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Hidráulica II
Apontamentos das Aulas Teóricas
Hidráulica II
Apontamentos das Aulas Teóricas
Universidade Eduardo Mondlane
Curso de Engenharia Civil
Docente :
colaboração:
Maputo, 2007
Eng. Carlos Caupers
o
Eng.º Jaime Palalane
Engª Michela Paulo
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
1-7
CAPÍTULO I 
INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE 
 
1 - Escoamentos com superfície livre 
2 - Tipos de escoamentos com superfície livre 
3 - Tipos de canais. Elementos geométricos 
4- Distribuição de velocidades 
5- Distribuição de pressões 
 
1. ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE 
™ Nos escoamentos em pressão: 
9 O líquido enche a conduta 
9 A pressão difere da pressão atmosférica 
 
™ Nos escoamentos com superfície livre: 
9 o líquido tem a superfície em contacto com a atmosfera 
9 a pressão na superfície é igual à pressão atmosférica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Linha de energia Linha piezométrica 
 
No escoamento com superfície livre, a água sobe nos piezómetros até a superfície livre (p = 
patm) 
 
 u1
2/2g 
 ΔH 
 
u22/2g 
 
y2 = (p2/γ) 
y1 = (p1/γ)
 Z 1 Z 2
1 2 
ΔH 
u22/2g
y2
Z2
 leito 
Z 1 
y1
u12/2g
Linha piezó. ≅ sup. livre 
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
2-7
Os escoamentos com superfície livre apresentam dificuldades acrescidas em relação aos 
escoamentos em pressão 
 
Dificuldades acrescidas: 
 
nos escoamentos em pressão, a secção do esc. não varia; 
nos esc. com superfície livre, esta pode variar no tempo e no espaço e, por conseguinte, 
também a secção; 
 
nos escoamentos em pressão, o esc. faz-se em condutas – secções artificiais, regulares; 
nos esc. com superfície livre, o esc. faz-se em rios e canais, as secções são irregulares; 
 
nos esc. em pressão, a gama de rugosidades é limitada e melhor conhecida; 
nos esc. com superfície livre, a gama de rugosidades é maior e a rugosidade varia com a 
posição da superfície livre 
 
• é mais fácil obter dados experimentais nos esc. em pressão do que nos esc. com superfície 
livre 
 
OBS.: há escoamentos em condutas que são com superfície livre ( exemplo: 
colectores de esgotos, aquedutos, etc)! 
 
2. TIPOS DE ESCOAMENTO COM SUPERFÍCIE LIVRE 
A. Em função da variação ao longo do tempo: 
™ Variável Q = f (t), y = f (t) 
™ Permanente Q(t) = cte., y(t) = cte. 
 
B. Em função da variação ao longo do espaço: 
™ Uniforme 
™ Variado 
gradualmente - curvas de regolfo 
 - ressalto hidráulico 
 rapidamente - esc. sobre descarregador 
 - singularidades 
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
3-7
 
 
 Uniforme Variado 
 Permanente 
 Variável 
 
 
OBS Não é fisicamente possível existir escoamento variável uniforme! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Em função do regime: 
™ Viscosidade 
 
¾ Laminar (quase inexistente em casos práticos) 
¾ Turbulento 
 
Nº de Reynolds: relação entre forças de inércia e forças de viscosidades 
 
ν
RuRe
∗= ν – viscosidade cinemática (m
2/s) 
 
Limites práticos: 
 
Re < 500 - laminar 
500 ≤ Re ≤ 2000 - transição 
Re > 2000 - turbulento 
descarregador
comport
RV GV RV GV RV
UNIF
RV 
UNIF
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
4-7
 
 
™ Gravidade 
¾ Lento 
¾ Crítico 
¾ Rápido 
 
 
Nº de froude: relação entre as forças de inércia e forças de gravidade 
 Fr 
 
hg
uF r ∗
= lento rápido 
 Fr< 1 Fr>1 
hg ∗ - celeridade 
Interpretação física do escoamento crítico: 
- Velocidade de propagação de pequenas perturbações em águas pouco profundas 
 
OBS: O regime lento é influenciado por condições de fronteira a jusante; o regime 
rápido é influenciado só por condições de fronteira a montante! 
 
 
3. TIPOS DE CANAIS. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 
a) Origem 
Naturais: linhas de água, ribeiros, rios, estuários; 
Artificiais: canais de rega, valas de drenagem, evacuadores de cheias, canais de 
navegação, etc; 
b) Secção 
Simples: 
 
 
 
 
 Condutas alvenaria pequenas canais 
 rocha, metal valas, sarjetas em terra 
B
A h = A/B
h = altura hidráulica 
B = largura superficial
crítico
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
5-7
 
Compostas: 
 
 
 
 
prismático: secção e inclinação constantes 
não prismático: secção e/ou inclinação não constantes 
 
c) Elementos geométricos 
Secção Transversal: tomada perpendicularmente à direcção do escoamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = altura do escoamento θcos
dy = 
d = altura da secção do escoamento 
z = nível 
B = largura superficial B 
A = secção transversal 
P = perímetro molhado 
 
R = raio hidráulico 
P
AR = h = altura hidráulica B
Ah = 
 
Z = factor de secção RAZ 3/2∗= 
 
Tabelas do Lencastre - 91, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106-109, 111-117 
d 
∅ 
Z = ∅ 
y 
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CAP. I - INTRODUÇÃO AOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
6-7
 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES 
 
A distribuição de velocidades numa secção transversal não é uniforme por efeito do atrito nas 
paredes e com o ar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade máxima é pouco abaixo da superfície livre e tanto mais abaixo quanto mais 
próximo das margens 
 
Para além da forma da secção, a rugosidade é um dos factores que afectam a distribuição de 
velocidades. 
 
 
 
 
 
 
 
coef. de Coriolis 
Au
dAV
A
3
3∫
=α em canais artificiais regulares pode-se 
tomar 
coef. de Boussinesq 
Au
dAV
A
2
2∫
=β 
 
Valores que podem ser adoptados: 
 α β 
Canais regulares..................................................1 ÷ 1,2 (1,1) 1÷ 1,07 (1,05) 
0.8 
1,0 1,2
liso 
rugoso 
α , β = 1 ÷ 1,2 
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CAP. I - INTRODUÇÃOAOS ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE Maputo - 2007 
7-7
Rios ............................................................1,15 ÷ 1,5 (1,3) 1,05÷ 1,17 (1,1) 
Rios c/ inundação do leito de cheias........ .....1,5 ÷ 2,0 (1,75) 1,17÷ 1,33 (1,25) 
 
 
5. DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES 
 
Linhas de corrente paralelas → distribuição hidrostática de pressões 
™ esc. uniforme 
™ esc. gradualmente variado 
 
 
Escoamento rapidamente variado → linhas de corrente não paralelas 
r
v
g
z
p
n
21−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +∂
∂
γ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: cálculo de elementos geométricos de secções: 
 
™ circular não cheia 
™ trapezoidal 
™ composta 
™ natural (dada por pontos) 
A
A
B
B B
B
A
A
Direcção normal Direcção normal 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
1-9
 
CAPÍTULO II 
REGIME UNIFORME 
 
1. Definição de escoamento uniforme 
2. Estabelecimento do escoamento uniforme 
3. Fórmula de Chézy 
4. Fórmula de Manning-Strickler 
5. Curva de vazão 
6. Capacidade de vazão K 
7. Cálculo de elementos do regime uniforme 
 
1. DEFINIÇÃO DE ESCOAMENTO UNIFORME 
 
Um escoamento diz-se uniforme se as suas características não variam de secção para secção. 
 
OBS Não é fisicamente possível ter escoamento uniforme em regime variável. 
 Escoamento uniforme é permanente! 
 
Características do escoamento 
 Q; u; y; A; n; J; (mantêm-se constantes) 
 
 Canal prismático Inclinação constante ! 
 
No escoamento uniforme: 
J = Jw = Jo 
J – inclinação da linha de energia 
Jw – inclinação da superfície livre 
Jo – inclinação do leito 
y constante Jw = Jo 
 u constante J = Jw 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
2-9
2. ESTABELECIMENTO DO ESCOAMENTO UNIFORME 
 
Num canal prismático de inclinação constante e suficientemente longo, em regime permanente, 
acaba por se estabelecer o escoamento uniforme. 
 
Isso deve-se à relação entre as forças de aceleração e as forças de resistência. 
 
Balanço entre as forças de aceleração e forças de resistência 
 
 
 
 
 
 
 
Força de aceleração – componente do peso do líquido na direcção paralela ao leito (depende 
da inclinação); 
Força de resistência – cresce com a velocidade do escoamento (é função da velocidade). 
 
HIPÓTESE 1 - Escoamento entra no canal com uma velocidade baixa 
9 Força de resistência ao escoamento é pequena 
9 Força de aceleração > força de resistência 
Há uma aceleração do escoamento! 
 
9 Velocidade aumenta 
9 Resistência aumenta 
9 Força de resistência = força de aceleração 
 Estabelece-se o regime uniforme! 
 
 
HIPÓTESE 2 – Escoamento entra no canal com uma velocidade alta 
9 Força de resistência ao escoamento é grande 
9 Força de aceleração < força de resistência 
Há uma desaceleração do escoamento até se chegar a uma 
situação de equilíbrio; 
dA
θ 
γ.dA.sen
γ.dA.dL 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
3-9
 
9 Velocidade diminui 
9 Resistência diminui 
9 Força de resistência = força de aceleração 
 Estabelece-se o regime uniforme! 
 
 
O que é que acontece quando o escoamento entra num canal horizontal ? 
 
Altura uniforme (y) é a altura do escoamento no regime uniforme ! 
 
 
3. FÓRMULA DE CHÉZY (1769) 
 
A fórmula de Chézy foi derivada com base nas seguintes hipóteses: 
 
¾ A força de resistência por unidade de leito é proporcional ao quadrado da velocidade; 
2
leito
u.K
A
F = ou F(resist.) = K* U2 *P dl 
dlPAleito ∗= 
 
¾ No regime uniforme, a força de aceleração iguala a força de resistência; 
 
F(acel.) = γ .A. dl .sen θ = γ. A. dl .Jo = γ. A. dl .J 
 
Igualando as duas forças: 
 
γ .A .dl .J = K. u2 .P .dl; 
JP
A
K
U ∗∗= γ 
RJCU = RJCAQ= 
 
C – coeficiente de Chézy [m1/2/s] 
Determinação do coeficiente de Chézy 
Fórmula de Bazin 
RK
RC
B+
= 87 KB – Lencastre, tab. 85 
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CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
4-9
Fórmula de Kuttter 
RK
RC
K +
= 100 KK – Lencastre, tab. 86 
Fórmula de COLEBROOK- WHITE (considerando escoamento puramente turbulento) 
 D65 – D90 
K
RC
cw
8.14log18= Kcw : D65 – D90 
 (0,5 – 1,0).hf cristas ou dunas 
 
 
4. FÓRMULA DE MANNING – STRICKLER (1889) 
 
JR
n
U 2/13/21 ∗∗= ; JRKU s 2/13/2 ∗∗= ; JRA
n
Q 2/13/21 ∗∗∗= 
 
n – coeficiente de rugosidade [s/m1/3] 
JRAKQ s
2/13/2 ∗∗∗= 
 
nK s
1= coef. de escoamento de Manning – Strickler [m1/3/s] 
 Lencastre, tab. 87 (extraídos de VEN TE CHOW) 
 
Habitualmente considera-se que n só depende do material do leito. No entanto, há outros 
factores que afectam este valor: 
ƒ Altura do escoamento; 
ƒ Vegetação; 
ƒ Sinuosidade do canal (meandros); 
 
Relação entre C e n: 
RJCU = JR
n
2/13/21 ∗∗= JRAK s 2/13/2 ∗∗∗= 
 
6161 *1 RKR
n sc =∗= 
 
Relação entre Ks e d65: 
Ks =26 (1/d65 ) 1/6 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
5-9
 
5. CURVA DE VAZÃO 
 
Chama-se curva de vazão à relação biunívoca entre a altura do escoamento e o caudal numa 
dada secção dum canal ou rio; 
 
A relação biunívoca Q(h) apenas se verifica nas secções de controlo do escoamento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como no escoamento uniforme J é conhecido (J=Jo), teoricamente bastaria conhecer um ponto 
da curva para toda a curva ficar definida, através da expressão: 
 
JRAKQ s
2/13/2 ∗∗∗= 
Conhecidos Qo, yo ( Ao, Ro), J calcula-se Ks 
 
 Usava-se a fórmula para obter toda a curva 
 
Na prática, fazem-se medições para obter vários pontos (Qi, yi) e traçar a curva a partir deles. 
 
