Aula 03: Sistemas de Numeração

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CCT0307 - Organização e Arquitetura de Computadores 
Aula 03: Sistemas de Numeração 
Prof. MSC Sheila Monteiro 
Organização e Arquitetura de Computadores 
AULA 03: Sistemas de Numeração 
Bases e seus algarismos 
 Utilizamos o sistema decimal (base 10) em nosso cotidiano, no qual temos 
algarismos de 0 a 9 representando valores de unidades, dezenas, centenas, etc. 
 Algarismos na base decimal (10): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 Mas, existem outras bases (sistemas) de numeração com os quais o 
computador opera. Os algarismos dessas bases são: 
 
 Algarismos na base binária (2): 0 1 
 Algarismos na base hexadecimal (16): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 
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Notação posicional 
 Nota que dependendo da posição (notação posicional) o algarismo assume 
um valor diferente 
 
 Cada posição corresponde a uma potência da base começando em ZERO 
(mais à direita) 
 Por exemplo: 258 na base 10 ou 25810 
 258 = 2 * 10² + 5 * 10¹ + 8 * 100 
 (2 centenas + 5 dezenas + 8 unidades) 
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Notação posicional 
 A representação dos números nas bases binária e hexadecimal obedece às 
mesmas regras da representação na base decimal (notação posicional) 
 
 Esta forma pode ser generalizada pelo somatório de cada algarismo 
multiplicado pela potência da base equivalente a sua posição 
 10102 = 1* 23 + 0* 22 + 1* 21 + 0* 20 = 10 na base decimal 
 
 A2516 = A * 162 + 2* 161 + 5 *160 = 2597 na base decimal 
 Obs: A equivale ao número 10 na base decimal 
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Combinações em cada base 
 Para uma determinada base B, empregando-se n dígitos pode-se representar 
Bn combinações distintas 
 
 Considere, por exemplo, a representação em base decimal com 3 dígitos. 
Esta representação fornece 103 (portanto, 1000) números distintos (de 000 a 
999) 
 
 Se, no entanto, utilizarmos a base binária, para os mesmos 3 dígitos, tem-se 
23 (portanto, 8) números distintos (de 000 a 111) 
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Base decimal 
130310 = 1000 + 300 + 0 + 3 = 1 x 10
3 + 3 x 102 + 0 x 101 + 3 x 100 
 
N = dn-1 x b
n-1 + dn-2 x b
n-2 + .......+ d1 x b
1 + d0 x b
0 
 onde: 
d : indica cada algarismo do número; 
b: indica a base de numeração; 
n: indica o número de dígitos inteiros. 
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Base decimal 
10112 = 1 x 2
3 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110 
 
N = dn-1 x b
n-1 + dn-2 x b
n-2 + .......+ d1 x b
1 + d0 x b
0 
 onde: 
d : indica cada algarismo do número; 
b: indica a base de numeração; 
n: indica o número de dígitos inteiros. 
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Base Hexadecimal 
Dispomos de 16 algarismos diferentes: 
0,1,2,3,....,9, A,B,C,D,E,F 
 (1A7B)16 = 1 x 16
3 + 10 x 162 + 7 x 161 + 11 x 160 = 
 4096 + 2560 + 112 + 11 = 677910 
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Base Hexadecimal 
Dispomos de 16 algarismos diferentes: 
0,1,2,3,....,9, A,B,C,D,E,F 
 (1A7B)16 = 1 x 16
3 + 10 x 162 + 7 x 161 + 11 x 160 = 
 4096 + 2560 + 112 + 11 = 677910 
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Base Hexadecimal 
Dispomos de 16 algarismos diferentes: 
0,1,2,3,....,9, A,B,C,D,E,F 
 (1A7B)16 = 1 x 16
3 + 10 x 162 + 7 x 161 + 11 x 160 = 
 4096 + 2560 + 112 + 11 = 677910 
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Base Hexadecimal 
Entre bases 2 e 16 16=24 
(1011011011)2 = ( )16 
 (0010) (1101) (1011)2 = (2DB)16 
 
 
(10011100101101)2 = ( )16 
(0010) (0111) (0010) (1101)2 = (272D)16 
Base 2 Base 10 Base 16 
 0 0 0 
 1 1 1 
 10 2 2 
 11 3 3 
 100 4 4 
 101 5 5 
 110 6 6 
 111 7 7 
 1000 8 8 
 1001 9 9 
 1010 10 A 
 1011 11 B 
 1100 12 C 
 1101 13 D 
 
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Entre base B e base 10 
(101101)2 = ( )10 
b=2 (a base de origem) 
N = 6 ( 6 algarismos) 
N-1 = 5(expoente do 1º produto mais à esquerda) 
 
 1 x 25 + 0 x 24 + 1x 23 + + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 
 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 4510 
N = dn-1 x b
n-1 + dn-2 x b
n-2 + .......+ d1 x b
1 + d0 x b
0 onde: 
d : indica cada algarismo do número; 
b: indica a base de numeração; 
n: indica o número de dígitos inteiros. 
 
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Entre base B e base 10 
Entre base B e base 10 
(2A5)16 = ( )10 
b=16 (a base de origem) 
N = 3 ( 6 algarismos) 
N-1 = 2(expoente do 1º produto mais à esquerda) 
 2 x 162 + 10 x 161 + 5x 160 = 512 + 160 + 5 = 67710 
N = dn-1 x b
n-1 + dn-2 x b
n-2 + .......+ d1 x b
1 + d0 x b
0 onde: 
d : indica cada algarismo do número; 
b: indica a base de numeração; 
n: indica o número de dígitos inteiros. 
 
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Números decimais para uma base B 
A conversão é obtida dividindo-se o número decimal pelo valor da base desejada. 
 
4510 = ( ) 2 45/2 = 22 resto =1 
 22/2 = 11 resto = 0 
 11/2 = 5 resto = 1 
 5/2 = 2 resto = 1 
 2/2 = 1 resto = 0 
 1/2 = 0 resto = 1 resp: 101101 
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Números decimais para uma base B 
A conversão é obtida dividindo-se o número decimal pelo valor da base desejada. 
9710 = ( ) 2 97/2 = 48 resto =1 
 48/2 = 24 resto = 0 
 24/2 = 12 resto = 0 
 12/2 = 6 resto = 0 
 6/2 = 3 resto = 0 
 3/2 = 1 resto = 1 
 1/2 = 0 resto = 1 resp: 1100001 
 
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Números decimais para uma base B 
A conversão é obtida dividindo-se o número decimal pelo valor da base desejada. 
275410 = ( ) 16 2754/16 = 172 resto = 2 
 172/16 = 10 resto = 12 
 10/16 = 0 resto = 16 
 resp: AC2 
 
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Números decimais para uma base B 
A conversão é obtida dividindo-se o número decimal pelo valor da base desejada. 
49010 = ( ) 16 
 490/16 = 30 resto = 10 
 30/16 = 1 resto = 14 
 1/16 = 0 resto = 1 
 resp: 1EA