Circuitos Elétricos - Fundamentos e Análise (UniFatecie)

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Circuitos Elétricos:
Fundamentos e Análise
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 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP 
 
S729c Souza, Lucas Ferreira de 
 Circuitos elétricos: fundamentos e análise / Lucas Ferreira 
 de Souza. Paranavaí: EduFatecie, 2022. 
 93 p. : il. Color. 
 
 
 
1. Circuitos elétricos. 2. Eletricidade. 3. Energia elétrica - 
 Transmissão. I. Centro Universitário UniFatecie. II. Núcleo de 
 Educação a Distância. III. Título. 
 
 CDD : 23 ed. 621.3192 
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577 
 
2 
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livro foram obtidas a partir 
do site Shutterstock.
AUTOR
Professor Esp. Lucas Ferreira de Souza
Atuei como Professor Presencial durante 2 anos no Instituto Federal de Paraná, 
campus Paranavaí-PR, no curso de Engenharia Elétrica. Atuei também como Professor 
Presencial durante 3 anos na UniFatecie, em Paranavaí-PR, no curso de Engenharia Civil, 
lecionando em disciplinas da área de Eletricidade. Atualmente, sou Engenheiro Mecatrônico 
na indústria de painéis solares fotovoltaicos, há cerca de 3 anos, lecionando em treinamen-
tos da área de energia solar fotovoltaica e gerenciando equipe de instalação e manutenção 
de Sistemas Gerador Fotovoltaico. Também sou Professor do curso de Engenharia Elétrica 
na EAD UniFatecie, ministrando na disciplina de Circuitos Elétricos. 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/0147540462326329 
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo (a)!
Prezado (a) aluno (a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Proponho, junto 
com você construir nosso conhecimento sobre Fundamentos e Análise de Circuitos Elétricos, 
ou seja, os conceitos básicos de circuitos elétricos até análise complexas. Além de conhecer 
os principais conceitos e definições, vamos explorar as mais diversas aplicações de circuitos 
resistivos com uma malha até circuito resistivo capacitivo e indutivo de duas ou mais malhas. 
Na Unidade I, começaremos a estudar sobre as grandezas elétricas, fonte de-
pendentes e independentes, e diversas formas de análise mais simples, como o divisor 
de tensão por exemplo. Estes conceitos são necessários para que possamos trabalhar a 
segunda unidade do livro, que versará sobre a análise de malhas.
Já na Unidade II, vamos ampliar nossos conhecimentos sobre as duas Leis de Kir-
chhoff. Para isso, vamos detalhar cada uma das etapas para realizar esse tipo de análise, 
com alguns exemplos, dado que este tipo de análise tem uma infinidade de aplicações em 
Circuitos Elétricos.
Na Unidade III, vamos compreender novas formas de análise de circuitos elétricos 
Resistor Capacitor (RC) e Resistor Indutor (RL), compostos de resistores, capacitores e in-
dutores, também conhecidos como redes de primeira ordem. Além disso, vamos conceituar 
a Transformada de Laplace por meio de exemplos e aplicações, e também, conhecer a Res-
posta em frequência a partir da Resposta no domínio do tempo, com exemplos e aplicações. 
Já na Unidade IV, vamos Exemplificar a Transformada de Laplace por meio de 
exemplos em redes elétricas, realizar análise de circuitos elétricos no domínio de Laplace, 
e realizar simulação em software apropriado com aplicação de circuitos elétricos. 
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Grandezas Elétricas
UNIDADE II ................................................................................................... 26
Circuitos Resistivos e Técnicas de Análise de Circuitos
UNIDADE III .................................................................................................. 48
Análise de Circuitos por Malhas
UNIDADE IV .................................................................................................. 69
Transformada de Laplace
3
Plano de Estudo:
● Grandezas elétricas e Geradores independentes e vinculados;
● Leis de Kirchhoff;
● Técnicas de redução e simplificação de redes;
● Análise de circuitos baseado em simuladores.
Objetivos da Aprendizagem:
● Conceituar e contextualizar as grandezas básicas da energia elétrica, tais como: Tensão, 
corrente, potência e resistência elétrica. Além disso, conhecer os prefixos de multiplos e 
submultiplos, as unidades básicas da energia elétrica encontradas no sistema internacional;
● Compreender a Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff, Fontes de energia 
elétrica dependentes e independentes;
● Análisar circuitos de 1 até 2 malhas utilizando as primeiras
 ferramentas de análise desta unidade.
UNIDADE I
Grandezas Elétricas
Professor Esp. Lucas Ferreira de Souza
4UNIDADE I Grandezas Elétricas
INTRODUÇÃO
Um circuito em uma corrida de automóveis é formado por um trajeto, com inúmeras 
curvas e pontos que necessitam de frenagem para realizar manobras, onde o inicio e o fim 
de cada volta é no mesmo pontodentro do circuito. Da mesma forma, o circuito elétrico é um 
conjunto de componentes elétricos ligados entre si, onde o início e o fim estão no mesmo 
ponto, e os elétrons, como “carros de corrida”, percorrem o circuito elétrico enquanto houve 
tensão elétrica empurrando-os. 
Os engenheiros usam circuitos elétricos para resolver problemas que são impor-
tantes para a sociedade moderna, como por exemplo, são usados para a geração, trans-
missão e consumo da energia elétrica, como também para a codificação, decodificação, 
armazenamento, recuperação, transmissão e processamento da informação.
Nesta unidade vamos aprender, inicialmente, a representar a corrente, a tensão, 
a potência e a resistência de um componente, com atenção para o sentido de condução 
dos mesmos ou polaridade de referência.Usaremos a notação científica para representar 
grandezas elétricas com uma larga faixa de valores.O comportamento de um circuito elétrico depende dos tipos de componentes que 
o circuito possui como pela forma como estão ligados, investigaremos no decorrer dessa 
unidade o comportamento de vários tipos comuns de componentes dos circuitos elétricos, 
tais como, resistores, fontes independentes de tensão e de corrente, circuitos abertos e 
curtos-circuitos, dentre outros.
As equações constitutivas descrevem o comportamento individual dos componen-
tes e as leis de Kirchhoff descrevem o comportamento coletivo dos componentes quando 
são ligados entre si para formar o circuito. Vamos aprender também a escrever as equações 
usando das leis de Kirchhoff.
Por fim, iremos análisar de circuito elétricos utilizando método de divisor de cor-
rente e de tensão, por meio da Lei de Ohm e das Leis de Kirchhoff, utilizando cálculo 
de resistência equivalente, e ainda, faremos a simulação dos circuitos elétricos utilizando 
softwares apropriados.
Portanto, venha comigo fazer parte deste estudo. Será um prazer contar contigo 
nesta busca pelo crescimento do nosso conhecimento. 
5UNIDADE I Grandezas Elétricas
1. GRANDEZAS ELÉTRICAS E GERADORES INDEPENDENTES E VINCULADOS
1.1 Carga e corrente elétrica
Embora muitos possam ter um conceito intuitivo do que pode ser um circuito elétrico, 
de acordo com Irwin (2013, p. 21) trata-se basicamente de uma interconexão de componen-
tes elétricos, cada um dos quais será descrito por meio de um modelo matemático. Assim, 
dentro de um circuito, a grandeza fundamental é a carga elétrica, em que seu movimento 
resulta em uma transferência de energia. 
De acordo com Orsini (2002, p. 18), a corrente elétrica é justamente o deslocamen-
to de cargas elétricas por um meio (superfície), sendo que o menor valor de carga elétrica 
é a de um elétron, isto é, (1,602x10)-19 coulombs. Portanto, se entendemos que a menor 
carga elétrica é um elétron, temos que a corrente elétrica é o luxo ordenado de elétron por 
um meio. A corrente elétrica é medida em ampère (A), e 1 ampère é igual a 1 coulomb por 
segundo (IRWIN, 2013).
Você já deve ter visto as medidas em Ampér por todos os lados, pois, as baterias 
de celular, de automóveis, de notebook’s tem sua capacidade medida em Ampér hora (Ah), 
que trata justamente a quantidade de corrente elétrica durante uma hora. Quanto maior 
essa medida, maior é a quantidade de energia que essas baterias armazenam e podem 
disponibilizar ao utilizador.
6UNIDADE I Grandezas Elétricas
1.2 Tensão elétrica
Agora que você sabe o que é carga elétrica, vai entender facilmente como elas se 
movimentam. As cargas podem movimentar-se aleatoriamente, de modo que muitas vezes 
não notamos, mas para que possamos encontrar uma corrente elétrica, é obrigatório o uso 
da tensão elétrica nos terminais de um circuito elétrico. Portanto, diz Seixas (s/d, p. 16) que :
Um trabalho é realizado sobre as cargas. A tensão sobre um elemento é 
definida como um trabalho (em joule) realizado para mover uma unidade de 
carga (1 C) através do elemento, de um terminal ao outro. A unidade de ten-
são, ou diferença de potencial, é o volt (V).
A tensão elétrica, também conhecida como ddp (diferença de potencial), realiza um 
trabalho sobre a carga, direcionando-a para seguir em um único sentido, até que ocorra a 
inversão dos terminais. Seu papel da tensão é muito importante e totalmente necessário 
para que qualquer dispositivo elétrico funcione e cumpra sua tarefa, até mesmo os gerado-
res de energia elétrica necessita prioritariamente gerar tensão elétrica antes de alimentar 
qualquer sistema elétrico.
1.3 Resistência elétrica
Dado como elemento mais simples, e também, o mais utilizado, o resistor elétrico 
está presente, e já foi mais, na vida das pessoas. “Basicamente, um resistor pode ser 
considerado como sendo qualquer dispositivo que apresenta resistência. Por sua vez, re-
sistência é, por definição, a habilidade do elemento em resistir ao fluxo de corrente elétrica; 
ela é medida em ohms (Ω)” (SEIXAS et al., s/d, p. 18).
Os materiais em geral têm comportamento de oposição ao fluxo de carga elétrica. 
Essa oposição se deve às colisões entre elétrons que compõem o material. Essa proprie-
dade física é conhecida como resistência e é representada pelo símbolo R (ALEXANDER 
e SADIKU, 2013).
EQUAÇÃO 1 -RESISTÊNCIA ELÉTRICA DE UM CORPO
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 24).
No entanto, um material precisa ter área e volume para ter medida de resistência 
em ohms. “Na forma matemática, temos que:R=ρ l/A , onde:ρ = resistividade do material 
(Ω-m), l = comprimento (m), A = área (m2)” (SEIXAS et al., s/d, p. 18). A resistência R para 
7UNIDADE I Grandezas Elétricas
qualquer material com área uniforme A e comprimentoL, é diretamente proporcional ao 
comprimentoL e inversamente proporcional à área A (ALEXANDER e SADIKU, 2013). Em 
outras palavras, quanto maior é o comprimento L maior é a resitência, da mesma forma 
que, quanto maior é a área A, menor é a resistência.
1.4 Potência elétrica
A medida ou quantidade de energia elétrica absorvida ou consumida, dado em Watt 
(W), Volt-Amper (VA) ou Volt-Amper Reativo (Var). A potência elétrica é o produto da tensão 
e corrente elétrica, como pode ser visto na equação 2.
EQUAÇÃO 2 - POTÊNCIA ELÉTRICA ATIVA OU REAL
P = VI
Fonte: DORF e SVOBODA, 2016, p. 08.
Potência é a taxa de consumo ou a produção de energia medida em watts (W) 
(ORSINI, 2002). “Potência é a taxa com a qual a energia é fornecida ou absorvida” (DORF 
e SVOBODA, 2016, p. 08).
Desse modo, a potência absorvida ou fornecida por um elemento é o produto da 
tensão pela corrente que o percorre. Se a potênciatem um sinal positivo, ela está sendo 
fornecida ao elemento ou sendo consumidapor ele. Se, por outro lado, a potência tem sinal 
negativo, a potência está sendofornecida pelo elemento. Mas como saber se a potência 
tem sinal positivo ounegativo?A direção da corrente e a polaridade da tensão têm um papel 
importantena determinação do sinal da potência. Uma carga ou um elemento pode estara-
bsorvendo ou fornecendo potência (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
1.5 Unidades de medida
Com intuito de simplificar grandezas e diminuir número de casas decimais, os 
prefixos correspondem aos multiplos e submultiplos, como pode ser visto na tabela abaixo:
8UNIDADE I Grandezas Elétricas
TABELA 1 - PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL
MÚLTIPLO PREFIXO SÍMBOLO
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 quilo k
10–2 centi c
10–3 mili m
10–6 micro μ
10–9 nano n
10–12 pico p
10–15 femto f
Fonte:(DORF e SVOBODA, 2016, p. 06)
Além dos prefixos, temos também as unidades básicas do sistema internacional, 
que trata também as grandezas da eletricidade. Quando representamos um circuito e seus 
componentes em números, é preciso definir um sistema para as grandezas presentes no 
circuito. Veja na tabela abaixo as principais grandezas:
QUADRO 1 - UNIDADES BÁSICAS DO SISTEMA INTERNACIONAL
GRANDEZA NOME EXPRESSÃO SIMBOLO
Corrente elétrica ampère A
Aceleração linear metro por segundo 
ao quadrado
m/s2 
Velocidade linear metro por segundo m/s 
Frequência hertz s–1 Hz
Força newton kg · m/s2 N
Pressão ou tensão 
mecânica
pascal N/m2 Pa
Massa específica quilograma por 
metro cúbico
kg/m2 
Energia ou trabalho joule N · m J
Potência watt J/s W
Carga elétrica coulomb A · s C
Potencial elétrico volt W/A V
Resistência elétrica ohm V/A Ω
Condutância siemens A/V S
Capacitância farad C/V F
Fluxo magnético weber V · s Wb
Indutância henry Wb/A H
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 05).
9UNIDADE I Grandezas Elétricas
1.6 Lei de OHM
Georg Simon Ohm (1787 – 1854), físico alemão, é reconhecido por “encontrar 
arelação entre corrente e tensão para um resistor, a qual é reconhecida como leide Ohm. 
Isto é, a lei de Ohm afirma que a tensão V sobre um resistor é diretamente proporcional 
àcorrente I que flui através do resistor” (SEIXAS, s/d, p. 21). A lei de Ohm, que relaciona 
tensão e corrente elétrica, foi publicada em 1827 na formaque conhecemos hoje, como 
pode ser visto na Equação 3.
EQUAÇÃO 3 - LEI DE OHM
V = RI
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
1.7 Geradores independentes
Alguns dispositivos têm por objetivo fornecer energia elétrica aos circuitos. Esses 
dispositivos recebem o nome de fontes ou geradores. As fontes podem ser de dois tipos: 
fonte de tensão e fonte de corrente. A Figura 1, lado esquerdo, mostra o símbolo usado para 
representar uma fonte de tensão, e o lado direito da Figura 1 mostra uma fonte de corrente. 
A tensão de uma fonte de tensão é especificada, mas a corrente é determinada pelo resto 
do circuito (ORSINI, 2002).
FIGURA 1 –F ONTE DE TENSÃO (ESQUERDA) E FONTE DE CORRENTE (DIREITA)
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 27)
Uma fonte é um gerador de tensão ou de corrente capaz de fornecer energia a um 
circuito.A tensão fornecida por uma fonte de tensão independente e a corrente fornecida 
por uma fonte de corrente independente não dependem de outras tensões e correntes do 
circuito (ORSINI, 2002).
10UNIDADE I Grandezas Elétricas
1.8 Geradores vinculados
As fonte dependente fornece uma corrente ou tensão que depende de outra variá-
vel do circuito. Por exemplo, na Figura 2 temos um circuito com uma fonte dependente. Os 
sinais positivo e negativo no interior do losango mostram que a fonte dependente é uma 
fonte de tensão e indicam a polaridade de referência da tensão. A indicação “5i” correspon-
de ao valor da tensão da fonte dependente. Essa tensão é o produto de dois fatores, 5 e i. O 
segundo fator, i, indica que a tensão da fonte é controlada pela corrente, i, no resistor de 18 
Ω. O primeiro fator, 5, é o ganho da fonte. O ganho deste tipo de fonte dependente é a razão 
entre a tensão controlada, 5i, e a corrente de controle, i e, portanto, é medido em unidades 
de V/A ou Ω. Como se trata de uma fonte de tensão e o valor da tensão é controlado por 
uma corrente, este tipo de fonte dependente é chamado de fonte de tensão controlada por 
corrente (FTCC) (ALEXANDER e SADIKU, 2013.)
FIGURA 2 - EXEMPLO DE CIRCUITO ELETRÔNICO COM FONTE DEPENDENTE
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 31).
As principais aplicações das fontes dependentes tratam modelagem e adaptação 
de circuitos para interagir com transistores e amplicadores operacionais. Se a tensão na 
saída de um amplificador, por exemplo, é proporcional à tensão de entrada do mesmo, 
e geralmente é, pode-se usar uma fonte de tensão dependente para a modelagem do 
amplificador (DORF e SVOBODA, 2016, p. 31).
11UNIDADE I Grandezas Elétricas
2. LEIS DE KIRCHHOFF
Em um circuito elétrico, qualquer conexão coincidente entre 2 ou mais componentes 
chama-se de nó. Em outras palavras, quando um condutor se divide e conecta 2 compo-
nentes ou mais no circuito, neste condutor temos um nó. Na figura 3 temos um circuito 
eletrico com 2 malhas, interligadas pelos nós a e b. 
FIGURA 3 - CIRCUITO ELETRICO COM 2 MALHAS
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 56).
Malha é todo caminho fechado sem adição de nó. É muito importante observar 
que o resistor R3 é comum ou compartilhado entre as 2 malhas, e deve estar presente na 
equação de cada uma das 2 malhas.
12UNIDADE I Grandezas Elétricas
Informalmente, dizemos que dois diagramas representam o mesmo circuito se os 
mesmos componentes estão ligados aos mesmos nós nos dois diagramas. Portanto, se 
compreendemos as definições de nó e de malha, podemos então compreender as duas 
Leis de Kirchhoff.
Lei de Kirchhoff para correntes (LKC) ou Lei dos nós: A soma algébrica das corren-
tes em um nó em qualquer instante é zero.Em outras, a soma das correntes que chegam é 
igual a somatória das correntes que saem de um mesmo nó.
Lei de Kirchhoff para tensões (LKT) ou Lei das Malhas: A soma algébrica das ten-
sões ao longo de uma malha em qualquer instante é zero (IRWIN, 2013).
2.1 Análise de circuito utilizando as leis de kirchhoff
Para fazer análise dos circuitos é necessário escolher um ponto de inicio na malha 
e um sentido de análise (horário ou anti-horário).Com isso, podemos iniciar com o exemplo 
1. Neste exercicio, temos um circuito com uma malha sem nó, portanto vamos utilizar so-
mente a Lei de Kirchhoff das malhas ou das tensões.
FIGURA 4 - CIRCUITO ELETRICO COM 1 MALHAS
 
