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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO - UNEMAT
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas – FACET / Sinop
Curso de Bacharelado em Engenharia Elétrica
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1
Professor: Matheus Dias de Lima
Sinop, 05 de Abril de 2018
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Resistores em série e divisão de tensão
A necessidade de se associar resistores em série e em paralelo ocorre de forma
tão frequente que merece especial atenção. Esse processo pode ser facilitado
associando-se dois resistores por vez. 
Considere o circuito com um único laço da Figura abaixo:
Figura - Circuito com um único laço e dois resistores em série.
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Aplicando a lei de Ohm a cada um dos resistores, obtemos:
Se aplicarmos a LKT ao laço (percorrendo-o no sentido horário), temos:
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Combinando as Equações, obtemos:
Observe que a Equação acima pode ser escrita como:
o que implica o fato dos dois resistores poderem ser substituídos por um resistor 
equivalente Req; isto é:
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Portanto:
A resistência equivalente de qualquer número de resistores ligados em
série é a soma das resistências individuais.
Para N resistores em série então:
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Logo:
Se as relações de tensão e corrente para os resistores são dadas pelas 
equações abaixo:
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Substituindo a equação da corrente do circuito na equação para tensão nos 
resistores, tem-se:
Note que a tensão da fonte v é dividida entre os resistores na proporção direta
de suas resistências; quanto maior for a resistência, maior a queda de tensão.
Isso é chamado princípio da divisão de tensão e o circuito é denominado divisor 
de tensão.
Em geral, se um divisor de tensão tiver N resistores (R1, R2, ..., RN) em série com a 
tensão de entrada v, o n-ésimo resistor (Rn) terá uma queda de tensão de:
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Resistores em paralelo e divisão de corrente
Consideremos o circuito da Figura abaixo, em que dois resistores estão conectados 
em paralelo e, portanto, possuem a mesma queda de tensão entre eles.
Da lei de Ohm:
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Aplicando a LKC no nó a obtemos a corrente total i, conforme indicado
a seguir:
Desse modo:
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onde Req é a resistência equivalente dos resistores em paralelo:
ou
Logo:
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Portanto resistência equivalente de dois resistores em paralelo é igual ao 
produto de suas resistências dividido pela sua soma.
Deve-se enfatizar que isso se aplica apenas a dois resistores em paralelo. 
Podemos estender o resultado da Equação mostrada ao caso geral de um circuito 
com N resistores em paralelo. A resistência equivalente é:
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Capacitores
Capacitor é um elemento passivo projetado para armazenar energia 
em seu campo elétrico. 
Um capacitor é formado por duas placas condutoras separadas por um
isolante (ou dielétrico).
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Quando uma fonte de tensão v é conectada ao capacitor, como na
Figura a fonte deposita uma carga positiva q sobre uma placa e uma carga
negativa –q na outra placa. Diz-se que o capacitor armazena a carga
elétrica. A quantidade de carga armazenada, representada por q, é
diretamente proporcional à tensão aplicada v de modo que
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onde C é a constante de proporcionalidade, é conhecida 
como a capacitância do capacitor, e sua unidade é o farad (F).
Capacitância é a razão entre a carga depositada em uma 
placa de um capacitor e a diferença de potencial entre as duas 
placas, medidas em farads (F).
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Embora a capacitância C de um capacitor seja a razão entre a 
carga q por placa e a tensão aplicada v, ela não depende de q ou v, 
mas, sim, das dimensões físicas do capacitor. Por exemplo, para o 
capacitor de placas paralelas, a capacitância é dada por :
onde A é a área de cada placa, d é a distância entre as placas é a 
permissividade do material dielétrico entre as placas.
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Embora a Equação se aplique apenas a capacitores com placas 
paralelas, podemos inferir a partir dela que, geralmente, três fatores 
determinam o valor da capacitância:
1. A área das placas – quanto maior a área, maior a capacitância.
2. O espaçamento entre as placas – quanto menor o espaçamento, maior 
a capacitância.
3. A permissividade do material – quanto maior a permissividade, maior a
capacitância.
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No mercado, encontram-se capacitores de diversos valores e
tipos. Normalmente, os capacitores possuem valores na casa dos
picofarads (pF) a microfarads (mF) e são descritos conforme o material
dielétrico com que são feitos e pelo tipo variável ou então fio.
(a) (b)
Símbolos para capacitores:
(a) capacitor fio; (b) capacitor variável.
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A Figura abaixo apresenta tipos comuns de capacitores de valor fixo
(a) (b) (c)
Capacitores fixos: (a) capacitor de poliéster; (b) capacitor cerâmico; (c)
capacitor eletrolítico. 
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Estáveis e sua variação com a temperatura é 
previsível.
