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Capítulo 6 ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza. O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica dos Fluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise experimental. Exercício 6.1 Base FLT [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 12 2 1121 m 1 G 13 2 2 3 24 21 2 3 2 FLTN FLW FLM TL TFL TFLTTFLQ FTQ TLQ FL FLp FL TFL FF TFLm LTa LV LA − − − −−− − − − − − − − − = = = =ν =μ =×= = = =τ = =γ =ρ = = = = = Exercício 6.2 ( ) ( )vazãodeecoeficient nD QQDn ynoldsRedenúmeronDRe nDnD Dn D,n,:Base 32 321 2 2 1 321 1 φ==π⇒ρ=π ν=⇒ ν=ρ μ=π⇒μρ=π ρ βββ ααα Base MLT [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3212 22 222 12 1122 1 m 312 G 13 21 2122 2232 3 2 2 3 2 TMLLTMLTN TMLW TMLLMLTM TL TMLTLMLT MTQ MLTTMLTQ TLQ TML TMLLMLTp TMLLMLT ML MLTF Mm LTa LV LA −−− − −− − −−−− − −−− − −− −−−− −−−− − − − =×= = =×= =ν =×=μ = =×= = =τ =×= =×=γ =ρ = = = = = ( )omanométricecoeficient Dn gH Dn H HDn 22 B 22 B 3B 321 3 Ψ==ρ γ=π⇒γρ=π δδδ Exercício 6.3 ( ) ( ) 0f0h,g,,pf )h,g,(fp =π→=ρ ρ= [ ] [ ] [ ] [ ] Lh TLg TFL FLp 12 24 2 = = =ρ = − − − Como só existe um adimensional, ele será uma constante. ghCpC gh p ρ=⇒=ρ=π Exercício 6.4 ( ) g CTgTTg 2 1; 2 1012 0 TLTTLLTg 0g,,Tf 2 1 2 1 212 21 12221222121 l ll l l =⇒==π =α−=α⇒=+α− =α+α =π→=π→=π = − +α−α+αα−αααα Exercício 6.5 ( ) ( ) ( ) 0f0p,,D,Qf p,,DfQ =π→=ρ ρ= Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 24 13 FLp TFL LD TLQ − − − = =ρ = = m = n – r = 4 – 3 = 1 D,p,:Base 134rnm ρ =−=−= ( ) ( ) 012 0324 0 TLF TLLFLTFLQDp 1 321 21 12324 13224 132121 321321 =−α =+α+α−α− =α+α =π =ρ=π −α+α+α−α−α+α −αα−α−ααα 2 1 2 2 1 22 1 2 1 pD QQDp ρ=ρ=π −− ρ= pCDQ 2 Exercício 6.6 ( ) ( ) ( ) ( ) 25212 2 2 1 2 1 12 1 21 1121211212121 hCg2tghghQ 2tgh2 h2htg2A2htg2bh2 b 2 tg 2 bhAvAQ ghvvhg 2 1; 2 1 012 01 TLLTLTLvhg 0h,g,vf =α×π= α=× α =⇒α=⇒=α→=→= π=⇒=π −=α−=α ⎭⎬ ⎫ =−α− =+α+α =π→=π→=π = −− −α−+α+α−αα−ααα Exercício 6.7 ( ) ( ) ( ) 0f0H,Q,,Nf H,Q,fN BB BB =π→=γ γ= Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ] [ ] [ ] [ ] LH TLQ FL FLTN B 13 3 1 B = = =γ = − − − 2 1 2 2 1 1 3 2 =α −=α −=α BH,Q,:Base 134rnm γ =−=−= ( ) ( ) 01 0133 01 TLF FLTLTLFLNHQ 2 321 1 1213231311 1321313 B 3 B 21 =−α− =+α+α+α− =+α =π =γ=π −α−+α+α+α−+α −αα−α−ααα BB QHCN γ= Exercício 6.8 ( ) ( ) ( ) ( )Mach c v v ccLv 1 0 0 012 014 0 Froude Lg vFr v LgLgv 2 1 0 022 014 0 Euler Lv FEu Lv FFLv 2 2 1 02 04 01 ynoldsRevLRe vL Lv 1 1 1 012 024 01 LTLTLTLFcLv LTLTLTLFgLv FLTLTLFFLv TFLLTLTLFLv L,v,:Base c,g,F,,L,v,:Grandezas 010 4 2 3 1 21 321 1 2 2 20 3 2 3 1 21 321 1 2222 