Respostas (Listas G3)

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MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A - 2017.2 PUC-Rio
Algumas respostas dos exerc´ıcios das Listas 15, 16 e 17.
Lista 15
1.
(a)w′ = 200t(t2 + 1)99 (l) f ′(x) = 3x2 cos (pix)− pi(x3 + pi) sen (pix)
(b)h′(w) = 10(2w3 − 1)(w4 − 2w)4 (m) g′(θ) = 12θ2(3θ4 + a)(b− 4θ3)2(2θb− 17θ4 − 3a)
(c) z′ = −4 sen (4θ) (n) g′(θ) = 5 cos2 θ sen4 θ − sen6 θ
(d)w′(x) =
2x
cos2 (x2)
(o) f ′(x) = 3(ax2 + b)2(2ax)
(e)R′(x) = 3pi sen (pix) (p) f ′(t) =
− cos t
2
√
c− sen t
(f)h′(x) =
x2 + 6x− 9
(x+ 3)2
(q) g′(θ) = 4 sen (2θ) cos (2θ)− pi
(g) f ′(t) = 2t cos t− t2 sen t (r) s′(θ) = − sen a sen (θ)
(h)w′(r) =
2r3√
r4 + 1
(s) g′(θ) = 5 sen4 θ cos θ
(i) y′ =
4
9
x(x2 + 2) (t) f ′(x) =
cos x
cos b
(j) g′(x) = −3 cos (2− 3x) (u) f ′(x) = 1
cos2 x
(k) f ′(x) = − sen(senx) · cosx
2. (a) 100 (−3 t−2 + t)99(6 t−3 + 1) (b) (1/3)(r4 + r)−2/3(4 r3 + 1)
(c) 3 (a x2 + b)2(2 a x) (d) 3 (a x2 + b)2 x2 (e) 3 (a x2 + b)2
(f) −(1/5)(c− sen(t))−4/5 cos(t) (g) −8 cos(4 θ) sen(4 θ)
(h) −6 t cos(2− 3 t2) (i) (2 + 9 t2) cos(2 t+ 3 t3)
3. (a) f(x) = x
6
6
, com k ∈ R; (b) f(x) = x3
3
+ x2 − 6x+ k, com k ∈ R.
(c) f(x) = sen(4) x+ k, com k ∈ R; (d) f(x) = −cos (4x)
4
+ k, com k ∈ R.
(e) f(x) = sen(x2) + k, com k ∈ R; (f) f(x) = x2 cos(x) + k, com k ∈ R.
4. (a) r′(2) = pi · √2 (b) r′(2) = pie (c) r′(2) = 7e
5. (a) 4 (b) 2 (c) 1/2
6. (a) A quantidade vendida de skates, ao prec¸o de 140 reais, e´ 15.000. Com este prec¸o a
venda de skates esta´ em queda.
(b) R′(140) = 1000.
(c) Como R′(140) > 0, a func¸a˜o receita e´ crescente em torno de 140, isso significa que
algum aumento de prec¸o aumentara´ a receita. Enta˜o o aumento de um real no prec¸o
provocara´, provavelmente, um aumento na receita, mas na˜o podemos ter certeza.
7. (b) −100 (c) 145.
9. (a) 0, 8
√
0, 75 km/h (b) 0,4 radianos/min.
10. −0, 4 · 10−9 N/s
12. Custo em func¸a˜o do comprimento x:
C(x) = 3 (L− x) + 5
√
x2 + 104 Dom(C) = [0, L]
A
B
C
100
L
L-x x
+
1
0
2
4
x
Ö
Se L > 75, enta˜o a distaˆncia entre A e B deve ser L− 75.
Se 0 < L ≤ 75, enta˜o a distaˆncia entre A e B deve ser 0.
Lista 16
3. (a) ~v =
−−−→
Q1Q2 = (−3,−2).
(b) ~u = (−2, 3).
(c) (x, y) =
−−→
OQ1 + t~v = (2− 3t, 7− 2t), t ∈ R.
(d) −2x+ 3y = 17.
(e) 2
3
.
