bio_aula04

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Introdução à BioestatísticaIntrodução à Bioestatística
Marcelo Azevedo Costa
Depto. Estatística – UFMG
http://www.est.ufmg.br/~azevedo/
Árvore de Probabilidade
A
B
A
B
A
B
)A(P
)B(P
)A|A(P
)A|B(P
)B|A(P
)B|B(P
)AA( ∩P
)BA( ∩P
)AB( ∩P
)BB( ∩P
)B()B|A()BA( PPP ⋅=∩
2
Passos para Resolver um Problema 
envolvendo Probabilidades
1. Procure identificar os eventos envolvidos
2. Procure identificar as relações entre os 
eventos envolvidos
3. Procure identificar as probabilidade 
informadas no problema
4. Procure identificar a probabilidade solicitada.
5. Resolva o problema
Teorema de Bayes
Suponha que os eventos C1, C2, ..., Ck formem uma 
partição de Ω e que suas probabilidades sejam conhecidas. 
Suponha ainda que para um evento A, se conheçam as 
probabilidade P(A|Ci) para todo i = 1, 2, ..., k. Então, para 
qualquer j:
.,,2,1,
)C()C|A(
)C()C|A()A|C(
1
kj
PP
PP
P k
i
ii
jj
j K=
⋅
⋅
=
∑
=
3
Exercício 1
Uma escola do ensino médio do interior de 
São Paulo tem 40% de estudantes do sexo 
masculino. Entre estes, 20% nunca viram o 
mar, ao passo que entre as meninas essa 
porcentagem é de 50%. Qual a probabilidade 
de que um aluno selecionado ao acaso seja 
do sexo masculino e nunca tenha visto o 
mar?
Exercício 2
Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia, com 
idade acima de 40 anos, 60% são ou foram casadas e 
40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade de ter 
tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, 
enquanto que para as demais essa probabilidade 
aumenta para 30%. 
1. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao 
acaso ter tido um distúrbio hormonal.
2. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual 
a probabilidade de ser solteira.
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Exercício 3
Você entrega a seu amigo uma carta, destinada à 
sua namorada, para ser colocada no correio. 
Entretanto, ele pode esquecer com probabilidade 
0,1. Se não esquecer, a probabilidade de que o 
correio extravie a carta é de 0,1. Finalmente, se 
foi enviada pelo correio a probabilidade de que a 
namorada não receba é de 0,1. 
Sua namorada não recebeu a carta, qual a 
probabilidade de seu amigo ter esquecido de 
colocá-la no correio?
Desafio
� Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A 
probabilidade de congestionamento na estrada é de 0,6. 
Havendo congestionamento, a probabilidade de seus dois filhos 
brigarem no carro é de 0,8 e, sem congestionamento, a briga 
pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando há briga, com ou 
sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a 
paciência com os filhos é de 0,7. É claro que havendo 
congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos 
mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade 0,5. 
Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige 
tranquilo e não perde a paciência. Determine a probabilidade de:
� Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a 
paciência com seus filhos.
� Ter havido briga, dado que perdeu a paciência
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Dados genéricos de um teste clínico
“Para a determinação do grau de confiabilidade de um 
teste diagnóstico, o pesquisador utiliza-o primeiramente 
em dois grupos muito específicos de pessoas: um 
portador da doença perfeitamente caracterizada e outro 
de pacientes sem a doença.”
Doença Positivo Negativo Total
Presente a b n1 = a + b
Ausente c d n2 = c + d
Total a+c b+d n = n1 + n2
Teste
Sensibilidade/Especificidade
� Eventos
� T+ : teste positivo
� T
-
: teste negativo
� D+ : indivíduo portador da doença
� D
-
: indivíduo não portador da doença 
)|( ++= DTPs
Sensibilidade do TesteSensibilidade do Teste Especificidade do TesteEspecificidade do Teste
)|(
−−
= DTPe
6
Definições:
�� SensibilidadeSensibilidade: é a probabilidade de um resultados positivo de um 
teste, dado que o indivíduo testado realmente tem a doença.
�� EspecificidadeEspecificidade: é a probabilidade de um resultado negativo de um 
teste, dado que o indivíduo testado realmente NÃO tem a doença.
�� Falso negativoFalso negativo: quando o teste indica incorretamente que o indivíduo 
NÃO tem a doença
�� Falso positivoFalso positivo: quando o teste indica incorretamente que o indivíduo 
TEM a doença
)|( ++ DTP
)|(
−−
DTP
)|( +− DTP
)|(
−+ DTP
ComentárioComentário
� A probabilidade de doença dado um 
resultado positivo de teste é chamado valor 
preditivo.
)()|()()|(
)()|()|(
−−++++
+++
++
⋅+⋅
⋅
=
DPDTPDPDTP
DPDTP
TDP
Sensibilidade Prevalência
Prevalência 1 - Especificidade
7
Comentário (b)Comentário (b)
� Valor Preditivo.
