado, obtemos � � �A fl tan fl�� Para � �,/,� km/h � � <,< m/s, encontramos � � ' � <,<,) A - � / tan �4� ) � 0 � 0�� � � � m � NOTE: existe forc¸a horizontal na˜o-equilibrada, pois sem ela o avia˜o na˜o teria como fazer a curva! Em out- ras palavras, a soma das componentes horizontais neste problema na˜o pode ser nula. P 6-70 (6-47 na 6 � ) A Fig. 6-42 mostra uma bola de �*� <4� kg presa a um eixo girante vertical por duas cordas de massa desprezı´vel. As cordas esta˜o esticadas e formam os lados de um triaˆngulo equila´tero. A tensa˜o na corda superior e´ de <+� N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. (b) Qual a tensa˜o na corda inferior? (c) Qual a forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na figura? (d) Qual a velocidade da bola? � (a) Chame de � 5 e � � as tenso˜es nas cordas de cima e de baixo respectivamente. Enta˜o o diagrama de corpo isolado para a bola conte´m treˆs forc¸as: para baixo atua o peso ��� da bola. Para a esquerda, fazendo um aˆngulo fl � <*�#) para cima, temos *�� . Tambe´m para a esquerda, pore´m fazendo um aˆngulo fl � <,� ) para baixo, temos a forc¸a *�� . Como o triaˆgulo e´ equila´tero, perceba que o aˆngulo entre *�� e *�� tem que ser de :*� ) sendo fl , como mostra a figura, a metade deste valor. Observe ainda que a relac¸a˜o entre as magnitudes de *�� e *�� e´ � 5 � � � , pois *�� deve contrabalanc¸ar na˜o ape- nas o peso da bola mas tambe´m a componente vertical (para baixo) de * � , devida a´ corda de baixo. (b) Escolhendo o eixo horizontal � apontando para a es- querda, no sentido do centro da o´rbita circular, e o eixo � para cima temos, para a componente � da segunda lei de Newton � 5 ffi! #"�fl � � ffi! #"�fl � � +A � � onde e´ a velocidade da bola e � e´ o raio da sua o´rbita. A componente � e´ � 5 sen fl ��� � sen fl � �ffifl � ��� Esta u´ltima equac¸a˜o fornece a tensa˜o na corda de baixo: � � ��� 5 � �ffifl � sen fl . Portanto � � � <+� � ' �*� <4��) '.- � /+) sen <*� ) � /�� � N � (c) A forc¸a lı´quida e´ radial para a esquerda com magni- tude ��� �(' � 5 �� � ) ffi! $" fl �(' <,� /��@ �+)�ffi $" <,� ) � <� �� - N � (d) A velocidade e´ obtida da equac¸a˜o � � � � +A ��� , observando-se que o raio � da o´rbita e´ (tan fl � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:45 ' �,�@ $� 0 ) ��� , veja a figura do livro): � � �*� � 0 tan <*� ) � �,� � m � Portanto � � � � � � ' �*� �� *) ' <+ �� - ) �,� <*� � :�� �+� m/s � 6.2.4 Problemas Adicionais 6-72 (6-20 na 6 � ) Uma forc¸a � , paralela a uma superfı´cie inclinada � � ) acima da horizontal, age sobre um bloco de �+� N, como mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a superfı´cie sa˜o "�� � ��� � e " 5 � ��� <*� . Se o bloco inicialmente esta´ em repouso, determine o mo´dulo e o sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as seguinte intensidades de P: (a) � N, (b) / N, (c) �=� N. � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47 Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fı´sica teo´rica, Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro. Em vermelho, em pareˆntesis: numerac¸a˜o da (sexta) edic¸a˜o. “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Contents 7 Trabalho e Energia Cine´tica 2 7.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 7.2.1 Trabalho: movimento ��� com forc¸a constante . . . . . . . . . 2 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel . . . . . . . . . . . . . 3 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4 7.2.4 Energia Cine´tica . . . . . . . . 5 7.2.5 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . 6 7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . 8 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47 7 Trabalho e Energia Cine´tica 7.1 Questo˜es Q 7-13 As molas A e B sa˜o ideˆnticas, exceto pelo fato de que A e´ mais rı´gida do que B, isto e´ ��������� . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa˜o distendi- das por forc¸as iguais. � (a) Temos �� � � ������� e �� � ��������� , onde � representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- tanto, �� � ��� � � � ��� ou seja, ����� ff� . (b) Agora temos �fi � � � � � �fl� e �ffi � ��� � � ��� , onde ��� e ��� representam os delocamentos provocados pela forc¸a ideˆntica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude, � � �!�� � �"��� � donte tiramos �!�# � � ���"� � � . Portanto ff� � ��� � � � � �%$ � �&����� � ��' � ��� � �)( �fl� ou seja, �� ( ff� . 7.2 Problemas e Exercı´cios 7.2.1 Trabalho: movimento � � com forc¸a con- stante E 7-2 (7-7/6 * edic¸a˜o) Para empurrar um caixote de +�, kg num piso sem atrito, um opera´rio aplica uma forc¸a de � � , N, dirigida � ,.- acima da horizontal. Se o caixote se desloca de / m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio, (b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exer- cida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote? � (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por ela e´ �0 �1#243� 65"748�9;: � onde 1 e´ a forc¸a, 3 e´ o deslocamento do caixote, e : e´ o aˆngulo entre a forc¸a 1 e o deslocamento 3 . Portanto, �0 <$=� � , '>$ / ' 7>8?9 � , - +�@�, J A (b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendic- ular ao deslocamento do caixote. O aˆngulo entre esta forc¸a e o deslocamento e´ @fl, - e, como 748�9 @�, -B , , o trabalho feitopela forc¸a gravitacional e´ ZERO. (c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra- balho por ela realizado tambe´m e´ ZERO. (d) As treˆs forc¸as acima mencionadas sa˜o as u´nicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das treˆs forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ +�@fl, J. P 7-9 ( C na 6 * ) A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso D . Suponha que o atrito seja desprezı´vel e que as duas polias de baixo, a`s quais esta´ presa a carga, pesem juntas � , N. Uma carga de EflF�, N deve ser levantada � � m. (a) Qual a forc¸a mı´nima 1 necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de � � m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela forc¸a 1 para realizar esta tarefa? � (a) Supondo que o peso da corda e´ desprezı´vel (isto e´, que a massa da corda seja nula), a tensa˜o nela e´ a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias mo´veis (as duas que esta˜o ligadas ao peso D ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma forc¸a aplicada em quatro pontos, de modo que a forc¸a total para cima aplicada nas polias mo´veis e´ F . Se for a forc¸a mı´nima para levantar a carga (com ve- locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta˜o a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter F HGJIHK , � onde IHK representa o peso total da carga mais polias mo´veis, ou seja, IHK L$ EflF�,6M � , ' N. Assim, encon- tramos que E�Nfl, F �� � + N A http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47 (b) O trabalho feito pela corda e´ F 65 IHK 5 , onde 5 e´ a distaˆncia de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda e´ $ E�Nfl, '4$ � �fl' � ,fl/ � , J A (A resposta na traduc¸a˜o do livro esta´ incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da corda abaixo de F metros. Portanto, no total a extremi- dade livre da corda move-se $ F '4$ � �fl'� F?E m para baixo. (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela extremidade livre e´ 65 IHK�5 � F , onde 5 e´ a distaˆncia que a extremidade livre se move. Portanto, $ EflN�, ' F?E F � ,�/ � , J A Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que na˜o ocorre com as respostas fornecidas no livro. P 7-12 ( C na 6 * ) Um bloco de /.A � + kg e´ puxado com velocidade con- stante por uma distaˆncia de F�A ,�N m em um piso hori- zontal por uma corda que exerce uma forc¸a de � A N�E N fazendo um aˆngulo de � +?- acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinaˆmico entre o bloco e o piso. � (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o tra- balho e´ dado por L1 2�3 65"748�9;: , onde 1 e´ a forc¸a exercida pela corda, 3 e´ a distaˆncia do desloca- mento, e : e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto $ � A NflE '4$ F�A ,�N ' 748�9 � + - /fl,;A � J A (b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forc¸as aplicadas. Desenhe um ponto � representando o bloco. Em � , de- senhe a forc¸a normal � apontando para cima, a forc¸a peso ��� apontando para baixo. Apontando horizontal- mente para a esquerda desenhe a forc¸a � de atrito. De- senhe a forc¸a 1 que puxa o bloco apontando para a dire- ita e para cima, fazendo um aˆngulo : com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı´brio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equac¸o˜es, respectivamente, �7>8�9�: G � , � M sen : G � K ,.A A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por � ��� ��� �$ � K GJ sen : ' � onde o valor de foi obtido da segunda equac¸a˜o acima. Substituindo o valor de � na primeira das equac¸o˜es acima e resolvendo-a para �� encontramos sem prob- lemas que � �7>8?9;: � K G� sen : $ � A N�E ' 748�9 � + - $ /;A + � '4$ @.A E ' G $ � A N�E ' sen � + - ,;A ��� A 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel E 7-13 (7-24 na 6 * ) Um bloco de + kg se move em linha reta numa superfı´cie horizontal sem atrito sob a influeˆncia de uma forc¸a que varia com a posic¸a˜o da forma indicada na Fig. 7-28. Qual o trabalho executado pela forc¸a quando o bloco se desloca da origem ate´ o ponto � E m? � Basta calcular-se a a´rea debaixo da curva da cada um dos quatro segmentos de reta. $ �fl'4$ � , ' M�� � $ F G ��'>$ � , G , ' M , M�� � $ E G N '4$ , G + ' � , M � , M�, G + � + J A P 7-14 (7-25 na 6 * ) Uma massa de � , kg esta´ se movendo ao longo do eixo dos � . Sua acelerac¸a˜o varia com a posic¸a˜o da forma indicada na Fig. 7-29. Qual o trabalho total executado sobre a massa quando ela se move de � , m ate´ � E m? � Do gra´fico vemos que a acelerac¸a˜o varia linearmente com � , ou seja, que � �� � , onde �� �� , � E H� A + s � � . Portanto, como ��� � � � , temos ���ff� fi �5 � � � ���ff� fi � 5 � � � � � fl � $ � , '>$=� A + '>$ E ' � � Efl,�, J A http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 8 LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 5 de Setembro de 2005, a`s 7:47 P 7-16 (7-27 na 6 * ) A forc¸a exercida num objeto e´ $ � ' fi $ � ��� fi G � ' . Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de � , ate´ �� ��� fi (a) fazendo um gra´fico de $ �!' e determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte- gral analiticamente. � (a) A expressa˜o de $ � ' diz-nos que a forc¸a varia linearmente com � . Supondo � fi � , , escolhemos dois pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma linha reta. Para � , temos G fi enquanto que para � ��� fi temos fi , ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos $ , � G fi ' e $=��� fi � fi ' . Fac¸a a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ dado pela soma da a´rea de dois triaˆngulos: um que vai de �B , ate´ � �� fi , o outro indo de � �� fi ate´ �B ���� fi . Como os dois triaˆngulos tem a mesma a´rea, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´ ZERO. (b) Analiticamente, a integral nos diz que � � ��� fi fi � � � - G ��� 5 � fi � � � ��� fi G � ��� � � � ��� fi ,.A E 7-17 (7-29/6 * ) Qual o trabalho realizado por uma forc¸a dada em New- tons por 1 fi����� M / , onde � esta´ em metros, que e´ exercida sobra uma partı´cula enquanto ela se move da posic¸a˜o, em metros, � � )��� M#/� para a posic¸a˜o (em metros) � fl G F � G /� � Suponha que a partı´cula mova-se primeiramente, dig- amos, ao longo da quota constante � / m, indo desde � � � m ate´ � � G F m. Neste percurso o trabalho realizado e´: � � ���
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