A razão para obter a curva de vazão por pontos é que Ks (ou n) varia com y. 
 
 
OBS: Quando numa dada secção já existe a curva de vazão, basta medir a altura do 
escoamento (operação bastante simples) para se conhecer o correspondente caudal. 
 
 
 
Q Q1 
y 
Q4 Q2 Q3 Q5 
y1 
y5 
y4 
y3 
y2 
5 
4 
3 
2 
1 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
6-9
6. CAPACIDADE DE VAZÃO ( K ) 
 
Capacidade de vazão ≡ Conveyance 
RA
n
K 3/21 ∗∗= RCAK = JKQ= 
 
Secção fechada 
 
 
 
 
9 Capacidade de vazão aumenta com y até perto do topo; 
9 Próximo do topo, o aumento da área A é inferior ao decréscimo do raio 
hidráulico K diminui, o caudal diminui e o regime é instável. 
 
Secção com diferentes rugosidades: 
 
 n lagetas= 0.015 
n areia = 0.03 
 
 Exemplo: vala de drenagem do Infulene 
 
Têm sido propostos diversos métodos fórmula de LOTTER (1933):OBS As divisórias fictícias não entram para os perímetros molhados Pi! 
 
 
y 
lajeta
areia
n2, 
A2, 
P2, 
R2 
n3 
A3 
P3 
R3 
n1 
A1 
P1 
R1 
3 2 1 
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CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
7-9
Hip.: o caudal total é igual à soma dos caudais nas sub-secções: 
 
∑ ∗
=
i i
ii
n
RP
RPne 3/5
3/5 
RA
n
K
e
3/21= JKQ= 
 
Uma alternativa à fórmula de LOTTER é a Fórmula de H. A. EINSTEIN (1934) 
 
∑ ⋅=⋅
i
iieq nPnP
2323
 
 
Hip.: cada sub-secção tem a mesma velocidade média que a secção total. 
 
Outras alternativas 
 
Fórmula de EINSTEIN e BANKS (1950) 
 
 ∑ ⋅=⋅
i
iieq nPnP
22
 
 
Hip.: a resistência total ao escoamento é igual à soma das resistências das sub-secções. 
 
∑=
i i
i
eq C
P
C
P
22 
 
Secção composta 
 
A secção pode ser composta de várias sub-secções com características de rugosidade, 
velocidade, etc, bem distintas. 
 
Exemplo característico: secção com planície de inundação 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
8-9
 
 
 
 
 
As sub-secções 2 e 3 (planície de inundação) têm muito maior rugosidade e menor velocidade 
média que o leito menor (sub-secção 1) 
 
9 Consideram-se divisórias verticais fictícias 
9 Calcula-se Ki de cada sub-secção 
™ Para as sub-secções, as divisórias fictícias não entram para o cálculo de P; 
™ Pode ser preciso calcular uma rugosidade equivalente ne em cada sub-
secção; 
 
JKQ ii ∗= 
 
∑=
i
iQQ 
 
 
7. CÁLCULO DE ELEMENTOS DO REGIME UNIFORME 
Variáveis envolvidas 
¾ Caudal Q 
¾ Velocidade média u 
¾ Altura do escoamento y, altura uniforme 
¾ Rugosidade n (Ks, C) 
¾ Inclinação J (= Jo = Jw), inclinação uniforme 
¾ Geometria da secção – A, P, R 
 
Tipos de problemas – podem sistematizar-se os problemas a resolver no regime uniforme: 
 
2 
1
3
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. II - REGIME UNIFORME Maputo - 2007 
 
9-9
Tipo de 
problema Caudal Q 
Veloc. 
U 
Altura 
y 
Rugos. 
n 
Incl. 
J 
Geom. 
A ? ? 
B ? ? 
C ? ? 
D ? ? 
E ? ? ? 
 
Problema A – aplicação directa das fórmulas de Chézy ou de Manning – Strickler. Surge 
quando se pretende conhecer o máximo caudal duma secção ou para traçar a curva de vazão 
 
Problema B – resolve-se por um processo iterativo de aproximações sucessivas (arbitrar y, 
obter Q) ou traçando a curva de vazão da secção. Surge quando é necessário conhecer o nível 
para certo caudal e a correspondente velocidade. 
 
Problema C – aplicação directa das fórmulas. Surge quando se pretende calibrar a rugosidade 
dum canal. 
 
Problema D – aplicação directa das fórmulas: 
RAC
Q
RAK
Q
RA
nQ
J
s ∗∗
=
∗∗
=
∗
∗
=
22
2
3/422
2
3/42
22
 
 
Não é um problema que surja com frequência na prática. 
 
Problema E – é o típico problema de dimensionamento. O projectista tem de começar por 
escolher/arbitrar a forma da secção e as suas dimensões. A partir dai, cai-se no problema B. 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
1-22
 
 
CAPÍTULO III 
DIMENSIONAMENTO DE CANAIS 
 
1. Tipos de canais 
2. Canais não erodíveis 
3. Folga 
4. Secção hidráulica óptima 
5. Dimensionamento de canais não erodíveis 
6. Canais erodíveis 
7. Método da velocidade admissível 
8. Método da força de arrastamento 
9. Secção hidráulica estável 
 
1. TIPOS DE CANAIS 
 
Designa-se como CANAL (open channel) qualquer tipo de conduta em que o escoamento se 
processa com superfície livre. 
Os canais podem classificar-se quanto à origem em: 
¾ NATURAIS – rios e linhas de água; 
¾ ARTIFICIAIS, por exemplo: 
¾ canais de rega; 
¾ valas de drenagem; 
¾ canais de descarregadores; 
¾ valetas de estradas; 
¾ canais para abastecimento de água; 
 
A água em movimento tem a capacidade de arrastar partículas do material que compõe o leito e 
os taludes se esse material for incoerente. Por essa razão, os critérios de dimensionamento de 
canais erodíveis e não erodíveis diferem. 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II
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 _____________________________________ 
CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
2-22
 
Essa capacidade de arrastar partículas do material que compõe o leito e os taludes do canal (areia, 
silte) provocando erosão. Conforme a sua capacidade de resistir à erosão, os canais classificam-
se em: 
¾ CANAIS NÃO ERODÍVEIS 
¾ CANAIS ERODÍVEIS 
 
2 CANAIS NÃO ERODÍVEIS 
 
Neste tipo de canais, o material ou materiais que compõe o leito e os taludes é (são) capaz(es) de 
resistir à acção erosiva da água. 
 
¾ Escavados em rocha sã 
¾ Revestidos 
‰ Betão 
‰ Argamassa 
‰ Pedra argamassada 
‰ Alvenaria 
‰ Asfalto 
‰ Plástico 
¾ Construídos com material não erodível 
‰ Betão 
‰ Madeira 
‰ Ferro 
¾ Revestidos com vegetação 
 
2.1 - Finalidades do Revestimento 
- Protecção contra erosão; 
- Diminuição das perdas de água por infiltração; 
- Maior velocidade de escoamento; 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
3-22
2.2 - Critérios Gerais de Dimensionamento 
 
I. -Eficiência hidráulica - transportar o caudal de dimensionamento com área mínima de 
secção; 
II. - Praticabilidade e facilidade da construção e manutenção; 
III.- Economia da construção; 
‰ Escavação; 
‰ Remoção do material escavado; 
‰ Revestimento; 
 
2.3 - Factores a considerar no dimensionamento de canais não erodíveis 
 
I. - Velocidade mínima ou velocidade de não-arrastamento; 
 
™ Quanto maior a velocidade do escoamento, maior é a capacidade de erosão e de 
transporte de sedimentos; 
 
™ Quando a velocidade do escoamento se torna baixa, reduz a capacidade de 
transporte de sedimentos e estes depositam-se causando o assoreamento do 
canal! 
 (exemplo: rio que entra numa albufeira) 
 
 
 
 
 
 
V2 < V1 há assoreamento à medida que V2 0 
 
V1 
V2 
Deposição de sedimentos 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
4-22
Ex.: Canal de drenagem do Infulene 
Qmax = 48 m3/s Qmin = 0.6 m3/s 
 
Secção Qmáx 
adoptada 
 QminA velocidade mínima a adoptar depende da dimensão do material transportado. Normalmente 
velocidades entre 0.2 – 0.3 m/s já evita sedimentação (gráfico 120, Lencastre); 
 
II. - Inclinação do canal 
 
Condicionada pela topografia, não se pode afastar muito da inclinação média do terreno natural; 
 
 
 
 
 
 J > Jo1, Jo2, Jo3 
 
Alternativa usada na vala principal (Bacia A) – QUEDAS Jo1,2,3 = 0 
 
III. - Inclinação dos taludes 
 
- Dependem principalmente do tipo de material; 
- Os taludes devem aproximar-se da vertical tanto quanto possível; 
ƒ Rocha – quase vertical 
ƒ Argila dura, terra com revestimento de betão – (V:H) (1:1) a (1:0.5) 
ƒ Terra com revestimento de pedra – (1:1) 
ƒ Argila média – (1:1.5) se não forem revestidas, 
ƒ Silte, areia – (1:2 a 1:3) considerar como erodíveis 
Terreno natural 
Jo1 
Jo2 
Jo3 
J – inclinação natural 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
5-22
3. FOLGA 
 
Folga é a distância na vertical entre a superfície da água e o topo do canal nas condições do 
projecto. 
 
Objectivo: 
Evitar que o canal seja galgado (o que poderia provocar erosões) devido a ondas e flutuações 
provocados por: 
ƒ Vento, 
ƒ ressalto hidráulico, 
ƒ assoreamento, 
ƒ aumento de altura em curvas, 
ƒ aumento de rugosidade 
 
f – folga – distância vertical entre o topo do canal e a superfície de água; 
f´- altura do revestimento acima da superfície da água; 
 
Valores sugeridos pelo U.S. Bureau of Reclamation para as folgas f e f’em função do caudal Q 
 
Q m3/s <1 5 10 15 30 60 
f (m) 0.50 0.70 0.80 0.90 0.95 1.10 
f’ (m) 0.15 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 
 
Sobreelevação em curvas 
Só é importante quando o raio de curvatura Rc é pequeno 
 
Rcg
BUy ∗
∗=Δ
2
 
 
 U = 1 m/s B = 10 m Rc = 100 m 
 → Δy ≈ 1 cm 
revestimento 
f
f
B 
U 
Rc 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
6-22
 
4. SECÇÃO HIDRÁULICA ÓPTIMA 
 
 JRA
n
Q 2/13/21 ∗∗∗= RJCAQ= 
Dada a forma duma secção e dado o valor da área, a capacidade de vazão aumenta com o raio 
hidráulico, isto é, com a minimização do perímetro molhado P para uma mesma área A. 
Secção hidráulica óptima (para dada forma) é aquela cujas dimensões minimizam o perímetro 
molhado P para uma certa área A 
 
Ex.: Secção rectangular b = ? y = ? 
A – constante 
A = b*y yy
AybP 22 +=+= 
min P → 0=dy
dP → 
022 =+− y
A → 022 =+− y
by → b = 2y 
Para uma secção rectangular, a secção hidráulica óptima é aquela em que b = 2y 
 
Elementos geométricos de secções hidráulicas óptimas 
 
Secção A P R B h R/√A 
Rectangular 
b =2y 
 
2 y2 
 
4 y 
 
0.5 y 
 
2 y 
 
y 
 
0.35 
Trapezoidal (meio 
hexágono regular) 
 
1.73y2 
 
3.46y 
 
0.5y 
 
2.31y 
 
0.75y 
 
0.38 
Triangular (meio 
quadrado) 
 
y2 
 
2.83y 
 
0.354y 
 
2y 
 
0.5y 
 
0.35 
 
Semicírculo 
 
0.5лy2 
 
Л y 
 
0.5y 
 
2y 
 
0.25лy 
 
0.40 
Parábola 
B =2√2 y 
 
1.89y2 
 
3.77y 
 
0.5y 
 
2.83y 
 
0.667y 
 
0.36 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
7-22
 
A secção óptima entre todas seria o semicírculo. Por razões construtivas, é mais usual usar-se 
uma secção trapezoidal 
¾ O princípio da secção hidráulica óptima só se aplica a canais não erodíveis. 
¾ A área mínima pode não corresponder ao custo mínimo. 
 
