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Marcos Marcelino Mazzucco
2009
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE 
PROCESSOS QUÍMICOS - 
ASPECTOS TEÓRICOS E 
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE 
INSTRUMENTAÇÃO INDUSTRIAL
MODELAGEM DE SISTEMAS
TRANSFORMADA DE LAPLACE
CONTROLE FEEDBACK
GNU OCTAVE
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE 
PROCESSOS QUÍMICOS - 
ASPECTOS TEÓRICOS E 
EXEMPLOS COM GNU OCTAVE 
Este material foi desenvolvido para acompanhar a disciplina Instrumentação e 
Controle de Processos, ministrada pelo professor Dr. Marcos Marcelino Mazzucco. 
O uso não autorizado deste material incorre em violação dos direitos autorais, 
estando sujeito às penalidades previstas na legislação em vigência. Acompanha 
este material os software livres GNU Octave e MED disponíveis em www.octave.org 
e www.eqm.unisul.br/prof/marcos.
Marcos Marcelino Mazzucco
Última atualização de conteúdo 20/02/2009
Última revisão 20/02/2009
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................................5
2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS.....................................................................7
2.1 INTRODUÇÃO................................................................................................................................8
2.2 SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA...........................................................................................................8
2.3 SENSORES...................................................................................................................................8
2.4 ELEMENTO FINAL DE CONTROLE.......................................................................................................9
2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE........................................................................................................10
2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA.....................................................................................................14
2.5 TRANSMISSÃO DE DADOS...............................................................................................................14
2.6 TRANSDUTORES E TRANSMISSORES..................................................................................................15
2.7 CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS..............................................................................................16
2.8 HARDWARE DE CONTROLE.............................................................................................................16
2.9 SIMBOLOGIA...............................................................................................................................19
2.10 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................21
3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS.............................................................................31
3.1 MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS...............................................................................................32
3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO..................................................34
3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR.............................................36
3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA........................................................38
3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO...............................................................40
3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO...............................................42
3.2 SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE.....................................................................................45
3.3 EXERCÍCIOS...............................................................................................................................45
4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS.......................................48
4.1 DEFINIÇÃO.................................................................................................................................49
4.2 PROPRIEDADES...........................................................................................................................49
4.3 OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S............................................................................................................49
4.4 TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL.........................................................................................52
4.5 TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO ..............................................................................................52
4.6 TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA....................................................................................................53
4.7 COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA..........................................................................................54
4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS........................................55
4.7.2 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES MÚLTIPLAS.......................................58
4.7.3 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA TERMOS QUADRÁTICOS SEM RAÍZES REAIS (RAÍZES COMPLEXAS).....60
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4.7.4 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS COM GNU OCTAVE..................................................................63
4.8 SOLUÇÃO DE EDOS COM COEFICIENTES CONSTANTES..........................................................................68
4.9 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS...........................................................................................................74
4.10 RELAÇÕES ÚTEIS......................................................................................................................78
4.11 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................79
5 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS.......................................................................81
5.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA..........................................................................................................82
5.1.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM UMA ENTRADA E UMA SAÍDA..................................82
5.1.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA COM DUAS ENTRADAS E UMA SAÍDA...............................85
5.1.3 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E AS FORMAS GANHO/CONSTANTE DE TEMPO E ZEROS-
PÓLOS.......................................................................................................................................89
5.2 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM......................................................................................................91
5.2.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:..................92
5.2.2 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA IMPULSO DE MAGNITUDE M:..................93
5.2.3 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA SENOIDAL:........................................95
5.2.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM A UMA ENTRADA PULSO RETANGULAR DE MAGNITUDE M:. . .99
5.3 SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM...................................................................................................101
5.3.1 RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A UMA ENTRADA DEGRAU DE MAGNITUDE M:................103
5.3.2 CARACTERÍSTICAS DAS RESPOSTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM.............................................109
5.4 SISTEMAS DE ALTA ORDEM E OUTROS ELEMENTOS DINÂMICOS............................................................112
5.4.1 AVANÇO-RETARDO..............................................................................................................1145.4.2 RESPOSTA INVERSA............................................................................................................116
5.4.3 TEMPO MORTO OU ATRASO POR TRANSPORTE.........................................................................117
5.5 SISTEMAS DE ALTA ORDEM - MODELOS APROXIMADOS.........................................................................121
5.6 PÓLOS E ZEROS.......................................................................................................................123
5.7 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................124
6 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS..............................................................................................129
6.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................130
6.2 OBTENÇÃO DE MODELOS POR REGRESSÃO.....................................................................................130
6.3 OBTENÇÃO DE MODELOS POR ANÁLISE GRÁFICA..............................................................................140
6.3.1 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM............................................................................................140
6.3.2 MODELOS DE PRIMEIRA ORDEM + TEMPO MORTO E O MÉTODO DE SUNDARESAN E KRISHNAWAMY......142
 .............................................................................................................................................145
6.3.3 MODELOS DE SEGUNDA ORDEM + TEMPO MORTO.....................................................................147
7 CONTROLE FEEDBACK...........................................................................................................153
7.1 INTRODUÇÃO............................................................................................................................154
7.2 CONTROLADORES FEEDBACK........................................................................................................155
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
7.2.1 CONTROLE PROPORCIONAL...................................................................................................156
7.2.2 CONTROLE INTEGRAL..........................................................................................................157
7.2.3 CONTROLE PROPORCIONAL E INTEGRAL...................................................................................158
7.2.4 CONTROLE DERIVATIVO.......................................................................................................159
7.2.5 CONTROLE PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO..................................................................159
7.3 PID DIGITAL............................................................................................................................160
7.4 CODIFICANDO UM CONTROLADOR PID NO GNU OCTAVE..................................................................161
7.5 RESPOSTA DE UM PROCESSO A UM CONTROLADOR PID....................................................................162
7.6 COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS DE CONTROLE FEEDBACK....................................................163
7.6.1 DIAGRAMA DE BLOCOS........................................................................................................163
7.6.2 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA..................................................175
7.6.3 EXERCÍCIO........................................................................................................................176
7.6.4 RESPOSTA DE UM SISTEMA AOS CONTROLADORES P E PI ..........................................................176
7.6.5 DIAGRAMA DE BLOCOS COM GNU OCTAVE.............................................................................181
