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Suma´rio Introduc¸a˜o xiii Ao Estudante xvii Agradecimentos xix 1 Revisa˜o e Pre´-requisitos (1) 1 1.1 Os nu´meros que governam o mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 A reta numerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Relac¸a˜o de ordem; conjuntos e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Distaˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Expresso˜es alge´bricas - Equac¸o˜es e inequac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Para voceˆ meditar: Onde esta´ o erro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 Projeto: Nu´meros alge´bricos e transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Revisa˜o e Pre´-requisitos (2) 15 2.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Distaˆncia entre dois pontos do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Gra´ficos de equac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Retas paralelas e perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Circunfereˆncias e elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1 Circunfereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Gra´ficos de desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.8 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.9 Para voceˆ meditar: O gra´fico da equac¸a˜o y = mx e´ sempre uma linha reta? . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.10 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.10.1 Melhor qualidade de gravac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.10.2 Custo mı´nimo × aproveitamento ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Alguns Problemas do Ca´lculo 30 3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Ca´lculo de a´reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Da antiguidade ate´ o se´culo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Apo´s o se´culo XVII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Velocidade instantaˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 v vi Aprendendo Ca´lculo com Maple 3.5 Determinac¸a˜o de ma´ximos e mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7 Concluso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.8 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9 Para voceˆ meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dos sistemas matema´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9.1 Enigmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9.2 Paradoxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.9.3 O teorema de Go¨del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Func¸o˜es e Gra´ficos 40 4.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1.1 O problema da caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 O conceito de func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Gra´ficos de func¸o˜es: Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Operando com func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6 Um pouco de histo´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.10 Para voceˆ meditar: Circunfereˆncias podem ser quadradas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.11 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.11.1 Melhor escolha (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.11.2 Contas a pagar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.11.3 Melhor escolha (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5 Retas Tangentes 55 5.1 Conceituac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Declividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 O problema da tangente a` para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Uma nota histo´rica: A falha lo´gica no racioc´ınio de Fermat ou o porqueˆ de limites . . . . . . . . . . . 60 5.5 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.8 Para voceˆ meditar: Matema´tica, f´ısica, fo´rmula 1 e saber popular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.9 Projetos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.9.1 Programando o computador para trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.9.2 O refletor parabo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6 Limite de Func¸o˜es 68 6.1 O conceito de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.1 Ass´ıntotas ao gra´fico de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.2.1 Limite de uma func¸a˜o em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.4 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.3 Teoremas e propriedades operato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.4 Exemplos de aplicac¸o˜es dos teoremas no ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.5 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.8 Exerc´ıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.9 Um pouco de histo´ria: Cauchy, Weierstrass e a teoria dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 W.Bianchini, A.R.Santos vii 6.10 Para voceˆ meditar: Do nada a` criac¸a˜o do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.11 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.11.1 O caso do povo contra a Novo´leo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.11.2 Sequ¨eˆncia de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.11.3 Definindo e estimando o nu´mero pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7 Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais 98 7.1 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.2 Func¸o˜es racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2.1 Comportamento no infinito de func¸o˜es racionais - Conclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.3 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4 Para voceˆ meditar: ene´sima diferenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.5.1 Ass´ıntotas e outras func¸o˜es limitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.5.2 Interpolac¸a˜o de Lagrange e ajuste de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8 Continuidade 110 8.1 Discussa˜o informal e intuitiva sobre continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2 Definic¸a˜o de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.3 Func¸o˜es racionais e tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.4 Composic¸a˜o de func¸o˜es e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.4.1 Continuidade da func¸a˜o composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.5 Propriedades especiais das func¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.7 Exerc´ıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.8 Para voceˆ meditar: O problema do andarilho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.9 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.9.1 Encontrando as ra´ızes de uma equac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.9.2 Generalizando o me´todo dos babiloˆnios para estimar a raiz quadrada de um nu´mero positivo . 