(f) y = 2
3
x+ 17
3
.
4. (a) ~v =
−−−→
Q1Q2 = (−3, 0).
(b) ~u = (0, 3).
(c) (x, y) =
−−→
OQ1 + t~v = (2− 3t, 5), t ∈ R.
(d) y = 5.
(e) 0.
(f) y = 5.
5. (a) ~v =
−−−→
Q1Q2 = (0,−2).
(b) ~u = (2, 0).
(c) (x, y) =
−−→
OQ1 + t~v = (2, 7− 2t), t ∈ R.
(d) x = 2.
(e) Na˜o existe.
(f) Na˜o existe.
6. (a) ~v · ~u = 30 6= 0. Logo, v e u na˜o sa˜o ortogonais.
(b) ~v · ~u = 0. Logo, v e u sa˜o ortogonais.
(c) ~v · ~u = 0. Logo, v e u sa˜o ortogonais.
(d) ~v · ~u = 0. Logo, v e u sa˜o ortogonais.
(e) ~v · ~u = −28
5
6= 0. Logo, v e u na˜o sa˜o ortogonais.
(f) ~v · ~u = −3 6= 0. Logo, v e u na˜o sa˜o ortogonais.
7. (a) Falso. Por exemplo, ~v = (1, 1) e ~u = (1,−1).
(b) Falso. Por exemplo, ~v = (1, 1) e ~u = (1,−1).
(c) Falso. Por exemplo, ~v = (1, 1) e ~u = (−1, 1).
(d) Verdadeiro.
8. (a) µ = 9
5
∴ ~p = 9
5
(1, 3).
(b) µ = 0 ∴ ~p = (0, 0).
(c) µ = 29
149
∴ ~p = 29
149
(−7, 10).
(d) µ = − 29
149
∴ ~p = − 29
149
(7,−10).
9. (a) cos(θ) = 9
√
85
85
.
(b) cos(θ) = 0.
(c) cos(θ) = 29
√
5066
5066
.
(d) cos(θ) = −29
√
5066
5066
.
10. (a) x 6= 0 e v.u = 0 ∴ x2 + f(x)g(x) = 0 ∴ x2 − x4 = 0 ∴ x = −1 ou x = 1.
(b) P (x) = x2 − x4 tem ma´ximo em x = −
√
2
2
e em x =
√
2
2
.
(c) P (x) = x2 − x4 na˜o tem mı´nimo, pois lim
x→+∞
P (x) = −∞.
11. (a) g(x) =
√
x2 + (f(x))2.
(b)
(
−3
√
2
2
, 1
2
)
e
(
3
√
2
2
, 1
2
)
.
(c) (0, 0) pertence a reta de equac¸a˜o y = − 1
f ′(p)(x − p) + f(p) quando p = −3
√
2
2
ou
p = 3
√
2
2
. Logo, y = −
√
2
6
x e y =
√
2
6
x.
(d) ~v = (1, f ′(z)) e´ ortogonal a
−→
OP = (z, f(z)) quando z = −3
√
2
2
, z = 0 ou z = 3
√
2
2
.
12. Ortogonal, 0 e µ =
~v · ~u
‖u‖2 .
13. cos(θ) =
~v · ~u
‖v‖‖u‖ .
14. ~v =
(
1√
10
, 3√
10
)
.
15. ~w =
(
5√
10
, 15√
10
)
.
16. 10
√
10.
17. 10
√
10.
18. (b) ~w = 3 ~u+ 2~v.
(c) ~u1 = 3 ~u e ~v1 = 2~v.
(d) y = 2 x. y = x/3.
(e) y = 2 (x− 9) + 8. y = (x− 9)/3 + 8.
(f) Q = (6, 2) e R = (3, 6).
~u1 =
−→
OR e ~v1 =
−→
OQ.
19. (a) 90o.
(b) Na˜o.
(d) ~w = 3
2
~u+ 1
2
~v.
(e) ~u1 =
3
2
~u e ~v1 =
1
2
~v.
(f) ~u2 =
3
2
~u e ~v2 =
1
2
~v.
