apostila_controle1_ Matlab

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL
DO PARANA´
CURSO DE ENGENHARIA ELETROˆNICA
APOSTILA DE CONTROLE I
PAULO ROBERTO BRERO DE CAMPOS
Curitiba, outubro de 2010
ii
Suma´rio
Lista de Figuras vii
Lista de Tabelas x
1 Introduc¸a˜o aos Sistemas de Controle 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Caracter´ısticas dos sistemas realimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Modelamento de um sistema mecaˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Aplicac¸a˜o da 2a lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.2 Princ´ıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.3 Elementos mecaˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Ana´lise de resposta transito´ria para sistemas de primeira e segunda
ordem 9
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Definic¸a˜o da constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Definic¸a˜o de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com
ξ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Especificac¸o˜es de Resposta transito´ria para sistemas de segunda ordem . . 14
2.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
iii
2.8 Resposta transito´ria para sistemas de segunda ordem, para um degrau
unita´rio na entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Efeito dos zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Resposta natural e resposta forc¸ada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Erro em regime permanente em sistema de controle com realimentac¸a˜o
unita´ria 19
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Tipo do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Ganho Esta´tico (ganho DC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Constantes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Erro em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Resumo do erro em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Ana´lise no lugar das ra´ızes 25
4.0.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Projeto pelo Lugar das Ra´ızes 35
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Informac¸o˜es teo´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2.1 Considerac¸o˜es preliminares de projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Tipos de compensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador . . . . . . . . . . . 37
5.2.4 Compensac¸a˜o por atraso de fase (LAG) . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.5 Compensac¸a˜o por avanc¸o de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.6 Exemplos de lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Diagramas de Bode 43
6.0.7 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iv
7 Projeto por BODE 51
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Projeto por BODE utilizando o compensador atraso de fase (lag) . . . . . 51
7.3 Projeto por BODE utilizando o compensador avanc¸o de fase (lead) . . . . 53
7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Linearizac¸a˜o 57
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Aproximac¸a˜o linear de modelos na˜o lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.1 Para duas varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Diagramas de Nyquist 61
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.2 Qual o objetivo do me´todo de Nyquist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 No que se baseia o crite´rio de Nyquist? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.4 Princ´ıpio do argumento ou teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.5 Crite´rio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.7 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10 Sintonia do compensador PID 69
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.2 Informac¸o˜es teo´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.3 Representac¸o˜es do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.3.1 Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas cont´ınuos 71
10.3.2 Construc¸a˜o do bloco derivativo puro D . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.4 Resumo das caracter´ısticas do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11 Projeto do compensador PID no lugar das ra´ızes 77
11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.2 Informac¸o˜es teo´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
v
11.3 Caracter´ısticas do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.4 Projeto do compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.4.1 Revisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4.2 Compensador PD - proporcional derivativo . . . . . . . . . . . . . . 80
11.4.3 Compensador PI - proporcional integral . . . . . . . . . . . . . . . 82
I Apeˆndice 85
A Experimento sobre identificac¸a˜o do po´lo mecaˆnico de um motor CC 87
A.0.4 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Experimento sobre identificac¸a˜o de um sistema te´rmico 91
B.0.5 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C Experimento: controle de velocidade de um motor DC 97
C.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C.2 O sistema a controlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
C.3 Procedimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.3.1 Montagem do amplificador de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.3.2 Projeto e montagem do compensador Proporcional . . . . . . . . . 98
C.4 Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C.4.1 Protec¸a˜o do transistor de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D Transformadade Laplace 101
D.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.2 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.3 Teoremas da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
D.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-transformada) . . . . . . . . . . . . 105
D.4.1 Expansa˜o em frac¸o˜es parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
D.5 Plano complexo – mapa po´los-zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
D.6 Interpretac¸a˜o gra´fica dos coeficientes da expansa˜o em frac¸o˜es parciais . . . 109
vi
Lista de Figuras
1.1 Controle de temperatura manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta com perturbac¸a˜o . . . . . . . . . 3
1.3 Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Sistemas esta´veis e insta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sistema mecaˆnico, com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Sistema mecaˆnico, sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Mola linear, sendo y=deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9 Sistema massa-mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.10 Sistema massa-mola, sujeito a forc¸a externa f . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Resposta de um sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem . . . . . . . . . 17
2.6 Diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Diagrama em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Erro em regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Erro em regime para entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Erro em regime para diversos tipos de entradas . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1 Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Compensac¸a˜o atrair o lugar das ra´ızes mais para a esquerda . . . . . . . . 38
vii
5.3 Compensac¸a˜o atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Compensac¸a˜o avanc¸o de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5 Exemplos de lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.1 Projeto do compensador atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Projeto do compensador avanc¸o de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.1 Func¸a˜o na˜o-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1 Percurso fechado no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.2 Percurso fechado no plano GH(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.3 Percurso fechado no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4 a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano GH(s) . . . . 63
9.5 Fase dentro e fora do contorno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.6 Fase dentro e fora do contorno C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.7 Contorno fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.8 Envolvimento do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.9 Direc¸a˜o do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.10 Direc¸a˜o do contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.1 Estrutura de um compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.2 Sistema realimentado com PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.3 Taxa de decaimento da resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.4 Curva em forma de S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.5 Resposta para um sistema integrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.6 Em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11.1 Estrutura de um compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.2 Sistema realimentado com PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.3 Po´los complexos no plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.4 Localizac¸a˜o dos po´los em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.5 Sistema com compensador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.6 Crite´rio de mo´dulo e de fase compensador PD . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.7 Crite´rio de mo´dulo e de fase compensador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
