apostila org.computadores part1

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Instituto Politécnico 
Curso: Tec. Redes de Computadores 
Disciplina: Organização de Computadores 
Prof.: Fábio Lucena Veloso 
 
Curso: Tec. Análise de Sistemas 
Disciplina: Organização de Computadores 
Prof.: Roberto Barros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 1
Conceituação: 
 
Processamento de dados: 
 
Um computador é uma máquina (conjunto de partes eletrônicas e eletro-mecânicas) capaz de 
sistematicamente coletar, manipular e fornecer resultados da manipulação de informações para um ou mais 
objetivos. Por ser uma máquina composta de vários circuitos e componentes eletrônicos, também é 
chamada de equipamento de processamento eletrônico de dados. 
Processamento de dados consiste, então, em uma série de atividades ordenadamente realizadas, com o 
objetivo de produzir um arranjo determinado de informações a partir de outras obtidas em inicialmente. Ou 
seja, o objetivo do processamento será transformar dados em informações. 
 
C ador = sistema de computação 
 
 
 
C
 
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P
 
C
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omput
sistema ou equipamento eletrônico de processamento de dados 
conjuntos de componentes eletrônicos e eletro-mecânicos. 
apaz de: coletar, armazenar, processar, recuperar e apresentar dados. 
 manipulação das informações coletadas no início da atividade chama-se processamento; 
s informações iniciais são usualmente denominadas dados. O termo dado e informação podem ser 
atados como sinônimos ou como termos distintos; 
ado pode ser definido como a matéria prima originalmente obtida de uma ou mais fontes (etapa de coleta) 
 informação, como o resultado do processamento, isto é, o dado processado ou acabado. 
ossa figura abaixo mostra o esquema básico de um processamento de dados (manual ou automático), que 
sulta em um produto acabado: a informação. Informação subentende dados organizados (segundo uma 
rientação específica) para o atendimento ou emprego de uma pessoa ou grupo que os recebe. Como o 
onhecimento e a tomada de decisão são importantes em várias áreas e em diferentes níveis hierárquicos de 
ma organização, a informação para uma determinada pessoa ou grupo pode ser considerada como um 
ado para outra. Dado e informação são conceitos relativos, dependem do contexto. O que é informação 
ara um pode ser um simples dado para outro ou o mesmo em outro momento. 
DADO PROCESSAMENTO INFORMAÇÃO 
rincipais operações no processamento de dados: 
álculos; 
esquisa ou busca (search); Exemplo: verificar se um nome consta da lista de aprovados no vestibular. 
rdenação (sort); Exemplo: colocar uma lista de nomes em ordem alfabética. 
eleção (selection); Exemplo: selecionar os alunos que ficaram em prova final. 
lassificação (classification); Exemplo: percorrer uma lista de alunos e gerar outras duas classificando 
ada um como aprovado ou reprovado. 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 2
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istemas. 
 processamento eletrônico de dados, devido à sua própria natureza (conjunto de componentes separados 
ue se integram segundo procedimentos e regras previamente estabelecidos), vem se desenvolvendo de 
cordo com conceitos de outra ciência; Teoria de sistemas. 
m sistema pode ser definido de diferentes maneiras. Porém, a mais apropriada para nós é: 
Conjunto de partes coordenadas que concorrem para a realização de um determinado objetivo”. 
tualmente, o enfoque sistêmico se faz presente em várias áreas do desenvolvimento comercial, científico, 
dustrial e social. 
istemas de processamento de dados são aqueles responsáveis pela coleta, armazenamento, processamento 
 recuperação em equipamentos de processamento eletrônico, dos dados necessários ao funcionamento de 
m outro sistema maior; o sistema de informações. 
 sistema de informações de uma empresa pode ser conceituado como o conjunto de métodos, processos e 
quipamentos necessários para se obter, processar e utilizar informações dentro da empresa. Desta forma, 
le compreende não só o sistema de processamento de dados, como também todos os procedimentos 
anuais necessários a prover informações para um determinado nível de decisão de uma organização. Em 
ualquer organização, os sistemas de informações se desenvolvem segundo duas dimensões: “os 
omponentes da organização”, isto é, seus diversos setores funcionais, e o “nível de decisão”, o qual 
bedece a uma hierarquia clássica. 
ível operacional (de execução corriqueira e imediata, de competência dos menores escalões); 
ível gerencial (de nível intermediário de competência da gerência setorial); 
lto nível da organização (de nível estratégico, de competência da diretoria). 
 tipo de decisão tomada em cada nível requer um diferente grau de agregação da informação e, em 
onseqüência, diferentes tipos de relatórios e/ou apresentação e o uso da informação. 
entro deste enfoque, um sistema de processamento de dados compreende duas partes: “o sistema de 
omputação” (o computador e os programas básicos) e os “sistemas de aplicação”. O primeiro, 
ormalmente é fornecido completo pelo fabricante do equipamento, e o último, desenvolvido pelo usuário 
u por terceiros, especificamente dedicado à aplicação de interesse do usuário. 
istema de computação: 
ualquer processamento de dados requer a execução de uma série de etapas que podem ser realizadas de 
rma manual ou automática por um computador. Tais etapas elaboradas e executadas passo a passo 
onstituem o que chamamos de “programa”. Cada um dos passos mencionados é uma instrução diferente, 
u ordem de comando, dada ao hardware, objetivando a realização de uma determinada ação. Um 
rograma é um conjunto de instruções. 
 figura abaixo demonstra um esquema de execução manual de um programa observando-se algumas 
tapas: 
ENTRADA PROCESSAMENTO SAÍDA 
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Ex. um programa para somar 100 números e imprimir o resultado 
Entrada – digitação do programa e dos dados 
Processamento – cálculos e testes 
Saída – impressão dos resultados 
 
As etapas de um algoritmo são as instruções que deveram ser executadas por uma máquina (quando 
falamos de computadores); o conjunto de instruções constitui o que chamamos de programa. Um programa 
de computador é a formalização de um algoritmo em linguagem inteligível pelo computador. 
Assim como o operador deve ter entendimento dos passos do programa, um computador precisa entender 
cada instrução, de modo a executar corretamente a operação a que se pretende. O operador entende 
(português) sua linguagem e comunicação com outras pessoas, já os computadores possuem linguagem 
própria (binário). Todo dado coletado pelos computadores, as instruções por ele executadas, bem como os 
resultados de um processamento são sempre constituídos de conjuntos ordenados de 0 e 1. 
No entanto, essa linguagem, chamada linguagem de máquina, é para nós e seres humanos tediosa e difícil, 
por essa razão foram desenvolvidas outras linguagens, mais próximas do nosso entendimento, 
genericamente chamadas de linguagens de programação. Atualmente, existem dezenas dessas linguagens. 
Cada uma dessas linguagens possuiu regras próprias e rígidas de sintaxe. O programador escreve o 
programa através da descrição instrução por instrução em uma dessas linguagens. Tal programa, no 
entanto, não pode ser diretamente executado pela máquina, visto que as linguagens de programação são 
apenas um modo do operador se comunicar com o computador. A máquina somente entende e executa 
instruções referentes ao seu conjunto de instruções (linguagem de máquina). Para se executar um programa 
escrito em uma dessas linguagens necessitamos de programas especiais que façam a conversãoda 
linguagem utilizada para a linguagem de máquina. Esses programas são chamados de compiladores. 
 
