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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO GRANDE DO SUL Estatística - Prof. Dr. Éder Julio Kinast Lista 05 - Erro, IC, Dimensionamento da MÉDIA com Distribuição t de Student 1. A partir dos conjuntos de dados 23, 25, 21, 23, 22, que representa 5 medidas de intensidade luminosa, em W/cm2, determinar: (a) se os dados seguem uma distribuição normal a partir do critério de Shapiro-Wilk; (b) o erro na determinação da média, ao nível de 95% de con ança; (c) o IC ao nível de 95%; (d) o número de medidas a ser feitas para que o erro seja de, no máximo, 1 W/cm2. 2. Os dados 85, 83, 50, 67, 80, 49, 76, 88 mostram 8 medidas de concentração de cromo, em ppm, de determinado rio. Determine: (a) se os dados seguem uma distribuição normal a partir do critério de Shapiro-Wilk; (b) o erro na determinação da média, ao nível de 95% de con ança; (c) o IC ao nível de 95%; (d) o número de medidas a ser feitas para que o erro seja de, no máximo, 5 ppm. 3. Uma máquina produz pregos de forma contínua. Foram retirados 8 pregos ao acaso, gerando os seguintes dados (em cm) a seguir: 4,20 4,35 4,25 4,35 4,20 4,30 4,30 4,25 (a) o erro na determinação da média, ao nível de 95% de con ança; (b) o IC ao nível de 95%; (c) o número de medidas a ser feitas para que o erro seja de, no máximo, 0,01 cm. (d) Deseja-se saber se estes parafusos têm, em média, tamanho maior que 4,1 cm. Teste esta hipótese ao nível de 5 %. 4. Para testar a durabilidade de uma nova tinta para a pintura de faixas brancas, um departamento de rodovias testou faixas pintadas em trechos de rodovias de grande movimento em oito locais diferentes, e os contadores eletrônicos mostraram que elas se deterioravam após terem sido cruzadas por: 142.600 167.800 136.500 108.300 126.400 133.700 162.000 149.400 carros. Ao nível de 95%, pode-se a rmar que essa média do número de carros é equivalente a 150.000 veículos? 5. Considere os dados abaixo da quantidade de nicotina (mg) em uma marca de cigaros: Kings COM Filtro n1 = 21 �x1 = 0,94 s1 = 0,31 Kings SEM Filtro n2 = 8 �x2 = 1,65 s2 = 0,16 Estes dados são su cientes para podermos a rmar que, os cigarros com ltro e os sem ltro tem a mesma quantidade média de nicotina, supondo � = 5 %? 6. O exame do comprimento das barras produzidas por uma siderúrgica mostrou uma média de 115 cm, após seguidas e intensivas medições. Para testar a hipótese de que a média, num certo mês, é a mesma, pegou-se aleatoriamente uma amostra de 20 barras, obtendo-se média 118cm e desvio padrão 20cm. Veri car se é possível aceitar que a média continua sendo a mesma, para � = 5 %? 7. Em uma prova de Estatística, 12 alunos de uma classe conseguiram média 7,8 e desvio padrão 0,6, ao passo que 15 alunos de uma outra turma, do mesmo curso, conseguiram média 7,4 com desvio padrão de 0,8. Considerando distribuições normais para as notas, veri car se o primeiro grupo é superior ao segundo, ao nível de 5%. 8. O QI de 16 estudantes de uma zona pobre da cidade de RIO GRANDE apresenta a média de 107 pontos com desvio padrão de 10 pontos, enquanto os 14 estudantes de outra região rica da mesma cidade apre- sentam média de 112 pontos com desvio padrão de 8 pontos. O QI em ambas as regiões tem distribuição normal. Utilizar o teste de variâncias diferentes. Há uma diferença signi cativa entre os QIs médios dos dois grupos a 5%? 