7.6.6 EXERCÍCIO........................................................................................................................202
8 ANÁLISE DE ESTABILIDADE..................................................................................................203
8.1 CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE.................................................................................................204
8.1.1 EXERCÍCIO- DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR..................................................218
8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH...........................................................................................218
8.3 MÉTODO DA SÍNTESE DIRETA.......................................................................................................228
9 SINTONIA DE CONTROLADORES PID....................................................................................231
9.1 CRITÉRIO DA RESPOSTA TRANSIENTE..............................................................................................232
9.1.1 RELAÇÕES DE SINTONIA DE COHEN-COON...............................................................................233
9.1.2 RELAÇÕES DE SINTONIA BASEADAS NA INTEGRAL DO ERRO...........................................................236
9.1.3 RELAÇÕES DE SINTONIA DE ZIEGLER - NICHOLS.........................................................................243
9.2 SINTONIA MANUAL .....................................................................................................................253
9.3 ANÁLISE DA RESPOSTA FREQUENCIAL DE SISTEMAS............................................................................253
9.4 EXERCÍCIO FINAL......................................................................................................................254
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................................256
11 REFERÊNCIAS........................................................................................................................258
12 ANEXO 1- SUBROTINAS .......................................................................................................259
12.1 FRACOES_PARCIAIS..................................................................................................................259
12.2 POLYMULT..............................................................................................................................260
12.3 POLYADD...............................................................................................................................261
12.4 POLYPOWER...........................................................................................................................262
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
12.5 EXIBIRFT................................................................................................................................263
12.6 DEGRAU_UNITARIO...................................................................................................................264
12.7 PRIMEIRA_ORDEM....................................................................................................................265
12.8 GERAR_DADOS .......................................................................................................................266
12.9 SUNDARESAN_KRISHNAWAMI ......................................................................................................267
12.10 SINGLE_LOOP.......................................................................................................................268
12.11 COHEN_COON.......................................................................................................................270
12.12 ITAE................................................................................................................................27112.13 ZIEGLER_NICHOLS..................................................................................................................272
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
1 INTRODUÇÃO
A busca de sistemas para automatização e controle de tarefas é progressiva e 
abrange todos os segmentos da vida moderna, de tarefas domésticas até grandes 
produções industrias. Registros históricos indicam que os egípcios criaram o primeiro 
sistema de controle, um regulador de nível para um relógio d’água. A revolução industrial 
somente tomou impulso com o desenvolvimento de mecanismos de controle automático, 
desde que o controle manual não é viável em processos massivos de produção. Para as 
máquinas a vapor os reguladores de nível, temperatura e pressão são dispositivos 
indispensáveis. No período de 1600 a 1800 os sistemas de controle ganharam 
importância. A partir de 1800 estudos matemáticos impulsionaram a arte de controlar 
processos. Nos séculos 19 e 20, seguindo necessidades dos meios de comunicação, 
navegação de aviões, navios, foguetes e a pressão das guerras novos problemas 
apresentaram-se e assim novas estratégias de controle foram desenvolvidas. O controle 
digital surgiu e redirecionou as atenções. Hoje, certamente, a demanda de muitos 
produtos não seria atendida se processos manuais fossem utilizados. Mesmo que uma 
grande quantidade de pessoas pudesse produzir o mesmo volume de bens que um 
processo automático, a qualidade e as características do produto obtido não seriam 
mantidas durante o tempo. Assim, o objetivo de automatizar um processo é aumentar sua 
capacidade ou eficiência ou diminuir sua periculosidade (Mazzucco, 2003). A 
automatização deve ser distinguida do controle do processo, cujo objetivo é assegurar 
uma quantidade (temperatura, pressão, composição, etc.) em um determinado valor (set 
point ou referência) ou intervalo pela manipulação de alguma variável.
Podemos destacar alguns tipos de variáveis que possuem atribuições formais em 
controle de processos: variável medida, variável controlada e variável manipulada e 
perturbações. A variável medida pode coincidir com a controlada, mas isto não é uma 
regra. Por exemplo, pode-se medir a temperatura e pressão de um gás em um duto, 
estimar a vazão e controlá-la manipulando, através de uma válvula, o fluxo de massa.
Um sistema de controle consiste, ao menos, por: processo(s), sensor(es), 
controlador(es), e atuador(es). Estes elementos constituem uma malha de controle. Cada 
elemento possui um comportamento dinâmico mais ou menos importante que deve ser 
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
conhecido e, além disso, a interação entre eles é determinante do sucesso de uma 
proposta de controle.
Para formalizar os conteúdos descritos, este material pretende fornecer os 
conceitos essenciais de controle de processos. Desde modelagem de sistemas até 
análise de problemas no domínio e Laplace. Desde controle feedback até análise de 
estabilidade. Para completar o conteúdo serão apresentados os equipamentos típicos 
utilizados na indústria química para permitir a aplicação das estratégias estudadas, tópico 
este que será tratado a seguir.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2 INSTRUMENTAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.1 INTRODUÇÃO
Para sistemas de controle a aplicação em campo depende de elementos elétricos, 
eletrônicos, mecânicos ou pneumáticos que permitam que o processo e o sistema de 
controle possam interagir de forma compor uma estrutura entrada/saída. Atualmente, 
muitos destes dispositivos são baseados em equipamentos eletrônicos, sendo divididos e 
duas categorias, os digitais e os analógicos. Na indústria química a maioria dos 
elementos de medição e os elementos finais de controle são instrumentos analógicos. 
Destacam-se as seguintes classes de equipamentos em um sistema de controle: 
Instrumentos de medição (sensores), elementos finais de controle, transdutores, 
controladores, indicadores e registradores. 
2.2SINAIS DE ENTRADA E SAÍDA
Tipicamente, na indústria química até meados de 1950, a transmissão de sinais 
era realizada por via pneumática, sinais típicos de sensores como temperatura e pressão 
eram conduzidos por via pneumática. Da mesma forma, atuadores como válvulas 
pneumáticas eram a base dos elementos finais de controle e daí a utilização esta forma 
de sinal. Assim tanto controladores como registradores foram desenvolvidos para atuar 
por via pneumática. Atualmente as válvulas pneumáticas correspondem aos 
representantes mais presentes dos pneumáticos na indústria química. Em alguns projetos 
onde existe o risco de explosão ainda são utilizados equipamentos pneumáticos. O 
padrão de transmissão de dados por via pneumática estabelece a faixa de trabalho de 3-
15psig.
A partir de 1960, com o desenvolvimento mais intensivo da indústria de 
eletrônicos, os sinais passaram a ser transmitidos, também, por meio de cabos elétricos 
em duas formas: corrente (mA) ou tensão (VCC, VDC). Os padrões estabelecidos são:
Corrente contínua: 1-5mA, 4-20mA, 10-50mA
Tensão contínua: 0-5VDC, 1-5VDC, ±5VDC, ±10VDC
2.3SENSORES
Os sensores são os elementos responsáveis por permitir a quantificação da 
variável que se deseja medir. Os sensores típicos da indústria são:
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Temperatura: os mais comuns são termopares (sensor da tensão (mV) produzida pela 
junção de dois metais como níquel, platina, cobre, etc.), termoresistores (sensor resistivo, 
também conhecido como RTD: resistance-temperature detector, fabricado a partir de 
materiais como platina, níquel e níquel-cobre) e termistrores (sensor resistivo, também 
conhecido como NTC- negative temperature coefficient, fabricado a partir de material 
semicondutor, tais como óxidos de cobalto, magnésio e níquel e sulfetos de cobre, 
alumínio e ferro. A resistência neste sensor diminui com a temperatura).
-Pressão absoluta e diferencial: os mais comuns são tubo de Bourdon, diafragma. 
-Velocidade de fluxo, fluxo de massa, fluxo volumétrico: tanto para líquidos como 
gases duas estratégias podem ser utilizadas para medir fluxo: turbina e queda de 
pressão. No caso da turbina os pulsos gerados podem ser modulados ou totalizados 
através de um contador (counter) para produzir um sinal de fluxo. No caso da queda de 
pressão, esta deve ser obtida através de uma placa de orifício ou um tubo de Venturi e 
determinadas as medidas das pressões antes e após o acessório. A vazão é proporcional 
a raiz quadrada da queda de pressão. As placas de orifício devem garantir uma queda de 
pressão de 50,8cm (20in) de coluna d'água até 5,08mca (200in). Medições por via 
magnética, térmica, vórtice e Coriólis também são muito utilizadas.
-Nível de líquido: pressão diferencial e bóias são as formas mais simples de medir 
nível de líquido.
-Viscosidade: a queda de pressão é a forma mais simples de inferir a viscosidade.
-pH: é uma medida facilmente realizada através de eletrodos de potencial.
-Condutividade, Absorção de ultravioleta e infravermelho: são medidas 
importantes que podem ser utilizadas para inferir composição ou em combinação com 
outras medidas para fornecer variáveis não mensuráveis.
-Umidade: para sólidos ou gasessão necessárias técnicas diversas. Uma forma 
simples é medir a condutividade e traduzi-la em unidade.
2.4ELEMENTO FINAL DE CONTROLE
Os elementos finais de controle agrupam todas as variáveis que podem ser 
manipuladas. Neste caso temos o ajuste direto ou indireto da variável deseja. O caso de 
manipular a vazão de um fluido por ser realizada diretamente restringindo o fluxo de 
massa. No caso de manipular a temperatura de uma mistura, é necessária a intervenção 
em outra variável como a vazão, por exemplo.
Resistências elétricas podem ser utilizadas como elementos para quantificar 
energia e portanto regular temperatura em alguns processos. 
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A manipulação de fluxos materiais é tarefa comum em processos químicos e pode 
ser realizada através de válvulas ou pelo controle de velocidade em motores de corrente 
