Aula 7 Circuito RC paralelo

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Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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3.3 – Circuito RC em paralelo 
 
3.3.1 – Considerações gerais 
As associações de circuito RC em paralelo tem muitas aplicações nas áreas de elétrica e de eletrônica, 
sendo comumente utilizados em filtros de freqüência passa-baixa, tanto em sinais como ruídos. Sua 
associação pode ser considerada, por exemplo, como uma célula básica na formação de uma rede de 
circuitos RC, onde a equação desta célula pode ser generalizada, permitindo o cálculo de toda a rede. 
 
3.3.2 – O circuito 
R cj X−−−−
RI↓↓↓↓ CI↓↓↓↓
I
→→→→
E vθθθθ
 
Figura 3.27 – Circuito RC em paralelo 
 
Um circuito RC associado em paralelo é ilustrado na Figura 3.27 . A análise deste circuito pode ser 
facilitada, também se iniciarmos pelo cálculo de sua impedância. O ângulo �v representado no fasor de 
tensão da fonte, reflete a influência da impedância dos componentes que estão associados em paralelo 
com seus terminais. 
 
O cálculo das correntes e tensão de circuitos associados em paralelo pode ser facilitado, se inicialmente 
calcularmos a admitância equivalente em vez da impedância total. 
 
 
3.3.3 - Admitância 
A admitância é dada em Siemens (S) , e representa a capacidade de conduzir corrente em circuitos que 
contém elementos reativos. 
É normalmente utilizada no cálculo da condutância de elementos condutores onde a resistência é muito 
baixa. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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Do seu ponto de vista, a fonte enxerga no circuito uma admitância Y equivalente da associação em 
paralelo, conforme mostrado na Figura 3.28. 
G cj BY
 
Figura 3.28 – Ilustração da admitância de um circuito RC paralelo 
 
Comparando com a associação paralela de resistências, podemos calcular a admitância complexa 
equivalente de um circuito de n elementos, a partir da associação paralela de n impedâncias, onde : 
1
�� =
1
��� +
1
��	 +	…+	
1
��� 
 
� = 
�� + 
�	 +	…+	
�� 
 
Decompondo as componentes real e imaginária da impedância complexa no circuito RC paralelo da 
Figura 3.27, na equação anterior, obtemos: 
� = 1� +
1
−��� = � + ��� 
onde : 
 
Representação na forma retangular 
� = 1�				�℧�			é	�	������â��!�	����	"#		#ℎ�% 
 
�� = 1�� 		�&�			é	�	%�%�"'�â��!�	����	"#	&!"#"�%	 
 
Representação na forma polar 
�� = 	�	"()°� 
��� = �� 	"+,)° 
� = 
	"+-° 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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Diagrama de admitâncias 
Da equação da admitância complexa dada anteriormente, resulta : 
j++++
θθθθ
j−−−−
++++
Y
G
cB
 
Figura 3.29 – Diagrama fasorial de admitâncias, 
para ����				< 90° e G > B . 
 
 
3.3.4 - Tensão 
Na maioria dos casos práticos em laboratório, encontramos uma situação em que temos disponível uma 
fonte de tensão CA para alimentar o circuito. Esta fonte fornece uma forma de onda de tensão senoidal 
com uma certa defasagem angular. Para efeito didático, vamos considerar nula esta defasagem. 
 
O circuito associado em paralelo, possuindo elementos armazenadores de energia e resistores, altera a 
defasagem do ângulo da fonte, somando algebricamente o ângulo de sua impedância ao da fonte. Uma 
vez que a tensão aplicada nestes elementos é a mesma da fonte, a característica tensão x corrente é 
alterada por um elemento armazenador de energia alterando o ângulo da fonte. Assim podemos afirmar 
que : 
Num circuito associado em paralelo, o ângulo da tensão da fonte 
é defasado do ângulo da impedância equivalente do circuito. 
 
Representação fasorial da tensão 
Geralmente, na prática, o módulo da tensão é conhecido. Precisamos então calcular o ângulo para 
determinar o fasor de tensão. 
A partir do resultado do ângulo da admitância chega-se facilmente ao da tensão, calculando-se o ângulo 
da impedância, onde : 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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.� = 	 /0� 	= 		
/
0	"+-° 
sendo 
. =	/0	"1(-°
�
 
resulta: 
�2 =	−	� 
e o fasor de tensão resulta em: 
3� = 3	"1+-° 
 
Assim, a impedância do circuito RC paralelo atrasa de ����° o ângulo da tensão da fonte. 
 