5. DIMENSIONAMENTO DE CANAIS NÃO ERODÍVEIS 
 
Dados: Q, Jo, forma da secção, tipo de revestimento 
 
1. estima-se C ou n; 
2. calcula-se 
J
nQ
RA
∗
=3/2 ou 
JC
Q
RA =2/1 
3. obtém-se y para a secção hidráulica óptima e define-se a secção; 
4. se necessário por razões construtivas, modifica-se as dimensões, fazendo sempre a 
verificação pelas fórmulas de Manning-Strickler ou de Chézy; 
5. verificar se se tem regime lento; 
6. verificar Umin, se Qmin for dado; 
7. estimar as folgas f e f’; 
8. desenha-se a secção transversal obtida. 
 
 
6. CANAIS ERODÍVEIS 
 
Os canais erodíveis são compostos por material incoerente (areia, silte) cujas partículas podem 
ser arrastadas pelo escoamento; 
 
5.1 - Dimensionamento 
¾ Evitar a existência de erosão; 
¾ Garantir a capacidade de vazão necessária; 
 
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8-22
5.2 - Métodos de dimensionamento 
¾ Método da velocidade admissível; 
¾ Método da força de arrastamento. 
 
7. MÉTODO DA VELOCIDADE ADMISSÍVEL 
 
VELOCIDADE ADMISSÍVEL é a máxima velocidade média (Umáx) do escoamento que não 
provoca erosão no canal. 
 
A velocidade média não é um bom indicador da capacidade erosiva do escoamento porque essa 
capacidade está ligada à velocidade de atrito junto ao leito (“shear velocity”). 
 
Ex.: Situação 1 – material A, U1, y1 
 Situação 2 – material A, U2 = U1, y2 < y1 
A possibilidade de erosão é maior na situação 2 que na situação 1 porque a “shear velocity” é 
maior na situação 2! 
 
A velocidade admissível: 
™ aumenta com o diâmetro (silte, areia, cascalho, calhau) 
™ aumenta com a compactação (argila) 
™ diminui com a sinuosidade do canal 
(ver Tabela 119 e gráfico 120 – Lencastre). 
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9-22
 
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10-22
 
 
Método da velocidade admissível – passos de dimensionamento: 
 
1. Para o material do canal, tem que se definir: 
¾ n; 
¾ inclinação dos taludes; 
¾ velocidade admissível U; 
 
2. Calcular a área mínima (para que a velocidade admissível não seja excedida) necessária 
Amin 
U
Q
A =min 
3. Calcular o raio hidráulico máximo Rmax (se for excedido, a velocidade de escoamentoserá 
superior a U ) 
J
nVR 2/13/2max
∗= 
4. Determinar as dimensões da secção que satisfazem Amin e Rmax 
 
5. Incluir a folga fCurso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II
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11-22
 
 
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12-22
 
8. MÉTODO DA FORÇA DE ARRASTAMENTO 
 
Quando a água se escoa num canal, há uma força que actua sobre o leito na direcção do 
escoamento. Esta força é a impulsão sobre a área molhada e é chamada FORÇA DE 
ARRASTAMENTO. 
 
 F = γ*A*L*Jo - componente do peso paralela ao leito; 
 
LP
F
*0
=τ - tensão tangencial média 
→ τo= γ * R * Jo 
 
Em canais rectangulares de grande largura, R ≈ y 
 
→ τo= γ * y * Jo 
 
A distribuição das tensões tangenciais ao longo do perímetro molhado não é uniforme 
 
a = 0.75* γ *y *Jo 
b = 0.97* γ *y *Jo 
c = 0.43 * γ *y *Jo 
 
 Para 1 : 1,5 
 a = 0,75 . γ .y .J0 
 b = 0,97 . γ .y .J0 
 c = 0,43 . γ .y .J0 
 
Quanto maior a relação b/y, mais as tensões máximas se aproximam de γ*y*Jo no fundo e 0.76* 
γ*y*Jo nos taludes. 
y
l = 4y
a
b
a 
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13-22
(Ver VEN TE CHOW – Fig. 7.7, Lencastre – tabela 121) 
 
 
Estabilidade duma partícula de material não coerente situada no talude 
 
Uma partícula situada no talude é menos estável do que uma partícula situada no leito devido à 
componente do seu peso paralela ao talude que tende a deslocá-la 
 τl – tensão de arrastamento no leito 
 τs – tensão de arrastamento no talude 
 ∅ – ângulo do talude com a horizontal 
 Ψ – ângulo de repouso do material 
 
As forças que tendem a mover a partícula são: 
 τs*a - resultante das tensões de arrastamento, direcção do escoamento; 
 ws*sin ∅ - componente do peso paralela ao talude, direcção perpendicular; 
 
A resultante destas forças é: φτ sin2222 ∗+∗= waF sr 
 
A força estabilizante é o atrito devido à componente do peso da partícula normal ao talude: 
 
Ws . sen∅ 
Ws . cos ∅ 
Ws ∅
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14-22
Ψ∗∗= tgwF se φcos 
 
Na situação limite, Fe = Fr 
 φτφ sincos 2222 ∗+∗=∗∗ Ψ watgw ss 
Obtém-se então: 
Ψ
−∗∗∗= Ψ
tg
tgtg
a
ws
s 2
2
1cos
φφτ 
Para uma partícula situada no leito: Ψ = 0º Ψ∗= tg
a
ws
lτ 
Pode-se então relacionar τs com τl 
Ψ−=Ψ
−∗==
sin
sincos 2
2
2
2
11
φφφττ tg
tg
K
l
s ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Ψ−= Ψ,sin
sin
2
2
1 φφ fK 
∅ tem de ser inferior a Ψ 
 
Se ∅ = Ψ, K= 0 → a partícula é instável! 
A tensão de arrastamento admissível no talude é então: 
 
ττ ls K ∗= 
 
Ver gráficos 124 a,b,c) - Lencastre 
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15-22
 
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16-22
 
 
 
Tensões de arrastamento admissíveis 
 
a) Critério de Shields (1933) 
Estudos em laboratório com areia de granulometria uniforme; 
( )** REf=τ 
( ) DgWS ⋅⋅−= ρρ
ττ
*
*
 adimensional 
 
ws ρρ , - densidades do sedimento e da água 
D - diâmetro das partículas 
 
 ν
Du ⋅=
*
*Re Nº de Reynolds de atrito 
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17-22
 
W
u ρ
τ=* velocidade de atrito junto ao fundo 
 Jy ∗∗=γτ 
 
Nota: A curva de Shields não fácil de utilizar, τ aparece em ambos os eixos. 
 
Para cada par de valores (ρs, υ) é possível derivar uma curva τ=f(D) com que é fácil trabalhar. 
(Ver Gráfico 122 – Lencastre) 
 
A partir do diâmetro das partículas, determina-se a tensão admissível τ. 
 
b) Critério de Lane (1953) 
 
Experiências em canais de rega do US Bureau of Reclamation 
5.32
75Ds
adm
∗= γτ 
 
fórmula dimensionalmente homogénea para solos grosseiros. 
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18-22
 
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19-22
Quando γs = 2650 kg/m3, D em cm, τadm em N/m2, a fórmula simplifica-se: 
 
τadm=8*D75 
 
Nota: Esta fórmula simplificada não é dimensionalmente homogénea. 
 
Ver tabela 123 – Lencastre 
ƒ materiais incoerentes grosseiros (fórmula de Lane) 
ƒ materiais incoerentes finos (valores da URSS) 
ƒ materiais coerentes (valores da URSS) 
 
 
Método da força de arrastamento – passos de dimensionamento 
 
Dados: Q, Jo, D 
1. Definir a forma da secção e o valor de n; 
2. Obter o valor de Ψ; 
3. Arbitrar dimensões para a secção, incluindo a inclinação dos taludes ∅ < Ψ; 
4. A partir de D, obter τadm pelos critérios de Shields ou de Lane 
5. Obter τl adm = τadm e τs adm = K*τadm 
6. Obter ymax comparando: 
τs adm com 0.97γ*y*Jo 
τl adm com 0.76γ*y*Jo 
7. Com o valor de ymax, calcular A, R e determinar Qmax 
8. Modificar se necessário as dimensões da secção e repetir a partir do ponto 3. Qmax deve ser 
ligeiramente superior a Q. 
9. Incluir a folga f e desenhar a secção. 
 
9. SECÇÃO HIDRÁULICA ESTÁVEL 
 
Derivação feita pelo USBR para material não coerente. 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTODE CANAIS Maputo - 2007 
 
20-22
 
Hipóteses: 
 
1. A partícula de solo mantém-se estável pela componente normal ao leito do peso submerso da 
partícula; 
2. Acima da superfície da água, a inclinação do talude é igual ao ângulo de atrito interno do 
material; 
3. No centro da secção, a inclinação é nula e a força de arrastamento iguala a força de 
estabilização; 
4. Entre o centro e os bordos da secção, mantém-se o equilíbrio entre as forças de arrastamento 
e de estabilização; 
5. A força de arrastamento total que actua na secção é igual à componente do peso da água na 
direcção paralela ao leito; 
 
 
 
 
 
 
 
 
dxJyFa o ⋅⋅⋅= γ 
 
φγτ cos
22
⋅⋅=+
⋅⋅= y
dydx
dxJyr o
a 
 
ools JyKK ⋅⋅⋅=⋅= γττ 
oyKy ⋅=⋅ φcos 
y 
dx 
Ψ Ψ
∅ 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
21-22
 oytg
tgy ⋅Ψ−= 2
2
1 φ dx
dy
tg =φ 
 
θθ 22
22
tgtg
y
y
dx
dy
o
=⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅= x
y
tg
yy
o
o
θ
cos 
 
y = 0 para x = xmax 
θ
π
tg
y
xB o== 2 ; 
o
adm
o J
y ⋅= γ
τ
97.0 
 θtg
y
A o
204.2= ; ( ) 2/13/28.09.01 oo JytgnU θ−= 
AUQ ⋅= 
 
A secção hidráulica estável tem: 
ƒ área mínima 
ƒ mínima largura superficial 
ƒ máxima velocidade média 
 
 
Se o caudal for diferente de Q, a secção tem de ser modificada 
 
a) Q’<Q – tem de se retirar uma parte central do canal 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=Δ
Q
Q
BB
'
1 
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CAP. III - DIMENSIONAMENTO DE CANAIS Maputo - 2007 
 
22-22
b) Q”>Q – tem de se acrescentar área à secção mas a altura não pode ser excedida por 
causa da estabilidade das partículas. 
 Adicionar no centro uma secção rectangular 
 
( )
2/13/5
"
oo Jy
nQQ
B ⋅
⋅−=Δ 
 
 
Nota: As soluções dadas não são rigorosas. 
B + ∆ B 
∆ B 
y 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
1-10
CAPÍTULO IV 
REGIME CRÍTICO 
 
1. Energia do escoamento com superfície livre 
2. Energia específica 
3. Escoamento rapidamente variado com passagem pelo regime crítico 
4. Cálculo de elementos de regime crítico na secção rectangular 
5. Cálculo de elementos do regime crítico noutras secções simples 
6. Cálculo de elementos do regime crítico numa secção composta 
7. Secções de controlo do escoamento 
8. Curva de inclinações críticas 
 
1. ENERGIA DO ESCOAMENTO COM SUPERFÍCIE LIVRE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g
UdZH
2
cos
2
αθ +⋅+= 
Z – cota do leito 
d – altura da secção do escoamento 
Para canais de pequena inclinação θ ≈ 0º 
d Linha de energia 
Linha piezométrica 
ΔH 1-2 
d2.cosθ 
d.cosθ 
d1.cosθ 
d2 
d1 
α2U2/2g 
α1U2/2g 
αU2/2g 
1 
2 
1 
2 Plano de referência Z = 0 
Z2 
Z1 
Z 
θ 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
2-10
Ex.: inclinação de 1:1000 → θ = 0.06º → cos θ ≈ 1 
g
UdZH
2
2
α++= 
 
Inclinação do leito Jo = tgθ ≈ sinθ 
Estas inclinações são iguais no escoamento uniforme 
J = Jw= Jo 
Segundo o Teorema de Bernoulli: 
21
2
2
222
2
1
111 2
cos
2
cos −Δ++⋅+=+⋅+ Hg
U
dZ
g
U
dZ αθαθ 
 
2. ENERGIA ESPECÍFICA 
Energia Específica do escoamento numa secção é a energia tomando o leito como plano de 
referência: 
g
UdE
2
cos
2
αθ +⋅= 
Para canais de pequena inclinação e aceitando α = 1 
g
Uy
g
UdE
22
22
+=+= 
Como 
A
QU = 2
2
2 gA
Q
yE += 
 
Quando o caudal e a forma da secção são dados, E é apenas f (y). 
 
Curva de Energia Específica – E (y) para um dado Q e forma da secção. 
 