viii
C.1 Amplificador de poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.2 Sistema de controle com compensador proporcional . . . . . . . . . . . . . 99
C.3 TL071 e TL072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
C.4 Circuito snubber para protec¸a˜o dos transistores . . . . . . . . . . . . . . . 100
D.1 Filtro passa-baixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
D.2 Po´los complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.3 Plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.4 Interpretac¸a˜o gra´fica para ca´lculo de A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.5 Interpretac¸a˜o gra´fica para ca´lculo de A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ix
x
Lista de Tabelas
10.1 Regras Ziegler-Nichols para sistemas na˜o integrativos . . . . . . . . . . . . 72
10.2 Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.3 Regras Ziegler-Nichols em malha fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.4 Resumo das ac¸o˜es do PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
xi
xii
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o aos Sistemas de Controle
1.1 Introduc¸a˜o
Controle e´ o ato de exercer comando sobre uma varia´vel de um sistema para que
esta varia´vel siga um determinado valor, chamado valor de refereˆncia. Um sistema
projetado para seguir um valor de refereˆncia que se altera continuamente e´ chamado servo
ou controle de rastreamento. Um sistema projetado para manter uma sa´ıda em um valor
fixado, independente de perturbac¸o˜es que possam ocorrer, e´ chamado um regulador ou
um controle de regulac¸a˜o.
Na figura 1.1 e´ mostrado como e´ realizado o controle de temperatura de um ambiente de
forma manual. Um operador fica continuamente verificando a temperatura do ambiente,
atrave´s de um medidor, e ajusta a tensa˜o aplicada no aquecedor ele´trico, para aumentar
ou diminuir a poteˆncia aplicada a` resisteˆncia ele´trica do aquecedor e com isto aumentar
ou diminuir a temperatura do ambiente.
Figura 1.1: Controle de temperatura manual
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 2
Os sistemas de controle sa˜o projetados para desempenhar tarefas espec´ıficas, sendo
que os requisitos impostos aos sistemas de controle sa˜o chamados de especificac¸o˜es de
desempenho. Estas especificac¸o˜es podem ser relativas a` estabilidade, velocidade de
resposta, etc.
Nesta apostila sera˜o vistos os conceitos iniciais para se compreender e analisar um
sistemade controle.
1.2 Definic¸o˜es
Realimentac¸a˜o (feedback) – tambe´m conhecido como retro-alimentac¸a˜o. Procedi-
mento atrave´s do qual parte do sinal de sa´ıda e´ transferida para a entrada, com o objetivo
de controlar a sa´ıda.
Sistema de Controle – e´ um conjunto de componentes f´ısicos conectados ou relaci-
onados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmo ou a outros sistemas.
Planta – e´ qualquer objeto f´ısico a ser controlador. Exemplo: um motor DC.
Processo – sequeˆncia de fatos ou operac¸o˜es que apresentam certa unidade. Pode ser
conceituado como qualquer operac¸a˜o a ser controlada. Exemplos: processos qu´ımicos,
processos econoˆmicos, processos biolo´gicos. Um processo possui uma entrada, uma sa´ıda
e realiza uma determinada operac¸a˜o. Assim os termos Planta e Processo podem ser
utilizados como sinoˆnimos, mas Processo e´ sempre mais abrangente que Planta.
Sistema – e´ uma combinac¸a˜o de componentes que atuam em conjunto e realizam um
determinado objetivo. O conceito de sistemas pode ser aplicado a` fenoˆmenos abstratos,
dinaˆmicos, tais como os encontrados em economia.
Perturbac¸a˜o (ou distu´rbio) – e´ um sinal que tende a afetar de forma adversa o valor
da sa´ıda do sistema. A perturbac¸a˜o pode afetar qualquer parte de um sistema. Na figura
1.2 e´ mostrado uma perturbac¸a˜o na sa´ıda do sistema.
Sistema de controle em malha aberta – um sistema em que a sa´ıda na˜o tem
nenhum efeito sobre a ac¸a˜o de controle. O sistema na˜o faz medic¸o˜es da sa´ıda e na˜o ha´
correc¸a˜o do sinal atuante para que a sa´ıda seja ajustada conforme o sinal de entrada. O
sistema da figura 1.2 e´ um sistema em malha aberta.
Sistema de controle realimentado (malha fechada) – e´ um sistema que mante´m
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 3
R(s)- C(s) -����Y(s)-
+
D(s)
+ ?
Figura 1.2: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta com perturbac¸a˜o
uma relac¸a˜o prescrita entre a sa´ıda e alguma entrada de refereˆncia comparando-as e uti-
lizando a diferenc¸a como um meio de controle.
Um sistema em malha fechada e´ representado pelo diagrama de blocos da figura 3.1.
O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser controlado. O bloco H(s) representa o
transdutor que fara´ a leitura da sa´ıda do sistema. O bloco C(s) representa o compensador
ou controlador, acrescentado para alterar alguma caracter´ıstica do sistema em malha
fechada.
–
+R(s) Y(s)-����- K C(s) -����-
?
D(s)
+ G(s) -
ffH(s)ff
6
Figura 1.3: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada
Servossistema – e´ um sistema de controle realimentado em que a sa´ıda e´ alguma
posic¸a˜o mecaˆnica, velocidade ou acelerac¸a˜o. O termo servossistema e´ normalmente usado
para indicar um sistema de controle de posic¸a˜o.
Sistema regulador automa´tico (regulador) – e´ um sistema de controle realimentado
em que a entrada de refereˆncia (ou a sa´ıda desejada) e´ constante ou varia lentamente com
o tempo e que a tarefa principal consiste em manter a sa´ıda real no valor desejado na
presenc¸a de perturbac¸o˜es.
Sistema de controle de processos – e´ um sistema regulador automa´tico em que a
sa´ıda e´ uma varia´vel, tal como: pressa˜o, temperatura, fluxo, n´ıvel de l´ıquido, PH, etc.
Exerc´ıcios:
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1) Explique o que significam: a) Set-point (valor de refereˆncia); b) Sinal atuante; c)
Varia´vel manipulada; c) Varia´vel controlada; d) erro; e) off-set; f) tempo morto;
2) Qual o objetivo de se fazer o controle realimentado?
3) Qual a diferenc¸a entre servomecanismo e regulador?
4) O que significam representac¸a˜o nominal e representac¸a˜o real da planta?
1.3 Caracter´ısticas dos sistemas realimentados
Vantagens:
1. Menor sensibilidade a variac¸o˜es nas caracter´ısticas dos sistema.
2. Aumento da largura de faixa
3. Exatida˜o aumentada - capacidade de reproduzir a entrada com fidelidade.
4. Reduc¸a˜o do efeito de na˜o-linearidades e distorc¸o˜es.
5. Permite estabilizar sistemas que sejam insta´veis em malha aberta.
Desvantagem:
1. Instabilidade - tendeˆncia para oscilac¸a˜o.
O objetivo da disciplina de controle I e´ inicialmente estudar como representar
matematicamente o processo (planta) a ser estudado. Em seguida analisar se o sistema
em malha fechada e´ esta´vel ou na˜o, e o que pode ser feito para estabiliza´-lo de forma a
obter determinados tipos de respostas.
1.4 Estabilidade
Diremos que um sistema sera´ esta´vel se a aplicac¸a˜o de um sinal de entrada limitado
resultar em um sinal limitado na sa´ıda, como mostrado nos dois primeiros gra´ficos da
figura 1.4. Note que apesar da sa´ıda do segundo sistema ser oscilato´ria, ela ainda e´
limitada. Este tipo de sistema e´ dito ser marginalmente esta´vel. Nos dois u´ltimos gra´ficos
da figura 1.4 sa˜o mostrados dois exemplos de sistemas insta´veis.
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Figura 1.4: Sistemas esta´veis e insta´veis
1.5 Modelamento de um sistema mecaˆnico
Um sistema de controle sera´ u´til apenas se for esta´vel. Deve-se enta˜o buscar alguma
forma de estudar a estabilidade de um sistema de controle. Conhecer um sistema e´
conhecer cada um dos elementos que compo˜e o sistema de controle. Uma maneira de se
obter isto e´ atrave´s do estudo das relac¸o˜es dinaˆmicas que definem o comportamento de
cada elemento. Para isto e´ necessa´rio fazer o modelamento matema´tico de cada elemento.
O modelo matema´tico de um sistema dinaˆmico e´ definido como um conjunto de
equac¸o˜es que representam a dinaˆmica do sistema precisamente, ou pelo menos, sensivel-
mente bem.
A dinaˆmica de um sistema, seja ele´trico, mecaˆnico, te´rmico, econoˆmico, biolo´gico, pode
ser descrita em termos de Equac¸o˜es diferenciais.
Estas equac¸o˜es podem ser obtidas utilizando-se as leis f´ısicas que governam um sistema
particular, por exemplo: leis de Newton para sistemas mecaˆnicos, leis de Kirchoff para
sistemas ele´tricos, etc.
A resposta de um sistema dinaˆmico a uma determinada entrada pode ser obtida se as
equac¸o˜es diferenciais envolvidas forem resolvidas.
1.5.1 Aplicac¸a˜o da 2a lei de Newton
Considere o sistema mostrado na figura 1.5.
Um bloco de massa M esta´ se movendo em uma superf´ıcie horizontal sob a influeˆncia
de uma forc¸a externa F , sofrendo o impedimento de uma forc¸a de atrito D(v), que e´
func¸a˜o da velocidade.
Da segunda Lei de Newton:
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Figura 1.5: Sistema mecaˆnico, com atrito
∑
F = ma e a = dv
dt
Como o atrito se opo˜e a` forc¸a F : F −D(v) = M dv
dt
dv
dt
= F
M
− D(v)
M
