exercicios controle 1

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INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
CONTROLE 1 
Sabatina 1 
 
 
1) Dado o circuito abaixo: 
 
 
 
Considerando que 𝑅 = 2Ω , 𝐿 = 0,25𝐻 e 𝐶 = 0,4𝐹 , que a saída 
𝑦 = 𝐼 e que a entrada 𝑢 = 𝑒𝑖𝑛(𝑡) : 
 
 
a) Deduza a equação diferencial do circuito que relaciona a entrada 
e a saída; 
 
b) Sabendo que a corrente do circuito varia conforme a tensão do 
mesmo, escreva a função de transferência do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere a seguinte FT: 
 
 
𝑦(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
7𝑠 + 4
2𝑠2 + 10𝑠 + 28
 
 
 
Determine a equação diferencial no domínio do tempo que descreve 
a FT. 
 
 
3) Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente 
ao diagrama de blocos mostrado abaixo, admitindo 𝑟(𝑡) = 3𝑡3 . 
 
 
 
 
 
4) Reduza os seguintes diagramas de blocos a apenas uma função de 
transferência: 
 
a) 
 
 
𝑠4 + 3𝑠3 + 2𝑠2 + 𝑠 + 1
𝑠5 + 4𝑠4 + 3𝑠3 + 2𝑠2 + 3𝑠 + 2
 
𝐶(𝑠) R(𝑠) 
 
b) 
 
 
 
5) Considerando: 
 
 
�̇� = [
0 1
20 −4
] 𝑥 + [
0
0,2
] 𝑢 𝑦 = [1 0]𝑥 
 
 
a) Obtenha as equações de entradas e saídas desse sistema 
considerando como saída e como entrada; 
b) Obtenha a FT do sistema no domínio da frequência. 
 
 
6) Considerando: 
 
 
�̇� = [
0 1
20 −4
] 𝑥 + [
0,3
1
] 𝑢 𝑦 = [1 0]𝑥 
 
 
a) Obtenha as equações de entradas e saídas desse sistema 
considerando como saída e como entrada; 
b) Obtenha a FT do sistema no domínio da frequência. 
7) Encontre a representação em espaço de estado para os seguintes 
sistemas: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
8) Considerando a função de transferência abaixo: 
 
 
 
a) Determine a representação em espaço de estados; 
b) Represente o sistema em diagrama de blocos; 
c) Represente o sistema em diagrama de fluxo de sinais. 
 
 
9) Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: 
 
 
 
𝜕2𝑥
𝜕𝑡2 + 2
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+ 3𝑥 = 1 , onde 𝑥(0) = 1 e �̇�(0) = −1 
 
Desenhe o diagrama de blocos do sistema mostrando sua função de 
transferência e suas entradas e saídas pertinentes. 
OBS: as condições iniciais aparecerão como entradas adicionais 
para um sistema efetivo com condições iniciais nulas. 
100
𝑠4 + 20𝑠3 + 10𝑠2 + 7𝑠 + 100
 
𝐶(𝑠) R(𝑠) 
30
𝑠5 + 8𝑠4 + 9𝑠3 + 6𝑠2 + 𝑠 + 30
 
𝐶(𝑠) R(𝑠) 
2𝑠 + 1
𝑠2 + 7𝑠 + 9
 
𝐶(𝑠) R(𝑠) 
10) Encontre as equações de estado e de saída para a seguinte 
representação: 
 
 
 
a) Determine a representação em espaço de estados; 
b) Represente o sistema em diagrama de blocos; 
c) Represente o sistema em diagrama de fluxo de sinais. 
 
11) Encontre a função de transferência dos seguintes sistemas: 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
𝑠2 + 7𝑠 + 9
𝑠3 + 9𝑠2 + 26𝑠 + 24
 
𝐶(𝑠) R(𝑠) 
⨰= [
0 1 0
0 0 1
−3 −2 −5
] x + [
0
0
10
]r 
𝑦 = [1 0 0]x 
⨰= [
2 −3 −8
0 5 3
−3 −5 −4
] x + [
1
4
6
]r 
𝑦 = [1 3 6]x 
c) 
 
 
 
 
12) Com base nas seguintes equações: 
 
 
2�̈� + 0,8𝑧 − 0,4𝜔 + 0,2�̇�𝜔 = 0 
 
4�̇� + 3𝜔 + 0,1𝜔3 − 6𝑧 = 8𝑣 
 
 
a) Determine as equações de variáveis de estado para o seguinte 
sistema, no qual 𝑧 e 𝜔 são as variáveis dinâmicas e 𝑣 é a 
entrada do sistema; 
b) Represente esse sistema em diagrama de blocos; 
c) Faça o diagrama de fluxo de sinais eliminando os nós 
desnecessários, caso eles existam. 
 
 
13) Dadas as seguintes equações de variáveis de estado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⨰= [
3 −5 2
1 −8 7
−3 −6 2
] x + [
5
−3
2
]r 
𝑦 = [1 − 4 3]x 
⨰ 1 = −6,2𝑥1 − 2,3𝑥2 + 8,4𝑥3 
⨰ 2 = −𝑥2 + 2,7𝑥3 + 3𝑢1 
⨰ 3 = −4,1𝑥1 − 1,5𝑥2 + 3,9𝑥3 + 4𝑢2 
e considerando que as duas variáveis de saída são: 
 
 
 
 
a) Obtenha a representação matricial do sistema no espaço de 
estados; 
b) Obtenha a representação do sistema em diagrama de blocos. 
 