O conjunto formado pelos circuitos eletrônicos e partes eletro-mecânicas de um computador é conhecido 
como Hardware, é a parte física, visível do computador. 
 
Software são programas, de qualquer tipo e em qualquer linguagem que são introduzidos na máquina para 
fazê-la trabalhar. É a parte lógica do computador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sistemas de Numeração: 
 
Introdução: 
 
Os sistemas numéricos foram criados pelos homens para representar a quantidade relacionada às suas 
observações. Tais sistemas foram desenvolvidos por meio de símbolos, caracteres e do estabelecimento de 
regras para a sua representação gráfica. O número de caracteres que define um sistema é chamado de base 
ou raiz do sistema. A correta notação, para representarmos a base que identifica um símbolo qualquer, faz-
se colocando-a como subscrito à direita do caractere menos significativo do valor que está sendo 
identificado, como por exemplo: 1610 que representa o algarismo dezesseis na base 10. Os sistemas 
abordados serão: 
 
Decimal 
Binário 
Octal 
Hexadecimal 
Sistema de base 10 
Sistema de base 2 
Sistema de base 8 
Sistema de base 16 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); 
(0, 1); 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) e 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) 
 
Observe que as seis primeiras letras maiúsculas do alfabeto representam os caracteres, equivalentes 
aos decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15, do sistema de base 16. 
 
 
O Sistema Binário de Numeração: 
 
O sistema binário de numeração é um sistema no qual existem apenas dois algarismos: 
- o algarismo 0 (zero), 
- o algarismo 1 (um). 
 
Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0) e para representarmos a 
quantidade um utilizamos o algarismo (1). 
 
Para representarmos a quantidade dois, por exemplo, utilizamos o algarismo um seguido do 
algarismo (0). O algarismo (1) significará que temos um grupo de dois elementos e o (0) um grupo de 
nenhuma unidade, representando assim o número dois. 
 
 Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 5
Conversão do Sistema Binário para o sistema Decimal 
 
Tomemos o número decimal 594. Este número significa: 
 
5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1 = 594 
5 x 100 = 5 x 102 (centena) 
9 x 10 = 9 x 101 (dezena) 
4 x 1 = 4 x 100 (unidade) 
 
Nota-se que o algarismo menos significativo (o algarismo 4) multiplica a unidade (1 ou 100 ), o segundo 
algarismo (nove) multiplica a dezena ( 10 ou 101 ) e o mais significativo (cinco) multiplica a centena (100 
ou 102). 
 
A soma desses resultados irá representar o número. A base deste sistema é o número 10 (dez). 
 
A base do sistema binário é o número 2 (dois). Utilizando um número binário qualquer, o número 101 
que equivale ao número 5 no sistema decimal e aplicando o conceito básico de formação de um número, 
obtêm-se a mesma equivalência, convertendo-se o número para o sistema decimal: 
 
1 0 1 
22 21 20
 
1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 1 x 4 + 0 + 1 = 510
 
0 número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. 
 
 
Para melhor representação, é colocado como índice do número a base do sistema em que estamos 
trabalhando, ou seja: 
 
1410 significará o número quatorze na base dez. (sistema decimal) 
 
1102 significará o número seis na base dois. (sistema binário) 
 
Exemplos: Converta o número 011102 em decimal. 
 
É importante ressaltar que o zero à esquerda de um número é um algarismo não significativo. Logo 
011102 = 11102
 
1 1 1 0 
23 22 21 20
 
1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 1410 logo: 11102 = 1410
 
 
Converta o número 10102 para o sistema decimal. 
 
1 0 1 0 
23 22 21 20
 
1 x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 1010 logo: 10102 = 1010
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Converta o número 11001100012 para o sistema decimal. 
 
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 
29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
 
1 x 29 + 1 x 28 + 0 x 27 + 0 x 26 + 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20 = 
 
1 x 512 + 1 x 256 + 1 x 32 + 1 x 16 + 1 x 1 = 81710 logo: 11001100012 = 81710
 
 
Conversão do Sistema Decimal para o sistema Binário 
 
É evidente a necessidade da conversão do sistema binário para o decimal, pois se tivermos um número 
grande no sistema binário, onde fica difícil perceber a quantidade que ele representa. Transformando esse 
número em decimal, o problema desaparece. 
 
Tomemos um número decimal qualquer, como por exemplo, o número 47. Dividindo o número por 2, 
temos: 
 
 47 ∟2 
 1 23 ∟2 
 1 11 ∟2 
 1 5 ∟2 
 1 2 ∟2 
 0 1 último quociente = algarismo mais significativo 
 
 
O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos 
seguem-se na ordem até o 1° resto. Teremos então: 
 
1 0 1 1 1 1 
último quociente 5° resto 4° resto 3° resto 2° resto 1° resto 
 
Então, temos: 1011112 = 4710
 
 
Tomemos outro número decimal qualquer, como por exemplo, o número 400. Temos: 
 
400 ∟2 
 0 200 ∟2 
 0 100 ∟2 
 0 50 ∟2 
 0 25 ∟2 
 1 12 ∟2 
 0 6 ∟2 
 0 3 ∟2 
 1 1 algarismo mais significativo 
 
 
Assim podemos escrever: 1100100002 = 40010
 
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Tomemos outro número decimal qualquer, como por exemplo, o número 552. Temos: 
 
552 ∟2 
 0 276 ∟2 
 0 138 ∟2 
 0 69 ∟2 
 1 34 ∟2 
 0 17 ∟2 
 1 8 ∟2 
 0 4 ∟2 
 0 2 ∟2 
 0 1 algarismo mais significativo 
 
 
Assim podemos escrever: 10001010002 = 55210
 
 
Números Binários, Decimais Fracionários e suas Conversões. 
 
Tormemos o número 12,510
 
1 2 5 
101 100 10-1
 
Da tabela, temos: 1 x 101 + 2 x 100 + 5 x 10-1 = 12,510
 
Para um número binário, agimos da mesma forma. 
 
