Lista de exercícios 1 de 3 | Vetores | Geometria Analítica

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1a Lista de Exerćıcios de Geometria Anaĺıtica (SMA300)
1o Semestre de 2020
Vetores e aplicações geométricas
1. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se ~u = ~v, então ||~u|| = ||~v||.
(b) Se ||~u|| = ||~v||, então ~u = ~v.
(c) Se ~u é paralelo a ~v, então ~u = ~v.
(d) Se ~u = ~v, então ~u é paralelo a ~v.
(e) Se ~w = ~u+ ~v, então ||~w|| = ||~u||+ ||~v||.
(f) 5~v = || − 5~v|| = 5||~v||.
(g) Se ~u é paralelo a ~v, ||~u|| = 2 e ||~v|| = 4 então ~v = 2~u ou ~v = −2~u.
2. Demonstre usando vetores que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de
um trapézio é paralelo as bases e sua medida é a média das medidas das bases.
3. Demonstre usando vetores que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio
é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases.
4. Na figura, a distância de M a A é o dobro da distância de M a B e a medida de AN é a terça
parte da medida de CN. Exprima X em função de A, ~AB e ~AC.
5. Considere o triângulo ABC e sejam ~CA = ~u, ~CB = ~v e ~w = ~u− 2~v. Calcule α real para que o
ponto X = C + α~w pertença à reta AB.
6. Sejam M , N e P os pontos médios dos segmentos de reta AB, BC, CA respectivamente, onde
os pontos A, B e C são os vértices de um triângulo qualquer ABC. Exprima os vetores
−−→
BP ,−−→
AN e
−−→
CM em função dos vetores
−−→
AB e
−→
AC.
7. Seja ABC um triângulo qualquer, com medianas dadas pelos segmentos de retas AD, BE e CF .
Prove que
−−→
AD +
−−→
BE +
−−→
CF = ~0.
8. Resolva o sistema nas incógnitas vetoriais ~x e ~y:
{
~x+ 3~y = ~u
3~x− ~y = 4~u− 2~v
9. Seja ABCDEF um hexágono regular de centro O. Mostre que
−−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD +
−→
AE +
−→
AF = 6
−→
AO .
10. São dados um triângulo ABC e os pontos X, Y e Z, tais que tenhamos as seguinte identidades−−→
AX = m
−−→
XB,
−−→
BY = n
−−→
Y C,
−→
CZ = p
−→
ZA, onde m, n ∈ R. Exprima os vetores
−−→
CX,
−→
AY ,
−−→
BZ em
função dos vetores
−→
CA e
−−→
CB e m, n, p.
2
11. Sejam ABC um triângulo e X um ponto do segmento AB. Mostre que
−−→
CX =
||
−−→
BX||
||
−−→
AB||
−→
CA+
||
−−→
AX||
||
−−→
AB||
−−→
CB.
12. Dado um triângulo ABC, seja ~u = 12
−→
CA+ 13
−−→
CB. Seja X um ponto do segmento de reta AB tal
que o vetor
−−→
CX é paralelo ao vetor ~u.
(a) Exprima
−−→
CX como combinação linear dos vetores
−→
CA e
−−→
CB.
(b) Calcule ||
−−→
AX||
||
−−→
XB||
e a razão em que X divide o segmento de reta AB (ver Exerćıcio 13).
13. A razão em que um ponto P divide um segmento orientado não nulo AB é o número real r tal
que
−→
AP = r
−−→
PB.
(a) Seja r a razão em que um ponto P divide um segmento orientado não nulo AB. Prove que
r 6= −1 e que
−→
AP = r1+r
−−→
AB.
(b) No triângulo ABC na figura (a), M divide AB e N divide CB na mesma razão r. Prove
que MN ‖ AC e calcule ||
−−→
MN ||
||
−→
AC||
.
(c) No quadrilátero ABCD na figura (b), M divide AB, N divide CB, P divide CD e Q divide
AD, todos na mesma razão r. Prove que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.
