Modelo discretos

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Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de
Probabilidade
Fidel Ernesto Castro Morales
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciencia e Tecnologia
Sumário
Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias discretas
Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuição de probabilidade binomial
Distribuição de probabilidade Hipergeométrica
Distribuição de probabilidade Binomial Negativa
Distribuição de probabilidade de Poisson
Motivação
Considere o experimento aleatório de lançar três vezes uma moeda
balanceada e observar a face superior em cada lançamento. Calcule
a probabilidade de:
1. não obter nenhuma cara.
2. Obter uma cara.
3. Obter dois caras.
4. Obter três caras.
Variável Aleatória
Definição
Para um dado espaço amostral Ω de um experimento, uma variável
aleatória (v.a) é qualquer regra que associe um valor a cada
resultado de Ω. Em termos matemáticos, uma variável aleatória é
uma função cujo domínio é o espaço amostral e o contra-dominio é
um conjunto de números reais.
Definição (Variável aleatória de Bernoulli)
Qualquer variável aleatória cujos únicos valores possíveis são 0 ou 1
é denominada Variável aleatória de Bernoilli.
Exemplo 1
I
Lançar uma moedas, se face superior é cara então X = 1, em
caso contrario X = 0.
Definição (Tipos de variáveis aleatórias)
Uma variável aleatória discreta é uma variável cujos valores
possíveis constituem um conjunto finito ou podem ser relacionados
em uma sequência infinita na qual haja um primeiro elemento, um
segundo e assim por diante. Uma variável aleatória é contínua se
seu conjunto de valores possíveis consiste em um intervalo
completo da reta de números (Reta Real).
Exemplo 2
I
v.a contínua: corrente elétrica, comprimento, pressão,
temperatura, tempo, voltagem, peso.
I
v.a discreta: número de arranhões em uma superfície, número
de bits transmitidos que foram recibidos com erro.
Definição (Função de distribuição)
A função de distribuição da variável aleatória X , representada por
F
X
ou simplesmente F , é definida por
F
X
(x) = P(X ≤ x), x ∈ <.
Na literatura, a função de distribuição de X é frequêntemente
chamada de função de distribuição acumulada de X .
Propriedades
Se X é uma variável aleatória, sua função de distribuição F goza
das seguintes propriedades:
1. x ≤ y então F (x) ≤ F (y), i.e., F é não-decrescente.
2. F é continua à direita.
3. Se x
n
vai para −∞ então F (x
n
)→ 0. Se x
n
vai para ∞ então
F (x
n
)→ 1.
Distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias
discretas
Definição (Massa de probabilidade (fmp))
A função distribuição de probabilidade ou função de massa de
probabilidade de uma variável aleatória discreta é definida para
cada número x por
p(x) = P(X = x) = P(todos os ω ∈ Ω : X (ω) = x ). Como p(x) é
definida como probabilidade, p(x) ≥ 0 para todo x e ∑
x
p(x) = 1.
Exemplo 3:
A função distribuição de probabilidades de qualquer variável
aleatória Bernoulli pode ser expressa na forma p(1) = α e
p(0) = 1− α, onde 0 < α < 1. Como a função de probabilidade
depende do valor específico de α, normalmente escrevemos p(x ;α)
em vez de apenas p(x).
Exemplo 4
O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c , d , e, f } e
cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é
definida como segue:
Resultado a b c d e f
x 0 0 1.5 1.5 2 3
Determine a função de probabilidade de X .
Exemplo 5
Use a função de probabilidade do exemplo anterior para determinar
as seguintes probabilidades.
1. P(X = 1.5)
2. P(0.5 < X < 2.7)
3. P(X > 3)
4. P(0 ≤ X < 2)
Exemplo 6
Verifique que a seguinte função é função de probabilidade e
determine as probabilidades requeridas.
p(x) =
8
7
(
1
2
)
x
, x = 1, 2, 3.
1. P(X ≤ 1)
2. P(X > 1)
3. P(2 < X < 6)
4. P(X ≤ 1 ou X > 1)
Definição
Suponha que p(x) dependa de uma quantidade que pode ser
atribuída a qualquer um de diversos valores possíveis, em que cada
valor diferente define uma distribuição de probabilidade diferente.
Tal quantidade é denominada parâmetro da distrbuição. A coleção
de todas as distribuições de probabilidade dos diferentes valores do
parâmetro é denominada uma família de distribuições de
probabilidade.
Definição
A função de distribuição acumulada (FDA) F (x) de uma variável
aleatória discreta X com função distribuição de probabilidade p(x)
é definida para cada valor de x por
F (x) = P(X ≤ x) =
∑
y :y≤x
p(y).
Exemplo 7
Uma instalação de recondicionamento de automóveis especializada
em regulagem de motores sabe que 45% de todas as regulagens são
feitas em automóveis de 4 cilindros, 40% em automóveis de 6
cilindros e 15% em automóveis de oito cilindros. Seja X = número
de cilindros do proximo carro a ser preparado.
