economia 2 aula 6

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1
 
“A arte de ensinar Economia de uma maneira simples, sem mistérios”. 
 De Maria Eulália, uma ex-aluna. 
 
AULA 6: ECONOMIA INTERTEMPORAL 
 
Parte 4: Teoria do crescimento: 
 O modelo de Solow 
 
 Observação: Embora se enquadre em Economia 
Intertemporal, a rigor, a rigor, teoria do crescimento não 
consta do programa de Economia do concurso do AFRFB. No 
entanto, em quase todas as provas anteriores deste concurso 
aparece pelo menos uma questão relativa ao modelo de 
crescimento de Solow. Esta é a razão pela qual decidimos 
incluir este tópico em nossa Economia 2. 
Mas, vale um alerta: trata-se de um tópico relativamente 
avançado da teoria econômica, apresentado através de 
equações e funções matemáticas que podem complicar para o 
aluno não iniciado em Economia e em matemática. Por isso, 
vale o conselho: se o texto parecer confuso, procure guardar 
pelo menos as premissas do modelo e suas conclusões. Isso 
pode ajudá-lo a resolver uma eventual questão deste tipo na 
prova. Feita essa ressalva, vamos lá: 
 
 
 
1. Introdução 
 
A teoria econômica vista por nós até agora – tal como mostrada 
nos modelos keynesianos de determinação do nível da renda/produto 
de equilíbrio, no sistema iS-LM, na geração e análise das curvas de 
oferta e demanda agregadas e, também, na análise do processo 
inflacionário - enfocava a economia no curto prazo. Como se 
costuma dizer, a análise de curto prazo da economia é uma análise 
estática, como se fosse uma fotografia num determinado instante da 
economia. 
No entanto, se quisermos uma explicação por que o produto 
interno do país cresce, e por que algumas economias crescem mais 
depressa que outras, temos de ampliar nossa análise para ver o que 
acontece no longo prazo. Ao fazer isso, transformamos nossa análise 
de estática em dinâmica, tal como num filme, ao invés de uma 
fotografia. 
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Para tanto, vamos tomar como exemplo o chamado modelo de 
crescimento de Solow – não por julgarmos que é o modelo mais 
representativo e completo da teoria do crescimento, mas sim por 
que, como dissemos, este modelo tem sido objeto de questões das 
provas de Economia dos concursos públicos, particularmente do 
AFRFB. 
O modelo de crescimento de Solow mostra como a poupança, o 
crescimento populacional e o progresso tecnológico afetam o nível do 
produto da economia e sua expansão no longo prazo. Neste texto, 
nós vamos expor o modelo de forma resumida, porém por partes, 
primeiro analisando o papel da poupança e do crescimento 
populacional e, depois, o do progresso tecnológico. Em fazendo assim 
acredito que esta análise se tornará mais “palatável” aos nossos 
alunos. 
 
 
2. A função de produção de longo prazo 
 
Como foi dito acima, o modelo de crescimento de Solow procura 
mostrar como o crescimento do estoque de capital, o crescimento do 
emprego da mão-de-obra e o progresso tecnológico interagem em 
uma economia e como afetam a produção total de bens e serviços de 
um país. Vamos apresentar este modelo por etapas, primeiro 
partindo da hipótese de que tanto a força de trabalho como a 
tecnologia são fixos, e, depois, relaxamos esta hipótese. 
 
