AD2 ICF1 2011 2

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IF/UFRJ Introdução às Ciências Físicas 
2o Semestre de 2011 AD2 de ICF1 
 
Coordenadoras:Ana Maria Senra Breitschaft 
Maria Antonieta T. de Almeida 1 
 
GABARITO DA AD2 DE ICF1 
 
Questão 1 ( 3,0 pontos) - Só ganham pontos na questão os alunos que fizeram a 
Prática 4. 
Esta questão não tem gabarito porque é individual. 
As três forças com suas incertezas (0,3 valendo 0,05 cada), os três ângulos com as 
incertezas (0,3 valendo 0,05 cada), as componentes das forças F1 e F2 com suas 
incertezas (0,8 valendo 0,1 cada), as componentes da força resultante obtidas com 
F1 e F2 com suas incertezas (0,4 valendo 0,1 cada), o cálculo das componentes da 
força resultante com as suas incertezas a partir F3 (0,4 valendo 0,1 cada). Os 
intervalos representados na reta (0,4 valendo 0,1 cada). A interpretação dos 
resultados (0,4). 
O aluno perde metade dos pontos em cada item que ele errar os algarismos 
significativo. 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos) 
 
Um pequeno pacote é lançado de uma 
altura h = 1,80 m do solo com uma 
velocidade 0v

 de módulo 5m/s e que 
faz um ângulo de 
! 
60° com a horizontal 
por sobre um muro afastado de uma 
distância d = 1,00 m do ponto de 
lançamento e de altura H = 2,00 m. 
Despreze a resistência do ar e 
considere a aceleração da gravidade 
! 
g =10m/s
2 . Trate o pacote como uma 
partícula. Utilize o sistema de eixos 
dado na figura-2. 
 
 
 
a) Escreva o vetor velocidade instantânea inicial do pacote em relação à Terra. Represente-o em 
termos dos unitários iˆ e j

 (direção de x e de y, respectivamente, representados na figura 2). 
 
! 
vox = vo cos(60°) = 2,5m/s
voy = vo sen(60°)" 4,3 m/s
! v o = vox ˆ i + voy ˆ j = (2,5 ˆ i + 4,3 ˆ j )m/s
 
 
b) Escreva x(t), y(t), vx(t) e vy(t) (componentes da velocidade instantânea) para o pacote como 
funções do tempo. 
 
! 
x(t) = xo + voxt = 2,5 t( )m
y(t) = yo + voyt " gt
2
2 = 1,8+ 4,3 t "5t
2( )m
 
 
! 
vx = vox = 2,5m/s
vy = voy " gt = 4,3"10t( )m/s
 
 
O tempo ( t) nas equações acima é dado em segundos. 
y 
x 
h 
H 
D d 
Figura-2 
0,2 (0,05 para cada 
componente e 0,1 para o 
vetor velocidade) 
0,4 (0,1 para cada 
equação) 
 
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c) Utilize o resultado do item b) para escrever o vetor posição r e o vetor velocidade instantânea 
v do pacote em termos dos unitários iˆ e j

 associados aos eixos OX e OY. 
 
! 
! r (t) = x(t) ˆ i + y(t) ˆ j = 2,5 t ˆ i + (1,8 + 4,3 t "5t2) ˆ j ( )m 
 
 
! 
! v (t) = vx (t) ˆ i + vy (t) ˆ j = (2,5 ˆ i + 4,3"10t( ) ˆ j )m/s 
 
O tempo ( t) nas equações acima é dado em segundos. 
 
d) A que altura do topo do muro o pacote irá passar? 
O pacote irá passar pelo topo do muro quando x = d, isto é, 
! 
t = dvox
=
1
2,5 s = 0,4 s . 
Com isso, 
! 
y(t) = 1,8+ 4,3"0,4 #5" 0,4( )2( )m$ 2,7m . Como a altura do muro é H = 
2,0m, então o pacote passa a uma distância igual a 0,7 m do topo do muro. 
 