Fonte:(ALEXANDER e SADIKU, 2013).
Solução:
0=+10-4I+8-2I
0=+18-6I
-18=-6I
(-18)/(-6)=I
3A=I
13UNIDADE I Grandezas Elétricas
Com a corrente elétrica I com amplitude de 3A, isto é, positivo com análise no 
sentido horário, temos que a corrente elétrica está verdadeiramente sendo conduzida neste 
circuito para o sentido horário. Notem que, quando a analise chega em algum resistor 
sempre saimos com sinal negativo utilizando a Lei de Ohm (V=RI). Como não temos a ten-
são, temos que anotar a resistência multiplicando a corrente elétrica (RI), que no primeiro 
resistor foi 4I e no segundo resistor foi 2I.
Outra observação muito importante é que, ao sair de uma fonte de tensão, o sinal 
será positivo ou negativo dependendo do sentido de análise e dos pólos da fonte. Na pri-
meira fonte, usando sentido horário, o pólo de saída é positivo. Já na segunda fonte, o pólo 
de saída é negativo, na análise em sentido horário.
Em circuito em Série, ou com uma malha só, a corrente elétrica é uma só, cha-
mada nesta análise de I. Já no próximo exemplo, com 2 malhas, teremos três correntes 
elétricas diferentes.
Exemplo 2: 
FIGURA 5 – CIRCUITO ELETRICO COM 2 MALHAS
 
Fonte:(ALEXANDER e SADIKU, 2013).
Solução:
Além dos passos tomados no exemplo anterior, isto é, escolher um ponto de partida 
(geralmente inicia-se na fonte de tensão do lado esquerdo) e o sentido de análise (horario 
ou anti-horario) é necessário iniciar com a equação da lei dos nós ou das correntes:
i = i2+i3
14UNIDADE I Grandezas Elétricas
Essa equação pode ser usada na análise de todos os circuitos com 2 malhas, e sua 
explicação é dada porque a corrente I está chegando no nó, e as correntes I1 e I2 estão 
saindo do nó.
Malha 1:
0= + 12-1i - 4i3-10
0= + 2-i - 4i3
Malha 2:
0=-6i2-4i2+10-4(-i3)
0=-10i2+10+4i3
Portanto, se isolarmos i3 na malha 1 e i2 na malha 2, podemos encontrar o resulta-
do na equação da Lei dos Nós.
Malha 1:
4i3 = + 2-i
i3 = ( 2-i ) / 4
Malha 2:
10i2 = + 10 + 4i3
i2 = (10+4i3) / 10
 
Lei dos Nós:
i = i2 +i3
i = (10+4i3)/10+(2-i)/4
i = (10+(2-i))/10+(2-i)/4
i =(12-i)/10+(2-i)/4
Aplicando MMC (minimo multiplo comum), temos:
i = (48-4i+20-10i)/(10(4))
i = (68-14i)/40
40i=68-14i
40i+14i=68
54i=68
i = 68 / 54 = 1,26A
i3 = (2-1,26) / 4 = 0,185A
i2 = (10 + 4 (0,185)) / 10 = 1,074A
15UNIDADE I Grandezas Elétricas
Com a corrente elétrica I com amplitude de 1,26A, isto é, positivo com análise no 
sentido horário, temos que a corrente elétrica está verdadeiramente sendo conduzida neste 
circuito para o sentido horário. A corrente elétrica I2 com amplitude de 1,074A, isto é, positivo 
com análise no sentido horário, temos que a corrente elétrica está verdadeiramente sendo 
conduzida neste circuito para o sentido horário. E por fim, a corrente elétrica I3 com amplitude 
de 0,185A, isto é, positivo com análise no sentido horário, temos que a corrente elétrica está 
verdadeiramente sendo conduzida neste circuito para o sentido horário (IRWIN, 2013).
Se na análise tivermos a corrente elétrica com sinal negativo, signiica que a mesma 
esta sendo verdadeiramente conduzida no sentido contrário ao sentido de análise.
 
16UNIDADE I Grandezas Elétricas
3. TÉCNICAS DE REDUÇÃO E SIMPLIFICAÇÃO DE REDES
3.1 Resistência em série e divisão de tensão
Dado um circuito com uma única malha, como pode ser visto na Figura 6, pode-se 
dizer que os resistores estão ligados em série e que todos os componentes são percorridos 
pela mesma corrente. A tensão no resistor Rn, vn, é dada por
FIGURA 6 - CIRCUITO RESISTIVO DE UMA MALHA
 
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013)
17UNIDADE I Grandezas Elétricas
EQUAÇÃO 4 - EQUAÇÃO PARA ENCONTRAR A TENSÃO EM 
CADA RESISTOR PELO MÉTODO DE DIVISORDE TENSÃO
Vn = (V*Rn)/Req
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016).
 
Portanto, divisor de tensão é a queda de tensão sobre qualquer resistor, no qual 
éproporcional à magnitude de sua resistência.Assim, a tensão em um resistor (Vn) ligado 
em série a outros resistores e a uma fonte de tensão é igual à razão entre a resistência do 
resistor(Rn) e a resistência total (Req) multiplicada pela tensão da fonte de energia.A troca 
de resistores em série por um único resistor equivalente não muda a corrente nem a tensão 
elétrica nos outros componentes do circuito (DORF e SVOBODA, 2016).
3.2 Resistores em paralelo e divisão de corrente
Quando dois ou mais componentes de um circuito, resistores, por exemplo, estão 
conectados em paralelo quando estão submetidos à mesma tensão. 
EQUAÇÃO 5 - LEI DE OHM
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
E que a Resistência Equivalente em circuito série é:
EQUAÇÃO 6- RESISTÊNCIA EQUIVALENTE RESISTORES EM SÉRIE
Req = R1 +R2 +⋯ + Rn
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
18UNIDADE I Grandezas Elétricas
Já no circuito paralelo, a Resistência Equivalente é:
EQUAÇÃO 7- RESISTÊNCIA EQUIVALENTE RESISTORES EM PARALELO
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
Neste caso, nosso circuito é paralelo e usaremos a Equação para encontrarmos a 
Resistência Equivalente. Utilizando o circuito da Figura 7, é preciso encontrar a Resistência 
Equivalente no circuito paralelo, em seguida encontrar o I utilizando a Lei de Ohm, e por fim, 
emprega-se a Equação 6 e a Equação 7:
FIGURA 7 - CIRCUITO RESISTIVO PARALELO
 