(d) Suponha que o quadrilátero ABCD do item anterior seja um paralelogramo. Mostre que
as quatro diagonais, duas de ABCD e duas de MNPQ, tem um ponto em comum.
A
B
C
M N
A
B
C
D
M N
PQ
(a) (b)
Dependência linear
14. Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais
são falsas.
(a) Se ~u e ~v são L.I., então ~u, ~v, ~w são L.I. para todo ~w.
(b) Se ~u e ~v são L.D., então ~u, ~v, ~w são L.D. para todo ~w.
(c) Se ~u, ~v, ~w são L.D., então ~u, ~v são L.D.
15. Se os vetores ~u, ~v e ~w são tais que ~u e ~v são L.I., ~u e ~w são L.D. e ~v e ~w são L.D., mostre que
~w = 0.
16. Decida se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: “Se um conjunto
de vetores é L.D., então qualquer um dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais.”
17. Prove que se o conjunto de vetores (~u,~v, ~w) é L.I., então (~u+~v+ ~w, ~u−~v, 3~w) também é L.I., o
mesmo sucedendo com (~u+ ~v, ~u− ~w,~v + ~w).
18. Prove que (~u,~v) é L.I. se, e somente, se (~u+ ~v, ~u− ~v) é L.I..
19. Prove que (~u− 2~v + ~w, 2~u+ ~v + 3~w, ~u+ 8~v + 3~w) é L.D. quaisquer que sejam os vetores ~u,~v, ~w.
Base, coordenadas, mudanças de base
3
20. Seja E = (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base de V
3. Considere os vetores ~u = 2~e1−~e2+2~e3, ~v = 5~e1+5~e2−2~e3
e ~w = 3~e1 + 6~e2.
(a) Verifique se os vetores são L.D. em cada dos seguintes itens:
(i) ~u
(ii) ~u, ~0
(iii) ~u, (4,−2, 4)E
(iv) ~u, ~v, (1, 2, 3)E , (2, 1, 4)E
(b) Determine as coordenadas de ~u− ~v + 3~w na base E.
(c) Escreva se posśıvel:
(i) ~u como combinação linear de ~a = (4,−2, 4)E .
(ii) ~0 como combinação de ~u.
(iii) ~u como combinação de ~u.
(iv) ~v como combinação de ~u.
(v) ~u como combinação de ~v e ~a.
(vi) ~v como combinação de ~u e ~w.
21. Exiba, se posśıvel, os exemplos abaixo. Se imposśıvel explique o porquê.
(a) Uma base de V 3 que contenha os vetores (1,−2, 3)E e (−2, 4, 6)E
(b) Três vetores L.I. que não formem uma base do espaço.
22. Seja E = (~u ,~v , ~w) uma base de V 3. Dado um vector ~t, sabemos que existem números reais
α , β , γ ∈ R, tais que ~t = α~u+ β~v + γ ~w. Mostre que o conjunto {~u+ ~t ,~v + ~t , ~w + ~t} é formado
por vetores não coplanares se, e somente se, α+ β + γ + 1 6= 0.
23. Seja E uma base de V 3. Determine m ∈ R, de modo que o vetor ~u = (1 , 2 , 2)E seja combinação
linear dos vetores ~v = (m− 1 , 1 ,m− 2)E e ~w = (m+ 1 ,m− 1 , 2)E. Determine também m ∈ R,
para que os vetores ~u, ~v, ~w sejam L.D.
24. Seja E uma base de V 3. Determine m ∈ R, de modo que a sequência de vetores abaixo sejam
L.D.
(a) (m, 1 ,m)E , (1 ,m , 1)E (b)
(
1−m2 , 1−m, 0
)
E
, (m,m ,m)E
25. Sejam E = (~e1 , ~e2 , ~e3) uma base de V
3, ~u = (1, 2,−1)E, ~f1 = ~e1 +~e2 +~e3, ~f2 = m~e1 + 2m~e2−~e3
e ~f3 = 4~e2 + 3~e3.
(a) Para que valores de m ∈ R, F =
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
é uma base de V 3?
