Exercícios de Sequências e Séries Numéricas

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1. Seqüências Numéricas
Enumere a segunda coluna de acordo com a primeira
	(1) seqüência limitada
	( ) 
	(2) seqüência crescente
	( ) 
 
	(3) seqüência decrescente
	( ) 
	(4) seqüência monótona crescente
	( ) 
	(5) seqüência monótona decrescente
	( ) 
Qual das seguintes expressões representa o termo geral da seqüência 
 
A seqüência de termo geral 
 pode ser classificada em:
( ) Decrescente e limitada
( ) Crescente e ilimitada
( ) Crescente e limitada
( ) Decrescente e ilimitada
Qual das seqüências abaixo possui uma subseqüência constante?
 
Qual das seqüências abaixo possui todos os seus termos, em valor absoluto, entre 3 e 4?
O maior e o menor valor atingido pela seqüência de termo geral 
 são respectivamente:
O que você entende por “seqüência convergente”?
Qual a diferença entre uma seqüência ser “limitada” e “ter limite”?
Apenas duas das afirmações abaixo são verdadeiras. Quais?
( ) toda seqüência monótona é convergente
( ) toda seqüência convergente é limitada
( ) toda seqüência limitada é monótona
( ) toda seqüência monótona e limitada converge
Verdadeiro ou Falso?
( ) a seqüência 
 é não monótona e limitada
( ) a seqüência 
 é monótona e convergente
( ) toda seqüência convergente é necessariamente monótona
( ) a soma de duas seqüências divergentes pode ser convergente
( ) toda seqüência decrescente e limitada converge para zero
Segundo o Critério de Cauchy, para uma dada seqüência ser convergente é necessário e suficiente que seus termos, a partir de um determinado momento, estejam arbitrariamente próximos entre si. Use este critério e deduza que a seqüência 
 não converge.
2. Séries Numéricas
 
O valor numérico da soma infinita 
 é
( ) 1
( ) 2
( ) 1/2
( ) 2/3
O termo convergente é usado para indicar que a série (ou soma infinita) 
é, efetivamente, um número real. Dentre as séries convergentes destacamos as séries geométricas, com razão entre 
, as séries de encaixe (telescópicas) e as p-séries, 
. Assinale a série divergente, isto é, aquela que não convergente.
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Classifique as séries abaixo em: p-série (p), geométrica (g), de encaixe (e) e harmônica (h).
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Enuncie os seguintes critérios de convergência para séries: Teste do n-ésimo termo e o Teste da Razão. Em cada caso dê um exemplo para a aplicação do teste.
Em qual das séries abaixo o Teste do n-ésimo termo pode ser aplicado com sucesso?
( ) 
( ) 
 
( ) 
( ) 
Em qual das séries do exercício precedente você teria sucesso ao aplicar o Teste da Razão?
Uma das propriedades da adição de números reais, denominada propriedade associativa, estabelece a seguinte relação 
, sejam quais forem os números reais 
. Esta propriedade é válida para somas infinitas? Justifique.
Verdadeiro ou Falso?
( ) se 
, então a série 
é convergente
( ) se 
 é convergente então 
também converge
( ) se 
e 
for convergente, então 
 também converge
( ) se 
 e 
 são convergentes, então 
é convergente.
3. Séries de Potências
Os intervalos de convergência das séries
 
são respectivamente
Usando a expansão 
, deduz-se que a soma da série 
Usando a expansão 
 e as operações de derivação e integração pode-se obter desenvolvimento de outras funções elementares do cálculo. As séries que representam as funções 
e 
 são respectivamente
Desenvolva em séries de potências de 
 as funções 
 e determine onde as representações são válidas.
4.Séries de Fourier
Os fundamentos teóricos sobre séries de potências estabelecem que para uma função ser representada em séries de potências de 
 é necessário que ela possua derivadas de todas as ordens em torno de 
. A função 
 dada por 
, não atende esta exigência e portanto sua representação em série de potências torna-se inviável. Entretanto, pode-se apresentá-la em série trigonométrica do tipo
,
denominada série de Fourier, em homenagem ao físico francês Jean Baptiste Fourier (1768-1830). Seus coeficientes são calculados por meio das relações
	
	
	
Para a função dada acima, sua série de Fourier é:
Determine a série de Fourier da função definida no intervalo 
 por 
. Usando o resultado comprove que
Uma função 
é tal que 
. Considerando que sua série de Fourier é dada por 
, pode-se afirmar que o valor da soma da série 
 é
O gráfico de uma função 
é mostrado na figura abaixo.
A série de Fourier de 
em 
 vale
( ) 3/4
( ) –3/4
( ) 1/2
( ) –1/2
_1060071637.unknown
_1060071956.unknown
_1060086721.unknown
_1060087473.unknown
_1060088430.unknown
_1060245272.unknown
_1060245408.unknown
_1068038295.unknown
_1060245336.unknown
_1060088797.unknown
_1060170736.unknown
_1060088774.unknown
_1060087796.unknown
_1060088329.unknown
_1060086894.unknown
_1060087184.unknown
_1060087360.unknown
_1060086769.unknown
_1060085893.unknown
_1060086440.unknown
_1060086518.unknown
_1060086395.unknown
_1060072259.unknown
_1060072440.unknown
_1060074262.unknown
_1060080577.unknown
_1060072474.unknown
_1060072486.unknown
_1060072456.unknown
_1060072406.unknown
_1060072420.unknown
_1060072322.unknown
_1060072405.unknown
_1060072064.unknown
_1060072101.unknown
_1060072173.unknown
_1060072080.unknown
_1060071989.unknown
_1060072047.unknown
_1060071970.unknown
_1060071837.unknown
_1060071866.unknown
_1060071921.unknown
_1060071941.unknown
_1060071887.unknown
_1060071902.unknown
_1060071852.unknown
_1060071797.unknown
_1060071814.unknown
_1060071638.unknown
_1060071250.unknown
_1060071483.unknown
_1060071520.unknown
_1060071636.unknown
_1060071552.unknown
_1060071501.unknown
_1060071423.unknown
_1060071468.unknown
_1060071259.unknown
_1060071153.unknown
_1060071174.unknown
_1060071195.unknown
_1060071166.unknown
_1060071081.unknown
_1060071145.unknown
_1059632238.unknown
_1060071080.unknown
_1059708664.unknown
_1059452804.unknown
_1059631147.unknown