221 2 2 3 1 21 321 1 111 1 2 3 1 21 321 1 132212141 1 321 4 232212141 1 321 3 32212141 1 321 2 232212141 1 321 1 =Μ⇒=ρ=π⇒ −=λ =λ =λ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−λ−λ =+λ+λ+λ− =λ =⇒=ρ=π⇒ −=δ =δ =δ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =−δ−δ =+δ+δ+δ− =δ ρ=⇒ρ=ρ=π⇒−=β −=β −=β ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =β−β =β+β+β− =+β μ ρ=⇒ρ μ=μρ=π⇒ −=α −=α −=α ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ =+α−α =−α+α+α− =+α =π⇒ρ=π =π⇒ρ=π =π⇒ρ=π =π⇒μρ=π ρ μρ − − −−− −−− −λλ−λλλ−λλλλ −δδ−δδδ−δδδδ ββ−βββ−ββββ −αα−ααα−αααα Exercício 6.9 ( ) ( ) ( )4321 ,,,f0c,,,D,,v,Ff c,,,D,,vfF ππππ→=μρω μρω= 1 1 1 2 3 1 −=α −=α −=α B 1 B 11 NHQ −−−γ=π⇒ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 24 1 1 LTc TFL TFL LD T LTv FF − − − − − = =μ =ρ = =ω = = ( ) ( ) 213211321 321 321 321 321 241124 1 4 3 2 1 TLFFLLTTFL cDv Dv Dv FDv α−αα+α+α−+ααα−α− λλλ δδδ βββ ααα ==π ρ=π μρ=π ωρ=π ρ=π 02 04 01 21 321 1 =α−α =α+α+α− =+α É necessário observar que nos outros sistemas de equações a parte das incógnitas será a mesma, apenas mudando o símbolo e os coeficientes independentes das incógnitas dependerão da contribuição dos expoentes das variáveis independentes de cada adimensional. 012 04 0 21 321 1 =−β−β =β+β+β− =β 012 024 01 21 321 1 =+δ−δ =−δ+δ+δ− =+δ D,v,:Base 437rnm ρ =−=−= Vale lembrar que se existir esta base, deverá ser preferida, pois, pode conduzir a alguns adimensionais conhecidos. deve-se lembrar que no lugar de D, pode ser qualquer grandeza de equação dimensional L. F L T 2 Dv FEu2 Dv FFDv1 2 223 22 221 11 −=α ρ =⇒−=α ρ =ρ=π−=α −−− F L T 1 1 0 2 3 1 −=β ⇒=β =β v D v DDv 2 110 2 ω=π ω=ωρ=π − F L T 1 1 1 2 3 1 −=δ ⇒−=δ −=δ μ ρ= ρ μ=μρ=π −−− vDRe vD Dv 1113 F L T 1 0 0 2 3 1 −=λ ⇒=λ =λ c vM v ccDv 0104 = =ρ=π − 012 014 0 21 321 1 =−λ−λ =+λ+λ+λ− =λ ( ) 0MRe,, v D,Euf0c,,,D,,v,Ff =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ω→=μρω Exercício 6.10 ( ) ( ) ( ) α=π μ ρ=⇒μρ=π ρ=⇒ρ=π ρ αμρ= βββ ααα 3 321 2 22 321 1 ynoldsRevLReLv Euler Lv FEuFLv L,v,:Base ,v,,,LfF Exercício 6.11 ( ) ( ) 0Eu,Frf0g,,,L,v,Ff =→=μρ 000.1 1 10 1 16,3 11k)2( h km1585016,3v16,3v v v 16,3 11 10 1kkk)1( )protótipodoardoespropriedad masmesascomolaboratóridoaroondo(sup1k;1k; 10 1k )2(kkkkEuEu Lv FEu )1(kkkFrFr Lg vFr 22 F mp p m gLv gL 2 L 2 vFpm22 gL 2 vpm 2 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×= =×== ==×== === =→=→ ρ = =→=→= ρ ρ Exercício 6.12 μ Δ μ Δ ρμ ρΔ =⇒=⇒⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ = = μ ρ= ρ Δ=ρ= ρ k kk k k k k k kkkk kkk vD Re v p Dv F Eu :ensionaisdimA D,v,:Base Dp v D vp Dv 2 vp 222 