e) Determine a distância D do muro até o ponto onde o pacote irá cair (despreze a largura do 
muro). 
A distância x que o pacote irá cair no chão em relação ao sistema de eixos OXY 
é o alcance A, e isso acontece para y = 0. Então, temos que resolver a equação: 
! 
y(t) = 1,8+ 4,3 t "5t2( )m=0 . As soluções para esta equação são: 
! 
t1 =1,17s
t2 = "0,31s
. A 
solução positiva é a que nos interessa. Substituindo o valor do tempo na 
equação para x(t), termos que: 
! 
x(t1) = A " 2,5#1,17( )m" 2,9m. 
A distância D = A-d = 1,9 m. 
 
f) Qual a velocidade instantânea do pacote no instante imediatamente anterior a ele cair no 
chão? Expresse esta velocidade em termos dos unitários iˆ e j

 associados aos eixos OX e 
OY. 
 
! 
! v = (2,5 ˆ i + 4,3"10#1,17( ) ˆ j )m/s = (2,5 ˆ i " 7,4 ˆ j )m/s e 
! 
! v = 2,5( )2 + 7,4( )2 m/s " 7,8m/s . 
 
 
 
Questão 3 (3,0 pontos) 
Dois blocos A e B com massas iguais a 
! 
m
A
= 2kg e 
! 
m
B
=1kg estão ligados por uma haste rígida de massa 
desprezível. O bloco A é empurrado por um homem que 
exerce uma força 
! 
! 
F de módulo 
! 
F = 5N e que faz um 
ângulo de 
! 
" = 35° com a horizontal (ver figura 3). O 
coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e a 
superfície é 
! 
µ
c
= 0,2 . Não há atrito entre o bloco A e a 
superfície. O sistema está em movimento. Considere a 
Terra como um referencial inercial e a aceleração da gravidade igual a 
! 
10m/s
2. Despreze a 
resistência do ar . 
 
a) Isole a bloco A e coloque todas as forças que atuam sobre ele. Onde estão aplicadas as 
reações a essas forças? 
Figura 3 
! X 
Y 
O 
0,2 (0,1 para cada 
equação) 
 
0,5 
 
0,2 
0,5 
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Estão em contato com o bloco A a superfície horizontal, o homem, a haste 
rígida e o ar. Como o problema manda desprezar a 
resistência do ar, só a superfície horizontal, o homem e a 
haste rígida podem exercer forças de contato sobre o 
bloco. A superfície horizontal, deformada pela ação da 
superfície do bloco A, empurra o bloco A para cima com a 
força normal 
! 
! 
N A . Como não existe atrito entre a superfície 
do bloco A e a superfície horizontal, não há força de 
atrito. O homem exerce a força 
! 
! 
F . A haste rígida exerce a 
força 
! 
! 
T A . A única força gravitacional não desprezível que 
atua no bloco A é o seu peso 
! 
! 
P A . A reação à força normal 
 
! 
! 
N A é 
! 
"
! 
N A e está aplicada no plano horizontal. A reação à 
força 
! 
! 
F é 
! 
"
! 
F e está aplicada no homem. A reação à força 
 
! 
! 
T A é 
! 
"
! 
T A e está aplicada na haste rígida. A reação á força 
peso é 
! 
"
! 
P A e está aplicada no centro da Terra. 
 
b) Escreva a Segunda Lei de Newton para o bloco A na representação simbólica vetorial (por 
exemplo, edc 

=+ ) e simbólica em componentes yyyxxx edcedc =+=+ ; ) . 
 
! 
! 
N A +
" 
P A +
" 
T A +
" 
F = mA
! a A ; 
! 
NAx +PAx +TAx +FAx = mA aAx ; 
! 
NAy +PAy +TAy +FAy = m aAy . 
 
c) Isole a bloco B e coloque todas as forças que atuam sobre ele. Onde estão aplicadas as 
reações a essas forças? 
Estão em contato com o bloco B a superfície horizontal, a haste 
rígida e o ar. Como o problema manda desprezar a resistência 
do ar, só a superfície horizontal e a haste rígida podem exercer 
forças de contato sobre o bloco. A superfície horizontal, 
deformada pela ação da superfície do bloco A, empurra o bloco 
B para cima coma força normal 
! 
! 
N B . Como existe atrito entre a 
superfície do bloco B e a superfície horizontal, a força de atrito 
 
