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Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matema´tica - DMA
Disciplina: Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof.: Gasta˜o Junior. abril de 2010
Lista Complementar (1)
1. Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o e JUSTIFIQUE sua resposta:
(a) AB//CD ⇒ −−→AB//−−→CD; (b) −−→AB = −−→CD ⇒ A = C e B = D;
(c)
−−→
AB =
−−→
CD ⇒ AC ∩BD = �upslope; (d) |−−→AB| = |−−→CD| ⇒ −−→AB = −−→CD;
(e)
−→
AQ =
−−→
BQ⇒ A = B , para qualquer ponto Q.
2. A igualdade |~u+ ~v| = |~u|+ |~v| vale para quaisquer vetores ~u e ~v? Justifique sua resposta.
E no caso, |~u− ~v| = |~u| − |~v|?
3. Prove que
−−→
BC −−−→BA = −→AC.
4. Prove que ~x+ ~a = ~b⇒ ~x = ~b− ~a.
5. Prove que α~v = ~0⇒ α = 0 ou ~v = ~0.
6. Nos hexa´gonos regulares a seguir, determine a soma dos vetores indicados.
(a) A B
C
DE
F O
(b) A B
C
DE
F O
7. Resolva:
(a) na inco´gnita ~x (com respeito a ~u e ~v), a equac¸a˜o 2~x− 3~u = 10(~x+ ~v);
(b) nas inco´gnitas ~x e ~y,
{
~x+ 2~y = ~u
3~x− ~y = 2~u+ ~v .
8. Prove que, se ~u e ~v sa˜o vetores na˜o nulos e paralelos, enta˜o |~u+ ~v|2 6= |~u|2 + |~v|2.
9. Prove que o segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo
ao terceiro e tem a metade da sua medida.
10. Sendo M o ponto me´dio de AC, N o de BD e ~x =
−−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD, mostre que
~x//
−−→
MN .
11. Sejam A, B e C pontos distintos e p um nu´mero real. Seja X o ponto tal que
−−→
AX = p
−−→
AB.
Exprima
−−→
CX em func¸a˜o de
−→
CA,
−−→
CB,p.
12. No triaˆngulo ABC da figura abaixo, M divide o segmento AB e divide o segmento CB na
mesma raza˜o r. Prove que MN//AC e calcule
|−−→MN |
|−→AC|
.
B
A C
M N
13. Suponha que, no trape´zio da figura a seguir, as razo˜es em que M divide o segmento DA e
N divide o segmento CB sa˜o iguais a r. Mostre que
−−→
MN =
r
1 + r
−−→
AB+
1
1 + r
−−→
DC. Deduza
que MN//AB e que a medida de MN e´ igual a
r|−−→AB|+ |−−→DC|
1 + r
.
A
D C
B
M N
14. Os lados do triaˆngulo equila´tero ABC tem medida 2. Calcule 〈−−→AB,−−→BC〉 + 〈−−→BC,−→CA〉 +
〈−→CA,−−→AB〉.
15. Sa˜o dados os nu´meros reais positivos a e b, e o vetor ~u, de mo´dulo a. Dentre os vetores
de mo´dulo b, qual e´ o que torna ma´ximo o produto interno 〈~u,~v〉? Quais sa˜o esses valores
ma´ximo e mı´nimo?
16. Obtenha os vetores de mo´dulo 3
√
3 que sa˜o ortogonais a ~u = (2, 3,−1) e a ~v = (2,−4, 6).
Qual dos vetores obtidos forma aˆngulo agudo com (1, 0, 0)?
17. Calcule a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u em cada caso:
(a) ~v = (1,−1, 2), ~u = (3,−1, 1); (b) ~v = (1, 3, 5), ~u = (−3, 1, 0).
18. Decomponha ~v = (−1,−3, 2) como soma de dois vetores ~p e ~q, de modo que ~p seja paralelo
e ~q seja ortogonal a ~u = (0, 1, 3).
19. A medida angular entre ~u e ~v e´ 30o, e seus mo´dulos, 2 e 3. Calcule |~u× ~v|.
20. Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC, sendo
−−→
AB = (−1, 1, 0) e −→AC = (0, 1, 3).
21. Mostre que, sendo ~u,~v ∈ R3:
(a) (~u+ ~v)× (~u− ~v) = 2~v × ~u;
(b) se 〈~u,~v〉 = 0 e ~u× ~v = ~0, enta˜o ~u = ~0 ou ~v = ~0. Interprete geometricamente.
22. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m + 1,m,−1), determine um parale-
lep´ıpedo de volume 42. Calcule m.
23. Calcule o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A = (−1, 3, 2), B = (0, 1,−1), C =
(−2, 0, 1) e D = (1,−2, 0).Calcule tambe´m a medida da altura do ve´rtice A.
24. Mostre1 que, dados ~u,~v, ~w ∈ R3:
(a) (~u,~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w);
(b) (~u,~v, ~w) = −(~u, ~w,~v);
(c) (~u,~v, ~w) = −(~w,~v, ~u)..
Respostas e sugesto˜es
[Observac¸a˜o: Resista um pouco antes de consultar as respostas e sugesto˜es.]
1. (a) V; (b) F; (c) V; (d) F; (e) V
2. Na˜o, pois se os vetores ~u e ~v fo-
rem na˜o colineares, vale a desi-
gualdade triangular. Para a se-
gunda pergunta, Verifique o caso
em que ~u = ~0 e ~v 6= ~0.
3.
−−→
BC −−−→BA = −−→BC +−−→AB = −−→AB +−−→
BC =
−→
AC
4. *
5. *
6. (a)
−−→
FC (b)
−−→
OD
7. (a) ~x = −38~u− 54~v (b) ~x = 57~u+ 27~v
8. Substituindo ~u por α~v com α 6=
0, mostre que |~u + ~v|2 = (α2 +
2α + 1)|~v|2 e |~u|2 + ~v|2 = (α2 +
1)|~v|2.
9. *
10. *
11.
−−→
CX = (1− p)−→CA+ p−−→CB
12. 11+r . Pois
−−→
MN =
−→
AC(1 + r).
13. *
14. -6
15. ~v = ba~u da´ o maior valor, que e´ ab
e ~v = − ba~u da´ o menor valor, que
e´ −ab.
16. Os vetores sa˜o (3,−3,−3) e
(−3, 3, 3). O vetor (3,−3, 3) forma
um aˆngulo agudo com (1, 0, 0).
17. (a)
(
18
11 ,− 611 , 611
)
(b) (0, 0, 0)
18. ~v =
(
0, 310 ,
9
10
)
+
(−1,−3310 , 1110)
19. 3
20.
√
19/2
21. *
22. 2 ou −83
23. 4 e 8√
10
24. *
1Isso mostra que o produto misto e´ alternado, isto e´, permutando dois vetores altera seu sinal.