 A curva tem duas assímptotas: 
 - eixo E: y→ 0, A→ 0 E→∞ 
 - recta a 45º: y→ ∞, A→ ∞ 
 
 
y2 
y1 
yc 
 E1,2 Ec E 
y 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
3-10
 0
2 2
2
→
gA
Q E→y 
 
Perguntas: Se a inclinação do leito não for pequena (por ex.: 20º), a assimptota continuará a 
45º ?Qual será o novo ângulo que a assimptota faz ? 
 
Para cada nível de energia específica E há duas alturas possíveis: y1 e y2 são Alturas 
Conjugadas. 
 
Só no ponto C (yc e Ec)é que há uma única altura. 
No ponto C: 
¾ Energia específica atinge o valor mínimo; 
¾ Regime crítico ver-se-á que Fr = 1; 
¾ yc = altura crítica; 
Quando: 
 y > yc – regime lento; y < yc – regime rápido 
 
 
Prova de que o ponto C corresponde ao regime crítico: 
dy
dA
gA
Q
dy
dE
gA
Q
yE
3
2
2
2
1
2
−=→+= 
B
dy
dA = 
gh
U
gA
BU
dy
dE 22 11 −=−= 
Em C: 0=
dy
dE 1
2
=⇒
gh
U ou 1== Fr
gh
U 
 
 
 
 
 
 
 dA = Bdy 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
4-10
Como varia a curva quando muda o caudal 
 
 
 Q1 > Q2 > Q3 > Q4 
 
 
 
 
 
 
 
 
No esc. crítico : 111
2
=⇒=⇒=
gh
U
gh
UFr 
22
2 h
g
U =⇒ 
 
Se °≠ 0θ e 1≠α → θcos
dy = 
 
dY
dA
gA
Q
dY
dE
3
2
2cos αθ −= ; 
gh
U
dY
dE θαθ coscos0
2
2 −== ; θα cos
ghU = 
Definindo θ
α
cos
'
gh
UFr = 
 
No regime crítico: 1' =Fr 
 
 
 
y 
 Q1 Q2 Q3 Q4 
E 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
5-10
3. ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO COM PASSAGEM 
PELO REGIME CRÍTICO 
 
A. Queda Brusca 
 
 
 
 
 
 
Teoricamente Y≥Yc. No entanto, isso só é válido enquanto as linhas de corrente forem 
aproximadamente paralelas 
 
B. Ressalto Hidráulico 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção: y1 e y2 não são alturas conjugadas (“alternate depths”) mas sim Alturas Conjugadas 
do Ressalto (“conjugate depths”)! 
 
 
yc y0 = 0,7 yc 
3 yc a 4 yc 
y2 
y1 
yc 
 E1,2 Ec 
y 
E 
ΔEy1 
y2 E2 
ΔE 
E1 
 
 E1 
y1 
yc 
 Ec 
y 
E 
ΔE 
 E2 
y2 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
6-10
4. CÁLCULO DE ELEMENTOS DE REGIME CRÍTICO NUMA 
SECÇÃO RECTANGULAR 
 
A. Velocidade crítica 
g
UyE
2
2
+= ; cccccc yyyg
U
yE
2
3
22
2
=+=+= 
 
Numa secção rectangular b = constante: bqQ ⋅= 
y
q
yb
bq
A
Q
U =⋅
⋅== 
 
q [m3 . s-1/m] é o caudal específico, isto é, caudal por unidade de largura do canal. 
 2
22
c
cc
c yg
q
g
U
y ⋅== 
3/12
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
g
q
y cc 
 
( ) 3/1gqU cc ⋅= ; ( ) 3/1gyygghU cc ⋅=⋅== velocidade 
crítica 
 
 
3/122
3
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛===
g
q
g
U
Ey cc altura crítica para um dado caudal! 
 
 
3
cc ygq ⋅= caudal crítico para uma dada altura! 
 
 
B. Inclinação crítica 
 
Segundo a fórmula de Chézy: RJCAQ = 
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CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
7-10
Numa secção rectangular: RJycq ⋅= 
 
c
c
cc
c
cc
c
c
RC
yg
RyC
yg
RyC
q
J
222
3
22
2 ⋅=⋅==⇒ 
 
Fórmula de Manning-Strickler: 2/13/2
1 JRA
n
Q ⋅= 
 
Numa secção rectangular: 2/13/2
1 JRy
n
q ⋅⋅⋅= 
 
3/4
2
3/42
22
c
c
cc
c
c
R
yng
Ry
nq
J
⋅==⇒ 
 
Para qualquer secção, num canal prismático em regime uniforme: 
 
J > Jc declive forte (regime rápido na situação de escoamento 
uniforme) 
J = Jc declive crítico 
J < Jc declive fraco (regime lento na situação de escoamento 
uniforme) 
 
 
5. CÁLCULO DE ELEMENTOS DO REGIME CRÍTICO NOUTRAS 
SECÇÕES SÍMPLES 
 
A. Condição do regime crítico: 
B. 
B
AA
g
Q
Ag
BQ
dy
dE ⋅=⇒=⋅−= 01 3
2
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
___________________________________________________________________________________ 
 
CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
8-10
B
AAZ c = corresponde ao factor de secção para o regime crítico, 
depende apenas da secção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. CÁLCULO DE ELEMENTOS DO REGIME CRÍTICO NUMA 
SECÇÃO COMPOSTA 
 
 
 α1, n1, A1 α2, n2, A2 α3, n3, A3 
 
 
 
K = capacidade de vazão 
3/21 RA
n
K ⋅= 
2
3
2
3
/ Ak
A
k
i
i
i i
ii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
∑
∑ α
α 
Regime crítico: 
B
AA
g
Q
Ag
BQ =⇒=⋅
⋅− αα 01
3
2
 
 
Obs.: Estas expressões não são exactas porque na derivação desprezou-se o termo 
dy
dα
 que 
não é nulo! 
 
A √(A/B) 
 
Q /√ g 
yc y 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
___________________________________________________________________________________ 
 
CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
9-10
 
7. SECÇÃO DE CONTROLE DO ESCOAMENTO 
 
Numa secção de controle existe uma relação bem definida (biunívoca) entre a altura e o 
caudal. O caudal é conhecido se a altura for medida. As secções de controle são os sítios 
adequados para a medição de caudais. 
No regime crítico existe essa relação biunívoca entre Q e y ; 
As secções com escoamento crítico são secções de controle do escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yu 
yc 
Curva de Regolfo 
Secção de Controle 
declive fraco ( yu>yc) 
yu = yc 
Secção de Controle 
declive crítico ( yu = yc) 
Curva de Regolfo 
declive fraco ( yu>yc) 
yc 
yu 
Ressalto Hidráulico 
Secção de Controle 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
___________________________________________________________________________________ 
 
CAP. IV - REGIME CRÍTICO Maputo - 2007 
 
10-10
8. CURVA DE INCLINAÇÕES CRÍTICAS 
 
Para um dado caudal, a inclinação crítica é aquela a que corresponde yu = yc. 
 
Q → yc → 
cc
c RAC
Q
J
22
2
= J > Jo regime rápido 
 J < Jc regime lento 
 3/42
22
cc
c
RA
nQ
J = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J 
Q 
Jlimite 
Curva das Inclinações Críticas 
Curva do Caudal para um dado yunif 
REGIME 
LENTO 
REGIME 
RÁPIDO 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________1-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
CAPÍTULO V 
ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO 
 
 
1. Hipóteses básicas e outras condições assumidas 
2. Equação do escoamento gradualmente variado 
3. Características dos perfis dos escoamentos 
4. Classificação dos perfis do escoamento 
5. Traçado qualitativo de curvas de regolfo (secções de controle) 
6. Cálculo quantitativo – método das diferenças finitas 
7. Escoamento por vários braços 
8. Canal de saída de um reservatório 
9. Canal ligando dois reservatórios 
 
1. HIPÓTESES BÁSICAS E OUTRAS CONDIÇÕES ASSUMIDAS 
 
A. No escoamento gradualmente variado a altura do escoamento varia lentamente de 
secção para secção sendo o caudal constante. 
¾ Regime permanente; 
¾ Distribuição hidrostática de pressões; 
 
B. A perda de energia entre duas secções espaçadas de dx é igual à que se verificaria num 
escoamento uniforme com a mesma velocidade e o mesmo raio hidráulico (velocidade 
e raio hidráulico iguais às médias dessas grandezas nas duas secções). 
¾ Pode-se usar as fórmulas e os coeficientes de rugosidade do regime uniforme; 
¾ A experiência tem mostrado que esta hipótese é válida, principalmente quando 
U aumenta. 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________2-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
Há no entanto, outras condições que são assumidas: 
 
¾ Inclinação do canal é pequena: y = d. 
¾ A distribuição de velocidades no trecho em consideração é constante: α= cte. 
¾ O coeficiente de rugosidade não depende da altura do escoamento e é constante no 
trecho em consideração: n=cte. 
 
2. EQUAÇÃO DO ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g
UdZH
2
cos
2
αθ ++= 
dx
dd
g
U
dd
d
dx
dd
dx
dz
g
U
dx
d
dx
dd
dx
dz
dx
dH
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++=
2
cos
2
cos
22
αθαθ 
 
J – inclinação da linha de energia 
Jo – inclinação do leito do canal 
Jw – inclinação da superfície livre 
 
d1 
Linha de 
energia 
Linha 
piezométrica
d
H 
d2.cosθ 
d1.cosθ 
d2 
α2U22/2
g
α1U12/2
g
1 
2 
1 
2 Z = 0 
Z2 
Z1 
θ 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________3-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADOMaputo - 2007 
 
dx
dHJ −= 
dx
dzJ −== θsin0 
 
Equação do escoamento gradualmente variado: 
 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
−=
g
U
dd
d
JJ
dx
dd o
2
cos
2
αθ
 (1) 
 
−
dx
dd
 inclinação da superfície da água em relação ao leito 
No escoamento uniforme 0=
dx
dd 
 
 
 
 
 
 
Admitindo que θ é pequeno: 
 
cos θ ≈ 1 ( basta que θ < 2.6º, ou seja, Jo< 0.045 para que o erro cometido seja < 
1o/oo) 
d ≈ y ; ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ = θcos
dy ; dx
dy
dx
dd ≈ 
 
A equação do escoamento gradualmente variado passa a ser: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
−=
g
U
dy
d
JJ
dx
dy o
2
1
2
α
 (2) 
(dd/dx) < 0 (dd/dx) > 0 (dd/dx) = 0 
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____________________________________________________________________4-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
Esta é a equação que é geralmente utilizada. 
 
Simplificando mais a expressão anterior temos: 
 
3
2
2
22 1
22 Ag
BQ
Ady
d
g
Q
g
U
dy
d
⋅−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ααα 
 2
2
Fr
gh
U −=−= α 
 
2
0
1 Fr
JJ
dx
dy
−
−= (3) 
 
Outra formulação: 
JKQ = 
K – capacidade de vazão para uma altura y correspondente ao caudal Q no escoamento 
gradualmente variado; 
Suponhamos que o mesmo caudal passa na secção em regime uniforme. Então seria: 
 
ou JKQ = 
Ku representa a capacidade de vazão para uma altura yu correspondente ao caudal Q no 
escoamento uniforme. 
 
⇒=
2
2
0 K
K
J
J u
 (4) 
( )
2
2
0 1
1
Fr
KK
J
dx
dy u
−
−= 
 
Ainda outra formulação: 
 
B
AAZ = factor de secção 
 
Suponhamos que o caudal Q passa na secção em regime uniforme crítico com altura yc: 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________5-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
 αg
Q
B
A
AZ
C
C
CC == ; 2
2
2
2
3
2
Z
Z
gZ
Q
gA
BQ C−=−=− αα 
 
( )
( )2
22
0
1
1
ZZ
KK
J
dx
dy
C
u
−
−= (5) 
 
3. CARACTERÍSTICAS DOS PERFIS DOS ESCOMENTOS 
 
3.1 Perfis dos escoamentos 
Representam as curvas das superfícies dos escoamentos chamadas de Curvas de Regolfo. 
(backwater, drawdown) e podem ser obtidas a partir da equação do escoamento gradualmente 
variado. 
 
Vamos admitir que: 
™ canal é prismático; 
™ K e Z aumentam com y (válido para todas as secções abertas em que B não 
decresce com y); 
 
3.2 Canal de declive Positivo: Jo>0 
 
a) 010
2
>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⇒>
K
K
dx
dy u e 01
2
>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
Z
Z C
 
 
Ku < K e ZC < Z 
 y > yu e y > yc (escto lento) 
 
 
Alternativa 1: y > yu > yc – declive fraco (Mild) M1 
Alternativa 2: y > yc > yu – declive forte (Steep) S1 
Alternativa 3: y > yc = yu – declive crítico C1 
(dd/dx) > 0 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________6-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
Ainda com 0>
dx
dy
 
01
2
<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
K
K u e 01
2
<⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
Z
Z C 
 
Ku > K e Zc > Z → yu > y e yc > y (esc to rápido) 
 
Alternativa 4: yc > yu > y – declive forte S3 
Alternativa 5: yu > yc > y – declive fraco M3 
Alternativa 6: yu = yc > y – declive crítico C3 
 
b) uu
u yyKK
K
K
dx
dy =⇒=⇒=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−→= 010
2
 
 escoamento uniforme! 
 