! 
! 
f a que atua no bloco B tenta evitar o deslocamento relativo entre 
as superfícies. A haste rígida exerce a força 
! 
! 
T B . A única força 
gravitacional não desprezível que atua no bloco B é o seu peso 
 
! 
! 
P B . A reação às forças normal e de atrito 
! 
! 
N B são 
! 
"
! 
N B e 
! 
"
! 
f a e 
estão aplicadas no plano horizontal. A reação à força 
! 
! 
T B é 
! 
"
! 
T B e 
está aplicada na haste rígida. A reação á força peso é 
! 
"
! 
P B e está 
aplicada no centro da Terra. 
 
d) Escreva a Segunda Lei de Newton para o bloco B na representação simbólica vetorial e 
simbólica em componentes. 
 
! 
! 
N B +
! 
P B +
! 
T B +
! 
f a = mB
! a B ; 
! 
NBx +PBx +TBx + fax = mB aBx ; 
! 
NBy +PBy +TBy + fay = mB aBy . 
0,2 (0,05 para 
cada força e sua 
reação) 
0
0,3 (0,1 para simbólica vetorial 
e 0,1 para cada componente) 
00,3 (0,1 para simbólica vetorial 
e 0,1 para cada componente) 
 
! 
! 
N A
 
! 
! 
P A
 
! 
! 
T A
 
! 
! 
F 
 
! 
! 
N B
 
! 
! 
T B
 
! 
! 
f a 
! 
! 
P B
0,2 (0,05 para 
cada força e sua 
reação) 
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0,8 (0,05 para 
cada 
componente) 
0,4 
 
e) Escreva as componentes de todas as forças que atuam no bloco A e no bloco B em termos 
dos módulos das forças e dos ângulos relevantes. 
! 
NAx = 0N; NAy = NA ;
PAx = 0N; PAy = "mAg= "20N;
TAx = "TA ; TAy = 0N;
Fx = F cos(35°) # 4,1N; Fy = "F sen(35°) # "2,9N;
 
 
! 
NBx = 0N; NBy = NB ;
PBx = 0N; PBy = "mBg= "10N;
TBx = TB ; TBy = 0N;
fax = "µcNB ; fay = 0N;
 
f) Determine a aceleração do sistema. 
Com a haste é rígida e tem massa desprezível temos que: 
! 
aA = aB = a e 
! 
TA = TB = T . 
A aplicação da segunda Lei de Newton ao bloco A fornece: 
! 
F cos(35°) "T = mAa # T = 4,1N -mAa
NA "mAg"F sen(35°) = 0 # NA = 20N +2,9N = 22,9N
. 
 
A aplicação da segunda Lei de Newton ao bloco B fornece: 
! 
NB "mBg= 0 # NB =10N;
T "µcNB = mBa # T = 0,2$10N +mBa = 2N +mBa
 
Igualando as duas relações para temos 
! 
T que 
 
! 
T = 4,1N -mAa = 2N +mBa " a =
2,1
3 m/s
2 = 0,7m/s2 . 
 
g) Escreva todas as forças que atuam no bloco A, no bloco B e a aceleração do sistema em 
termos dos vetores unitários iˆ e jˆ associados aos eixos OX e OY. 
Primeiro, vamos determinar o valor de 
! 
T . 
! 
T = 2N +1"0,7N = 2,7N
 
 
 
! 
! 
N A = 22,9 ˆ j ( )N;
! 
P A = "20 ˆ j ( )N;
! 
T A = "2,7 ˆ i ( )N;
! 
F = 4,1 ˆ i "2,9 ˆ j ( )N; 
 
! 
! 
N B = 10 ˆ j ( )N;
! 
P b = "10 ˆ j ( )N;
! 
T B = 2,7 ˆ i ( )N; fa = "2,0 ˆ i ( )N; 
 