(b) Nas condições do item (a), calcule m ∈ R, para que ~u = (0 , 1 , 0)F.
26. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base de V
3, ~f1 = ~e1 − ~e2, ~f2 = ~e2 − ~e3 e ~f3 = 3~e3.
(a) Mostre que F =
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
é uma base de V 3.
(b) Calcule m ∈ R, para que os vetores ~u = (0 ,m , 1)E e ~v = (0 , 1 ,−1)F sejam L.D.
27. Consideremos à base E = (~e1 , ~e2 , ~e3) de V
3, e as relações: ~f1 = ~e1− ~e2− ~e3 ~f2 = ~e1 + 2~e2 + ~e3
~f3 = 2~e1 + ~e2 + 4~e3.
(a) Verifique que F =
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
é uma base de V 3.
(b) Ache a matriz de mudança de base, da base E = (~e1 , ~e2 , ~e3) para a base F =
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
.
(c) Sendo ~u = 3~e1− 5~e2 + 4~e3, achar a expressão do vetor ~v em relação à base F =
(
~f1 , ~f2 , ~f3
)
.
28. Sejam E = (~e1 , ~e2 , ~e3) base de V
3 e F = {(1 , 1 , 1)E , (1 , 2 , 0)E , (1 , 1 , 0)E} e G = {(2 , 1 ,−1)E ,
(3 , 0 , 1)E , (2 , 0 , 1)E}.
4
a) Mostre que F e G são bases de V 3.
b) Determine a matriz de mudança de base, da base E para a base F, isto é, MEF.
c) Se ~u = (m, 2 , 1)E, ~v = (1 , 1 , 1)F e ~w = (2 ,−1 , 1)F, determinar m ∈ R, de modo que os
vetores {~u ,~v , ~w} não formem uma base de V 3.
29. Assuma que todos os vetores estão expressos segundo uma base arbitrária pré-fixada de V 2.
(a) Obtenha a matriz de mudança da base E = {(1, 1), (1,−1)} para F = {(−1,−1), (1,−1)}.
(b) Obtenha a matriz de mudança da base E = {(3,−2), (−4, 3)} para F = {(1, 0), (1, 1)}.
Nos exerćıcio abaixo B = (~i,~j,~k) é uma base ortonormal positiva de V 3 e as coorde-
nadas de vetores são na base B.
Produto escalar
30. Sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0, ||~u|| = 3/2, ||~v|| = 1/2, ||~w|| = 2, calcule ~u · ~v + ~v · ~w + ~w · ~u.
31. Demonstrar que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é
igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados; em outras palavras, provar que
‖~u+ ~v‖2 + ‖~u− ~v‖2 = 2 ‖~u‖2 + 2 ‖~v‖2.
32. (a) Prove que ||~u+~v+ ~w||2 = ||~u||2 + ||~v||2 + ||~w||2+ 2(~u ·~v+~u · ~w+~v · ~w), quaisquer que sejam
~u,~v e ~w.
(b) Dados os vetores não nulos ~u,~v e ~w, sejam α = ang(~u,~v), β = ang(~u, ~w), γ = ang(~v, ~w).
Prove que −3/2 ≤ cosα+ cosβ + cos γ ≤ 3.
(c) Supondo, no item anterior, que α = β = γ, verifique se (~u,~v, ~w) é base.
33. Considere os vetores ~u = (1, 2,−3) e ~v = (2, 1,−2).
(a) Determine um vetor unitário e paralelo ao vetor ~u+ ~v.
(b) Determine o cosseno do ângulo formado por ~u e ~v.
34. Os vetores ~x e ~y formam ângulo de π3 radianos. Se ||~x|| = 1, ||~y|| = 2, ~u = ~x+ 2~y e ~v = 2~x− ~y,
determine o ângulo entre ~u e ~v.
35. Sejam os vetores ~u = (2,m,−1), ~v = (3, 1,−2) e ~w = (2m − 1,−2, 4). Determine m de modo
que ~u · ~v = (~u+ ~v) · (~v + ~w).