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
EQUAÇÃO 8 - CORRENTE ELÉTRICA NO RESISTOR 1
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
EQUAÇÃO 9 - CORRENTE ELÉTRICA NO RESISTOR 2
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
19UNIDADE I Grandezas Elétricas
4. ANÁLISE DE CIRCUITOS BASEADO EM SIMULADORES
4.1 Análise de circuito resistivo usando o programa matlab
Vamos agora analisar circuitos elétricos escrevendo e resolvendo sistemas dee-
quações obtidos a partir das leis de Kirchhoff, por exemplo, e das equações constitutivas 
dos componentes. Neste exemplo, um programa capaz de resolver matriz é usado para 
resolver um sistema de equações que descreve um circuito elétrico típico.
FIGURA 8 - EXEMPLO DE CIRCUITO COM 3 MALHAS PARA SOLUCIONAR EM SOFTWARE
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 79).
FIGURA 9 -ANÁLISE COM MÉTODO DE KIRCHHOFFEM UM CIRCUITO COM 3 MALHAS
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 79).
20UNIDADE I Grandezas Elétricas
Portanto, determine o valor das tensões e correntes nos resistores do circuito da Figura 9.
Solução: Usando o software
Os cálculos anteriores mostraram que o circuito pode ser representado pelas se-
guintes equações:
FIGURA 10 - EQUAÇÕES DAS MALHAS E DA LEI DOS NÓS
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 81).
Essas equações podem ser resolvidas consecutivamente usando software, como 
mostra na Figura 11.
FIGURA 11 - SOLUÇÃO EM SOFTWARE
 
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 81).
21UNIDADE I Grandezas Elétricas
SAIBA MAIS
Você sabia que os painéis solares fotovoltaicos geram energia pela luz da radiação 
solar, e que as particulas de poeira que instalam-se por cima dos módulos diminuem a 
geração de corrente elétrica, ocasionando a diminuição de geração de energia elétrica? 
“O artigo A influência da sujeira no desempenho de sistemas fotovoltaicos, na pág. 26 
DA REVISTA FOTOVOLT JULHO/2021, destaca uma pesquisa que, comparando três 
sistemas reais, levantou os benefícios econômicos da limpeza manual, verificando ain-
da o prejuízo técnico e financeiro da não-realização do procedimento” 
Fonte: (FOTOVOLT, 2021).
REFLITA
Mas afinal, qual consome mais energia elétrica? 127V ou 220V? 
Fonte: (COPEL, 2019).
SAIBA MAIS
Você sabia que os painéis solares fotovoltaicos geram energia pela luz da radiação 
solar, e que as particulas de poeira que instalam-se por cima dos módulos diminuem a 
geração de corrente elétrica, ocasionando a diminuição de geração de energia elétrica? 
“O artigo A influência da sujeira no desempenho de sistemas fotovoltaicos, na pág. 26 
DA REVISTA FOTOVOLT JULHO/2021, destaca uma pesquisa que, comparando três 
sistemas reais, levantou os benefícios econômicos da limpeza manual, verificando ain-
da o prejuízo técnico e financeiro da não-realização do procedimento” 
Fonte: (FOTOVOLT, 2021).
22UNIDADE I Grandezas Elétricas
REFLITA
Mas afinal, qual consome mais energia elétrica? 127V ou 220V? 
Fonte: (COPEL, 2019).
23UNIDADE I Grandezas Elétricas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após o estudo desta unidade, você já consegue encontrar o comportamento e a 
amplitude de tensão, corrente e potência elétrica em diversos formatos de circuito elétrico. 
Nesta unidade aprendemos sobre resistência elétrica de um componente. Usamos 
notação científica para representar grandezas elétricas, conhecemos as fontes indepen-
dentes de tensão e de corrente, circuitos abertos e curtos-circuitos, dentre outros.
Além disso, estudamos sobre as equações constitutivas que descrevem o compor-
tamento individual dos componentes, como também as leis de Kirchhoff que descrevem o 
comportamento coletivo dos componentes ligados entre si, formando um circuito. Analisa-
mos os circuitos utilizando método de divisor de corrente e de tensão, por meio da Lei de 
Ohm e das Leis de Kirchhoff, utilizando também o calculo de resistência equivalente.
Pode ter certeza, estamos somente do inicio de uma caminhada feliz e cheia de 
desafios, no qual é preciso sempre evoluir cada vez mais buscando novas descobertas.
 
24UNIDADE I Grandezas Elétricas
LEITURA COMPLEMENTAR
“Expansão dos Veículos Elétricos incentiva mercado de recarga e de renováveis. 
Para dar suporte à disseminação da infraestrutura de recarga e ao aumento da demanda 
de energia devido o avanço dos veículos elétricos, a expansão das fontes renováveis é 
fundamental. Este avanço também deve incentivar novos negócios”
Fonte: (EM FOTOVOLT, 2021, pg. 34).
 
25UNIDADE I Grandezas Elétricas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Análise de Circuitos Elétricos com Aplicações
Autor: Sadiku Musa Alexander
Editora: AMGH
Sinopse: Este livro tem como objetivo apresentar a análise de 
circuitos aos estudantes deengenharia elétrica e áreas afins de 
um modo claro, mais interessante e fácil decompreender do que 
outros livros. Esse objetivo é alcançado do seguinte modo:Um 
curso de análise de circuitos é, talvez, a primeira exposição que 
osestudantes têm à engenharia elétrica. Todos os princípios são 
apresentados em passo a passo, de uma maneiralúcida e lógica: 
Sempre que possível, evita-se a verbosidade e o excesso dedeta-
lhes que poderiam esconder conceitos e impedir a compreensão 
globaldo material.
 