122 9 A Derivada de uma Func¸a˜o 124 9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Outras notac¸o˜es para a derivada de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.3.1 A notac¸a˜o de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.5 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.6 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.7 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.8 Exerc´ıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.10 Para voceˆ meditar: Um sofisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.11 Um pouco de histo´ria: Curvas sem tangentes e movimento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 viii Aprendendo Ca´lculo com Maple 10 Teoremas e Propriedades Operato´rias 142 10.1 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.1.1 Derivada de uma func¸a˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.1.2 Derivada de uma constante vezes uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.1.3 Derivada da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.1.4 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.1.5 Derivada do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.2 Exerc´ıcios adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4 Para voceˆ meditar: Uma “demonstrac¸a˜o” mais simples da regra do quociente - o que esta´ faltando? . . 150 11 Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o 151 11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.2 Velocidade me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.3 Velocidade instantaˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 11.4 Taxas de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.5 Acelerac¸a˜o e outras taxas de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.5.1 Acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.5.2 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.5.3 Crescimento populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.5.4 Taxa de reac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.5.5 Aplicac¸o˜es a` Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.6 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.8 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.9 Um pouco de histo´ria: Velocidade instantaˆnea, movimento cont´ınuo e o princ´ıpio da incerteza . . . . . 163 11.10Para voceˆ meditar: Calculando velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 12 Func¸o˜es Trigonome´tricas e suas Derivadas 165 12.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2 Uma pequena revisa˜o de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2.1 Razo˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2.2 O c´ırculo trigonome´trico e a func¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.2.3 As func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.2.4 Algumas propriedades das func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.3 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.3.1 A derivada da func¸a˜o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.3.2 O limite trigonome´trico fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.3.3 A derivada da func¸a˜o cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.3.4 As derivadas das demais func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.4 Por que se usa radianos em Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.5 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.8 Um pouco de histo´ria: O problema da navegac¸a˜o e as primeiras noc¸o˜es de trigonometria . . . . . . . . 174 12.8.1 O problema da navegac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.8.2 As primeiras noc¸o˜es de trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.9 Para voceˆ meditar: Outra forma de definir as func¸o˜es seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 13 Regra da Cadeia 177 13.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.2 Derivadas de func¸o˜es compostas: A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 13.4 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 W.Bianchini, A.R.Santos ix 14 Derivac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas 182 14.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.2 Derivac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 14.3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 14.4 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 14.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 14.7 Um pouco de histo´ria: Um desafio a Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 14.8 Para voceˆ meditar: Quando as contas na˜o fazem sentido! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15 Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Fechados 191 15.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.2 Ma´ximos e mı´nimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.2.1 Ma´ximos e mı´nimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 15.3 Determinac¸a˜o dos pontos de ma´ximo e mı´nimo de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.5 Problemas envolvendo ma´ximos e mı´nimos em intervalos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.7 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.8 Para voceˆ meditar: O feirante de Caruaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201 16 Trac¸ado de Gra´ficos 202 16.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 16.2 Discussa˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 16.3 Derivadas e trac¸ado de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 16.4 Derivada primeira e extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.4.1 Teste da derivada primeira para determinac¸a˜o de extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 16.5 Derivada segunda e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 16.5.1 Teste da derivada segunda para a determinac¸a˜o de extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . 212 16.6 Trac¸ado de gra´ficos - Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 16.7 Atividades de laborato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 16.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 16.9 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 16.10Para voceˆ meditar: Interpretando gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 16.11Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 16.11.1 Determinando a janela adequada para o trac¸ado de gra´ficos em computador . . . . . . . . . . 219 16.11.2 Aproximando os zeros de uma func¸a˜o - Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 17 Teorema do Valor Me´dio 223 17.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 17.1.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 17.1.2 Teorema do valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 17.1.3 Consequ¨eˆncias do teorema do valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 17.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 17.3 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 17.4 Para voceˆ meditar: O significado de c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 17.5 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . 231 x Aprendendo Ca´lculo com Maple 18 Problemas de Ma´ximos e Mı´nimos em Intervalos Quaisquer 234 18.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 18.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 18.3 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 18.4 Um pouco de histo´ria: Princ´ıpio do tempo mı´nimo de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 18.5 Para voceˆ meditar: Como os gregos eram espertos, ou uma demonstrac¸a˜o sem palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 18.6 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 18.6.1 Um problema de otimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 19 Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas 242 19.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 19.2 Func¸o˜es inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 19.3 Derivada da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 19.4 As func¸o˜es trigonome´tricas inversas e suas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 19.4.1 As func¸o˜es arcsen(x) e arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 19.4.2 As func¸o˜es arctg(x) e arcsec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 19.