Como θ é positivo e só pode variar de 0º a 90º para circuitos que utilizam resistores, o ângulo da tensão				
����vvvv só pode variar : 
−45° < �2 < 0° 
 
3.3.5 Correntes 
As correntes num circuito associado em paralelo, são calculadas aplicando-se a 1ª lei de Ohm em cada 
ramo. 
 
Fasor de corrente no resistor: 
8�9 = 3
�
9 = :3� = 		:3	"1(-°� 
onde podemos notar que o ângulo da tensão é o mesmo da corrente, comprovando o fato em que ambas 
estas grandezas estão em fase no resistor. 
 
 Fasor de corrente no capacitor 
8�; = 3
�
<� = =
3"1(-°
<=	"1(,)° = >=3	"
1(�,)°1-�		� 
onde 
>= =	 /<= = 	?;		 
Corrente total 
A corrente total no circuito RC paralelo é obtida aplicando-se a lei de Kirchhoff nos fasores de corrente. 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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8� = 	 8�9 +	8�;	� = 3� 	0� 
que resulta : 
8� = 	3"1+-°		0	"+-° 		= 30"+)°		 
 
Como podemos notar na equação anterior, 
a corrente total resultante de uma associação em paralelo se encontra na referência. 
 
A soma fasorial das correntes e a tensão total, são expressas no diagrama fasorial da Figura 3.30. 
θθθθ
++++
j++++
j−−−− RIɺ
CIɺ
Iɺ
Eɺ
 
Figura 3.30 – Diagrama fasorial do circuito RC paralelo, 
para |����||||				< 90° e G > Bc . 
 
 
3.3.6 - Representação no domínio do tempo 
Os valores instantâneos de tensão e corrente, podem ser diretamente obtidos das fórmulas anteriormente 
deduzidas, transformando seus módulos em valores de pico, onde : 
 
Tensão 
A = 	√C	3	DAE�?F − �� 
Corrente no resistor 
G9 = √C	:3	DAE�?F − �� 
Corrente no capacitor 
G; = √C	>=3	DAE�?F + 45° − �� 
 
Corrente total 
G = 	 G9 +	G; = 8H	DAE�?F� 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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Para um circuito RC paralelo onde : E = 5V, f =1KHz R=1KΩ, C=100nF, obtém-se : 
A = 	I, 5IDAE�CK/555F − LC, /M°� V 
G9 = I, /DAE�CK/555F − LC, /M°�	HN 
G; = M, M	DAE�CK/555F − LC, /M° + 45°� mA 
G = 	O, MDAE�CK/555F�	HN 
 
As respectivas formas de onda computacionalmente simuladas, são ilustradas na Figura 3.31 e 3.32 . 
 
Figura 3.31 – Correntes instantâneas do circuito RC paralelo, 
para: E = 5V, f =1KHz R=1KΩ, C=100nF. 
 
 
 
Figura 3.32 – Tensão e corrente total do circuito RC paralelo, 
para: E = 5V, f =1KHz R=1KΩ, C=100nF. 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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A Figura 3.32 ilustra a defasagem tensão x corrente, com um atraso da tensão total de 32,18º, provocado 
pelo presença do capacitor no circuito. 
 
 
3.3.7 - Fator de potência 
O fator de potência do circuito RC paralelo pode ser obtido do gráfico da Figura 3.30, onde : 
PQ = RST� = 	 898 =
:3
03 =
:
0 
que também pode ser obtido do gráfico da Figura 3.29. 
 
 
Para o circuito que produz as formas de onda Figura 3.32, teremos : 
 
UV = cos 	�−32,14� = 0,84 adiantado 
 
refletindo um aproveitamento de 84% da potência máxima fornecida pela fonte. 
 
 
 
 
 
Conclusões 
 
Observando os diagramas das Figuras 3.29, 3.30, 3.31 e 3.32 podemos concluir que : 
 
• A corrente no circuito RC paralelo possui o mesmo ângulo da tensão no resistor, validando o 
fato em que tensão e corrente estão em fase no resistor. 
 
• As correntes IC e IR estão em quadratura, onde IC está adiantada em relação a IR . 
 