contínua ou alternada. 
2.4.1 VÁLVULAS DE CONTROLE
Válvulas de controle são equipamentos presentes na maioria dos processos 
químicos e consistem de três partes: válvula, atuador e posicionador. Requerem uma 
série de especificações para serem utilizadas, sendo as mais comuns dos tipos globo e 
esfera. 
Os mecanismos de atuação podem ser elétricos ou pneumáticos, sendo os 
últimos mais utilizados. Os mecanismos pneumáticos são, basicamente, constituídos por 
um diafragma conectado a uma mola e uma haste (plug). Em um dos lados do diafragma 
existe uma câmara onde é injetado ar comprimido que pressiona a mola no sentido de 
movimentar a haste para abrir ou fechar a válvula. Assim o atuador é dito ar-abre (A-O) 
ou ar-fecha (A-C). A forma de atuação pode ser utilizada de acordo com o controlador 
(ação direta ou ação reversa) ou por considerações de segurança.
Os posicionadores são os elementos que regulam a pressão (3-15psig) exercida 
sobre o diafragma de um atuador de forma a posicioná-lo em uma fração de sua faixa de 
trabalho. Os sinais de entrada destes equipamentos são em tensão ou corrente. 
Em uma válvula o fluxo é alterado na proporção v=CV.f.(∆P/gs)1/2. A constante CV 
ou coeficiente da válvula é definido pelo fabricante. Dependendo do projeto da válvula 
resulta f (característica da válvula) que representa a relação entre quanto a haste do 
atuador é movimentada (0≤ L ≤1) e quanto o fluxo é alterado. Desta função resulta uma 
classificação destes dispositivos em linear (f=L), Abertura rápida ou raiz quadrada 
(f=(L)1/2) e igual percentagem (f=RL-1).
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
As figuras que seguem foram extraídas de Chemical Engineers' Handbook (Robert H. 
Perry e Don W. Green, Mc Graw Hill).
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.4.2 INVERSOR DE FREQÜÊNCIA
De uma geração mais avançada de dispositivos finais de controle, os inversores 
ou variadores de freqüência representam uma excelente solução para o controle de 
velocidade de motores. Incorporando possibilidades como comunicação analógica (4-
20mA) e serial (RS232), configuração ampla, controle PID, feedback, reversão de 
direção, agenda de set-point (set-point schedule), indicador configurável, etc. permite um 
eficiente controle de velocidade de motores trifásicos, mesmo em linhas monofásicas. Os 
controle de vazão e nível em correntes bombeadas pode ser realizado por este 
dispositivo sem o uso de válvulas de controle.
2.5TRANSMISSÃO DE DADOS
A transmissão de dados por via pneumática acontece através de tubos PVC ou 
polietileno de 1/4 ou 3/8 de diâmetro com paredes rígidas, onde os efeitos de propagação 
- Marcos Marcelino Mazzucco -
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
do sinal devem ser considerados. Sinais neste formato são, normalmente, transmitidos 
por até 200m de distância, respeitadas as condições do meio.
A transmissão elétrica de dados é mais flexível que a anterior e quase imune aos 
efeitos dinâmicos da linha de transmissão. Cabos blindados contendo múltiplos fios são 
disponíveis para transmissão analógica enquanto para transmissão digital cabos do tipo 
par-trançado, cabo paralelo são usados, além dos blindados. A transmissão de dados na 
forma de corrente (4-20mA) deve ser preferida pois na forma de tensão (V) os dados são 
mais facilmente corrompidos. Cuidados especiais devem ser tomados, entre eles aterrar 
os cabos em apenas uma das extremidades, utilizar aterramento adequado, conectar 
adequadamente cabos, bem como cabos e equipamentos (terminações). Os efeitos mais 
comuns, resultantes de problemas na transmissão são: defasagem (biasing), ruído 
(noise) e atenuação. 
A transmissão digital torna-se mais vantajosa em grandes instalações onde muitos 
equipamentos estão conectados com grande tráfego de dados. Os protocolos mais 
utilizados são o serial (RS232 e RS585), o ethernet, e especializados como Fieldbus e o 
profibus. A tecnologia HART que utiliza sinais analógicos (4-20mA e digitais (1200bps) 
está presente em muitas aplicações.
2.6TRANSDUTORES E TRANSMISSORES
Na prática a nomenclatura de transmissores, sensores e transdutores é confusa. 
Alguns profissionais de processos referem-se indistintamente aos casos, contudo isto não 
parece adequado, desde que o sinal de um elemento sensor nem sempre é passível de 
ser transmitido de forma adequada. É requerido assim um transmissor para exercer as 
funções de converter o sinal em outra forma, linearizá-lo e retransmiti-lo. Em certos casos 
o transdutor seria representado por um elemento sensor, uma pequena unidade de 
processamento de sinal e um transmissor. Os transdutores mais comuns são:
Transdutor V/I: recebe um sinal em tensão (1-5VDC, por ex.) e retransmite em 
corrente (4-20mA, por ex.).
Transdutor I/V: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em 
tensão (1-5VDC, por ex.).
Transdutor I/P: recebe um sinal em corrente (4-20mA, por ex.) e retransmite em 
pressão (3-15psig, por ex.).
Transdutor de pressão: recebe um sinal em pressão e retransmite em corrente ou 
tensão. Corresponde ao próprio sensor de pressão na maioria dos casos.
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Transdutor pt100/I: recebe um sinal de um sensor pt100 (ohm) e retransmite em 
corrente.
Transdutor Termopar/I: recebe um sinal de um termopar (mV), realiza a 
compensação da junção (referência) e retransmite em corrente.
SCR (silicon-controlled rectifier). recebe um sinal em corrente contínua e varia a 
potência aplicada a um elemento de aquecimento.
2.7CARACTERÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS
Algumas características devem ser consideradas quando da definição de um 
equipamento, são elas:
-Faixa (range) e span: a faixa compreende os limites do intervalo de trabalho, 
enquanto span é o intervalo de trabalho (limite superior - limite inferior).
-Exatidão (Accuracy): diferença entre o valor medido e o valor real ou padrão 
aceito. Pode ser expressa na forma do valor absoluto da diferença do valor medido, na 
forma de percentual do valor medido, na forma de percentual do limite superior de 
medição e na forma de percentual do span (mais comum).
-Resolução: menor alteração na entrada que resulta em uma mudança na saída 
do transdutor.
-Precisão: distância entre os valores medidos que pode ser observada com base 
em uma certa resolução.
-Repetibilidade: diferença entremedidas para as mesmas condições em um 
processo.
2.8HARDWARE DE CONTROLE
PLC ou CLP (controlador lógico programável): atualmente, consiste de um 
sistema de sequenciamento digital microprocessado com capacidade para implementar 
funções boolenas (OR, AND, NOT, XOR, etc.) dispondo, também de funções 
matemáticas (exp, seno, log, etc.), temporizadores, contadores, comunicação via RS232, 
RS485 e ethernet. Os CLPs mais sofisticados implementam inclusive controladores 
contínuos como PID, onde é permitida interação entre o PID e as funções lógicas 
implementadas. Pode ser programado através de linguagens de programação como C, 
PASCAL, BASIC, FORNTRAN, Assembler ou através de diagramas lógicos conhecidos 
como ladder diagrams.
Mutiplexador: dispositivo que permite direcionar (chavear) uma entrada ou saída 
de um dispositivo multiplicando sua capacidade. Neste dispositivo, primeiro é enviado um 
- Marcos Marcelino Mazzucco -
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
sinal indicando o caminho deve ser seguido e depois é enviado/recebido o sinal para 
este. 
Placas ou cartões A/D e D/A: responsáveis por realizar a interface entre um 
computador digital e um sinal analógico. Possuem precisão numérica limitada dada pela 
quantidade de bits utilizada na representação dos dados. Uma placa com precisão de 
12bits pode representar um sinal na faixa de 4-20mA (span=16) com 16/(212-1)= 
0,0039mA de resolução. Assim se um elemento sensor é utilizado para medir 
temperatura na faixa de 0-1 000°C, a precisão da medida será 0,24°C, ou seja, "não 
existe" diferença entre T=25,1 e 25,2°C.
Computadores e Sistemas digitais: a crescente capacidade computacional e a 
produção em série de computadores permitiram à indústria em geral a expansão e 
sofisticação dos sistemas de automatização e controle com custo reduzido. Deste fato 
resultaram complexas redes de comunicação permitindo um acompanhamento rigoroso 
do processo e ajuste contínuo dos objetivos de controle. Também resulta deste fato a 
grande quantidade de informações disponibilizada aos operadores e engenheiros de 
processos. A aplicação de sistemas digitais no controle de processos implica na 
substituição/adequação de muitos sistemas, principalmente os ditos de nível 0 como 
sensores e atuadores, para os quais o princípio de operação é intrinsecamente analógico. 
Porém conduz a um complexo acoplamento de mecanismos constituindo um sistema de 
controle distribuído (DCS- Distributed Control System), que consiste, justamente de 
sistemas microprocessados interligados por uma rede digital. Os sistemas interligados 
são representados por sensores, atuadores, CLPs, Registradores, Indicadores, 
Multiplexadores, Interfaces Homem-máquina, servidores, estações de controle, 
controladores, terminais de programação, unidades de backup, etc.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Fonte: Chemical Engineers' Handbook
- Marcos Marcelino Mazzucco -
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INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
2.9SIMBOLOGIA
Para representar as funções dos instrumentos na planta usa-se a notação ISA 
com um círculo contendo duas letras ou três letras. A primeira letra corresponde a 
variável de processo e a segunda e a terceira correspondem a um modificador de função 
ou a função do dispositivo (T= transmissor, C=controlador, I=indicador). Também é 
possível identificar a malha de controle inserindo um número abaixo das letras para 
indicá-la. Os símbolos mais frequentemente utilizados em diagramas de controle de 
processos químicos são:
Medição
Símbolo Significado
TT
Transmissor de temperatura (Temperature Transmitter)
PT
Transmissor de pressão (Pressure Transmitter)
LT
Transmissor de nível (Level Transmitter)
AT
Transmissor de composição (Analysis Transmitter)
FT
Transmissor de fluxo (Flow Transmitter)
Atuação
Símbolo Significado
Válvula de controle com acionamento pneumático por diafragma
Válvula de controle com acionamento por solenóide
Válvula de controle com acionamento por pistão
Válvula de controle com ajuste manual
Bomba
Transmissão/retransmissão
Símbolo Significado
Linha de transmissão elétrica
linha de transmissão pneumática
Sinal indefinido
- Marcos Marcelino Mazzucco -
19
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Sinal hidráulico
I/P
Transdutor/conversor corrente para pressão
I/V
Transdutor/conversor corrente para tensão
Controle/Indicação
Símbolo Significado
TC
Controlador de temperatura (Temperature controller)
PC
Controlador de pressão (Pressure controller)
FC
Controlador de fluxo (Flow controller)
TI
Indicador de temperatura
PI
Indicador de pressão
FI
Indicador de fluxo
Exemplo de identificação (fonte: Process Control Fundamentals)
Exemplo de simbologia (fonte: Process Control Fundamentals)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
20
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Detalhamento da simbologia ISA (fonte: Process Control Fundamentals)
Para uma descrição completa da simbologia de instrumentação pode ser 
consultado o guia da Instrument Society of America (ISA).
2.10EXERCÍCIOS
1. Para uma ilustração mais completa segue uma figura retirada de Mazzucco 
(2003) para um sistema para polimerização de estireno. Refaça esta ilustração com a 
simbologia apresentada.
2. No diagrama abaixo indique a função de cada instrumento numerado e a natureza dos 
sinais de medição e controle (elétrico, pneumático, analógico, digital, etc.), bem como a 
possível faixa de operação e transmissão de cada instrumento.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
21
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Água friaÁgua fria
Vapor saturado
AT TT
Produtos(Conc, Temp)
Reagentes(Conc, Temp)