FILME / VÍDEO 
Título: Demain
Ano: 2015
Sinopse: Demain (ou Tomorrow) mostra que cada um de nós pode 
realmente contribuir para criar o futuro. O filme tem tom positivista 
e optimista, que pergunta: apresentar soluções e contando uma 
história positiva é a melhor forma de resolver as crises ecológicas, 
econômicas e sociais que atravessam o nosso mundo? Demain 
acompanha a viagem de Cyril Dion, Mélanie Laurent e uma equipe 
de quatro pessoas por dez países à procura do que poderá pro-
vocar o desaparecimento da Humanidade e como evitar esta ca-
tástrofe até 2100. Durante a viagem, Cyril Dion e Mélanie Laurent 
encontraram pioneiros que reinventaram a agricultura, a energia, 
e economia, a democracia e a educação.
Link do vídeo: https://youtu.be/NUN0QxRB7e0. 
26
Plano de Estudo:
● Análise nodal de redes resistivas;
● Teorema dos Circuitos Elétricos;
● Potência e fator de potência em sinais senoidais;
● Análise de redes lineares.
Objetivos da Aprendizagem:
● Compreender novas formas de análise de circuitos elétricos em redes puramente resis-
tivas, até os demais componentes dos circuitos elétricos, como Capacitores e Indutores;
● Assimilar como é realizada a análise nodal em circuitos de até três malhas;
● Conceituar e exemplificar os teoremas dos circuitos elétricos, 
tais comosuperposição, Thévenin, Norton, Máxima Potência;
● Conhecer o fator de potência em circuitos elétricos, 
suas consequências e como podemos controlá-lo.
UNIDADE II
Circuitos Resistivos e 
Técnicas de Análise de Circuitos
Professor Esp. Lucas Ferreira de Souza
27UNIDADE I Grandezas Elétricas 27UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
INTRODUÇÃO
Segundo Immanuel Kant, “todo o conhecimento humano começou com intuições, 
passou daí aos conceitos e terminou com ideias”. Nesta unidade, te convido a conhecer os 
conceitos da análise nodal com circuitos de até três malhas, ou seja, relacionando até dois 
nós em um sistema com cerca de cinco equações. 
Em seguida, você vai aprender sobre os teoremas dos Circuitos Elétricos, em que 
temos a superposição, no qual diz que a resposta de um circuito linear a várias entradas 
juntas é igual à soma das respostas a cada uma das entradas trabalhando separadamente. 
Veremos também o Teorema de Thévenin, que nos permite substituir parte de um circuito 
por uma fonte de tensão e resistor em série, o que não altera a corrente ou tensão do 
elemento de qualquer elemento no resto do circuito.
Por terceiro, temos o Teorema de Norton, que nos permite substituir parte de um 
circuito por uma fonte de corrente e resistor paralelo, o que não altera a corrente ou tensão 
do elemento de qualquer elemento no resto do circuito. Por último, temos o Teorema da 
Máxima Transferência de Potência, no qual descreve a condição máxima que um circuito 
é transferido para outro circuito, esses teoremas fornecem uma visão na natureza dos 
circuitos elétricos lineares.
Ainda nesta unidade, veremos o fator de potência, sua influência nos circuitos 
elétricos e como podemos controlá-lo, de forma a manter a qualidade de energia elétrica 
em um circuito. Em análise de redes lineares, vamos iniciar a análise de circuitos elétricos 
envolvendo indutores, capacitores e resistores conectados entre si.
Será um prazer contar contigo no aprendizado destes conceitos, que sem dúvida, 
vai gerar novas ideias em sua carreira de Engenheiro Eletricista.
28UNIDADE I Grandezas Elétricas 28UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
1. ANÁLISE NODAL DE REDES RESISTIVAS
1.1 Análise de Corrente Elétrica em Malhas com Fontes de Tensão 
 Independentes
Consideremos a análise de circuitos usando a Lei de Tensão de Kirchhoff em torno 
de um caminho fechado. Um caminho fechado ou um loop é desenhado começando em 
um nó e traçando um caminho de forma que retornemos ao nó original sem passar por um 
nó intermediário mais de uma vez. Uma malha é um loop que não contém nenhum outro 
dentro dela (IRWIN, 2013).
Um circuito planar é aquele que pode ser desenhado em um plano, sem cruza-
mentos. Para redes planas, as malhas da rede parecem janelas. Existem quatro malhas 
no circuito mostrado na Figura 1, no lado direito. A malha 2 contém os elementos R3, R4 
e R5. Observe que o resistor R3 é comum para a malha 1 e a malha 2. A corrente elétri-
ca que atravessa os elementos que constituem a malha deve ser encontrada, e um dos 
métodos para analisar um circuito elétrico é escrever e resolver um conjunto de equações 
simultâneas chamadas de equações da malha. As variáveis desconhecidas nas equações 
da malha são as tensões e as quedas de tensão. Quando não temos esses valores, utili-
zamos a Lei de Ohm, transformando os valores de tensão e queda de tensão em valores 
de resistência elétrica multiplicada pela corrente elétrica, que também podem ou não ser 
conhecidos (DORF e SVOBODA, 2016).
29UNIDADE I Grandezas Elétricas 29UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
FIGURA 1 - EXEMPLOS DE CIRCUITOS COM DIVERSAS MALHAS
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 129).
Portanto, é necessário praticar a Análise Nodal de Kirchhoff, iniciando com uma 
malha, como pode ser visto na Figura 2, cujo não temos nós e, por isso, temos somente 
uma equação na malha. O sentido de análise adotada é horário, mas pode ser também 
ser adotado sentido de análise anti-horário desde que seja seguida fielmente até o fim da 
análise (ORSINI, 2002).
FIGURA 2 - CIRCUITO COM UMA MALHA
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 131) .
Iniciando a análise na fonte de tensão Vs no sentido horário, temos a equação da malha:
Nesta equação, temos 4 variáveis com valores não conhecidos e para resolvê-la, 
é necessário conhecer pelo menos 3 valores das variáveis, seja eles tensão, corrente ou 
resistência elétrica.
30UNIDADE I Grandezas Elétricas 30UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
Na Figura 3 temos 2 nós e, por isso, temos a equação da malha 1, equação da malha 
2 e a equação do nó, que é a mesma para qualquer um dos dois nós. O sentido de análise 
adotada é horário, e da mesma forma que o exemplo anterior, pode ser também adotado 
sentido de análise anti-horário desde que seja seguida fielmente até o fim da análise.
FIGURA 3 - CIRCUITO COM DUAS MALHAS
Fonte:(DORF e SVOBODA, 2016, p. 131).
Iniciando a análise na fonte de tensão Vs no sentido horário, temos a equação da malha 1:
Nesta equação, temos 5 variáveis com valores não conhecidos. Para resolver esta 
equação é preciso associar com as demais equações do sistema, que para um circuito 
com 2 malhas temos 2 ou 3 equações dentro do sistema, e possuir no máximo 3 incógnitas 
ou 3 valores desconhecidos. Portanto, para que se encontre uma solução, o número de 
incógnitas não pode ser maior que o número de equações em um sistema matemático. Na 
malha 2, iniciando a análise no resistor R2 no sentido horário, temos a equação:
Por último, a equação dos nós adotada para qualquer análise é a seguinte:
O sistema matemático para este circuito com 2 malhas é o seguinte:
31UNIDADE I Grandezas Elétricas 31UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
Ao todo temos 7 valores, são eles I, I2, I3, Vs, R1, R2, R3 dos quais precisamos 
conhecer pelo menos 4, sejam quais forem. 
No exemplo a seguir, na Figura 4, temos 3 malhas, e para resolvê-lo, teremos um 
sistema matemático com 5 equações. Quanto maior é o número de malhas na Análise, 
maior é a complexidade e o sistema matemático a ser resolvido.
Sendo assim, temos a equação da malha 1, equação da malha 2, a equação da 
malha 3, a equação do nó entre a malha 1 e malha 2 e a equação do nó entre a malha 2 e 
a malha 3. O sentido de análise adotada é horário, e da mesma forma que nos exemplos 
anteriores, pode ser também adotado sentido de análise anti-horário desde que seja segui-
da fielmente até o fim da análise.
FIGURA 4 - CIRCUITO COM TRÊS MALHAS
Fonte:(DORF e SVOBODA, 2016, p. 131).
Iniciando a análise na fonte de tensão Vs no sentido horário, temos a equação da malha 1:
Nesta equação, temos 5 variáveis com valores não conhecidos. Na malha 2, ini-
ciando a análise no resistor R2 no sentido horário, temos a equação:
Na malha 3, iniciando a análise no resistor R3 no sentido horário, temos a equação:
A equação do nó 1 adotada para qualquer análise é a seguinte:
I = I2 + I3
A equação do nó 2 adotada para qualquer análise é a seguinte:
I3 = I4 + I5 
32UNIDADE I Grandezas Elétricas 32UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
O sistema matemático para este circuito com 3 malhas é o seguinte:
Ao todo temos 12 valores, são eles I, I2, I3, I4, I5, Vs, Vg, R1, R2, R3, R4, R5 dos 
quais precisamos conhecer pelo menos 7, sejam quais forem. 
33UNIDADE I Grandezas Elétricas 33UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
2. TEOREMA DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS
2.1 Sobreposição
A saída de um circuito linear pode ser expressa como uma combinação linear de 
suas entradas. Por exemplo, considere qualquer circuito com as três propriedades a seguir 
(SEIXAS, s/d):
1. O circuito consiste inteiramente em resistores e fontes dependentes e 
independentes.
2. A saída é a tensão ou corrente de qualquer elemento do circuito.
3. Essecircuito é um circuito linear. Consequentemente, a saída do circuito pode 
ser expressa como uma combinação das entradas do circuito. Por exemplo, 
Y=Ax.
Procedimento da Análise de circuito pelo teorema da Superposição (DORF et al, 2016):
1. Escolha uma das fontes independentes para analisar;
2. Curto-circuito as demais fontes de tensão e abra as demais fontes de corrente;
3. Redesenhe o circuito e calcule as grandezas de interesse (por exemplo: corrente elétrica);
4. Escolha outra fonte e repita o processo até analisar todas as fontes do circuito elétrico.
34UNIDADE I Grandezas Elétricas 34UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
FIGURA 5 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Fonte: Adaptado de (DORF e SVOBODA, 2016, p. 131).
Inicialmente, na Figura 5, escolhemos a fonte Vs e curto circuitamos a fonte Vg, 
temos então as então as equações:
Em seguida, escolhemos a fonte Vg e curto circuitamos a fonte Vs, temos então as 
então as equações:
Por fim temos as 3 equações deste circuito elétrico utilizando o método de Análise 
pelo Teorema da Superposição:
35UNIDADE I Grandezas Elétricas 35UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
2.2 Teorema de Thévenin
Thévenin, um engenheiro francês, que publicou o princípio pela primeira vez em 
1883. A Figura 6 ilustra o uso do circuito equivalente Thévenin. Os terminais do Resistor R5 
são os terminais que desejamos simplificar usando o Teorema de Thévenin (COSTA, 2018).
FIGURA 6 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE THÉVENIN
Fonte:Adaptado de: (DORF e SVOBODA, 2016, p.131).
Após identificá-los, é calcular o valor da tensão (Vth). De maneira simples, veja 
que a tensão nos terminais do resistor R5 é a mesma tensão da fonte Vg, ou seja, não 
exige que se faça análise de malha para identificar as tensões nos terminais que se deseja 
simplificação (R5).
Em seguida, é preciso calcular Rth (Resistência de Thévenin) sendo que todas as 
fontes de tensão sejam curto-circuitadas e todas as fontes de corrente fiquem em aberto, 
como pode ser visto na Figura 7. Nos terminais de R5, para que a corrente elétrica saía 
de um terminal e chegue ao outro é necessário passar somente pelo resistor R2. Logo, 
Rth é igual a R2.
FIGURA 7 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE THÉVENIN 2
Fonte: O Autor, 2021.
Redesenhe o circuito com Vth e Rth em serie, conectados a carga ou terminais que 
se desejava simplificar (figura 8).
FIGURA 8 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE THÉVENIN 3
Fonte: O Autor, 2021.
36UNIDADE I Grandezas Elétricas 36UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
2.3 Circuito Equivalente de Norton
Um engenheiro americano, E. L. Norton, da Bell Telephone Laboratories, propôs 
um circuito equivalente para o circuito da Figura 9, usando uma fonte de corrente e uma re-
sistência equivalente. O circuito equivalente Norton está relacionado ao circuito equivalente 
Thévenin por uma transformação de fonte (ARAUJO, 2018). 
A Figura 9 ilustra o uso do circuito equivalente Norton. Os terminais do Resistor R5 
são os terminais que desejamos simplificar usando o Teorema de Norton.
FIGURA 9 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE NORTON
Fonte:Adaptado de: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 131).
Após identificá-los, é preciso calcular o valor da corrente de Norton (In) com os 
terminais identificados anteriormente curto-circuitados (R5). De maneira simples, veja que 
a corrente elétrica nos terminais do resistor R5 é igual a tensão da fonte Vg dividida pela 
resistência R2, ou seja, não exige que se faça análise de malha para identificar a corrente 
elétrica nos terminais que se deseja simplificação (R5).
Em seguida, é preciso calcular Rn (Resistência de Norton), no qual é da mesma 
forma que se calcula a Resistência de Thévenin. Todas as fontes de tensão precisam ser 
curto-circuitadas e todas as fontes de corrente precisam ser abertas, como pode ser visto 
na figura 10. Nos terminais de R5, para que a corrente elétrica saía de um terminal e chegue 
ao outro é necessário passar somente pelo resistor R2. Logo, Rn é igual a R2.
FIGURA 10 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE NORTON
Fonte: O Autor, 2021.
37UNIDADE I Grandezas Elétricas 37UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
Redesenhe o circuito com In e Rn em paralelo, conectados a carga ou terminais 
que se desejava simplificar (Figura 11).
FIGURA 11 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO TEOREMA DE NORTON
Fonte: O Autor, 2021.
2.4 Máxima Transferência de Potência
Muitas aplicações de circuitos exigem que a potência máxima disponível de uma 
fonte seja transferida para uma carga resistor RL. Mas para isso, é necessário usar o Teo-
rema de Thévenin e encontrar Vth, Rth(ORSINI, 2002). 
FIGURA 12 - CIRCUITO ELÉTRICO NA ANÁLISE PELO 
TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
Fonte: O Autor, 2021.
Na figura 11, temos o Teorema de Thévenin já aplicado e o Teorema Máxima Potên-
cia já entrega os valores de RL=Rth e Pmax= Vth²/ 4Rth por meio das seguintes fórmulas 
(ORSINI, 2002):
38UNIDADE I Grandezas Elétricas 38UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
3. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM SINAIS SENOIDAIS
3.1 Fator de Potência
Considere um circuito linear com uma entrada senoidal que está em curso estável. 
Todas as tensões e correntes do elemento serão senoidais e terão a mesma frequência 
como entrada. Tal circuito pode ser analisado no domínio da frequência, usando fasores. 
Em particular, podemos calcular a potência gerada ou absorvida em um circuito ou em 
qualquer elemento de um circuito, no domínio da frequência, usando fasores e impedâncias 
(DORF e SVOBODA, 2016).
P = Vm x Im x fp
A Potência aparente é:
S = Vm x Im
A razão entre a Potência Ativa (P) e a Potência Aparente (S) é chamada de Fator 
de Potência (pf). O Fator de Potência é calculado como (K. O., 2013):
fp = cos∞
39UNIDADE I Grandezas Elétricas 39UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
O ângulo ∞ é frequentemente referido como o ângulo do fator de potência. Conside-
ra-se fator unitário, isto é, sistema com energia elétrica de alta qualidade e/ou que possuir 
componentes altamente resistivos quando o ângulo ∞ é 0°. No entanto, quanto maior é o 
ângulo ∞ menor é qualidade de energia e maior é a quantidade de elementos indutivos 
no circuito, fazendo que exista um atraso entre a onda senoidal da corrente em relação a 
tensão elétrica, ou seja, aumento de potência reativa (DORF e SVOBODA, 2016).
Em contrapartida, quando há ângulo ∞ negativo, temos maior quantidade de 
elementos capacitivos, que causam adiantamento entre a onda senoidal da corrente em 
relação a tensão elétrica (DORF e SVOBODA, 2016).
40UNIDADE I Grandezas Elétricas 40UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
4. ANÁLISE DE REDES LINEARES
Vamos utilizar a técnica de Análise Nodal para redes contendo apenas elementos 
lineares e fontes independentes. Inicialmente, são obtidas as equações que descrevem 
elementos como os resistores, capacitores e indutores lineares. Após a obtenção das 
equações a tempo contínuo, segue o passo correspondente as respectivas equações dife-
renciais, representando a simulação a tempo discreto (SEIXAS, s/d).
FIGURA 13 - (a) INDUTOR K - (b) EQUIVALENTE DO INDUTOR
 
 
Fonte: O Autor, 2021.
Para o indutor, Figura 13, considere um circuito k com indutância Lk . Temos a 
seguinte equação para descrevê-lo (DORF et al, 2016):
41UNIDADE I Grandezas Elétricas 41UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
Que integrada de nT até ( n + 1 )T , resulta (DORF e SVOBODA, 2016):
Utilizando o método de integração trapezoidal, tem-se (DORF e SVOBODA, 2016):
No caso geral, este circuito pode estar em série com uma fonte de tensão e/ou em 
paralelo com uma fonte de corrente. 
No capacitor, da Figura14, considere um circuito k com capacitância Ck .
FIGURA 14 - (a) CAPACITOR K – (b) EQUIVALENTE DISCRETO DO CAPACITOR
 