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 19.6 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 19.7 Para voceˆ meditar: Inversas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 20 Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente 253 20.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 20.2 Aproximac¸a˜o pela reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 20.3 Diferenciais e func¸o˜es diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 20.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 20.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 20.6 Um pouco de histo´ria: Os mitos leibnizianos e o comec¸o do ca´lculo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . 257 20.7 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 20.7.1 O me´todo de Euler e o pa´ra-quedista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 20.7.2 Aproximando func¸o˜es por polinoˆmios - O polinoˆmio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 20.7.3 Polinoˆmios de Taylor - Aplicac¸o˜es a` f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 20.7.4 Polinoˆmios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 20.7.5 Tangentes, o´rbitas e caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 20.7.6 Crescimento de populac¸o˜es - Gerenciando um pesque e pague . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 21 Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas 272 21.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 21.2 A notac¸a˜o de somato´rio: uma abreviac¸a˜o para somas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 21.3 O ca´lculo de a´reas como limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 21.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 21.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 21.4.2 Interpretac¸a˜o geome´trica da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 21.4.3 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 21.5 Valor me´dio de uma func¸a˜o e o teorema do valor me´dio para integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 21.5.1 O teorema do valor me´dio para integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 21.6 Atividades de laborato´rio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 21.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 21.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 21.9 Um pouco de histo´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 21.10Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 21.10.1 Somas de Riemann aleato´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 21.10.2 Somas de Riemann e func¸o˜es mono´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 21.10.3 O Maple e o princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 W.Bianchini, A.R.Santos xi 22 O Teorema Fundamental do Ca´lculo e Integrais Indefinidas 296 22.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 22.2 O teorema fundamental do ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 22.3 Integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 22.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 22.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 22.6 Um pouco de histo´ria: A integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 22.7 Para voceˆ meditar: Uma conclusa˜o intuitiva ou um erro teo´rico? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 22.8 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 22.8.1 Arquimedes e a quadratura da para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 22.8.2 Separac¸a˜o de varia´veis, velocidade de escape e buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 23 Resolvendo Integrais pelo Me´todo de Substituic¸a˜o 311 23.1 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o em integrais indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 23.2 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o em integrais definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 23.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 23.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 23.5 Para voceˆ meditar: Resolvendo integrais com o aux´ılio do Maple ou por que devo aprender te´cnicas de integrac¸a˜o? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 24 Aplicac¸o˜es da Integral Definida 317 24.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 24.2 Distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 24.3 A´rea de regio˜es planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 24.4 A´reas e ca´lculo de probabilidades (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 24.5 Volume de um so´lido de revoluc¸a˜o: Me´todo do disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 24.6 Volume de um anel de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 24.7 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 24.8 A´rea de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 24.9 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 24.10Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 24.11Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 24.12Um pouco de histo´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 24.13Para voceˆ meditar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 24.13.1 Regio˜es ilimitadas teˆm, necessariamente, a´reas infinitas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 24.13.2 Volumes iguais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 24.13.3 A raiz quadrada de 2 e´ igual a 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 24.14Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 24.14.1 Calculando a probabilidade de que uma equac¸a˜o quadra´tica ter ra´ızes reais . . . . . . . . . . . 338 24.14.2 Volumes de so´lidos: Sec¸o˜es retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 24.14.3 Volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o: Me´todo das cascas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 24.14.4 Usando matema´tica para modelar um objeto real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 25 Logaritmo e Exponencial 342 25.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 25.2 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 25.3 Logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 25.5 Func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 25.6 Func¸a˜o exponencial em uma base qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 25.7 Logaritmo em uma base qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 25.8 Derivadas e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 25.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 25.10Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 25.11Um pouco de histo´ria: O logaritmo de Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 25.12Para voceˆ meditar: Onde esta´ o erro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 xii Aprendendo Ca´lculo com Maple 25.13Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 25.13.1 Juros simples e compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 25.13.2 O me´todo do carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo a`s estrelas (ou modelando um problema real) . . . . . . . . . . . . 353 25.13.4 Escalas logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 25.13.5 Func¸o˜es hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 25.13.6 As func¸o˜es logaritmo e exponencial complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 25.14Atividades de laborato´rio . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 26 Te´cnicas de Integrac¸a˜o 359 26.1 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 26.1.1 Substituic¸a˜o por partes usando o Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 26.1.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 26.2 Integrais trigonome´tricas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 26.3 Substituic¸a˜o trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 26.4 Func¸o˜es racionais e frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 26.4.1 Usando o Maple para decompor uma func¸a˜o racional em frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . 370 26.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 26.6 Para voceˆ meditar: Como usar o Maple no ca´lculo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 26.7 Projetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 26.7.1 Integrac¸a˜o nume´rica: Regras do trape´zio e Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 27 Regras de L’Hoˆpital 377 27.1 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 27.2 Primeira regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 27.3 Segunda regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 27.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 28 Integrais Impro´prias 382 28.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 28.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 28.3 Limites de integrac¸a˜o infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 28.4 Integrandos infinitos em intervalos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 28.5 Teste da comparac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 28.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Apeˆndice 391 A Func¸o˜es Cont´ınuas 391 A.1 Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 A.2 Teorema dos valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Respostas 395 Bibliografia 406 I´ndice Remissivo 408 Introduc¸a˜o Este livro, que compo˜e uma primeira disciplina de Ca´lculo, e´ o resultado de nossos esforc¸os no sentido de retratar a nossa visa˜o do que e´ ensinar e aprender matema´tica: uma atividade criativa que na˜o pode e na˜o deve ser baseada exclusivamente em aulas expositivas ou na resoluc¸a˜o de extensas listas de exerc´ıcios. E´ uma tentativa, tambe´m, de envolver o aluno no processo de “fazer matema´tica”, transformando-o de paciente em agente do processo educativo. A eˆnfase esta´ na compreensa˜o dos conceitos e na˜o somente no desenvolvimento de habilidades mecaˆnicas. No decorrer do texto, procuramos levar o estudante a trilhar o caminho e a sentir o prazer da descoberta e a entender que aprender matema´tica e´ muito mais do que decorar fo´rmulas e obter respostas para exerc´ıcios-padra˜o. Tentamos apresentar a matema´tica como um assunto vivo em constante construc¸a˜o, e na˜o simplesmente descreveˆ-la como um corpo de conhecimento pronto e acabado. O computador e´ usado como uma ferramenta para alcanc¸ar estes objetivos, e as atividades de laborato´rio, projetos e desafios sa˜o uma forma de implementa´-los na pra´tica. Embora um enfoque computacional esteja presente em todo o texto e va´rias atividades sejam desenvolvidas com o uso do computador, o conteu´do e´ o de um curso tradicional de Ca´lculo. As atividades e projetos sa˜o associados a` apresentac¸a˜o expositiva dos conteu´dos e a exerc´ıcios e problemas tradicionais. O formalismo tambe´m na˜o foi esquecido: ao lado de abordagens gra´ficas visuais, enfatiza-se a necessidade do uso de provas e demonstrac¸o˜es rigorosas. Esta abordagem balanceada cria um texto ao mesmo tempo inovador e tradicional, permitindo sua utilizac¸a˜o em sala de aula da maneira que melhor se adapte ao estilo do professor, a`s necessidades e objetivos do curso e aos recursos tecnolo´gicos existentes. Aqueles que desejarem usa´-lo em um curso tradicional podera˜o dar mais eˆnfase e se concentrar no conteu´do expositivo, nos exerc´ıcios e problemas apresentados na sua versa˜o texto; aqueles que desejarem introduzir o computador como um auxiliar no ensino e dispuserem de recursos para aulas pra´ticas de laborato´rio podera˜o desenvolver as atividades sugeridas com este objetivo e fazer uso, em suas aulas expositivas, das animac¸o˜es e outras abordagens gra´ficas e nume´ricas presentes na versa˜o eletroˆnica, introduzindo, nestas aulas, um componente explorato´rio, estimulando a interac¸a˜o e participac¸a˜o da turma. Nos u´ltimos cinco anos, temos procurado introduzir aulas de laborato´rio na proporc¸a˜o de 3 para 1 (treˆs aulas de duas horas cada, em classe, e uma em laborato´rio) nas disciplinas de Ca´lculo I, na UFRJ. Nestas aulas utilizamos o programa MAPLEV R5, mas as atividades sugeridas neste texto podem ser desenvolvidas a partir do uso de qualquer outro sistema computacional alge´brico, como por exemplo o MATHEMATICA. Os professores que teˆm feito parte desta experieˆncia ou que ja´ tiveram oportunidade de observar os alunos nestas aulas sa˜o testemunhas da mudanc¸a que se opera tanto na atitude dos alunos, em geral passiva nas aulas tradicionais, quanto na maneira de encarar o aprender e o entender matema´tica. Nossos objetivos ao escrever este livro foram: • Desenvolver a habilidade de ler e escrever matema´tica. • Desenvolver os conceitos de modo que os alunos possam aplica´-los a problemas e situac¸o˜es que nunca tenham visto antes. • Desenvolver habilidades na modelagem e resoluc¸a˜o de problemas. • Transformar o aluno de paciente em agente do processo educativo. • Mudar a concepc¸a˜o de alunos e professores a respeito do que e´ “fazer matema´tica”. • Utilizar o computador como ferramenta e assistente na resoluc¸a˜o de problemas e, ao mesmo tempo, liberar alunos e professores de ca´lculos tediosos e cansativos. • Usar recursos gra´ficos e de animac¸a˜o na explorac¸a˜o e aprofundamento dos conceitos apresentados. Para a consecuc¸a˜o destes objetivos, quatro caracter´ısticas ba´sicas nortearam a composic¸a˜o deste texto: (a) Abordagem dinaˆmica dos conceitos. Aspectos dinaˆmicos surgem quando os alunos sa˜o levados a descrever como padro˜es de mudanc¸as em uma varia´vel esta˜o relacionados a padro˜es de mudanc¸as em outra varia´vel. Estes aspectos sa˜o mais facilmente explorados com aux´ılio do computador. Muitos problemas e exerc´ıcios, neste texto, enfocam a forma de uma famı´lia de curvas dependendo de um paraˆmetro. A conexa˜o entre taxa de variac¸a˜o e o crescimento ou xiii xiv Introduc¸a˜o decrescimento de uma curva, bem como a ide´ia de limite e a´rea sob curvas sa˜o outros exemplos de aspectos dinaˆmicos explorados com o uso da ma´quina. (b) Eˆnfase na integrac¸a˜o dos aspectos nume´ricos, gra´ficos e anal´ıticos. Muitos exerc´ıcios e atividades enfocam esta integrac¸a˜o e enfatizam a importaˆnciada abordagem e racioc´ınio gra´fico-geome´trico, ta˜o abandonado nos cursos tradicionais. Func¸o˜es sa˜o abordadas quase sempre enfocando-se a relac¸a˜o entre sua forma gra´fica e sua expressa˜o anal´ıtica. Transformac¸o˜es geome´tricas sa˜o usadas para mostrar como gra´ficos de func¸o˜es complicadas podem ser obtidos a partir de um gra´fico padra˜o simples e conhecido. Estes aspectos sa˜o enfatizados, tambe´m, quando se faz a correspondeˆncia entre o gra´fico de uma func¸a˜o e o de sua derivada, ou entre o gra´fico de uma func¸a˜o e o de sua primitiva, descrevendo-os qualitativamente. Ale´m disso, todo o texto e´ ilustrado com centenas de gra´ficos gerados em computador. Na˜o ha´ figuras maravilhosas: estes gra´ficos procuram explorar o significado geome´trico existente por detra´s de um ca´lculo ou de uma expressa˜o anal´ıtica. Procuramos tambe´m, sempre que poss´ıvel, apresentar interpretac¸o˜es geome´tricas para fo´rmulas