ACI/P A/D
Computador
Controlador
D/A
I/P
I/P
Reator
Trocador de calor
1 2
3 4
5
6
7
3. No fluxograma da coluna de destilação abaixo o engenheiro esqueceu de completar os 
instrumentos necessários para compor a malha de controle. Faltou: Na corrente de 
alimentação o controle do fluxo de entrada para evitar a inundação da torre. Na saída da 
coluna faltou o controle de nível no tambor de refluxo. Na base faltou o controle de nível. 
Também faltou incluir o controle de pressão na coluna através do vapor d'água utilizado 
no refervedor. Faltou incluir instrumentos para indicar a temperatura e a pressão no topo 
e na base da coluna, bem como para indicar os fluxos de líquido nas saídas da coluna e 
na alimentação. Faça a proposta de instrumentação e controle da coluna completando o 
fluxograma abaixo.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
22
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Água
Vapor d’água sat.
F1
F2
F3
F21
F22
F31
F32
F4
Condensado saturado
V3L3
V2L2
(vapor benzeno+tolueno)
98,9%benzeno
45% benzeno +
55%Tolueno
(liq. benzeno+tolueno)
1,5%benzeno
Tambor de refluxo
4. [ENC-1998] O fluxograma abaixo representa, de modo resumido, uma unidade para a 
produção de etilbenzeno a partir de benzeno e etileno.
A reação de alquilação do benzeno produz, no entanto, não apenas etilbenzeno: reações 
sucessivas produzem o benzeno di e trialquilado.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
23
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Os produtos polialquilados são indesejáveis devido ao baixo preço de mercado. Para 
minimizar a produção dos polialquilados, opera-se o reator com excesso de benzeno, 
convertendo os polialquilados em etilbenzeno:
Note que quanto maioro excesso de benzeno empregado no reator, mais elevada será a 
conversão em etilbenzeno.
Com base nessas informações:
(i) ...;
(ii) considerando a alimentação da coluna A constante, esquematize a forma mais 
simples de controlar essa coluna (malha(s) de controle) de modo a garantir a sua 
operação estável, mantidas constantes a pressão e a temperatura de operação da 
mesma.
Resposta esperada:
5.[ENC-2000] O fluxograma abaixo representa, de modo simplificado, um processo para 
produção de acetato de vinila, a partir de etileno (C2H4) e ácido acético (C2H4O2):
- Marcos Marcelino Mazzucco -
24
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O reator opera em fase gasosa, empregando paládio como catalisador. As duas 
principais reações que ali ocorrem são:
Reações secundárias, não descritas, produzem acetato de etila e compostos de elevada 
massa molar (resinas) gerados pela polimerização do acetato de vinila, na descarga do 
reator. Os gases que deixam o reator são resfriados e alimentados a uma coluna 
lavadora, que separa os componentes condensáveis (água, acetatos, resinas e ácido 
acético) dos incondensáveis (dióxido de carbono, etileno e oxigênio). A solução obtida no 
fundo da lavadora é fracionada em uma coluna de destilação.
A coluna de destilação fraciona a solução que deixa o fundo da lavadora. Além do 
produto principal (acetato de vinila), obtêm-se:
- acetato de etila: tem valor comercial, segue para tancagem e é vendido.
- ácido acético: é reciclado para o processo.
A corrente de água e o produto de fundo da coluna devem ser descartados.
a) ...
b) A corrente de água contém ainda 1% molar de ácido acético como contaminante. A 
neutralização do ácido torna-se imperativa antes do seu descarte. Supondo a utilização 
de um tanque de neutralização de operação contínua, esquematize a instrumentação 
necessária à sua operação automática.
Resposta esperada:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
25
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
6. [ENC-2001] Um reator de hidrogenação catalítica processará uma fração de petróleo a 
5 x 106Pa e 440oC. O hidrogênio será alimentado em grande excesso, contendo 4% de 
CH4, impureza que não toma parte na reação. O efluente do reator deverá ser resfriado 
até 220oC, condensando os compostos subcríticos da mistura, para então ser submetido 
a uma expansão súbita (“flash”). A expansão adiabática promoverá a separação dos não-
condensáveis (H2 e CH4) da fase líquida (produto da reação). Para o reaproveitamento do 
hidrogênio em excesso, parte da fase gasosa deverá ser recomprimida e reciclada para o 
reator (veja o fluxograma abaixo).
a) ...
- Marcos Marcelino Mazzucco -
26
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
b) Esquematize a instrumentação mínima necessária para manter constante a pressão 
na descarga do tambor de “flash”.
Resposta esperada:
A pressão na descarga do tambor de "flash" poderá ser controlada por uma válvula que 
regule a vazão de descarga na purga:
7.[ENC 2002] No processo de produção de etanol por fermentação de açúcar, tem sido 
sugerido o aproveitamento do dióxido de carbono gerado na fermentação, como 
alternativa para melhorar a economia do processo. O fluxograma abaixo representa uma 
proposta para uma unidade de recuperação de CO2. Forneça o nome e a função de cada 
um dos oito itens indicados no fluxograma.
Resposta esperada:
1. Absorvedora ou coluna de absorção.
Função: remover o O2 e N2 da mistura de gases (CO2 + O2 + N2 + H2O + etanol) retirada 
da dorna de fermentação, por absorção do CO2 em um solvente líquido.
2. Trocador de calor.
Função: reduzir a temperatura do solvente líquido, de modo a aumentar a solubilidade do 
CO2, para tornar possível a operação de absorção.
3. Coluna de esgotamento (stripping) do CO2.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
27
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Função: retirar (separar) o CO2 do solvente líquido por aumento de temperatura.
4. Compressor.
Função: aumentar a pressão do gás para permitir a condensação a temperaturas 
tecnicamente viáveis.
5. Trocador de calor.
Função: reduzir a temperatura do gás comprimido, facilitando a compressão do segundo 
estágio.
6. Coluna de adsorção.
Função: retirar a umidade da mistura gasosa, evitando a formação de gelo no trocador 
seguinte.
7. Controlador de nível.
Função: manter o selo líquido no fundo da torre absorvedora.
8. Válvula de segurança e alívio.
Função: impedir danos físicos provocados pela elevação da pressão acima dos níveis 
preestabelecidos nos equipamentos.
8.[ENC-2003] Uma empresa está planejando instalar uma coluna de destilação para 
recuperar ácido acético de uma corrente de rejeito, objetivando reduzir o seu passivo 
ambiental. Uma firma de consultoria submeteu o fluxograma de engenharia simplificado, 
apresentado abaixo. O engenheiro revisor identificou dois erros graves que inviabilizam 
tecnicamente o projeto, assinalando-os no fluxograma. Apresente as razões que levaram 
o engenheiro a apontar esses dois erros.
Resposta esperada:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
28
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
– A válvula VG02 está sendo controlada pelo nível do tambor de refluxo. Isso impede que 
se possa estabilizar a vazão do refluxo (em conseqüência, a razão de refluxo) em um 
valor adequado para a separação desejada, tornando o controle da qualidade do produto
de topo impraticável.
– A corrente de fundo da coluna de destilação é de líquido saturado. Nessas condições, a 
instalação de uma válvula de controle na sucção da bomba poderá provocar a cavitação 
na bomba. 
9. [ENADE-2008] Propõe-se um novo processo para produzir 1,2-butadieno a partir do 
butano. Emprega-se para isso um reator que opera em fase líquida, com catalisador na 
forma de partículas sólidas muito finas, dispersas no líquido, operando a 80 oC e 9 bar. A 
figura abaixo mostra o fluxograma do processo.
Memorial Descritivo:
Butano é alimentado ao reator pela corrente 1. No reator ocorre a reação: C4H10 −>C4H6 + 
2H2 com conversão de 60% da carga. A descarga é feita pela evaporação dos produtos e 
do reagente, que deixam o reator pela corrente 2, de modo a evitar operações para a 
recuperação do catalisador. O condensador parcial TC1 condensa e resfria parte da 
descarga. O vaso V1 separa a fase líquida do hidrogênio formado. A fase líquida é 
separada na destiladora T1, obtendo-se no fundo o 1,2-butadieno com pureza de 98% 
molar. O butano é recuperado no topo da torre e reciclado para o reator. A destiladora 
opera a uma pressão de 2,7 bar. Analisando o processo proposto, constata-se que a: 
- Marcos Marcelino Mazzucco -
29
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
(A) produção da unidade será controlada de forma muito eficiente pelo medidor de vazão 
instalado na corrente de butadieno que deixa o fundo da torre destiladora.
(B) corrente 3, que descarta o hidrogênio formado na reação a partir do vaso V1, sairá 
saturada com butano e 1,2-butadieno, o que exigirá a instalação adicional de uma torre 
lavadora (scrubber) para reduzir as perdas desses compostos.
(C) pressão de operação da torre destiladora, sabendo-se que a saturação do butano a 
2,7 bar ocorre a 28oC, está adequada ao uso de água como fluido de resfriamento do 
condensador de topo, como proposto no fluxograma.
(D) válvula de controle instalada na tubulação que deixa o fundo da torre e que controla o 
nível do selo líquido está na posição correta.
(E) destiladora pode ser substituída por um tambor flash, que permitirá a separação do 
1,2-butadieno na pureza desejada (98% molar),com evidente economia no capital 
investido e na energia empregada na separação.
Resposta esperada:
O item correto é a letra B.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
30
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3 MODELAGEM DE PROCESSOS QUÍMICOS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
31
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O modelo de um processo corresponde à representação matemática dos sistemas 
por este contidos. Isto não significa que o comportamento de um sistema deve ser 
conhecido com exatidão, mas apenas com precisão suficiente para a proposta em que 
este está inserido. Em processos químicos, estão envolvidas transformações físicas e 
químicas. Desta forma, o modelo deve considerar aspectos relevantes como cinética 
química, efeitos das transferências de calor, massa e quantidade de movimento, 
termodinâmica, relações empíricas e efeitos físicos como dissipação elétrica, mecânica, 
etc. É oportuno ressaltar que nem sempre o modelo mais preciso é o mais adequado 
para todas as situações. Também deve ser considerado que para certos propósitos os 
modelos fenomenológicos (teóricos) podem ser substituídos por modelos empíricos e 
estatísticos.
A modelagem matemática, de acordo com a forma, é útil em casos diversos, 
destacando-se: Simulações de comportamento em situações variadas, treinamento de 
operadores, análise de risco (manual de segurança), otimização das condições de 
operação, projeto de sistemas de controle e controladores, ajuste de controladores e 
alterações no processo.
3.1MODELOS DE PROCESSOS QUÍMICOS
A modelagem fenomenológica de processos químicos está baseada nos 
princípios de conservação da massa, energia e quantidade de movimento. Estas 
quantidades são determinadas, entre outras, a partir de medidas de características físicas 
e químicas como densidade, concentração, temperatura, fluxo volumétrico, velocidade 
linear, pressão, capacidade calorífica, condutividade térmica, etc.. Os modelos de 
processos químicos podem abordar casos em regime permanente (estado estacionário) 
ou em estado transiente. Os modelos dinâmicos (estado transiente) são descritos por um 
sistema de uma ou mais equações diferenciais ordinárias ou parciais e equações 
algébricas. Os sistemas estáticos, por sua vez podem ser caracterizados pelos mesmos 
tipos de equações, porém excluindo-se a dependência do tempo. 
As equações baseadas nos princípios de conservação (balanços), em processos 
químicos, requerem também equações ditas constitutivas, onde estão contemplados 
efeitos como taxa de reação, equilíbrio termodinâmico, taxas de transferência de calor, 
massa e quantidade de movimento, taxa de crescimento microbiano, estimativas 
populacionais, etc.
 