Tal como aconteceu na nossa análise estática de curto prazo, 
também no modelo de Solow a oferta e a demanda agregadas de 
bens e serviços desempenham um papel fundamental. Uma primeira 
questão que, então, se levanta é: o que determina a quantidade do 
produto disponível num dado momento e quais os destinos ou como 
se distribui esse produto? 
A oferta de bens e serviços, no modelo Solow, baseia-se na função 
de produção – já nossa conhecida, - que diz que o nível de produção 
de depende do estoque de capital (K) e da quantidade de mão-de-
obra empregada (L). Ou, 
Y = f(K,L) (1) 
Uma observação importante é que a função de produção de Solow 
apresenta rendimentos ou retornos constantes de escala. Isso quer 
dizer, simplesmente, que, se se aumentar a quantidade dos dois 
fatores em 10%, o produto (Y) crescerá também 10%; se a 
quantidade de fatores crescer 5%, o produto crescerá os mesmos 
5%! Pode-se dizer, então, que o produto tem elasticidade unitária em 
relação à variação daqueles dois fatores de produção. 
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Agora, se dividirmos todos os termos da equação (1) por L, nós 
teremos: 
Y/L = f(K/L, 1) (2) 
Ou seja, pela equação (2), o produto por trabalhador (Y/L) 
depende, ou é uma função do estoque de capital por trabalhador 
(K/L) – lembrando que o nº 1 é uma constante e, como tal, pode ser 
ignorado. Agora, substituindo o produto por trabalhador – Y/L – por y 
e o capital por trabalhador (K/L) por k, a nossa função de produção 
pode ser expressa por: 
Y = f(k) (3) 
 Esta função de produção está ilustrada na Figura 1, onde a 
inclinação desta função nos permite ver qual será o produto extra de 
um trabalhador quando é acrescentada uma unidade a mais de 
capital. Essa produção extra corresponde ao produto marginal do 
capital – PMgK – que, matematicamente, pode ser assim expresso: 
PMgK = f(k + 1) – f(k) (4) 
 
Observe que, à medida que o capital aumenta, o produto 
marginal do capital se mostra decrescente. Isso decorre do fato de 
que, quando k é baixo, o trabalhador dispõe de pouco capital com 
que trabalhar e, assim, uma unidade adicional de capital é muito útil 
e gera um produto adicional relativamente grande; se, no entanto, k 
é alto, o trabalhador tem muito capital com que trabalhar, e assim 
uma unidade extra de capital pouco acrescenta em termos de 
produção. 
 
Visto como atua a oferta de produtos, vejamos agora a demanda 
agregada por bens e serviços. No modelo de Solow, a demanda 
agregada (y) se compõe do consumo por trabalhador (c) e do 
investimento por trabalhador (i), ou seja: 
y = c + i (5) 
A equação (5) omite, por conveniência, os gastos do governo e, 
por pressupor uma economia fechada, também omite as exportações 
líquidas (X - M). 
Também o modelo de Solow pressupõe que as pessoas poupam 
uma fração s de sua renda e consomem uma fração (1-s). Ou seja, a 
função consumo do modelo pode se assim definida: 
c = (1 –s)y (6) 
onde s é a taxa de poupança da economia, com um valor 
variando entre zero e 1. 
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Para verificar o que essa função consumo (6) acarreta para o 
investimento, vamos substituir c na equação (5) por essa função, 
encontrando: 
y = (1 – s)y + i (7) 
E, rearrumando os temos da equação (7), obtemos: 
i = sy (8) 
A equação (8) diz simplesmente o que nós já sabemos de aulas 
anteriores – ou seja, que o investimento é igual à poupança. Deste 
modo, a poupança s é também a fração do produto ou renda 
destinada ao investimento. 
Com as informações acima, podemos concluir que, para qualquer 
estoque de k dado, a função de produção y = f(k) determina quanto 
de produto a economia gera, enquanto a taxa de poupança s 
determina a distribuição desse produto entre consumo e 
investimento. 
 