• A corrente total no circuitoRC paralelo está na referência e adiantada da tensão. 
 
• O ângulo da admitância é positivo e varia entre 0º e 90° em circuitos com resistores. 
 
• O ângulo da tensão é atrasado pelo ângulo da impedância. 
 
• O fator de potência está adiantado 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
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3.3.8 – Respostas de frequência 
 
No estudo da resposta de freqüência do circuito RC paralelo, se faz necessário incluir grandezas distintas 
de impedância e admitância, que dependem da área de aplicação. Para aplicações em circuitos elétricos e 
eletrônicos em geral, a impedância ganha mais significado. Completando, a abordagem, incluiremos as 
correntes no resistor e no capacitor, bem como, o caso particular em que essas correntes são iguais. 
 
Resposta de frequência da admitância 
A resposta de frequência da admitância é dada pelo seu módulo em função da frequência ao longo 
de uma faixa ou banda, onde podemos escrever : 
0�^� =	_:C +>=�^�C				 
que resulta em : 
0�^� =	`:C + �CK^;�C	 
Aplicando os limites da faixa de freqüência na equação acima obtemos : 
Para f → 0 ∴	 → Y( f ) → G 
Para f → ∞ ∴	 → Y( f ) → ∞ 
Fisicamente, os circuitos equivalentes em tais limites são representados conforme as figuras 3.33 (a) 
e (b) . 
 
0====f
E G 0====CB
 
oE
++++
−−−−
∞∞∞∞====f
G ∞∞∞∞====CBθθθθ
 
(a) (b) 
Figura 3.33 – Circuitos equivalentes para os limites extremos da faixa de freqüência. 
 
Análise matemática 
Comparando G e Bc(f) na equação de Y(f) , teremos : 
Para f ≈ 0 ∴	 G > Bc(f) 	∴		Y( f ) → G → constante 
Para f > 0 ∴	 → Y( f ) = _:C + >=�^�C				 → quadrática 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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Para f >> 0 ∴	 Bc(f) >> 	:		 ∴			Y( f ) → >=�^� → linear 
Portanto, espera-se três comportamentos distintos da curva de Y(f) dependendo da faixa de frequên-
cia em que o circuito opera. 
 
Condutâncias iguais 
Existe um ponto singular na faixa de frequência, que torna as condutâncias iguais. Tal frequência é 
calculada fazendo-se G = Bc ou Xc = R, onde obtemos : 
^9 =	 /CK9; 
O valor correspondente a fr , pode ser calculado tornando G igual a Bc na equação da admitância, 
resultando: 
0�^9� =	`:C + :C = √C: 
O circuito equivalente para f = fR é mostrado na Figura 3.34 . 
G2
Rff ====
E o
++++
−−−−
θθθθ
 
Figura 3.34 – Circuitos equivalente RC paralelo 
para f = fR . 
As curvas simuladas num limite de 0 a 4fr são mostradas como exemplo na Figura 3.35, utilizando 
um circuito RC paralelo usando os mesmos componentes e fonte dos exemplos anteriores. 
 
Figura 3.35 –Resposta de frequência da admitância para 
E = 5V, f =1KHz R=1KΩ, C=100nF. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
84 
 
Análise da curva 
Podemos observar na Figura 3.35, três regiões distintas de comportamento da curva de Y(f), conforme 
previsto na análise matemática feita anteriormente. Fazendo-se uma análise mais depurada da curva, 
obtemos: 
• Para : 0 < f < 0,63fR , Y(f) possui um comportamento linear condutivo. 
• Para : 0,63fR < f < 2fR , Y(f) possui um comportamento não linear. 
• Para : f ≥ 2fR , a curva Y(f) possui um comportamento linear, susceptivo. 
Portanto, podemos concluir, que o efeito simultâneo dos dois componentes (capacitor e resistor), no 
circuito, se restringe à faixa de 0,63fR a praticamente 2fR para o circuito em análise. 
O comportamento da corrente para frequências acima de 2fR, é aproveitado em aplicações de circuito 
lineares, onde esta corrente cresce linearmente com a frequência, em forma de uma reta, onde sua 
inclinação angular pode ser controlada diretamente pelo valor da capacitância. 
 