e demonstrac¸o˜es. (c) Eˆnfase na resoluc¸a˜o de problemas. Os alunos, em geral, teˆm dificuldade nos problemas que envolvem a mo- delagem de uma situac¸a˜o em vez da aplicac¸a˜o pura e simples de uma fo´rmula. Procuramos apresentar uma rica variedade de situac¸o˜es-problema nas quais o aluno possa entender a matema´tica como assunto u´til e de interesse atual. Por meio de certos problemas e projetos procuramos despertar a curiosidade e a compreensa˜o do mundo e da realidade que nos cerca desenvolvendo, ao mesmo tempo, a capacidade de modelagem e clarificando a relac¸a˜o ı´ntima matema´tica-natureza. As soluc¸o˜es de certos exemplos foram escritas de modo a enfatizar o problema da modelagem. Esta caracter´ıstica e´ especialmente enfatizada nos projetos e no desenvolvimento de to´picos onde a habilidade na resoluc¸a˜o de problemas e´ essencial (taxas relacionadas e ma´ximos e mı´nimos, por exemplo). (d) Eˆnfase na aprendizagem colaborativa e no desenvolvimento de projetos e nas atividades de laborato´rio. Por procurar desenvolver a habilidade de modelagem de situac¸o˜es reais e de tentar fugir do padra˜o usual de problemas t´ıpicos que aparecem em grande parte dos textos de Ca´lculo, a maioria dos projetos apresentados neste volume exigem um n´ıvel alto de deduc¸a˜o, ana´lise e cr´ıtica, destinando-se, tambe´m, ao desenvolvimento da habilidade de comunicac¸a˜o oral e escrita. Por isso foram concebidos para serem estudados em grupo, de forma colaborativa. A especializac¸a˜o do mundo atual na˜o permite mais o trabalho isolado, e equipes interdisciplinares sa˜o cada vez mais necessa´rias no desenvolvimento de projetos. Neste sentido, a universidade que prepara profissionais para o mercado de trabalho cada vez mais exigente deve estimular o trabalho colaborativo e a discussa˜o em grupo. Atividades desenvolvidas em grupo sa˜o mais motivadoras e compensadoras, desenvolvendo a capacidade de comunicac¸a˜o, essencial nos dias de hoje. O aluno tem a responsabilidade na˜o so´ com o seu aprendizado, mas, tambe´m com o aprendizado do seu parceiro. Experieˆncias que incorporam o racioc´ınio e a forma de pensar de outra pessoa a sua forma pro´pria de raciocinar e pensar sa˜o um ingrediente importante e essencial na escola moderna. Ale´m dos projetos, nestes objetivos se encaixam tambe´m as atividades de laborato´rio. Dois alunos por computador e´ o nu´mero ideal, em nosso entender. Estas atividades e projetos procuram desmistificar a crenc¸a de que matema´tica se aprende melhor sozinho; por isso recomendamos que as mesmas fac¸am parte da avaliac¸a˜o final do aluno. Apesar de reviso˜es dos pre´-requisitos necessa´rios ao entendimento dos conceitos abordados estarem presentes em todos os cap´ıtulos onde se fac¸am necessa´rias, os dois primeiros cap´ıtulos sa˜o destinados exclusivamente a uma revisa˜o mais extensa dos pre´-requisitos mais ba´sicos, e por este motivo, a crite´rio do professor e das necessidades da turma, seu estudo pode ser omitido. O Cap´ıtulo 3 destina-se a motivar o estudo e fornecer uma visa˜o geral dos problemas que motivaram o desenvolvi- mento do Ca´lculo Diferencial e Integral a partir do se´culo XVII. Os problemas que aparecem neste cap´ıtulo sa˜o aqueles que sera˜o estudados (e resolvidos) no decorrer do texto. Como o conceito de func¸a˜o e´ o ponto central e unificador de toda a ana´lise matema´tica e da sua correta construc¸a˜o e compreensa˜o depender o sucesso (ou fracasso) nas disciplinas de Ca´lculo que fazem parte da grande maioria dos curr´ıculos de nossos cursos universita´rios, a revisa˜o deste conceito foi inclu´ıda como parte integrante do corpo do texto, apo´s os cap´ıtulos de revisa˜o e motivac¸a˜o. Os cap´ıtulos sa˜o divididos em sec¸o˜es de conteu´do (parte expositiva da mate´ria), exerc´ıcios (aplicac¸o˜es diretas dos assuntos estudados), problemas (exerc´ıcios cuja resoluc¸a˜o exige um grau mais alto de entendimento), desafios (opcionais; procuram enriquecer o entendimento, alargar horizontes e enfocar aspectos pouco explorados e ate´ mesmo esquecidos nos cursos tradicionais), um pouco de histo´ria (visam situar o problema dentro do seu correto contexto histo´rico e social), projetos e atividades de laborato´rio. A ordem dos cap´ıtulos foi ditada por nossa experieˆncia e pode ser alterada segundo crite´rios pro´prios de cada professor. Como ja´ enfatizamos, dependendo dos objetivos a serem alcanc¸ados, do estilo do professor, das necessidades da turma e dos recursos computacionais dispon´ıveis, o estudo e desenvolvimento de alguns cap´ıtulos e sec¸o˜es (desafios, atividades de laborato´rio e projetos) podem ser omitidos. Recomendamos, tambe´m, que os exerc´ıcios, problemas e projetos (se for o caso) sejam selecionados pelo professor. O sucesso do uso das novas tecnologias no ensino, no nosso entender, repousa no discernimento de onde, como e W. Bianchini, A.R.Santos xv quando usar os recursos computacionais. Muitos to´picos de Ca´lculo podem ser explorados de maneira mais fa´cil, mais simples e mais rapidamente usando-se a tradicional abordagem expositiva. Ja´ outros to´picos que envolvem o estudo do movimento e da variac¸a˜o clamam pelo uso da ma´quina. Muito se tem falado do uso do computador no ensino, em especial no ensino de matema´tica, mas muito pouco se tem feito para introduzi-lo, efetivamente, como ferramenta auxiliar em sala de aula. Esperamos que este livro possa contribuir de alguma forma nesta direc¸a˜o. Usando a versa˜o eletroˆnica O CD que acompanha este livro conte´m a versa˜o eletroˆnica deste texto. Essa versa˜o e´ um conjunto de hipertextos que funcionam em conjunto com o programa MAPLE V R4 ou superior, mas pode ser transposta para a utilizac¸a˜o com qualquer outro sistema computacional alge´brico, como o MATHEMATICA, por exemplo. Para aqueles que tem acesso ao MAPLE, a versa˜o eletroˆnica permite interac¸a˜o total: e´ poss´ıvel executar e controlar as animac¸o˜es; modificar os dados e paraˆmetros usados no trac¸ado de gra´ficos e nas soluc¸o˜es de problemas; trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es e conferir a resposta dos exerc´ıcios; desenvolver rotinas computacionais que executem tarefas repetitivas ou algoritmos iterativos e muito mais, de acordo com a sua necessidade, habilidade para lidar com o programa, conhecimento matema´tico e imaginac¸a˜o. Para usar a versa˜o eletroˆnica com eficieˆncia, copie todos os arquivos do CD para o disco r´ıgido do seu computador. Tenha certeza de respeitar a mesma estrutura de direto´rios encontrada no CD. Caso prefira, execute-a diretamente do drive do CD-ROM. Neste caso, na˜o e´ poss´ıvel salvar as alterac¸o˜es feitas nos arquivos. Por isso recomendamos que os arquivos de trabalho sejam copiados para o disco r´ıgido e alterados de acordo com o desenrolar do curso e a resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios e atividades propostas. O CD enta˜o funcionara´ como um backup que sempre salvaguardara´ a forma original dos arquivos. Para inicializar o hipertexto, abra, dentro do Maple, o arquivo sumario.mws, e paraacessar cada um dos cap´ıtulos, simplesmente clique no item desejado. Importante Execute os comandos na ordem em que aparecerem. Os hipertextos funcionam como uma espe´cie de rotina computa- cional; por isso, se os comandos forem executados fora da ordem em que aparecem, em vez dos resultados esperados podem aparecer mensagens de erro na tela. Na execuc¸a˜o de algumas tarefas e´ necessa´ria a leitura de um arquivo de dados. Essa leitura e´ feita usando o comando read(‘D:diretorio/nome do arquivo‘), onde D indica a unidade de leitura (drive) do seu CDROM. Por isso, antes de executar um comando