11 - Condução transiente

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Condução transiente
A condução transiente é caracterizada pela variação temporal das
condições de contorno. Quando isto ocorre, o perfil de temperaturas e
a taxa de transferência de calor no corpo em estudo também variam.
Um exemplo clássico é a tempera de ligas de ferro e carbono para
alterar a microestrutura do aço para obter dureza e resistência
mecânica elevadas. Inicialmente, o aço é aquecido acima de 727 °C e
em seguida resfriado a uma taxa adequada para obter as propriedades
pretendidas.
Método da Capacitância Global
Suponha um corpo sólido inicialmente a uma temperatura uniforme, .
Se ele for imerso em um fluido a temperatura , menor que a do
corpo. O sólido irá trocar calor com o fluido por convecção até entrar
em equilíbrio térmico com o ambiente.
Método da Capacitância Global
O corpo em estudo perde calor para o ambiente por convecção
(considerando os efeitos da radiação desprezíveis) e não há geração
interna de energia. O balanço de energia para o sólido é:
Método da Capacitância Global
Conforme o corpo perde calor para o ambiente, a temperatura em seu
interior varia e criando um gradiente de temperatura entre seu núcleo
e sua superfície.
O método da capacitância global considera que a resistência térmica
de condução no interior do sólido é muito menor que a resistência
térmica de convecção com o ambiente. Aproximando a temperatura do
núcleo pela temperatura da superfície ( ).
Método da Capacitância Global
Definindo a função diferença de temperaturas:
A equação diferencial pode ser rescrita
Método da Capacitância Global
Integrando Constante de tempo térmico,
Método da Capacitância Global
Em termos de temperatura
Para calcular a quantidade de calor transferida do corpo basta integrar
a taxa de transferência de calor.
𝑄 = න
0
𝑡
𝑞 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝 𝑇 − 𝑇∞ 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝𝜃 𝑑𝑡
Método da Capacitância Global
Para relacionar a resistência térmica de condução no interior do sólido
com a resistência térmica de convecção com o ambiente, é utilizado o
número de Biot, 𝐵𝑖. O método da capacitância global é válido para
valores menores que 0,1 para o número de Biot, pois o erro pela
aproximação da temperatura do corpo pela temperatura da superfície
pode ser considerado pequeno.
Onde 𝐿𝑐 é o comprimento característico do corpo.
Método da Capacitância Global
O comprimento característico, 𝐿𝑐, pode ser calculado pela razão do
volume do corpo por sua área superficial.
Contudo, se houver o desejo de implementar o critério de forma
conservativa, Lc deve ser associado à escala do comprimento
correspondente à máxima diferença espacial de temperaturas.
Para uma parede plana simetricamente aquecida (ou resfriada) com
espessura 2L, Lc corresponde à metade da espessura. Entretanto, no
caso de um cilindro longo ou uma esfera, Lc passaria a ser igual ao raio
real r, em vez de r/2 ou r/3, respectivamente.
𝐿𝑐 =
∀
𝐴𝑠𝑢𝑝
Método da Capacitância Global
Para uma análise genérica dos processos de aquecimento e
resfriamento, é possível definir um tempo adimensional conhecido
como número de Fourier, Fo.
Partindo da equação temporal da temperatura, , 
o expoente da função exponencial pode ser rescrito em termos do 
comprimento característico.