s m9,42,3 4,6 8,9v 4,6 8,9v v v 8,9 4,6 104,6 108,9 11k mp p m 4 4v =×==⇒== × × ×= − − Exercício 6.13 ( ) 000.1 1 10 1 16,3 11k)3( rpm37912016,3n n n 16,3 10 1 16,3 1 k k k)1( s m37,2 16,3 5,7v v v 16,3 11 10 1kkk)2( )protótipodoáguaàigualelomoddoáguaaondo(sup1k;1k; 10 1k)3(kkkkEuEu Dv FEu )2(kkkFrFr Dg vFr )1(kkk v Dn v Dn 0Eu,Fr, v nDf0F,g,n,D,v,f 22 F m p m D v n m p m gDv gD 2 D 2 vFpm22 gD 2 vpm 2 Dnv p pp m mm =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×= =×=→==== ==→==×== === =→=→ ρ = =→=→= =→= =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛→=ρ ρ ρ Exercício 6.14 cm30215b m325,1 comPlaca L2L L L 5,0 2,0 1,0 k k k 2,0 30 6k;1,0 10 10k; 2,1 000.1k kkkvLvLRe kkkk Lv FEu L,v,:Base mp p m v L v5 6 Lv2 2 L 2 vF221 =×= =×= =⇒==== ===== =⇒ν=μ ρ==π =⇒ρ==π ρ ν − − νρ ν ρ l N8,1 33,8 15 33,8 F F F F 33,85,02,0 2,1 000.1k mp p m22 F ===⇒==××= Exercício 6.15 omanométricecoeficient Dn gH vazãodeecoeficient nD Q 22 B 3 =Ψ =φ m79 316,0 25H H H 316,0 1 333,1422,0 k kk k)2( rpm844.2 422,0 200.1n n n 422,0 333,1 1 k k k)1( 1k;333,1 15 20 D D k;1k )2(kkk )1(kkk p p m B B B B B22 g 2 D 2 n H p p m 33 D Q n g p m DQ 2 D 2 nHpm 3 DnQpm ==→==×== ==→==== ===== =→Ψ=Ψ =→φ=φ Exercício 6.16 s m106,9 247.1 05,04,2 247.1 Dv 247.1 Dv 247.1Re 8,125,8 8,127,10 000.1500.1 000.1Re :elinearmentdoInterpolan 7,10 4,2800 102,49 v p Eu 2 5pp p p pp p p 2 3 2 pp p p −×=×==ν⇒=ν =⇒− −=− − =× ×=ρ Δ= Exercício 6.17 ( ) s m5,735,2v v v5,2 4,01 1 kk k k)2( 4,0 50 20 D Dk;1k;1k )2(kkkkReRe )1(kkkkEuEu 0vDRe; Dv FEuf0,D,v,,Ff 1 2 1 D v 2 1 D Dvpm 2 D 2 vFpm 22 =×=→==×== ===== =→= =→= =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ μ ρ=ρ=→=μρ ρ μ μρ ρμ ρ Para bombas: Traçado o gráfico de F1 = f(v1), obtém-se, com v1 = 7,5 m/s, F1=260 N. N260FF:Logo F F 14,05,21k)1( 12 2 1 F == ==××= Exercício 6.18 ( )C90aágua1053,3353,0353,0 2 1707,0k 707,01 2 1kkk kkkvLRe kkk Lg vFr ensionaisdimA L,v:base,L,g,v o7 m p m gLv Lv gL 2 v 2 − ν ν ×=ν⇒=ν ν⇒=×= =×== =→ν= =→= →ν Exercício 6.19 f(N, g, ρ, v, L) = 0 Aplicando o Teorema π e usando como base ρ, v, L, obtém-se: 23221 Lv Ne v Lg ρ =π=π Pela figura: 23221 Lv N v Lg ρ =→π=π kW5,2 000.1 12000.1105,0vgLN 33 =××××=ρ= Exercício 6.20 s m106 8 108,4 88 1 4 1 2 1k 2 11 4 1kkk kkk Lg vFr kkkvLRe 2 6 5 p m p m gLv gL 2 v 2 Lv −− ν ν ×=×=ν=ν→ν ν==×= =×== =→= =→ν= Exercício 6.21 Q08,5 15,0 60 500.3 Q nD Q 33 = × ==φ Ψ= ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ×Ψ=×Ψ= φ=××φ=φ= =×===== = ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ==Ψ 8125,7 8,9 3,0 60 750.1 g Dn H 7875,03,0 60 750.1DnQ m3,015,02D2Derpm750.1 2 500.3 2 n n:protótipooPara