desse tipo, esteja certo de que o CD fornecido com esse texto se encontra corretamente inserido na unidade D ou, se for o caso, modifique neste comando a letra D para fazeˆ-la corresponder a` unidade de leitura correta que voceˆ estiver usando. O Cap´ıtulo zero desta versa˜o faz um resumo dos principais comandos do MAPLE utilizados nos hipertextos e ensina, de forma resumida, como este programa funciona, mostrando ao mesmo tempo alguns dos seus recursos e potencialidades. Ale´m disso, no decorrer do texto e´ fornecida a sintaxe e a utilidade dos comandos novos que sa˜o utilizados no texto e atividades de laborato´rio. Caso estas explicac¸o˜es na˜o sejam suficientes, consulte o “HELP” do programa. O modo de acessar o HELP e´ explicado no cap´ıtulo zero, ja´ citado. Se voceˆ tiver alguma outra du´vida sobre a utilizac¸a˜o desta versa˜o eletroˆnica que na˜o consiga sanar, bem como cr´ıticas e sugesto˜es a esta obra, na˜o hesite em usar o enderec¸o eletroˆnico dado abaixo para nos escrever. Teremos prazer em ajuda´-lo e em receber sua opinia˜o e/ou contribuic¸a˜o para o aprimoramento de futuras verso˜es. Angela Rocha dos Santos angela@im.ufrj.br Waldecir Bianchini waldecir@im.ufrj.br Ao Estudante O objeto matema´tico mais familiar a` grande maioria das pessoas e´ o nu´mero. Por esta raza˜o, muitas pessoas pensam que gostar de matema´tica e´ gostar de nu´meros, mas o que a maioria desconhece e´ que muitos matema´ticos na˜o gostam de nu´meros muito mais que as outras pessoas. Os matema´ticos gostam de matema´tica porque gostam das coisas que a matema´tica permite fazer. Se voceˆ e´ um daqueles que na˜o gosta de matema´tica provavelmente e´ porque ainda na˜o descobriu o que significa fazer matema´tica. A matema´tica, mais do que qualquer outra cieˆncia, permite reconhecer e deduzir padro˜es e, a partir deles, fazer abstrac¸o˜es. Ale´m de seu valor intr´ınseco, estas abstrac¸o˜es podem ser usadas para descrever e tirar concluso˜es a respeito da natureza e do mundo ao nosso redor. Num certo sentido, qualquer pessoa e´ um matema´tico em potencial, pois qualquer ser humano e´ capaz de reconhecer padro˜es e lidar com conceitos abstratos. O que nos difere e´ nosso n´ıvel de habilidade (e paixa˜o) ao lidar com estes conceitos. Apesar disto, todos no´s podemos nos beneficiar em compartilhar ide´ias, du´vidas, problemas e soluc¸o˜es uns com os outros. Os matema´ticos esta˜o menos preocupados em obter as respostas corretas, assim num piscar de olhos, do que em entender e percorrer (ou redescobrir) o caminho que leva a` soluc¸a˜o de um problema. Em geral, pensar sobre um problema e´ ta˜o interessante quanto achar a sua soluc¸a˜o, e fazer perguntas e´ ta˜o importante quanto respondeˆ-las. Este livro e´ cheio de perguntas, indagac¸o˜es e desafios que nem sempre veˆm acompanhados de respostas e a`s vezes sequer teˆm uma u´nica resposta. Ele foi assim estruturado porque perguntar e´ a questa˜o central ao se tentar entender matema´tica. Fazer e compreender matema´tica envolve ter du´vidas, fazer perguntas e relaciona´-las umas com as outras. Quando voceˆ estuda matema´tica e pensa sobre os problemas, muitas du´vidas e questo˜es pro´prias surgem. Talvez algue´m mais ja´ tenha pensado sobre elas e saiba respondeˆ-las. Talvez voceˆ mesmo seja capaz de encontrar a soluc¸a˜o. Por isso, ler um livro de matema´tica e´ diferente de ler um jornal ou um romance, e estudar matema´tica e´ como aprender a nadar: na˜o basta observar como um campea˜o ol´ımpico atravessa facilmente uma piscina; voceˆ sera´ incapaz de sentir a dificuldade (e saborear a vito´ria) antes de cair voceˆ pro´prio na piscina! Na˜o desanime se, no in´ıcio, voceˆ afundar muitas vezes, isto e´, se voceˆ na˜o entender uma passagem ou tiver que leˆ-la mais de uma vez. Pergunte, pergunte sempre! Estude com papel e la´pis na ma˜o. Eles sera˜o u´teis para fazer ca´lculos, refazer passagens, esboc¸ar diagramas e anotar suas du´vidas. Na˜o se limite a tentar fazer os exerc´ıcios recomendados de cada cap´ıtulo. Fac¸a um plano de estudo: leia e tente compreender cada sec¸a˜o e cap´ıtulo do texto antes de tentar resolver os exerc´ıcios. Esteja certo de compreender as definic¸o˜es e o correto significado dos termos. A matema´tica se preocupa em provar as afirmac¸o˜es usando regras de lo´gica e resultados ja´ provados e escrever estas provas de maneira que todos consigam entender. Um dos objetivos deste texto e´ ajuda´-lo a pensar e a escrever logicamente. Teoremas e demonstrac¸o˜es geralmente sa˜o motivo de medo e desgosto para os alunos de Ca´lculo, pro- vavelmente porque estas provas esta˜o associadas a uma linguagem densa e quase incompreens´ıvel, cheia de s´ımbolos estranhos e letras gregas. Embora seja verdade que os matema´ticos comunicam suas descobertas e resultados numa linguagem desenvolvida atrave´s dos se´culos, que usa vocabula´rio e notac¸a˜o pro´prios, e´ importante notar que mais do que a linguagem apropri- adamente empregada, uma prova matema´tica deve ser completa, compreens´ıvel a todos e logicamente deduzida, sem apresentar “furos” ou racioc´ınios circulares no caminho que conduz a` conclusa˜o. Em matema´tica, o mais importante e´ perguntar (e saber responder) “como e´ poss´ıvel afirmar isto?” ou “como posso ter certeza de que esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira?” e, enta˜o, ser capaz de comunicar a resposta a estas perguntas numa linguagem que seja clara e compreens´ıvel para os seus colegas, professores e ate´ para voceˆ mesmo. Provar na˜o e´ persuadir nem intimidar. Alguma coisa na˜o esta´ provada em matema´tica simplesmente porque parece razoa´vel ou aceita´vel: uma afirmac¸a˜o so´ pode ser considerada verdadeira quando e´ deduzida usando-se as regras da lo´gica, a partir de postulados ou axiomas e de outras afirmac¸o˜es ja´ provadas e, portanto, verdadeiras. Este livro procura estimula´-lo a usar recursos computacionais para auxilia´-lo nas suas pro´prias concluso˜es e ajuda´-lo xvii xviii Ao Estudante a entender os conceitos, ide´ias e demonstrac¸o˜es apresentados. Por isso, se tiver acesso a um computador e ao programa MAPLE V R4 ou superior, use e abuse da versa˜o eletroˆnica deste texto (consulte a sec¸a˜o usando a versa˜o eletroˆnica). Nesta versa˜o e´ poss´ıvel executar animac¸o˜es, visualizar gra´ficos em escalas pequenas (ou grandes), experimentar mu- danc¸as de paraˆmetros, observar os resultados destas “experieˆncias matema´ticas” e concluir. Ajuda´-lo a trilhar o caminho da construc¸a˜o do conhecimento cient´ıfico e´ tambe´m o objetivo das atividades de laborato´rio que devem complementar e/ou preceder o estudo de cada cap´ıtulo. Estude em grupo e compartilhe suas deduc¸o˜es e concluso˜es com seus colegas e professores. Voceˆ vera´ que, dessa maneira, o seu estudo rendera´ mais, tornando-se muito mais interessante e proveitoso. As respostas dos exerc´ıcios e problemas encontram-se no apeˆndice B, no final deste volume. A`s vezes e´ poss´ıvel expressar a resposta de um exerc´ıcio em diferentes formas. Assim, se a sua resposta diferir daquela apresentada por no´s, na˜o considere, imediatamente, que a sua esta´ errada. Antes, tenha certeza de que na˜o existe alguma identidade alge´brica e trigonome´trica que torne as duas respostas equivalentes. Ca´lculo e´ uma mate´ria muito interessante e, desde o se´culo XVII,tem-se revelado a principal ferramenta matema´tica nas aplicac¸o˜es cient´ıficas e tecnolo´gicas. Esperamos que este o livro ajude a encontrar tanto sua beleza intr´ınseca como sua utilidade. Agradecimentos No final da de´cada de 70, um grupo de jovens professores do Departamento de Me´todos Matema´ticos do Instituto de