ℎ𝐴𝑠𝑢𝑝𝑡
𝜌∀𝑐𝑝
=
ℎ𝑡
𝜌𝐿𝑐𝑐𝑝
∙
𝑘𝐿𝑐
𝑘𝐿𝑐
=
ℎ𝐿𝑐
𝑘
∙
𝑘𝑡
𝜌𝑐𝑝𝐿𝑐
2 =
ℎ𝐿𝑐
𝑘
∙
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2 = 𝐵𝑖 ∙ 𝐹𝑜
Recapitulando: 𝛼 =
𝑘
𝜌𝑐𝑝
; Bi =
ℎ𝐿𝑐
𝑘
; Fo =
𝛼𝑡
𝐿𝑐
2
Um floco de cereal tem espessura e = 1,2 mm. A massa específica, o calor específico
e a condutividade térmica do floco são ρ = 700 kg/m3, cp = 2400 J/(kg · K), e k = 0,34
W/(m · K), respectivamente. O produto deve ser cozido através do aumento de sua
temperatura de Ti = 20°C até Tf = 220°C em um forno convectivo, através do qual o
produto é passado sobre uma esteira com Lfo = 3 m de comprimento, onde o
coeficiente de transferência de calor na superfície do produto
e a temperatura do ar no
interior do forno forem h = 55
W/(m2·K) e T∞ = 300°C,
respectivamente, determine
a velocidade da esteira.
Exemplo
Esferas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelos
processos de aquecimento até 1150 K e resfriado lentamente durante
20 minutos em um ambiente controlado a 325 K cujo coeficiente de
convecção de 20 W/(m2·K). Supondo que as propriedades do aço
sejam k = 40 W/(m·K), ρ = 7800 kg/m3 e c = 600 J/(kg·K), determine a
temperatura final das esferas e a energia transferida durante o
processo de resfriamento.
Exemplo
A resistência e a estabilidade de pneus podem ser melhoradas pelo aquecimento
de ambos os lados da borracha (k = 0,15 W/(m · K), α = 6,35 × 10−8 m2/s) em uma
câmara de vapor na qual T∞ = 200°C. No processo de aquecimento, uma parede de
borracha com 20 mm de espessura (não frisada) é levada de sua temperatura
inicial de 25°C até uma temperatura no plano central de 150°C. Se o escoamento
do vapor sobre as superfícies do pneu mantém um coeficiente convectivo de h =
150 W/(m2 · K), quanto tempo será necessário para se atingir a temperatura
desejada no plano central? Neste instante qual será a temperatura na superfície?
Efeitos espaciais
O método da capacitância global
não pode ser usado!
Com frequência os gradientes de temperatura no interior de um corpo
não podem ser ignorados e uma abordagem diferente do método da
capacitância global deve ser utilizado.
Por exemplo, para uma parede plana trocando calor com o ambiente, a
condução ao no interior da parede é unidirecional e assumindo que não
há geração interna de energia, a equação da difusão do calor se resume a:
1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑇
𝜕2𝑥
Para resolvê-la são necessárias duas condições
de contorno e uma condição inicial.
Efeitos espaciais
Efeitos espaciais
É possível contudo adimensionalizar a equação usando agrupando as
variáveis de modo conveniente.
𝜃 𝑥, 𝑡 = 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇∞ (𝜃 função diferença de temperatura)
𝜃𝑖 = 𝑇𝑖 − 𝑇∞ (𝜃𝑖 máxima diferença de temperaturas)
𝜃∗ =
𝜃
𝜃𝑖
=
𝑇−𝑇∞
𝑇𝑖−𝑇∞
(𝜃∗ diferença adimensional de temperaturas)
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
(𝑥∗ coordenada espacial adimensional)
𝑡∗ =
𝛼𝑡
𝐿2
= 𝐹𝑜 (𝑡∗ tempo adimensional)
Obs: Como a convecção ocorre nos dois lados da parede, L é a metade da espessura.
Efeitos espaciais
Efeitos espaciais
As condições de contorno precisam ser reescritas para corresponderem
aos temos adimensionais da equação da difusão do calor
𝑇 𝑥, 0 = 𝑇𝑖 ∴ 𝜃
∗ 𝑥∗, 0 =
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
= 1
ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥=0
= 0 ∴ ቤ
𝜕𝜃∗
𝜕𝑥∗
𝑥∗=0
= 0
−𝑘 ቤ
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥=𝐿
= ℎ 𝑇 𝐿, 𝑡 − 𝑇∞ ∴ ቤ
𝜕𝜃∗
𝜕𝑥∗
𝑥∗=1
= −𝐵𝑖 ∙ 𝜃∗ 1, 𝐹𝑜
Assim é possível observar que 𝜃∗ = 𝑓 𝑥∗, 𝐵𝑖, 𝐹𝑜 . Esta apresentação
facilita a apresentação, utilização e estudo de problemas transientes.