- Marcos Marcelino Mazzucco -
32
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Em um sistema estipulado, os balanços procedem a partir dos princípios de 
conservação. 








−








+












−












=








Sistema no
 Consumo de
Sistemano
 
 Geração de
massa
decorrentesdas
ouas vizinhanç
ra asSistema pa
do 
cia deTransferên
massa
decorrentesdas
oueiras das front
través Sistema a
para o 
cia deTransferên
no Sistema
 Acúmulo de
}...{}...{
}...{}...{
}...{
Para massa e energia temos:
F1
F2
Sistema
dE/dt= ∆E=∆U(t)+ ∆K(t)+ ∆P(t)
dm/dt
∆U=U(t)-U(t-∆t)
∆K=K(t)-K(t-∆t)
∆P=P(t)-P(t-∆t) Q
W
saídasii
n
ientradas
ii
n
i
S HFHFWQdt
dE
11
..
==
∑−∑+−= ; com [ ]
dt
PKUmd
dt
dE )( ++
=
∑∑ −+−= SWQHFHFdt
dE
2211
221121
)( vv ρρρ −==−=
dt
VdFF
dt
dm
∫+−= V iiii dVrFFdtdm 21
Onde 
Fj: Fluxo de massa (ou molar) ou vazão mássica de uma corrente (massa/tempo)
Fij: Fluxo de massa ou vazão mássica da espécie i numa corrente j (massai/tempo)
ri: Taxa de reação química da espécie i (massa ou mols de i/Volume.tempo)
V: Volume do Sistema
m: Massa do Sistema
mi: Massa da espécie i no Sistema
vj: Fluxo volumétrico ou vazão volumétrica da corrente j (volume/tempo)
ρj: densidade da corrente j
H: Entalpia por unidade de massa (ou molar)
K: Energia cinética por unidade de massa (ou molar)
P: Energia potencial por unidade de massa (ou molar)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
33
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
K: Energia Interna por unidade de massa (ou molar)
WS: Fluxo de energia na forma Trabalho de eixo (work shaft)
Q: Fluxo de energia na forma de Calor.
Destacam-se, neste caso duas equações constitutivas:
- Transferência de calor: Q= U.ATC.(Tvizinhanças-Tsistema)
- Cinética da reação ∏
−
=
k
n
k
RT
E
i
k
A
CeAr .
onde:
U: Coeficiente global de transferência de calor
ATC: Área para transferência de calo
A= Fator de freqüência ou pré-exponencial.
EA=Energia de Ativação da reação.
R= Constante dos gases ideais
T=Temperatura em escala absoluta
Ck= Concentração mássica ou molar da espécie k
nk= ordem da reação em relação a espécie k
É claro que esta representação é geral e portanto não contempla muitos casos de 
engenharia, por isso serão desenvolvidos modelos para alguns casos típicos de 
processos químicos.
3.1.1 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE ESTOQUE DE LÍQUIDO
F1
F2
h
D
- Marcos Marcelino Mazzucco -
34
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Trata-se de um tanque continuamente alimentado com líquido, cujo nível deste (h) 
depende dos fluxos de entrada e saída. Por sua vez, o fluxo de saída depende do nível 
de líquido no tanque.
Balanço de Massa Global no interior do tanque:
21 FFdt
dm
−=
2211
)( vv ρρρ −=
dt
Vd
2211
)()( vv ρρρ
ρ
ρρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dV
dt
dV
V
V
2211 vv ρρρ −=dt
dV
21 vv −=dt
dhA ; com A= piD2/4
A equação de Bernoulli para o escoamento em uma restrição descreve a vazão na 
saída do tanque em proporção à pressão exercida na restrição (válvula):
2/1
22 )( PPCV −=v
Considerando descarga livre:
P=Patm+ρgh
Assim:
2/1
2 )( ghPPC atmatmV ρ+−=v
( )
A
ghC
dt
dh V
2/1
1 )(ρ−
=
v
Ao invés da equação de Bernoulli o escoamento na saída poderia ser 
representado através da analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos onde a 
diferença de potencial é diretamente proporcional ao produto da corrente elétrica pela 
resistência oferecida pelo elemento considerado. Neste caso, sendo RV a resistência ao 
escoamento oferecida pela válvula:
h=v2RV (U=IR na eletricidade)
v2= h/RV
h
ARAdt
dh
V
11
−=
v
- Marcos Marcelino Mazzucco -
35
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Observe que a mudança na representação do modo de escoamento produziu uma 
equação diferencial não linear no primeiro caso e uma linear no segundo. As implicações 
disto serão discutidas oportunamente.
3.1.2 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM TANQUE DE AQUECIMENTO POR VAPOR
F1
F2
F3
F4
h
D
Trata-se de um tanque de aquecimento encamisado onde é utilizado vapor d'água 
saturado como fonte de energia. O vapor deixa a camisa como condensado saturado em 
uma temperatura T4. 
Balanço de Massa Global no interior do tanque:
21 FFdt
dm
−=
2211
)( vv ρρρ −=
dt
Vd
2211
)()( vv ρρρ
ρ
ρρ
−=
∂
∂
+
∂
∂
dt
dV
dt
dV
V
V
2211 vv ρρρ −=dt
dV
21 vv −=dt
dhA ; com A= piD2/4
( ) A
dt
dh /21 vv −=
Balanço de energia no interiordo tanque:
∑∑ −+−= SWQHFHFdt
dE
2211
- Marcos Marcelino Mazzucco -
36
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido 
incompressível e trabalho desprezível:
QHFHF
dt
mHd
+−= 2211
)(
QHFHF
dt
mdH
dt
Hdm
+−=+ 2211
Com CP=cte:
( ) ( ) QTTCFTTCF
dt
dTmC
dt
dmTTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111
( ) ( ) QTTCFTTCF
dt
dTmC
dt
dhATTC refPrefPPrefP +−−−=+− )()()( 222111ρ
Substituindo o balanço de massa e fazendo Tref=0:
QTCFTCF
dt
dTmCTC PPPP +−=+− 22211121 )( vvρ
QTCTCTC
dt
dTAhC PPPP +−−−= )( 2122221111 vvvv ρρρρ
Com ρ=ρ1=ρ2; CP= CP1= CP2; T=T2:
QTCTTC
dt
dTAhC PPP +−−−= )()( 21211 vvvv ρρρ
QTTC
dt
dTAhC PP +−= )( 11vρρ
)/()/()( 11 PAhCQAhTTdt
dT ρ+−= v
Incorporando a equação para transferência de calor, Q= UATC(T4-T):
Ah
C
TT
dt
dT P
T)-(TA)( 4TC11 ρ
U
+−
=
v
- Marcos Marcelino Mazzucco -
37
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM CSTR COM TROCA TÉRMICA
vA0,CA0
vA1,CA1, T1
T0
vA2, T2
vA3, T3
CA, T
Trata-se de um reator químico em regime de operação contínua, perfeitamente agitado, 
onde ocorre uma reação A→B, de primeira ordem. A reação é exotérmica, assim o reator 
é resfriado por uma correntede FA2 a uma temperatura T2. O nível de líquido no tanque é 
constante bem como a densidade da mistura.
Balanço de Massa Global no interior do tanque:
0=
dt
dm
 (densidade e nível constantes)
Balanço Molar para a espécie A:
VrFF
dt
dN
AAA
A +−= 10
VrCC
dt
dCV AAAA +−= 1100 vv
( ) AAAA rCCVdt
dC
+−= 1100
1 vv
Balanço Molar para a espécie i qualquer em relação ao reagente limite A:
iiAi
i FFVr
dt
dCV −+−= 0ν 
onde:
νi=coeficiente esteq. de i / coeficiente esteq. de A: (+) prod., (-) reag.
)(0 XFF iiAi ν+Θ= ; com Θi=Fi0/FA0
Balanço de energia no interior do tanque:
s
saídas
I
i
ii
entradas
I
i
ii WQHFHFdt
dE
−+−= ∑∑
== 11
; com (Fi=Civ)
A energia total do sistema é a soma dos produtos das energias específicas, Ei, das várias 
espécies no volume do sistema pelo número de mols destas espécies.
- Marcos Marcelino Mazzucco -
38
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
E= ∑
=
n
i
ii EN
1
 
