1137772 08 Transferência de Calor Condução Trasiente

Prévia do material em texto

Transferência de Calor e Massa
CONDUÇÃO
Regime Transiente
Condução Transiente
Condução Transiente 
• Aquecimento
• Resfriamento
• T  Varia em função do tempo t
Multidimensional
• 0D – Varia somente com o tempo
• 1D
• 2D
• 3D
Soluções
• Capacitância Global
– Variação desprezível dentro do volume
– 0D
• Analítico
– Equação da Difusão
• Numérico
– Elementos Finitos e Diferenças finitas
Condução transiente
Capacitância Global – 0D
Equação da difusão não pode ser usada  Balanço de Energia
• Sai  Convecção
• Acumulo
Ɵ = Excesso de temperatura
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
−ℎ𝐴𝑆 𝑇 − 𝑇∞ = 𝜌𝑐𝑝𝑉
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
𝑑𝜃
𝑑𝑡
ሶ𝐸𝐸 − ሶ𝐸𝑆 + ሶ𝐸𝐺 = ሶ𝐸𝐴𝐶 − ሶ𝐸𝑆 = ሶ𝐸𝐴𝐶
−ℎ𝐴𝑆𝜃 = 𝜌𝑐𝑝𝑉
𝑑𝜃
𝑑𝑡
න
0
𝑡
𝑑𝑡 = −න
𝜃𝑖
𝜃 𝜌𝑐𝑝𝑉
ℎ𝐴𝑆
𝜕𝜃
𝜃
Condução transiente
Capacitância Global – Convecção e condução 0D
Integrando
Constante de tempo térmica
Substituindo
න
0
𝑡
𝑑𝑡 = −න
𝜃𝑖
𝜃 𝜌𝑐𝑝𝑉
ℎ𝐴𝑆
𝜕𝜃
𝜃
𝑡 = −
𝜌𝑐𝑝𝑉
ℎ𝐴𝑆
𝑙𝑛
𝜃
𝜃𝑖
𝜃
𝜃𝑖
= 𝑒
−
ℎ𝐴𝑆
𝜌𝑐𝑝𝑉
𝑡
𝜏𝑡 =
𝜌𝑐𝑝𝑉
ℎ𝐴𝑆
=
1
ℎ𝐴𝑆
𝜌𝑐𝑝𝑉 = 𝑅𝑡𝐶𝑡
𝜃
𝜃𝑖
= 𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡
Condução transiente
Capacitância Global – Validação
Resistência a condução tem que ser muito menor que a resistência a 
convecção
Biot
Considerando que LC é o comprimento característico definido por:
O método é válido se 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 << 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣, ou seja, 
Considera-se, então, que se 𝐵𝑖 < 0,1 o erro será pequeno e o método é válido
𝐵𝑖 =
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣
=
ൗ𝐿 𝑘𝐴𝑆
ൗ1 ℎ𝐴𝑆
=
ℎ𝐿𝐶
𝑘
𝐵𝑖 ≪ 1
𝐿𝐶 =
𝑉
𝐴𝑆
Condução transiente
Capacitância Global – Calor trocado
O calor total trocado por convecção em um período de tempo se dá por:
Como 𝜃 = 𝜃𝑖𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡 e 𝜏𝑡 =
𝜌𝑐𝑝𝑉
ℎ𝐴𝑆
, tem-se que
𝑄 = ℎ𝐴𝑆න
0
𝑡
𝜃𝑑𝑡
𝑄 = ℎ𝐴𝑆න
0
𝑡
𝜃𝑖𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡𝑑𝑡 = ℎ𝐴𝑆𝜃𝑖 −𝜏𝑡𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡
0
𝑡
𝑄 = ℎ𝐴𝑆𝜃𝑖 −𝜏𝑡𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡 − −𝜏𝑡𝑒
−
0
𝜏𝑡 = 𝜌𝑐𝑝𝑉𝜃𝑖 1 − 𝑒
−
𝑡
𝜏𝑡
Condução 2D
Solução Analítica
• Condução 1D:
• Sem geração:
• Regime transiente:
Ɵ* = Excesso de temperatura adimensional
𝜃∗ =
𝑇−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑡∗ =
𝛼𝑡
𝐿2
= 𝐹𝑜
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑇
𝜕𝑧2
+
ሶ𝑞
𝑘
=
𝜌𝑐𝑝
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
=
𝜌𝑐𝑝
𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Condução 2D
Solução Analítica
Condições de contorno e iniciais
• 𝜃∗(𝑥∗,0)=1
• ቚ
𝜕𝜃∗
𝜕𝑥∗ 𝑥∗=0
= 0
• ቚ
𝜕𝜃∗
𝜕𝑥∗ 𝑥∗=1
= −Bi𝜃∗ 1, 𝑡∗
Ɵ* = Excesso de temperatura adimensional
𝜃∗ =
𝑇−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
𝑡∗ =
𝛼𝑡
𝐿2
= 𝐹𝑜
𝜕2𝜃∗
𝜕𝑥∗2
=
𝜕𝜃∗
𝜕𝐹𝑂
Condução 2D
Solução Analítica
Sendo o coeficiente 𝐶𝑛:
E 𝜁𝑛 as raízes positivas da equação:
Os 4 primeiros valores de 𝐶𝑛 e 𝜁𝑛 podem ser encontrados no Apendice.
𝜃∗ = ෍
𝑛=1
∞
𝐶𝑛𝑒
−𝜁𝑛
2𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜁𝑛𝑥
∗
𝐶𝑛 =
4𝑠𝑒𝑛 𝜁𝑛
2𝜁𝑛 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜁𝑛
𝜁𝑛𝑡𝑎𝑛 𝜁𝑛 = 𝐵𝑖
Condução 2D
Solução Analítica Aproximada
Pode-se considerar uma boa aproximação utilizando somente o 1º termo da série 
infinita para valores de Fo > 0,2, resultando em :
ou
Na qual o excesso de temperatura adimensional no plano central 𝜃0
∗ é dado por:
Os valores de 𝐶1 e 𝜁1 podem ser obtidos pela tabela:
𝜃∗ = 𝐶1𝑒
−𝜁1
2𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠 𝜁1𝑥
∗
𝜃0
∗ = 𝐶1𝑒
−𝜁1
2𝐹𝑜
𝜃∗ = 𝜃0
∗𝑐𝑜𝑠 𝜁1𝑥
∗
Condução 2D
Solução Analítica Aproximada