 
Fonte: O Autor, 2021.
Temos a seguinte equação para descrevê-lo (DORF e SVOBODA, 2016):
Utilizando o método de integração trapezoidal, tem-se (DORF e SVOBODA, 2016):
Da mesma forma que o indutor, no caso geral, este circuito do capacitor pode estar 
em série com uma fonte de tensão e/ou emparalelo com uma fonte de corrente. 
O resistor, na Figura 15, não apresenta integrais ou derivadas na relação tensão 
corrente, o modelo é simplificado.
42UNIDADE I Grandezas Elétricas 42UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
FIGURA 15 – EQUIVALENTE GERAL DISCRETIZADO DO RESISTOR
Fonte: O Autor, 2021.
Com todos os elementos substituídos pelos modelos equivalentes de impedância, 
torna-se simples determinar as equações nodais para um sistema qualquer. No instante n, 
a equação resultante, como pode ser visto na Figura 16, grupando elementos de mesmo 
tipo (por facilidade de representação) (DORF et al, 2016).
FIGURA 16 – EQUIVALENTE GERAL DISCRETIZADO DO RESISTOR
Fonte: O Autor, 2021.
Onde:
O sistema acima pode ser escrito de forma simplificada na equação abaixo (DORF 
e SVOBODA, 2016):
43UNIDADE I Grandezas Elétricas 43UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
SAIBA MAIS
“Segundo a Legislação Brasileira o Fator de Potência mínimo permitido para as contas 
de energia é de 0,92. Abaixo deste valor, a Concessionária deve cobrar multa na fatura 
de energia sobre o consumo de Potência Reativa além dos 8% máximos permitidos.
As principais cargas que causam baixo FP são lâmpadas fluorescentes, transforma-
dores em vazio (sem carga) ou com baixa carga e motores de indução (motores mais 
usados na indústria). Equipamentos baseados em resistências elétricas como lâmpadas 
incandescentes e aquecedores elétricos em geral tem FP próximo a 1, ou seja, são os 
que menos contribuem para o surgimento das multas.
Antes de entrar na explicação sobre o Fator de Potência, é importante entender o con-
ceito de Potência Reativa, Potência Aparente e Potência Ativa:
Potência Aparente: é a potência instantânea medida multiplicando a tensão pela cor-
rente, medida em kVA (quilo Volt-Ampere).
Potência Ativa: é aquela que é usada no equipamento para realizar trabalho, ou seja, é 
de fato utilizada na conversão de energia elétrica em mecânica, térmica…etc. É medida 
em kW (quilo Watts).
Potência Reativa: é utilizada na manutenção dos campos eletromagnéticos nas estru-
turas das cargas indutivas, como motores de indução. Sua unidade de medida é o kVAr 
(quilo Volt-Ampere Reativo).
Quando cargas indutivas são acionadas com alimentação por corrente alternada, ocorre um 
fenômeno de defasagem entre as ondas da tensão e da corrente, causando o surgimento 
da Potência Reativa. Esta defasagem é quantificada pelo chamado Fator de Potência (FP).
Na Figura 17 temos um copo de cerveja com colarinho. Pode-se dizer que a Potência Apa-
rente é a altura inteira do copo. Essa é a potência que se mede com os medidores conven-
cionais. Perceba que, na parte superior, temos a espuma e na parte inferior do copo temos 
a cerveja liquida. Podemos comparar os circuitos elétricos como este copo de cerveja. Na 
parte superior (espuma) temos energia reativa necessária para ligar equipamentos ele-
trônicos, tais como televisão, micro-ondas, computadores, ou seja, ocupa espaço no copo, 
mas não mata a sede. Já na parte inferior temos a potência ativa que alimenta o circuito e 
o mantêm em funcionamento, ou seja, é o mais importante e mata a sede.
44UNIDADE I Grandezas Elétricas 44UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
FIGURA 17 - COPO DE CERVEJA COM COLARINHO
 Logo, de uma forma resumida, o Fator de Potência (FP) nada mais é que uma medida 
de quanto da potência elétrica consumida está de fato sendo convertido em trabalho útil.” 
Fonte: (SCORPIN, 2021, online).
REFLITA
Já observou a quantidade de nós que têm nas ruas do seu bairro? Todo cruzamento de 
ruas ou esquina que fornece mais de uma opção de caminho a seguir, nas ruas de um 
bairro, são nós. Da mesma forma são os circuitos elétricos.
Fonte: O Autor (2022).
45UNIDADE I Grandezas Elétricas 45UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o fim desta unidade, estamos incrementando consideravelmente nossas ferra-
mentas técnicas de análise de circuitos elétricos, pois já analisamos circuitos com até três ma-
lhas, com resistores, capacitores e indutores, que são três dos principais elementos elétricos.
Os Teoremas aprendidos nesta unidade foram quatro, são eles: Superposição, 
Thévenin, Norton, Máxima Potência. Todos estes teoremas podem ser vistos como um 
atalho, uma maneira de reduzir a complexidade de um circuito elétrico, para que possa ser 
analisado mais facilmente. 
Por fim, iniciou-se a análise de circuitos elétricos em corrente alternada, forma de 
onda que alterna valores positivos e negativos em seu ciclo. Dentre os elementos analisa-
dos, temos o fator de potência, no qual é responsável pela qualidade de energia elétrica de 
um circuito, seja qual for seu tamanho. É certo que este é só o início de um grande e muito 
importante aprendizado na análise de circuitos elétricos.
46UNIDADE I Grandezas Elétricas 46UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
LEITURA COMPLEMENTAR
A “expansão dos Veículos Elétricos incentiva mercado de recarga e de renováveis. 
Para dar suporte à disseminação da infraestrutura de recarga e ao aumento da demanda 
de energia devido o avanço dos veículos elétricos, a expansão das fontes renováveis é 
fundamental. Este avanço também deve incentivar novos negócios”
Fonte: (EM FOTOVOLT, 2021, p. 34).
47UNIDADE I Grandezas Elétricas 47UNIDADE II Circuitos Resistivos e Técnicas de Análises de Circuitos
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Análise de Circuitos Elétricos com Aplicações
Autor: Sadiku Musa Alexander
Editora: AMGH
Sinopse:Este livro tem como objetivo apresentar a análise de 
circuitos aos estudantes deengenharia elétrica e áreas afins de 
um modo claro, mais interessante e fácil decompreender do que 
outros livros. Esse objetivo é alcançado do seguinte modo: um 
curso de análise de circuitos é, talvez, a primeira exposição que 
osestudantes têm à engenharia elétrica. Todos os princípios são 
apresentados em passo a passo, de uma maneiralúcida e lógica: 
Sempre que possível, evita-se a verbosidade e o excesso dedeta-
lhes que poderiam esconder conceitos e impedir a compreensão 
globaldo material.
FILME / VÍDEO 
Título: Demain
Ano: 2015.
Sinopse: Demain (ou Tomorrow) mostra que cada um de nós pode 
realmente contribuir para criar o futuro. O filme tem tom positivista 
e optimista, que pergunta: apresentar soluções e contando uma 
história positiva é a melhor forma de resolver as crises ecológicas, 
econômicas e sociais que atravessam o nosso mundo? Demain 
acompanha a viagem de Cyril Dion, Mélanie Laurent e uma equipe 
de quatro pessoas por dez países à procura do que poderá pro-
vocar o desaparecimento da Humanidade e como evitar esta ca-
tástrofe até 2100. Durante a viagem, Cyril Dion e Mélanie Laurent 
encontraram pioneiros que reinventaram a agricultura, a energia, 
e economia, a democracia e a educação.
Link do vídeo (trailer): https://youtu.be/NUN0QxRB7e0.
48
Plano de Estudo:
● Fasores e Senoides;
● Redes de primeira ordem;
● Transformada de Laplace;
● Resposta em frequência.
Objetivos da Aprendizagem:
● Compreender novas formas de análise de circuitos elétricos RC e RL, compostos de 
resistores, capacitores e indutores, também conhecidos como redes de primeira ordem;
● Conceituar a Transformada de Laplace por meio de exemplos e aplicações;
● Conhecer a Resposta em frequência a partir da Resposta 
no domínio do tempo, com exemplos e aplicações.
UNIDADE III
Análise de Circuitospor Malhas
Professor Esp. Lucas Ferreira de Souza
49UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
INTRODUÇÃO
Segundo Benjamin Franklin, “investir em conhecimento rende sempre os melhores 
juros”. Portanto, te convido a fazer um grande, ou o melhor investimento de sua vida, ini-
ciando com análise de circuitos em corrente alternada, ou seja, a forma de onda de energia 
elétrica que temos em nossas casas no Brasil, no qual os valores de amplitude variam, 
positivos e negativos, em diferentes grandezas, na frequência de sessenta hertz, ou seja, 
os valores variam cerca de sessenta vezes por segundo.
Em Corrente Alternada, vamos tratar inicialmente o método de fasores, em segui-
da, na nas redes de primeira ordem, circuitos com capacitores e indutores. Nesta unidade, 
vamos iniciar o método de solução de equações por Transformada de Laplace. Trata-se 
de uma forma de facilitar a análise de circuitos complexos, pois descrevem o circuito do 
domínio do tempo para o domínio da frequência, em seguida fazemos a análise, e transfor-
mamos novamente a solução de volta para o domínio do tempo. Por fim, estudaremos os 
circuitos com resposta em frequência.
Será um prazer contar contigo no aprendizado destes conceitos, que sem dúvida, 
vai gerar novas ideias em sua carreira de Engenheiro Eletricista.
50UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
1. FASORES E SENOIDES
Corrente Contínua (CC) é uma corrente de valor constante. Quando há variação dos 
valores de corrente elétrica com o tempo, i(t), em diferentes formas, como de uma rampa, 
uma senoide ou uma exponencial por exemplo (Figura 1), não temos Corrente Continua. 
Nisto, uma corrente elétrica com forma Senoidal é chamada de Corrente Alternada (CA) 
(ALEXANDER e SADIKU, 2013).
FIGURA 1 - FORMAS DE ONDA DE ENERGIA ELÉTRICA
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 02).
Todas as correntes e tensões de um circuito de CA (Corrente Alternada) são senoi-
des de mesma frequência, mas que podem ter diferentes amplitudes e constantes de fase. 
Um fasor é um número complexo usado para representar a amplitude e o ângulo de fase de 
uma Senoide (ALEXANDER e SADIKU, 2013). 
51UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Em primeiro lugar, a Senoide é representada pela função cosseno e não pela fun-
ção seno. Em segundo lugar, o fasor é um número complexo na forma polar. Finalmente, o 
módulo do fasor é igual à amplitude da senoide e o ângulo de fase do fasor é igual ao ângulo 
de fase da senoide (ALEXANDER e SADIKU, 2013). Para tensão elétrica, representamos 
o fasor V na forma retangular como:
V = a + jb
Por exemplo, para
A conversão da forma retangular para a forma polar acontece da seguinte forma:
1.1 Equações de malha e nó
Podemos analisar um circuito CA (Corrente Alternada) escrevendo e resolvendo 
um conjunto de equações simultâneas. Antes de escrever as equações do nó e das malhas, 
vamos representar o circuito CA no domínio da frequência usando fasores e impedâncias.
As equações do nó são um conjunto de equações simultâneas em que as incógnitas 
são o nó tensões. Escrevemos as equações dos nós por:
1. Expressar os elementos do circuito em impedâncias no domínio da frequência;
2. Aplicar as Leis de Kirchhoff e a Lei de Ohm no circuito em corrente alternada com 
as impedâncias.
A Figura 2a ilustra o circuito em corrente alternada com tensão, resistor, indutor e 
capacitor. Na Figura 2b temos o circuito equivalente em impedâncias.
FIGURA 2 - CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA 
E SEU EQUIVALENTE EM IMPEDÂNCIAS
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 437).
52UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Para resolver este exemplo, é preciso representá-lo no domínio da frequência, 
conforme mostrado na Figura 1b. Aplicando Kirchhoff temos:
Agora, é preciso calcular as impedâncias. Para o resistor temos:
Sabendo que j=√-1, para o capacitor temos:
Para o indutor temos:
Para a fonte de tensão independente temos:
Isolando I na equação da malha de Kirchooff, temos:
Assim, a corrente no domínio do tempo é
i(t) = 7,86 cos (100t + 45º) A
53UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
2. REDES DE PRIMEIRA ORDEM
Os circuitos que contêm apenas um indutor e nenhum capacitor ou apenas um 
capacitor e nenhum indutor podem ser representados por uma equação diferencial de pri-
meira ordem. Esses circuitos são chamados de circuitos de primeira ordem (ORSINI, 2002).
No caso de um circuito com um capacitor e nenhum indutor, a constante Tau (τ) 
encontra-se com a seguinte equação:
Como também, a tensão no capacitor no momento t pode ser encontrada com a 
seguinte equação:
No exemplo, temos a aplicação de um circuito de um capacitor e nenhum indutor. 
Determine a tensão do capacitor depois que a chave do circuito da Figura 3 aberta. Qual é 