 
Conversão de um número binário fracionário para o decimal 
 
Tomemos o número 101,1012
 
1 0 1 1 0 1 
22 21 20 2-1 2-2 2-3
 
Podemos escrever: 
 
1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x-1 + 0x-2 + 1x2-3
 
= 1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x0,5 + 0x0,25 + 1x0,125 
 
= 4 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 = 5,65210 logo: 101,1012 = 5,62510
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tomemos o número 1010,11012
 
1 0 1 0 1 1 0 1 
23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
 
Podemos escrever. 
 
1x23 + 0x22 + 1x21+ 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 + 0x2-3 + 1x2-4
 
= 1 x 8 + 1 x 2 + 1 x 0,5 + 1 x 0,25 + 1 x 0,0625 
 
= 8 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 10,812510 logo: 1010,11012 = 10,812510
 
Converta o número binário 111, 0012 em decimal. 
 
1 1 1 0 0 1 
22 21 20 2-1 2-2 2-3
 
1 x22 + 1x21 + 1 x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1 x2-3
 
4 + 2 + 1 + 0,125 = 7,12510 logo: 111,0012 = 7,12510
 
 
Conversão de um número Decimal fracionário em Binário 
 
Como exemplo, vamos transformar o número 8,275 em binário. 
 
8,375 = 8 + 0,375 
 
Transforma-se primeiramente a parte inteira do número, no caso, o número 8. 
 
8 ∟2 
0 4 ∟2 
 0 2 ∟2 
 0 1 algarismo mais significativo 
 
 
Então, temos: 810 = 10002
 
 
Logo a seguir, transforma-se a parte fracionária. Para tal, utilizamos a seqüência: 
 
0,375 Parte fracionária não inteira 
x 2 Base do sistema 
Primeiro algarismo após a vírgula 0,750 
 x 2 
Segundo algarismo após a vírgula 1,500 
 
 
 
 
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Quandoatingimos o número 1, e a parte do número após a vírgula não for nula, separamos está última e 
reiniciamos o processo: 
0,500 
 x 2 
Terceiro algarismo após a virgula 1,000 Encerramos o processo por aqui pois 
neste caso, a parte do número depois 
da vírgula é nula 
 
Obs. Se efetua a leitura dos algarismos após a virgula de cima para baixo. 
 
Teremos, então: 0,0112 = 0,37510
 
Para a conversão tornar-se completa, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária. Logo o 
número fica: 
8,37510 = 1000,0112
 
Exemplo: 
Transformar o número 4,810 em binário: 
 
4,8 = 4 + 0,8 
 
4 ∟2 
 0 2 ∟2 
 0 1 algarismo mais significativo 
 
Logo: 410 = 1002
 
0,8 0,6 0,2 0.4
x 2 x 2 
1.2 
x 2 
0.4 
x 2 
0,8 1.6 
 
Observa-se que o número 0,8 tornou a aparecer, logo se continuarmos o processo teremos a mesma 
seqüência já vista até aqui. Este é o caso equivalente a uma dízima. 
 
logo: 0,810 = 0,1100 1100 1100 ... 2
 
Seqüência vista acima 
 Repetição da seqüência 
 
Então o número 4,810 = 100,1100110011001100 ... 2
 
 
 
Converta o número 3,38010 em binário 
 
3,380 = 3 + 0,380 
 
310 = 112 conversão de um número inteiro 
 
0,38 parte fracionária 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 10
0,38 0,76 0,52 0,04 0,08 0,16 0,32 0,64 0,28
x2 x2 
0,76 1,52 
x2 
1,04 
x2 
0,08 
x2 
0,16 
x2 
0,32
x2 
0,64
x2 
1,28
x2 
0,56
 
 
Neste caso temos: 0,3810 = 0,0110000102
 
Quanto mais casas considerarmos após a vírgula, teremos uma maior precisão, ou seja, aplicamos o 
método até atingirmos a precisão desejada. 
 
Então: 3,3810 = 11,011000012
 
 
O Sistema Octal de numeração 
 
O sistema Octal de numeração é um sistema no qual existe oito algarismos: 0,1,2,3,4,5,6 e 7. 
 
Para representarmos a quantidade oito, agimos do mesmo modo, visto para números binários e decimais. 
 
 
Decimal Octal 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 10 
9 11 
10 12 
11 13 
12 14 
13 15 
14 16 
15 17 
16 20 
17 21 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 11
Conversão do Sistema Octal para o Sistema Decimal 
 
 
Para convertermos um número Octal em decimal, utilizamos os conceitos básicos de formação de um 
número. 
 
Converter, por exemplo, o número 1448 para o decimal: 
 
1 4 4 
82 81 80
 
1 x 82 + 4 x 81 + 4 x 80 = 
1 x 64 + 4 x 8 + 4 x 1 = 
64 + 32 + 4 = 10010 logo: 1448 = 10010
 
Converter, por exemplo, o número 778 para o decimal: 
 
7 7 
81 80
 
7 x 81 + 7 x 80 = 
7 x 8 + 7 x 1 = 
56 + 7 = 6310 logo: 778 = 6310
 
 
Conversão do Sistema Octal para o Sistema Binário 
 
Tomemos um número octal qualquer, por exemplo, o número 278. A regra consiste em transformar cada 
algarismo, no correspondente binário: 
 
28 = 0102
78 = 1112
 
Logo: 278 = 101112 Obs.: Zero à esquerda é algarismo não significativo. 
 
Exemplos: Converter os seguintes números para binário
 
a) 348
 
 3 4 (8)
011 100 (2)
 
Logo: 348 = 111002
 
b) 5368
 
 5 3 6 (8)
 101 011 110 (2)
 
Logo: 5368 = 1010111102
 
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Conversão do Sistema Binário para o Sistema Octal 
 
Tomemos um número binário qualquer, por exemplo, o número 1100102. Para transformarmos esse 
número em octal, separamos o número binário em grupos de três algarismos a partir da direita: 
 
Converter, por exemplo, o número 1100102 para o octal 
 
110 010 (2)
 6 2 (8)
obs.: Sempre da direita para a esquerda 
 
Fazemos agora, a conversão de cada grupo de algarismos para sistema decimal. Podemos observar que o 
maior número que se pode formar com três algarismos binários é o 7. Esta conversão irá resultar 
diretamente o número no sistema octal: 
 
Logo: 1100102 = 628
 
Obs.: Caso o último grupo se forme incompleto, adicionamos zeros à esquerda, até completarmos com os 
três algarismos. 
 
Exemplo: Converter o número 10102 em octal 
 
00 1 010 (2)
 1 2 (8)
 
Logo: 10102 = 128
 
 
Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal 
 
Existem dois métodos para efetuarmos essa conversão. O 1° é análogo à conversão do decimal para o 
binário, somente que neste caso, usamos como divisor, o número 8 (pois a base agora é 8). 
 
