Aula 20 Serie de Fourier

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CAPÍTULO 10 
 
 
SÉRIE DE FOURIER 
 
 
 
 
Objetivo 
Aplicação da série trigonométrica de Fourier. 
 
 
 
10.1 - Introdução 
10.2 - Série trigonométrica de Fourier 
10.3 - Série exponencial de Fourier 
10.4 - A transformada de Fourier 
10.5 - Aplicação da série em circuitos elétricos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
19 
 
SÉRIE TRIGONOMÉTRICA FOURIER 
 
 
 
 
 
 
 
10.1 - Introdução 
10.2 - A série trigonométrica de Fourier 
 a) Formas de onda 
 b) A série 
c) Condições de convergência 
d) Os coeficientes 
 e) Exemplos 
f) Exercício 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
20 
 
10.1 - Considerações iniciais 
 
Jean Baptiste Joseph Fourier, matemático, egiptólogo e administrador francês, em 
1822 publicou um trabalho de grande influência sobre a teoria matemática de 
condução de calor. Foi principalmente por causa de uma série infinita de senóides, 
que desenvolveu uma obra prima que tornou-se famosa, a série de Fourier. 
Com esta série não estamos mais restritos aos métodos fasoriais simplificados, 
como em circuitos cujas entradas são senóides. 
 
Figura 9.1 - Jean Baptiste Joseph Fourier 
 
Existem muitas funções de entrada que são importantes em engenharia, que não 
são nem exponenciais nem senóides, para os quais os métodos fasoriais não se 
aplicam diretamente. Alguns exemplos são: ondas quadradas, ondas dente-de-
serra e pulsos triangulares. Com efeito, uma função pode ser representada por um 
número de pontos e não ter uma representação analítica. Vamos estudar estas 
funções adicionais e mostrar como podemos representá-las em termos das 
familiares funções senoidais, e desta forma, usar fasores como antes. 
 
 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
21 
 
10.2 - A série trigonométrica de Fourier 
 
a) Formas de onda 
Seja por exemplo, as formas de ondas periódicas representadas na Figura 10.2, 
onde a Figura 10.2(a) é um sinal de varredura que controla o feixe de elétrons 
que controla o feixe de raios catódicos, fazendo com que a imagem na tela se 
reproduza rapidamente a cada T segundos dando a ilusão de uma imagem 
estacionária. AS funções das Figs. 10.2 (b) e (c) são respectivamente: uma 
onda senoidal retificada em onda completa e meia-onda, usadas para converter 
ca em cc pulsante. O sinal da Fig. 10.2(d) é uma onda quadrada que pode ser 
usada como um relógio para estimular um relógio periodicamente por 
pequenos intervalos quando seu valor for positivo. 
 
 
Figura 10.2 - Formas de ondas periódicas 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
22 
 
Todos estes sinais são muito comuns, mas visto que não são nem exponenciais 
nem senoidais, o método fasorial não pode ser aplicado diretamente aos 
circuitos para os quais eles são entradas. 
As formas de onda da Figura 10.2 tem uma coisa em comum, contudo: todas 
elas são funções f(t), com período T, ou seja, 
���� = ��� + ��� 
onde o período T é o menor valor que satisfaz a equação . 
 
b) A série 
Como Fourier demonstrou, se tal função f(t) satisfaz um conjunto de condições 
gerais, ela então pode ser representada por uma série infinita de senóides, tal 
que: 
���� = 	
2 + 	� cos��
�� + 	� cos�2�
�� + 
�� sen��
�� + �� sen�2�
��+	. . 
ou, de forma mais compacta, 
���� = 	
2 +�	� cos���
�� + �� sen���
��
�
���
 
onde 
�
 = 2�� 
Esta série, é chamada série trigonométrica de Fourier , ou simplesmente série 
de Fourier de f(t). Os a’s e b’s são chamados de coeficientes de Fourier e 
dependem evidentemente de f(t). 
 