Estas equac¸o˜es definem o movimento da massa.
1.5.2 Princ´ıpio de D’Alembert
Em qualquer instante um corpo em movimento esta´ em equil´ıbrio dinaˆmico, ou seja, a
soma de todas as forc¸as que agem sobre o mesmo e´ nula (incluindo a forc¸a de ine´rcia que
sempre se opo˜e a` acelerac¸a˜o).
Exemplo: considere o bloco de massa M se movendo em uma superf´ıcie sem atrito, sob
a influeˆncia de uma forc¸a externa f(t), como mostrado na figura 1.6. Para este sistema o
somato´rio de forc¸as e´ dado por:
f(t) = My¨ = Mv˙ = Ma
Figura 1.6: Sistema mecaˆnico, sem atrito
1.5.3 Elementos mecaˆnicos
Massa (M) – armazena energia cine´tica (e´ um elemento ana´logo a` indutaˆncia). Uni-
dade [Kg]
Mola linear (k)– armazena energia potencial (e´ um elemento ana´logo ao capacitor).
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Caracterizado pela constante de elasticidade da mola (k), tambe´m denominada rigi-
dez da mola. A forc¸a da mola depende do seu deslocamento: f(t) = ky(t). O desenho da
mola e´ mostrado na figura 5.1.
Amortecedor (b) – e´ um componente que resiste a` velocidade imposta. Ele dissipa
energia:f(t) = by˙(t). O desenho do amortecedor e´ mostrado na figura 1.8.
?
y
H�H�H�
?
f(t)
Figura 1.7: Mola linear, sendo y=deslocamento
-y
- f(t)
Figura 1.8: Amortecedor
Exemplo 1: Considere um sistema massa-mola, em que inicialmente em repouso a
mola tem um comprimento y0. Isto e´ mostrado no primeiro desenho da figura 1.9. No
segundo desenho, a massa e´ solta e o sistema atinge um equil´ıbrio esta´tico. No terceiro
desenho e´ mostrado o equil´ıbrio de forc¸as.
Exemplo 2: Neste sistema sera´ aplicada uma forc¸a externa f a` massa. As forc¸as
presentes neste sistema sa˜o mostradas na figura 1.10.
Lembrando que no equil´ıbrio esta´tico, o sistema estaria na posic¸a˜o y0 + y. Devido a`
forc¸a f o sistema se desloca x1 = x+ y.
O equil´ıbrio de forc¸as resulta em: f +Mg −Mx¨1 −Kx1 = 0
Substituindo x1 = x+ y, obtem-se:
f +Mg −Mx¨−Kx−Ky = 0, sendo que ky = Mg.
Resultando enta˜o: f +Mg −Mx¨−Kx−Mg = 0, finalmente chega-se a:
f = Mx¨+Kx
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?
y0H�H�H�
M
?
y0
?
y(t)
H�H�H�H�
M
Equil´ıbrio esta´tico
?
P = Mg
M
6
ky
Mg=ky
Figura 1.9: Sistema massa-mola.
?
y0
?
x1
?
y
Ponto de equil´ıbrio
esta´tico
ff
?
x
H�H�H�H�
M
?f ?P = Mg
?
Mg
?
f
M
6
kx1
6
Mx¨1
Figura 1.10: Sistema massa-mola, sujeito a forc¸a externa f
A forc¸a da gravidade age da mesma forma em qualquer ponto, por isto acaba sendo
simplificada.
Por esta raza˜o, sempre os sistema mecaˆnicos sera˜o equacionados em relac¸a˜o a` posic¸a˜o
de equil´ıbrio esta´tico.
Cap´ıtulo 2
Ana´lise de resposta transito´ria para
sistemas de primeira e segunda
ordem
2.1 Introduc¸a˜o
Nesta apostila sera˜o estudadas as respostas transito´rias de sistemas de primeira e
segunda ordem, analisadas no domı´nio do tempo.
No estudo dos sistemas de controle, as equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem
e segunda ordem sa˜o muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem
ser aproximados para estes tipos de sistemas.
2.2 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
C(s)
R(s)
= 1
Ts+1
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
R(s) - 1
Ts+1
-C(s)
Figura 2.1: Diagrama em blocos
Uma maneira de se analisar uma func¸a˜o de transfereˆncia e´ aplicar um degrau unita´rio
na entrada e observar a resposta na sa´ıda. Sendo o degrau unita´rio R(s) = 1
s
, a resposta
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sera´ dada por:
C(s) = 1
Ts+1
R(s) = 1
Ts+1
1
s
Separando em frac¸o˜es parciais, obte´m-se:
C(s) = A
Ts+1
+ B
s
= −T
Ts+1
+ 1
s
= 1
s
− 1
s+ 1
T
Calculando a transformada inversa, obte´m-se:
c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
t
c(
t)
Substituindo t por valores mu´ltiplos da constante de tempo, tem-se:
para t = 0, c(t) = 0
para t = T , c(t) = 0, 632
para t = 2T , c(t) = 0, 865
para t = 3T , c(t) = 0, 950, que e´ a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
para t = 4T , c(t) = 0, 982, que e´ a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
para t = 5T , c(t) = 0, 993, que e´ a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
2.3 Definic¸a˜o da constante de tempo
Ja´ foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau e´
dada por:
c(t) = 1− e− tτ
O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 e´ definido como uma Constante
de tempo.
Assim: −t
τ
= −1 enta˜o t = τ . Assim τ =constante de tempo.
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A partir da func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) = 1
τs+1
=
1
τ
s+ 1
τ
Na func¸a˜o de transfereˆncia, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola
o termo em s, obtem-se 1
τ
=po´lo. Enta˜o o po´lo e´ o inverso da constante de tempo.
Exemplo: Considerando a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) = 100
s+20
:
a) Calcule o valor do po´lo: o po´lo e´ o valor de s que faz a func¸a˜o tender ao infinito,
enta˜o po´lo=s=-20 rad/s.
b) Calcule a constante de tempo: pela definic¸a˜o, constante de tempo = τ = 1
20
= 0, 05s
c) Calcule o valor final da sa´ıda, aplicando o Teorema do Valor final:
f(∞) = lim
t→∞ f(t) = lims→0 sF (s) = lims→0 s
100
s+ 20
1
s
= 5
d) Calcule o valor final de sa´ıda, pela resposta no tempo: separando em frac¸o˜es parciais,
obte´m-se:
C(s) = 100
s+20
1
s
= A
s
+ B
s+20
= 5
s
− 5
s+20
Calculando a anti-transformada de Laplace:
c(t) = 5− 5e−20t
Para t =∞, obtem-se c(s) = 5.
e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo e´
obtida como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equac¸a˜o do item
anterior, c(t) = 3, 16.
2.4 Sistemas de segunda ordem
A equac¸a˜o diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem e´ dada por:
d2y(t)
dt2
+ 2ξωn
dy(t)
dt
+ ωn
2y(t) = ωn
2x(t)
A constante ξ e´ chamada Coeficiente de amortecimento (ou raza˜o de amortecimento)
A constante ωn e´ chamada frequeˆncia natural na˜o amortecida.
A transformada de Laplace com condic¸o˜es iniciais nulas e´ dada por:
Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn
2Y (s) = ωn
2X(s)
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
G(s) = Y (s)
X(s)
= ωn
2
s2+2ξωns+ωn2
Os po´los da func¸a˜o sa˜o dados por:
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s = −ξωn ± ωn
√
ξ2 − 1
O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicac¸o˜es de como sera´ a resposta tran-
sito´ria do sistema:
1. Se ξ > 1, o sistema possui dois po´los reais e distintos
2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui po´los complexos conjugados, localizados em: s =
−ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = σ ± jωd
3. Se ξ = 1, o sistema possui duas ra´ızes reais iguais.
onde: σ = taxa de decaimento
ωd = frequeˆncia natural amortecida
Resumo:
a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-cr´ıtico)
b) ξ = 1 – amortecimento cr´ıtico
c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-cr´ıtico)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
t
c(
t)
ξ < 1
ξ = 1
ξ > 1
Para ξ < 1 o lugar geome´trico dos po´los e´ mostrado na figura 11.3.
-
6
@
@
@I
.
.
.
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. .
...
.
.
s = −σ + jωd
Figura 2.2: Plano s
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2.5 Definic¸a˜o de constante de tempo para sistemas
de segunda ordem, com ξ < 1
Neste caso os po´los sa˜o complexos conjugados:
s = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
F (s) = ω
2
n
(s+σ+jωd)(s+σ−jωd)
No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obte´m-se:
f(t) = A1e
(−σ−jωd)t + A2e(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ)
O termo e−σt e´ denominado taxa de decaimento.
Pela definic¸a˜o de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1,
t = 1
σ
= τ , desta forma:
τ = 1
σ
= 1
ξωn
0 20 40 60 80 100 120
−0.5
0
0.5
1
t
c(
t)
Asen(ωdt+ φ)
e(−σt)
2.5.1 Exemplo
Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s:
E(s)- ω2n
s(s+2ξωn)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 2.3: Diagrama em blocos
a) Calcule os po´los em malha fechada:
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b) Calcule a frequeˆncia natural amortecida:
c) Calcule a constante de tempo do sistema
d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe
2.6 Especificac¸o˜es de Resposta transito´ria para siste-
mas de segunda ordem
As caracter´ısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle sa˜o especificadas
em termos de grandezas no domı´nio do tempo.
Sistemas com armazenamento de energia na˜o podem responder instantaneamentee
tera˜o respostas transito´rias sempre que sujeitos a alterac¸o˜es na entrada ou sujeitos a
perturbac¸o˜es.
Frequentemente as caracter´ısticas de desempenho de um sistema de controle sa˜o es-
pecificadas em termos da resposta transito´ria para uma entrada em degrau unita´rio, pois
esta entrada e´ fa´cil de gerar e e´ suficientemente severa.
As seguintes informac¸o˜es sa˜o usadas para especificar a resposta no tempo:
1) Tempo de atraso (delay) – td
2) tempo de subida (rise time) – tr
3) Instante de pico – tp
4) Sobressinal ma´ximo – Mp
5) tempo de acomodac¸a˜o – ts
1) Tempo de atraso (td) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar pela primeira
vez a metade do valor final.
2) Tempo de subida (tr) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta passar de 10% a 90%,
de 5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%.