Alternativa 7: y = yu > yc – declive fraco 
Alternativa 8: y = yu = yc – declive crítico C2 
Alternativa 9: y = yu < yc – declive forte 
 
c) ZZKK
dx
dy
cu >∧<→< 0 
escoamento rápido → yu < y e yc > y 
 
 
Alternativa 10: yc > y > yu – declive forte S2 
 Ku > K e Zc < Z → yu > y e yc < y (esc to lento) 
 
 
Alternativa 11: yu > y > yc – declive fraco M2 
 
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____________________________________________________________________7-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
Declive: 
 - forte yc > yu 
¾ Positivo - crítico yc = yu 
- fraco yc < yu 
 
¾ Horizontal 
 
¾ Contra-inclinado 
 
 
 
3.3 Canal Horizontal: Jo = 0 
 
Não há regime uniforme num canal horizontal. 
∞=→∞=⇒= uu
u
o yK
K
Q
J
2
2
 
 
2
2
2
0 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=−=−
K
Q
K
Q
JJ o ; 
( )
( ) 2
2
1 ZZ
KQ
dx
dy
c−
−= 
d1) yyyZZdx
dy
cuc >>→>→> 0 
escoamento rápido H3 
d2) cuc yyyZZdx
dy >>→<→< 0 
escoamento lento H2 
 
3.4 Canal contra-inclinado: Jo < 0 
 
Não pode existir regime uniforme num canal contra-inclinado. 
 
ou JKQ = Ku2 é negativo (não tem sentido físico) 
( )
( )
( ) 2
2
2 11 ZZ
KQJ
ZZ
JJ
dy
dx
C
o
C
o
−
−=−
−= o numerador é sempre negativo 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________8-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
e1) yyZZdx
dy
cc >→>→> 0 escto rápido A3 
 
e2) cc yyZZdx
dy >→>→< 0 escto lento A2 
 
3.5 Alguns aspectos especiais dos perfis 
™ Quando ∞=→= dx
dy
yy c → ao atravessar o nível da altura crítica a 
superfície do escoamento teria uma tangente vertical. 
 
→ Ressalto hidráulico: 
 
 
→ Queda: 
 
 
A curvatura é muito grande então a hipótese da distribuição hidrostática de pressões não é 
válida. 
A equação do escoamento gradualmente variado não se aplica nas proximidades dessa zona. 
¾ Quando 0, Jdx
dy
y =∞= → a superfície á horizontal; 
¾ Quando 0, == dx
dy
yy u → a superfície é paralela ao fundo do canal; 
¾ y = yu = yc → escoamento uniforme e crítico; 
 
¾ ∞
∞=→=
dx
dy
y 0 matemáticamente ∞=→
dx
dy
 ou um valor 
positivo; 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________9-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
4. CLASSIFICAÇÃO DOS PERFIS DE ESCOAMENTO 
 
Considerem-se no canal duas linhas: a da altura uniforme yu e a da altura crítica yc. Elas 
dividem o espaço em três zonas: 
 
 Zona 1 - acima da linha superior 
 Zona 2 - entre as duas linhas 
 Zona 3 - entre a linha inferior e o fundo do canal 
 
 
 
 
Nota – Poderá ser yu > yc; yu = yc; ou yu < yc 
 
Existem 13 tipos possíveis de perfis 
 
S1, S2, S3 canal de declive forte 
C1, C2, C3 canal de declive crítico J0 > 0 
M1, M2, M3 canal de declive fraco 
 H2, H3 canal horizontal 
 A2, A3 canal contra-inclinado 
 
Curva ExemplosS1 Escto num canal, declive forte antes de entrar numa albufeira; (atn: ressalto 
hidráulico) 
 S2 Declive forte (escto rápido), alargamento da secção; 
 S3 A jusante duma comporta com saída para um canal de declive forte; 
 M1 Escto lento num canal à chegada a uma albufeira; 
 M2 Canal com declive fraco, aproximação duma queda 
Zona 3 
Zona 2 
Zona 1 
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____________________________________________________________________10-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 M3 A jusante duma comporta com saída para um canal de regime fraco (ressalto 
hidráulico); 
 C Transição entre S e M 
 
 
 
5. TRAÇADO QUALITATIVO DAS CURVAS DE REGOLFO (Secções de Controle) 
 
Algumas indicações para o traçado qualitativo: 
- determinar o sinal de 
dx
dy a partir da equação do EGV; 
- a aproximação do perfil à altura uniforme á assimptótica; 
- a aproximação do perfil à altura crítica faz-se com ângulo de 90º; 
- o controle do escoamento é feito por montante no escoamento rápido e por jusante no 
escoamento lento. 
 
Secções de controlo: 
 
A) Secção de controlo de montante 
 
- Existe num trecho de declive forte, pois o escoamento tem de passar no regime crítico 
na secção de montante. Se houver vários troços de declive diferente mas todos fortes, a 
secção de controle é a do troço mais a montante. A altura de controlo é a altura crítica. 
 
- Existe num trecho longo de declive forte. A altura de controlo é a altura uniforme 
(regime rápido). 
 
- Existe também em longos troços de declive fraco porque as curvas M1 e M2 tendem 
para a altura uniforme a montante (assimptoticamente). A altura de controle é a altura 
uniforme. 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________11-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
B) Secção de controle de jusante 
 
- Existe para um trecho longo de declive forte porque as curvas S2 e S3 tendem 
assimptoticamente para a altura uniforme que é a altura de controle. 
 
- Existe num canal de declive fraco que termina por uma queda livre. A secção de 
controle é sobre a queda (um pouco antes) onde se instala o regime crítico. 
 
- Existe também num trecho longo de declive fraco. A altura de controlo é a altura 
uniforme. 
 
C) Secção de controle artificial 
 
- Existe em estruturas como barragens, descarregadores com ou sem comportas e 
certo tipo de canais (p. ex. Parshall). 
 
A altura de controle é conhecida ou pode ser determinada, a partir do caudal, das 
características do descarregador e da altura das comportas. 
 
Passos para o traçado qualitativo das curvas de regolfo: 
 
1. Desenhar o perfil do canal exagerando a escala vertical; 
 
2. Calcular para cada troço as alturas uniforme e crítica (yu e yc); 
 
3. Localizar todas possíveis secções de controle e definir as respectivas alturas de 
escoamento; 
 
4. Localizar as curvas M, S, C, H e A para esquematizar as curvas de regolfo a partir das 
alturas de controle. 
 
 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________12-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
6. CÁLCULO QUANTITATIVO - MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 
 
6.1 Processo de integração 
ZEH += ; 
2
22
22 gA
Q
y
g
UyE +=+= 
dx
dZ
dx
dE
dx
dH += OJJdx
dE +−=→ 
 
Esta equação diferencial é integrada numericamente pelo método das diferenças finitas. 
 
 (6) 
 
 
 
• a secção 2 está a jusante da secção 1; 
• 
2
21 JJJ
+= ; 
• xΔ é suficientemente pequeno para o trecho 1-2 poder ser considerado 
aproximadamente prismático. 
 
6.2 Método padrão (“Standard step method”) 
 
O método padrão é aplicável a canais de geometria irregular (não prismáticos) desde que 
xΔ seja suficientemente pequeno para que, entre 2 secções sucessivas, o canal possa ser 
considerado prismático. 
 
Resolução por iterações 
 
a) Parte-se da secção de controlo (vamos admitir que temos regime lento e a secção de 
controlo está a jusante); 
 
secção de controlo ≡ secção 2 
 
( ) xJJEEdE o Δ−=−= 12
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________13-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
b) Na secção 2, Q e y2 são conhecidos; 
2
2
2
22 2 gA
Q
yE +=→ )( 22 yAA ≡ 
3/4
2
2
2
2
2
2
2
RA
nQ
J =→ )( 22 yRR ≡ 
 
c) Arbitra-se um valor razoável para xΔ ; 
(Nota – quanto menor for xΔ , maior será a precisão mas também a quantidade de 
trabalho!) 
 
d) Na 1ª iteração, toma-se J1 = J2; 
 
e) 
2
21 JJJ
+= 
 
f) Pela equação (6), xJJEE Δ−−= )( 021 
 
g) A partir de 
2
1
2
11 2 gA
Q
yE += , determina-se y1; )( 11 yAA ≡ 
 
h) A partir de y1, determina-se 3/4
1
2
1
2
1
2
1 RA
nQ
J = ; )( 11 yRR ≡ 
 
i) Repete-se a partir de e) até os resultados convergirem; 
 
j) Passa-se para o trecho seguinte em secção 1 passa a ser a nova secção 2. 
 
k) Repete-se a partir de b). 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________14-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
(NOTA – É sempre conveniente partir do traçado qualitativo da curva de regolfo!) 
 
6.3 Método directo (“Direct step method”) 
 
O método directo dispensa as iterações mas apenas é aplicável a canais prismáticos. 
 
O método consiste em determinar, partindo da secção de controlo, as distâncias a que se 
registam determinados valores de y. 
 
a) Parte-se da secção de controlo (hipótese: regime lento e a secção de controlo está a 
jusante) 
 
 Q, J2 – conhecidos 
 
 → A2, E2, J2 
 
b) Arbitra-se y1 (Nota: 12 JJ − deve ser pequeno) → A1, E1, J1 
c) 
2
21 JJJ
+= 
d) A partir da equação (6), 
JJ
EE
x −
−=Δ
0
12
 
e) Conhecida a localização da secção 1, esta passa a ser a nova secção 2 
 
f) Repete-se o processo a partir de a); 
 
 
7. ESCOAMENTO POR VÁRIOS BRAÇOS 
 
 
 
Q 
Q1
Q2
A B Q 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________15-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
QQQ =+ 21 
 
a) Arbitrar 111 JKQ = , 222 JKQ = 
)(, 21 yfKK = 
b) Determinar as duas curvas de regolfo caminhando de B para A se o escoamento for 
lento. 
c) Se 21 AA yy ≠ , arbitrar novos valores de Q1 e Q2. 
 
 
 
 
 
 
 
8. CANAL DE SAÍDA DUM RESERVATÓRIO 
 
 
 
 
 
 
Dados: ym, J0, n, geometria da secção 
Hipótese: 
- Canal suficientemente longo para se estabelecer o regime uniforme; 
- O nível no reservatório a montante da entrada do canal é ym. 
 
1º Passo – Saber se o declive é forte ou fraco! 
 
Se o declive for forte, a secção 1 é uma secção de regime crítico. 
 
y
y y
Q
ym 
11 
2
2
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________16-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
C
C
C
C
C
CC B
A
y
gA
Q
yE
2
1
2 2
2
+=+= 
 
111
1
1
1 )(2
1
CC
C
C
CmC yyfB
A
yyE ⇒=+== 
 
CCCCC JJRAn
Q ⇒= 2/13/2 111 ; 
CC
C
C
C
C Qyf
B
A
A
g
Q ⇒== )( 12
1
1
1 
 
Jo > JC – declive forte 
Jo < JC – declive fraco 
 
a) Caso do declive forte 
Secção 1 - regime crítico, Q = QC. 
 
 Curva de chamada do reservatório para o canal 
 
 
 
 
 
 
Declive forte Jo > JC 
 
b) Caso do declive fraco 
A jusante, numa secção suficientemente afastado, há regime uniforme uyy =→ . 
2/13/21
oJARn
Q = A, R = f(yu) → Q = f1 (yu) 
 
S2 ym 
1 
1 
2 
2 
yc 
yu2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________17-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
Se o regime é lento, é controlado por jusante → o regime uniforme mantém-se à entrada do 
canal. 
Curva de chamada do reservatório para o canal 
 
 
 
 
 
Declive fraco Jo > JC 
 
Segundo a energia específica disponível: 
2
2
2 gA
Q
yyE umC +== 
 
)(2 2 uum yfyyAgQ =−= 
 
A intersecção das curvas f1, f2 dá os valores pretendidos de yu e Q 
 
 
 
 Nota: yu terá de ser > yc 
 (regime lento) 
 
 
 
 
 
 
9. CANAL LIGANDO DOIS RESERVATÓRIOS 
 
Hipótese: O canal não é suficientemente longo para se estabelecer o regime uniforme. 
 
ym 
1 
1 
2 
2 
yu2 
yc 
f1 (y) 
y 
f2 (y) 
Q
yc 
yu 
Q 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________18-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
Dados: ym, yj, J0, n, geometria da secção do canal. 
 