Exemplo: 
Converter o número 9210 para octal: 
 
92 ∟8 
 4 11 ∟8 
 3 1 último quociente = algarismo mais significativo 
 
 
1 3 4 
último quociente 2° resto 1° resto 
 
Logo: 9210 =1348
 
O 2° método, consiste na conversão do número decimal em binário e logo após, sua conversão do sistema 
binário em octal. (Aparentemente desta forma é mais trabalhoso, porém este método é de grande 
praticidade por trabalhar com a base 2) 
 
 
 DECIMAL BINÁRIO OCTAL 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 13
Exemplo do 2° método: Converter o número 9210 em octal 
 
92 ∟2 
 0 46 ∟2 
 0 23 ∟2 
 1 11 ∟2 
 1 5 ∟2 
 1 2 ∟2 
 0 1 algarismo mais significativo 
 
9210 = 10111002
 
001 011 100 (2)
 1 3 4 (8)
 
Logo: 9210 = 1348
 
 
Exemplos: Converter o número 7410 para octal utilizando os dois métodos 
 
1° método: 74 ∟8 
 2 9 ∟8 
 1 1 algarismo mais significativo 
 
Logo: 7410 = 1128
 
 
2° método: 74 ∟2 
 0 37 ∟2 
 1 18 ∟2 
 0 9 ∟2 
 1 4 ∟2 
 0 2 ∟2 
 0 1 algarismo mais significativo 
 
7410 = 10010102
 
 001 001 010 (2)
 1 1 2 (8) 
 
Logo: 7410 = 1128
 
O Sistema Hexadecimal de Numeração 
 
O sistema hexadecimal possui dezesseis algarismos, assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, 
D, E e F. 
 
A letra A representa o algarismo dez. A letra B representa o algarismo onze, e assim sucessivamente até a 
letra F que representa a quantidade quinze. 
 
Para representarmos a quantidade dezesseis, utiliza-se o conceito da formação de um número, ou seja, 
coloca-se o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Isso representará um grupo de dezesseis, 
adicionado a nenhuma unidade. 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 14
Podemos escrever a seqüência de numeração hexadecimal: 
 
 
Decimal Hexadecimal 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
4 4 
5 5 
6 6 
7 7 
8 8 
9 9 
10 A 
11 B 
12 C 
13 D 
14 E 
15 F 
16 10 
17 11 
18 12 
Decimal Hexadecimal 
19 13 
20 14 
21 15 
22 16 
23 17 
24 18 
25 19 
26 1A 
27 1B 
28 1C 
29 1D 
30 1E 
31 1F 
32 20 
33 21 
34 22 
. . 
. . 
. . 
 
 
Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Decimal 
 
Método análogo aos anteriores, tomemos por exemplo, o número hexadecimal 3F16
 
3 F 
161 160
 
3 x 161 + F x 160 = 
Como no sistema hexadecimal F16 = 1510 (substituo o F pelo 15) 
3 x 161 + 15 x 160 = 
 
 
3 x 16 + 15 x 1 = 6310 logo: 3F16 = 6310
 
 
Exemplo: Converter os seguintes números para o decimal: 
 
 
a) 1C316 
 
1 C 3 
162 161 160
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 15
1 x 162 + C x 161 + 3 x 160 = 
1 x 256 + 12 x 16 + 3 x 1 = 
 
256 + 192 + 3 = 45110 logo: 1C316 = 45110
 
b) 23816
 
2 3 8 
162 161 160
 
2 x 162 + 3 x 161 + 8 x 160 = 
 
2 x 256 + 3 x 16 + 8 x 1 = 
 
512 + 48 + 8 = 56810 logo: 23816 = 56810
 
c) 1FC916
 
1 F C 9 
163 162 161 160
 
1 x 163 + F x 162 + C x 161 + 9 x 160 = 
1 x 163 + 15 x 162 + 12 x 161 + 9 x 160 = 
1 x 4096 + 15 x 256 + 12 x 16 + 9 x 1 = 
4096 + 3840 + 192 + 9 = 813710 logo: 1FC916 = 813710
 
 
Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário 
 
Análogo à conversão do sistema octal para o sistema binário. Neste caso, necessitamos de quatro 
algarismosbinários para representar um algarismo hexadecimal. 
 
Exemplo, o número hexadecimal C1316
 
C16 = 11002
116 = 00012
316 = 00112
 
Logo: C1316 = 1100000100112 Obs.: Se houver zero à esquerda é um algarismo não significativo. 
 
Exemplo: Converter os seguintes números para binário: 
 
a) 1ED16
 
 1 E D (16)
0001 1110 1101 (2) Logo: 1ED16 = 1111011012
 
b) ABF16
 
 A B F (16)
1010 1011 1111 (2) Logo: ABF16 = 1010101111112
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 16
Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal 
 
Análogo à conversão do sistema binário para o octal, somente que neste caso, agrupamos de quatro em 
quatro algarismos da direita para a esquerda. 
 
Exemplo, o número binário 100110002
 
1001 1000 (2)
 9 8 (16)
 obs.: Sempre da direita para a esquerda 
 
Logo: 100110002 = 9816
 
 
Obs.: Caso o último grupo se forme incompleto, adicionamos zeros à esquerda, até completarmos com os 
quatro algarismos. 
 
 
Exemplo: Converter os seguintes números para hexadecimal: 
 
a) 11000112 
 
0110 0011 (2)
 6 3 (16) Logo: 11000112 = 6316
 
 
b) 110001111000111002
 
0001 1000 1111 0001 1100 (2)
 1 8 F 1 C (16) logo: 110001111000111002 = 18F1C16
 
 
 
Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal 
 
Existem dois métodos para efetuarmos essa conversão. O 1° é análogo à conversão do decimal ou octal 
para o binário, somente que neste caso, usamos como divisor, o número 16 (pois a base agora é 16). 
 