3) Instante de pico (tp) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar o primeiro
pico do sobressinal.
4) Sobressinal Ma´ximo ( Mp em valor percentual) – e´ o valor de pico da curva de
resposta medido a partir do valor unita´rio, para a sa´ıda padronizada.
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Figura 2.4: Resposta de um sistema de segunda ordem
Se o valor final do regime estaciona´rio de resposta difere da unidade, enta˜o normal-
mente se usa o ma´ximo sobressinal percentual:
Mp(%) = c(tp)−c(∞)
c(∞) 100%
O valor do sobressinal ma´ximo (percentual) fornece indicac¸o˜es da estabilidade relativa
do sistema.
5) Tempo de estabilizac¸a˜o (acomodac¸a˜o) (ts) – e´ o tempo necessa´rio para a curva de
resposta alcanc¸ar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final (normalmente
±1%, ±2% ou ±5%)
O tempo de estabilizac¸a˜o esta´ relacionado com a maior constante de tempo do sistema
de controle.
A escolha de que percentagem usar no crite´rio de erro, pode ser determinada a partir
dos objetivos do projeto do sistema em questa˜o.
Comenta´rios:
Estas especificac¸o˜es sa˜o importantes, pois os sistemas de controle atuam no domı´nio
do tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfato´rias.
E´ deseja´vel que a resposta transito´ria seja suficientemente ra´pida e suficientemente
amortecida.
Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ≤ ξ ≤ 0, 8.
Valores menores que ξ ≤ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que
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ξ ≥ 0, 8, o sistema responde de forma lenta.
2.7 Resumo
1) Rise-time – tempo de subida (tr)
tr(10%−90%) ∼= 0,8+2,5ξωn
2) Tempo de pico e sobressinal (tp e Mp)
tp =
pi
ωd
Mp = e
− piξ√
1−ξ2 (algumas vezes Mp e´ expresso em valores percentuais (exemplo, Mp =
10%), mas na equac¸a˜o deve ser escrito como Mp = 0, 10.
3) Tempo de estabilizac¸a˜o (ts)
ts1% ∼= 4,6σ
ts2% ∼= 4σ
ts5% ∼= 3σ
2.8 Resposta transito´ria para sistemas de segunda
ordem, para um degrau unita´rio na entrada.
A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem.
2.9 Efeito dos zeros
Zeros tem um efeito significante na resposta transito´ria, para sistemas sobre-
amortecidos, especialmente se eles esta˜o pro´ximos a` origem.
2.10 Resposta natural e resposta forc¸ada
Quando um sistema dinaˆmico e´ sujeito a forc¸as externas na sua entrada, a sa´ıda re-
sultante pode ser separada em duas partes: a resposta natural yn(t) e a resposta forc¸ada
yf (t).
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Figura 2.5: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem
A resposta natural e´ definida como a parte da resposta completa que consiste dos
modos naturais do sistema. A resposta forc¸ada consiste de termos adicionais modais que
sa˜o definidos pela entrada u(t).
2.11 Exerc´ıcios
1) Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forc¸ada.
2) Dado os sistemas abaixo, reduza a um u´nico bloco e escreva a func¸a˜o de trans-
fereˆncia.
3) Dada a func¸a˜o de transfereˆncia F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em
malha aberta, sendo R(s) um degrau unita´rio, 2.7, determine:
a) o valor dos po´los e os localize no plano s;
b) tipo de resposta;
c) coeficiente de amortecimento (ξ);
d) frequ¨eˆncia natural na˜o amortecida (ωn) e a frequ¨eˆncia natural amortecida (ωd);
e) Tr, Ts5%, Ts2%, Tp e Mp;
f) constante de tempo.
4) Considere o sistema representado pela func¸a˜o de transfereˆncia que possui um zero
real em s = −1
α
.
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Figura 2.6: Diagramas de blocos
-
9
s2+2s+9 -
Figura 2.7: Diagrama em blocos
G(s) = αω
2
ns+ω
2
n
s2+2ξωns+ω2n
Considerando a resposta no tempo para um degrau unita´rio, analise as respostas para:
a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma func¸a˜o sem zero, α = 0, que
termo que aparece devido ao zero?
5) Fac¸a os exerc´ıcios propostos na apostila ”Efeitos de polos e zeros
na resposta.pdf”que esta´ no site http://pessoal.utfpr.edu.br/brero/controle 1/2 sem
2012/Exercicios/. Estes exerc´ıcios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pontos.
Cap´ıtulo 3
Erro em regime permanente em
sistema de controle com
realimentac¸a˜o unita´ria
Controle 1
Prof. Paulo Roberto Brero de Campos
3.1 Introduc¸a˜o
Um dos objetivos de um sistema de controle e´ que a resposta na sa´ıda siga um deter-
minado sinal de refereˆncia, em regime permanente. A diferenc¸a entre o sinal de sa´ıda e o
sinal de refereˆncia, em regime permanente, e´ definido como erro em regime permanente
(estaciona´rio).
No mundo real devido ao atrito e outras imperfeic¸o˜es e tambe´m devido a`s carac-
ter´ısticas do pro´prio sistema, a resposta regime permanente raramente segue a refereˆncia
com exatida˜o. Assim, erro em regime em alguns sistemas reais e´ inevita´vel. No projeto de
um sistema de controle, um dos objetivos e´ manter o erro em regime em um valor mı´nimo,
ou abaixo de um valor tolera´vel, e ao mesmo tempo a resposta transito´ria deve satisfazer
um conjunto de especificac¸o˜es.
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3.2 Definic¸o˜es
Dado um sistema em malha fechada, com realimentac¸a˜o unita´ria, representado pelo
diagrama de blocos da figura 3.1. O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser
controlado.
–
+R(s) Y(s)E(s)-���� - G(s) -
ff
6
Figura 3.1: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada
O erro de malha fechada e´ dado por:
E(s) = R(s)
1+G(s))
Para encontrar o erro em regime usamos o teorema do valor final:
e(t→∞) = lim
s→0 sE(s)
O erro em regime de um sistema realimentado depende das caracter´ısticas da func¸a˜o
de transfereˆncia em malha aberta e da entrada de refereˆncia. Existem treˆs entradas que
sa˜o mais utilizadas para teste: entrada degrau, entrada rampa e entrada para´bola.
Na figura 3.2 e´ mostrada a resposta do sistema em malha fechada F (s) = KG(s)
1+KG(s)
,
para uma entrada degrau unita´rio, onde G(s) = 1
(s+1)(s+10)
e K = 100, sendo indicado na
figura o erro em regime na sa´ıda.
3.3 Tipo do sistema
Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em
seguir sinais de entrada em degrau, em rampa, em para´bola, etc. Os valores dos erros
estaciona´rios devido a estas entradas sa˜o indicativos da qualidade do sistema.
O tipo do sistema corresponde ao nu´mero de integradores existentes na func¸a˜o de
transfereˆncia em malha aberta G(s).
• Tipo 0 - na˜o ha´ integrador
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Figura 3.2: Erro em regime
• Tipo 1 - ha´ um integrador
• Tipo 2 - ha´ dois integradores
3.4 Ganho Esta´tico (ganho DC)
O ganho esta´tico de uma func¸a˜o de transfereˆncia esta´vel, sem po´los na origem, e´
definido por:
G(0) =lim
s→0G(s)
3.5 Exerc´ıcios
a) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a func¸a˜o em
malha aberta G(s)=1/(s+1). Na entrada e´ aplicado um degrau unita´rio.
b) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a func¸a˜o em
malha aberta G(s)=10/(s+1). Na entrada e´ aplicado um degrau unita´rio.
3.6 Constantes de erro
Constante de erro de posic¸a˜o (Kp) – e´ uma medida do erro em regime permanente
entre a entrada e a sa´ıda quando a entrada e´ um degrau unita´rio (R(s) = 1/s)
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Kp = lim
s→0G(s)
Constante de erro de velocidade (Kv) – e´ a medida do erro em regime estacionario
entre a entrada e a sa´ıda do sistema quando a entrada e´ uma func¸a˜o rampa unita´ria
(R(s) = 1/s2).
Kv = lim
s→0 sG(s)
Constante de erro de acelerac¸a˜o (Ka) – e´ a medida do erro em regime permanente,
quando a entrada e´ uma func¸a˜o para´bola unita´ria (R(s) = 1/s3).
Ka = lim
s→0 s
2G(s)
3.7 Erro em regime
Erro de posic¸a˜o – e´ o erro para uma entrada Degrau:
e(∞) = 1
1+Kp
Erro de velocidade – e´ o erro para uma entrada Rampa:
e(∞) = 1
Kv
Erro de acelerac¸a˜o – e´ o erro para uma entrada para´bola:
e(∞) = 1
Ka
O termo erro de velocidade e´ o erro estaciona´rio a uma excitac¸a˜o rampa. O erro de
velocidade na˜o e´ um erro na velocidade, mas um erro na posic¸a˜o do sistema devido a uma
entrada em rampa.
O erro de acelerac¸a˜o, isto e´, o erro estaciona´rio devido a uma solicitac¸a˜o em para´bola,
e´ um erro em posic¸a˜o.
Figura 3.3: Erro em regime para entrada rampa
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 23
3.8 Resumo do erro em regime permanente
Figura 3.4: Erro em regime para diversos tipos de entradas
3.9 Exerc´ıcios
Para um sistema em malha fechada com realimentac¸a˜o unita´ria, sendo G(s) a func¸a˜o
de transfereˆncia em malha aberta:
1) Considere G(s) = 10/(s + 10). Calcule o erro em regime para as entradas padro˜es
(degrau, rampa e para´bola). Qual o tipo do sistema?
2) Considere G(s) = 10/(s(s+10)). Calcule o erro em regime para as entradas padro˜es
(degrau, rampa e para´bola). Qual o tipo do sistema?
3) Considere G(s) = 10/(s2(s + 10)). Calcule o erro em regime para as entradas
padro˜es (degrau, rampa e para´bola). Qual o tipo do sistema?
4) Explique por que o uso de um integrador, gerando um sistema tipo 1, faz com que
o erro em regime para uma func¸a˜o degrau seja zero.
5) Calcule o ganho esta´tico das func¸o˜es: a) G(s) = 1/(s2(s+10)); b) G(s) = 100/((s+
30)(s+ 10)).
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 24
Cap´ıtulo 4
Ana´lise no lugar das ra´ızes
4.0.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo sera˜o vistos os conceitos ba´sicos sobre o lugar geome´trico das ra´ızes e
como obteˆ-lo graficamente.
 