Resposta de freqüência da impedância 
A impedância equivalente de uma resistência em paralelo com uma capacitância, é dada por: 
.�^� = 	 −b<;	99 − b<; 
Dividindo numerador e denominador por - jXCR e calculando o módulo, chegamos a: 
.�^� =	 /
_ /9C + �CK^;�C
 
Aplicando-se os limites, teremos: 
Para f → 0 ∴	 → Z( f ) → R 
Para f → ∞ ∴	 → Z( f ) → 0 
Fisicamente, os circuitos equivalentes em tais limites são representados conforme as Figuras 3.36 (a) 
e (b) . 
 
0====f
E ∞∞∞∞====cXR
 
oE
++++
−−−−
∞∞∞∞====f
R 0====cXθθθθ
 
(a) (b) 
Figura 3.36 – Circuitos equivalentes para os limites extremos da faixa de freqüência. 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
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Impedâncias iguais 
 
A freqüência que torna as impedâncias iguais é obtida da fazendo-se Xc = R, e o resultado é o 
mesmo anteriormente obtido para fR ou seja : 
^9 =	 /CK9; 
O valor de impedância correspondente a fr , pode ser calculado tornando R igual a Xc na equação da 
impedância paralela para Z(fR), resultando em : 
.�^9� =	 9√C 
O circuito equivalente para f = fR é mostrado na Figura 3.37. 
E
Rff ====
o
++++
−−−−
θθθθ
2
R
 
Figura 3.37– Circuito equivalente da impedância 
 RC paralela para f = fR . 
 
As curvas simuladas nos limites entre 0 e 4fr são mostradas como exemplo na Figura 3.38, 
utilizando um circuito RC-Paralelo com os mesmos componentes e fonte dos exemplos anteriores. 
 
Figura 3.38 –Resposta de frequência da impedância para 
E = 5V, f =1KHz R=1KΩ, C=100nF. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
86 
 
Resposta de frequência da corrente no resistor 
 
O cálculo da resposta de freqüência para a corrente IR(f) pode ser facilitado, considerando os 
módulos da condutância do ramo e da tensão, onde : 
89�^� = :	3 
que resulta numa constante. 
 
 
Resposta de frequência da corrente no capacitor 
 
O cálculo da resposta de frequência para a corrente IC(f) pode ser facilitado, considerando os 
módulos da susceptância capacitiva em função da frequência e da tensão, onde : 
8=�^� = >=�^�	3 
que resulta em : 
8=�^� = CK^;3 
 
Aplicando os limites para a faixa de frequência, obtemos: 
Para f → 0 ∴	 IC ( f ) → 0 
Para f → ∞ ∴	 IC ( f ) → ∞ 
onde podemos observar que a corrente no capacitor cresce linearmente com a frequência. 
 
 
Resposta de frequência da corrente total 
 
O módulo da corrente total do circuito, é dado por : 
8�^� = _89�^�C + 8;�^�C 		 
Substituindo os valores para IR(f) e IC(f) , encontramos: 
8�^� = `�:3�C +	�CK^;3�C	 
 
que resulta na raiz quadrada da soma de dois termos, onde o primeiro é uma constante e o segundo 
expressa a equação de uma reta, de coeficiente (2πCE)2, que cresce linearmente com o quadrado da 
frequência. 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
87 
 
Portanto, para valores de frequência próximos de zero, o valor de I(f) tende a GE e sua curva deve se 
comportar como uma reta paralela ao eixo freqüência caracterizando um aspecto condutivo. 
Para altos valores de frequência, IC(f) >> IR(f) , a corrente total I(f) se torna praticamente igual a IC(f) , 
e sua curva assume um comportamento susceptivo, de uma reta crescente com a freqüência. 
Para valores intermediários de freqüência, pode-se esperar um comportamento quadrático e 
crescente com a freqüência, para a curva de I(f) . 
 
 
Correntes iguais 
As correntes IR e IC serão iguais para uma determinada freqüência fR. Assim teremos: 
CK^9;3 = :3 
resultando : 
^9 = :CK; 
O módulo da corrente total do circuito na frequência fR , é dado por : 
8�^9� = _89�^9�C + 8;�^9�C 		 
que resulta em : 
8�^9� = 	√C	89�^9� 
 
onde :89�^9� = 8√C = 	
8H
C 
 
Isto significa que, quando as corrente estiverem igualmente distribuídas no resistor e no 
capacitor, seus valores serão iguais a 70,7% do módulo da corrente total da fonte. 
 