3. O estoque de capital e o estado estacionário 
 
O estoque de capital – que é crucial para determinar o nível de 
produto da economia – pode variar ao longo do tempo, provocando 
com isso, crescimento econômico. 
O nível do estoque de capital é afetado por dois fatores: o 
investimento e a depreciação. O primeiro corresponde aos gastos 
com uma nova filial, ou a aquisição de novos equipamentos – o que 
aumenta aquele estoque; o segundo, isto é, a depreciação, refere-se 
ao desgaste das máquinas e equipamentos já existentes – o que 
reduzo estoque de capital. Vejamos um de cada vez. 
Como se viu acima, o investimento por trabalhador i é igual a sy. 
Pela substituição que fizemos por y, podemos expressar o 
investimento por trabalhador como uma função do estoque de 
capital por trabalhador, assim: 
I = sf(k) (9) 
A equação (9) relaciona o capital existente k à acumulação de 
novo capital i. 
Observe-se que, para qualquer valor de k, o produto é 
determinado pela função de produção f(k), e a repartição desse 
produto entre consumo e poupança é determinada pela taxa de 
poupança s. 
Para incorporar a depreciação no modelo, pressupomos que uma 
certa fração δ do estoque de capital se desgasta a cada ano. Aqui, a 
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letra grega δ é chamada de taxa de depreciação. Assim, por 
exemplo, se o capital tem uma vida média de 20 anos, a taxa de 
depreciação é de 5% ao ano (δ = 0,05). 
Podemos expressar o impacto do investimento e da depreciação 
sobre o estoque de capital pela seguinte equação: 
Variação do estoque de capital = investimento – depreciação 
Ou, ∆k = i - δk (10) 
Como o investimento i é igual a sf(k), podemos substituir este 
valor na equação (10), obtendo: 
∆k = sf(k) – δk (11) 
Pode-se afirmar que quanto maior o nível do estoque de capital, 
maior é o nível do produto, mas também maior será a depreciação, 
como está ilustrado na Figura 4. Como se pode ver na Figura 4, há 
um único estoque de capital k* em que o investimento iguala a 
depreciação. Se a economia atingir este nível de estoque de capital, o 
estoque de capital não variará, porque os dois fatores atuando sobre 
ele – o investimento e a depreciação – se equilibram, isto é, são 
iguais. Ou seja, em k*, k = 0; logo, o estoque de capital, k, e o 
produto f(k) são constantes ao longo do tempo (em vez de crescerem 
ou diminuírem). Chamamos k* de nível de capital de estado 
estacionário. 
E o que há de diferente neste estado estacionário? Há duas coisas 
importantes neste estado: primeiro, uma economia no estado 
estacionário, nele permanecerá; segundo, se uma economia não se 
encontra neste estado, para ele caminhará. 
Para entender por que uma economia sempre caminha para e 
acaba no estado estacionário, vamos raciocinar do seguinte modo: 
suponha que a economia esteja com menos estoque de capital do que 
o nível de capital do estado estacionário, ao nível, digamos, de k1. 
Nesse ponto, o nível de investimento supera a depreciação. Ao longo 
do tempo, o estoque de capital aumentará e continuará aumentando 
– junto com o produto f(k) – até se aproximar do estado estacionário 
k*. 
Do mesmo modo, suponha que a economia esteja com mais capial 
do que o do estado estacionário, como ocorreria, digamos, no nível 
k2. Neste ponto, o investimento é menor que a depreciação – ou seja, 
o capital se desgasta mais que o investimento novo. Então, o capital 
cairá, até se aproximar do nível do capital estacionário. 
Quando o estoque de capital alcança o estado estacionário, o 
investimento igual a depreciação e não há pressão para o estoque de 
capital aumentar nem para diminuir. Nesse sentido, o estado 
estacionário representa o equilíbrio da economia no longo prazo. 
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Um exemplo numérico: 
 