Exemplo: Converter o número 100010 para hexadecimal 
 
1000 ∟16 
 8 62 ∟16 
 14 3 último quociente = algarismo mais significativo 
 
 Como no sistema hexadecimal 1410 = E16 (substituo o 14 pelo E) 
 
3 14 8 
último quociente 2° resto 1° resto 
 
 
Logo: 100010 = 3E816
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 17
O 2° método, consiste na conversão do número decimal em binário e logo após sua conversão do sistema 
binário para hexadecimal. (Aparentemente desta forma é mais trabalhoso, porém este método é de grande 
praticidade por trabalhar com a base 2) 
 
 
 DECIMAL BINÁRIO HEXADECIMAL 
 
 
 
Exemplo do 2° método: Converter o número 100010 em hexadecimal 
 
1000 ∟2 
 0 500 ∟2 
 0 250 ∟2 
 0 125 ∟2 
 1 62 ∟2 
 0 31 ∟2 
 1 15 ∟2 
 1 7 ∟2 
 1 3 ∟2 
 1 1 algarismo mais significativo 
 
100010 = 11111010002
 
0011 1110 1000 (2)
 3 E 8 (8) Logo: 100010 = 3E816
 
 
Exemplo: Converter o número 38410 para octal utilizando os dois métodos 
 
1° método: 384 ∟16 
 0 24 ∟16 
 8 1 algarismo mais significativo 
 
Logo: 38410 = 18016
 
 
2° método: 384 ∟2 
 0 192 ∟2 
 0 96 ∟2 
 0 48 ∟2 
 0 24 ∟2 
 0 12 ∟2 
 0 6 ∟2 
 0 3 ∟2 
 1 1 algarismo mais significativo 
 
38410 = 1100000002
 
 0001 1000 0000 (2)
 1 8 0 (8) 
 
Logo: 7410 = 1128
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 18
Exercícios: 
 
1) Converta os seguintes números binários em decimais: 
a) 10011002 b) 11112 c) 100002 d) 111112 e) 100012 
f) 10101102 g) 001110012 h) 111100012 i) 011000112 j) 000000012
l) 1111,1112 m) 1000,00012 n) 11,112 o) 1011,112 p) 100,0011012
q) 100,110012 r) 1010,10102
 
2) Converta os seguintes números decimais em binários: 
a) 7810 b) 10210 c) 21510 d) 80810 e) 54210 f) 63010 g) 3310 
h) 15,12510 i) 0,062510 j) 0,710 l) 0,9210 m) 7,910 n) 47,4710
 
 
3) Converta os seguintes números octais para decimais: 
a) 148 b) 678 c) 1538 d) 15448 e) 1008 f) 4768 g) 11008
 
4) Converta os seguintes números octais em binários: 
a) 4778 b) 15238 c) 47648 d)100008 e) 43218
 
5) Converta os seguintes números decimais em octais: 
a) 10710 b) 18510 c) 204810 d) 409710 e) 71910
 
6) Converta os seguintes números binários em octais: 
a)101112 b)110101012 c)10001100112 d)10112 e)100111002 f) 1101011102
 
7) Converta os seguintes números hexadecimais em decimais: 
a) 47916 b) 4AB16 c) BED16 d) FOCA16 e) 2D3F16
 
8) Converta os seguintes números hexadecimais em binários: 
a) 8416 b) 7F16 3) 3B8C16 c) 47FD16 d) F1CD16 e) 6CF916
 
9) Converta os seguintes números binários em hexadecimais: 
a) 10112 b) 11100111002 c) 1001100100112 d) 11111011112 e)10110111101012
 
10) Converta os seguintes números decimais em hexadecimais: 
a) 48610 b) 200010 c) 409610 d) 555510 e) 3547910 f) 38410 g) 252010
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 19
Operações aritméticas no Sistema Binário 
 
Adição no Sistema Binário 
 
Para efetuarmos a adição no sistema binário, devemos proceder como numa adição convencional no 
sistema decimal, sendo que no sistema binário temos somente dois algarismos, zeros e uns 
 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 10 (0 “e vai 1”) 
 
Aqui cabe observar que no sistema decimal 1 + 1 = 2, no sistema binário representamos o número 210 por 
102, vem daí: 
 1 + 1 = 10 
Já temos aí então, uma primeira regra de transporte: 1 + 1 = 0 com o transporte de um para a próxima 
coluna, ou seja, “vai um”. 
 
Exemplo: 112 + 102 = 
 1 
 1 1 
 + 1 0 “vai 1” 
 1 0 1 
 
Logo: 112 + 102 = 1012 
 
 
 
b) 1102 + 1112 = 1 1 
 “vai 1” 1 1 0 
 + 1 1 1 “vai 1” 
 
 1 1 0 1 
Logo: 1102 + 1112 = 11012
 
 
 
c) 110012 + 10112 = 
 1 1 1 1 
 1 1 0 0 1 
 + 1 0 1 1 
 1 0 0 1 0 0 
 “vai 1” 
 “vai 1” 
 “vai 1” “vai 1” 
 
 
Logo: 110012 + 10112 = 1001002
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 20
Subtração no Sistema Binário 
 
O método de resolução é análogo a uma subtração no sistema decimal. 
 
0 – 0 = 0 
0 – 1 = 11 (“1 e empresta 1”) obs. O empréstimo pode ser feito tanto para o meio de operação quanto 
1 – 0 = 1 para baixo da operação. NUNCA para cima , pois ai seria “vai 1”. 
1 – 1 = 0 
 
 
Exemplos: 
 
a) 1112 – 1002 = 1 1 1 
 - 1 0 0 
 
Logo: 1112 – 1002 = 112 0 1 1 
 
 
 
 
 
 
 
b) 10002 – 1112 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 10002 – 1112 = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 21
Multiplicação no Sistema Binário 
 
Faz-se como uma multiplicação normal como no sistema decimal. 
 
0 x 0 = 0 
0 x 1 = 0 
1 x 0 = 0 
1 x 1 = 1 
 
Exemplos: 
 
a) 110102 x 102 = 1 1 0 1 0 
 x 1 0 
 0 0 0 0 0 
 + 1 1 0 1 0 
 1 1 0 1 0 0 
Logo: 110102 x 102 = 1101002
 
 
b) 110102 x 1012 = 1 1 0 1 0 
 x 1 0 1 
 “vai um” 1 1 1 1 
 1 1 0 1 0 
 0 0 0 0 0 
 + 1 1 0 1 0 
 1 0 0 0 0 0 1 0 
 
Logo: 110102 x 1012 = 100000102
 
 
 
 
 
Divisão de Binários 
 
A divisão de binários é análoga à uma divisão de decimais, trabalhando com multiplicação e subtração. 
 
Exemplos: 
 
a) 1100 / 10 = 1 1 0 0 ∟10 
 - 1 0 110 
 0 1 0 
 - 1 0 
 0 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 22
Exercícios: 
 
1) Efetue a adição dos números abaixo: 
a) 10002 + 10012 b) 100012 + 111102 c) 10101102 + 10010112 d) 110001112 + 100101102 
e) 45A16 + 19216 f) 2C9116 + 999516 g) ADF16 + 52516 h) 12BB16 + C4C316
 
2) Efetue a subtração dos números abaixo: 
a) 110012- 110002 b) 1110012 - 1011012 c)110011002 - 101100112 d) 100110002 - 100011112
 
3) Efetue a multiplicação dos números abaixo: 
a) 110012 x 1012 b)101002 x 11002 c)1110012 x 10102 d)110001102 x 1012
 
4) Efetue a divisão dos números abaixo: 
a) 110012 / 1112 b) 101012 / 112 c) 11002 / 102 d) 11102 / 1112
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 23
Funções lógicas – Portas lógicas 
 
Os circuitos lógicos processam informações utilizando-se do sistema de numeração binária que 
correlaciona os níveis lógicos, alto e baixo, ou seja, 0 e 1. Sendo uma preposição caracterizada sempre 
como "verdadeira" ou "falsa", pode-se fazer analogia com uma lâmpada cujos estados serão 
correlacionados a seguir: 
 
Várias correlações são válidas, tais quais: 
 
1 ligado alto verdadeiro sim. 
0 desligado baixo falso não 
 
 
 
 
 
 
Operações lógicas 
 
A relação entre duas ou mais variáveis que representam estados binários é estabelecida por meio de três 
operações lógicas, classificadas em: 
 
produto lógico (função e) ; soma lógica (função ou) ; inversão (função não). 
 
