01 Teoria Elementar dos Conjuntos

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Teoria Elementar dos Conjuntos
 
Teoria Elementar dos Conjuntos
● Conjunto é uma coleção de elementos, sem 
repetição e não ordenada.
● Conjuntos são representados por letras 
maiúsculas. Exemplo: A, B, C…
● Elementos de um conjunto são representados 
por letras minúsculas. Exemplo: a, b, c...
 
Um conjunto pode ser especificado usando 
uma regra. Exemplo de regras:
a) Extensão - Exemplo: {2, 1, 3, 0};
b) Graficamente – Exemplo:
c) Compreensão - Exemplo: A = { x | x  N e x < 4}
2
0
3
1
 
Pertinência
a  A
 
Pertinência
a  A
 
Conjunto Universo
U
U
 
Conjunto Vazio
A = 
A = {}
O conjunto vazio está contido em todo conjunto.
 
Relações entre conjuntos:
Subconjuntos
A  B “A está contido B”
B  A “B contém A”
 
Relações entre conjuntos:
Subconjuntos
A  B “A não está contido B”
 
Relações entre conjuntos:
Subconjuntos - Exemplo
A = {a, b, }
B = {z, b, d, a} 
A  B ou B  A
A
B
 
Relações entre conjuntos: 
Igualdade
A = B
A = B se A  B e B  A.
 
Conjunto Complemento
Seja A um conjunto com alguns elementos do 
universo U e seja A’ o conjunto formado pelos 
elementos de U que não estão em A. Assim A’ é 
dito complemento de A.
A’ = { x | x  U, x  A}
U
A’
A
 
Conjunto Potência
Um conjunto pode ser um elemento de um outro conjunto.
Seja A = {a, b, c}, o conjunto potência de A é formado por todas as 
combinações possíveis entre os elementos de A, isto é:
{, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
O conjunto potência de A é representado por 2A.
Se um conjunto A tem n elementos, o seu conjunto potência tem 2n elementos.
 
Operações sobre conjuntos:
União
C = A  B
Diagrama de Venn:
A B
C = A  B
 
Operações sobre conjuntos:
Interseção
C = A  B
Diagrama de Venn:
A B
C = A  B
 
Operações sobre conjuntos:
Diferença
C = A - B
Diagrama de Venn:
A B
C = A - B
 
Pares Ordenados
Um par ordenado é denotado por (x, y), sendo: 
● x, o primeiro elemento;
● y, o segundo elemento.
A ordem é importante, pois (1,2) e (2,1) são 
elementos diferentes.
 
Produto Cartesiano
● Dados dois conjuntos A e B, o produto 
cartesiano A x B é o conjunto dos pares 
ordenados com primeiros componentes de A e 
segundos componentes de B, ou seja:
A x B = {(a, b) | a  A e b  B};
B x A = {(b, a) | a  A e b  B}.
 
Produto Cartesiano:
Representação Gráfica
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
Relações Binárias
Uma relação binária entre A e B é um conjunto de 
pares ordenados com primeiras componentes em A 
e segundas componentes em B. 
Se R é uma relação binária entre A e B, então aRb 
indica que (a, b)  R. 
Exemplo: R = {(x, y)  AxB | y = x, x  N e y  N}
 
Relações Binárias
R = {(x, y)  AxB | y = x, x  N, y  N, x < 4 e y < 4}
0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
 
Funções
Uma função de A em B é uma relação binária f 
entre A e B, tal que para cada x  A, existe um 
único y  B, tal que (x, y)  f.
Y = f(x) ou f: A → B
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