Para uma clara compreensão do comportamento da resposta das correntes no circuito RC paralelo, é 
necessário plotar as curvas de corrente em um gráfico, observando uma faixa mínima de frequências 
entre 0 e 4fR , conforme ilustrado na Figura 3.39, através de simulação computacional . 
 
José F. Castelo Branco Filho 
 
88 
 
 
Figura 3.39 –Resposta de frequência das correntes 
 para Erms= 5V , R = 1K e C = 100nF. 
 
 
Comportamento de resposta da corrente 
 
Na Figura 3.39, notamos que as curvas de corrente se comportaram de acordo com a análise 
matemática feita anteriormente. 
Considerando inicialmente, que o circuito RC consome energia ativa e reativa, é importante se saber 
a relação entre elas, que também pode ser expressa na relação entre resistência e reatância capacitiva 
ou entre as correntes no resistor e no capacitor. 
Para o circuito RC paralelo em análise, a relação entre as admitâncias, resulta em uma susceptância 
62,83% maior que a condutância. Este valor, portanto, deve ser tomado como referência para a 
análise do comportamento das curvas. 
Podemos observar na Figura 3.39, três comportamentos para a curva da corrente total que caracteriza 
o circuito RC paralelo: 
 Para : 0 < f < 0,63fR → I(f) assume um comportamento condutivo. 
 Para : 0,63fR < f < 2fR → I(f) assume um comportamento quadrático. 
 Para : f > 2fR → I(f) assume um comportamento susceptivo. 
Portanto, somente no segundo caso, a influência simultânea dos dois componentes está nitidamente 
presente na corrente. 
Nota-se ainda, que as faixas de freqüência estão de acordo com as da curva da admitância mostrada 
anteriormente na Figura 3.39, que percebem da mesma forma os limites destes intervalos. 
 Capítulo 2 - Circuito RC-Paralelo 
 
 
89 
 
Conclusões 
 
De acordo com as curvas mostradas nas figuras 3.35 e 3.39, podemos concluir que, para um circuito RC 
paralelo, com valores próximos de resistência e reatância, teremos um comportamento diferente para três 
faixas de frequência deste circuito, sendo : condutivo para uma frequência f entre 0 e 0,63fR ; quadrático 
crescente para f entre 0,63fR e 2fR ; e susceptivo para f maior que 2fR . 
 
Conclui-se, portanto, que somente se respeitado os limites de frequência, podemos projetar com eficiência 
um circuito RC paralelo adequado a uma aplicação específica. 
 
 
 
3.4 - Exercícios 
 
Para um circuito RC paralelo, alimentado por uma tensão CA de 120V, f=60(Hz) em paralelo com uma 
resistência de 10Ω e uma reatância capacitiva de 100 Ω , calcule ou esboce : 
a) A Admitância complexa do circuito. 
b) O diagrama de admitâncias. 
c) O fasor de tensão. 
d) O fasor de corrente no resistor. 
e) O fasor de corrente no capacitor. 
f) O fasor de corrente no circuito. 
g) O diagrama fasorial completo do circuito. 
h) O fator de potência do circuito. 
i) A expressão da corrente instantânea no capacitor 
j) A resposta de frequência da impedância numa faixa de 0 a 4fR . 
k) A resposta de frequência da corrente no resistor numa faixa de 0 a 4fR . 
l) A resposta de frequência da corrente no capacitor numa faixa de 0 a 4fR . 
m) A resposta de frequência da corrente total numa faixa de 0 a 4fR . 
n) Identifique as faixas de frequência do item anterior para cada mudança no comportamento das 
curvas. 
o) A resposta de frequência das correntes numa faixa de 0 a 4fR , para R=100 Ω e Xc = 10 Ω. 
p) Compare com o exemplo dado na Figura 3.14, e conclua sobre o resultado calculando a 
relação entre a reatância e a resistência ao longo de ambas as faixas. 
José F. Castelo Branco Filho 
 
90 
 
Respostas: 
a) 
� = 0,01 + �0,1	�Ω� 
 c) d� = 120	"1+ef,	,°	�g� 
 d) h�i = 1,2	"1+ef,	,°	�j� 
 e) h�� = 12	"+k,l�°	�j� 
 f) h� = 12	"+)°	�j� 
 h) UV = 0,01 
 i) !� = 16,97	%"��2p60� + 5,71°�	j