Vamos suor que a função de produção seja dada por: 
Y = K1/2L1/21 (12) 
Para obtermos a função de produção por trabalhador f(k), 
dividimos os dois lados da função de produção pela trabalho, L. 
Y/L = K1/2L1/2/L 
Rearrumando os termos, temos: 
Y/L = (K/L)1/2 (13) 
E, como já vimos que y = Y/L e k = K/L, a equação (13) se torna: 
Y =k1/2 (14) 
Esta equação (14) também pode ser escrita como: 
 Y = √k (15) 
O que a equação (15) está dizendo é que a produção por tralhador 
é igual à raiz quadrada do capital por trabalhador. 
Usando um exemplo com números, suponha que 30% do produto 
são poupados (s = 0,3), que 10% do estoque de capital realizado 
depreciam todo ano (δ = 0,1) e que a economia esteja com 4 
unidades por trabalhador (k = 4). Dados esses números, podemos 
agora examinar o que deve acontecer com essa economia no longo 
prazo. 
Vamos começar pelo estudo do produto e sua distribuição no 1º 
ano. Pela função de produção, as 4 unidades de capital por 
trabalhador geram 2 unidades de produto por trabalhador. Como 
30% do produto são poupados e investidos, e 70% são consumidos, i 
= 0,6 e c = 1,4. Como também 10% do estoque de capital se 
depreciam, δk = 0,4. 
Assim, com investimento = 0,6, e depreciação = 0,4, a variação 
do estoque de capital é ∆= 0,2. Deste modo, o 2º ano já começa com 
4,2 unidades de capital por trabalhador. Fazendo novos cálculos como 
este por muitos anos, a cada ano um capital novo é acrescentado e o 
produto cresce, aproximando-se do estado estacionário, até atingir 9 
unidades de capital por trabalhador. Nesse ponto, o investimento de 
 
1Esta é a conhecida função de produção Cobb-Douglas, onde o expoente ½ corresponde `a elasticidade do 
produto (Y) a uma variação percentual de K e de L, 
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0,9 compensa a depreciação de 0,9. Aí, o estoque de capital e o 
produto não estão mais crescendo. 
 
4. Efeito da poupança sobre o crescimento 
 
Vamos ver o que acontece com uma economia quando sua taxa de 
poupança aumenta. Supõe-se que a economia esteja em um estado 
estacionário, com a taxa de poupança s1, e o estoque de capital k*1. 
Quando a taxa de poupança aumenta de s1 para s2, a curva sf(k) se 
desloca para cima. À taxa de poupança inicial s1 e ao estoque de 
capital inicial k*1, o investimento apenas compensa a depreciação. 
Logo após o aumento da taxa de poupança, o investimento torna-se 
maior, mas o estoque de capital e a depreciação permanecem 
inalterados. Portanto, o investimento excede a depreciação. O 
estoque de capital aumentará gradativamente, até que a economia 
alcance o novo estado estacionário k*2, que tem um estoque de 
capital maior e um nível de produto superior ao estado estacionário 
anterior. 
O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é um 
determinante fundamental do estoque de capital do estado 
estacionário, podendo ser concluído que: 
-Se a taxa de poupança é alta, a economia terá um grande 
estoque de capital e um nível de produto elevado; se a taxa de 
poupança é baixa, a economia terá um pequeno estoque de 
capital e um nível de produto reduzido. 
 E o que diz o modelo Solow sobre a relação entre poupança e 
crescimento econômico? A resposta é: a poupança maior leva a um 
crescimento mais rápido, mas apenas temporariamente, só até que a 
economia atinja o novo estado estacionário. Se a economia mantém 
uma alta taxa de poupança, manterá um grande estoque de capital e 
um alto nível de produção, mas não será capaz de manter uma 
elevada taxa de crescimento para sempre. 
 