1 9. Duas cidades, Ederlândia e Edericolândia, brigam sobre todos os assuntos possíveis. Os alunos desses municípios resolveram medir forças no Provão do MEC. As notas do provão de 78 estudantes de Eder- lândia apresentaram média 8,02, com desvio-padrão populacional de 0,82. Já 93 alunos de Edericolândia apresentam média 8,97, com desvio-padrão populacional de 0,71. Ao nível de 5%, veri car se os ederlenses têm média menor que os edericolenses. 10. Uma indústria metalúrgica passou a produzir um tipo especial de barras de aço para atender a um novo cliente. As barras são produzidas com um aço de baixa liga e são submetidas a um processo de Têmpera em óleo (óleo 1). Mas, a equipe técnica da empresa, veri cou que o processo do tipo especial de barras de aço, não vem sendo capaz de atender às especi cações, vem produzindo várias barras com dureza acima do limite superior de especi cações (31 a 37 Rockwell C). Com base na experiência e no conhecimento teórico do grupo sobre os tratamentos térmicos para o aço, concluiu que a causa mais provável para o problema era a utilização de um banho de têmpera inadequado. A suspeita era de que o óleo 1 estava provocando um endurecimento excessivo das barras. Então, o grupo considerou que se fosse utilizado um outro tipo de óleo (óleo 2), em lugar do óleo 1, já que o óleo 2 é considerado um meio de têmpera mais brando, devido a sua viscosidade. A indústria metalúrgica deseja comparar as durezas médias de barras de aço submetidas a dois diferentes banhos de têmpera. Para isto, os técnicos da empresa querem testar a hipótese de que a dureza média das barras submetidas à têmpera no óleo 2 é inferior à dureza média das barras tratadas pela têmpera no óleo 1. Para testar essa hipótese, foram escolhidas aleatoriamente 10 barras da produção da indústria, antes de serem submetidas ao processo de têmpera, e a seguir cada uma das barras foi cortada em duas partes. Para cada par, escolheu-se aleatoriamente uma parte da barra para ser submetida à têmpera em óleo 1, e a outra parte tratada com à têmpera em óleo 2. Medidas da dureza (HRC) das barras de aço: Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Óleo 1 37 33 33 34 38 33 32 39 35 34 Óleo 2 36 33 35 33 38 32 34 33 34 36 11. Uma empresa utiliza o material sintético A para a produção de solas de sapatos de homens; este material será substituído pelo material B, mais barato, se car comprovado que esta troca não acarretará perda de qualidade do produto (aumento no desgaste da sola). Para dar suporte à tomada de decisão, foram produzidas solas de sapatos com os dois materiais e medidas, após certo tempo, a quantidade de desgaste das solas de sapato usadas por 10 homens. O experimento foi executado em pares: cada homem usou um par especial de sapatos onde uma sola foi produzida com o material A e a outra com material B. Realizar um teste adequado para este caso considerando � = 5 %. Os dados aparecem abaixo, e representam o desgaste (em mg) dos materiais. Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Material A 13,2 8,2 10,9 14,3 10,7 6,6 9,5 10,8 8,8 13,3 Material B 14 8,8 11,2 14,2 11,8 6,4 9,8 11,3 9,3 13,6 12. Uma indústria de alimentos desenvolveu uma nova mistura seca para bolos e está reivindicando uma patente sob a alegação que a mistura, denominada NOVA, produz bolos com volume signi cativamente maior do que a que está no mercado (ATUAL). A diferença básica das duas misturas; é que a NOVA seria aeradae a ATUAL não. Para con rmar esta a rmação, foi realizado um experimento utilizando, para cada mistura, cinco receitas diferentes para fazer os bolos. As cinco receitas diferem na quantidade