Suponha que uma lâmpada estará acesa sempre que duas condições forem satisfeitas. São elas: 
a) a lâmpada esteja boa; e. 
b) o interruptor esteja ligado. 
 
Estabelecidas as premissas, suponha que S seja a proposição de que a lâmpada esteja acesa ou apagada, 
verdadeiro ou falso, respectivamente. S será verdadeiro quando A e B forem verdadeiros. Se A ou B falsos, 
S será necessariamente uma proposição falsa. As relações entre as variáveis A e B e A ou B representam 
operações lógicas. S é também definido, a saída da função lógica desse exemplo. 
 
 
Tabela Verdade 
 
Também chamada de tabela de combinações. A confecção da tabela verdade é, em geral, o primeiro passo 
para a análise e compreensão de um problema lógico. 
 
Montar uma tabela verdade é escrever todas as combinações possíveis dos estados lógicos de todas as 
variáveis da função, incluindo o estado lógico resultante de cada combinação. O número de combinações 
possíveis de "n" variáveis é na ordem de 2n. 
 
Montagem da tabela verdade - exemplo anterior. 
Análise das possibilidades: 
1- lâmpada queimada, interruptor desligado; 
2- lâmpada queimada, interruptor ligado; 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 24
3- lâmpada boa, interruptor desligado; e. 
4- lâmpada boa, interruptor ligado. 
 
A seguir, monta-se a tabela, criando as colunas das premissas, também conhecidas como variáveis de 
entrada. Para o caso, tem-se as variáveis A e B. Tais colunas devem ser preenchidas segundo o número 
total de hipóteses avaliadas no problema. Como são apenas duas variáveis de entrada, tem -se quatro 
combinações de ocorrências. A última coluna define o resultado lógico esperado, ou variável de saída. 
 
A variável S é verificada segundo o método dedutivo pelo argumento afirmação da antecedente. 
 
 
A B S 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
 
 
 
 
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
 
 
 
Organização do raciocínio na solução de problemas de lógica. 
 
 
Interpretação lógica Tabela verdade Gerador de funções lógicas 
 
 
Funções Lógicas - Portas lógicas 
 
Define-se função lógica como aquela definida na álgebra elementar, porém sua imagem fica restrita aos 
valores representados pelos níveis lógicos 0 e 1. 
No exemplo da lâmpada, pode-se prever que a equação lógica observada da tabela de combinações é: 
 
 S = A x B 
 
Funções: E, OU, NÃO, NE e NOU 
 
Nas funções lógicas, teremos penas dois estados: 
 
- o estado 0 (zero) e 
- o estado 1 (um). 
 
O estado 0 (zero) representará, por exemplo: 
- ausência de pressão ( sistemas pneumáticos ) 
- aparelho desligado 
- desacionado 
- ausência de tensão 
- etc. 
 
O estado 1 (um) representará a situação contrária: 
- presença de pressão 
- aparelho ligado acionado 
- presença de tensão 
- etc. 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 25
Função E ou AND 
 
É aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis. 
 
S = A . B, onde se lê, S = A E B 
 
Convenções: 
Chave aberta = 0 Lâmpada apagada = 0 
Chave fechada = 1 Lâmpada acessa = 1 
 
 
Circuito equivalente 
 
 
Situações possíveis 
1° - Se tivermos as chaves A e B aberta ( 0 ), nesse circuito não haverá circulação de corrente, logo a 
lâmpada estará apagada: (A . B = 0 ). 
 
2° - Se tivermos a chave A aberta ( 0 ) e a chave B fechada ( 1 ), não haverá circulação de corrente, logo a 
lâmpada estará apagada: (A . B = 0 ). 
 
3° - Se tivermos a chave A fechada (1) e a chave B aberta (1), não haverá circulação de corrente, logo a 
lâmpada estará apagada: (A . B = 0 ). 
 
4° - Se tivermos a chave A fachada (1) e a chave B fechada (1), haverá circulação de corrente, logo a 
lâmpada estará acesa: (A . B = 1 ). 
 
Analisando as possibilidades, conclui-se que só teremos a lâmpada acesa quando as chaves A e B 
estiverem fechadas; nível lógico 1. 
 
Tabela verdade e sua respectiva porta lógica 
 
 
 
A B S 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
Tabela verdade Porta lógica AND 
 
 
A porta AND executa a tabela verdade da função AND, ou seja, têm-se a saída no "estado um ", e somente 
se as duas entradas forem iguais a um, e teremos a saída igual a zero nos demais casos. O conceito é 
utilizado para qualquer número de variáveis de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
A saída permanecerá no "estado um" se, e somente se as N entradas forem iguais a um (1), e permanecerá 
no "estado zero" nos demais casos. 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 26
Função OU ou OR 
 
É aquela que assume o valor um (1) quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a um (1) e 
assume valor zero (0) se, e somente se todas as variáveis de entrada forem iguais a zero (0), É representada 
da seguinte forma: 
 
S = A + B, onde se lê S = A OU B. 
 
 
Convenções: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
 
Circuito equivalente 
 
 
Nota-se que teremos a lâmpada ligada, quando a chave A ou chave B ou ambas estiverem acionadas. 
 
Tabela verdade e sua respectiva porta lógica 
 
 
 
A B S 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
Tabela verdade Porta lógica OU 
 
 
 
Poderemos ter também, porta OU com N variáveis. Teremos a saída no estado um, quando uma ou mais 
variáveis de entrada forem iguais a um (1), e teremos a saída no estado zero (0) se, e somente se todas as 
variáveis de entrada forem iguais a zero (0). 
 
 
Função NÃO ou NOT 
 
A função NÃO ou função complemento é aquela que inverte o estado da variável, ou seja, se a variável 
estiver em zero (0), vai para um (1), e se a variável estiver em um (1) vai para zero (0). É representada da 
seguinte forma: 
 
S = A 
 
Essa barra ou apóstrofo sobre a letra que representa a variável significa que esta sofre uma inversão. 
Também podemos dizer que A é a negação de A. 
 