Efeitos espaciais
As soluções analíticas para problemas de condução transiente foram
obtidas para muitas geometrias e condições de contorno e estão
disponíveis na literatura. Diversas técnicas matemáticas, como o método
da separação de variáveis, podem ser usadas para esse propósito e,
tipicamente, a solução para a distribuição de temperaturas adimensional,
tem a forma de uma série infinita.
𝜃∗ = ෍
𝑛=1
∞
𝐶𝑛𝑒
−𝜉𝑛
2𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜉𝑛𝑥
∗
Exceto para valores muito pequenos do número de Fourier, essa série
pode ser aproximada por um único termo, simplificando
consideravelmente a sua avaliação.
Efeitos espaciais
Os valores 𝐶𝑛 e de 𝜉𝑛 podem ser encontrados a partir das equações:
𝐶𝑛 =
4𝑠𝑒𝑛 𝜉𝑛
2𝜉𝑛 + 𝑠𝑒𝑛 2𝜉𝑛
𝜉𝑛𝑡𝑎𝑛 𝜉𝑛 = 𝐵𝑖
A equação de 𝜉𝑛 é transcendental e deve ser encontrado por iteração.
A solução para valores do número de Fourier maiores que 0,2 (Fo > 0,2)
pode ser aproximada por:
𝜃∗ = 𝜃𝑜
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜉1𝑥
∗
Onde 𝜃𝑜
∗ = 𝐶1𝑒
−𝜉1
2𝐹𝑜 = 𝑇𝑜 − 𝑇∞ / 𝑇𝑖 − 𝑇∞ representa a temperatura
adimensional no plano central da parede.
Efeitos espaciais
Voltando ao problema do pneu...
Assumindo que Fo > 0,2, osvalores de 𝐶1 e 𝜉1 tabelados para Bi = 10 são
respectivamente 1,2620 e 1,4289.
𝜃𝑜
∗ =
𝑇𝑜 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
=
150°𝐶 − 200°𝐶
25°𝐶 − 200°𝐶
= 0,2857
𝜃𝑜
∗ = 𝐶1𝑒
−𝜉1
2𝐹𝑜 ∴ 𝐹𝑜 =
−1
𝜉1
2 ln
𝜃𝑜
∗
𝐶1
=
−1
1,42892
ln
0,2857
1,2620
= 0,7276 > 0,2 !
𝐹𝑜 =
𝛼𝑡
𝐿2
∴ 𝑡 =
𝐹𝑜𝐿2
𝛼
=
0,7276 ∙ 0,01𝑚 2
6,35 ∙ 10−8 Τ𝑚2 𝑠
≈ 1146 𝑠
Efeitos espaciais
Bi =
ℎ𝐿𝑐
𝑘
= 10
Efeitos espaciais
E quanto a temperatura na superfície...