1. Qual é a fmp de X?
2. Qual é a FDA de X?
Proposição
Para quaisquer dois números a e b com a ≤ b,
P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a−)
onde a− representa o maior valor possível de X estritamente menor
que a.
Exemplo 8
Uma empresa de seguros oferece aos seus segurados diferentes
opções de pagamento premium. Para um segurado aleatoriamente,
seja X = número de meses entre pagamentos sucessivos. A FDA
de X é como segue:
F (x) =

0, se x < 1,
0.30, se 1 ≤ x < 3,
0.4, se 3 ≤ x < 4,
0.45, se 4 ≤ x < 6,
0.60, se 6 ≤ x < 12,
1, se 12 ≤ x .
1. Qual é a fmp de X?
2. Usando apenas a FDA, calcule P(3 ≤ X ≤ 6) e P(4 ≤ X ).
Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas
Definição (Valor esperado de X )
Seja X como uma v.a discreta com conjunto de valores possíveis D
e fmp p(x). O valor esperado ou valor médio de X , denotado por
E (X ) ou µ
X
ou µ, é
E (X ) = µ
X
=
∑
x∈D
xp(x).
Exemplo 9
Seja X uma va discreta com função de probabilidade
p(x) =
8
7
(
1
2
)
x
, x = 1, 2, 3.
1. Calcule E (X )
Proposição
Se a va X tiver um conjunto de valores possíveis D e fmp p(x), o
valor esperado de qualquer função h(X ), expresso por E [h(X )] ou
µ
h(X ), é calculado por
E (h(X )) =
∑
D
h(x)p(x).
Regras do valor Esperado
Proposição
Se a va X e a, b ∈ <
E (aX + b) = aE (X ) + b.
Prova:
Variância de X
Definição (Variância)
Seja X como uma v.a discreta com conjunto de valores possíveis D
e fmp p(x). A variância de X , denotada por V (X ) ou σ2
X
ou σ2, é
V (X ) =
∑
x∈D
(x − µ)2p(x) = E [(X − µ)2].
O desvio padrão de X é σ
X
=
√
σ2
X
.
Exemplo 10
Seja X uma va discreta com função de probabilidade
p(x) =
8
7
(
1
2
)
x
, x = 1, 2, 3.
1. Calcule V (X )
Proposição
Se a va X então
V (X ) = E (X 2)− µ2.
Prova:
Regras do valor Esperado
Proposição
Se a va X e a, b ∈ <
V (aX + b) = a2V (X ).
Prova:
Distribuição uniforme discreta
Definição
Uma variável aleatória X será uma variável aleatória discreta
uniforme, se cada um dos n valores em sua faixa, isto é, x
1
, . . . , x
n
,
tiver igual probabilidade. Então
p(x
i
) =
1
n
.
Exemplo 11
Uma loja de eletrodomésticos vende três modelos diferentes de
freezer verticais com 13.5, 15.9, 19.1 pés cúbicos de espaço,
respectivamente. Seja X = volume de armazenagem comprado
pelo próximo clientes a comprar um freezer. Suponha que a fmp de
X seja
x 13.5 15.9 19.1
p(x) 0.2 .5 0.3
1. Calcule E (X ), E (X 2) e V (X ).
2. Se o preço de um freezer com X pés cúbicos de capacidade for
25X − 8.5, qual será o preço esperado pago pelo proximo
cliente a comprar um freezer?
3. Qual é a variância do preço 25X − 8.5 pago pelo próximo
cliente?
4. Suponha que, a pesar da capacidade nominal de um freezer serX , a capacidade real seja h(X ) = X − 0.01X 2. Qual é a
capacidade real esperada do freezer comprado pelo próximo
cliente?
Experimento binomial
1. O experimento consiste em uma sequência de n experimentos
menores denominados tentativas, onde n é estabelecido antes
do experimento.
2. Cada tentativa pode resultar em um de dois resultados
possíveis (tentativas dicotômicas), chamados de sucesso (S)
ou falha (F).
3. As tentativas são independentes, de forma que o resultado de
qualquer tentativa particular não influencia o resultado de
qualquer outra tentativa.
4. A probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para
outra. Denominamos essa probabilidade p.
Proposição
A variável aleatória X , que é igual ao número de tentativas que
resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com
parâmetros 0 < p < 1 e n enteiro positivo. A função de
probabilidade de X é
p(x) = C
x ,np
x(1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n.
Notação: X ∼ Bin(n, p).
Média e Variância
I
E(X)=np.
I
V(X)=np(1-p).
Exemplo 12
As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia
aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em
que as linhas estejam ocupadas em sucessivas chamadas sejam
independentes. Considere que 10 chamadas aconteçam.
1. Qual é a probabilidade de que, para exatamente três
chamadas, as linhas estejam ocupadas?