 
 
 
 
 
 
1º Passo – Saber se o declive é forte ou fraco, em função de ym. 
 
 
a) Caso do declive forte: 
¾ A secção 1 é uma secção crítica; 
¾ O escoamento é rápido e controlado por montante; 
¾ Existe uma curva de regolfo para fazer a concordância com yj e dependente do 
valor de yj. 
 
 
 
 
 
 
Declive forte Jo > JC 
 
Se o nível de jusante exceder M Jm a curva de regolfo afecta o reservatório de montante e o 
caudal decresce. Quando LJyy omj += o caudal torna-se nulo. 
 
b) Caso do declive fraco 
Q será função de yj e ym. 
 
b1) ym = cte → Q = f(yj) 
 
ym 
yj 
1 
1 
2 
2 
1 
ym 
1 yc 
2 
yu 
S1 
S1 
S1 
S2 
2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________19-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
 
 
 
 
 
 
Declive fraco Jo < JC 
 
‰ Sempre que 2cj yy ≤ , o escoamento passa na secção 2 em regime crítico → Qmax 
‰ mj yy = → regime uniforme, Q = Qu 
‰ 0=→+= QLJyy omj 
‰ 2/13/2
1
ouuu JRAn
Q = 
• Au = A(yu) 
• Ru = R(yu) 
• yu = ym 
 
 
 Curva de descarga (delivery curve) 
 
O cálculo de Qmax tem de ser feito por tentativas. 
Nota: Como o caudal não é conhecido, não se conhecem as perdas de carga e, portanto, a 
energia específica na secção 2 é uma incógnita. 
 
‰ arbitra-se Q > Qu 
‰ calcula-se yj, admitindo que Q passa em regime crítico na secção 2 
g
Q
yf
B
A
A j
C
C
C == )(2
2
2
2 
‰ determina-se a curva de regolfo M2 e obtém-se y1, se y1 ≠ ym repete-se o processo. 
 
1 
ym 
1 yc 
2 
yj=yM=yu 
M1 
M2 
2 
yJ=yM=yu 
yu<yj<yM 
yJ=yM+J0.L 
Q
yc2
y
y
Qmá
yM+J0.L
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____________________________________________________________________20-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para yc2 < yc < yu, será Qmax > Q > Qu. O cálculo de Q faz-se por tentativas. 
 
Na prática, Qmax pode não ser muito superior a Qu. Com efeito, se a curva M2 quase se 
confundir com a altura yu antes da secção, então Q ≈ Qu. 
 
 
 
 
 
 
 
Se L > L’ → Qmax ≈ Qu 
o
c
u
o Jdy
dx
Z
Z
K
K
J
dx
dy 1~
1
1
2
2
⇒
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
−= 
 
NOTA: Para canais longos ou com pequena inclinação pode aceitar-se Qmax = Qu 
 
Para LJyyy omu +<< , 0 < Q < Qu 
 
Q é obtido por tentativas: 
Q 
yM 
y1 
Qmáx 
1ª tentativa 
3ª tentativa 
2ª tentativa 
1 
ym 
1 yc 
2 
2 
yu 
M2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________21-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
‰ y = yj é conhecido 
‰ arbitra-se Q < Qu 
‰ calcula-se y1, a partir da curva de regolfo M1 
‰ se y1 ≠ ym, repete-se o processo 
 
OBS: Para um traçado prático, basta tomar 2 pontos entre yu e LJy om + 
 
b2) yj = cte → Q = f(ym) 
 
 
 
 
 
 
 J0 < JC 
 
Para ym = ymax, yj = yc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qmax é o valor que corresponde a ter yj = yc2, 
 ym = ymax (se ym > ymax) 
 
 Na secção 2 ter-se-ia y2 > yj 
 
1 
ym= yj – J0.L 
1 
yc 
2 
2 
yu 
M2 
yJ 
ym= yj = yu 
ym= ymáx 
y 
Q Qu Qm 
yj 
ym 
yj - J0.L 
m1 
m2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
____________________________________________________________________22-22 
CAP. V - ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Maputo - 2007 
B
AAgQ =⇒ max em que A, B = f(yj) 
 
Para ujmoj QQyyLJy <<<− , 
 
Q é obtido por tentativas, a partir da curva de regolfo M1. 
 
Nota: arbitrando-se Q obtém-se ym a partir da curva M1. 
 
Para yj < ym < ymax, Q > Qu e Q < Qmax; (Q é obtido por tentativas). 
 
b3) Q = cte → yj = f(ym) 
 
Para cada Q existe uma curva C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva C – é a curva em que, para cada valor de Q, o escoamento passa na secção 2 em regime 
crítico (yj = yc2) e ym é o correspondente valor a montante. Os valores de yj não podem ser 
inferiores aos da curva C. 
 
Linha Z: LJyy omj += quando yj e ym se tornam ambos muito grandes, a curva 
M1 tende assimptoticamente para a horizontal. 
ym 
yj J0.L 
Q crescente 
yj = ym 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
1-13
 
 
CAPÍTULO VI 
ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO 
 
O RESSALTO HIDRÁULICO 
 
 
 
1. Princípio da conservação da quantidade de movimento ou momento 
2. Definição e tipos de ressalto hidráulico 
3. Estudo quantitativo do ressalto hidráulico 
4. Fixação do Ressalto 
5. Canal de muros divergentes 
 
 
1. PRINCÍPIODA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO OU 
MOMENTO 
 
- Quantidade de movimento = Vm ⋅ 
- Quantidade de movimento por unidade de tempo = T
Vm ⋅
 
- Considerando a massa constante ][ F
dT
dVm =→ 
- dT
dVm - fluxo da quantidade de movimento ou momento do escoamento. 
- num escoamento, uQdT
dVm ρβ= 
Coef. de Boussinesq 
AU
dAV
2
2∫=β 
 
 
O princípio da conservação da quantidade de movimento é traduzido pelo teorema de Euler. 
 
 
 
 
 021 =−++ MMPG 
 
 
1 
2 
F 1 
2 
P1 
P2 F 
G 
Volume de controle 
θ 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
2-13
 
 
Na direcção do escoamento: 
 ( )112221sin UUQFPPG ββρθ −=−−+ 
 
 
2. DEFINIÇÃO E TIPOS DE RESSALTO 
 
Definição: 
Ressalto Hidráulico é uma brusca sobreelevação da superfície livre dum escoamento que 
ocorre na passagem do regime rápido para regime lento, ocupando uma posição fixa e sendo 
acompanhado de grande turbulência e de grande perda de energia. 
 
Principal interesse prático do ressalto hidráulico: 
 
- Dissipação de energia 
- Elevação do nível de água a jusante duma secção de medição num canal de rega 
 
Tipos de Ressalto: 
 
1. Ressalto ondulado 7.11 1 ≤< Fr 
- Pequena diferença de altura entre montante e jusante; 
- Ligeiro enrugamento da superfície livre; 
- Dissipação de energia desprezável. 
 
2. Ressalto fraco 5.27.1 1 ≤< Fr 
- Formam-se pequenos rolos na superfície do ressalto mas a jusante a superfície 
mantém-se lisa; 
- Distribuição de velocidades é regular; 
- Pequena perda de energia. 
 
3. Ressalto oscilante 5.45.2 1 ≤< Fr 
- O escoamento tem carácter pulsatório; 
- Turbulência máxima ocorre ora junto ao fundo ora junto à superfície; 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
3-13
- As ondas derivadas da pulsação propagam-se por vários kms para jusante e 
provocam estragos. 
 
4. Ressalto estável 95.4 1 ≤< Fr 
- Ressalto bem caracterizado e bem localizado; 
- Rolo de grande velocidade; 
- Troca de “pacotes” de água entre o rolo e o escoamento; 
- Dissipação de energia na ordem de 45 – 70 %; 
- Menor sensibilidade a variações do nível de jusante. 
 
5. Ressalto forte 9>Fr 
- “Pacotes” de água saem do rolo e entram no escoamento; 
- Provocam ondas que se propagam para jusante causando erosão; 
- Superfície muito agitada com ondas fortes (“splash”); 
- Grande dissipação de energia, na ordem dos 85 %. 
 
 
 
 
 
OBS.: A gama dos números de Froude não define fronteiras rígidas. 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
4-13
 
 
3. ESTUDO QUANTITATIVO DO RESSALTO HIDRÁULICO 
 
Hipóteses: 
- Nas secções inicial e final do Ressalto: 
ƒ A distribuição de pressões é hidrostática 
ƒ A distribuição de velocidades é uniforme 
ƒ A turbulência é relativamente pequena 
 
- A resultante das tensões tangenciais no fundo é desprezável, devido ao pequeno 
comprimento do ressalto. 
 
 Canal prismático 
 Fundo horizontal 0=θ 
 1=β 
 
Teorema de EULER: 
( )112221 UQUQRFHFH −=−− ρ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−−
1
2
1
2
2
2
2211 A
Q
A
Q
RyAyA GG ργγ 
 
3.1 - Função quantidade de movimento total 
 gA
Q
AyM G
2
+= 
 
 
 
 
 
 
y
y
R
mmin 
ym
m
y 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
5-13
 
O eixo m é assímptota da curva. 
 
T. Euler : m1 = m2 – R/γ 
Ressalto símples: m2 = m1 situação de não haver obstáculos no fundo do canal, R=0 
Secção rectangular: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
gy
qy
bM
22
2
; 
b
Q
q = 
 
3.2 - Alturas conjugadas 
 
 
 
 Para secção rectangular: 
 
 
 
 
 
 
1
1
1
gy
U
Fr = 
 
 
 
 
 
Relação quase linear quando 1<<8Fr12 
 
5.0414.1 1
1
2 −≈ Fr
y
y
 
 
( )181
2
1 2
1
1
2 −+= Fr
y
y
 
m1= m2 
y1 
m
y 
y2 
m1= m2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
6-13
 
Para Fr1 = 2, o erro é inferior a 2%. 
 
 
3.3 - Dissipação de energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Energia específica: 2
2
2 gy
q
yE += (secção rectangular) 
( )
21
3
12
21 4 yy
yy
EEE
−=−=Δ 
É normal exprimir-se a perda de carga como uma fracção de E1, tal como mencionado na Tab. 
137 do M.Lencastre 
Transferência da energia cinética do escoamento 
Aumento da turbulência no rolo 
Formação de vórtices de grandes dimensões 
Estiramento dos vórtices 
(formação de vórtices de muito pequena dimensão) 
Dissipação de energia nos vórtices menores por efeito da viscosidade: 
transformação em calor- passagem para a atmosfera e (pequeno) 
aquecimento da água 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
7-13
 
3.4 - Comprimento do Ressalto Hidráulico 
 
O comprimento do ressalto é obtido experimentalmente, sendo função de y2 e de Fr1 
 
 
 
Para o ressalto estável )95.4( 1 ≤< Fr : 26 yL ⋅≈ 
 
3.5 - Comprimento do Ressalto Hidráulico 
É importante conhecer-se o perfil da superfície do ressalto para se dimensionar as paredes 
laterais duma bacia de dissipação e para determinar as pressões no cálculo estrutural. 
 
Os perfis podem ser obtidos por via experimental (Bakhmeteff e Matzke). 
Ver tabelas 136, 137, 138 de A. Lencastre – Hidráulica Geral ou fig. 15.5 do Ven Te Chow 
 
3.6 - Localização do Ressalto 
Numa primeira aproximação, pode-se desprezar o comprimento do ressalto hidráulico. 
 
 
 
 
 
y1´ M3 
yu1 yu2 < y1´ 
S1 
y2´ 
Declive fraco 
Declive forte 
Ressalto afastado 
Ressalto afogado 
yu2 > y1´ 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
8-13
 
 
A localização do ressalto depende simultaneamente das condições de controle a montante e a 
jusante. 
 
y´1 e y´2 – alturas conjugadas do ressalto de yu1 e yu2; 
Se y´1< yu2 ou y´2 <yu1, o ressalto dá-se no troço de declive forte 
Se y´1 > yu2 ou y´2 > yu1, o ressalto dá-se no troço de declive fraco. 
 
¾ Quanto maior é a diferença (y2-y2´) mais o ressalto é empurrado para montante; 
¾ A localização e o comprimento do ressalto são determinantes para o dimensionamento 
de bacias de dissipação – se o nível de jusante descer muito o ressalto é atirado para 
jusante, podendo sair fora da bacia provocando grandes erosões! 
¾ Apesar de não muito comum, o ressalto pode dar-se em secções não rectangulares 
(trapezoidal, circular) – tabelas 136 e 137 do M.L. 
 