Negligenciando as mudanças nas energias cinética e potencial e mantendo a energia 
interna U, obtemos a entalpia Hi.
E= ∑ ii EN = ∑
i
iiUN = ∑ − )ˆ( iii VPHN
Onde Vi é o volume molar (L/gmol)
Diferenciando em relação ao tempo e substituindo na equação do balanço de energia:
∑ ∑ ∑∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
t
VNP
t
NiH
t
HN iiiii
)ˆ( = ∑ ∑− saídaiientradaii HFHF +Q
Considerando que não há acúmulo das energias cinética e potencial, admitindo fluido 
incompressível e trabalho desprezível:
=−+∑ ∑ dt
dPV
dt
dCVH
dt
dTVCC iipii QHFHF iiii +−∑ ∑00 , com (Fi0=Ci0v0)
Como o balanço molar para a espécie i, negligenciando a variação da pressão total e 
considerando o caso de nenhuma mudança de fase, a equação fica:
( ) ∑ ∑∑ ∑∑∑ −+=−+−+ iiiiiiiiAiiipi HFHFQHFHFVrHdt
dTCCV 000ν
Rearranjando:
)()( 00 VrHHHFQdt
dTCCV AiiiiiiPi −−−−= ∑∑∑ ν
Como Hi =CPi(T-Tref) e Fi0=FA0Θi , T1=T; CA1=CA e admitindo CP médio:
∑∑
==
−∆−−Θ−=
n
i
ARipiiA
n
i
iPi VrHTTCFQdt
dTCCV
1
00
1
)()(
onde:
0
0
i
T
T
pi
pi TT
dTC
C i
−
=
∫
dTCTHTH
T
T
pR
o
RR
R
∫ ∆+∆=∆ )()(
∑∑ −=∆ reagentes
i
Pii
produtos
i
Piip CCC νν
Para uma reação em fase líquida a seguinte aproximação é freqüentemente realizada:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
39
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
∑ ∑∑ =Θ=≅ PSAPiiAiPiiPi CCCCCCCC 000 
onde, CPS é a capacidade calorífica da solução. Com esta aproximação, assumindo que 
todas as espécies entram com a mesma temperatura T0, incorporando a equação para 
transferência de calor e considerando mistura perfeita na camisa, Q= UATC(T3-T):
.
0030 )()()( VrHTTCFTTAdt
dTVCC ARPSATCPSA −∆−−−−= U
PSA
A
RT
E
R
PSA
TC
CC
CAeH
V
TT
VCC
TTA
dt
dT
A
0
00
0
3 )()(
−
∆
−
−
−
−
=
vU
3.1.4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA COLUNA DE ABSORÇÃO
L G
xf y3
L
x3
G
y2
L
x2
G
y1
L G
x3
yf
L
xi+1
G
yi
L
xi
G
yi-1
i
Trata-se de uma coluna de absorção de três estágios onde é injetado um gás na base e 
um dos componentes deste é absorvido em um líquido, cuja corrente é alimentada no 
topo. G e L representam os fluxos molares das respectivas correntes, bem como yf e xf 
representam as frações molares do componente absorvido nas correntes de gás e 
líquido, respectivamente. Este equipamento é, freqüentemente, associado em série para 
- Marcos Marcelino Mazzucco -
40
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
aumento de capacidade. Em cada estágio da coluna será considerado contato perfeito, 
de forma que o componente absorvido esteja em equilíbrio nas correntes de gás e líquido 
que deixam cada estágio.
Balanço de massa global (mols)
GLGL
dt
dN
ff −−+=
Considerando densidade constante (invariável com a mudança de concentração) e nível 
de líquido constante em cada estágio:
0=
dt
dN
Balanço molar para o componente absorvido (A) no estágio i:
AiAiiAiA
Ai GyLxGyLx
dt
dN
−−+=
−+ )1()1(
)()( )1()1( AiiAAiiAAi yyGxxLdt
dN
−+−=
−+
Da condição de equilíbrio:
yAi=axAi+b
Como NAi=NxAi
)()( )1()1( baxbaxGxxLdt
dxN iiAAiiAAi −−++−= −+
)1()1( )( +− ++−= iAAiiAAi LxaGLxaGxdt
dxN
Como N=ρV/Mol e L=ρv/Mol, dividindo a equação por L:
)1()1( )1( +− ++−= iAAiiAAi xL
aGxx
L
aG
dt
dx
L
N
Para o primeiro estágio:
)()( 1121 AAfAAA yyGxxLdt
dxN −+−=
)( 1121 baxyL
Gxx
dt
dx
L
N
AAfAA
A
−−+−=
)()1(121 byL
G
L
aGxx
dt
dx
AfAA
A
−++−=τ
Para o segundo estágio:
321
2 )1( AAAA xL
aGxx
L
aG
dt
dx
++−=τ
- Marcos Marcelino Mazzucco -
41
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Para o terceiro estágio:
AfAA
A x
L
aGxx
L
aG
dt
dx
++−= )1(32
3τ
Onde:
L
aG
= fator de Stripping
L
G
= razão gás-líquido
τ=tempo médio de residência
As equações para os três estágios são combinadas pois a composição em um estágio 
depende dos estágios adjacentes.
3.1.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UMA TROCADOR DE CALOR DUPLO TUBO
vapor (TS)
condensado (TS)
z
z=0 z=L
Fluido 
v ; Tz(0,t)
Fluido 
v ; Tz(L,t)
Trata-se de um trocador de calor tipo duplo tubo com operação em contracorrente. A 
corrente quente é caracterizada por vapor saturado numa temperatura TS e a corrente fria 
é sujeita a um perfil de temperatura ao longo do comprimento do tubo (z) e ao longo do 
tempo. 
Para tornar mais realística esta modelagem, será assumido que a resistência 
térmica na parede do tubo interno é significante, de forma que a temperatura da parede 
não possa ser admitida nem como TZ nem como TS e exista um perfil de temperatura na 
parede ao longo do tempo e do comprimento (z), ou seja, TP=TP(z,t). 
Balanço de energia no conteúdo do tubo interno:
QHH
dt
dH
zzz
V
+−=


∆+
∆
vv ρρ
- Marcos Marcelino Mazzucco -
42
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
QTTCTTC
dt
dTVC refzzPrefzP
V
P +−−−=