36. Determine o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (2,−1, 3), tal que ~v · ~u = −42.
37. Dados os vetores ~u = (1, 2,−3), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (3, 1, 0), determine o vetor ~x tal que
~x · ~u = −16, ~x · ~v = 0 e ~x · ~w = 3.
38. Calcule ||2~u+ 4~v||2, sabendo que ||~u|| = 1, ||~v|| = 2 e a medida em radianos do ângulo entre ~u e
~v é 2π3 .
39. Decomponha o vetor ~v = (−1,−3, 2) como soma de dois vetores ~p e ~q, de modo que ~p seja
paralelo e ~q seja ortogonal a ~u = (0, 1, 3).
Produto vetorial (o produto vetorial é denotado por ∧ ou ×)
40. Sejam
~u = (
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
), ~v = (− 2√
6
,
1√
6
,
1√
6
), ~w = (0,− 1√
2
,
1√
2
).
5
(i) Prove que F = (~u,~v, ~w) é uma base ortonormal positiva.
(ii) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores 2~u+ ~v e ~u− ~v.
(iii) Determine a projeção ortogonal do vetor 3~u+ 5~v sobre o vetor 2~u.
41. Sejam os vetores ~u = (3 , 1 ,−1) e ~v = (a , 0 , 2). Calcule o valor de a ∈ R, para que a área do
paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v seja igual a 2
√
6.
42. Sabendo que a medida em radianos do ângulo entre ~u e ~v é π/6, e que ||~u|| = 1, ||~v|| = 7, calcule
||~u× ~v|| e ||13~u×
3
4~v||.
43. Ache um vetor unitário ortogonal a ~u = (1,−3, 1) e a ~v = (−3, 3, 3).
44. Sabe-se que ~u é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma
√
3 e, sendo θ a medida do ângulo
entre ~u e (0, 1, 0) tem-se cos θ > 0. Ache ~u.
45. De um losango ABCD sabemos que A = (1, 0, 2), B = (2,−1, 2) e a diagonal AC é paralela ao
vetor ~u = (−1, 2, 2). Determine as coordenadas dos outros vértices.
46. Calcule o volume do tetraedro ABCD onde ~AB = (1, 1, 0), ~AC = (0, 1, 1) e ~AD = (−4, 0, 0).
47. Calcule a área do triângulo ABC onde ~AC = (−1, 1, 0) e ~AB = (0, 1, 3).
48. Dados os vetores ~u = (0 , 1 ,−1), ~v = (2 ,−2 ,−2) e ~w = (1 ,−1 , 2), determinar as coordenadas
do vetor ~x que seja paralelo ao vetor ~w e que satisfaça ~x ∧ ~u = ~v.
49. Dados os vetores ~u = 2~i− 3~j + 2~k e ~v = 4~i−~j + 2~k.
a) Calcule ~u ∧ ~v
b) Calcule o seno do ângulo entre os vetores ~u e ~v.
50. Sejam ~a,~b,~c vetores de V 3, tais que ‖~a‖ = ‖~b‖ = 3, ‖~c‖ = 6 e ~a+~b+ ~c = ~0. Calcule ~a ∧~b+ ~a ∧ ~c+~b ∧ ~c.
51. Suponha que os vetores ~a,~b,~c, ~d de V 3 verificam as relações ~a∧~b = ~c∧ ~d e ~a∧~c = ~b∧ ~d. Prove
que os vetoees ~a− ~d e ~b− ~c são L.D.
52. Se os vetores ~u,~v são L.I. em V 3 e o vetor ~w satisfaz ~w ∧ ~u = ~w ∧ ~v = ~0, mostrar que ~w = ~0.
53. Resolva o seguinte sistema na incógnita ~x{
~x · (2~i+ 3~j + 4~k) = 9
~x ∧ (−~i+~j − ~k) = −2~i+ 2~k
54. Prove que, qualquer que seja o vetor ~v, ||~v ∧~i||2 + ||~v ∧~j||2 + ||~v ∧ ~k||2 = 2||~v||2.