 
Convenções: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
Circuito elétrico 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 27
 
Quando a chave A estiver aberta (0), passará corrente pela lâmpada e esta acenderá (1). 
 
Quando a chave A estiver fechada (1), a lâmpada estará apagada (0), pois curto-circuitaremos a lâmpada. 
 
Tabela verdade e sua respectiva porta lógica 
 
A S 
0 1 
1 0 
 
Tabela verdade Porta inversora 
 
O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO. Sua representação poderá ser feita para outras 
portas lógicas tais como: 
 
após um outro bloco lógico 
antes de um outro bloco lógico 
 
Exemplo: 
 
 = 
 
 
 
Função NÃO E, NE ou NAND 
 
Como o próprio nome diz, essa função é uma composição da função E com a função NÃO, ou seja, 
teremos a função E invertida. Esta é representadada seguinte forma: 
 
S = A . B 
 
Onde: o traço em cima indica que teremos a inversão do produto A . B 
 
 
Convenções: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
 
 
Circuito elétrico 
 
 
 
A B S 
0 0 1 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
 
 
 
 
Tabela verdade porta lógica NAND 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 28
Função NOR ou NOU 
 
Analogamente a função NAND, a função NOR é a composição da função NÃO com a função OU, ou seja, 
a função NOR será o inverso da função OU. Esta é representada da seguinte forma: 
 
S = A + B 
 
 
Convenções: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
 
 
 
 
 
A B S 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
 
Tabela verdade Porta lógica NOR 
 
 
 
Função "OU - EXCLUSIVO" (XOR) 
 
A função lógica OU - EXCLUSIVO apresenta como resultado nível lógico 1, quando as variáveis de 
entrada forem diferentes entre si. 
 
Esta é representada da seguinte forma: S = A + B 
 
 
Convenções: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
 
Circuito elétrico 
 
 
A B S 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
 
Tabela verdade Porta lógica XOR 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 29
Nota: A função lógica OU - EXCLUSIVO pode ser também representada por uma soma de produtos obtida 
a partir da análise da tabela verdade. 
 
 
 
 A 
 B 
 
 AC 
 BD Tabela verdade 
 
A expressão obtida a partir desta análise apresenta-se da seguinte forma: S = A B + A B 
 
 
Função COINCIDÊNCIA (XNOR) 
 
A função lógica COINCIDÊNCIA, em contraposição à OU-EXCLUSIVO, tem como resultado nível 
lógico 1, sempre que existir em suas variáveis de entrada uma igualdade. Esta é representada da seguinte 
forma: 
 
S = A . B 
 
Convensões: 
lâmpada acesa = 1 chave ligada = 1 
lâmpada apagada = 0 chave desligada = 0 
 
 
 
Circuito elétrico 
 
 
A B S 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
Tabela verdade Porta lógica XNOR 
 
Nota: 
A função lógica OU - EXCLUSIVO pode ser também representada por uma soma de produtos obtida a 
partir da análise da tabela verdade. 
A B S 
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0 
A B S 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1 
 
 A 
 
 B 
 S 
 AC 
 B 
Tabela verdade 
 
A expressão obtida a partir desta análise apresenta-se da seguinte forma: S = A . B + A . B 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 30
Interligação entre expressões, circuitos e tabelas verdade. 
 
Expressões booleanas geradas por circuitos lógicos. 
Podemos escrever a expressão booleana que é executada por qualquer circuito lógico. Por Exemplo: 
 
1) 
A 
B S = A.B + C 
C 
 
 
2) 
A 
B S = (A + B) . (C + D) 
C 
D 
 
 
 
Circuitos obtidos através de expressões booleanas. 
Podemos também desenhar um circuito lógico que execute uma expressão booleana qualquer. Por 
exemplo: 
 
Obs. Existem várias formas de desenharmos este circuito, aqui temos dois exemplos, mas se quisermos 
podemos desenhar de outras formas. 
 
1) A . B . C + (A + B) 
 
 
A 
B 
C S = A . B . C + (A + B) 
A 
B 
 
 
 
A 
B 
C S = A . B . C + (A + B) 
A 
B 
 
 
 
2) [(A + B) + (C . D)] . D 
 
A 
B 
 
C S = [(A + B) + (C . D)] . D 
D 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 31
Tabelas verdade que representam expressões ou circuitos 
Uma maneira de se efetuar o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela verdade, onde temos a 
solução para todas as situações possíveis de combinações. 
 
1) S = (A+B) . A 
 
A B A + B S = (A+B) . A 
0 0 0 0 
0 1 1 0 
1 0 1 1 
1 1 1 1 
 
 
 
2) S = A + B + A B C 
 
 
A 
 
B 
 
C 
 
A 
 
C 
 
ABC 
 
S = A + B + A B C
0 0 0 1 1 0 1 
0 0 1 1 0 0 1 
0 1 0 1 1 0 1 
0 1 1 1 0 0 1 
1 0 0 0 1 0 0 
1 0 1 0 0 0 0 
1 1 0 0 1 1 1 
1 1 1 0 0 0 1 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Monte a expressão e a tabela verdade do circuito abaixo. 
 
A 
B S 
B 
C 
 
 
2) Monte o circuito e a tabela verdade da expressão: S = ABC + ABC + A B C + A B C 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 32
Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos 
 
Introdução 
A expressão simbólica não significa apenas um modo de representar as verdades matemáticas. Muito mais 
que isto, permite submeter tais verdades a um cálculo puramente formal e obter conclusões e resultados 
novos e originais. O simbolismo lógico é .portanto, um instrumento adequado às realizações de uma análise 
lógica das proposições, que destaca as íntimas relações existentes entre a lógica e a matemática. 
Ao associar os bits 0 ou 1, cria-se um raciocínio lógico de operação. Uma vez que os computadores 
processam essas lógicas, devem-se criar procedimentos e modelos matemáticos que possam ser 
interpretados por eles. Estes principais matemáticos são denominados Álgebra de Boole. 
A lógica continuou a desenvolver-se com Aristóteles (384-322 a.C), depois veio Libniz (1646-1716) com 
trabalhos que sustentaram a idéia da Matemática lógica e somente em meados do século XX, ela foi 
solidificada com trabalhos que introduzem e formalizam sua representação gráfica. Personagens 
importantes que tornaram evidentes tais representações, per meio de suas publicações, em ordem 
cronológica: Leonhard Euler (1707-1783), John Venn (1834-1923), Veitch e Karnaught em 1952. 
Em 1854, George Boole (1819-1864), matemático e pensador inglês, apresentou um trabalho que serviu 
como base para a teoria matemática das proposições lógicas, também conhecida como: lógica simbólica; 
sua álgebra foi designada como álgebra booleana. 
Outros autores também submeteram entes lógicos a um cálculo aritmético. São eles: Johann Hambert e 
Charles Peirce, mas foi em 1938 que Claude Elwood Shannon, engenheiro americano, aplicou a teoria de 
Boole na simplificação lógica de funções usadas em telefonia além de mostrar a aplicação da álgebra de 
Boole na análise de circuitos de relês. 
 