(g) y = x e y = −x.
(h) y = (x− 1) + 2 e y = −(x− 1) + 2.
(i) ~u1 =
−→
OR = ~u2 e ~v1 =
−→
OQ = ~v2.
20. (a) ~u2 =
~w·~u
||~u||2 ~u e ~v2 =
~w·~v
||~v||2 ~v.
(b) ~w = ~w·~u||~u||2 ~u+
~w·~v
||~v||2 ~v.
(c) ~w = (~w · ~u) ~u+ (~w · ~v)~v.
21. (a) Paralelo a` r: (2, 1), ortogonal a` r: (−1, 2).
Paralelo a` s: (−1, 1), ortogonal a` s: (1, 1).
(b) Nem paralelas, nem ortogonais. Ponto em comum:
(
5
3
,
7
3
)
.
(c) (i)
[ −1 2
1 1
] [
x
y
]
=
[
3
4
]
, det
[ −1 2
1 1
]
= −3.
(ii) x =
5
3
e y =
7
3
.
(d) ~u =
(
5
3
,
7
3
)
.
22. (a) Paralelo a` r: (−1, 1), ortogonal a` r: (1, 1).
Paralelo a` s: (−1, 1), ortogonal a` s: (1, 1).
(b) Sa˜o paralelas e na˜o coincidentes. As retas na˜o teˆm pontos em comum.
(c) (i)
[
2 2
1 1
] [
x
y
]
=
[
3
4
]
, det
[
2 2
1 1
]
= 0.
(ii) Na˜o existe soluc¸a˜o.
(d) Nenhum vetor.
23. (a) Paralelo a` r: (−1, 1), ortogonal a` r: (1, 1).
Paralelo a` s: (−1, 1), ortogonal a` s: (1, 1).
(b) As retas sa˜o paralelas e coincidentes. Todos os pontos.
(c) (i)
[
2 2
1 1
] [
x
y
]
=
[
3
3/2
]
, det
[
2 2
1 1
]
= 0.
(ii) {(x, y) | y = −x+ 3/2}.
(d) Todos os vetores com extremidade na reta r (ou s, ja´ que r = s).
24. (a) Paralelo a` r: (−b, a), ortogonal a` r: (a, b).
Paralelo a` s: (−d, c), ortogonal a` s: (c, d).
(b) (0, 0) certamente e´ um ponto das duas retas. Se (−b, a)//(−d, c), enta˜o r//s e
r = s. Se (−b, a)//(c, d), enta˜o r ⊥ s e r ∩ s = {(0, 0)}. Se (−b, a) na˜o e´ paralelo
a (−d, c) e nem a (c, d), enta˜o as retas na˜o sa˜o nem paralelas e nem ortogonais e
r ∩ s = {(0, 0)}.
(c) (i)
[
a b
c d
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
, det
[
a b
c d
]
= ad− bc.
(ii) x = 0 e y = 0 sempre e´ soluc¸a˜o. Geometricamente, duas retas que passam pela
origem se encontram.
(d) (a, b)//(c, d)⇔ b
a
= d
c
⇔ bc = ad⇔ ad− bc = 0⇔ c
a
= d
b
⇔ (a, c)//(b, d).
(e) Se ad − bc = 0, todos os vetores com extremidade na reta r (ou s, ja´ que r = s).
Se ad− bc 6= 0, apenas o vetor nulo.
25. A para´bola e´ levada no eixo x.
26. A para´bola e´ levada no eixo y na˜o negativo.
Lista 17
1. Demonstrac¸a˜o: Escrevendo M =
[
a b
c d
]
, ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2), temos
(i) [
a b
c d
] [
x1
y1
]
+
[
a b
c d
] [
x2
y2
]
=
[
a x1 + b y1
c x1 + d y1
]
+
[
a x2 + b y2
c x2 + d y2
]
=[
a x1 + a x2 + b y1 + b y2
c x1 + c x2 + d y1 + d y2
]
=
[
a (x1 + x2) + b (y1 + y2)
c (x1 + x2) + d (y1 + y2)
]
=
[
a b
c d
] [
x1 + x2
y1 + y2
]
(ii)[
a b
c d
] [
k x1
k y1
]
=
[
a k x1 + b k y1
c k x1 + d k y1
]
=
[
k (a x1 + b y1)
k (c x1 + d y1)
]
= k
[
a x1 + b y1
c x1 + d y1
]
= k
[
a b
c d
] [
x1
y1
]
2. M =
[
1 −2
3 5
]
3. M =
[
2 −4
0 1
]