 
Questão 4 ( 2 pontos) 
Antes de resolver essa questão leia o texto intitulado “A força de resistência do ar” 
apresentado a seguir e veja o vídeo “A resistência do Ar “ . O vídeo está disponível na 
plataforma Cederj, no polo para cópia e no Youtube na página: 
 http://www.youtube.com/watch?v=KNkVltc7_cI&feature=player_embedded . 
“A Força de resistência do Ar” . 
O módulo da força de resistência (força de arrasto) que o ar exerce sobre um corpo rombudo 
pode ser escrito como
! 
F
re
=
1
2
"
ar
C
x
A v
2 . A direção desta força é dada pela direção da velocidade 
do vento, arρ é a densidade do ar, xC é um parâmetro determinado experimentalmente 
0,8 (0,2 para cada 
força) 
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conhecido como coeficiente de arrasto aerodinâmico (este parâmetro depende da forma do 
corpo), 
! 
A é a projeção da área de impacto na direção da velocidade e v é o módulo da velocidade 
do vento. 
Para determinar a área de impacto, devemos verificar qual é o lado do objeto que está voltado para 
o movimento e, a partir daí, descobrir em que ponto essa área é maior. Veja a ilustração a seguir, 
por exemplo, onde mostramos a área de um automóvel voltada para o movimento. A área A neste 
caso coincide com a seção reta do carro. 
 
 
 
 
 
Uma placa quadrada fixada por um suporte na beira de uma estrada está sob a ação de um vento 
forte de velocidade constante e igual a 60km/h . Suponha que o suporte e a placa são rígidos e 
verticais. Considere 
! 
A = 4m
2 , 
! 
C
x
=1,2 e 
! 
"
ar
=
! 
1kg/m
3 , a massa da placa 
! 
m = 500kg e a 
aceleração da gravidade 
! 
g =10m/s
2 . 
a) Faça um desenho da placa com todas as forças que agem sobre ela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine a força de resistência do ar. 
Antes, vamos transformar a velocidade do ar que está em km/h para m/s. 
! 
v = 60km/h "16,7m/s . Então 
! 
Fre =
1
2 "ar Cx A v
2 #
1
2 $1$1,2$ 4 $ 16,7( )
2N # 669N 
 
c) Determine o módulo da força exercida pelo suporte sobre a placa para que ela não seja 
arrancada do suporte. 
Para que a placa não seja arrancada do suporte, o somatório das forças sobre a 
placa deve ser nulo. Estamos supondo que a direção da velocidade do vento é 
normal à area da placa. Logo 
 
! 
! 
F re +
! 
P +
! 
F suporte =
! 
0 "
! 
F suporte = #
! 
F re +
! 
P ( ) . 
Temos que 
! 
P = mg = 5000N , então 
 
! 
! 
F suporte =
! 
F re
2
+
! 
P 2 " 5044N . 
 
Questão 5 de auto-avaliação do Módulo 3. - Ela não deve ser entregue junto com a 
AD. 
 
Período sideral é o período que decorre numa revolução completa em torno do Sol de um corpo 
celeste. Este período reflete o tempo real de translação de um corpo relativamente ao Sol. Um 
período sideral representa um ano planetário sendo diferente para cada um dos diversos corpos 
celestes. 
Vista Lateral 
da placa 
Suporte 
 
! 
! 
F re
 
! 
! 
P 
 
! 
! 
F suporte
0,6 (0,2 para cada 
força) 
0,8 
0,6 
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a) Netuno é o planeta mais distante do Sistema solar. A massa de Netuno é igual a 
! 
1,0"10
26
 kg 
e a sua distância ao Sol vale 
! 
4,5"10
9
km. A constante de gravitação universal é igual a 
! 
G = 6,7"10
#11
Nm
2
/kg
2e a massa do Sol é igual a 
! 
2,0"10
30
 kg . Utilize a Lei da Gravitação 
Universal e as fórmulas da cinemática do movimento circular para obter o período sideral de 
Netuno. Suponha que o centro de massa do sistema Sol-Netuno está sobre o centro de massa 
do Sol. Forneçaa sua resposta com dois algarismos significativos. 
Vamos usar a seguinte notação: 
MS – Massa do Sol MN – Massa de Netuno 
ω – velocidade angular TN – período sideral de Netuno 
d – distância entre o Sol e Netuno 
Da Segunda Lei de Newton temos que: 
! 
! 
F = m! a , onde 
 