o valor da tensão do capacitor 50 ms após a chave ser aberta?
54UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
FIGURA 3 - CIRCUITO COM UM CAPACITOR E NENHUM INDUTOR
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 322).
Rt = 1000 Ω e Isc = 4 mA
A fonte de tensão de 2 V faz com que a tensão do capacitor seja 2 V até a chave ser 
aberta. Como a tensão do capacitor não pode variar bruscamente, a tensão do capacitor é 
2 V imediatamente após a chave ser aberta. Assim, a condição inicial é
v (0) = 2 V
A Figura 2b mostra o circuito após a chave ser aberta. Comparando este circuito 
com o circuito RC da Figura 2a, vemos que
Rt = 10 kΩ e Voc = 8 V
A constante de tempo deste circuito de primeira ordem com um capacitor é
τ = RxC = (10 × 103) (2 × 10−6) = 20 × 10−3 = 20 ms
Substituindo esses valores, obtemos:
Em que t está em milissegundos. Para determinar a tensão 50 ms após a chave ser 
aberta, basta fazer t = 50. O resultado é o seguinte:
V (50) = 8 − 6e−50/20 = 7,51 V.
No caso de um circuito com um indutor e nenhum capacitor, a constante tau (τ) 
encontra-se com a seguinte equação:
55UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Como também, a corrente elétrica no indutor no momento t pode ser encontrada 
com a seguinte equação:
No exemplo a seguir, temos a aplicação de um circuito de um indutor e nenhum 
capacitor. Determine a tensão do indutor depois que a chave do circuito da Figura 4a é 
fechada. Qual é o tempo necessário para que a corrente no indutor atinja o valor de 2mA?
A corrente do indutor é zero até a chave ser fechada. Como a corrente do indutor 
não pode variar bruscamente, ela continua a ser zero imediatamente após a chave ser 
fechada. Assim, a condição inicial é:
i(0) = 0
FIGURA 4 - CIRCUITO COM UM INDUTOR E NENHUM CAPACITOR
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 322).
Rt = 1000 Ω e Isc = 4 mA
A constante de tempo deste circuito de primeira ordem com um indutor é:
 Substituindo esses valores, obtemos:
56UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Em que t está em microssegundos. Para determinar o instante em que a corrente 
no indutor é 2 mA, fazemos i(t) =2 mA. Nesse caso, temos:
2 = 4 − 4e−t/5mA
o que nos dá:
57UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Uma forma de facilitar a análise de circuitos complexos é transformar as equações 
que descrevem o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência, realizar a 
análise e transformar a solução de volta para o domínio do tempo. 
A representação no domínio do tempo é de acordo com o formato f(t) abaixo, de um 
sinal de tensão ou de corrente (IRWIN, 2013). 
f(t) = A cos(ωt + φ)
em que: A= amplitude (constante), ω= frequência angular em rad/s, φ= fase na 
origem em rad, t= tempo em s, −∞ < t < ∞.
Anteriormente, definimos o fasor como uma transformação matemática usada para 
simplificar a solução da resposta estacionária do circuito a uma fonte senoidal. Usando a 
transformação fasorial, é possível converter um problema que envolve equações diferenciais 
em um problema que envolve apenas equações algébricas. O método da transformação 
está representado, de forma esquemática, na Figura 5.
58UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
FIGURA 5 – O MÉTODO DA TRANSFORMAÇÃOFonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 656).
Vamos usar a transformação de Laplace, em vez da transformação fasorial, para 
transformar equações diferenciais em equações algébricas. Isso nos permitirá determinar 
a resposta completa de um circuito a qualquer sinal de entrada em vez da resposta esta-
cionária a sinais senoidais, único caso ao qual podia ser aplicada a transformação fasorial.
A resposta completa é a soma da resposta estacionária com a parte transitória da 
resposta. Pierre-Simon Laplace foi o criador da transformação que recebeu o seu nome. A 
transformada de Laplace (unilateral) é definida pela equação (DORF e SVOBODA, 2016).
Em que s é uma variável complexa dada por:
s é chamado de frequência complexa. A transformada de Laplace não leva em 
conta o comportamento da função para t < 0.
A notação L[f(t)] indica a operação usada para obter a transformada de Laplace de 
f(t). O resultado, F(s), é chamado de transformada de Laplace de f(t). Dizemos que a função 
f(t) pertence ao domínio do tempo, enquanto a função F(s) pertence ao domínio da frequência 
complexa ou domínio s. A transformada inversa de Laplace é definida pela equação:
Se sabemos que L[f(t)] = F(s), também sabemos que L−1[F(s)] = f(t). Nesse caso, 
dizemos que f(t) e F(s) formam um par de transformadas de Laplace (DORF et al, 2016).
Calcule a transformada de Laplace da função 5 − 5e−2t (1 + 2t):
59UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Usando a propriedade da linearidade,
L [5 – 5e−2t (1 + 2t)] = 5 L [1] – 5 L [e−2t (1 + 2t)]
Usando o deslocamento de frequência da Tabela 14.2-2 com f(t) = 1 + 2t, obtemos:
L [e−2t (1 + 2t)] = L [e−2t f(t)] = F(s + 2)
em que:
Além disso,
F (s + 2) = F(s)|s←s+2
TABELA 1 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 659).
60UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
TABELA 2 - PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 660).
ou seja, devemos substituir s na função F (s) por s + 2 para obter F (s +2):
Combinando todos esses resultados, obtemos
61UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
4. RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
4.1 Ganho, Deslocamento de Fase e Função de Transferência
Ganho, deslocamento de fase e função de transferência são propriedades dos 
circuitos lineares usadas para descrever o efeito do circuito sobre uma tensão ou corrente 
de entrada senoidal. Como a impedância dos capacitores e indutores do circuito varia com 
a frequência, é natural esperar que essas três propriedades sejam funções da frequência. 
Como vamos ver, é exatamente isso que acontece (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
O ganho de um circuito é um parâmetro que expressa a relação entre a intensidade 
do sinal de saída e a intensidade do sinal de entrada. No caso de sinais senoidais em 
circuitos lineares, o ganho é a razão entre a amplitude da senoide da saída e a amplitude 
da senoide da entrada (DORF e SVOBODA, 2016).
O deslocamento de fase de um circuito é um parâmetro que descreve a relação entre 
o ângulo de fase do sinal de saída e o ângulo de fase do sinal de entrada. No caso de sinais 
senoidais em circuitos lineares, o deslocamento de fase é a diferença entre o ângulo de fase 
da senoide de saída e o ângulo de fase da senoide de entrada (DORF e SVOBODA, 2016).
Um deslocamento de fase que faz a saída acontecer antes da entrada é chamado 
de avanço de fase. Um deslocamento de fase que faz a saída acontecer depois da entrada 
é chamado de retardo de fase (DORF e SVOBODA, 2016).
62UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
4.2 Função de Transferência de um Circuito
Considere o circuito da Figura a. A entrada do circuito é a tensão da fonte de tensão, 
vi(t). A saída é a tensão, vo(t), entre os terminais da associação em série do capacitor com 
o resistor de 16 kΩ. A função de transferência que representa o circuito é da forma:
FIGURA 6 - CIRCUITO ELÉTRICO PARA EXEMPLO DE GANHO, 
DESLOCAMENTO DE FASE E FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 597).
Uma função de transferência depende de dois parâmetros, z e p. O parâmetro z é 
chamado de zero do circuito e o parâmetro p é chamado de pólo do circuito. Determine os 
valores de z e p para o circuito da Figura 6a.
Como os fasores existem apenas no domínio da frequência, o primeiro passo é 
representar o circuito no domínio da frequência.
As impedâncias do capacitor e do resistor de 16 kΩ estão ligadas em série na 
Figura b. A impedância equivalente é
A impedância equivalente está ligada em série com o resistor de 8 kΩ. Vi(ω) é a 
tensão entre os terminais das impedâncias em série e Vo(ω) é a tensão entre os terminais 
da impedância equivalente, Ze(ω). Aplicando o método da divisão de tensão, obtemos
63UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Dividindo ambos os membros da equação por Vi(ω), obtemos a função de transfe-
rência do circuito:
Igualando as funções de transferência, temos:
Comparando os dois membros da equação, obtemos:
64UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
SAIBA MAIS
A energia elétrica em Corrente Alternada tem amplitudes (tensão) e frequências diferen-
tes nos países pelo mundo. Confira na tabela abaixo as grandezas:
TABELA 3 - PADRÃO DE BAIXA TENSÃO NOS PAÍSES DO MUNDO
Países Tensão 
monofásica Tensão Trifásica Frequência 
(Hertz)
Número de 
cabos (terra
não incluso)
Abu Dhabi 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
Afghanistan 220 V 380 V 50 Hz 4
Angola 220 V 380 V 50 Hz 4
Argentina 220 V 380 V 50 Hz 3, 4
Australia 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
Belgium 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
Bolivia 230 V 400 V 50 Hz 4
Brazil 127 V / 220 V 220 V / 380 V 60 Hz 3, 4
Canada 120 V 120/208 V / 240 V /
 480 V / 347/600 V 60 Hz 3, 4
Chile 220 V 380 V 50 Hz 3, 4
China 220 V 380 V 50 Hz 3, 4
Colombia 110 V 220 V / 440 V 60 Hz 3, 4
Cuba 110 V / 220 V 190 V 60 Hz 3
Dubai 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
England 230 V 415 V 50 Hz 4
France 230 V 400 V 50 Hz 4
Germany 230 V 400 V 50 Hz 4
Holland 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
Hong Kong 220 V 380 V 50 Hz 3, 4
Hungary 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
India 230 V 400 V 50 Hz 4
Israel 230 V 400 V 50 Hz 4
Japan 100 V 200 V 50 / 60 Hz 3
Italy 230 V 400 V 50 Hz 4
Mexico 127 V 220 V / 480 V 60 Hz 3, 4
Portugal 230 V 400 V 50 Hz 3, 4
Qatar 240 V 415 V 50 Hz 3, 4
Russia 220 V 380 V 50 Hz 4
United States 
of America 
(USA)
120 V
120/208 V / 277/480 
V / 120/240 V / 240 
V / 480 V
60 Hz 3, 4
Fonte: (UFRGS, s/d).
65UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
Note que os países mais desenvolvidos têm tensões monofásicas e trifásicas (230/400V) 
maiores na grande maioria. Já os países subdesenvolvidos tem tensão menores em sua 
grande maioria. Com relação a frequência, temos a maioria dos países trabalhando com 
50Hz, diferente do Brasil, com 60Hz.
Fonte: (UFRGS, s/d).
REFLITA
Sabemos que as fontes de alimentação, presentes nos equipamentos e eletrodomésticos, 
têm a principal função de converter a corrente elétrica alternada em Corrente Elétrica 
continua, dado que o circuito interno dos equipamentos funciona em Corrente Contínua. 
No entanto, os eletrodomésticos trabalham em baixa potência. Como podemos fazer a 
conversão de onda em Corrente Alternada para Corrente Contínua em potências maiores?
A resposta desta pergunta é justamente os equipamentos elétricos conhecidos como 
inversores de tensão. Eles conseguem converter por meio de chaveamento de IGBT’s 
(em inglês Insulated Gate Bipolar Transitor ou em português Transistor Bipolar de 
Porta Isolada), que são transistores de alta frequência e alta potência. O chaveamento 
tem amplitudes de tensão diferentes e são muito rápidos, a ponto de formar uma 
onda senoidal perfeitamente redonda. Dessa forma é possível converter energia 
elétrica em grande escala, capaz de alimentar cidades e não só um equipamento ou 
eletrodoméstico residencial.
Fonte: INSTITUTO NCB (2018).
66UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o fim desta unidade, estamos avançando e dando um grande passo nas análi-
ses de circuitos elétricos, pois já podemos fazer aconversão do domínio da frequência para 
o domínio do tempo, e vice-versa, com resistores, capacitores e indutores, que são três dos 
principais elementos elétricos.
Nesta unidade, aprendemos quatros conteúdos distintos, são eles: Teorema dos 
Fasores em Corrente Alternada, transformada de Laplace, Conversão de Resposta no Do-
mínio do Tempo para o Domínio da Frequência. Todos eles são necessários para realizar 
análise em circuitos lineares de maior complexidade, de maneira a reduzir a complexidade, 
para que possa ser analisado mais facilmente. 
Portanto, estamos chegando ao fim das descobertas desta disciplina, de modo que, 
de agora em diante, vamos empregar o aprendido até aqui e vencer novos desafios, sendo 
que cada desafio vai propor um novo aprendizado, e sem dúvida, é só o início de uma 
grande e prazerosa jornada na Engenharia Elétrica.
67UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
LEITURA COMPLEMENTAR
“A função senoidal (ou cossenoidal) é extremamente importante como função de 