de água adicionada, tempo na batedeira, temperatura e tempo de cozimento. Os volumes dos bolos foram medidos para cada receita, produzindo os resultados abaixo. Os dados con rmam a reivindicação da indústria considerando � = 5 %? Farinha/Receita 1 2 3 4 5 NOVA 83 90 96 83 90 ATUAL 65 82 90 65 82 13. Os dados abaixo comparam as medidas de duas máquinas de parafusos. Existe a descon ança de que elas estejam produzindo parafusos com tamanhos médios diferentes. Teste se as variâncias são iguais, depois aplique o teste correspondente para testar a hipótese de equivalência, ao nível de 5%. Máquina A 12,1 12,4 12,5 12,3 12,5 Máquina B 12,4 12,5 12,6 12,7 2 14. Compare se os dados da linha 1 abaixo são signi cativamente menores que os dados da linha 2. Teste se as variâncias são iguais, depois aplique o teste correspondente para testar a hipótese de inferioridade, ao nível de 5%. Linha 1 78 79 72 78 75 76 73 75 Linha 2 82 72 83 79 68 72 15. UmEngenheiro de produção quer testar, com base nos dados da tabela a seguir, e para um nível de signi cância de 5%, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal 1055 mm. Uma amostra de 20 hastes foi analisada e a seguir estão as medidas obtidas. 903,88 1036,92 1098,04 1011,26 1020,70 915,38 1014,53 1097,79 934,52 1214,08 993,45 1120,19 860,41 1039,19 950,38 941,83 936,78 1086,98 1144,94 1066,12 16. Queremos testar a igualdade das médias de duas populações. Testar inicialmente a equivalência das variâncias ao nível de 5%, então testar a equivalência das médias ao nível de 5%. Dados - População 1 18,800 17,591 20,835 19,169 18,755 20,504 18,756 17,527 19,290 19,203 18,621 18,977 17,078 22,059 18,419 19,919 20,308 17,620 18,585 20,764 21,117 18,899 21,426 17,890 21,055 Dados - População 2 22,284 22,057 22,629 24,620 21,491 21,198 21,901 22,881 22,860 22,058 22,699 22,909 25,302 17,968 24,515 23,150 24,662 23,327 22,447 23,382 22,426 22,787 21,983 24,534 22,771 21,043 21,203 24,009 21,917 21,152 17. Deseja-se estimar a quantidade média de sódio nos diferentes refrigerantes disponíveis no mercado. Para tanto, são selecionadas 8 marcas da bebida, que apresentam as seguintes quantidades de sódio (mg/l): 53 57 50 59 55 31 37 54 Com con ança de 95%, determine, com base nestes valores: (a) a média, o erro máximo cometido na sua estimação e o intervalo de con ança; (b) o número de marcas de refrigerante que se deveria considerar para obter erro máximo de 6 mg/l, ao nível de 95%. 18. Duas lojas disputam a venda de televisores nos nais de semana dos dois últimos meses do ano. Abaixo aparecem, comparados aos pares de vendas semanais seguidas, os números das duas lojas. Teste a hipótese de equivalência das médias de venda ao nível de 95%. Loja 1 32 34 37 43 45 49 58 83 Loja 2 37 37 39 46 44 55 60 92 19. Duas escolas estão sendo comparadas quanto ao desempenho no ENEM. Para isto foram selecionados 10 estudantes da escola A e 8 estudantes da escola B. As notas desses alunos aparecem abaixo. Escola A 8,8 7,9 7,1 6,1 6,3 7,6 5,9 9,1 6,2 7,7 Escola B 6,9 8,7 9,1 4,7 5,9 6,7 5,8 7,1 Ao nível de 5%: (a) teste a hipótese de equivalência de variâncias (ou de desvios-padrão); (b) independente do resultado do teste anterior, teste a hipótese de que os alunos da escola A possuem escore média maior do que os da escola B, com o teste que considera desvios-padrões diferentes. 