[ ] )()|(1)()|(
)()|()|(
−−−+++
+++
++
⋅−+⋅
⋅
=
DPDTPDPDTP
DPDTPTDP
( ) )(1)(
)()|(
−+
+
++
⋅−+⋅
⋅
=
DPeDPs
DPs
TDP
Sensibilidade / EspecificidadeSensibilidade / Especificidade
Doença Positivo Negativo Total
Presente a b n1 = a + b
Ausente c d n2 = c + d
Total a+c b+d n = n1 + n2
TesteSensibilidadeSensibilidade
EspecificidadeEspecificidadeFalso PositivoFalso Positivo
Falso Negativo
ba
aDTP
+
=++ )|( dc
dDTP
+
=
−−
)|(
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Exemplo Exemplo Sensibilidade/EspecificidadeSensibilidade/Especificidade
� Foi feita uma avaliação para câncer de próstata em 300 
homens hospitalizados devido a sintomas de obstrução 
urinária. Um novo teste foi realizado. Os resultados do 
novo exame e da biópsia são apresentados a seguir:
Resultado
da biópsia Positivo Negativo Total
Presente 48 21 69
Ausente 25 206 231
Total 73 227 300
Resultado do exame digital
Aplicações do Teorema de Aplicações do Teorema de BayesBayes
� Um médico desconfia que um paciente tem 
tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% 
dos casos similares que tratou. Se o paciente 
de fato tiver o tumor, o exame ultra-som o 
detectará com probabilidade 0,9. Entretanto, 
se ele não tiver o tumor, o exame pode, 
erroneamente, indicar que tem com 
probabilidade 0,1. Se o exame detectou um 
tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-
lo de fato?
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Combinação de testes: 
Combinação em paralelo (sensibilidade)
� O resultado do teste será 
considerado positivo se 
pelo menos um dos teste 
apresentar positivo. É de 
maior utilidade em casos de 
urgência.
Teste em
paralelo
- - -
- + +
+ - +
+ + +
Teste A Teste B
)D|BA()D|T( P +++++ ∪= PP
)D|BA()D|B()D|A()D|T( P +++++++++ ∩−+= PPPP
BABAP sssss ×−+=
Combinação de testes: 
Combinação em paralelo (especificidade)
Teste em
paralelo
- - -
- + +
+ - +
+ + +
Teste A Teste B
)D|BA()D|T( P −−−−− ∩= PP
)D|B()D|A()D|T( P −−−−−− ×= PPP
BAP eee ×=
� Pode-se calcular a 
especificidade de um teste 
em paralelo admitindo-se 
que os resultados dos dois 
testes são independentes
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Interpretação visual da combinação Interpretação visual da combinação 
em paralelo em paralelo 
Teste em
paralelo
- - -
- + +
+ - +
+ + +
Teste A Teste B
Doentes
Não Doentes
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ +
-
-
- -
-
- +
+
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
- +
+
+
+
+
+
( ) )(1)(
)()|(
−+
+
++
⋅−+⋅
⋅
=
DPeDPs
DPsTDP
Combinação de testes: 
Combinação em série
� Os testes são aplicados consecutivamente, sendo o segundo 
aplicado apenas se o primeiro apresentar resultado positivo. 
Esse procedimento é indicado em situações onde não há 
necessidade de rápido atendimento e quando o paciente 
poder ser acompanhado ao longo do tempo.
Teste em
paralelo
- desnecessário -
+ - -
+ + +
Teste A Teste B Série
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Combinação de testes: 
Combinação em série (sensibilidade/especificidade)
Teste em
paralelo
- desnecessário -
+ - -+ + +
Teste A Teste B
)D|B()D|A()D|BA()D|T( S +++++++++ ×=∩= PPPP
BAS sss ×=
BABAS eeeee ×−+=
)D|BA()D|B()D|A()D|T( S −−−−−−−−− ∩−+= PPPP
Exercício 15, pág. 143 (Exercício 15, pág. 143 (P&GP&G))
� Os dados seguintes são tomados de um estudo que investiga o uso de 
uma técnica chamada ventriculografia radionuclídica como teste de 
diagnóstico para se detectar doença da artéria coronária.
� Qual a sensibilidade da ventriculografia radionuclídica nesse estudo? Qual a 
sua especificidade?
� Para uma população cuja prevalência da doença da artéria seja 0,10, 
calcule a probabilidade de que um indivíduo tenha a doença sendo que ele 
apresenta resultado positivo usando a ventriculografia radionuclídica.
� Qual o valor preditivo de um teste negativo?
Presente Ausente
Positivo 302 80 382
Negativo 179 372 551
TOTAL 481 452 933
TESTE Doença TOTAL
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Risco RelativoRisco Relativo
� Em uma amostra de 4.540 mulheres que deram à luz 
seus primeiros filhos antes de 25 anos, 65 
desenvolveram o câncer de mama (Grupo 1). Das 1.628 
mulheres que deram à luz com 25 anos ou mais velhas, 
31 foram diagnosticadas com câncer de mama (Grupo 
2). Vamos assumir que os números são Vamos assumir que os números são 
suficientemente grandes para satisfazerem a suficientemente grandes para satisfazerem a 
definição definição frequentistafrequentista de probabilidadede probabilidade.
O Risco Relativo é extremamente útil quando 
queremos comparar as probabilidades de doença em 
dois diferentes grupos ou situação.
Risco RelativoRisco Relativo
�� DefiniçãoDefinição: É a probabilidade de doença no grupo de 
maior prevalência, dividida pela probabilidade de 
doença no grupo de menor prevalência (da doença).
)1|(
)2|(
GrupoDP
GrupoDP
RR
+
+
=
33,1
540.4/65
628.1/31
==RR
As mulheres que deram à luz pela primeira 
vez em idade mais avançada têm 33% 
mais probabilidade de desenvolver o 
câncer de mama do que as mulheres que 
deram à luz mais jovens.
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Outro exemplo:Outro exemplo:
� Nos Estados Unidos, por exemplo, a probabilidade 
de um homem acima de 35 anos morrer de câncer 
de pulmão é de 0,002679 para os atualmente 
fumantes e de 0,000154 para os não fumantes. O 
risco relativo de morte para fumantes versus não-
fumantes é:
4,17
000154.0
002679,0
==RR