Matema´tica da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ), cheios de entusiasmos e zelo pela missa˜o que lhes foi confiada de ensinar ca´lculo para os alunos da maior universidade federal do nosso pa´ıs, e sem saber muito bem como desempenhar esta missa˜o com sucesso, resolveram conjugar esforc¸os e, com este fim, passaram a se reunir semanalmente, para discutir, ale´m dos conteu´dos a serem ministrados nas aulas, abordagens inovadoras e me´todos pedago´gicos adequados para a introduc¸a˜o dos novos conceitos e desenvolvimento das aulas. A partir destas reunio˜es, foram elaborados os enta˜o chamados “roteiros de Ca´lculo” que, durante muitos anos, serviram como padra˜o e orientac¸a˜o a alunos e professores que estudavam e ministravam disciplinas de Ca´lculo na nossa e em outras universidades. Estes roteiros de estudo constitu´ıram a grande experieˆncia dida´tica desenvolvida no IM-UFRJ e utilizada em nossas aulas por mais de duas de´cadas. Embora com um novo enfoque computacional, muitos cap´ıtulos deste livro foram inspirados em partes destes roteiros e segue a sua metodologia, tremendamente inovadora para a e´poca e, atualmente, recomendada pelas comisso˜es de especialistas do MEC, que elaboraram as novas diretrizes curriculares, baseada na contextualizac¸a˜o dos problemas e no enfoque multidisciplinar dos conteu´dos programa´ticos. Neste sentido, gostar´ıamos de dividir a autoria desta obra com os nossos colegas que faziam parte das equipes de Ca´lculo do final dos anos 70 e in´ıcio dos anos 80. Em particular, gostar´ıamos de citar nominalmente, o professor Rolci de Almeida Cipolatti, que coordenou a primeira equipe de Ca´lculo I de 1977, a qual deu partida ‘a elaborac¸a˜o dos roteiros. Aos professores Ricardo Silva Kubrusly, Eduardo San-Pedro Siqueira, Moˆnica Moulin, Eliane Amiune Camargo, Ivone Alves Regal, Claudia De Segadas Viana, Bruno Alexandre da Costa,Victor Giraldo, Milton Flores,Elaine Ma- chtyngier e Jair Salvador do IM-UFRJ que veˆm utilizando este livro nas suas aulas e, consequentemente, ajudando-nos, durante os u´ltimos treˆs anos a aprimora´-lo por meio de correc¸o˜es, cr´ıticas e sugesto˜es, nosso muito obrigado. Em particular, gostar´ıamos de agradecer aos professores Elaine Machtyngier e Jair Salvador pela elaborac¸a˜o dos apeˆndices A e B, respectivamente, deste volume bem como pela cuidadosa revisa˜o. Estendemos os agradecimentos a todos que direta ou indiretamente, tenham contribu´ıdo de alguma forma para a realizac¸a˜o deste trabalho e que porventura na˜o tenham sido citados explicitamente. Em particular, aos nossos editores que tornaram poss´ıvel a execuc¸a˜o desta obra e aos nossos parentes e amigos que suportaram nosso mau humor, acompanhado de total falta de atenc¸a˜o e de tempo, durante a elaborac¸a˜o deste texto. Este trabalho faz parte do projeto Novas Tecnologias no Ensino desenvolvido no IM-UFRJ e foi realizado utili- zando recursos do laborato´rio de computac¸a˜o do Departamento de Me´todos Matema´ticos do IM-UFRJ, apoiado pela Fundac¸a˜o Universita´ria Jose´ Bonifa´cio. xix Cap´ıtulo 1 Revisa˜o e Pre´-requisitos (1) 1.1 Os nu´meros que governam o mundo Os nu´meros representam um papel de vital importaˆncia na˜o so´ na matema´tica como na cieˆncia de um modo geral e na nossa vida dia´ria. Vivemos cercados de nu´meros: hora´rios, tabelas, gra´ficos, prec¸os, juros, impostos, velocidades, distaˆncias, temperaturas, etc. A maior parte das quantidades que estudaremos neste curso (a´reas, volumes, taxas de variac¸a˜o, velocidades...) e´ medida por meio de nu´meros reais, e nesse sentido podemos dizer que o Ca´lculo se baseia no sistema dos nu´meros reais. O conjunto de todos os nu´meros reais e´ denotado pelo s´ımbolo R. Presumimos que voceˆ esteja familiarizado com as suas propriedades fundamentais. O conjunto dos nu´meros reais conte´m alguns subconjuntos de fundamental importaˆncia, que foram surgindo a partir das necessidades do homem de resolver problemas pra´ticos. Assim, o conjunto dos nu´meros naturais {1, 2, 3, ...}, representado pelo s´ımbolo N, surgiu da necessidade da contagem, que se realiza por meio da operac¸a˜o de “fazer corresponder” . A ide´ia de “correspondeˆncia” e´ uma das ide´ias ba´sicas de toda a matema´tica. Contar significa estabelecer uma correspondeˆncia, um para um, entre cada item de uma colec¸a˜o qualquer de objetos e a sucessa˜o de nu´meros naturais. A criac¸a˜o de um s´ımbolo (0) para representar o nada, ou o nu´mero de elementos de um conjunto vazio, e´ mais recente (data talvez dos primeiros se´culos da era crista˜) e surgiu devido a`s necessidades da numerac¸a˜o escrita. No nosso sistema de numerac¸a˜o, onde o valor de cada algarismo depende da posic¸a˜o que este algarismo ocupa (sistema de numerac¸a˜o posicional), o algarismo zero representa um papel de fundamental importaˆncia para “preencher ou indicar classes vazias”. O sistema de numerac¸a˜o posicional permite na˜o so´ escrever os nu´meros de maneira muito simples, mas tambe´m efetuar as operac¸o˜es muito facilmente (tente fazer uma conta bem simples usando o sistema de numerac¸a˜o romana e sinta a dificuldade!!). Na sucessa˜o dos nu´meros naturais podemos passar de um nu´mero para o seguinte juntando-lhe uma unidade. Assim, passamos do 1 para o 2, do 2 para o 3, e, dessa maneira, podemos ir ta˜o longe quanto quisermos, isto e´, dado um nu´mero n qualquer, por maior que ele seja, podemos sempre obter um nu´mero n+ 1, maior do que ele. Este fato exprime-se por qualquer dos seguintes enunciados: (a) a sucessa˜o dos naturais e´ ilimitada (na˜o ha´ um nu´mero natural maior que todos os outros); (b) dado um nu´mero natural, por maior que ele seja, existe sempre outro maior do que ele; (c) ha´ uma infinidade de nu´meros naturais. (Na impossibilidade de listar todos os elementos do conjunto dos naturais, usamos as reticeˆncias para evidenciar esta propriedade.) Uma das deficieˆncias apresentadas pelo conjunto dos nu´meros naturais e´ a impossibilidade da subtrac¸a˜o. Para entender esta impossibilidade, considere um mo´vel que partindo de um ponto O, atinge um ponto P ao fim de 5 segundos, movendo-se a uma velocidade de 1 m/s. Podemos concluir que o ponto P esta´ a uma distaˆncia de 5 m do ponto O. Suponhamos, agora, que o mo´vel mude o sentido do movimento mas continue com a mesma velocidade por mais 3 segundos. Ao fim destes 3 segundos ele estara´ a 2 m de distaˆncia do ponto O. Poder´ıamos chegar a esta conclusa˜o a partir dos dois resultados parciais que expressam as duas fases do movimento, isto e´, subtraindo 3 (distaˆncia percorrida pelo mo´vel na segunda fase) de 5 (distaˆncia percorrida na primeira fase). Assim, a posic¸a˜o final do mo´vel poderia ser obtida por meio da operac¸a˜o 5− 3 = 2. Esta operac¸a˜o na˜o e´ sempre poss´ıvel no conjunto dos naturais. Vamos exemplificar. Suponhamos que o mo´vel, partindo de O e movendo-se sempre com uma velocidade de 1 m/s, siga para a direita durante 5 segundos e retroceda, 1 2 Cap. 1 Revisa˜o e Pre´-requisitos (1) com a mesma velocidade, durante 8 segundos. Ao fim dos 13 segundos, ele estara´ numa posic¸a˜o a 3 metros a` esquerda do ponto O. Este resultado e´ imposs´ıvel de se obter, como anteriormente por meio de uma subtrac¸a˜o, no conjunto dos nu´meros naturais, pois na˜o existe nenhum nu´mero natural que represente o resultado da operac¸a˜o 5− 8. Esta deficieˆncia dos naturais foi sanada ampliando-se esse conjunto e formando-se o conjunto dos nu´meros inteiros {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}, denotado pelo s´ımbolo Z (da palavra alema˜ Zahl, que significanu´mero). Assim como os nu´meros naturais surgiram da necessidade