 
 
LUGAR DAS RAÍZES 
 
INTRODUÇÃO 
O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a 
localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um 
parâmetro específico, normalmente o ganho. 
O método foi introduzido por W. R. Evans, em 1948, e tem sido utilizado 
largamente no projeto da Engenharia de Controle e Automação. 
Originalmente, era uma técnica utilizada para determinar o valor numérico dos 
pólos de um sistema em malha fechada, necessitando-se assim efetuar a construção 
gráfica da forma mais exata possível. 
Atualmente, é possível obter os pólos do sistema em malha fechada e desenhar o 
LGR usando métodos computacionais. Apesar disso, o método do lugar das raízes 
continua sendo um método de grande utilidade no projeto de sistemas de controle por 
permitir ao projetista definir adequadamente a estrutura do controlador apropriado a 
cada sistema. 
Este método permite obter graficamente todas as soluções possíveis para a 
equação característica (1 + KGH=0) quando K varia de zero a infinito. Ele fornece o lugar 
geométrico de todos os pólos do sistema em malha fechada para variações de K de zero 
ao infinito. 
 
 
MÉTODO LUGAR DAS RAÍZES 
A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada pode ser 
representada na forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é 
chamado função de transferência em malha aberta. 
O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada, 
pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é: 
1 + G(s).H(s) = 0 
 
F(s) = C(s) = G(s) 
 R(s) 1+ G(s).H(s) 
+ 
 
 - 
R(s) C(s) G(s) 
 H(s) 
 
A qual é chamada equação característica. 
 
REGRA 1 – EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA 
Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na 
forma: 
Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S. 
Exemplo: Considere o sistema: 
Então: 
 
Desenhando os pólos e zeros de malha aberta: 
 
REGRA 2 – PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES 
Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas 
reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n  m), o 
lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de 
malha aberta ou no infinito. 
Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão 
terminar no infinito seguindo assíntotas. 
EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o 
número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três 
terminarão no infinito. 
REGRA 3 – LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL 
Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do 
lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita 
do ponto for impar. 
1 + K (s - z1).(s - z2)......(s - zm) = 0 
 (s - p1).(s - p2)......(s - pn) 
G(s) = K 
 s.(s+1) 
 
H(s) = (s+2) 
 (s+3).(s+4) 
 
 1 + K. (s+2) = 0 
 s.(s+1) (s+3).(s+4) 
 
 j 
 -4 -3 -2 -1 
 x x o x x  
 
 
 
 
EXEMPLO: Para o exemplo anterior: 
 
REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS 
Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes 
terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são: 
Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto  dado por: 
 
Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são: 
Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 5 – PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL 
Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre 
dois pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das 
raízes localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de 
entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não 
existir nenhum ponto de entrada ou saída. 
 j 
 -4 -3 -2 -1 
 x x o x x  
 
 
 
 =  180(2N +1) [ N = 0,1,2,..... ] 
 n - m 
 = (p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm) 
 n - m 
 =  180(2N+1) 
 3 
 = ( 0 - 1 - 3 - 4) -(-2) = -2 
 3 
 j 
 180
o
 +60
o
 
 x x o x x  
 -60
o
 
 
 
 
Se a equação característica é dada por: 
Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por: 
 A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0 
Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s. 
EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é: 
Então: 
B(s) = s+2 
A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s
4
 + 8s
3
+ 19s
2
 + 12s 
 
Então diferenciando com respeito a s: 
B'(s) = 1 
A'(s) = 4.s3 + 24.s2 + 38.s + 12 
O ponto de saída obtido foi: s = -0.497 
 
REGRA 6 – CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO 
Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos 
onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo 
s=j na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se 
achar a solução para K e . 
EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=j: 
j.(j + 1).(j + 3).(j + 4) + k.(j + 2) = 0 
Separando parte real e imaginária: 
=2.57 e K=41 
 
 
 
 
 
 
 
 1 + k.B(s) = 0 
 A(s) 
 1 + K. (s+2) = 0 
 s.(s+1) (s+3).(s+4) 
 
 1 + K. (j+2) = 0 
 j.( j+1) (j+3).( j+4) 
 
 j 
 j=2,57 (k=41) 
 
 k=0 k=0 k= k=0 k=0 
 x x o x x  
 
 
 
 
 
REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO 
Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se 
usar a condição de módulo. 
Da equação característica: 
1 + K.G.H = 0 
K.G.H = -1 
k = - 1/(G.H) 
Então : |k | = | 1/(G.H) | 
Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em 
relação à este ponto do lugar das raízes. 
Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário. 
 GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4)) 
k = | s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2)| onde s=2.57j 
k = 40,9 
De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO 
A condição de ângulo é definida como: 
G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, 1, 2, ... 
Escrevendo de outra forma: 
 =  numerador -  denominador = (1+2.L).180 
Esta equação pode ser escrita como: 
 denominador -  numerador = 180, para L=-1. 
Esta equação afirma que escolhido um ponto no plano s, é possível verificar 
se este ponto pertence ao lugar das raízes. Este ponto irá pertencer ao lugar das 
raízes se o somatório dos ângulos dos pólos em relação ao ponto menos o 
 
 2,57 
 
 
 
|A| 
 |B| |C| |D| |E| 
|k| = |s
m
| |s -pi| |s - p2| .... = |A|.|B|.|D|.|E| = 41,2 
 |s-z1| |s - z2|..... |C| 
 
somatório dos ângulos dos zeros em relação ao ponto for igual a 180
o
 ou um 
múltiplo dado por (1+2.L).180. 
Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário. 
Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras 
palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição 
angular. Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes 
valores de s satisfazem simultaneamente a condição de módulo. 
Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes 
da equação característica. 
 
Exemplo: da figura acima: 
Para os pólos: 
1= 32,50
o
 2= 40,5
o
 3=70
o
 4=90
o
 
Para o zero: 
1=51,5
o
 
 então: 
 = 1 + 2 + 3 + 4 - 1 = 181,5
o
 =(1+2L).180
o
 
Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes. 
 
REGRA 9 
ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos) 
 O ângulo de partida (p), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado 
por: 
 p = 1800 + arg(GH)' 
onde: arg(GH)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas 
ignorando a contribuição daquele pólo particular. 
Exemplo: 
 
 
O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido 
calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O 
resultado obtido é -45
o
. O ângulo de partida é p = 180 - 45= 135
o
. 
 