 ∆ ∆+
∆
)()( vv ρρρ
QTTC
dt
dTzCA zzzPzPS +−=∆ ∆+ )(vρρ
)()( zzPVTCzzzP
z
PS TTAhTTCdt
dTzCA −+−=∆
∆∆+
vρρ
)()( zzP
zzz
P
z
PS TTz
zDh
z
TTC
dt
dTCA −
∆
∆
+
∆
−
=
∆+ piρρ v
Aplicando o limite quando ∆z→0: 
)( zzP
z
P
z
PS TTDhz
TC
t
TCA −+
∂
∂
−=
∂
∂
piρρ v
onde:
ρ= densidadedo fluido
As= área da seção transversal (piD2/4)
D= diâmetro do tubo interno (exceto espessura do casco)
TP= temperatura na parede
h= coeficiente de transferência de calor do fluido
v= fluxo volumétrico (volume/tempo)
)( zzP
PS
z
S
z TT
CA
Dh
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
ρ
piv
O termo 
Dh
CA PS
pi
ρ
 é o tempo característico de aquecimento do fluido (τQ):
)(1 zzP
Q
z
S
z TT
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
τ
v
Balanço de energia no casco do tubo interno:
)()()()()( zzPzPSeS
P
PPPSP TTDhTTDht
TCA −−−=
∂
∂
pipiρ
onde:
ρ(P)= densidade do material do tubo
As(P)= área da seção transversal (piDe2/4-piD2/4) 
De= diâmetro externo do tubo interno (com espessura do casco)
TP= temperatura na parede
TS= temperatura do condensado (saturado)
CP(P)=capacidade calorífica do material do tubo
- Marcos Marcelino Mazzucco -
43
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
hS= coeficiente de transferência de calor do condensado(exterior)
h= coeficiente de transferência de calor do fluido (interior)
)()(
)()()()()()(
zzP
PPPSP
zPS
PPPSP
eSP TT
CA
DhTT
CA
Dh
t
T
−−−=
∂
∂
ρ
pi
ρ
pi
)(1)(1 zzP
Pz
zPS
SP
P TTTT
t
T
−−−=
∂
∂
ττ
Resumo: as duas equações resultantes representam os perfis de temperatura no fluido 
frio e nas paredes do tubo interno.
)(1 zzP
Q
z
S
z TT
z
T
At
T
−+
∂
∂
−=
∂
∂
τ
v
)(1)(1 zzP
Pz
zPS
SP
P TTTT
t
T
−−−=
∂
∂
ττ
As equações são dependentes e constituem um problema de valor de contorno. Assim, é 
requerido que se conheça as condições de contorno. Estas condições podem ser obtidas 
considerando operação em estado estacionário:
)(10 zzP
Q
z
S
TT
z
T
A
−+
∂
∂
−=
τ
v
)(1)(10 zzP
Pz
zPS
SP
TTTT −−−=
ττ
desta forma isolando TP na última equação, substituindo na anterior e resolvendo a 
equação diferencial ordinária resultante obtém-se Tz e TP em z=0 e em z=L. Com as 
condições iniciais definidas e lembrando que Tz= Tz(z,t) e Tw= Tw(z,t) temos Tz(0,0) e 
Tz(L,0). A solução numérica das e.d.p. (equação diferencial parcial) pode ser obtida pela 
discretização destas em z de forma que um sistema de e.d.o. (equação diferencial 
ordinária) será obtido. A discretização pode ser efetuada aproximando a derivada parcial 
e z pelo método das diferenças finitas:
z
TT
z
T jzjzz
∆
−
=
∂
∂
− )1()(
Isto equivale a dividir, longitudinalmente, o tubo resolvendo as e.d.o. resultantes para 
cada fração de tubo obtendo assim ao final de cada integração a temperatura de cada 
seção que corresponde a condição inicial da seção seguinte. A solução das e.d.o. para a 
última fração fornecem Tz(L,t) e Tw= Tw(L,t).
As equações discretizadas ficam:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
44
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
)(1 )()(
)1()()(
jzjP
Q
jzjz
S
jz TT
z
TT
Adt
dT
−+
∆
−
−=
−
τ
v
)(1)(1 )()()(
)(
jzjP
Pz
jPS
SP
jP TTTT
dt
dT
−−−=
ττ
Observe que para N divisões no tubo serão obtidas 2N e.d.o. e que a precisão desta 
solução numérica é tanto maior quanto maior for o valor de N. Este modelo difere dos 
anteriores por constituir um modelo a parâmetros distribuídos, enquanto os anteriores 
correspondem a modelos a parâmetros concentrados.
3.2SOLUÇÃO NUMÉRICA COM MATLAB E OCTAVE
Os exemplos apresentados podem ser resolvidos com GNU Octave através das 
subrotinas lsode(...) e ode45(...). No MathWorks Matlab a subrotina ode45(...) pode ser 
utilizada. Nos dois pacotes de solução numérica os procedimentos são idênticos. No 
exemplo anterior foi utilizado GNU Octave .
3.3EXERCÍCIOS
1. Desenvolva a solução numérica para o modelo do trocador de calor duplo tubo.
2. Entre os exemplos trabalhados está o modelo de esvaziamento e enchimento de um 
tanque de estoque de líquido. No modelo trabalhado, a área da seção transversal é 
constante. Faça o modelos para um tanque cônico:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
45
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
3. (ENADE 2008) Pseudocódigo é uma forma genérica de se escrever um algoritmo, da 
forma mais detalhada possível, utilizando-se uma linguagem simples, nativa a quem o 
escreve, de modo a ser entendida sem necessidade de se conhecer a sintaxe de uma 
linguagem de programação específica. Apresenta-se abaixo o pseudocódigo de um 
algoritmo capaz de resolver equações diferenciais da forma , freqüentemente 
encontrada em problemas de modelagem em engenharia.
Uma forma equivalente, e algumas vezes complementar, ao pseudocódigo, utilizada para 
se representar um algoritmo é o diagrama de fluxos (fluxograma). Que fluxograma 
representa, de modo mais preciso, o pseudocódigo descrito acima?
- Marcos Marcelino Mazzucco -
46
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
 (A) (B) (C)
 (D) (E)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
47
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
4 TRANSFORMADA DE LAPLACE E LINEARIZAÇÃO DE 
SISTEMAS
- Marcos Marcelino Mazzucco -
48
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A modelagem matemática (dinâmica) de processos recai em E.D.O.s que estão 
sujeitas às soluções analítica ou numérica. Quando as equações que descrevem um 
sistema são equações diferenciais lineares é conhecida uma ferramenta matemática 
chamada Transformada de Laplace que permite a solução rápida e simplificada destas. A 
ferramenta consiste em transformar uma E.D.O em uma equação algébrica (E.A.) em um 
domínio transformado chamado Domínio de Laplace onde a equação é resolvida. Obtida 
a solução neste domínio transformado procede-se a operação inversa e a solução no 
domínio do tempo é obtida.
4.1DEFINIÇÃO
O domínio de Laplace ou domínio s é obtido pela transformação de uma função 
f(t), no domínio do tempo, pela integração da função f(t) multiplicada por e-st, com t0=0 e 
t=∞.
( ) ∫∞ −==
0
)()()( dtetfsFtf stL
F(s) representa a função f(t) transformada para o domínio de Laplace e L é o operador de 
Laplace. O operador inverso de Laplace L-1(F(s)) transporta a função F(s) para o domínio 
original (tempo). 
4.2PROPRIEDADES
Para que uma função f(t) seja transformada usando o operador de Laplace é 
requisito básico que a função seja contínua para t>0. Além disso a transformada de 
Laplace é uma operação linear, ou seja satisfaz o princípio geral da superposição:
L(af1(t)+bf2(t))=[aL(f1(t))]+ [bL(f2(t))]=aF1(s)+bF2(s)
onde f1 e f2 são funções no tempo e a e b são constantes.
4.3OPERAÇÕES NO DOMÍNIO S
As regras básicas para operações no domínio s são:
L(f1(t) + f2(t))=F1(s) + F2(s)
L(f1(t) - f2(t))=F1(s) - F1(s)
L(af(t))= aF(s)
L(f(t-θ))=e-θsF(s)
L(df(t)/dt)=sF(s)-f(0)
L(d2f(t)/d2t)=s2F(s)-sf(0)-df/dt(0)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
49
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
L(dnf(t)/dnt)=snF(s)-sn-1f(0)-...dfn-1/d n-1(0)
L( ∫t dttf
0
)( )=F(s)/s
Tabela 4.1- Transformadas de Laplace
f(t) F(s) observação
)(tδ 1 impulso unitário
função delta de Dirac
S(t)
S(t)=0 para t<0 e S(t)=1 para t≥0 s
1
degrau unitário
a
s
a
(a: constante)
t
2
1
s
rampa unitária
tn-1 ( )
ns
n !1−
e-bt
bs +
1 crescimento 
exponencial
1-e-bt
)( bss
b
+
decaimento 
exponencial
e-t/τ(1/τ)
1
1
+sτ
(tn-1e-bt)/(n-1)! 
nbs )(
1
+
com n>0
tn-1e-t/τ/(τn(n-1)!)
ns )1(
1
+τ
(e-bt- e-at)/(a-b)
))((
1
bsas ++
(e-t/τ1- e- t/τ2)/(τ1-τ2))1)(1(
1
21 ++ ss ττ
(c-a)/(b-a)eat+
(c-b)/(a-b)e-bt ))((
)(
bsas
cs
++
+
1/τ1(τ1-τ3)/(τ1-τ2)e-t/τ1+
1/τ2(τ2-τ3)/(τ2-τ1)e-t/τ2 )1)(1(
1
21
3
++
+
ss
s
ττ
τ
1-e-t/τ
)1(
1
+ss τ
sen(ωt)
22 ω
ω
+s
senóide
cos(ωt)
22 ω+s
s
co-senóide
- Marcos Marcelino Mazzucco -
50
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
sen(ωt+φ)
22
)sen()cos(
ω
φφω
+
+
s
s
e-a/tsen(ωt)
22)( ω
ω
++ as
(a, ω:real)
senóide amortecida
e-a/tcos(ωt) 
22)( ω++
+
as
as (a, ω:real)
co-senóide 
amortecida
)1/sen(
1
1 2/
2
ζτ
ζτ
τζ
−
−
− te t
12
1
22 ++ ss ζ ττ (0≤|ζ|<1)
1+(τ1e-t/τ1-τ2e-t/τ2)/( τ2-τ1) 
)1)(1(
1
21 ++ sss ττ
( τ1≠τ2)
)1/sen(
1
11 2/
2
ζτψ
ζ
τζ
−+
−
−
− te t
)12(
1
22 ++ sss ζ ττ
(0≤|ζ|<1)
)
1
(tan
2
1
ζ
ζψ −= −
)1/sen(
1
)1/cos(1
2
2
2/
ζτζ
ζ
ζττζ
−
−
+−− −
t
te t
 )12(
1
22 ++ sss ζ ττ (0≤|ζ|<1)
1+(τ3-τ1)/(τ1-τ2)e-t/τ1+
 (τ3-τ2)/(τ2-τ1)e-t/τ2 )1)(1(
1
21
3
++
+
sss
s
ττ
τ
( τ1≠τ2)
e-at/((b-a)(c-a))+
e-bt/((c-a)(a-b))+
e-ct/((a-c)(b-c)) ))()((
1
csbsas +++
(e-at-e-bt)/(b-a)
))((
1
bsas ++
df()/dt sF(s)-f(0) Equação Diferencial 
Ordinária (EDO) de 
1a ordem
dnf()/dtn
0
1
1
0
2
2
0
2
1
...
)0()(
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−−
−−
t
n
n
t
n
n
t
n
nn
dt
fd
dt
fds
dt
dfs
fssFs
=
∑−
=
=
−
−
−
−
−−
1
1 0
1
1 )0()(
n
i t
in
in
i
nn
dt
fds
fssFs
EDO de ordem n 
∫t dttf
0
)(
F(s)/s
integral
- Marcos Marcelino Mazzucco -
51
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
A Tabela 4.1 é utilizada nas mudanças de domínio t→s e s→t, sendo necessário primeiro 
obter formas para f(t) e F(s) que nela se enquadrem. Tabelas mais completas podem ser 
obtidas em livros de cálculo.
4.4TEOREMAS DOS VALORES INICIAL E FINAL
O valor de uma função f(t) quando t→∞, ou seja, )(lim)( tfy t ∞→=∞ pode ser 
determinado, no domínio de Laplace com Re(s)≥0 (parte real de s) para todo s, pela 
expressão:
)(lim)(
0
ssFy
s→
=∞
Da mesma forma o valor inicial de uma função f(t) quando t→0, ou seja, 
)(lim)0(
0
tfy
t →
= pode ser determinado, no domínio de Laplace, pela expressão:
)(lim)0( ssFy
s ∞→
=
Obs.: Re (s) ≥ 0 para todo s é a condição para que a função sF(s) seja contínua. Caso a 
função não seja limitada, no domínio do tempo, o teorema não pode ser aplicado. 
Observa-se isto se, ao menos, uma das raízes do denominador de F(s) for positiva ou for 
um número complexo com parte real nula e parte imaginária positiva ou for um número 
complexo com parte real positiva e parte imaginária com qualquer sinal. Estes teoremas 
não podem ser aplicados se f(t) não for assintótica.
4.5TRANSLAÇÃO DA FUNÇÃO NO TEMPO 
A translação do tempo (time delay) consiste em um atraso no aparecimento da 
resposta de uma função após um estímulo (entrada). Em engenharia de processos é, 
mais comumente, referida como tempo morto (dead time). O tempo morto, na maioria 
dos processos químicos, é caracterizado pelo atraso de transporte resultante do 
escoamento de fluidos em tubos. 
Matematicamente, uma função f(t) atrasada no tempo em θ unidades de tempo 
pode ser representada por:
g(t)=f(t-θ)S(t-θ)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
52
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
Onde: S é a função degrau definida como S(t-θ)=0 para t<θ e S(t-θ)=1 para t≥θ
Assim a transformada de f(t-θ) fica:
L(g(t))=L(f(t-θ)S(t-θ))=e-θsF(s)
4.6TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
De forma diferente da translação no tempo, a translação da transformada aparece 
no domínio de Laplace e não possui o mesmo significado. A translação da transformada 
é o resultado da existência de funções exponenciais no domínio do tempo. Ou seja:
L(e-atf(t))= F(s+a)
Esta definição é extremamente útil na determinação da transformada inversa. Por 
exemplo: determinar a transformada inversa de 2)(
1)(
as
sF
+
= .
Solução: 
( ) 