2. Qual é a probabilidade de que, para no mínimo uma chamada,
as linhas estejam ocupadas?
3. Qual é o número esperado de chamadas em que todas as
linhas estejam ocupadas?
Distribuição Hipergeométrica
As hipóteses que levam à distribuição hipergeométrica são as
seguintes:
1. A população ou conjunto de onde é retirada a amostra consiste
de N indivíduos, objetos ou elementos (população finita).
2. Cada indivíduo é classificado como sucesso (S) ou falha (F) e
há M sucessos na população.
3. É selecionada uma amostra sem reposição de n individuos de
forma que cada subconjunto de tamanho n seja igualmente
provável de ser escolhido.
A variável aleatória de interesse é X = número de Sucessos na
amostra.
Proposição
Se X for o número de S de uma amostra completamente aleatória
de tamanho n tirada de uma população constituida de M sucessos
e N −M fracasos, então a distribuição de probabilidade de X ,
denominada distribuição hipergeométrica, será dada por
P(X = x) =
C
x ,MCn−x ,N−M
C
n,N
,
Para um inteiro x que satisfaça
max(0, n − N +M) ≤ x ≤ min(n,M).
Notação: X ∼ h(x ; n,M,N).
Média e Variância
I
E (X ) = nM
N
.
I
V (X ) =
(
N−n
N−1
)
n
M
N
(
1− M
N
)
.
Exemplo 13
Cartões de circuitos integrados são verificados em um teste
funcional depois de serem preenchidos com chips semicondutores.
Um lote contém 140 cartões e 20 são selecionados sem reposição
para o teste funcional
1. Se 20 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de
que no mínimo um cartão defeituoso esteja na amostra?
2. Se 5 cartões foram defeituosos, qual será a probabilidade de
que no mínimo um cartão defeituoso apareça na amostra?
Distribuição Binomial Negativa
A variável aleatória binomial negativa são baseadas em
experimentos que satisfaçam às condições a seguir:
1. O experimento consiste de uma sequência de n tentativas
independentes
2. Cada tentativa resulta em sucesso (S) ou falha (F).
3. A probabilidade de sucesso é constante de uma tentativa para
outra, então P(Sna tentativa i) = p para i = 1, 2, . . ..
4. O experimento continua até ser observado um total de r
sucessos, sendo r um enteiro positivo.
A variável aleatória de interesse é X = número de falhas que
precedem o r−ésimo sucesso.
Proposição
A fmp da variável aleatória binomial negativa X com parâmetro
r = número de Sucessos e p = P(S) é
P(X = x) = C
r−1,x+r−1pr (1− p)x , x = 0, 1, 2, . . . .
Notação: X ∼ nb(x ; r , p).
Média e Variância
I
E (X ) = r(1−p)
p
.
I
V (X ) = r(1−p)
p
2
.
Exemplo 14
Um pediatra deseja convocar cinco casais, cada um esperando seu
primeiro filho, para participarem de um novo regime de parto. Seja
p =
P(Um casal selecionado aleatóriamente concorda em participar).
Se p = 0.2, qual é a probabilidade de 15 casais serem solicitados
antes de serem encontrados cinco que concordem em paricipar?
Processo de Poisson
Dado um intervalo de números reais, suponha que as contagens
ocorram através do intervalo. Se o intervalo puder ser dividido em
subintervalos com comprimentos suficientemente pequenos tal que
1. a probabilidade de mais de uma contagem em um subintervalo
seja zero,
2. a probabilidade de uma contagem em um subintervalo seja a
mesma para todos os subintervalos e proporcional ao
comprimento do subintervalo e
3. a contagem em cada subintervalo seja independente de outros
subintervalos,
Proposição
Se o número médio de contagens no intervalo for λ > 0, a variavel
aleatória X , que é igual ao número de contagens no intervalo, terá
uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de
distribuição de probabilidade de X dada por
P(X = x) =
e
−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, . . . .
Notação: X ∼ pois(x ;λ).
Média e Variância
I
E (X ) = λ.
I
V (X ) = λ.
Exemplo 15
O número de falhas em parafusos de maquinas da industria textil
segue segue a distribuição de Poisson com uma média de 0.1 por
metro quadrado
1. Qual é a probabilidade de que haja duas falhas em 1 metro
quadrado de tecido?
2. Qual é a probabilidade de que haja uma falha em 10 metros
quadrados de tecido?
3. Qual é a probabilidade de que não haja falhas em 20 metros
quadrados de tecido?
4. Qual é a probabilidade de que haja no mínimo duas falhas em
10 metros quadrados de tecido?
	Variáveis Aleatórias
	Variáveis Aleatórias discretas
	Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas
	Distribuição de probabilidade binomial
	Distribuição de probabilidade Hipergeométrica
	Distribuição de probabilidade Binomial Negativa
	Distribuição de probabilidade de Poisson