Vemos portanto, que uma onda não senoidal que não tem representação 
fasorial, pode ser representada por uma série de senóides, onde cada uma 
possui uma representação fasorial. 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
23 
 
Também vemos, que uma função não senoidal pode conter não apenas uma 
frequência com uma onda senoidal, mas um número infinito de frequências, 0, 
ω0, 2 ω0, ... 
 
c) Condições de convergência 
Segundo “Dirichlet”, para que a série de Fourier de f(t) convirja é 
necessário que atenda as seguintes condições: 
1) - f(t) seja uma função que apresente um único valor em qualquer ponto. 
(unívoca). 
2) - f(t) possua um número finito de descontinuidades em qualquer 
intervalo periódico. 
3) - f(t) possua um número finito de máximos e mínimos em qualquer 
período. 
4) - A integral: 		� |����|�� !�� "�	 < 	∞ para qualquer t0 . 
 
d) Os coeficientes 
O cálculo dos coeficientes da série de Fourier pode ser facilitado utilizando a 
tabela 10.1 para obtermos o resultado da integração de funções senoidais 
dentro do intervalo de um período. 
Tabela 10.1 - Integração de funções senoidais 
 %�&� ' %�&�
()*
+
,&, * ≠ + 
/0���� + 1� 0 23/��� + 1� 0 		/0����� + 1� 0 
 	23/���� + 1� 0 /0��4�� + 1�	23/���� + 1� 0 23/�4�� + 1�	23/���� + 1� 0, m≠ � 
 �/�, m=n 
 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
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Coeficiente a0 
O coeficiente a0 é calculado integrando de 0 a T os dois lados da equação da série 
de Fourier. 
' ����	"�!
= ' 	
2
!
"� +� 	' 6a8cos���
�� + �� sen���
��9
!
�
���
"� 
Visto que T=2π/ω , cada termo no somatório é zero, de acordo com a tabela 
anterior, e portanto, integrando os dois lados da equação acima, temos 
' ����	"�!
= ' 	
2 "�
!
 
Calculando a0 , resulta 
		
 = 2�' ����	"�
!
 
Coeficiente an 
Multiplicando f(t) por cos(mω0t) onde m é um inteiro, e integrando de 0 a T, 
obtemos: 
' ���� cos�4�
�� "�
!
= ' 	
2 cos�4�
�
!
+ 
�	:' 6a8cos�4�
�� cos	���
�� + �� cos�4�
� sen���
��9"�
!
;
�
���
 
 
De acordo com a Tabela 10.1, os termos a0 e bn tornam-se zero considerando α=0 
para m e n inteiros. O termo an é zero para m≠n . Para m=n resulta : 
' ���� cos�4�
�� "�
!
= 	�' cos��4�
�� "�
!
 
= ��
 	� =
�
2 	� 
onde α=β=0 . 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
25 
 
Considerando f(t) = cos(nω0t) , 
	� = 2�' ���� cos�4�
�� "�
!
		,				4 = 0,1,2,3… 
 
Coeficiente bn 
Multiplicando f(t) por sen(mω0t), integrando de 0 a T e aplicando a tabela, resulta: 
�� = 2�' ���� sen�4�
�� "�
!
		,				4 = 0,1,2,3… 
 
Notamos que a equação de a0 é um caso especial onde m=0. 
Visto que f(t) e cos(nω0t) são periódicas de período T, seu produto também é 
periódico de período T. De modo similar, o produto f(t) por sen(mω0t) também é 
periódico de período T. 
Desta forma, podemos integrar sobre qualquer intervalo de comprimento T, tal 
como t0 a t0+T para um t0 arbitrário e o resultado será o mesmo. 
Portanto, podemos resumir dando os coeficientes de Fourier na forma: 
 
	� = 2�' ���� cos���
�� "�
�� !
��
		,				� = 0,1,2,3… 
�� = 2�' ���� sen���
�� "�
�� !
��
		,				� = 0,1,2,3… 
 
Assim, os coeficientes de Fourier são gerais e se verificam para todas as funções 
que encontramos na engenharia. 
 