H128,0 15,0 60 500.3 H8,9 Dn gH 2 2 2 p 2 p pB 33 ppp mp m p B 2 2 B 22 B Com essas expressões é possível construir a tabela a seguir e, portanto, as curvas da bomba. Q(m3/s) 0 5x10-3 10x10-3 15x10-3 20x10-3 HB(m) 25 24 23 20 14 φ 0 0,0254 0,0508 0,0762 0,1016 ψ 3,20 3,07 2,94 2,56 1,79 Qp(m3/s) 0 20x10-3 40x10-3 60x10-3 80x10-3 HBp 25 24 23 20 14 Exercício 6.22 N700.3 27 10 27 F F F F 27373,11k s m2,5 73,1 9 73,1 v v v v 73,113k kkk Lg vFr kkkk Lv FEu 5 1 2 2 122 F 1 2 2 1 v gL 2 v 2 2 L 2 vF22 ===⇒==××= ===⇒==×= =⇒= =⇒ρ= ρ Exercício 6.23 Se a perda de carga de (5) a (7) é a mesma nas duas situações, como é função de v2, deve-se entender que a vazão nas duas situações deve ser a mesma, logo, kQ = 1. ( ) ( ) m164318HzH m184338HzH kkk k 1kkkkkkk k 1kkkk 7,1p72B 7,1p71B 4 3 BHn 3 4 n 3 2 n 2 nBHg 2 D 2 nBHg 3 n D 3 DnQ =+++=′+= =+++=+= =→==→= =→= rpm158.3 092,1 450.3 092,1 n n n n 092,1 16 18k 1 2 2 1 4 3 n === ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Exercício 6.24 ( ) 768,0 5,101 78 N N kW7810100108,91500.8QHN)b s L8,914,327Q27Q Q Q 2731kkk s L5,3Qm1,11 9 100 9 H H H H 9 1 31 k kk k)a B B 33 B 21 2 133 DnQ 2 1B 2B 2B 1B 22 g 2 D 2 n BH ===η =××××=γ= =×==⇒==×== =⇒===⇒==×== −− Exercício 6.25 A curva representa Eu = f(Re). Quando o efeito da viscosidade torna-se desprezível, o Eu não varia mais com Re e, portanto, Eu = constante. Essa situação acontece para 4105Re ×≅ , onde .3Eu ≅ Logo: N75,005,01013F3 Dv F3Eu s m10 05,0 10105 D 105v105vD 22 22 544 4 =×××=→= ρ →= =××=ν×=→×=ν − Exercício 6.26 ( ) mm9,5m109,5 10100 2,1 102 102,0 p102 QD 102 pD Q pDD Q pD D Q ensionaisdimA D,,:Base D,,,pfQ 3 32 3 2 2 22 2 2 1 2 2 2 1 =×=×× ×=Δ ρ ×= ×=Δ ρ=Δ ρν ν=π π ρν Δ=π ν=π νρ ρνΔ= − − − − − Exercício 6.27 a) 1024 1 16 1 4 11kkkk 4 1 16 1kkkk 1k; 16 1k;1k)e s N500.151010106vLQ 106105,2 1010 510 v L 5,0 10 105 v Lg)c v L1 L vLv v LggLv vL Q QLv)b 2 2 LvGQ vgL 2 v gL 2442 1G 4 1 7 3 242 3 222 2 3 323 321 3 22 321 2 2 G 1G 321 1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛××== ==→= === =××××=γπ= ×=π⇒×=× ×=μ γ=π′ =×==π μ γ=π=π′→γ μ=π→μγ=π =π→γ=π γ=π→γ=π γ γ − − − δδδ βββ ααα Exercício 6.28 ( ) ( ) kW500.7101075,010NNW75,0 6,3 6,375,0FvN N N 10 1 100 1 10 11kkkk)c h km6,3 10 36 10 v v v v 10 1 100 1kkk kkkk kkk)b L A ; v Lg; Lv NL,v,:Base A,L,g,v,fN)a 377 mpm p m 7 23 2 L 3 vN p m p m gLv 2 L 3 vN gL 2 v 2 fr 322231 fr =××=×=⇒=×== ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛×== ===⇒==== = = =π=πρ=π⇒ρ ρ= − ρ ρ [ ] [ ] [ ] 3 2 1 G FL LTg FTQ − − − =γ = = [ ] [ ] [ ] TFL LL LTv 2 1 − − =μ = =
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