 
! 
! 
F = GMSMN
d 2
, 
! 
m =MN e 
! 
a ="2d . Logo 
! 
GMSMN
d 2
=MN"2d #
GMS
d 2
="2d
" =
2$
TN
#
GMS
d 2
=
2$
TN
% 
& 
' 
( 
) 
* 
2
d # TN =
4$ 2
GMS
d 3 + 52,108s + 60,103dias
 
b) A figura 5-a mostra os centros do Sol, da Terra e Netuno alinhados (elongação igual a 180o). 
Período sinódico é o menor tempo para o centro da Terra, do Sol e de Netuno se alinharem 
novamente como ocorreu na figura 5-b. O período sideral da Terra é igual a 
! 
T
T
= 365,26 dias e 
o período sinódico de Netuno é igual a 
! 
S
N
= 367,49 dias. Determine o período sideral de 
Netuno a partir do período sideral da Terra e do período sinódico de Netuno. Suponha que as 
órbitas sejam circulares. Compare com os resultados obtidos no item anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade angular da Terra em torno do Sol é 
! 
" T=
360°
TT
. A velocidade angular de 
Netuno em torno do Sol é 
! 
" N=
360°
TN
. Os ângulos percorrido pela Terra e Netuno 
são:
! 
" T=#T t ;"N =#Nt . Ao se alinharem novamente a diferença entre os ângulo 
Figura 5-a Figura 5-b 
Terra Netuno 
Sol 
θ
Sol 
Terra 
Netuno 
 
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percorridos vale 360o. O tempo t para que isso ocorra é período sinódico de Netuno, 
SN. 
! 
"T #"N =$TSN #$NSN = 360° % SN =
360°
$T #$N
=
360°
360°
TT
#
360°
TN
 
! 
360°
SN
=
360°
TT
"
360°
TN
#
1
TN
=
1
TT
"
1
SN
# TN =
SNTT
SN "TT
$ 60%103 dias 
Na figura 5-c estão representados o eixo de rotação da Terra, a linha do Equador, os Hemisférios 
Norte e Sul e os raios solares. Baseado na figura, responda as perguntas abaixo. 
 
c) Na situação apresentada na figura, diga em qual dos dois Hemisférios é verão. Justifique sua 
resposta. É verão no Hemisfério Sul, porque a incidência solar é maior neste 
hemisfério. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Refaça o desenho para que agora seja inverno neste mesmo Hemisfério. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Mostre na figura em que posição a Lua deve estar para que possa haver eclipse lunar. 
Explique o que deve ocorrer para que este eclipse aconteça. 
Veja Figura 5-c. 
Um eclipse lunar ocorre quando a Lua penetra na sombra 
da Terra. Na figura ao lado podemos ver a geometria 
desse evento. Um eclipse lunar é total apenas quando a 
Lua entra totalmente na umbra da Terra (perto dos pontos 
nodais da órbita da Lua); do contrário, temos um eclipse 
Figura 5-c 
Lua 
Figura 5-d 
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parcial. Um eclipse lunar ocorre somente quando o Sol, a Terra e a Lua se 
encontram alinhados com a Terra entre o Sol e a Lua, ou seja, a Lua deve estar 
em sua fase cheia. 
 
f) Diga se a afirmação a seguir é falsa ou verdadeira, dando uma justificativa para a sua resposta: 
“o fato da órbita da Terra em torno do Sol ser elíptica não justifica a existência 
das diferentes estações na Terra”. 
A afirmação é verdadeira. Se a justificativa para a existência das diferentes 
estações na Terra fosse o fato da órbita ser elíptica, as estações seriam as 
mesmas nos dois hemisférios (verão nos dois hemisférios),o que não acontece. 
As estações do ano ocorrem porque o eixo de rotação da Terra é inclinado em 
relação à reta perpendicular à sua órbita em torno do Sol (eclíptica). Como 
consequência dessa inclinação, os raio solares atingem as diversas regiões da 
Terra com inclinações que mudam durante o ano. Como a energia solar que 
atinge uma determinada região depende da inclinação dos raios solares, as 
temperaturas variam durante o ano produzindo as diferentes estações.