5. Os efeitos do crescimento populacional 
 
O modelo de Solow básico mostra que a acumulação de capital, 
por si só, não pode explicar o crescimento econômico sustentado: 
taxas elevadas de poupança levam a um grande crescimento 
temporário, mas a economia acaba se aproximando de um estado 
estacionário, em que capital e produto são constantes. 
Para explicar o crescimento econômico sustentado, devemos 
introduzir em nosso modelo o crescimento populacional e o progresso 
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tecnológico. Nessa seção, vamos analisar o crescimento populacional. 
Para tanto, vamos imaginar que a população e a força de trabalho 
crescem a uma taxa constante η. Assim,se a população do Brasil 
crescer a uma taxa de 2% ao ano, η = 0,02. 
Mas, então, qual é o efeito do crescimento populacional sobre o 
estado estacionário? 
Como já foi dito, o investimento aumenta o estoque de capital por 
trabalhador, enquanto a depreciação o reduz. Mas, agora, o 
crescimento do número de trabalhadores faz, também, com que o 
capital por trabalhador diminua. 
Vamos continuar utilizando letras em caixa baixa para representar 
as quantidades por trabalhador. Assim k = K/L é o capital por 
trabalhador e y = Y/L é o produto por trabalhador. Como, agora, o 
número de trabalhadores está crescendo ao longo do tempo, a 
variação do estoque de capital por trabalhador é: 
∆k = i – (δ+ η)k (16) 
A equação (16) mostra como o investimento, a depreciação e o 
crescimento populacional influem no estoque de capital por 
trabalhador. O investimento aumenta k, enquanto a depreciação e o 
crescimento populacional diminuem k. 
Pode-se imaginar o termo (δ+ η)k como definindo o investimento 
de equilíbrio, que é a quantidade necessária de investimento para se 
manter constante o capital por trabalhador, incluindo nesse 
investimento não só a depreciação do capital existente – que é igual 
a δk – como também o investimento necessário para proporcionar 
capital aos novos trabalhadores. O investimento necessário para esse 
propósito é nk, porque há η novos trabalhadores para cada 
trabalhador existente, porque k é o capital por trabalhador. 
A equação (16) mostra que o crescimento populacional reduz a 
acumulação de capital por trabalhador, como também o faz a 
depreciação. 
Nossa análise com o crescimento populacional prossegue agora 
como antes. Primeiro, substituímos sf(k) por i. A equação (16) pode 
então ser escrita como: 
∆k = sf(k) – (δ+ η)k (17) 
Note-se que uma economia está no estado estacionário se o 
capital por trabalhador permanece inalterado. Como antes, 
designamos o valor no estado estacionário de k como k*. Se k é 
menor k*, o investimento é maior do que o investimento de 
equilíbrio; portanto, k aumenta. Se k é maior que k*, o investimento 
é inferior ao investimento de equilíbrio e, então, k diminui. 
 
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Ou seja, no estado estacionário, o efeito positivo do investimento 
sobre o estoque de capital por trabalhador equilibra exatamente os 
efeitos negativos da depreciação e do crescimento populacional. 
Depois que a economia está em estado estacionário, o investimento 
tem dois propósitos. Uma parte (δk*) substitui o capital depreciado, e 
o restante (ηk*) proporciona aos novos trabalhadores o capital de 
estado estacionário. 
 
6. Os efeitos do progresso tecnológico 
 
Vamos, agora, introduzir no modelo de crescimento de Solow o 
progresso tecnológico. Para tanto, devemos retornar à função de 
produção, que relaciona o capital total – K – e o trabalho total – L – 
com o nível do produto total – Y. Com isso, a função de produção que 
era expressa por Y=F(K,L), passa a ser expressa por: 
Y=F(K,L x E) (18) 
onde E é uma variável chamada eficiência do trabalho – que 
reflete o nível de conhecimento da sociedade sobre técnicas e 
métodos de produção. Assim, novas tecnologias melhoram a 
eficiência do trabalho. A rigor, esta eficiência do trabalho também 
melhora quando melhora a saúde e a educação. 
O termo LxE, da equação (18), é a força de trabalho medida em 
unidades de eficiência e que leva em conta o número de 
trabalhadores L e a eficiência de cada trabalhador. No caso da função 
de produção, os aumentos da eficiência do trabalho E funcionam 
como se houvesse aumentos da força de trabalho L. 
Trocando em miúdos, o progresso tecnológico faz com que a 
eficiência do trabalho E cresça a uma taxa constante g. Assim, se g = 
0,02, cada unidade de trabalho torna-se 2% mais eficiente a cada 
ano e o produto aumenta como se tivesse sido aumentada a 
quantidade de trabalho naquele montante. 
Essa forma de progresso tecnológico é chamada de incorporadora 
de trabalho, e g é a taxa de progresso tecnológico incorporador 
de trabalho. Como a força de trabalho L está crescendo à taxa η e a 
eficiência de cada unidade de trabalho E cresce à taxa g, o número de 
unidades de eficiência LxE cresce à taxa η + g. 
Vale registrar que nossa análise da economia continua da mesma 
maneira que ocorria quando examinamos o crescimento populacional. 
O que altera é a equação que mostra a evolução de k ao longo do 
tempo que, agora, muda para: 
∆k = sf(k) – (δ+ η +g)k (19) 
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Como antes, a mudança do estoque de capital ∆ké igual ao 
investimento sf(k) menos o investimento de equilíbrio (δ+ η +g)k. 
Uma observação importante é que, com inclusão do progresso 
tecnológico, o modelo de Solow pode explicar os aumentos 
sustentados dos padrões de vida que se observam nos países 
desenvolvidos. Enquanto a poupança só leva a uma alta taxa de 
crescimento até que se alcança o estado estacionário, o progresso 
tecnológico pode levar a crescimento sustentado do produto por 
trabalhador. No estado estacionário, a taxa de crescimento do 
produto por trabalhador depende apenas do progresso tecnológico. 
 