excitação ou de resposta em um circuito elétrico. Em todo circuito elétrico formado por 
elementos lineares e excitado por um sinal senoidal observa-se no estado estacionário (um 
longo tempo após o circuito ter sido “ligado”) que a resposta do circuito também é senoidal 
e de mesma frequência da excitação. A amplitude e a fase da resposta em geral diferem da 
excitação sendo uma função dos parâmetros do circuito e da frequência.” 
Fonte: OLIVEIRA (2008). 
68UNIDADE III Análise de Circuitos por Malhas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Análise de Circuitos Elétricos com Aplicações
Autor: Sadiku Musa Alexander
Editora: AMGH
Sinopse:Este livro tem como objetivo apresentar a análise de 
circuitos aos estudantes deengenharia elétrica e áreas afins de 
um modo claro, mais interessante e fácil decompreender do que 
outros livros. Esse objetivo é alcançado do seguinte modo:Um 
curso de análise de circuitos é, talvez, a primeira exposição que 
osestudantes têm à engenharia elétrica. Todos os princípios são 
apresentados em passo a passo, de uma maneiralúcida e lógica: 
Sempre que possível, evita-se a verbosidade e o excesso dedeta-
lhes que poderiam esconder conceitos e impedir a compreensão 
globaldo material.
FILME / VÍDEO 
Título: Demain
Ano: 2015.
Sinopse:Demain (ou Tomorrow) mostra que cada um de nós pode 
realmente contribuir para criar o futuro. O filme tem tom positivista 
e optimista, que pergunta: apresentar soluções e contando uma 
história positiva é a melhor forma de resolver as crises ecológicas, 
econômicas e sociais que atravessam o nosso mundo? Demain 
acompanha a viagem de Cyril Dion, Mélanie Laurent e uma equipe 
de quatro pessoas por dez países à procura do que poderá pro-
vocar o desaparecimento da Humanidade e como evitar esta ca-
tástrofe até 2100. Durante a viagem, Cyril Dion e Mélanie Laurent 
encontraram pioneiros que reinventaram a agricultura, a energia, 
e economia, a democracia e a educação.
Link do vídeo (trailer):https://youtu.be/NUN0QxRB7e0.
69
Plano de Estudo:
● Transformada de Laplace de Pulsos e Impulsos;
● Análise de circuitos no domínio de Laplace;
● Circuitos Elétricos com amplificadores;
● Simuladores de circuitos.
Objetivos da Aprendizagem:
● Exemplificara Transformada de Laplace por meio de exemplos em redes elétricas;
● Realizar análise de circuitos elétricos no domínio de Laplace;
● Realizar simulação em software apropriado com aplicação de circuitos elétricos.
UNIDADE IV
Transformada de Laplace
Professor Esp. Lucas Ferreira de Souza
70UNIDADE IV Transformada de Laplace
INTRODUÇÃO
De acordo com Luiz Eduardo Baptista (2000), “Aprender com a experiência da gente é 
prova de inteligência...” por isso, nesta unidade, vamos aprender utilizando simuladores, de forma 
que seja possível ver o comportamento dos componentes elétricos com o avanço do tempo.
Inicialmente, vamos estudar dois métodos distintos da Transformada de Laplace: 
domínio de Laplace, pulsos e impulsos. Esses Teoremas permitem simplificar a análise de 
circuitos maiores e mais complexos.
Em seguida, vamos estudar os Amplificadores Operacionais, dispositivos que tem a 
capacidade de amplificar sinais e realizar operações com eles, tais como soma, subtração, 
multiplicação e divisão.
Por fim, vamos realizar simulações com software livre em navegador web, em cir-
cuitos elétricos com uma ou mais malhas, com resistores, capacitores e indutores, afim de 
comprovar os valores teóricos calculados. 
Será um prazer contar contigo no aprendizado destes conceitos, que sem dúvida, 
vai gerar novas ideias em sua carreira de Engenheiro Eletricista.
71UNIDADE IV Transformada de Laplace
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE PULSOS E IMPULSOS
Toda a função que sofre uma transição abrupta de 0 para 1 é tida como função pul-
so. Dadas as funções da Figura 1, vamos calcular a transformada de Laplace das funções 
g(t), h(t) e k(t) (DORF e SVOBODA, 2016).
FIGURA 1 - FUNÇÕES PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p. 664)
72UNIDADE IV Transformada de Laplace
Neste exemplo, portanto, temos:
73UNIDADE IV Transformada de Laplace
2. ANÁLISE DE CIRCUITOS NO DOMÍNIO DE LAPLACE
2.1 A Transformada Inversa de Laplace
Na análise de circuitos, muitas vezes precisamos determinar a transformada inver-
sa de Laplace de uma função da forma:
em que N(s) e D(s) são dois polinômios em s cujos coeficientes são números reais. 
Uma função como F(s) é chamada de função racional porque é a razão de dois polinômios. 
Em geral, n > m, caso em que F(s) recebe o nome de fração racional própria (ALEXANDER 
e SADIKU, 2013).
Determine a transformada inversa da função:
Como a função dada é uma função racional própria, fatoramos o denominador e 
executamos uma expansão em frações parciais. O resultado é o seguinte:
74UNIDADE IV Transformada de Laplace
em que
e
Assim,
Determinando a transformada inversa de cada termo e usando a propriedade da 
linearidade, obtemos:
2.1 Transformada Inversa de Laplace: Polos Simples Complexos
Determine a transformada inversa de Laplace da função (ALEXANDER e SADIKU, 2013):
As raízes da equação do segundo grau s2 + 6s + 10 são complexas; depois de 
fatorado, o denominador da função F(s) se torna:
Expandindo F(s) em frações parciais, obtemos:
75UNIDADE IV Transformada de Laplace
76UNIDADE IV Transformada de Laplace
3. CIRCUITOS ELÉTRICOS COM AMPLIFICADORES
Uma aplicação comum dos amplificadores operacionais é a mudança de escala de 
uma tensão, ou seja, a multiplicação da tensão por uma constante K, de forma quevo=K vin.
FIGURA 2 - CIRCUITOS AMPLIFICADORES
77UNIDADE IV Transformada de Laplace
Fonte: (DORF e SVOBODA, 2016, p.222)
No exemplo abaixo, a tensão de entrada, Vin, é fornecida por uma fonte de tensão 
ideal. A tensão de saída, Vo, é a tensão no resistor de 100 kΩ. Os circuitos que realizam 
esta operação são em geral chamados de amplificadores. A constante K é o ganho do 
amplificador. A escolha do circuito da Figura 3 a ser usado depende do valor que se deseja 
para a constante K. Existem quatro casos possíveis: K < 0, K > 1, K = 1 e 0 < K < 1.
O uso de um amplificador (a) para fazer com que vo = Kvin. A escolha do tipo de 
amplificador depende do valor do ganho K desejado. Quatro casos são mostrados: (b) K = 
–5, (c) K = 5, (d) K = 1 e (e) K = 0,8.
FIGURA 3 – O USO DE UM AMPLIFICADOR
Fonte: (DORF e SVBODA, 2016, p. 225).
78UNIDADE IV Transformada de Laplace
Como os valores de resistência são sempre positivos, o ganho do amplificador 
inversor, mostrado na Figura 3a, é sempre negativo. Assim, quando se deseja que K < 0, 
utiliza-se um amplificador inversor. Suponha, por exemplo, que se deseje que K = –5. De 
acordo com a Figura 3a, e, portanto, Rf = 5R1. É recomendável, sempre que possível, 
escolher resistores com valores entre 5 kΩ e 500 kΩ para os circuitos com amplificadores 
operacionais (COSTA et al., 2018). Fazendo:
R1 = 10 kΩ
Obtemos:
Rf = 50 kΩ
o que nos dá o circuitoda Figura 3b.
Suponha agora que se deseje que K = 5. O amplificador não inversor, representado 
na Figura 3b, é usado para obter ganhos maiores que 1. De acordo com a Fig. 3c, e, 
portanto:
Rf = 4R1
Se R1 = 10 kΩ, devemos ter Rf = 40 kΩ. O circuito resultante aparece na Figura 3c. 
Considere o uso do amplificador não inversor da Figura 3b para obter um ganho K = 1. De 
acordo com a Figura 3d, o que nos dá:
Isso pode ser conseguido substituindo Rf por um curto-circuito (Rf = 0), substituindo 
R1 por um circuito aberto (R1 = ∞) ou fazendo as duas coisas. Quando fazemos as duas 
coisas, o circuito se torna um seguidor de tensão, cujo ganho é 1 (Figura 3d). Na Figura 3d, 
um seguidor de tensão é usado para o caso em que K = 1.
Não existe nenhum amplificador da Figura 3 com um ganho entre 0 e 1. Esse 
circuito pode ser obtido combinando um divisor de tensão com um seguidor de tensão. 
Suponha que se deseje que K = 0,8. Em primeiro lugar, projetamos um divisor de tensão 
com uma atenuação igual a K:
e, portanto,
R2 = 4 · R1
Se R1 = 20 kΩ, devemos ter R2 = 80 kΩ. Combinando o divisor de tensão com um 
seguidor de tensão, obtemos o circuito da Figura 3e.
79UNIDADE IV Transformada de Laplace
4. CIRCUITOS RC
Os circuitos RL e RC são chamados de circuitos de primeira ordem (ALEXANDER 
e SADIKU, 2013). Determine o circuito equivalente de Norton do circuito de CA da Figura 4.
FIGURA 4 - CIRCUITO RC
Fonte: O Autor, 2021.
O circuito da Figura 4 já está representado no domínio da frequência. Para deter-
minar a tensão de circuito aberto Voc, usamos o circuito da Figura 5. Como a corrente no 
resistor de 50 Ω é zero, a aplicação a LKT à malha da esquerda nos dá
Explicitando Ia, obtemos:
80UNIDADE IV Transformada de Laplace
Aplicando a LKT à malha da esquerda, temos
FIGURA 5 - CIRCUITO USADO PARA DETERMINAR A TENSÃO 
DE CIRCUITO ABERTO DO CIRCUITO DA FIGURA 4
Fonte: O Autor, 2021.
FIGURA 6 - CIRCUITO USADO PARA DETERMINAR A CORRENTE 
DE CURTO-CIRCUITO DO CIRCUITO DA FIGURA 4
Fonte: O Autor, 2021.
O passo seguinte consiste em determinar a corrente de curto-circuito Isc usando o 
circuito da Figura 6, no qual um curto-circuito foi ligado aos terminais do circuito da Figura 
4. Na Figura 6, a corrente de controle da fonte dependente está relacionada às correntes 
de malha pela equação:
Ia = I1 + Isc
Aplicando a LKT à malha da esquerda, obtemos:
Aplicando a LKT à malha da direita, obtemos:
50 Isc − (−j 25) (I1 − Isc) = 0
81UNIDADE IV Transformada de Laplace
Esse sistema de equações pode ser escrito como uma única equação matricial:
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
Portanto, a impedância de Thévenin é dada por:
A Figura 7 mostra o circuito equivalente de Norton, formado por uma fonte de cor-
rente em paralelo com uma impedância. A corrente da fonte de corrente é a corrente de 
curto-circuito Isc e a impedância é a impedância de ThéveninZt.
FIGURA 7 - CIRCUITO EQUIVALENTE DE NORTON DO CIRCUITO DA FIGURA 4.
Fonte: O Autor, 2021.
82UNIDADE IV Transformada de Laplace
4. SIMULADORES DE CIRCUITOS
4.1 Simulação de circuito de uma malha
Vamos fazer a simulação com o circuito da Figura 8, no qual trata-se de um exercício 
teórico realizado na unidade I, software “Circuit Simulator and Editor”, em linguagem Inglês. 
Para isso, utilize um navegador da web e acesse: https://thumbsdb.herokuapp.com/circuit/.
FIGURA 8 – CIRCUITO ELÉTRICO COM UMA MALHA NA ANÁLISE COM SIMULADOR 
Fonte: O Autor, 2021.
Com o botão direito do mouse é possível adicionar qualquer componente, linha ou 
fonte de alimentação e formar o circuito da Figura 8. Em seguida, como pode ser visto na 
Figura 9, no lado superior direito, temos o botão “RUN / STOP”. Clique nele sempre que 
quiser fazer a simulação do circuito.
83UNIDADE IV Transformada de Laplace
FIGURA 9 - INTERFACE DE SIMULAÇÃO “CIRCUIT SIMULATOR AND EDITOR”
Fonte: O Autor, 2021.
Ao iniciar a simulação, clicando com o botão direito em cima dos componentes, é 
possível ver a tensão elétrica, a corrente elétrica, a resistência elétrica e demais fatores que 
atuam no componente, como pode ser visto na Figura 10. Com isso, é possível comprovar 
o resultado teórico na Unidade I por meio de simulação. Na Figura 10, temos o mesmo 
resultado encontrado nos cálculos e na simulação.
FIGURA 10 - RESULTADO DA SIMULAÇÃO DO CIRCUITO COM UMA MALHA
Fonte: O Autor, 2021.
84UNIDADE IV Transformada de Laplace
4.2 Simulação de circuito com resistor e capacitor
Na Figura 11, temos um circuito com fonte de tensão independente conectada em 
série com um resistor e um capacitor. No primeiro momento, inicia-se o processo de carga 
do capacitor, e o circuito comporta-se como se o capacitor não existisse. Portanto a corrente 
elétrica é igual a V/R.
FIGURA 11 - CIRCUITO COM RESISTOR E CAPACITOR EM SÉRIE
Fonte: (ALEXANDER e SADIKU, 2013).
Na medida em que o capacitor é carregado, a corrente diminui, de maneira exponen-
cialmente. A tensão no capacitor, por sua vez aumenta, à medida que o capacitor é carregado. 
Usando os mesmos passos na simulação com software “Circuit Simulator and 
Editor”, com fonte de tensão em 5V, resistor 1000Ω e capacitor de 1µF, vamos obter as 
formas de onda da figura 12.
FIGURA 12 - FORMAS NA SIMULAÇÃO DE CIRCUITO COM RESISTOR E CAPACITOR
Fonte: O Autor, 2021.
4.3 Simulação de circuito com resistor e indutor
Na Figura 13, temos um circuito com fonte de tensão independente conectada em 
série com um resistor e um indutor. No primeiro momento, inicia-se a passagem de corrente 
pelo indutor, sendo que a corrente elétrica é igual a V/Re a tensão tende a zero volts, dado 