4. Na˜o.
5. T (x, y) = T (x (1, 0) + y (0, 1)) = xT (1, 0) + y T (0, 1) = x (1, 3) + y (−2, 5) =
(x− 2 y, 3x+ 5 y).
6. T (x, y) = T (x (1, 0) + y (0, 1)) = xT (1, 0) + y T (0, 1) = x (a, c) + y (b, d) =
(a x+ b y, c x+ d y). Sim. [T ] =
[
a b
c d
]
.
7. (a) ~u e ~v sa˜o paralelos ⇒ existe µ ∈ R tal que~u = µ~v ⇒ T (~u) = T (µ~v) = µT (~v) ⇒
T (~u) e T (~v) sa˜o paralelos.
(b) Com por exemplo ~u = (2, 1) e ~v = (4, 0) temos T (~u) = (2, 0) e T (~v) = (4, 0). Ou
seja T (~u) e T (~v) sa˜o paralelos, mas ~u e ~v na˜o sa˜o paralelos.
8. E,G, J e O.
9. A (iii), B (iii), C (iii), D (iii), E (ii) eixo x, F (iii), G (ii) eixo y, H (iii), I (iii), J
(ii) reta de equac¸a˜o y = x, K (iii), L (iii), M (iii), N (iii), O (i), P (iii) e Q (iii).
10. A todas, B retas de eq. y = x e y = −x , C nenhuma, D nenhuma, E eixo x, F
todas, G eixo y, H todas, I todas, J reta de eq. y = x, K nenhuma , L nenhuma, M
eixo x, N eixo y, O nenhuma, P eixo x e eixo y, Q eixo x e eixo y.
11. Eixo y e y = 3 x.
12.
[
1
10
3
10
3
10
9
10
]
.
13.
[
−4
5
3
5
3
5
4
5
]
.
14. x = −y2.
15. x = y2.
16. Obtemos o segmento de reta PQ com P = (−5, 0) e Q = (5, 0). Equivalentemente,
{t (1, 0) ∈ R2 | t ∈ [−5, 5]}.
17. Obtemos o segmento de reta PQ com P = (0,−2) e Q = (0, 8). Equivalentemente,
{t (0, 1) ∈ R2 | t ∈ [−2, 8]}.
18. Circunfereˆncia de raio 2 e centro (3, 3).
19. g(x) = 2 f
(
x
2
)
.
20. g(x) = 2 f
(
x−3
2
)
+ 3.
21. Podemos fazer, por exemplo, uma rotac¸a˜o de 45o e teremos a hipe´rbole de equac¸a˜o
y2 − x2 = 2.
22. A hipe´rbole de equac¸a˜o y = 1
x
(ou seja, na˜o muda).
23. Sim, AC = 3AS .
24. Sim, PC = 3PS .
25. Sim, a transformac¸a˜o linear dada pela matriz
[
3 0
0 3
]
.
26. Sim, [
x
y
]
7→
[
1
a
0
0 A
] [
x
y
]
+
[ −b
B
]
.
27. (a) (cos(θ), sen(θ)).
(b) (− sen(θ), cos(θ)).
(c) (x cos(θ)− y sen(θ), x sen(θ) + y cos(θ)).
(d)
[
cos(θ) − sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
.
28.
[ √
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2
][
1 0
0 −1
]
=
[ √
2
2
√
2
2√
2
2
−
√
2
2
]
.
29. {t (−1/5, 7/5) | t ∈ [1, 2]}
30. {t (−1/5, 7/5) + (3/5,−1/5) | t ∈ [1, 2]}