 
Postulados: 
 
Complementação Adição Multiplicação 
 
A = 0 A = 1 0 + 0 = 0 0 x 0 = 0 
 0 + 1 = 1 0 x 1 = 0 
A = 1 A = 0 1 + 0 = 1 1 x 0 = 0 
 1 + 1 = 1 1 x 1 = 1 
 A + 0 = A A x 0 = 0 
A = A A + 1 = 1 A x 1 = A 
 A + A = A A x A = A 
 
 A + A = 1 A x A = 0 
 
 
Propriedades: 
 
Comutativa: 
A + B = B + A 
A . B = B . A 
 
Associativa: 
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 
A . (B . C) = ( A . B) . C = A . B . C 
 
Distributiva: 
A (B + C) = AB + AC 
A + (B . C) = (A + B) . (A + C) 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 33
Teoremas de De Morgan 
 
O complemento de um produto é igual à soma dos seus complementos 
 
A . B = A + B 
 
Para a comprovação deste teorema, monta-se a tabela verdade de cada membro e comparamos os 
resultados: 
 
 
A 
 
B 
 
A . B 
 
 A + B 
0 0 1 1 
0 1 1 1 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
 
Notamos a igualdade entre as duas colunas de respostas, ou seja uma porta NAND é igual a uma porta OR 
com suas entradas invertidas. 
 
 
 
 
Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: 
 
A . B . C. D. ...... . N = A + B + C + D + ...... + N 
 
Conclui-se que uma porta NAND, com duas ou mais entradas, é equivalente a uma porta OU com o mesmo 
número de entradas, apenas que com suas entradas invertidas. 
 
 
 
O complemento de uma soma de elementos é igual ao produto dos seus complementos 
 
A + B = A . B 
 
Para a comprovação deste teorema, monta-se a tabela verdade de cada membro e comparamos os 
resultados: 
 
 
A 
 
B 
 
A +B 
 
 A . B 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
1 0 0 0 
1 1 0 0 
 
Notamos a igualdade entre as duas colunas de respostas, ou seja uma porta NOR é igual a uma porta AND 
com suas entradas invertidas. 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 34
 
 
Esse teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: 
 
A . B . C . D . ...... . N = A + B + C + D + ...... + N 
 
 
Conclui-se que uma porta NOR, com duas ou mais entradas, é equivalente a uma porta AND com o mesmo 
número de entradas, apenas que com suas entradas invertidas. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Prove que 
 
S = A + B = A . B 
 
 
Para provar esta igualdade, vamos a partir da primeira expressão e através da utilização dos Teoremas De 
Morgan, identidades e propriedades da Álgebra de Boole, chegar até a Segunda. 
 
Substituindo pela expressão equivalente, têm-se: 
 
S = A B + A B 
 
Aplicando-se o 1° teorema de De Morgan, temos 
 
= (A B) . (A B) 
 
Aplicando-se o 2° teorema de De Morgan em cada termo entre parentesses , temos 
 
 
 = (A + B) .(A + B) 
 
Aplicando-se a identidade, A = A 
 
 = (A + B) . ( A + B) 
 
Aplicando-se a propriedade distributiva, temos 
 
 = A . A + A . B + B . A + B . B 
 
Aplicando-se o postulado da multiplicação, A . A = 0 e B . B = 0 
 
 S = A . B + A . B 
 
S = A + B = A . B 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 35
Identidades auxiliares: 
 
1ª) A + A.B = A 
 
Provamos essa identidade usando a propriedade distributiva. Vamos evidenciar a variável ‘A’. 
 = A (1 + B) 
 
Do postulado da soma temos: 1 + B = 1, então podemos escrever que: 
 = A . 1 
 
 = A 
 
Logo: A + A.B = A 
 
 
2ª) A + A B = A + B 
 
Provamos essa identidade usando a propriedade distributiva. Vamos evidenciar a variável ‘A’. 
 = (A + A) . (A + B) 
 
Do postulado da soma temos: A + A = 1, então podemos escrever que: 
 = 1 . (A + B) 
 
 = (A + B) 
 
Logo: A + A B = A + B 
 
 
Obs. Outra forma de provarmos essa identidade é : 
 
 A + A B = A + B 
 
 
 = A + A B Postulado A = A 
 
 
 = [ A . ( A . B)] 2° teorema de De Morgan 
 
 
 = [ A . (A + B)] 1° teorema de De Morgan 
 
 
 = ( A . A + A . B) Propriedade distributiva 
 
 0 Identidade A . A = 0 
 
 = (A . B) 
 
 = (A + B) 1° teorema de De Morgan 
 
Logo: A + A B = A + B 
 
 
Profs. Fábio Lucena Veloso e Roberto Barros 36
3°) (A + B) . (A + C) = A + BC 
 
 = (A . A) + (A . C) + (B . A) + (B . C) Propriedade distributiva 
 
 A Identidade A . A = A 
 = A + A . C + A . B + B . C 
 
 = A (1 + B + C) + B . C Coloca-se em evidência a variável ‘A’ 
 1 
 = A (1) + B . C Identidade 1 + A = 1 
 A 
 = A + BC Identidade 1 . A = A 
 
Logo: (A + B) . (A + C) = A + BC 
 
 
Simplificação de Expressões Booleanas 
 
Utilizando o conceito da Álgebra de Boole podemos simplificar expressões. 
Cada circuito corresponde a uma expressão, e essas expressões quando sofrem simplificação, simplificam 
também seus circuitos correspondentes. 
 
Tomemos como exemplo, a expressão: 
 
S = ABC + A C + A B 
 
Primeiro vamos evidenciar o termo ‘A’ 
 
= A (BC + C + B) 
 
Aplicando a propriedade associativa, temos: 
 
= A [BC + (C + B)] 
 
Aplicando o Teorema de De Morgan, temos: 
 
= A [BC + (C B)] 
 
Chamemos BC de Y, logo BC = Y, teremos então: 
 
= A (Y + Y) 
 
Como Y + Y = 1 
 
 = A (1) 
 
Como A . 1 = A 
 
 = A 
 
Logo: ABC + A C + A B = A 
 
 
	Instituto Politécnico
	Curso: Tec. Redes de Computadores
	Disciplina: Organização de Computadores
	Prof.: Fábio Lucena Veloso
	Curso: Tec. Análise de Sistemas
	Disciplina: Organização de Computadores
	Prof.: Roberto Barros
	Computador = sistema de computação