 
 
 
 
 K (s+2) 
GH = 
 (s + 1 + j)(s+ 1 - j) 
 135
0
 j 
 
 -1  
 
 
 
 
 
 
O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por: 
 c = 1800 - arg(GH)' 
onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito 
daquele zero. 
Exemplo: 
 
 
 
 O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é c = 180 
-(-45) = 225
o
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA 10 
MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES 
 A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o 
sistema de malha fechada se torne instável. 
 
 
 
 
 Se o lugar das raízes não cruza o eixo j, a margem de ganho é infinita. 
 Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto j1, sobre o eixo j, para o 
qual |GH(j1)| =1, para o valor atual de k, isto é: 
 
 
 
 
 Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar 
j1. A margem de fase é calculada a partir de arg(GH(j1)) como: 
 
 
 k.(s+ j)(s-j) 
GH = 
 s(s+1) 
 j 
 225
o
 
 -1  
 
 
 
 
 Valor de K no cruzamento do eixo imaginário 
Margem de ganho = 
 Valor atual de K 
 K N(j) =1 
 D(j) 
 
K = D(j1) 
 N(j1) 
 
| Gh(j) | =1 
 
PM = 180
o
 + arg(GH(j1)) 
 
 
 
REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES 
 Dado um sistema de segunda ordem: 
o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado 
(), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da 
origem a um ângulo  com o eixo real negativo onde: 
 
 
 
 
 
 O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor 
requerido de k 
 
 
 
 
 
 
 
 Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada 
por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina 
necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto 
só é válido se estes pólos complexos forem dominantes. 
 
RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau 
unitário aplicado na entrada. 
 K 
GH =(s + p1)(s+p2) 
 
 = cos
-1
 
 
linha de  cte j 
 
 
  
  
 
 
k para  especificado 
 j 
 
 
  
  
 
 
 
OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O 
que muda é a interpretação com relação à região de estabilidade. 
 
Exercícios 
1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de 
estabilidade. 
 
 
 
 
 
 
2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite 
aplicando o critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre 
que o critério de ângulo pode ser usado para determinar o lugar das raízes. 
 
 
 
 
(s+ 10) 
(s+ 6) (s - 5)(s + 8) 
(s + 2) 
 s 
 (s + 1) 
( s +5)(s + 9) 
 2 
( s - 1)(s + 2) 
Cap´ıtulo 5
Projeto pelo Lugar das Ra´ızes
5.1 Introduc¸a˜o
Neste apostila sera˜o estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema reali-
mentado, utilizando-se o Lugar Geome´trico das Ra´ızes, denotado LGR ou, simplesmente,
LR.
O me´todo do lugar das ra´ızes e´ uma forma gra´fica de se obter as ra´ızes da equac¸a˜o
caracter´ıstica (que equivale aos po´los em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito.
5.2 Informac¸o˜es teo´ricas
Os sistemas de controle sa˜o projetados para desempenhar tarefas espec´ıficas, sendo
que os requisitos impostos aos sistemas de controle sa˜o chamados de especificac¸o˜es de
desempenho. Estas especificac¸o˜es podem ser relativas a` estabilidade, velocidade de
resposta, etc.
O objetivo do projeto e´ posicionar os po´los em malha fechada em um determinado lugar
no plano complexo s, de forma que atenda as especificac¸o˜es de desempenho. Algumas vezes
apenas o ajuste do ganho permite atender a`s especificac¸o˜es. Outras vezes sera´ necessa´rio
acrescentar um outro sistema na malha de realimentac¸a˜o, denominado compensador ou
controlador, para atender a`s especificac¸o˜es.
O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 5.1, no
qual o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar
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alguma caracter´ıstica do sistema em malha fechada. A func¸a˜o de transfereˆncia em malha
fechada e´ dada por:
F (s) = Y (s)
R(s)
= KC(s)G(s)H(s)
1+KC(s)G(s)H(s)
–
+R(s) Y(s)-����- K C(s) - G(s) -
ffH(s)ff
6
Figura 5.1: Func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada
5.2.1 Considerac¸o˜es preliminares de projeto
O projeto no lugar das ra´ızes e´ um me´todo de tentativa e erro procurando-se posicionar
os po´los em malha fechada em uma determinada regia˜o. Sempre no projeto busca-se
posicionar um par de po´los na regia˜o de interesse de forma que eles sejam dominantes na
resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um nu´mero grande de po´los, mas aqueles que
estiverem mais pro´ximos do eixo imagina´rio ira˜o determinar o tipo de resposta.
Efeito da adic¸a˜o de po´los
A adic¸a˜o de um po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de
repelir o lugar das ra´ızes. Normalmente o po´lo e´ posicionado no semiplano esquerdo, e isto
faz com que o lugar das ra´ızes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade
relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodac¸a˜o.
Efeito da adic¸a˜o de zeros
A adic¸a˜o de um zero na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta possui o efeito de
atrair o lugar das ra´ızes. Normalmente o zero e´ posicionado no semiplano esquerdo, e
isto faz com que o lugar das ra´ızes tenda para a regia˜o que em que o zero se encontra,
aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodac¸a˜o. O
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efeito do zero e´ introduzir um grau de antecipac¸a˜o no sistema aumentando a velocidade
transito´ria.
Estabilidade relativa
Indica o quanto um sistema esta´ pro´ximo da instabilidade. Existem diversas formas
de se fazer esta avaliac¸a˜o. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do po´lo,
verificando quanto pro´ximo ela se encontra do eixo imagina´rio.
Estabilidade absoluta
A estabilidade absoluta indica se um sistema e´ esta´vel ou na˜o.
5.2.2 Tipos de compensadores
Os compensadores podem ser classificados em treˆs tipos:
1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): PID = KP +
KI
s
+ Kds ,
podendo-se trabalhar com os elementos tambe´m de forma isolada, como por exemplo:
a) proporcional: KP ; b) proporcional + integral: KP +
KI
s
; c) proporcional +
derivativo: KP +Kds; d) integral:
KI
s
Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) PID =
KP (1 +
KI
s
+Kds); b) PID = KP (1 +
I
s
+Ds).
2. Compensador avanc¸o de fase (Lead): e´ um filtro passa alta. Lead = K s+as+b ,
sendo que |a| < |b| . Isto e´ o zero esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano
esquerdo
3. Compensador atraso de fase (Lag): e´ um filtro passa baixa. Lag = K s+cs+d , sendo
que |d| < |c|. Isto e´ o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem, no semi plano esquerdo
5.2.3 Diretrizes gerais para o projeto do compensador
• O projeto do compensador e´ feito pela colocac¸a˜o de po´los e zeros. Como o sistema
deve ser causal, o nu´mero de po´los deve ser sempre maior ou igual o nu´mero de
zeros.
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• Se o compensador tiver um po´lo e um zero afastados entre si, ele ira´ alterar o lugar
das ra´ızes.
• Se o po´lo e o zero estiverem muito pro´ximos entre si, eles na˜o alteram de forma
significativa o lugar das ra´ızes: a) a contribuic¸a˜o em termos de aˆngulos do po´lo e do
zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em considerac¸a˜o ao
po´lo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam.
Exemplo
Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das ra´ızes e´ inserir po´los e zeros para
alterar o lugar das ra´ızes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os po´los
dominantes definam as caracter´ısticas do sistema.
Na figura 5.2, no ı´tem a, e´ mostrado o lugar das ra´ızes para o sistema G(s) = 1
s(s+1)(s+6)
sem compensac¸a˜o. Com o objetivo de tornar o sistema mais ra´pido, os po´los em malha
fechada devem ser posicionados o mais a esquerda poss´ıvel no semi-plano esquerdo s. Para
isto e´ colocado um zero em s = −1, 5 e o po´lo em s = −30. Isto e´ mostrado no item b,
da figura 5.2.
Figura 5.2: Compensac¸a˜o atrair o lugar das ra´ızes mais para a esquerda
5.2.4 Compensac¸a˜o por atraso de fase (LAG)
A forma geral do compensador Lag e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α > 1.
No compensador atraso de fase o po´lo esta´ mais pro´ximo da origem do que o zero,
|p| < |z|.
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Exemplo de compensac¸a˜o por atraso de fase
Neste projeto a compensac¸a˜o por atraso de fase baseia-se na colocac¸a˜o de um po´lo e
um zero pro´ximos entre si e pro´ximos da origem. Como eles esta˜o pro´ximos entre si, as
contribuic¸o˜es de fase se cancelam e o lugar das ra´ızes original na˜o e´ alterado. Na figura
5.3 e´ mostrada a colocac¸a˜o de um compensador atraso de fase no lugar das ra´ızes.
A compensac¸a˜o por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de
malha, sem alterar o lugar das ra´ızes.
Figura 5.3: Compensac¸a˜o atraso de fase
Note que apesar do lugar das ra´ızes na˜o sofrer alterac¸a˜o, o ganho em regime (ganho
esta´tico, que equivale ao ganho DC) e´ alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e po´lo
p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final Glag = Ks+0,1
s+0,01 = K
0,1
0,01 = K10.
O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original.
Lembrando que Kp = lims→0GH, ao acrescentar o compensador Kp = lims→0CGH =
lims→0K s+zs+pGH = k
z
p
G(0)H(0). Note que o ganho esta´tico compensado e´ aumentado pela
relac¸a˜o z
p
em relac¸a˜o ao sistema original.
Isto pode ser u´til, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho
do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro esta´tico).
OBS: Note que o par po´lo-zero muito pro´ximo da origem, pode afetar a resposta
transito´ria. Neste caso, uma das ra´ızes em malha fechada estara´ pro´xima do zero do
compensador de atraso de fase. A resposta transito´ria correspondente a esta raiz tera´ um
termo que decaira´ lentamente, mas que tera´ uma magnitude pequena porque o zero quase
ira´ cancelar o po´lo na func¸a˜o de transfereˆncia. Ainda assim, o decaimento sera´ lento e
este termo podera´ influenciar seriamente o tempo de estabilizac¸a˜o. Ale´m disto, o zero
na˜o estara´ presente na resposta a um degrau do torque de perturbac¸a˜o e o transito´rio
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 40
lento sera´ muito mais evidente nesta situac¸a˜o. Devido a este efeito e´ importante colocar
o po´lo e o zero do compensador em frequ¨eˆncias o mais alto poss´ıvel, mas sem causar uma
alterac¸a˜o na localizac¸a˜o das ra´ızes dominantes.
5.2.5 Compensac¸a˜o por avanc¸o de fase
No compensador avanc¸o de fase o zero esta´ mais pro´ximo da origem do que o po´lo,
|z| < |p|.
A forma geral do compensador Lead e´: C(s) = Kα
s+ 1T
s+ 1αT
= K Ts+1αTs+1 , com α < 1.
Exemplo de compensac¸a˜o por avanc¸o de fase (LEAD)
Neste exemplo, o compensador lead e´ caracterizado por um par po´lo-zero ajusta´vel,
colocado longe da origem no eixo real negativo.
Neste compensador, colocando o po´lo bem mais distante do eixo imagina´rio que o zero,
a contribuic¸a˜o angular do compensador e´ ainda positiva, pois angulozero > angulopolo.
Normalmente o po´lo do compensador e´ colocado bem a esquerda dos outros po´los do
sistema.
Na figura 5.4 e´ mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanc¸o de fase. O sistema
em malha aberta tem po´los em s1 = −2 e s2 = −3. Deseja-se colocar os po´los dominantes
no ponto P (s = −4± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa
inicial o zero foi colocado em s = −4. O po´lo do compensador devera´ ser calculado para
que θ1 + θ2 + θ4− θ3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = −4 e polo = −7.6.
So´ que neste caso, devido a` proximidade do zero com os po´los complexos havera´ 3 po´los
dominantes.
Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = −5 e repete-se o processo. Obtendo-
se o resultado desejado com o po´lo em s = −9, 4.
5.2.6 Exemplos de lugar das ra´ızes
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 41
Figura 5.4: Compensac¸a˜o avanc¸o de fase
Figura 5.5: Exemplos de lugar das ra´ızes
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 42
Cap´ıtulo 6
Diagramas de Bode
6.0.7 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo sera˜o vistos os conceitos ba´sicos sobre os diagramas de Bode e como
desenha´-los na sua forma assinto´tica.
 