de contar, os nu´meros racionais, que sa˜o expressos pela raza˜o entre dois inteiros, surgiram da necessidade de medir. Medir e´ comparar. Para isso e´ necessa´rio estabelecer um padra˜o de comparac¸a˜o para todas as grandezas da mesma espe´cie, por exemplo, 1 cm para comprimento, 1 segundo para tempo, etc. Este padra˜o estabelece uma unidade de medida da grandeza (comprimentos, a´reas, tempo, etc.). Medir, portanto, e´ determinar quantas vezes a unidade estabelecida cabe, por exemplo, no comprimento que se quer medir. O resultado desta comparac¸a˜o, que e´ a medida da grandeza em relac¸a˜o a` unidade considerada, deve ser expresso por um nu´mero. Na figura superior ao lado, se considerarmos o segmento CD como a unidade de medida, teremos que o segmento AB mede 4 unida- des. Tomando-se CE como unidade, a medida deste mesmo seg- mento sera´ 8 unidades. So´ em casos muito especiais a grandeza a ser medida conte´m um nu´mero inteiro de vezes a unidade de medida. O caso mais frequ¨ente e´ o da figura inferior ao lado onde, tomando-se a medida u do segmento CD como unidade, a medida de AB e´ maior que 3u e menor que 4u. E´ claro que neste exem- plo, podemos subdividir a unidade em partes menores para que cada uma delas caiba um nu´mero inteiro de vezes na grandeza a medir mas, o que se pode dizer da medida de AB em relac¸a˜o a` de CD? A dificuldade surge porque, neste caso, a medida m de AB na˜o e´ divis´ıvel pela medida u de CD. No conjunto dos nu´meros inteiros existe a impossibilidade da divisa˜o, isto e´, neste conjunto nem sempre e´ poss´ıvel expressar o resultado de uma medic¸a˜o ou de uma raza˜o. E DC BA DC BA Para resolver este problema criou-se um novo conjunto de nu´meros, chamado conjunto dos nu´meros racionais, denotado pelo s´ımbolo Q (de quociente). Um nu´mero racional p e´, portanto, aquele que pode ser escrito na forma p = mn , onde m e n sa˜o inteiros e n 6= 0. (Lembre-se que a divisa˜o por zero na˜o tem sentido pois na˜o existe nenhum nu´mero que multiplicado por zero seja diferente de 0; portanto, expresso˜es do tipo 30 na˜o esta˜o definidas e expresso˜es do tipo 00 sa˜o indeterminadas.) Parece que desta maneira resolvemos todos os nossos problemas de medic¸a˜o. Doce engano! Existem alguns nu´meros reais, tais como √ 2 e pi, que na˜o podem ser expressos como a raza˜o entre inteiros. Isto quer dizer que em Q na˜o podemos medir a diagonal de um quadrado de lado 1 ou a a´rea de um c´ırculo de raio 1. Este fato ja´ tinha sido percebido pelos gregos na e´poca de Pita´goras. Por esta raza˜o, estes nu´meros sa˜o chamados de irracionais. Podemos mostrar, com va´rios graus de dificuldade (veja projeto Nu´meros Alge´bricos e Transcendentes), que os nu´meros √ 2,√ 3, √ 5, 2( 1 3 ), pi, e, sen(10), log10(2) sa˜o todos irracionais. Todo nu´mero real tem uma representac¸a˜o decimal infinita. Se o nu´mero e´ racional, enta˜o a parte decimal e´ repetida a partir de um certo ponto. Por exemplo, 2 = 2, 000..., 12 = 0, 5000..., 2 3 = 0, 6666..., 157 495 = 0, 31711717..., 9 7 = 1, 285714285714... . Se o nu´mero e´ irracional, a parte decimal na˜o segue nenhum padra˜o, isto e´, na˜o se repete nunca. Com o aux´ılio de um computador, podemos calcular a representac¸a˜o decimal de √ 2 e de pi com muitas casas decimais para nos convencer deste fato. Veja abaixo os valores destes nu´meros calculados com 9, 50 e 200 casas decimais, com aux´ılio do comando evalf do Maple. > evalf(Pi); 3.141592654 > evalf(Pi,50); 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 W.Bianchini, A.R.Santos 3 > evalf(Pi,200); 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067 9821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303820 > evalf(sqrt(2)); 1.414213562 > evalf(sqrt(2),50); 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 > evalf(sqrt(2),200); 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572 7350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715 Embora estes nu´meros sejam convincentes, eles na˜o bastam como uma prova matema´tica. A demonstrac¸a˜o de que √ 2 e´ irracional e´ fa´cil e esta´ indicada no projeto Nu´meros Alge´bricos e Transcendentes. Ja´ a prova de que pi e´ irracional e´ muito dif´ıcil e foge ao objetivo deste curso. Os valores acima, obtidos truncando-se a representac¸a˜o decimal de pi e de √ 2, respectivamente, num determinado ponto, sa˜o aproximac¸o˜es racionais para estes nu´meros. Neste sentido, todo nu´mero irracional pode ser aproximado por um nu´mero racional, e a aproximac¸a˜o sera´ tanto melhor quanto mais casas decimais forem consideradas. Esta propriedade a`s vezes e´ expressa dizendo-se que o conjunto dos nu´meros racionais e´ denso no conjunto dos irracionais, isto e´, qualquer que seja o nu´mero irracional k, existe uma sequeˆncia de nu´meros racionais r1, r2, r3, ..., rn, ... tal que, a` medida que n cresce, o erro que cometemos ao aproximarmos k por rn e´ cada vez menor. Por exemplo, os termos da sequ¨eˆncia de racionais 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, . . . se aproximam cada vez mais do nu´mero √ 2 a` medida que consideramos mais e mais termos na sequ¨eˆncia. Para exprimir este fato usamos a notac¸a˜o matema´tica lim n→∞ rn = k. Leˆ-se: o limite de rn quando n tende a infinito (isto e´, cresce sem limite) e´ k. Podemos generalizar este fato dizendo que qualquer nu´mero real pode ser aproximado por uma sequ¨eˆncia de racionais, isto e´, os racionais sa˜o densos nos reais. E´ poss´ıvel associar os nu´meros reais aos pontos de uma reta de tal modo que a cada nu´mero real corresponda um u´nico ponto P da reta e, reciprocamente, a cada ponto P da reta corresponda um u´nico nu´mero real. Isto sera´ feito na pro´xima sec¸a˜o. Em 1872, Ricardo Dedekind usou o fato de os racionais serem densos nos reais para estabelecer a continuidade dos nu´meros reais, isto e´, para formular de uma maneira matematicamente aceita´vel a ide´ia intuitiva de que a reta e, consequ¨entemente, o conjunto dos nu´meros reais – pois estes dois conjuntos teˆm o mesmo nu´mero de pontos (veja pro´xima sec¸a˜o) – na˜o teˆm “furos” ou “buracos”. 1.2 A reta numerada Como foi dito no final da sec¸a˜o anterior, e´ poss´ıvel estabelecer uma correspondeˆncia biun´ıvoca, ou um a um, entre o conjunto dos nu´meros reais e os pontos de uma reta, isto e´, e´ poss´ıvel associar um u´nico nu´mero real a cada ponto P de uma reta e, reciprocamente, a cada ponto P de uma reta e´ poss´ıvel associar um u´nico nu´mero real da maneira descrita a seguir. Escolhemos um ponto arbitra´rio O da reta e uma conveniente unidade de medida. O ponto O sera´ chamado de origem. A este ponto associamos o nu´mero real 0 (zero). Cada nu´mero real positivo x e´ representado pelo ponto da reta que esta´ a x unidades a` direita da origem, e cada nu´mero negativo −x e´ representado pelo ponto da reta que esta´ a x unidades a` esquerda da origem. O nu´mero associado ao ponto P e´ chamado coordenada de P ; a reta e´ enta˜o chamada reta coordenada, reta real numerada ou simplesmente reta real, e a correspondeˆncia assim estabelecida e´ dita um sistema de coordenadas na reta. No exemplo a seguir, a coordenada de P e´ −4, a coordenada de Q e´ −2 e assim por diante. 4 Cap. 1 Revisa˜o e Pre´-requisitos (1) 0–2 3–4 OQ SP Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas, podemos identificar o ponto com sua coordenada e passar a pensar em qualquer nu´mero como um ponto da reta real. 1.2.1 Relac¸a˜o de ordem; conjuntos e intervalos Sejam a e b dois nu´meros reais quaisquer. Dizemos que a e´ menor que b e escrevemos a < b, quando b− a e´ positivo. Geometricamente, isto significa
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