 
 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
26 
 
e) Exemplo 
Seja uma onda quadrada , onde: 
���� = 0							 → 		−2 < � < −1 
 ���� = 6							 → 		−1 < � < 1 
 ���� = 0						 → 						1 < � < 2 
 ��� + 4� = ���� 
Representandof(t) na Figura 10.3, teremos: 
2− 1− 10 2
t
1
2
3
4
5
6
f ( t )
 
Figura 10.3 - Forma de onda para f(t) 
 
Neste caso, � = 4 e �
 = �D! = �DE = D� . Posicionando t0 em -1, teremos:	
0t
2− 1− 10 2
t
1
2
3
4
5
6
f ( t )
3 4 5
0t t+
 
Figura 10.4 - f(t) simetricamente posicionada 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
27 
 
Podemos perceber na Figura 10.3 que no intervalo entre -2 a 2, f(t) assume três 
estados com valores 0, 6 e 0 se tomando t0 a partir de -2. Porém, se tomarmos t0 a 
partir de -1 (conforme a figura 10.4) até t0+T em t=3, teremos somente dois 
estados para f(t) e, além disso, uma simetria horizontal na forma de onda, o que 
facilita o cálculo dos coeficientes, reduzindo a duas integrações . Desta forma, 
vamos escolher este intervalo. 
Então, 
	
 = 2�' ����	"�
�� !
��
 
onde 
	
 = 24' 6	"�
�
F�
+	24' 0	"�
G
�
 
	
 = 36�9F�� 	+ 0 = 361 + 19 
H+ = I 
Calculando an , teremos: 
	� = 2�' ���� cos���
�� "�
�� !
��
		,				� = 0,1,2,3… 
�
 = 2�4 =
�
2 
	� = 24' 6 cos J
��
2 �K "�
�
F�
				 
Integrando a expressão acima de -1 a 1, teremos: 
	� = 3 L 2�� /0� J
��
2 �KM
1
−1 
Aplicando os limites em t e calculando a expressão, resulta: 
HN = O(N)PQN J
N)
( K 						,				� = 0,1,2,3… 
 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
28 
 
Calculando bn , 
�� = 2�' ���� sen���
�� "�
�� !
��
		,				� = 0,1,2,3… 
�� = 124 ' sen J
��
2 �K "�
�
F�
						 
�� = 3�� R−	23/ J
��
2 �KS
1
−1 
que integrando resulta 
�� = − 3�� R	23/ J
��
2 K − 23/ J
−��
2 KS 
onde 
TN = + 
Escrevendo a série, teremos: 
���� = 	
2 +�	� cos���
��
�
���
 
���� = 3 +�L12�� /0� J
��
2 K cos J
��
2 �KM
�
���
 
simplificando, 
���� = 3 + 12� � L
1
� /0� J
��
2 K cos J
��
2 �KM
�
���
 
calculando até a 5ª harmônica, obtemos: 
���� = 3 + 12� R1	/0� J
�
2KU cos J
�
2 �K +
1
2 	/0���� cos��� +	 
1
3 	/0� UV
3�
2 W cos V
3�
2 �W +
1
5 /0� V
5�
2 W cos V
5�
2 �WM 
%�&� = Y + O() 	RZ[\ J
)
( &KU −
O
Y 	]^P V
Y)
( &W +	
O
_ ]^P U
_)
( &M 
e portanto, a série oscila convergindo para a onda quadrada dada na Fig 10.4. 
 Capítulo 10 - Série de Fourier 
 
29 
 
f) Exercícios 
1- Calcule a série de Fourier para: 
���� = 2			 → 		0 < � < D� 
 ���� = 0				 → 		 D� < � < � 
 ��� + �� = ����						 
 
Resp: ���� = 1 + ED∑ Jab����F�����F� K���� 	 
 
2- Calcule a série de Fourier para: 
���� = 0				 → 		−1 < � < − �� 
 ���� = 4				 → 		− �� < � < �� 
 ���� = 0			 → 						 �� < � < 1 
 ��� + 2� = ����						 
 
Resp: ���� = 2 + cD∑ �F��
defghi	���F��D�
��F����� 	 
 
3 - Dada a forma de onda dente-de-serra na Fig. 10.5, calcule a série de 
Fourier para as três primeiras harmônicas e esboce sua curva de resposta 
para a soma das 10 primeiras harmônicas. 
 
Figura 10.5 - Onda dente-de-serra 
José Francisco Castelo Branco Filho 
 
30 
 
Resp 
	j = 0	;		� = 0	;		�� = ���F��d�D 
���� = ��D 	 Rab����� − ab������ + ab��G��G −	… S 
 
 
 
 
REFERÊNCIA 
 
1- JOHNSON, DAVID E. , HILBORN - Fundamentos de Análise de 
Circuitos Elétricos, LTC, 2000, Rio de Janeiro.