O capacitor de poliéster tem capacitância mediana, desde alguns nF
até alguns uF, e também apresenta capacidade de operar em frequências
elevadas, porém com baixa capacidade de corrente. Em geral apresenta
dimensões relativamente pequenas. Pode ser encontrado com diferentes cores,
mas as mais comuns são laranja e azul.
Formado porvárias camadas de poliéster e alumínio, o que o 
torna bastante compacto. 
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Os capacitores cerâmicos são usados para circuitos de alta
frequência e corrente contínua, e armazenam pequenas quantidades de
cargas elétricas. O capacitor cerâmico certamente é o tipo mais comum e
mais usado de capacitores, sendo encontrado em equipamentos
eletrônicos como televisores, rádios, flashs de câmeras
Consiste em um disco de cerâmica (material dielétrico),
com duas fitas metálicas em cada uma das suas faces.
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Diferencia-se dos demais por ter o material dielétrico de
espessura extremamente pequena com relação aos outros.
Internamente é composto por duas folhas de alumínio, separadas
por uma camada de óxido de alumínio, enroladas e embebidas em
um eletrólito líquido. Esse tipo de capacitor é encontrado em fontes
de tensão, onde além de tornar a fonte mais estável é capaz de
filtrar possíveis ruídos que possam vir da rede elétrica.
Possui polaridade
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Os capacitores variáveis são usados em receptores de rádio, 
possibilitando a sintonia de várias estações. Além disso, são usados para 
bloquear CC, deixar passar CA, deslocar fases, armazenar energia, dar 
partida em motores e suprimir ruído.
Capacitores variáveis: (a) trimmer; (b) trimmer de filme.
(a)
(b)
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Para obter a relação corrente-tensão do capacitor, utilizamos
a derivada de ambos os lados da Equação:
Diferenciando ambos os lados da Equação, obtemos:
Essa é a relação entre corrente e tensão para um capacitor
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A relação tensão-corrente de um capacitor linear pode ser
obtida integrando ambos os lados da equação, Obtemos:
ou
v(t0) = q(t0)/C é a tensão no capacitor no instante t0. A Equação acima 
mostra que a tensão do capacitor depende do histórico da corrente do 
capacitor. Portanto, o capacitor tem memória – uma propriedade que é 
muitas vezes explorada.
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A potência instantânea liberada para o capacitor é:
A energia armazenada no capacitor é, portanto:
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Percebemos que v(–∞) = 0, pois o capacitor foi descarregado em t = –∞. Logo,
Ou ainda com base que q=CV
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Destacamos a seguir as importantes propriedades de um capacitor:
1.um capacitor é um circuito aberto em CC
2. A tensão em um capacitor não pode mudar abruptamente.
(a) (b)
A tensão nos terminais de um capacitor: (a) permitida; (b) não
permitida; não é possível uma mudança abrupta.
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Destacamos a seguir as importantes propriedades de um capacitor:
1.um capacitor é um circuito aberto em CC
2. A tensão em um capacitor não pode mudar abruptamente.
(a) (b)
A tensão nos terminais de um capacitor: (a) permitida; (b) não
permitida; não é possível uma mudança abrupta.
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Modelo de circuito de um capacitor não ideal.
A resistência de fuga pode chegar a valores bem elevados 
e pode ser desprezada para a maioria das aplicações 
práticas.
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Capacitores em paralelo
Para obtermos o capacitor equivalente Ceq de N capacitores em paralelo,
consideremos o circuito da Figura. Note que os capacitores possuem a mesma
tensão v entre seus terminais. Aplicando a LKC à Figura:
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Como, ic= Cdv/dt. Portanto:
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Desse modo:
a capacitância equivalente de N capacitores ligados em paralelo é a 
soma de suas capacitâncias individuais.
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Capacitores em série
Aplicando a LKT ao laço da Figura:
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Como: 
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Onde:
a capacitância equivalente dos capacitores associados em série é o 
inverso da soma dos inversos das capacitâncias individuais.
Para dois capacitores em série a Equação fica:
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Indutores
Indutor é um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu
campo magnético.
Os indutores têm inúmeras aplicações em eletrônica e sistemas de
potência, em fontes de tensão, transformadores, rádios, TVs e etc.
Um indutor consiste em uma bobina de fio condutor.
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Indutores
Indutor é um elemento passivo projetado para armazenar energia em seu
campo magnético.
Os indutores têm inúmeras aplicações em eletrônica e sistemas de
potência, em fontes de tensão, transformadores, rádios, TVs e etc.
Um indutor consiste em uma bobina de fio condutor.
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Ao passar uma corrente através de um indutor, constata-se que a 
tensão nele é diretamente proporcional à taxa de variação da 
corrente. 
onde L é a constante de proporcionalidade denominada indutância do 
indutor. A unidade de indutância é o henry (H).