 
14) Considere o sistema massa-mola abaixo: 
 
 
 
 
 
 O deslocamento da massa é dado por 𝑧, que é a medido pelo 
equilíbrio estático quando a força aplicada 𝐹𝑎(𝑡) = 0 . A rigidez da 
mola não linear é dada pela equação 𝑓𝜅(𝑧) = 𝑘1𝑧 + 𝑘3𝑧3. A força 
de amortecimento é uma função linear do coeficiente de viscosidade 
𝑏 e da velocidade do deslocamento. 
 
a) Defina as variáveis de fase; 
b) Defina a(s) entrada(s) do sistema; 
c) Escreva as equações das variáveis de estado; 
d) Represente o sistema em diagrama de blocos. 
 
𝑦1 = 𝑥1 
𝑦2 = 𝑥2 − x3 
15) Considerando que o sistema da questão anterior produz uma força 
linear e, portanto, 𝑘1 = 𝑘 (a constante da mola é linear) e que 
𝑘3 = 0 : 
 
a) Escreva as equações das variáveis de estado; 
b) Represente o sistema em espaço de estados na forma matricial; 
c) Represente o sistema em diagrama de blocos. 
 
 
16) Considere o sistema do motor DC abaixo. A Figura 1 representa 
uma vista transversal das forças e fenômenos elétricos atuantes na 
estrutura do motor. 
 
 
Figura 1: interações eletromagnéticas. 
 
 
 
A Figura 2 detalha o diagrama elétrico esquemático do motor, 
juntamente com a componente mecânica dele, onde ein(t) é a tensão 
de entrada, La é a indutância, Ra é a resistência da armadura, eb é a 
força eletromotriz. Ademais, J é o momento de inércia do rotor, 𝜃 a 
velocidade angular, b o coeficiente de fricção viscosa, Tm é o torque 
do motor (oriundo da interação da corrente de magnetismo e TL é o 
torque oriundo da carga. 
 
 
 
 
Figura 2: Circuito elétrico e componente mecânica. 
 
 
 
A Figura 3 mostra o diagrama de corpo livre do rotor relacionando 
os seguintes torques: torque do motor (Tm = KmIa ), torque de 
fricção (𝑏 [
𝜕𝜃
𝜕𝑡
] ), torque da carga (TL), onde Km é constante de 
torque do motor dada em Nm/A e obtida pela multiplicação da 
densidade do fluxo magnético (B) pelo comprimento da armadura 
(fluxo magnético radial) dado por (ℓ). Ademais, a tensão induzida eb 
é dado por: 
 
 
 
Figura 3: diagrama de corpo livre. 
 
 
Sabendo a velocidade angular ( ) possui a seguinte relação com 
a posição angular: 
 
 
Que o torque é obtido através da multiplicação do momento de 
inércia pela aceleração, e que o modelo matemático do sistema é: 
 
 
 
 
a) Obtenha a representação em espaço de estados do sistema; 
b) Obtenha a representação do sistema em diagrama de blocos. 
 
 
17) Considerando a seguinte equação diferencial: 4�̇� + 8𝑦 = 6 e que 
𝑦(0) = 3 , determine a solução completa 𝑦(𝑡) indicando a resposta 
natural e a resposta forçada. 
 
 
18) Dada a seguinte FT: 
 
 
𝐹(𝑠) =
3
𝑠(𝑠3 − 2𝑠2 − 9𝑠 + 18) 
 
 
 
a) Determine a resposta no tempo de F(s), indicando a(as) parcela 
(as) forçada e natural; 
b) Plote o diagrama de polos e zeros indicando suas características; 
c) Plote, na mesma figura, o gráfico de cada termo de f(t) e, também, 
o gráfico da resposta completa de f(t). 
d) Compare os gráficos e discorra sobre suas conclusões. 
 
 
 
 
 
19) Considere o seguinte sistema: 
 
 
 
 
a) Escreva a resposta no tempo ao degrau unitário; 
b) Calcule a constante de tempo (Ƭ1), o tempo de subida (Tr1) e o 
tempo de acomodação (Ts1); 
c) Por quê os sistemas de 1ª ordem não têm ultrapassagem? 
d) Trace o gráfico de resposta desse sistema indicando os valores 
calculados no item “b”; 
e) Duplique o ganho do sistema e trace o gráfico de resposta 
indicando seus valores característicos; 
f) Compare o gráfico do sistema com ganho original e com ganho 
duplicado e discorra sobre suas conclusões; 
g) Substitua o polo original por um polo 2 vezes maior que ele. 
Calcule Ƭ2, Tr2 e Ts2, trace o gráfico de resposta do sistema com 
esses novos valores; 
h) Discorra sobre essa variação da posição do polo em relação às 
variáveis calculadas e à resposta do sistema original; 
i) Substitua o polo original por um polo 12 vezes maior que ele. 
Calcule Ƭ3, Tr3 e Ts3, trace o gráfico de respostado sistema com 
esses novos valores; 
j) Discorra sobre essa variação da posição do polo em relação às 
variáveis calculadas e à resposta do sistema original; 
OBS: Todos os gráficos dessa questão devem ser plotados na mesma 
figura para que possa ser feita a comparação entre as respostas. 
 
20) Sobre o sistema da questão anterior: 
 
a) Aplique um sinal de degrau, um sinal de impulso e um sinal de 
rampa (separadamente) no sistema original da questão anterior. 
Plote as três respostas a esses sinais num mesmo gráfico, 
identificando-os com suas características de reposta; 
b) Discorra sobre as respostas obtidas.