4. FIXAÇÃO DO RESSALTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processos de Fixação doressalto: 
¾ Afundamento da bacia; 
¾ Utilização de blocos de amortecimento; 
T. Euler : m2 = m1 – R/γ 
¾ Utilização duma soleira terminal; 
¾ Utilização de bacias de muros divergentes; 
m1 
y1 
m
y 
y2 
m1´
y2´ 
y1
´
yc 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
9-13
 
 
5. CANAL DE MUROS DIVERGENTES E FUNDO HORIZONTAL) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipóteses de PADERI: 
¾ A superfície do ressalto é plana 
¾ A inclinação da superfície é dada por: 
 
6.510
2
1
12
2 +=−
−=
y
y
yy
xx
m x 
Teorema de Euler: 0,, 1
1
1
1
2 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
Fr
x
y
y
y
f 
 
1
1
x
y
 parâmetro adicional definidor da divergência 
Vantagens do canal de muros divergentes em relação à bacia de muros paralelos: 
9 redução do valor de y2; 
9 redução do comprimento do ressalto; 
9 redução da área total da bacia; 
y1 
y2 
x2 – x1 
bbα
x
x
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
10-13
9 maior poder de fixação do ressalto; 
9 maior dissipação de energia; 
 
6. BACIAS DE DISSIPAÇÃO DE ENERGIA POR RESSALTO HIDRÁULICO 
 
Principais características dos tipos mais usuais de bacias de dissipação: 
Fundo horizontal; 
Secção rectangular; 
Muros paralelos ou divergentes 
 
Bacias de Fundo Horizontal e Muros Paralelos 
 
a) – Bacias de Ressalto Simples: 
¾ para grandes quedas (h>60m) e grandes caudais específicos (q > 45 m2/s) e velocidades 
até 35 m/s; 
¾ Fr > = 4,5; 
¾ Grande sensibilidade a abaixamentos de nível a jusante; 
 
b) – Bacias com Blocos de Queda e Soleira Dentada: 
 
 
Normalmente usada para os seguintes intervalos: 
q < 45 m2/s; h<60m; Fr>= 4,5; u = 30m/s 
Vantagens: 
¾ Menor comprimento da bacia ( L´= 0,70 L); 
¾ Maior capacidade de fixar o ressalto; 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
11-13
Perfil da superfície livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 α é função de Fr1: 
 
¾ α = - 0,04Fr12 + 1,32Fr1 + 0,86 
¾ Nível mínimo de jusante > 0,97 y2 
 
c) – Bacia com Blocos de Queda, Blocos de Amortecimento e Soleira terminal contínua 
 
 
Normalmente usada para os seguintes intervalos: 
q <= 18 m2/s; Fr >4,5; u < 18m/s 
Vantagens: 
¾ Grande redução do comprimento da bacia; 
¾ Grande capacidade de fixação do ressalto; 
Perfil da superfície livre: 
 
 
 
 
 
y2/2 
y1
y2
0,25 y2 
0,3 y2 0,45
α
0,2 y2y1
y2 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
12-13
 
O nível de jusante deve ser > 0,83 y2; 
 
d) – Bacia com deflectores e soleira terminal contínua 
 
 
 
Normalmente usada para os seguintes intervalos: 
 2,5 <= Fr <= 4,5; (ressalto oscilante) 
Vantagens: 
¾ Elimina a propagação de ondas para jusante; 
O nível de jusante deve ser sempre > y2 
 
Bacias de Dissipação por rolo (“roller bucket”) 
 
9 São bacias usadas nos casos em que o nível de água a jusante é substancialmente maior que 
o nível conjugado do ressalto. Neste tipo de bacia o escoamento é dirigido tanto para cima 
como para a frente. 
9 O dimensionamento deste tipo de Bacia de dissipação pode ser feito como se indica no 
ábaco 153 do M.L. 
 
Bacias de Dissipação de impacto 
 
9 Estruturas de pequenas dimensões; 
9 Vantajosas em descargas de fundo e estruturas de drenagem; 
9 Dimensões de acordo com fig. 6.41 do M.L. 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
CAP. VI - ESCOAMENTO RAPIDAMENTE VARIADO Maputo - 2007 
 
13-13
Dissipação feita por Macrorugosidades 
 
9 Mais usadas em canais – macrorogosidade de Blocos; 
9 Dimensões de acordo com fig. 6.43. 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
1-11
 
Capítulo VII 
DESCARREGADORES, ORIFÍCIOS E MEDIÇÃO HIDRÁULICA 
 
1. Tipos de descarregadores 
2. Descarregadores de Soleira Delgada (DSD) 
3. Fórmula de vazão de um DSD 
4. Descarregadores de Soleira Espessa (DSE) 
5. Orifícios 
6. Queda 
7. Canais de Venturi e Parshall 
 
 
1- TIPOS DE DESCARREGADORES 
 
A – Descarregadores de Soleira Delgada (sharp-crest weir) 
 
™ O contacto da lâmina líquida com o 
descarregador faz-se por uma aresta viva; 
 
™ Pequena altura devido à sua fraca resistência 
estrutural; 
 
B – Descarregadores de Soleira Espessa (overflow spillway/broad-crest weir) 
 
 
™ o contacto da lâmina com o descarregador 
faz-se ao longo do seu comprimento 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
2-11
 
2- DESCARREGADORES DE SOLEIRA DELGADA 
 
 
equação da camada inferior da lâmina 
líquida: 
v0 = velocidade inicial; 
vx = cte = v0 . cos θ 
vy = - v0 . sen θ + g.t 
 
O ponto mais alto da trajectória ( y= 0) é atingido para vy = 0 
- v0 . sen θ + g.t = 0 t = (v0 . sen θ)/ g 
 
 
x = vx . t = v0 . cos θ . t 
 
y = ∫ vy . dt = v0 . sen θ. t + (½) g.t2 + c 
 
para t = (v0 . sen θ)/ g y = 0 
 
- (v02 . sen2 θ)/ g + (v02 . sen2 θ)/ 2g + c = 0 
 
c = (v02 . sen2 θ)/ 2g 
 
 y = - v0 . sen θ . t + (½) g.t2 + (v02 . sen2 θ)/ 2g 
 
Pode-se eliminar t nas funções x (t) e y(t): 
 
y = (g . x2/ 2.v0.cos2θ) – tg θ. x + (v02 . sen2 θ / 2.g) 
 
H 
Linha de energia 
tθ
x
y 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
3-11
 
a equação da camada inferior da superfície líquida é uma parábola do 2º grau: 
 
y/H = A. (hv/H)2 + B. ( hv/H ) + C 
 
válida para x/H > 0,5 
 
A partir de experiências, segundo Ven Te Chow: 
A = - 0,425 + 0,25 ( hv/H ) 
B = 0,411 – 1,603 (hv/H) - 1,568 (hv/H)2 – 0,892 (hv/H) + 0,127 0,5 
C = 0,150 – 0,45 ( hv/H ) 
 
Para a camada superior da superfície líquida, 
 
ys = y + T ys/H =(y/T) + (T/H) = (y/H) + D 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= 08,210
2
08,21002,057,0 H
h
v
v
e
H
hD 
Para descarregadores altos, hv/H ≅ 0 
 
A = - 0,425 B = 0,055 C = 0,150 D = 0,559 
 
NOTA: De facto, os coeficientes devem ter os sinais trocados, excepto C ! 
 
Expressões válidas para hv/H < 0,2 
Validade da abordagem: Só regime lento a montante. 
 
3- FÓRMULA DE VAZÃO DE UM DSD 
 
2
3
2 BHgQ μ= 
(Utilizado para medição de Caudais) 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
4-11
em que: 
 
B – largura do descarregador; 
Valores de μ – ver tabelas de Lencastre 188 a 195 
 
a) Descarregador rectangular sem contracção lateral (BAZIN) 
 
μ = 0,403 + 0,054 H/p Fórmula de Rehbock 
 
p – altura do descarregador 
 
Precauções num descarregadorde BAZIN: 
™ eliminar a contracção lateral 
™ altura não muito pequena 
™ soleira em bisel 
™ canal a montante com comprimento ≥ 20H 
™ leitura feita a montante à distância > 5H ou 10H 
™ veia deve ser arejada – evitar a depressão da lâmina 
- pulsações da lâmina 
- vibrações na estrutura 
 
b) Descarregador rectangular com contracção lateral 
 
L – largura do canal 
l – largura do descarregador 
 
 
 
 
 
Fórmula de Kindsvater e Carter – Tab. 189 Lencastre 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
5-11
 
2
3
12 hlgQ eμ= 
 
( )ahψϕμ += 32 ; ( )Llf≡ψϕ , ; ie kll += ; 
mmLlfki 3)( ≅≡ 
 
h1 medido (a 3 – 4 vezes h1) para montante 
 
c) Descarregador triangular – bons para medirem pequenos caudais 
 
 Fórmula de Kindsvater e Carter: 
 
2
5
2
215
8 hgtgQ αμ′= 
 
Tab. 190 – Lencastre 
 
Fórmula aproximada de Gourley e Grimp: 
 
47,2)2(32,1 htgQ α= 
 
 
Validade: 0,05 ≤ h ≤ 0,60 m a ≥ 0,1 m 
 25o ≤ α ≤ 100o h/a ≤ 1,2 
 L > 0,60 m h/L ≤ 0,4 m 
 L – l ≥ 1,5 l 
 
Importante: Nível da água a jusante deve ficar abaixo do vértice do triângulo: 
 
 
d) Descarregador trapezoidal CIPOLETTI 
α
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 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
6-11
 
2
3
2 lhgQ μ= 
 μ = 0,42 
 
 
Validade: 0,06 ≤ h ≤ 0,60 m; h/L ≤ 0,5 
 a ≥ 2h; a > 0,3 m 
 b ≥ 2h; b > 0,3 m 
 
e) - Outros DSD: descarregador circular, descarregador Sutro (curva de vazão de equação 
linear), descarregador inclinado ou oblíquo, 
 
f) - Descarregador lateral – colocado na parede de um canal paralelamente ao seu eixo 
 
Fórmula de Dominguez: 2
3
2 olhgQ ϕμ= 
 
 
μ = f (carga média) 
 φ = f (ho/h1) Tab. 195 -Lencastre 
 
 
Algumas considerações: 
 
 
 
 
 
 
 
- não são bons para a medição de caudais 
- descarregadores laterais aparecem em barragens, canais de rega e canais de drenagem 
pluvial (ex: Infulene) 
b 
a l 
h 1:4 
l 
h1 
ho 
regime lento 
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 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
7-11
4- DESCARREGADORES DE SOLEIRA ESPESSA 
 
 
 
 
 
 
O regime é crítico sobre a soleira; 
O escoamento deve ser desafogado a jusante 
 
ccvd hhgSCCQ ⋅= 2 
 
Cd – coeficiente de descarga - função da forma da soleira. Para tomar em conta o não total 
paralelismo das linhas de corrente, distribuição de velocidade não uniforme 
Cv – coeficiente de velocidade – para permitir trabalhar com h em vez de H 
Sc – área molhada correspondente a hc 
 
a) Descarregador rectangular sem contracção lateral 
 
Q = 1,7 Cd Cv l h3/2 
 
Cv – Tab. 196 – Lencastre )/( * ssf 
Cd – Tab. 197 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+ ah
h
b
hf , 
b) Descarregador triangular 
 
( ) 2/35,07,1 tvd hhlCCQ −= 
 
 
H h
S
S* HC hC 
a h'
H’
α ht 
h 
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 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
8-11
 
c) Descarregador em soleira normal 
 
Soleira normal – perfil tal que a pressão ao longo da soleira é igual à atmosférica. 
 
PERFIL IGUAL AO DA CAMADA INFERIOR DA LÂMINA LÍQUIDA NUM 
DESCARREGADOR DE SOLEIRA DELGADA. 
 
A soleira é normal para um dado caudal! 
 
- variação da pressão na soleira com Q 
 Ho (se) ≅ 0,88 Ho (sd) 
 
Ho (sd) a partir da crista da soleira. 
 
232 oBHgQ μ= 
 
μ ≅ 0,50 
 
As soleiras tipo WES (Water-Ways Experiment Station) são baseadas na veia livre. 
 