𝜃∗ = 𝜃0
∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜉1𝑥
∗ = 0,2876 𝑐𝑜𝑠 1,4289 ∙ 1 ≈ 0,0407
𝑥∗ =
𝑥
𝐿
=
𝐿
𝐿
= 1
𝑇 = 200 °𝐶 + 0,0407 25 °𝐶 − 200 °𝐶
𝑇 𝑥 = 𝐿; 𝑡 = 1146 𝑠 ≈ 193 °𝐶
Efeitos espaciais
A energia transferida por cada elemento diferencial de um corpo
para um meio a uma diferente temperatura pode ser calculada
pela equação:
dQ = 𝑑𝑚𝑐𝑝 𝑇𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑇𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
dQ = 𝜌𝑑∀𝑐𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖
A energia cedida por todo o corpo para o ambiente
Q = න
0
∀
𝜌𝑑∀𝑐𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 = න
0
∀
𝜌𝑐𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 𝑑∀
Efeitos espaciais
A quantidade máxima de energia que pode ser transferida entre o
corpo e o meio pode ser descrita como:
𝑄𝑚á𝑥 = 𝜌∀𝑐𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖
Dividindo-se a energia transferida máxima energia que o corpo
pode trocar com o meio obtemos:
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
0׬
∀
𝜌𝑐𝑝 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖 𝑑∀
𝜌∀𝑐𝑝 𝑇∞ − 𝑇𝑖
=
1
∀
න
0
∀ 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇𝑖
𝑇∞ − 𝑇𝑖
𝑑∀
Efeitos espaciais
Reescrevendo:
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
∀ 𝑇𝑖 − 𝑇 𝑥, 𝑡
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑑∀
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
∀ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ + 𝑇∞ − 𝑇 𝑥, 𝑡
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑑∀
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
∀ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ − 𝑇 𝑥, 𝑡 − 𝑇∞
𝑇𝑖 − 𝑇∞
𝑑∀
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
∀
1 − 𝜃∗ 𝑑∀
Efeitos espaciais
Para um corpo plano e valores do número de Fourier maiores que
0,2, podemos escrever:
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
∀
1 − 𝜃𝑜
∗𝑐𝑜𝑠 𝜉1
𝑥
𝐿
𝑑∀
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
∀
න
0
𝐿
1 − 𝜃𝑜
∗𝑐𝑜𝑠 𝜉1
𝑥
𝐿
𝐴 ∙ 𝑑𝑥
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
𝐴
∀
න
0
𝐿
1 − 𝜃𝑜
∗𝑐𝑜𝑠 𝜉1
𝑥
𝐿
∙
𝜉1𝐿
𝜉1𝐿
𝑑𝑥
Efeitos espaciais
Para um corpo plano e valores do número de Fourier maiores que
0,2, podemos escrever:
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
𝐿
න
0
𝐿
𝑑𝑥 −න
0
𝐿
𝜃𝑜
∗
𝐿
𝜉1
𝑐𝑜𝑠 𝜉1
𝑥
𝐿
∙
𝜉1
𝐿
𝑑𝑥
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
=
1
𝐿
𝐿 − 𝜃𝑜
∗
𝐿
𝜉1
𝑠𝑒𝑛 𝜉1
𝐿
𝐿
𝑄
𝑄𝑚á𝑥
= 1 −
𝜃𝑜
∗
𝜉1
𝑠𝑒𝑛 𝜉1
Efeitos espaciais
As soluções exatas para condução radial transiente para as condições
de temperatura uniforme e transferência de calor convectiva são:
Efeitos espaciais
Estas soluções podem ser aproximadas pelo primeiro termo do
somatório para valores do número de Fourier maiores que 0,2.
Efeitos espaciais
Um cilindro longo com 30 mm de diâmetro, inicialmente a uma
temperatura uniforme de 1000 K, é subitamente resfriado pela
imersão em um grande banho de óleo que se encontra a uma
temperatura constante de 350 K. Sabendo que as propriedades do
cilindro são k = 0,75 W/(m·K), c = 1600 J/(kg·K) e ρ = 400 kg/m3,
enquanto o coeficiente convectivo é de 50 W/(m2·K), determine:
a) o tempo necessário para a superfície do cilindro atingir 500 K.
b) representar graficamente a temperatura da superfície e no centro
do cilindro ao longo do intervalo 40 ≤ t ≤ 500 s. E se o óleo fosse
agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de 250 W/(m2·K)?
Exemplo
Exemplo
Um ovo comum pode ser modelado como uma esfera de 5 cm de
diâmetro, cujas propriedades termofísicas são: k = 0,6 W/m·K e α = 2 x
10-7 m²/s. O ovo, inicialmente a temperatura uniforme de 6 °C, é
colocado em água fervente a 97 °C, onde o coeficiente de
transferência de calor por convecção é 2400 W/m²·K. Determine:
a) quanto tempo é necessário para que a temperatura no centro do
ovo alcance 75 °C.
b) quanta energia foi necessária para processo de aquecimento?
Exemplo