7. Um resumo do modelo de Solow (guarde isso!) 
 
Podemos resumir os principais pontos e características do modelo 
de Solow do seguinte modo: 
i) O modelo de crescimento de Solow mostra que, no longo 
prazo, a taxa de poupança de uma economia determina o 
tamanho do seu estoque de capital, e com isso seu produto. 
Em outras palavras, quanto maior a poupança, maior o 
capital realizado, e mais alto o produto. 
ii) No modelo de Solow, um aumento da taxa de poupança 
proporciona um período de rápido crescimento, mas 
eventualmente esse crescimento diminui à medida que se 
alcança o novo estado estacionário. Ou seja, embora uma 
alta taxa de poupança proporcione um produto elevado em 
estado estacionário, a poupança por si só não pode gerar o 
crescimento sustentado. 
iii) O nível de capital que maximiza o consumo no estado 
estacionário é chamado de nível da Regra de Ouro. 
iv) Ademais, o modelo de Solow mostra que a taxa de 
crescimento populacional de uma economia é outro 
determinante do padrão de vida no longo prazo. Quanto 
maior a taxa de crescimento populacional, menor o produto 
por trabalhador. 
v) Incluindo no modelo o progresso tecnológico, a taxa de 
crescimento da renda per capita, no estado estacionário, é 
determinada exclusivamente pela taxa exógena do 
progresso tecnológico. 
vi) E, por fim, como conclusão, o modelo de Solow mostra que 
a poupança, o crescimento populacional e o progresso 
tecnológico se constituem nos motores propulsores do 
crescimento do padrão de vida de uma nação. 
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* * * 
 Com esse resumo-conclusão, encerramos esta nossa Aula de n° 7 - 
que, certamente, se constitui na parte teórica mais complexa e mais difícil 
entendimento. 
 Como dissemos no início, a rigor este tópico não consta do programa 
de Economia do Edital do concurso do AFRFB, mas fizemos questão de 
transformá-lo num dos temas de nossas Aulas de Economia 2 porque em 
praticamente todas as provas de Economia dos concursos mais recentes de 
Auditor Fiscal aparece uma ou mais questão sobre este modelo de Solow. 
Por que isso acontece, eu não sei. Talvez algum dos elaboradores da prova 
gosta desse modelo. Afinal, existe gosto pra tudo, não é mesmo? 
 Na nossa próxima (e última) Aula versará sobre Contas do Sistema 
Financeiro – a rigor, o único tópico do programa de Economia que ainda não 
foi abordado em nossas Aulas. Até lá, então! 
 
__________________ 
Bibliografia consultada:Este texto foi extraído, com algumas alterações na redação, do Cap. 
7 do livro de N.G.Mankiw, Macroeconomia, 5ª edição, Editora LTC, R. 
Janeiro, 2004. As alterações que introduzimos na redação objetivaram, 
precipuamente, tornar o texto mais palatável ao aluno não-economista. 
 Este mesmo tópico está exposto também em R.Vasconcelos – 
Macroeconomia – porém de uma forma mais matemática e menos descritiva 
– o que torna o modelo praticamente ininteligível para os não iniciados em 
economia e para aqueles que não têm muita base matemática.