 
5- ORIFÍCIOS 
 
Abertura de forma regular na parede ou no fundo do recepiente. Chama-se “jacto” à corrente 
líquida que sai do orifício e “carga”representa a altura de água que origina a saída do líquido. 
 
a) Orifícios de pequenas dimensões 
 
Fórmula de Torricelli: 
 δ+= hAgQ 2 
H
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 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
9-11
 
 
Se o orifício estiver numa parede 
lateral, δ = 0. Para orifícios circulares 
δ = raio. 
 
 
Para entrar com os efeitos da contracção e perdas: 
 
 hAgQ 2μ= μ ≅ 0,6 (0,58 – 0,64) 
 
 
 
b) Orifícios de grandes dimensões (rectangular) com saída livre 
 
( )2/312/322 hhlgQ −= μ μ ≅ 0,6 
 
 Simplificação: 
 
 hAgQ 2μ= 
 
Tabs. 174 a 176 - Lencastre 
 
 
c) Para orifícios circulares, de grandes dimensões, com saída livre 
 
hAgQ 2μ= μ – Tab. 173 
 
 
h 
δ Secção contraída 
l 
h2 
h1 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
10-11
d) Orifícios de grandes dimensões total ou parcialmente submersos 
 
hAgQ 2μ= 
 
 
 totalmente submerso μ = μ não 
submerso 
 
parcialmente submerso (orifício rectangular) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )2/312/3222231 2322 hhglghhhQ −+−= μμ 
 
μ1 ≅ 0,60 μ2 ≅ 0,40 
 
6- QUEDA 
 
Canal rectangular sem contracção lateral 
 
- passagem em regime crítico 
 
hs = 0,715 hc (segundo a experiência) 
 
 Q = 5,18 B hs3/2 
 
 
h 
hc hs 
h1 h2 h3 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 ____ 
CAP. VII - DESCARREGADORES. ORIFÍCIOS. MEDIÇÃO HIDRÁULICA Maputo - 2007 
 
11-11
 
 
7- CANAIS VENTURI E PARSHALL 
 
São dispositivos para medir caudais em canais, por meio do estreitamento e/ ou elevação do 
fundo que provoca a passagem do escoamento pelo regime crítico. 
 
- canal Venturi, secção de controlo rectangular : 
 
Q = 2,88 Cv Cd l h13/2 Tab. 196 e 204 a) – Lencastre 
 
 
Os medidores Parshall são do tipo Venturi normalizado e calibrado por Parshall em 1922. 
 
- canal Parshall: 
 
Q = k hu Tab. 205 a 209 – Lencastre 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
1-14
 
Capítulo VIII 
 
VAZÃO EM PONTES E AQUEDUTOS 
 
1. Vazão em Pontes. Cálculo da sobreelevação e da velocidade máxima 
2. Vazão em Aquedutos 
 
 
1 - VAZÃO EM PONTES. CÁLCULO DA SOBREELEVAÇÃO E DA VELOCIDADE 
MÁXIMA 
Uma ponte é um constrangimento mais ou menos acentuado ao escoamento normal dum rio. 
 
A contracção do escoamento na ponte e sobretudo a expansão a seguir provocam uma perda de 
carga superior à que se teria no escoamento não alterado. 
 
Contracção – maior velocidade, maior perda de carga. 
Expansão – correntes de circulação, maior perda de carga. 
 
Esta maior perda de carga tem de ser compensada por uma menor perda de carga a montante da 
ponte. 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
2-14
 
 
Hip.: regime lento 
 
Problema hidráulico da vazão em pontes: 
 
™ dados Q e geometria do canal e ponte, 
ƒ qual a máxima sobreelevação a montante? 
ƒ Qual avelocidade média na ponte? 
 
(Outro problema: erosão junto aos pilares e encontros de ponte!) 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
3-14
 
Secções de interesse: 
 
1. Máxima sobreelevação a montante, escoamento ocupa toda a largura do canal; 
2. Secção de contracção máxima, altura mínima do escoamento h2 ; 
3. Secção de jusante dos encontros/pilares; 
4. Regime não alterado, escoamento ocupa toda a largura do canal. O valor de h4 é 
conhecido. 
 
Pode-se aceitar 23 hh = 
 
1.1– PONTE SEM PILARES 
 
Dados: 
• Caudal de dimensionamento (Qd); 
• Características geométricas do canal; 
• Características geométricas da ponte; 
• h4 (calculado anteriormente); 
O coeficiente de contracção m pode ser calculado: 
 
 
1
31
K
K
m −= 321 ARnK = 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
4-14
 
O valor de Δh pode igualmente ser calculado (ver figura): 
 
*
3
*
1 hhh +=Δ 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−Δ=
g
UhhgCAQ f 2
2
2
1
13 α 
 
2.11.11 −≅α 
C – coeficiente de vazão – é função de m, Fr3 e de outros factores de geometria da ponte; 
 
 
 
2
3
2
31
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
K
Q
L
KK
Q
Lh af 
 bL a ≅ ( )3
*
1 ,nmf
h
h =Δ 
 
Passos para a resolução: 
 
a. Arbitrar h3<h4; 
b. 34
*
3 hhh −= ; 
c. Definir/calcular n3, A3, R3, K3, U3, Fr3; 
d. Assumir h1= h4 e definir n1, A1, R1, K1, U1, Fr1; 
e. Calcular m; 
( )33 hAA ≡
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
5-14
f. Obter ( )3
*
1 , nmf
h
h =Δ - fig. 17.24 Ven Te Chow 
*
1h→ 
g. Calcular 
*
141 hhh += e repetir da alínea f até convergir; 
h. Obter ( )3, FrmfC ≡ - figs. 17.16 a 17.23 Ven Te Chow 
i. Calcular hf ; 
j. Calcular Q 
k. Se dQQ ≠ , repetir a partir de a. até convergir. 
 
Resultados: 
*
1h - sobreelevação máxima; 
U3 – velocidade máxima; 
 
1.2 – PONTES COM PILARES 
 
Fórmula de NAGLER (regime lento): 
 
g
g
U
h
g
U
hbKQ N 222
2
1
2
3
3 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +Δ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅= 
 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
6-14
b – largura útil 
Nesta fórmula, considera-se que L e b são pequenos e pode-se desprezar hf. 
 
Fórmula de d’AUBUISSON (regime crítico e rápido): 
 
g
g
UhhbKQ A 22
2
1
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +Δ⋅⋅= 
 
KN, KA – função da geometria dos pilares e de σ=B
b
 
(tabela da pg. 503, Ven Te Chow – a partir de investigações de Yarnell). 
 
Exemplo: 7.0=σ , valores de KN 
 
 
a – secção rectangular, KN = 0.86 
b – cabeça e cauda semicirculares, KN = 0.95 
c – cabeça e cauda em ângulo recto, KN = 0.92 
d – cabeça e cauda ogivais, KN = 0.97 
e – pilares cilíndricos, com ou sem diafragma, KN = 0.88 
• Passos de resolução (como no caso anterior) 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
7-14
2 - VAZÃO EM AQUEDUTOS 
 
 
Aquedutos- condutas que permitem o atravessamento de aterros (estradas, linhas férreas, diques) 
por linhas de água. 
 
Características genéricas: 
• Pequena carga; 
• Secção rectângular (box-culvert), circular ou oval (pipe-culvert); 
• Materiais: betão, aço corrugado (ARMCO), alvenaria; 
• Inclinação mínima: 1% (importante para auto-limpeza); 
 
Condições de escoamento são complexas e dependem de: 
• Geometria da entrada (forma dos muros-ala); 
• Declive; 
• Dimensões da secção; 
• Rugosidade; 
• Condições de montante e de jusante; 
 
 
 
D-diâmetro da conduta (circular) ou altura da secção. 
 
O escoamento no aqueduto pode ocorrer tanto em pressão como em superficie livre, dependendo 
das condições de montante e jusante. 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
8-14
 
Podem ocorrer 6 tipos de escoamento: 
 
Escoamento tipo I: 
 
Dy 5.11 < , cyy <4 , CJJ >0 
 
O escoamento processa-se em regime rápido, com altura crítica à entrada: 
 
 
 
)(
95.0
2
2 21
2
1
1
cc
d
ccd
yAA
c
Hy
g
uygAcQ
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−−+= −
 
21−ΔH - perda de carga por atrito entre as secções 1 e 2, normalmente desprezável. 
 
 
 
Escoamento tipo II: 
 
y D5.11< , cyy <4 , cJJ <0 
 
O escoamento processa-se em regime lento, com altura crítica à saída: 
 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
9-14
 
 
 
95.0
2
2 31
2
1
1
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ−−++= −
d
cCd
C
Hy
g
UZygACQ
 
 
 
Escoamento tipo III: 
 
DyyyDy c <>< 441 ,,5.1 
 
O escoamento processa-se em regime lento. 
 
 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−−++= −313
2
1
13 2
2 Hy
g
uzygAcQ d 
 
Os valores de Cd: 
• Para aqueduto circular ou oval, dc =0.95; 
• Para aqueduto rectangular, dc ≅ 0.76 + 0.2 3Fr 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
10-14
 
4333 ),( yyyAA == 
 
 
Escoamento tipo IV 
 
DyDy >< 41 ,5.1 
 
É a única situação em que o escoamento se processa em pressão. 
 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +÷−+= 3/4
0
222
14120 R
LndCgyZygAdCQ
 
 
Valores de Cd: 
- Para aqueduto circular ou oval, Cd = 0.90; 
- Para aqueduto rectangular: 
 
 30°<θ<75° , C d =0.87 
 75°<θ<90° , C d =1.47-0.008θ 
 
A 0 = área da secção cheia; 
L = comprimento do aqueduto; 
R 0 = raio hidráulico da secção cheia; 
 
Escoamento tipo V 
 
DyyyDy c <<> 441 ,,5.1 
 
O escoamento processa-se em regime rápido, com secção cheia à entrada. 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
11-14
 
10 2 ygACQ d= 
 
Cd é função de Dy /1 . 
 
y1/D 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 
Cd 0,48 0,50 0,52 0,53 0,55 0,56 0,57 0,59 0,61 0,63 0,65 0,66 
 
 
Escoamento tipo VI 
DyyyDy c <>> 441 ,,5.1 
 
O escoamento processa-se em regime lento, com secção cheia. 
 
( )32310 2 −Δ−−+= HyZygACQ d
 
dd CC = do escoamento tipo IV; 
Dy =3 . 
 
 
 
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CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
12-14
 CÁLCULO DA VAZÃO EM AQUEDUTOS 
 
™ Dados: 
• Q- caudal de projecto; 
• 1y - calculado a partir de Q, ou fixado; 
• 4y - a partir de Q, conhecidas as características do canal a jusante ou estimado; 
• secção do aqueduto, rugosidade n, inclinação0J ; 
• cy - a partir de Q e características da secção; 
• CJ - calculado para Q e Cy , com as características da secção; 
 
 
Determinação do tipo de escoamento: 
 
 
 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
13-14
Exemplo de cálculo de aquedutos: 
 
1) Aqueduto Rectangular: 
 
 mL 40= 21 =y 
 2m 
SK = 75 8.04 =y 
 02.00 =J 6.0=Z 
4m 
 
⇒<= 5.111
D
y
escoamento do tipo I, II ou III 
 
Hipotese a): escoamento do tipo III, regime lento: 
85.0=dC 
Hip: ΔH = 0, 0
2
2
1 =
g
u 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−−++= −313
2
1
13 2
2 Hy
g
uzygAcQ d 
 
Pode-se calcular o Q entrando com 
g
u
2
2
1 e 
3/4
31
3
31
2
2
−−
=Δ
RAK
QH
S
 
lentoénãoregimeyy
mymyQ
c
cu
⇒<
==⇒
3
23.1,65.0
 
 
Hipotese b): Escoamento do tipo I, regime rápido. 
 
95.0=dC 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ−−+= −21
2
1
1 2
2 Hy
g
uygAcQ ccd 
 
Curso de Engenharia Civil. Disciplina: HIDRÁULICA II 
 
 
 
 
CAP. VIII - VAZÃO DE PONTES E AQUEDUTOS Maputo - 2007 
 
14-14
Arbitrar Q →→ cc AyyU ,,, 11 Q’ 
 
 
c
ccu
yy
mAmymysmUsmQ
<
=====
3
2
1
3 32.6,58.1,84.0,/13.3,/25
 
 
 
	Capa dos Apontamentos HID II.pdf
	Manual Teorico de Hidraulica II v2007.pdf
	Programa da disciplina-2007.pdf
	1 - Introd. aos esc. com sup. livre-APONT.pdf
	2 - Regime uniforme -APONT.pdf
	3 - Dimensionamento de canais-APONT.pdf
	þÿ
	5 - Escoamento gradualmente variado-APONT.pdf
	6 - Escoamento rapidamente variado-APONT.pdf
	þÿ
	þÿ