+
=
−−
2
11
)(
1)(
as
LsFL
Da tabela:
f(t) F(s)
(tn-1e-bt)/(n-1)! 
nbs )(
1
+
Assim:
f(t)= (t2-1e-at)/1!
f(t)= te-at
O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada:
te
as
Lentãot
s
Lse at−−− =



+
=



2
1
2
1
)(
1
)(
1
De forma semelhante, quando no domínio do tempo aparece e-atf(t) a 
transformada deste produto pode ser obtida a partir da transformada de f(t), L(f(t)), 
fazendo s=s+a no domínio de Laplace. Por exemplo: 
Determinar a transformada de f(t)= e-atsin(ωt).
Solução: 
( ) ( ))sen()( teLtfL at ω−=
Da tabela:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
53
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
f(t) F(s)
e-a/tsen(ωt)
22)( ω
ω
++ as
Assim:
F(s)= 22)( ω
ω
++ as
O mesmo resultado seria obtido pela translação da transformada:
( )
( ) 22
22
)(
)sen(
)sen(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
++
=
+=
+
=
−
as
teL
assfazer
então
s
tLse
at
Outro exemplo:
18,0
3)( 2 ++
=
ss
sY
Vamos alterar a forma do denominador da equação completando o quadrado da equação 
do segundo grau:
4,0
222 84,0
3
84,0)4,0(
3
18,0
3)(
+→+
=
++
=
++
=
ssssss
sY




+
=
−−
84,0
84,0
84,0
3)( 2
14,0
s
Lety t
sen(ωt)
22 ω
ω
+s
))84,0((
84,0
3)( 4,0 tsenety t−=
4.7COMO OPERAR A TRANSFORMA INVERSA
Dado que uma função F(s) pode ser separada em funções parciais na forma 
F(s)=F1(s) + F2(s)+...+Fn(s), a transformada inversa de Laplace pode ser obtida a partir 
das transformas das funções ou frações parciais, ou seja:
F(s) =F1(s) + F2(s)+...+Fn(s)
L-1(F(s))= L-1(F1(s)) + L-1(F2(s))+...+ L-1(Fn(s))
f(t)= f1(t) + f2(t) +...+ fn(t)
- Marcos Marcelino Mazzucco -
54
INTRODUÇÃO AO CONTROLE DE PROCESSOS QUÍMICOS
O seguinte algoritmo representa a inversão da transformada:
algoritmo inversão
 <<Expandir a função F(s) em uma série de frações parciais>>
 <<Determinar todas as constantes da série de frações parciais>>
 <<Determinar a transformada inversa de cada uma das frações parciais>>
 <<Compor a função no domínio do tempo>>
fim
Problemas de controle de processos envolvem, freqüentemente, problemas na 
forma chamada zero-pólo:
∏
∏
=
=
−
−
== N
n
n
M
m
m
ps
zsK
1
1
)(
)(
P(s)
Z(s)F(s) ; com N≥M
Para este modelo as frações parciais podem ser obtidas de acordo com os pólos (raízes 
do denominador) da equação.
4.7.1 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS PARA POLINÔMIOS COM RAÍZES DISTINTAS
Para raízes distintas, reais ou complexas a seguinte expansão pode ser realizada:
∑
∏
∏
=
=
= 



−
=
−
−
==
N
n n
n
N
n
n
M
m
m
ps
c
ps
zsK
1
1
1
)(
)(
P(s)
Z(s)F(s)
Ex.: determinar a transformada inversa da função F(s)=(s+1)/[(s+2)(s+3)].
A expansão em frações parciais fica:
32)3)(2(
)1(F(s) 21
+
+
+
=
++
+
=
s
c
s
c
ss
s
Para determinar as constantes c1 e c2 pode-se utilizar três métodos:
1°Método-Multiplicação/Inspeção: Multiplicar os dois lados da equação pelo denominador 
no lado esquerdo da equação:
)3)(2(
32)3)(2(
)3)(2)(1( 21 ++


+
+
+
=
++
+++ ss
s
c
s
c
ss
sss
)2()3()1( 21 +++=+ scscs
)23()(1 2121 ccsccs +++=+
Comparando os coeficientes dos dois termos da equação:
- Marcos Marcelino Mazzucco -
55
INTRODUÇÃO AO CONTROLE