3 20. Duas cidades, Ederlândia e Manuelândia, brigam sobre todos os assuntos possíveis. Os alunos desses municípios resolveram medir forças no Provão do MEC. As notas do provão de 94 estudantes de Ederlândia apresentaram média 7,74 e desvio-padrão 0,52. Já 71 alunos de Manuelândia apresentam média 7,97 e desvio-padrão 0,71. Ao nível de 5%, veri car se os ederlandenses são "piores"que os manuelensens. 21. Certo tipo de defensivo agrícola é misturado ao solo para alterar o seu pH, que é medido de forma indireta através do número de Kouvitz. Cada uma das 7 medidas foi realizada antes e depois da aplicação deste defensivo. É possível a rmar que a média destas medidas é menor após essa aplicação, ao nível de 5%? ANTES 432 484 592 518 496 460 583 DEPOIS 416 447 544 508 476 445 554 22. A partir dos dados abaixo, que representam medidas de dureza de peças metálicas (em mV), determine ao nível de 5%: (a) o intervalo de con ança da média; (b) o número de peças das quais se deveria medir a dureza para que o erro fosse de 15 mV (máximo); (c) se a média dessas medidas é estatisticamente menor que 477 mV. 464 345 399 349 488 577 324 466 497 426 23. A quantidade de coliformes totais (tipo fundoLA3 NMP, em mil/100mL) na Lagoa Rodrigo de Freitas (RJ) é monitorada pelo Instituto Estadual do Ambiente (Inea/RJ) desde 1990, de forma irregular. As datas e horários exatos das medidas foram omitidas. Os dados aparecem abaixo. Ano 1990 1997 1999 2001 2005 2008 2010 2011 2012 Medida (mil/100mL) 120 180 180 170 210 110 150 180 130 Determine: (a) o intervalo de con ança da média ao nível de 95%. (b) o número mínimo de amostras que se deveria medir para que o erro estatístico fosse de 10 mil/100mL, ao nível de 5%. (c) se a média desses dados é estatisticamente menor que o valor limite permitido, de 200 mil/100mL, ao nível de 5%. Escreva o valor de p e a conclusão do teste. 24. As praias da Urca e Vermelha possuem localizações próximas na cidade do Rio de Janeiro. Os níveis de Coliformes Totais (tipo superfícieLA5 UFC milhar/100mL) são monitorados pelo Inea. Os dados aparecem abaixo. Data, às 12h Praia da Urca (milhar/100mL) Praia Vermelha (milhar/100mL) 23/01/2008 0,8 0,7 29/01/2009 0,5 0,3 13/02/2010 0,08 0,1 05/02/2011 0,8 0,6 08/01/2012 1,3 1,0 03/01/2013 0,9 1,0 Determine: (a) os intervalos de con ança das médias ao nível de 95%, para cada uma das médias. (b) o número mínimo de amostras que se deveria medir para que o erro estatístico fosse de 0,1 mil- har/100mL, considerando os dados da Praia da Urca, ao nível de 5%. (c) se as médias desses dados são estatisticamente equivalentes ao nível de 5%. Escreva o valor de p e a conclusão do teste. (d) se os desvios-padrão podem ser considerados equivalentes, com o teste F . 4 Gabarito: 1. Respostas: (a) Segue uma DN, p > 0,05 (b) 1,84 (c) [20,96; 24,64] (d) 11 2. Respostas: (a) Segue uma DN, p > 0,05 (b) 12,89 (c) [59,362; 85,138] (d) 39 3. Respostas: (a) 0,05 (b) [4,225;4,325] (c) 140 (d) p = 3,64921� 10�5 4. p = 0,2197 5. p = 1,51977� 10�6 6. p = 0,5104 7. p = 0,0816 8. p = 0,1398 9. p = 4,67� 10�14 10. p = 0,3030 11. p = 0,0043 12. p = 0,0059 13. Variâncias iguais, p = 0,1049 14. Variâncias diferentes, p = 0,4641 15. p = 0,0973 16. Variâncias iguais, p = 1,15� 10�11 17. Respostas: (a) x = 49,5; e = 8,41; [41,09; 57,91] (b) 14 18. p = 0,0115 19. Resostas: (a) Variâncias iguais; (b) p = 0,2658 20. p = 0,0115 21. p = 0,0014 5 22. Respostas: (a) [376,18; 490,82] (b) 113 (c) p = 0,0601 23. Respostas: (a) [133,2666; 184,5112] (b) 46 (c) p = 0,0030 24. Respostas: (a) [0,3001;1,1599], [0,2330;1,0003] (b) 67 (c) p = 0,6241 (d) Variâncias iguais 6
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