 
DIAGRAMAS DE BODE 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Para explicar os diagramas de Bode, vamos fazer, inicialmente, uma 
análise intuitiva. Dado um sistema realimentado: 
 
 
 
 
 
 Para que este sistema entre em oscilação, isto é fique instável, duas 
condições devem ser satisfeitas: 1) O sinal de erro, aplicado em G(s) deve 
retornar com uma amplitude maior ou igual à original. 2) O defasamento total do 
circuito deve ser 0o ou 360o. 
 Note que o sinal negativo do somador significa um defasamento de 180o. 
 Devido a isto temos que verificar se o defasamento de G(jw) poderá ser 
180o (pois os outros 180o são devido ao sinal de menos do somador) ao mesmo 
tempo em que o módulo de |G(jw)| será 1. 
 Para fazer a análise da variação da fase e do ganho serão utilizados os 
diagramas de Bode. 
Os diagramas de Bode, são compostos por dois diagramas: a) diagrama 
de módulo em função da frequência e b) diagrama de fase em função da 
frequência. 
Para entender como se utilizam estes diagramas, podemos analisar a 
figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes 
que o sistema fique instável. A margem de ganho pode ser lida diretamente das 
curvas de Bode, medindo a distância vertical entre a curva de módulo da função 
GH(j) e a linha |GH(j) |=1, isto é, a linha de 0 db, na freqüência onde GH(j) 
=180º. 
A margem de fase é o numero de graus de GH(j) acima de -180º, na 
freqüência de cruzamento de ganho, onde o módulo da função é igual a 1 (ou 
seja, 0db). A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da 
f 
g 
Erro 
G(j) 
Figura 1 
Figura 2 
Margem 
de fase 
Margem de 
ganho 
0 dB 
Diagrama de 
fase 
 0º 
 
-180º 
 
 
Diagrama de 
módulo 
 
função de transferência de malha aberta na freqüência cujo módulo tem o valor 
unitário, isto é: Margem de fase = [180º + argGH(jg)], onde |GH(jg)|=1 e g é 
chamada frequência de cruzamento de ganho. 
As margens de ganho e de fase são medidas de estabilidade relativa. 
 Os diagramas de bode são desenhados utilizando-se a função de 
transferência de malha aberta. Isto é uma vantagem, pois evita termos de calcular 
a função de transferência em malha fechada. Desta forma será possível fazer a 
análise do sistema em malha fechada, verificando apenas a função de 
transferência em malha aberta. 
Pelo diagrama da figura 1, o sinal realimentado é subtraído do sinal de 
referência. Este sinal negativo, equivale a defasar o sinal em 180o. Desta forma 
para termos um defasamento de 360o do sistema em malha fechada, e que 
poderia tornar o sistema instável, resta verificar se a função G(s)H(s) irá causar 
um defasamento de 180o (pois os outros 180o são causados pelo sinal de menos 
do somador). 
Através da figura 2 podemos ver que o diagrama de fase terá 180o no 
momento em que o módulo for menor que 0 dB (isto é ganho menor que 1). Isto 
significa que o sistema é estável. 
OBS: A variável complexa s é formada pela soma de um termo real com 
um termo imaginário: s=  + j. Para se fazer a análise da resposta em freqüência 
deve ser imposta a condição: =0; desta forma tem-se s= j. Isto significa que 
estamos analisando a resposta do sistema no eixo j, ou seja a resposta em 
freqüência da função. 
 
 
2. DEFINIÇÕES DE MF E MG 
 
Margem de fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento 
do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar da instabilidade. 
A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo 
da função de transferencia em malha aberta é unitário, isto é |G(jg)|= 1. 
A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função 
de transferência de malha aberta, na freqüência cujo módulo tem o valor unitário: 
 
 
 
 
Onde argGH(jg) é o valor da fase na frequência onde |G(jg)| = 1. 
 
Margem de ganho: é o inverso do módulo |G(j)| na frequência onde o 
ângulo de fase é – 180º. Definindo-se a frequência de cruzamento de fase (f) 
como a frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha 
aberta é igual a – 180o , a margem de ganho é: 
 
 
 
 
Margem de ganho é um valor em decibéis que indica o quanto o módulo 
da função de malha aberta, |GH(jg)|, está abaixo de 0db, na freqüência cuja fase 
vale -180º. A margem de ganho, em db, é dada por: 
MF = 180
o
 + argGH(jg) 
MG = 1 
 |G(jf)| 
 
 
 
 
 
 
OBS 1: uma margem de ganho positiva (em dB) significa que o sistema é 
estável.Do diagrama de módulo, o valor lido será positivo se for menor que 0db. 
OBS 2 Uma margem de ganho negativa (em dB) significa que o sistema é 
instável. Do diagrama de módulo, o valor lido será negativo se for maior que 0db. 
OBS 3: a) Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho 
indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar 
instável. b) Para um sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o 
ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável. 
 