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Indutância é a propriedade segundo a qual um indutor se 
opõe à mudança do fluxo de corrente através dele, medida 
em henrys (H).
A indutância de um indutor depende de suas dimensões físicas e de sua
construção. Por exemplo, para o indutor solenoide:
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onde N é o número de espiras, / é o comprimento, A é a área da seção 
transversal e m é a permeabilidade do núcleo. 
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•Bobinas com núcleo de ferrite: Feitas de um tipo de
cerâmica ferrimagnética não condutora, não apresentando
correntes parasitas, além de baixa histerese. São empregas em
altas frequências, onde o material apresenta maior rendimento.
Principais tipos de indutores:
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•Bobinas com núcleo de ar: São indutores que não utilizam
núcleo de material ferromagnético. Possuem baixa indutância e
são utilizadas em altas frequências, pois não apresentam as
perdas de energia causadas pelo núcleo, as quais aumentam
consideravelmente com a frequência.
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•Bobinas Toroidais: Em indutores em forma de bastão, o
campo magnético circula não só pelo núcleo, mas também
pelo ar entre uma extremidade e outra da bobina. Isso
causa grandes perdas, diminuindo o valor da indutância.
Um núcleo toroidal é feito geralmente de ferrite e possui o
formato de uma rosca, criando um caminho fechado para a
circulação do campo magnético, aumentando, com isso, o
valor da indutância.
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•Bobinas com núcleo ferromagnético: Empregam
materiais ferromagnéticos no núcleo, aumentando milhares
de vezes o valor da impedância, devido ao aumento e
concentração do campo magnético. Entretanto, apresentam
diversos efeitos colaterais, tais como correntes de Foucault,
histerese, saturação etc.
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•Bobinas com núcleo laminado: Muito utilizadas em
transformadores e outros indutores que operam em baixa
frequência. O núcleo dessas bobinas é feito de finas camadas
de aço-silício, envolvidas por uma cobertura de verniz
isolante. O verniz isolante previne a formação de correntes
parasitas (Foucault) e a adição de silício ao aço reduz a
histerese do material.
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Símbolos para indutores:
(a) (b) (c)
(a) núcleo preenchido com ar; (b) núcleo de ferro; (c) núcleo de ferro 
variável.
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A relação corrente-tensão para indutores é obtida da equação como 
segue:
Integrando, obtemos
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Ou ainda:
A potência liberada para o indutor é:
A energia armazenada é:
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Como i(–∞) = 0
Observe as seguintes propriedades importantes de um indutor:
1.um indutor atua como um curto-circuito em CC.
2.a corrente através de um indutor não pode mudar 
instantaneamente.
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(a) (b)
Corrente através de um indutor: (a) permitida; (b) não permitida; uma 
mudança abrupta não é possível.
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Modelo de circuito para um indutor real.
Onde Rw é a resistência de enrolamento e Cw é a capacitância de 
enrolamento. 
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Indutores em série
Considere uma ligação em série de N indutores, conforme mostrado na
figura. Os indutores têm a mesma corrente passando por eles. Aplicando a 
LKT ao laço:
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Como:
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Onde:
A indutância equivalente de indutores conectados em série é a soma 
das indutâncias individuais.
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Indutores em paralelo
Consideremos agora uma ligação em paralelo de N indutores, como mostrado na 
figura. Os indutores possuem a mesma tensão entre seus terminais. Usando a 
LKC:
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Como:
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Desse modo:
A corrente inicial i(t0) através de Leq no instante t = t0 deve ser, segundo a 
LKC, a soma das correntes dos indutores no instante t0. Portanto:
A indutância equivalente de indutores paralelos é o inverso da soma dos
inversos das indutâncias individuais.
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Para dois indutores em paralelo:
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Obtenha a energia armazenada em cada capacitor na figura abaixo em 
condições de CC.
Exercício
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Exercício:
Para o circuito da Figura,� � = �(� − �����)��. Se i2(0) = –1 mA, 
determine: (a)i1(0); (b) v(t), v1(t) e v2(t); (c) i1(t) e i2(t)
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6. REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
SADIKU, MATTHEW N. O. II. Fundamentos de circuitos elétricos [recurso 
eletrônico]. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão técnica: Antônio 
Pertence Júnior. Porto Alegre: AMGH, 2013. 5ª ed.
NILSON, JAMES W. Circuitos elétricos. Tradução: Arlete Simille Marques; revisão 
técnica: Antônio Emilio Angueth de Araújo, Ivan José da Silva Lopes. São Paulo: 
PEARSON PRENTICE HALL, 2009. 8ª ed.