que o indutor tem uma resistência baixíssima.
85UNIDADE IV Transformada de Laplace
FIGURA 13 - CIRCUITO COM RESISTOR E CAPACITOR EM SÉRIE
Fonte: O Autor, 2021.
Se a fonte de tensão for retirada do indutor, nele aumenta instantaneamente a ten-
são elétrica para a tensão da fonte e, se houver circuito, fornece também corrente elétrica 
por um curto período de tempo, sendo que em seguida, os valores de tensão e corrente 
elétrica chegam a zero. Usando os mesmos passos na simulação com software “Circuit 
Simulator and Editor”, com fonte de tensão em 5V, resistor 1000Ω e indutor de 1H, vamos 
obter as formas de onda da Figura 14.
FIGURA 14 - FORMAS NA SIMULAÇÃO DE CIRCUITO COM RESISTOR E INDUTOR
Fonte: do Autor, 2021.
4.4 Simulação de circuito com resistor, capacitor e indutor em fonte de 
 corrente elétrica alternada
Na Figura 15, é possível o comportamento dos componentes quando submetidos a 
fonte de tensão em corrente alternada. Na parte inferior da Figura 15, temos as formas de 
onda, em que as linhas verdes são as tensões e as linhas amarelas são as correntes. Em 
cada um dos três componentes, temos uma mudança no comportamento. No resistor, te-
mos tensão e corrente elétrica atuando no mesmo instante, sem atrasos ou adiantamentos. 
No indutor, temos a corrente elétrica atrasada em relação a tensão, e no capacitor temos o 
inversor, a corrente elétrica adiantada em relação a tensão. 
86UNIDADE IV Transformada de Laplace
Contudo, é necessário ver que a fonte de alimentação está trabalhando com uma 
resultante do capacitor e do indutor, sendo ainda a corrente atrasada em relação a tensão. 
Para que ambas trabalhem simultaneamente, é necessário aumentar a capacitância do 
circuito ou o próprio número de capacitores.
FIGURA 15 - SIMULAÇÃO DE CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA, COM CAPACITOR, 
INDUTOR E RESISTOR
Fonte: O Autor, 2021.
87UNIDADE IV Transformada de Laplace
SAIBA MAIS
A Correção do fator de potência através, principalmente, da instalação de capacitores 
tem sido alvo de muita atenção das áreas de projeto, manutenção e finanças de empre-
sas interessadas em racionalizar o consumo de seus equipamentos elétricos. Objetivan-
do aperfeiçoar o uso da energia elétrica gerada no país, o extinto DNAEE (Departamen-
to Nacional de Águas e Energia Elétrica), atualmente com a denominaçãode ANEEL 
(Agência Nacional de Energia Elétrica), através do Decreto Nº 479 de 20 de março de 
1992 estabeleceu que o fator de potência mínimo deve ser 0,92.
Com o avanço da tecnologia e com o aumento das cargas não lineares nas instalações 
elétricas, a correção do fator de potência passa a exigir alguns cuidados especiais. A 
correta instalação de capacitores corrige efetivamente o fator de potência e proporciona 
às empresas maior qualidade e maior competitividade.
Fonte: O Autor, 2021.
REFLITA 
Como podemos eliminar a energia reativa causada por equipamentos eletrônicos e de 
indutância, como motores, por exemplo?
Fonte: O Autor, 2021.
88UNIDADE IV Transformada de Laplace
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Uma das faces da Engenharia Elétrica são os circuitos elétricos. São conceitos 
que farão parte do seu dia-a-dia profissional e serão muito importantes para solucionar 
problemas. Com o fim desta unidade, damos um grande passo na Engenharia e cumprimos 
diversos objetivos dentro desta disciplina, como, por exemplo, a conversão do domínio da 
frequência para o domínio do tempo, e vice-versa, com resistores, capacitores e indutores, 
que são três dos principais elementos elétricos, análises de malhas em diferentes formas
Nesta unidade, aprendemos quatros conteúdos distintos, são eles: Transformada 
de Laplace em redes elétricas, Análise de circuitos no domínio de Laplace, Circuitos Elé-
tricos com amplificadores e Simulação de circuitos. São conteúdos para trabalhar os co-
nhecimentos adquiridos nas outras unidades e prepará-lo para voos maiores nas próximas 
disciplinas que vem pela frente. 
Portanto, estamos chegando ao fim das descobertas desta disciplina neste curso, 
mas temos uma enorme gama de aplicações a serem descobertas na sua vida profissional, 
sendo que cada desafio vai propor um novo aprendizado, e sem dúvida, é só o início de 
uma grande e prazerosa jornada na Engenharia Elétrica.
89UNIDADE IV Transformada de Laplace
LEITURA COMPLEMENTAR
“A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Fórum Nacional de 
Normalização. As Normas Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês 
Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Co-
missões de Estudo Especiais Temporárias (ABNT/CEET), são elaboradas por Comissões 
de Estudo (CE), formadas por representantes dos setoresenvolvidos, delas fazendo parte: 
produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros).
A ABNT NBR 5410 foi elaborada no Comitê Brasileiro de Eletricidade (ABNT/CB-
03), pela Comissão de Estudo de Instalações Elétricas de Baixa Tensão (CE±03:064.01).
Esta Norma estabelece as condições a que devem satisfazer as instalações elétri-
cas de baixa tensão, a fim de garantir a segurança de pessoas e animais, o funcionamento 
adequado da instalação e a conservação dos bens.
Esta Norma aplica-se principalmente às instalações elétricas de edificações, qual-
quer que seja seu uso (residencial, comercial, público, industrial, de serviços, agropecuário, 
hortigranjeiro, etc.), incluindo as pré-fabricadas.
Esta Norma aplica-se também às instalações elétricas:
a) em áreas descobertas das propriedades, externas às edificações;
b) de reboques de acampamento (trailers), locais de acampamento (campings), 
marinas e instalaçõesanálogas; 
c) de canteiros de obra, feiras, exposições e outras instalações temporárias.
Esta Norma aplica-se:
a) aos circuitos elétricos alimentados sob tensão nominal igual ou inferior a 1 000 V 
em corrente alternada,com freqüências inferiores a 400 Hz, ou a 1 500 V em corrente contínua;
b) aos circuitos elétricos, que não os internos aos equipamentos, funcionando sob 
uma tensão superior à 1 000 V e alimentados através de uma instalação de tensão igual ou 
inferior à 1 000 V em Corrente Alternada (por exemplo, circuitos de lâmpadas a descarga, 
precipitadores eletrostáticos etc.);
c) a toda fiação e a toda linha elétrica que não sejam cobertas pelas normas relati-
vas aos equipamentos deutilização; e
d) às linhas elétricas fixas de sinal (com exceção dos circuitos internos dos equipamentos)” 
Fonte: (ABNT, 2004, p. 01).
90UNIDADE IV Transformada de Laplace
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO 
Título: Análise de Circuitos Elétricos com Aplicações
Autor: Sadiku Musa Alexander.
Editora: AMGH.
Sinopse:Este livro tem como objetivo apresentar a análise de 
circuitos aos estudantes deengenharia elétrica e áreas afins de 
um modo claro, mais interessante e fácil decompreender do que 
outros livros. Esse objetivo é alcançado do seguinte modo:Um 
curso de análise de circuitos é, talvez, a primeira exposição que 
osestudantes têm à engenharia elétrica. Todos os princípios são 
apresentados em passo a passo, de uma maneiralúcida e lógica: 
Sempre que possível, evita-se a verbosidade e o excesso dedeta-
lhes que poderiam esconder conceitos e impedir a compreensão 
globaldo material.
FILME / VÍDEO 
Título: Demain
Ano: 2015.
Sinopse:Demain (ou Tomorrow) mostra que cada um de nós pode 
realmente contribuir para criar o futuro. O filme tem tom positivista 
e optimista, que pergunta: apresentar soluções e contando uma 
história positiva é a melhor forma de resolver as crises ecológicas, 
econômicas e sociais que atravessam o nosso mundo? Demain 
acompanha a viagem de Cyril Dion, Mélanie Laurent e uma equipe 
de quatro pessoas por dez países à procura do que poderá pro-
vocar o desaparecimento da Humanidade e como evitar esta ca-
tástrofe até 2100. Durante a viagem, Cyril Dion e Mélanie Laurent 
encontraram pioneiros que reinventaram a agricultura, a energia, 
e economia, a democracia e a educação.
Link do vídeo (trailer):https://youtu.be/NUN0QxRB7e0.
91
REFERÊNCIAS
ABNT NBR 5410. Instalações elétricas de baixa tensão. Rio de Janeiro, 2004.
ALEXANDER, Charles. K.; SADIKU, Matthew.N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos 
com Aplicações. Grupo A, 2013. 9788580551730. Disponível em: https://integrada.minhabi-
blioteca.com.br/#/books/9788580551730/. Acesso em: 21 nov. 2021.
COSTA, Lucas. A.; SEIXAS, Jordana. L.; FREITAS, Pedro.H. C.; LOPES, Guilherme.de.Li-
mae. L. Análise de circuitos elétricos. Grupo A, 2018. DOI: 9788595025806. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595025806/. Acesso em: 21 nov. 
2021.
DORF, RICHARD C; SVOBODA, JAMES A. J. Introdução aos Circuitos Elétricos, 9ª edição. 
Grupo GEN, 2016. 9788521631309. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788521631309/. Acesso em: 21 nov. 2021.
EM FOTOVOLT. Eletricidade Moderna. Ano 6, N°38. São Paulo: Aranda Editora, 2021. 
ISSN 24471615. Disponível em: https://www.arandanet.com.br/revista/fotovolt/edicao/2021/
junho. Acesso em: 26 nov. 2021. 
INSTITUTO NCB - Newton C. Braga. Curso de Eletrônica de Potência - Parte 5 - Os IGBTs. 
2018. Disponível em: https://www.newtoncbraga.com.br/index.php/eletronica-de-potencia/
15401-curso-de-eletronica-de-potencia-parte-5-os-igbts-cur3005.html?highlight=WyJpZ-
2J0Il0=. Acesso em: 26 dez. 2021.
IRWIN. Análise Básica de Circuitos para Engenharia. [Digite o Local da Editora]: Grupo 
GEN, 2013. 978-85-216-2320-5. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/978-85-216-2320-5/. Acesso em: 26 Jul 2021.
IRWIN. Análise Básica de Circuitos para Engenharia. Grupo GEN, 2013. 978-85-216-2320-
5. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2320-5/. 
Acesso em: 21 nov. 2021.
OLIVEIRA, Newton B. de. Circuitos elétricos no domínio do tempo e da frequência / Newton 
Barros de Oliveira. Salvador : EDUFBA, 2008. 167 p. ISBN: 987-85-232-0513-3.
ORSINI, L. Q. Curso de circuitos elétricos – vol. 1. Editora Blucher, 2002. 9788521215240. 
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215240/. Acesso 
em: 26 Jul 2021.
92
SCORPIN, Bruno. O que é Fator de Potência? Cubi Energia. 2021. Disponível em: https://
www.cubienergia.com/o-que-e-fator-de-potencia/. Acesso em: 21 nov. 2021.
SEIXAS, Jordana.L.; PINTO, Alfred.G. M.; MATSUBARA, Lilian. P.; FILHO, Elmo.S.D.da. S. 
Circuitos elétricos. Grupo A. 9788595025820. Disponível em: https://integrada.minhabiblio-
teca.com.br/#/books/9788595025820/. Acesso em: 21 nov. 2021.
UFRGS. Voltagem, plug e códigos de Países do mundo. s/d. Disponível em: https://www.inf.
ufrgs.br/~cabral/Voltagem.Codigos.2017.01.10.html. Acesso em: 18 nov. 2021.
WEG AUTOMAÇÃO S/A. Manual para Correção do Fator de Potência. Jaraguá do Sul – 
SC. Disponível em: https://static.weg.net/medias/downloadcenter/hea/h8b/WEG-correcao-
-do-fator-de-potencia-958-manual-portugues-br.pdf. Acesso em: 12 out. 2021.
93
CONCLUSÃO GERAL
Prezado (a) aluno (a),
Neste material, busquei trazer para você os principais conceitos sobre os Funda-
mentos e Análise de Circuitos Elétricos, trabalhando com diversas aplicações e exemplos. 
Para tanto, abordamos as definições teóricas e, neste aspecto, acreditamos que tenha fica-
do claro para você o quanto é importante conhecer as características e funcionamento de 
cada componente elétrico, para que na prática, não venha ter surpresas com os mesmos.
Levantamos também aspectos históricos que nos levaram a chegar nas formu-
lações, processos e técnicas que hoje aplicamos nas organizações. Esse olhar para o 
passado para entender o presente e visualizar o futuro é algo inerente aos empreendedores 
que pensam em suas organizações como gestores eficientes e antenados.
Ao pensarmos em uma organização voltada a administração estratégica, como aqui 
abordamos e contemplando também a comunicação como cultura organizacional, temos 
que sempre levar em consideração o diálogo, o respeito e o ouvir de nossos parceiros de 
trabalho, nossos colaboradores e todos aqueles que integram nossa equipe.
A partir de agora acreditamos que você já está preparado para seguir em frente 
desenvolvendo ainda mais suas habilidades para criar e desenvolver produtos e marcas de 
sucesso no mercado e realizar bons negócios.
Até uma próxima oportunidade. Muito Obrigado!
+55 (44) 3045 9898
Rua Getúlio Vargas, 333 - Centro
CEP 87.702-200 - Paranavaí - PR
www.unifatecie.edu.br
	UNIDADE I
	Grandezas Elétricas
	UNIDADE II
	Circuitos Resistivos e 
	Técnicas de Análise de Circuitos
	UNIDADE III
	Análise de Circuitos por Malhas
	UNIDADE IV
	Transformada de Laplace