Aula 15 Transformador linear(1)

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Capítulo 8 - Transformadores 
 
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8.5 - Transformador linear 
 
Considerando constante a relação entre fluxos e correntes que atuam nas 
bobinas de um transformador, teremos uma indutância caracterizada em cada 
bobina onde suas relações tensão-corrente são lineares podendo ser calculadas 
usando a Lei de Ohm, se consideramos uma frequência constante. 
 
Dado o circuito do transformador com carga e fonte no secundário, temos : 
• •+
−
1L 2L1v 2e
+
−
1e
M
→1I
→2i
1N 2N
1R 2R
2v
+
−
+
−
 
Figura 8.6 - Transformador com carga e fonte E2 
 
No circuito da Fig. 8.6, as tenssões nos terminais do transformador são: 
�� = �� ����� +	
��
�� 
�
 = 	����� + �
��
�� 
Para uma corrente na referência podemos escrever: 
� = �
���(��) onde, 
�� = �	 ���� = �	�	�
���(��) 
A tensão ca na bobina pode ser escrita como 
�� = ��	� = ��	� 
Assim, 
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na bobina do primário a corrente total pode ser calculada aplicando a Lei de Ohm : 
�� = ����� =	
���� 
Assim, substituindo di/dt pelos seus respectivos valores nas equações de e1 e e2, 
e considerando as impedâncias de entrada e saída, encontramos na forma geral: 
�� = ±!��� ± !	�
 
�
 = ±!	�� ± !
�
 
 
Considerando um transformador com carga conforme a Figura 8.7, temos: 
 
• •+
−
1L 2L1v 2e
+
−
1e
M
→ 1I →2i
1N 2N
1R
2R 2v
+
−
+
−
 
Figura 8.7 - Transformador com carga 
 
Podemos constatar que só existe uma força motriz no primário que é a tensão v1. 
Considerando i1>0, e representando a equação anterior na forma fasorial, teremos 
para as bobinas dispostas na configuração 1 : 
"# � = !# �$#� − !#	$#
 
& = !#	$� − !# 
$#
 
onde 
�#� = '� + (��� 
�#) = ') + (��) 
�#* = (�+ 
Utilizando a regra de Cramer podemos calcular a corrente I2 na saída do trans- 
formador. 
 Capítulo 8 - Transformadores 
 
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O determinante é calculado considerando o sinal de igualdade do lado direito, 
e portanto, teremos: 
,�) = -�#� .#��#* .#)- 
A corrente �#2 é dada por : 
�#) = ,�#), 
 
�#) =
-�#� .#��#* 0 -
-�#� −�# *�#* −�#) -
= 	 	−�## *.#�−�# ��#) + �#*)	 
 
O fasor de tensão V2 é calculado por: 
.#) = ')�#) =		 	−')	0�#*.#�1−�# ��#) + �#*)	 
Considerando: 
 �#� =Z1	�234, 	�# ) = �)	�235 		�				�#* = �*	�267,	 
obtemos finalmente: 
"# 
 = 	9
	!		�
:;&°	
!�!
	�:(=�>=
) + !	
		 "# � 
onde uma inversão em V2 dependerá dos ângulos das impedâncias θ1 e θ2 , do 
ponto de vista da representação linear do transformador. 
Do sistema de equações utilizado, por outro lado, obtemos no secundário: 
�#) =	+# �#��#) 
e 
.#) =	�#)	�#) = �#) *# ?#4@#5 = +# �#�	 
 Capítulo 8 - Transformadores 
 
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.#) = +��	�2(67°>3A4) 
onde podemos concluir que a inversão de V2 depende de θI1 >90° para o transfor- 
mador disposto na configuração 1. 
Na equação desenvolvida a relação de entrada e saída do transformador pode ser 
obtida calculando-se o módulo da expressão V2/V1, onde obtemos uma opção que 
não depende da relação de espiras, e sim dos valores dos componentes do circuito 
que podem ser obtidos através de medidas elétricas. 
 
8.5.1 - Circuitos com transformadores lineares 
Exemplo 
 
Figura 8.8 - Diferentes potenciais de referência 
 
Como podemos notar na Figura 8.8, é ilustrada a aplicação prática de um 
transformador linear onde os potenciais elétricos possuem diferentes referências 
no primário e secundário. 
Por essa razão, o secundário de transformador é considerado como tendo um 
isolamento cc em relação ao primário. 
O ponto A está num potencial absoluto: V0 + R2 i2 em relação ao terra. 
Se fizermos V0=0 vê-se que os terminais inferiores do transformador estão 
conectados e os circuitos primário e secundário tem um ponto comum de 
referência. Neste caso o transformador é um circuito de três terminais. 
 Capítulo 8 - Transformadores 
 
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8.5.1 -Exercício 
No circuito da Figura 8.9 são dados: 
.#� = 2350 − (	87,857	(.); ω = 377(rd/s) ; �#� = 0 + (20	(Ω) ; �� = 2(H) 
�) = 0,2(H), + = 0,6(H); �#) = 25 + (15	(Ω), 	�KL = 145,41 + (	228,21	(Ω) 
 
Determine: o módulo da impedância de entrada �#KL		, �#�	, 	�#)		, �		.#)	 
• •+
−
1L 2L1V 2e
+
−
1e
M
→ 1I
1LX 2LX
1Z
2Z
2I
→
2V
 
 Figura 8.9 - Transformador linear com carga 
 
Respostas: 
 �KL = 270,6	(Ω) 
 �#� = 4,393 − (	7,498	(O) 
 �#) = 8,69 - j 0,091 (A) 
 	.#) = 4,5 + (	2,636	(.) 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
1- THOMAS, ROLAND E. , ROSA, ALBERT J., TOUSSANINT, GREGORI J. 
-Análise e Projetos de Circuitos Elétricos Lineares, Bookman, 2011, Porto Alegre. 
2 - JOHNSON, DAVID E. , HILBORN - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, 
LTC, 2000, Rio de Janeiro.