3. DESENHO DOS DIAGRAMAS DE BODE 
 
Dada uma função de transferência, a primeira coisa a ser feita é escrevê-la 
na forma de Bode. 
 
 
 
 
 
 
O ganho de Bode é definido como: 
 
 
Para o eixo de frequências (eixo x), utiliza-se uma escala logarítma para 
que seja possível verificar uma grande faixa de freqüências. 
Para o diagrama de módulo, será utilizado 20log(módulo(função)). Isto 
possibilitará somar ou subtrair todos os termos componentes do módulo. Se não 
fosse utilizado esta forma, seria necessario multiplicar ou dividir os termos. 
Os diagramas serão obtidos utilizando-se assíntotas. 
 
3.1 Termo constante de bode (KB) 
20log|KB| 
 
 
 
Para KB < 0, o modulo não se altera, mas a fase terá a seguinte forma: 
 
MGdB = - 20 log|G(jf)| 
 
G(j) = K  zi (1 + j/z1) (1 + j/z2) ... 
  Pi (j)L (1 + j/p1) (1 + j/p1) ... 
KB = K  zi 
  Pi 
 
Neste caso o 
diagrama de módulo 
tem uma inclinação 
de –20 dB/década, 
sendo que o ganho 
vale 0dB para a 
freqüência = 1. 
 
Devido ao operador 
complexo (j) no 
denominador temos 
um defasamento de 
–90o . 
 
 
 
3.2 Termo pólo na origem 
G(jw)=1/jw 
 
3.3 Termo zero na origem 
G(jw)= jw 
 
 
 
 
Neste caso o 
diagrama de módulo 
tem uma inclinação 
de + 20 dB/década, 
sendo que o ganho 
vale 0dB para a 
freqüência = 1. 
 
Devido ao operador 
complexo (j) no 
numerador temos um 
defasamento de 
+ 90o . 
 
 
3.4 Termo pólo em -p 
 
 
 
 
 
 
3.5 Termo zero em -p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 + j 
 p 
A curva assintótica é 
uma boa aproximação da curva 
real. 
A curva assintótica do 
módulo é desenhada fazendo 
que o módulo seja 0dB até o 
valor do pólo e tenha uma 
inclinação de –20 dB/década a 
partir do valor do pólo. O erro 
máximo é de –3dB, em =p. 
A curva assintótica da 
fase é desenhada marcando-se 
os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 
vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo 
a fase vale 0
o
 e acima de 
5,0.pólo a fase vale –90
o
. No 
ponto =p a fase vale – 45o. O 
erro máximo será de 11,3
o
 nos 
pontos 0,2.polo e 5,0.pólo. 
A curva assintótica é uma 
boa aproximação da curva 
real. 
A curva assintótica do 
módulo é desenhada fazendo 
que o módulo seja 0dB até o 
valor do pólo e tenha uma 
inclinação de +20 dB/década 
a partir do valor do pólo. O 
erro máximo é de 3dB, em 
=p. 
A curva assintótica da 
fase é desenhada marcando-
se os pontos 0,2 vezes o pólo 
e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 
0,2.polo a fase vale 0
o
 e 
acima de 5,0.pólo a fase vale 
+ 90
o
. No ponto =p a fase 
vale + 45
o
. O erro máximo 
será de 11,3
o
 nos pontos 
0,2.polo e 5,0.pólo. 
 1 
 1 + j 
 p 
 
3.6.Termo pólos complexos 
 
 
 
 
 
 
 Isto é válido para 0   1. 
 
 
 
3.7 Termo zero em + p 
 
 
 
 
 
 Note que este termo significa um zero no semi-plano direito. Desta forma a 
fase vai para -90º . 
 
 
 
 1 + j 2   -  2 
 n n 
Os pólos 
complexos aparecem 
sempre em pares 
conjugados: 
(s + a + bj)(s+ a – bj) 
O produto dessa 
equação leva a uma 
equação da forma: 
s
2
 + xs + y, onde 
x=2a e y=a
2
 + b
2
. 
 
 
 
 1 – j 
 p 
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 50
Cap´ıtulo 7
Projeto por BODE
7.1 Introduc¸a˜o
Os compensadores sa˜o utilizados para alterar alguma caracter´ıstica do sistema em
malha fechada original, como resposta no tempo, estabilidade, etc.
No projeto por Bode e´ necessa´rio inicialmente desenhar os diagramas de Bode em
malha aberta, para em seguida, em cima destes diagramas, acrescentar o compensador,
redesenhando os diagramas de Bode.
7.2 Projeto por BODE utilizando o compensador
atraso de fase (lag)
A func¸a˜o de transfereˆncia do compensador atraso de fase e´ dada por:
C(s) = a0
1+s/b
1+s/a
Fazendo s = jω:
C(jω) = a0
1+jω/b
1+jω/a
O ma´ximo defasamento depende da relac¸a˜o entre o po´lo e o zero: b/a. O compensador
atraso de fase reduz o ganho em alta frequ¨eˆncias, relativamente ao ganho em baixas
frequ¨eˆncias e introduz um atraso de fase.
Para o propo´sito de estabilidade e´ necessa´rio que o filtro introduza a reduc¸a˜o de ganho
pro´ximo do cruzamento de 180o. Enta˜o, a e b devem ser muito menores que a frequ¨eˆncia
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 52
de cruzamento de 180o.
Figura 7.1: Projeto do compensador atraso de fase
A te´cnica para obter uma margem de fase desejada e´ a seguinte: supo˜es-se que o ganho
esta´tico (ganho DC) do compensador (a0) e´ determinado em func¸a˜o das especificac¸o˜es e
φm e´ a margem de fase desejada:
1. Determine graficamente a frequ¨eˆncia, ω1, na qual o aˆngulo de fase de G(jω1) e´
aproximadamente (−180 + φm + 5o);
2. Escolha o zero do compensador como sendo: b = 0, 1ω1, para assegurar que o atraso
de fase seja pequeno na frequeˆncia ω1. Na verdade o compensador ira´ introduzir
aproximadamente 5o de atraso de fase, o que foi levando em conta no passo 1.
3. Em ω1 e´ desejado que o ganho do sistema compensado seja 0db, ou seja:
|C(jω1)G(jω1)| = 1. O ganho do compensador em altas frequ¨eˆncias e´ a0 ab , onde
a0 e´ o ganho para baixas frequ¨eˆncias. Enta˜o o valor do po´lo sera´:
a = 0, 1 ω1
a0|G(jω1)|
Onde G(jω1) e´ o mo´dulo da func¸a˜o G(jω), no ponto ω1, obtido graficamente (sem
compensac¸a˜o).
Obs: a frequeˆncia ω1 pode ser considerada alta-frequeˆncia para a regia˜o de atuac¸a˜o do
compensador.
UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - pa´gina 53
7.3 Projeto por BODE utilizando o compensador
avanc¸o de fase (lead)
A func¸a˜o principal do compensador em avanc¸o e´ modificar a curva de resposta em
frequeˆncia para propiciar um aˆngulo de fase suficiente para ajustar o atraso da fase ex-
cessivo associado com a planta do sistema.
Os procedimentos para projetar um compensador em avanc¸o de fase podem ser esta-
belecidos como segue:
1. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta G(s). Determine o ganho de
malha-aberta K a fim de satisfazer as exigeˆncias dos coeficientes de erro.
2. Usando o ganho K anteriormente determinado, trac¸ar o diagrama de mo´dulo KG(s),
calcule a margem de fase do sistema com este novo ganho.
3. Em func¸a˜o das especificac¸o˜es, determine o aˆngulo de avanc¸o de fase necessa´rio φm
a ser adicionado ao sistema.
4. Determine o fator de atenuac¸a˜o α pelo uso da equac¸a˜o senφm =
1−α
1+α
. Determine
a frequ¨eˆncia em que o mo´dulo do sistema na˜o compensado (mas considerando o
ganho K), KG(jω1), e´ igual a −20log( 1√α). Selecione esta frequ¨eˆncia como a nova
frequ¨eˆncia de cruzamento do ganho. Esta frequ¨eˆncia corresponde a ω1 =
1
T
√
α
e o
deslocamento de fase ma´ximo φm ocorre nesta frequ¨eˆncia. Calcule T a partir desta
equac¸a˜o.
5. Determine as frequ¨eˆncias de corte do compensador em avanc¸o a partir de
Zero do compensador: ω = 1
T
Po´lo do compensador: ω = 1
αT
A forma do compensador Lead e´: