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DESCRIÇÃO Aplicação dos conceitos de séries. PROPÓSITO Definir séries, utilizar os testes de convergência e apresentar algumas séries importantes. PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo desse tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone ou computador. OBJETIVOSProcessing math: 9% MÓDULO 1 Definir os conceitos iniciais de uma série numérica MÓDULO 2 Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série MÓDULO 3 Definir as séries de potências e as séries trigonométricas SÉRIES Processing math: 9% MÓDULO 1 Definir os conceitos iniciais de uma série numérica CONCEITOS INICIAIS DE SÉRIES NUMÉRICAS Processing math: 9% INTRODUÇÃO Em diversos momentos de nossa vida, lidamos com uma lista de números que seguem uma determinada ordem. Essa lista é denominada matematicamente uma sequência numérica. AGORA, SE ESSA LISTA DE NÚMEROS FOR ORIGINADA DAS SOMAS PARCIAIS DOS TERMOS DE UMA DETERMINADA SEQUÊNCIA DADA, SE DÁ O NOME DE SÉRIE NUMÉRICA A ESSA SEQUÊNCIA. Processing math: 9% Neste módulo, definiremos sequências e série numéricas, abordando algumas de suas propriedades. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Antes de definirmos uma série numérica, necessitamos definir a sequência numérica. Imagine uma lista de números que obedece a uma determinada ordem. Em outras palavras, cada posição é ocupada por um número obtido por uma função que depende da sua posição. EXEMPLO 2, 4, 8, 16, ....: é uma sequência numérica crescente em que o valor do número é calculado como o número dois elevado à sua posição. Se n é a posição, o valor do número vale 2n. 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , … : é uma sequência decrescente de números em que o valor do número é o inverso de sua posição. Se n é a posição do número, então o valor vale 1 n . Vamos definir agora com uma linguagem matemática. Processing math: 9% foto: shutterstock.com Uma sequência (sucessão numérica) é uma função cujo domínio é um subconjunto dos números naturais, que seria a posição do número, e a imagem são números reais, sendo o valor do número na sequência. Usaremos a notação para sequência como an . Assim an : n ∈ N → R. Em outras palavras, a entrada da função é um número inteiro positivo, a posição na lista, e a saída é um número real que será obtida por uma função que relaciona o valor com a posição do número. A notação an também é usada para representar o termo geral da equação, que representa o valor do enésimo termo. Às vezes se tem a sequência de números, a lista numérica, mas não é simples obter a função que relaciona os valores das posições, isto é, não é simples se definir o termo geral. Processing math: 9% EXEMPLO Seja a sequência de números que apresenta as médias de chuva dos últimos meses da cidade A, medida em mmhg. {78, 81, 77, 93, 102, 120, 77, … } Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Diríamos até que o trabalho dos cientistas é tentar modelar algumas sequências para se obter uma fórmula para seu termo geral. No nosso exemplo, se obtivermos o termo geral, podemos estimar a média de chuva em um determinado mês. Em alguns casos, o termo geral da sequência é obtido por uma fórmula de recorrência que envolve termos antecessores. Por exemplo: A1 = 1, A2 = 2 E AN = AN - 1 + AN - 2, PARA N ≥ 3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pode-se obter a3 = a2 + a1 = 1 + 2 = 3 , a4 = a3 + a3 = 2 + 3 = 5 , e assim sucessivamente. ATENÇÃO Não necessariamente a sequência tem que iniciar com n = 0 ou n = 1Processing math: 9% . Dessa forma, podemos definir como domínio da sequência um valor de n ∈ N tal que n ≥ p . Vamos analisar os exemplos a seguir. EXEMPLO 1 Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por an = 2 + 8n , para n ≥ 3 . RESOLUÇÃO Para os três primeiros termos basta substituirmos o valor de n que representa a posição. Repare que a primeira posição é obtida para n = 3 , assim, a segunda e terceira serão dados por n = 4 e n = 5 . n = 3 → a3 = 2 + 8.3 = 26 n = 4 → a4 = 2 + 8.4 = 34Processing math: 9% n = 3 → a5 = 2 + 8.5 = 42 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 2 Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por an = n − ( − 1) n , para n ≥ 1 . RESOLUÇÃO Para os três primeiros termos, basta substituirmos o valor de n que representa a posição. Repare que a primeira posição é obtida para n = 1 . Assim, a segunda e terceira serão dados por n = 2 e n = 3 . n = 1 → a1 = 1 - (-1) 1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 n = 2 → a2 = 2 - (-1) 2 = 2 - (1) = 2 - 1 = 1 n = 3 → a3 = 3 - (-1) 3 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 3 Processing math: 9% Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência 1 2 , 2 3 , 3 4 , … . RESOLUÇÃO Analisando a lógica da sequência, se verifica que o termo geral pode ser definido como: an = n n + 1 , com n ≥ 1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma sequência será alternante se, de um termo para outro, o sinal dela mudar, isto é, an + 1. an = − 1 , por exemplo. 1, - 3, 9, - 27, 81, … Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SEQUÊNCIAS FINITAS OU INFINITAS Uma sequência pode ser classificada como finita ou infinita. Uma sequência finita é aquela que apresenta um número finito de termos. A sequência infinita apresenta um número infinito. As sequências infinitas podem ser convergentes ou divergentes. Vamos analisar o que acontece com uma sequência infinita quando seu valor de n tende ao infinito. CONVERGENTE DIVERGENTE CONVERGENTE Se lim n → ∞ an = L, se diz que a sequência tem como limite um número real L Processing math: 9% . Em outras palavras, podemos fazer os termos ficarem tão pertos de L quanto desejarmos, ao fazermos n suficientemente grande. Nesse caso, se diz que a sequência é CONVERGENTE e que converge para L . DIVERGENTE Quando o lim n → ∞ an não existir ou for ±∞ se diz que a sequência é DIVERGENTE. Para ajudar no cálculo do limite de uma sequência, podemos usar o seguinte teorema: Sendo f(x) uma função real definida no domínio [p, ∞) , considere o termo geral de uma sequência: an = f n para n ≥ p Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, lim n → ∞ an = lim x → ∞ f(x), se existir o limite da função f(x) . EXEMPLO 4 ( ) Processing math: 9% Verifique se a sequência definida pelo termo geral an = 3n2 + 2n n2 − 1 , para n ≥ 1 é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Determinando o limite da sequência: lim n → ∞ an = lim n → ∞ 3n2 + 2n n2 - 1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Relembrando o teorema de Leibniz, o polinômio tende ao termo de maior grau quando sua variável tende ao infinito. Assim: lim n → ∞ an = lim n → ∞ 3n2 + 2n n2 - 1 = lim n → ∞ 3n2 n2 = lim n → ∞ 3 1 = 3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como o limite deu um número real, a série é convergente. EXEMPLO 5 Verifique se a sequência definida pelo termo geral an = 10n + 20 para n ≥ 1 é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Determinando o limite da sequência: Processing math: 9% lim n → ∞ an = lim n → ∞ 10n + 20 = ∞ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como o limite deu diferente de um número real, a série é divergente. Uma sequência pode ser classificada entre crescente ou decrescente. CRESCENTE Uma sequência será crescente se e somente se para qualquer m e n naturais: m < n ↔ am < an Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal DECRESCENTE Uma sequência será decrescente se e somente se para qualquer m e n naturais:m < n ↔ am > an Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Dizemos que uma sequência é monótona se for crescente ou decrescente. TIPOS DE LIMITAÇÕES DA SEQUÊNCIA Limitada superiormente Uma sequência será limitada superiormente se existir um número real M tal que, para todo Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) n do domínio da sequência, an ≤ M . Limitada inferiormente Uma sequência será limitada inferiormente se existir um número real Q tal que, para todo n do domínio da sequência, an ≥ Q . UMA SEQUÊNCIA SERÁ LIMITADA SE EXISTIREM NÚMEROS REAIS M E Q TAL QUE, PARA TODO N DO DOMÍNIO DA SEQUÊNCIA, Q ≤ AN ≤ M Processing math: 9% . EM OUTRAS PALAVRAS, SE A SEQUÊNCIA FOR LIMITADA, ELA SERÁ LIMITADA SUPERIORMENTE E LIMITADA INFERIORMENTE. EXEMPLO 6 Verifique se a sequência an = 1 2n + 1 , para n > 0, é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada. RESOLUÇÃO Dado o termo a_n=\frac{1}{2n+1} teremos o termo a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)+1}=\frac{1}{2n+3}. Observe que, se n > 0, 2n + 3 > 2n + 1, assim, an+1<an para todo n > 0. Dessa forma, a sequência é monótona decrescente. Vamos agora analisar quanto a ser limitada. O primeiro termo é obtido para n = 1, assim a_1=\frac{1}{2.1+1}=\frac{1}{3}. Como a sequência é decrescente, todos os valores serão menores do que \frac{1}{3}. Assim, a sequência é limitada superiormente pelo valor \frac{1}{3}. Quando n tende ao infinito: limn→∞an=limn→∞12n+1=1∞=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, essa sequência também é limitada inferiormente pelo valor 0. Temos uma sequência limitada. EXEMPLO 7 Processing math: 9% Verifique se a sequência \left\{1\ ,\ -1\ ,\ 1\ ,\ -1\ ,\ 1,\ -1\ ,\ \ldots\right\} é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada. RESOLUÇÃO Analisando os termos, verificamos que, às vezes, a_n>a_{n+1} e, às vezes, an<an+1. Dessa forma, essa sequência não será crescente nem decrescente. Vamos agora analisar quanto a ser limitada. Observe que não existe nenhum termo da sequência maior do que 1, e nenhum termo da sequência menor do que – 1. Assim, essa sequência é limitada inferiormente e superiormente, sendo uma sequência limitada. TEOREMA DE ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA Existe um teorema importante para usarmos na análise da convergência de uma sequência. Teorema para sequência crescente Seja an uma sequência crescente: Se a sequência for limitada superiormente, an será convergente. Se an não for limitada superiormente, an será divergente. Podemos também relatar o mesmo teorema para uma sequência decrescente. Teorema para sequência decrescente Seja an uma sequência decrescente: Se a sequência for limitada inferiormente, an será convergente. Se an não for limitada inferiormente, an será divergente.Processing math: 9% DICA A demonstração desse teorema é bem intuitiva e pode ser encontrada nas referências do tema. EXEMPLO 8 Verifique se a sequência a_n=\frac{1}{2n+1}, para n > 0, é convergente. RESOLUÇÃO Como já analisamos no exemplo 7, que é uma sequência decrescente e limitada inferiormente, ela será obrigatoriamente convergente. Podemos confirmar isso com o cálculo do limite. limn→∞an=limn→∞12n+1=1∞=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos agora definir a série numérica. SÉRIES NUMÉRICAS Seja uma sequência definida pelo seu termo geral an, com n natural e n ≥ p. A SÉRIE NUMÉRICA ASSOCIADA À SEQUÊNCIA DADA SERÁ DEFINIDA COMO A SEQUÊNCIA CUJO TERMO GERAL É OBTIDO POR: SN=∑PNAK, N≥PProcessing math: 9% Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal O elemento da série sn será a soma parcial de ordem n dos elementos da sequência, isto é, a soma desde o primeiro termo até o termo n. A notação sn também será denominada de enésimo termo da série. Por exemplo, seja a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ..., definimos os seguintes termos da série associada a ela: S1=A1=2 S2=A1+A2=2+4=6 S3=A1+A2+A3=2+4+8=14 ... SN=A1+A2+A3+…+AN=2+4+8+16+…+2N=22N-12- 1=22N-1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Processing math: 9% A fórmula para o sn foi obtida pela soma de uma progressão geométrica (PG) finita. Nem sempre é possível obter um termo geral para os elementos da série. No ensino médio, estudamos duas sequências: progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Essas sequências apresentavam fórmulas para suas somas parciais e totais. Vale a pena uma pesquisa para relembrar a definição da PA e PG e de suas fórmulas. As séries associadas a uma sequência PA ou PG são denominadas, respectivamente, de série aritmética e série geométrica. EXEMPLO 9 Determine os três primeiros termos da série associada a uma sequência de termo geral a_n=\frac{2n+1}{n^2+1}. RESOLUÇÃO S1=A1=2.1+112+1=32 S2=A1+A2=32+2.2+122+1=32+55=52 S3=A1+A2+A3=32+52+2.3+132+1=32+52+710=4710 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Cuidado: O primeiro termo da série, representado no somatório, pode ser um número diferente de zero ou de 1. Repare \sum_{3}^{n}2^k, o somatório começa para k = 3. Assim, o primeiro termo da série será 2^3 = 8 e o segundo termo será 8 + 2^4 = 8 + 16 = 24. Processing math: 9% SÉRIE INFINITA X SÉRIE FINITA Uma série de infinitos termos é denominada de série infinita. Uma série com um número finito de termos é definida como série finita. Se define a soma da série como o limite da série, isto é: S=LIMN→∞SN=LIMN→∞∑PNAK=∑P∞AK Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Essa soma pode ter valor finito ou infinito. Se a soma for finita, se diz que a série é convergente. Se o limite não existir ou for \infty, a série será divergente. Muitas vezes, usamos a mesma notação \sum_{p}^{\infty}a_n para representar a própria série infinita. EXEMPLO 10 Determine a soma da série cujo termo vale 3-2+\frac{4}{3}\ -\frac{8}{9}+\ldots. Verifique se essa série é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência \left\ {3,-2,\frac{4}{3},-\frac{8}{9},\ \ldots\right\}. S=∑p∞ak=limn→∞∑pnak=3-2+43 -89+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare que trata de uma série geométrica, os termos da soma são soma de uma progressão geométrica (PG), pois cada termo é obtido pela multiplicação do termo anterior por uma razão. Processing math: 9% Repare que o primeiro termo vale 3 e a razão vale \frac{-2}{3}=\frac{4/3}{-2}=\frac{-8/9}{4/3}=- \frac{2}{3}. A soma de uma PG infinita para quando o módulo da razão for menor do que 1 vale: S=a11-q=31--23=31+23=95 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como o valor de S foi um número real, a série é convergente. EXEMPLO 11 Determine a soma da série cujo termo vale 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + .... Verifique se a série é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência \left\ {8,12,16,20,24,\ldots\right\}. S=∑p∞ak=limn→∞∑pnak=8 + 12 + 16 + 20 + 24 +… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare que os termos da soma são soma de uma progressão aritmética (PA), pois cada termo é obtido pela soma do termo anterior com uma razão. Repare que o primeiro termo vale 8 e a razão vale 12-8=16-12=20-16=4 A soma de uma PA vale: sn=a1+an2n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal O termo geral da sequência vale a_n=a_1+\left(n-1\right)r Assim: sn=2a1+r(n-1)2n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pelo enunciado:Processing math: 9% sn=2.8+4(n-1)2n=6+2n.n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Dessa forma, ovalor de: S=∑p∞ak=limn→∞sn=limn→∞6+2n . n=∞ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, como S não é um número finito, então a série é divergente. PROPRIEDADES DE UMA SÉRIE CONVERGENTE Podemos citar algumas propriedades de uma série convergente: A Seja k um número real, se \sum_{p}^{\infty}a_n for uma série convergente, então \sum_{p}^{\infty}{ka}_n, com k real, também será convergente e pode ser obtida por k\sum_{p}^{\infty}a_n. B Sejam as séries convergentes \sum_{p}^{\infty}a_n e \sum_{p}^{\infty}b_n, se \sum_{p}^{\infty}c_n=\sum_{p}^{\infty}{{(a}_n+b_n),} então \sum_{p}^{\infty}c_n será convergente e pode ser obtida por \sum_{p}^{\infty}a_n+\sum_{p}^{\infty}b_n. Por fim, podemos definir um critério necessário para que uma série seja convergente. Se ∑p∞an for convergente, então os termos a_n têm que tender para zero quando n tende ao infinito, isso é limn→∞an=0.. ATENÇÃO Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) Cuidado: Esse critério é necessário mas não suficiente; em outras palavras, pode existir uma série que limn→∞an=0 e ela ser divergente. Podemos escrever o teorema de outra forma: Se limn→∞an≠0 ou se limn→∞an não existir então a série ∑p∞an será divergente. EXEMPLO 12 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{2n^2}{5n^2+1} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO O termo geral da sequência associada vale \frac{2n^2}{5n^2+1} Determinando o limite desse termo: limn→∞an=limn→∞2n25n2+1=limn→∞2n25n2=25≠0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a série é divergente. EXEMPLO 13 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{3}{n(n+1)} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO O termo geral da sequência associada vale \frac{3}{n(n+1)}. Determinando o limite desse termo: limn→∞an=limn→∞3n(n+1)=3∞=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência. sn=∑1n3k(k+1)=3∑1n1k-1k+1 Processing math: 9% sn=31-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1 sn=31-1n+1 S=limn→∞sn=limn→∞31-1n+1=3 . 1-1∞=3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, a série é convergente. ATENÇÃO Essa soma em que os termos se cancelam, que usamos na solução do exemplo, é denominada de soma telescópica. EXEMPLO 14 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO O termo geral da sequência associada vale \frac{1}{n}. Determinando o limite desse termo: limn→∞an=limn→∞1n=1∞=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência. sn=∑1n1k Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare que: s1=1 s2=1+12 Processing math: 9% s4=1+12+13+14>1+22 s8=1+12+13+14+15+16+17+18>1+32 ... sn=1+12+…+1n-1+1n>1+n2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim: S=limn→∞sn>limn→∞1+n2=1+∞ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, tende ao infinito, sendo uma série divergente, mesmo atendendo à condição inicial. Por fim, apenas uma definição. Uma série \sum a_n será dita como absolutamente convergente se a série \sum{\left|a_n\right|\ } for convergente. Uma série é dita como condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Um ponto é que toda série absolutamente convergente será convergente, mas nem toda série convergente será absolutamente convergente. No próximo módulo, analisaremos os testes de convergência para uma série. MÃO NA MASSA 1. DETERMINE O TERCEIRO TERMO DA SÉRIE NUMÉRICA DEFINIDA POR: SN=∑K=1N(-1)K9K2 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A) -1 B) 1Processing math: 9% C) -314 D) 314 E) -94 2. DETERMINE O QUINTO TERMO DA SÉRIE ASSOCIADA A SEQUÊNCIA 16,8,4,2,…. A) 1 B) 15 C) 16 D) 31 E) 32 3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE ∑1NN3+2N+1N5-2. A) Série condicionalmente convergente. B) Série absolutamente convergente. C) Série convergente. D) Série divergente. E) Série geométrica. 4. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑1N1(N+3)(N+2). A) 13 B) 14 C) 15 D) 16Processing math: 9% E) 17 5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE A APRESENTA A SOMA DA SÉRIE ∑1N2N5N-1. A) 310 B) 103 C) 57 D) 715 E) 1315 6. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA EM RELAÇÃO À SÉRIE QUE ESTÁ ASSOCIADA À SEQUÊNCIA COM TERMO GERAL DADO POR AN=2N2+6N+8. A) A série é divergente. B) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 25. C) A série é absolutamente convergente e a soma vale 25. D) A série é condicionalmente convergente e a soma vale 712. E) A série é absolutamente convergente e a soma vale 712. GABARITO 1. Determine o terceiro termo da série numérica definida por: sn=∑k=1n(-1)k9k2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A alternativa "C " está correta. O terceiro termo será calculado como: s3=a1+a2+a3 Mas: Processing math: 9% • a1=(-1)1912=-9 • a2=-12922=94 • a3=(-1)3932=-1 Assim: s3=a1+a2+a3=-9+94-1=-314 2. Determine o quinto termo da série associada a sequência 16,8,4,2,…. A alternativa "D " está correta. Ao analisar a sequência, se verifica que se trata de uma progressão geométrica (PG) de razão 0,5, pois an+1=an.12. A série será definida por sn=∑1nan. Assim, o termo s_n será a soma parcial da PG do primeiro termo até o enésimo termo. A fórmula da soma da PG finita é dada por: sn=a1qn-1q-1=16(0,5n-1)0,5-1=321-0,5n=32-322n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal O exercício pede o quinto termo. Então: s5=32-3225=32-1=31 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. Marque a alternativa correta relacionada à série ∑1nn3+2n+1n5-2. A alternativa "D " está correta. O termo geral associado à série vale an=n3+2n+1n5-2. Repare que, usando Leibniz, limn→∞n3+2n+1n5-2=limn→∞n3n5=limn→∞1n2→∞ Pelo teorema estudado, se limn→∞an≠0, então a série ∑i=p∞an será divergente. 4. Determine a soma da série ∑1n1(n+3)(n+2). A alternativa "A " está correta. Para calcular a soma, precisamos então calcular: S=∑1∞1(k+3)(k+2)=limn→∞∑1n1(k+3)(k+2) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas,Processing math: 9% 1(k+3)(k+2)=1k+2-1k+3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, sn=∑1∞1(k+3)(k+2)=∑1∞1k+2-1k+3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resultando em uma soma telescópica: sn=13-14+14-15+15+…+1n+1-1n+2+1n+2-1n+3 sn=13-1n+3 S=limn→∞sn=limn→∞13-1n+3=limn→∞13-limn→∞1n+3=13-0=13 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Marque a alternativa que a apresenta a soma da série ∑1n2n5n-1. A alternativa "B " está correta. Manipulando o termo da sequência associada 2n5n-1=2 . 2n-15n-1=225n-1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim teremos os termos 2 , 2.25 , 2.252, … Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto temos uma série geométrica. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita com primeiro termo 2 e razão 25.. S=a11-q=21-25=235=103 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Marque a alternativa verdadeira em relação à série que está associada à sequência com termo geral dado por an=2n2+6n+8. A alternativa "E " está correta. Processing math: 9% CONVERGÊNCIA SÉRIE GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Considere uma bola que é solta de uma altura 2H do solo. Toda vez que essa bola quica no chão, ela volta a subir 0,5 à altura anterior que ela havia subido. Seja a série definida pela sequência do espaço percorrido pela bola entredois quiques, após o primeiro quique no chão, determine a soma dessa série e verifique se ela é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO SOMA DE UMA SÉRIE CONVERGENTE Processing math: 9% VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. DETERMINE A SOMA DA SÉRIE ∑1N5N71-N: A) 12 B) 212 C) 352 D) 234 E) 454 2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA RELACIONADA À SÉRIE ∑4N1(N- 3)(N-2). A) Divergente. B) Convergente com soma igual a 1. C) Convergente com soma igual a 3. D) Convergente com soma igual a 5. E) Convergente com soma igual a 7. GABARITO 1. Determine a soma da série ∑1n5n71-n: A alternativa "C " está correta. Manipulando o termo da sequência associada 5n71-n=5n7n-1=5 5n-17n-1=557n-1, temos uma série geométrica. Usando a fórmula da soma de uma PG infinita com primeiro termo 5 e razão 57, temos:Processing math: 9% S=a11-q=51-57=527=352 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. Marque a alternativa correta relacionada à série ∑4n1(n-3)(n-2). A alternativa "B " está correta. Para calcular a soma, precisamos calcular: S=∑4∞1(n-3)(n-2)=limn→∞∑4n1(n-3)(n-2) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas, 1(n-3)(n-2)=1n-3-1n-2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, sn=∑4∞1(n-3)(n-2)=∑4∞1n-3-1n-2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resultando em uma soma telescópica, cuidado que o primeiro termo é para n = 4. sn=11-12+12-13+13+…+1n-4-1n-3+1n-3-1n-2 sn=1-1n-2 S=limn→∞sn=limn→∞1-1n-2=limn→∞1-limn→∞1n-2=1-0=1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Convergente com soma igual a 1. MÓDULO 2 Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série Processing math: 9% TESTE DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS INTRODUÇÃO Processing math: 9% Uma série numérica pode ser convergente, quando sua soma tende a um número real, ou divergente, quando a soma não tende a um número fixo. É importante verificamos se uma série é ou não convergente. Para isso, existem alguns testes denominados de teste de convergência. Nesse módulo, estudaremos quatro testes: teste da comparação, teste da integral, teste da razão e teste da raiz. No módulo anterior, estudamos a definição de uma série numérica e sua classificação quanto à convergência ou divergência. UMA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE SE SUA SOMA TENDER A UM NÚMERO REAL QUANDO O NÚMERO DE TERMOS TENDER AO INFINITO. ISSO É: S=LIMN→∞SN=LIMN→∞∑PNAK=∑P∞AK=L, L REAL Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal No módulo anterior, estudamos alguns teoremas e fizemos alguns exemplos para verificar a convergência de algumas séries numéricas. Acontece que existem testes, denominados de testes de convergência, que podem ser utilizados para se verificar a convergência de tipos determinados de séries numéricas. Processing math: 9% Esses testes ganham importância quando, por exemplo, conhecemos os termos da série, mas não conseguimos determinar uma fórmula para sua soma. Assim, não temos como ver diretamente se a série converge ou não. Aqui os testes serão analisados de forma separada, mas caberá a você, na prática, verificar o melhor teste para aplicar na análise da convergência de uma determinada série. As vezes mais de um teste é possível de ser aplicado na série analisada. TESTE DA COMPARAÇÃO O primeiro teste que vamos estudar é o teste da comparação. A IDEIA DO TESTE DA COMPARAÇÃO É COMPARAR A SÉRIE ANALISADA COM UMA SÉRIE QUE JÁ SABEMOS, PREVIAMENTE, SER UMA SÉRIE CONVERGENTE OU DIVERGENTE. Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos. Se ∑bn for convergente e an<bn para todo n, então ∑an também será convergente. Se ∑bn for divergente an>bn para todo n, então ∑an também será divergente. DICA A demonstração matemática desse teorema pode ser estudada nas obras que constam na referência do tema. Repare como é simples demonstrar essa afirmação: Processing math: 9% Como as séries do teorema só possuem termos positivos, obrigatoriamente s_n=\sum_{1}^{n}a_n e t_n=\sum_{1}^{n}b_n são crescentes. Veja que, quando aumenta o valor de n, o somatório aumenta, pois os termos são positivos. Se t_n=\sum_{1}^{n}b_n for convergente, então T=limn→∞tn=∑1∞bn=L. L real. Como cada termo a_n é menor do que b_n, a série sn<tn, assim S=limn→∞sn=∑1∞an<L. Portanto, a série s_n é crescente e limitada; pelo teorema visto no módulo anterior, ela será, portanto, uma série convergente. Da mesma forma, se tn=∑1nbn for divergente, então T=limn→∞tn=∑1∞bn→∞. Como cada termo a_n é maior do que b_n, a série s_n > t_n, assim S=limn→∞sn>T. Mas, se T tende ao infinito, então S tende ao infinito, e a série s_n também será divergente. Para usar o teorema da comparação, precisamos conhecer algumas séries para serem usadas como comparativos. Na grande parte dos problemas, usamos duas séries: A s_n=\sum_{1}^{n}\frac{1}{n^p} (séries harmônicas) Essa série será convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1. B s_n=\sum_{1}^{n}{ar^{n-1}}(séries geométricas) Essa série será convergente se \left|r\right|\le1 e divergente se \left|r\right|>1. Vamos ver agora alguns exemplos. EXEMPLO 15 Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}{\frac{2}{k}\ sen\frac{1}{k}} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Repare que k > 0, portanto 0<1k≤1. Para y no primeiro quadrante, isso é [0, \frac{\pi}{2}] , vale uma desigualdade: seny\le y. Como 0<1k≤1<π2, então \frac{1}{k} está no primeiro quadrante e 0<sen1k≤1k. Portanto, 0<2ksen1k≤2k . 1k→, 0<2ksen1k≤2k2 Sabemos que a série harmônica \sum_{1}^{n}\frac{2}{k^2} é convergente. Usando o teorema da comparação, como \sum_{1}^{n}\frac{2}{k^2} é convergente e \frac{2} {n}sen\frac{1}{n}\le\frac{2}{n^2} para todo n > 1, a série \sum_{1}^{\infty}{\frac{2}{k}\ sen\frac{1} {k}} também será convergente. EXEMPLO 16 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO ∑1∞3lnkk=3ln11+3ln22+∑3∞3lnkk=3ln22+∑3∞3lnkk Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como k≥e<3, então 3\ln{k\ \geq}3. Quer dizer que para k \geq3 \rightarrow3\ln{k\ \geq}3 Assim \frac{3\ln{k}}{k}\geq\ \frac{3}{k} Sabemos que a série harmônica \sum_{3}^{\infty}\frac{3}{k} é divergente. Assim, pelo teorema da comparação, como \frac{3\ln{n}}{n}\geq\ \frac{3}{n} para todo n\geq3 e \sum_{3}^{\infty}\frac{3}{k} é divergente, então \sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} é divergente. Se \sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} e divergente então \sum_{1}^{\infty}\frac{3\ln{k}} {k}=\frac{3\ln{2}}{2}+\sum_{3}^{\infty}\frac{3\ln{k}}{k} também é divergente. K≥E<3Processing math: 9% javascript:void(0) Lembrando que: ln(k)=loge(k). Por isso, a comparação é feita com a base do logaritmo. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE Existe um outro tipo de teste da comparação, denominado de teste da comparação do limite. Ele obedece ao seguinte teorema: Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos. Se LIMN→∞ANBN=K Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal com k real maior do que zero, ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. Vamos entender a demonstração desse teorema. Repare que, se k é positivo, ele está limitado entre dois números reais M < k < P. Para quando n tende ao infinito M<anbn<P→Mbn<an<Pbn. Assim, se \sum b_n converge, \sum{Pb}_n também converge. Pelo teorema da comparação anterior, como an<Pbn, ∑an também convergirá. Da mesma forma, e \sum b_n diverge, então \sum{Mb}_n também diverge. Pelo teorema da comparação anterior, como a_n>Mb_n, \sum a_n também irá divergir. Vamos trabalhar com alguns exemplos. EXEMPLO 17 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n-1} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃOProcessing math: 9% Usando o teorema da comparação do limite. Nós sabemos que a série geométrica com termo b_n=\frac{4}{3^n}é convergente. limn→∞anbn=limn→∞43n-143n=limn→∞3n3n-1=limn→∞11-13n=1>0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n} é convergente e limn→∞43n-143n=1 então \sum_{1}^{\infty}\frac{4}{3^n-1} também será convergente. EXEMPLO 18 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{n^2+n}{\sqrt{n^5+1}} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Usando o teorema da comparação do limite. Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo bn=n2n5=n2-52=n-12=1n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como limn→∞bn=limn→∞1n=∞. Portanto, como o termo não tende a zero, a série é divergente. limn→∞anbn=limn→∞n2+nn5+11n=limn→∞(n2+n)nn5+1=limn→∞n2nn5=limn→∞1=1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n} é divergente e limn→∞n2+nn5+11n=1 então \sum_{1}^{\infty}\frac{n^2+n}{\sqrt{n^5+1}} também será divergente. Temos ainda duas complementações para o teorema da comparação do limite. Sejam as séries ∑an e ∑bn com termos positivos. Se limn→∞anbn=k Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math: 9% Se k = 0 e a série ∑bn for convergente, a série ∑an também é convergente. Se k \rightarrow\infty e a série ∑bn for divergente, a série ∑an também é divergente. A demonstração é simples, se k = 0 então a série ∑an<∑bn. Assim, se ∑bn é convergente então ∑an também converge. Da mesma forma, se k→∞ então a série ∑an>∑bn. Assim, se ∑bn é divergente então ∑an também diverge. Veja os exemplos. EXEMPLO 19 Verifique se a série ∑1∞10ln(k) é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Vamos pegar a série harmônica com termo b_n=\frac{10}{k}. Sabemos que ela é divergente. Fazendo agora: limn→∞anbn=limn→∞10lnn10n=limn→∞nlnn Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Usando L´Hopital, derivando numerador e denominador: limn→∞anbn=limn→∞nlnn=limn→∞11/n=limn→∞n=∞ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pelo teorema da comparação, como limn→∞anbn=∞ e a série b_n diverge, então ∑1∞10ln(k) também diverge. Vamos agora estudar o teste da integral. TESTE DA INTEGRAL Processing math: 9% O teste da integral, como o próprio nome sugere, usa a comparação entre a série analisada e uma integral de uma função f apropriada para se concluir sobre a convergência ou não da série. Ele se baseia no seguinte teorema: SEJA UMA FUNÇÃO F CONTÍNUA, POSITIVA E DECRESCENTE NO INTERVALO [1,∞) E SEJA AN=F(N). A SÉRIE ∑AN SERÁ CONVERGENTE SE E SOMENTE SE A INTEGRAL ∫1∞FXDX FOR CONVERGENTE. Repare que o teorema usa a expressão se e somente se; assim, ele quer dizer que, quando \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx for convergente, \sum a_n também é convergente, e vice-versa. Da mesma forma que \sum a_n será divergente quando \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx for divergente, e vice-versa. Outro ponto é que \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx é uma integral imprópria e será convergente quando seu valor for um número real. Se não for um número real, a integral \int_{1}^{\infty}f\left(x\right)dx será divergente. DICA A demonstração do teorema se baseia em uma argumentação geométrica e pode ser estudada, se for o caso, nas referências desse tema. Veja os exemplos. EXEMPLO 20 Processing math: 9% Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(k^2+4)} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Se a_n=\frac{1}{(n^2+4)} então f(n)=\;\frac1{(n^2+4)}. Essa função f(x) é contínua, decrescente e positiva, podendo ser usado o teste da integral. A integral imprópria analisada será \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx} Resolvendo a integral \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx} ∫1∞1(x2+4)dx=∫1∞141x22+1dx=14arctgx21∞ ∫1∞1(x2+4)dx=14arctg∞-12arctg12=14π2-12arctg12 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como \int_{1}^{\infty}{\frac{1}{(x^2+4)}dx}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}arctg\left(\frac{1}{2}\right), a integral será convergente, então a série \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{(k^2+4)} será convergente. Agora vamos estudar o teste da razão. TESTE DA RAZÃO O teste da razão utilizará a ideia de comparar termos subsequentes da sequência associada à série analisada. Vamos diretamente para seu enunciado. Utilizaremos o seguinte critério. Seja a série ∑an 01 Se limn→∞an+1an=L<1, então ∑an é absolutamente convergente. 02 Se limn→∞an+1an=L>1 ou ∞, então ∑an é divergente. 03 Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) Se limn→∞an+1an=L=1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste A demonstração desse teorema pode ser encontrada nas referências desse tema. ATENÇÃO Lembre-se de que, no primeiro caso, se a série for absolutamente convergente, ela será convergente também. EXEMPLO 21 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}{{(-1)}^k\frac{k^2}{2^k}} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Vamos usar o teste da razão. an+1an=(-1)n+1(n+1)22(n+1)(-1)nn22n=-1n+1n22n2n+1=-12n+1n2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando o limite a seguir: limn→∞an+1an=limn→∞-12n+1n2=limn→∞12n+1n2=12.1=12<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente. EXEMPLO 22 Verifique se a série \sum_{1}^{\infty}\frac{k^k}{k!} é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Processing math: 9% Vamos usar o teste da razão. an+1an=(n+1)n+1(n+1)!nnn!=n+1n+1nnn!n+1!=n+1n+1nn1n+1=n+1nn=1+1nn Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando o limite a seguir: limn→∞an+1an=limn→∞1+1nn=limn→∞1+1nn=e>1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, como o limite foi maior do que 1, a série é divergente. Agora vamos analisar o último teste desse módulo: o teste da raiz. TESTE DA RAIZ O teste da raiz utiliza um critério que leva em conta a raiz enésima do termo da sequência a que a série é associada. Esse teste é muito utilizado quando os termos da série são associados a potências de n. Seja a série ∑an com termos positivos. 01 Se limn→∞ann=L<1, então ∑an é absolutamente convergente. 02 Se limn→∞ann=L>1 ou ∞, então ∑an é divergente. 03 Se limn→∞ann=L=1, o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste Vamos exemplificar a utilização desse teste. Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) EXEMPLO 23 Verifique se a série ∑1∞3n+44n+3n é convergente ou divergente. RESOLUÇÃO Como o termo 3n+44n+3n é positivo, podemos usar o teste da raiz. O termo: Se an=3n+44n+3→ann=3n+44n+3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então: limn→∞ann=limn→∞3n+44n+3=34<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz. MÃO NA MASSA 1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑1∞EKK. A) É divergente. B) É convergente com soma no intervalo 13,12. C) É convergente com soma no intervalo 13,1. D) É convergente com soma no intervalo 12,1. E) É convergente com soma no intervalo 1,2. 2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES ∑1∞4N2+32+8N22N.Processing math: 9% A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência. B) É divergente. C) É condicionalmente convergente. D) É convergente, porém não é absolutamente convergente. E) É absolutamente convergente. 3. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES ∑1∞ΠARCTG( K)K. A) Nada se pode concluir quanto à sua convergência. B) É divergente. C) É condicionalmente convergente. D) É convergente, porém não é absolutamente convergente. E)É absolutamente convergente. 4. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑1∞33N+9. A) É divergente. B) É convergente com soma no intervalo 13,12. C) É convergente com soma no intervalo 14,32. D) É convergente com soma no intervalo 14,13. E) É convergente com soma no intervalo 1,2. 5. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN=∑1∞52N-1 E TN=∑1∞N+1N3+N Processing math: 9% A) Ambas são divergentes. B) Ambas são convergentes C) A série sn é divergente e tn é convergente. D) A série sn é convergente e tn é divergente. E) Não é possível analisar a convergência das séries. 6. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN=∑1∞8K2+1 E TN=∑1∞3KK2+1 A) Ambas são divergentes. B) Ambas são convergentes C) A série sn é divergente e tn é convergente. D) A série sn é convergente e tn é divergente. E) Não é possível analisar a convergência das séries. GABARITO 1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞ekk. A alternativa "A " está correta. Como k≥1 então ek≥1. Assim ekk≥ 1k Sabemos que a série harmônica ∑1∞1k é divergente. Assim, pelo teorema da comparação, como enn≥ 1n para todo n≥1 e ∑1∞1k é divergente, então ∑1∞ekk é divergente. 2. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑1∞4n2+32+8n22n. A alternativa "E " está correta. Como 4n2+32+8n22n é positivo, podemos usar teste da raiz. SeProcessing math: 9% an=4n2+32+8n22n→ann=4n2+32+8n22nn=4n2+32+8n22 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim: limn→∞ann=limn→∞4n2+32+8n22=limn→∞4n28n22=14<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, a série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz. 3. Marque a alternativa correta em relação às séries ∑1∞πarctg( k)k. A alternativa "B " está correta. Como πarctg(n)n é positivo, podemos usar o teste da raiz. Se an=πarctg(n)n→ann=πarctg(n) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, limn→∞ann=limn→∞πarctg(n)=ππ2=2>1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, a série será divergente de acordo com o teste da raiz. 4. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞33n+9. A alternativa "C " está correta. Usando o teorema da comparação do limite, sabemos que a série geométrica com termo bn=33n é convergente. limn→∞anbn=limn→∞33n+933n=limn→∞3n3n+9=limn→∞11+93n=1>0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑1∞33n é convergente e limn→∞anbn=1,, então ∑1∞33n+9 também será convergente. Para estimar a soma: As parcelas são positivas, sendo uma série crescente. Para n=1→33n+9=33+9=14, podemos concluir que S>14.Processing math: 9% Como 3n3n+9<33n, então: S=limn→∞∑1∞3n3n+9<limn→∞∑1∞313n= T Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 1 e razão 13. Assim, T=b11-q=11-13=123=32 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, 14<S<32 5. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞52n-1 e tn=∑1∞n+1n3+n A alternativa "D " está correta. Vamos analisar a primeira série sn Usando o teorema da comparação do limite. Nós sabemos que a série geométrica com termo bn=52n é convergente. limn→∞anbn=limn→∞52n-152n=limn→∞2n2n-1=limn→∞11-12n=1>0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑1∞52n é convergente e limn→∞52n-152n=1 então ∑1∞52n-1 também será convergente. Analisando agora a segunda série tn. Usando o teorema da comparação do limite. Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo bn=nn3=n1-32=n-12=1n Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como limn→∞bn=limn→∞1n=∞ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, como o termo não tende a zero a série é divergente. Processing math: 9% limn→∞anbn=limn→∞n+1n3+n1n=limn→∞(n+1)nn3+1=limn→∞nnn3=limn→∞1=1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim pelo teorema da comparação do limite como a série ∑1∞1n é divergente e limn→∞n+1n3+n1n=1 então ∑1∞n+1n3+n também será divergente. Portanto a resposta é alternativa d. 6. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞8k2+1 e tn=∑1∞3kk2+1 A alternativa "D " está correta. TESTE DA INTEGRAL GABARITO TEORIA NA PRÁTICA O depósito de rejeitos em um reservatório a cada dia segue uma série numérica dada pela fórmula d_n=\sum_{1}^{\infty}{\frac{1000}{n}\ 3^{-n}}, em que n representa o tempo em dias e dn indica a quantidade de depósito de material em toneladas. Você está interessado em estimar se a quantidade do depósito estará limitada a um determinado valor. Verifique o depósito do material para quando o número de dias crescer infinitamente. RESOLUÇÃO Processing math: 9% TESTE DA COMPARAÇÃO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO À SÉRIE ∑1∞12+4N. A) É divergente. B) É convergente com soma no intervalo 16,13. C) É convergente com soma no intervalo 14,32. D) É convergente com soma no intervalo 14,13. E) É convergente com soma no intervalo 1,2. 2. MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA EM RELAÇÃO ÀS SÉRIES SN=∑1∞4K+1K! E TN=∑1∞-1K-1(K+1)44K+1. A) Ambas são divergentes. B) Ambas são convergentes C) A série sn é divergente e tn é convergente.Processing math: 9% D) A série sn é convergente e tn é divergente. E) Não é possível analisar a convergência das séries. GABARITO 1. Marque a alternativa correta em relação à série ∑1∞12+4n. A alternativa "B " está correta. Sabemos que a série geométrica com termo bn=14n é convergente. limn→∞anbn=limn→∞12+4n14n=limn→∞4n4n+2=limn→∞11+24n=1>0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série ∑1∞14n é convergente e limn→∞anbn=1, então ∑1∞12n+2 também será convergente. Para estimar a soma: As parcelas são positivas, sendo uma série crescente. Para n=1→12+4n=16=16, podemos concluir que S>16. Como 12+4n<14n, então: S=limn→∞∑1∞1n2+4n<limn→∞∑1∞14n= T Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A soma T pode ser obtida por uma soma de PG infinita de primeiro termo 14 e razão 14. Assim, T=b11-q=141-14=1434=13 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto, 16<S<13 2. Marque a alternativa correta em relação às séries sn=∑1∞4k+1k! e tn=∑1∞-1k- 1(k+1)44k+1. A alternativa "B " está correta. Processing math: 9% Vamos analisar a primeira série sn: an+1an=4k+2k+1!4k+1k!=4k+24k+1.k!k+1!=4k+1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando o limite abaixo: limn→∞an+1an=limn→∞4k+1=limn→∞4k+1=0<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente. Analisando a segunda série: bn+1bn=-1n(n+2)44n+2-1n-1(n+1)44n+1=-1n+2n+144n+14n+2=-14n+2n+14 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando o limite a seguir: limn→∞an+1an=limn→∞-14n+2n+14=limn→∞14n+2n+14=14.1=14<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente. MÓDULO 3 Definir as séries de potências e as séries trigonométricas Processing math: 9% SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS INTRODUÇÃO Processing math: 9% Nesse módulo, introduziremos o conceito da série de funções. Dentre as séries de funções existem alguns tipos de grande aplicação, principalmente na aproximação de funções matemáticas. Nesse módulo, estudaremos as séries de potênciae as séries trigonométricas. SÉRIES DE FUNÇÕES Nos módulos anteriores estudamos as séries numéricas, em que se obtinha uma série associada a uma sequência de números. Vamos agora ampliar este conceito. Vamos criar uma série que dependa do valor de uma variável independente x, ou seja, uma série que, variando o valor de x, origina em séries numéricas diferentes. Seja uma sequência dada por funções fn(x), podemos definir uma série: SNX=∑1NFK(X) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Sua soma dada por: SX=∑1∞FK(X)Processing math: 9% Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal REPARE QUE TANTO OS TERMOS DA SÉRIE (SN) COMO A SOMA (S) TERÃO VALORES QUE VARIAM COM X. EM OUTRAS PALAVRAS, TEREMOS UMA SÉRIE NUMÉRICA DIFERENTE PARA CADA VALOR DE X. ESSE TIPO DE SÉRIE É DENOMINADO SÉRIE DE FUNÇÕES. Um ponto importante é que a série pode convergir para certos valores de x e divergir para outros. Por exemplo: SNX=∑1N1KXK Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare que para cada valor de x as séries obtidas serão diferentes. EXEMPLO Vamos exemplificar para dois valores de x: x=1→sn1=∑1n1k1k=1+12+13+…+1n x=2→sn2=∑1n1k2k=2+2+83+…+2nn Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Dentre essas séries de funções, algumas têm grande importância, pois são utilizadas para aproximação de funções matemáticas. Estudaremos nesse módulo as séries de potências e asProcessing math: 9% séries trigonométricas. SÉRIES DE POTÊNCIAS Um tipo de série de grande aplicação são as séries de potências. Diversas funções na matemática podem ser expressas, ou aproximadas, como uma série de potência; por isso, sua importância. Seja an uma sequência e x0 um número real. A série de potências será uma série de funções do tipo: ∑0∞AN(X-X0)N Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Essa série será denominada de série de potências com coeficientes an, ao redor ou centrada em x0. ATENÇÃO Repare que a série de potência é uma generalização de um polinômio. A série de potência centrada no zero, isso é, x0 = 0, será dada por: ∑0∞ANXN=A0+A1X+A2X2+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Os coeficientes podem ser números ou funções da posição, isso é, funções da variável n. Processing math: 9% Por exemplo, seja a série de potências cujo coeficientes são dados por a_n=\frac{1}{n!}, centrada no zero; assim, a série será: ∑N=0∞XNN!=1+X+X22+X36+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como as séries de potência são generalizações de um polinômio, elas podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas entre si. Basta realizar as operações como se estivessem realizando a operação com polinômios. A série de potência pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros. ATENÇÃO O intervalo que contém os valores de x nos quais a série é convergente é denominado de intervalo de convergência. Vamos agora estudar uma importante propriedade da série de potências que será útil na demonstração do teorema relacionado ao raio de convergência da série. TEOREMA AUXILIAR SE A SÉRIE ∑N=0∞ANXN FOR CONVERGENTE PARA X=XC, COM XC≠0, A SÉRIE CONVERGIRÁ ABSOLUTAMENTE PARA TODOS OS VALORES DE X NO INTERVALO ABERTO -XC,XC Vamos ver um exemplo da aplicação desse teorema auxiliar. Processing math: 9% Seja a série de potências: ∑N=1∞XNN! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para x = – 1 essa série será transformada em \sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^n\frac{1}{n!}} Vamos provar que essa série converge. Para isso, vamos usar o teorema da convergência para uma série alternada. TESTE DA SÉRIE ALTERNADA SEJA A SÉRIE ALTERNADA ∑1∞(-1)N-1AN=A1-A2+A3- A4+…, COM A_N POSITIVO. SEAN+1≤AN E LIMN→∞AN=0, ESTA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE. O entendimento desse teorema é simples. Se o termo posterior é sempre menor do que o anterior, cada vez mais, com o crescimento de n, diminui a contribuição ao somatório. Como os termos tendem a zero, a partir de um certo momento, as contribuições das novas parcelas tendem a zero, fazendo com que a série seja convergente a um valor real. Se usarmos o teste de convergência para uma série alternada, podemos verificar que a série \sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^n\frac{1}{n!}} será convergente, pois é uma série alternada com: 1N+1!<1N!→AN+1<AN E LIMN→∞AN=LIMN→∞1N!=0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então, podemos dizer que a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} é convergente para x = – 1. Assim, pelo teorema auxiliar, podemos concluir que se \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} é Processing math: 9% convergente para x = – 1. Então, será absolutamente convergente para ( – 1 , 1) . Assim, obtendo um ponto de convergência da série, podemos definir um intervalo em que a série é absolutamente convergente. Agora, podemos enunciar um teorema importante relacionado ao intervalo de convergência da série de potência. TEOREMA Para uma dada série de potência centrada em x0: ∑N=0∞AN(X-X0)N Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Existem apenas três possibilidades: 01 Ou a série converge apenas para x = x_0; 02 Ou a série converge absolutamente para todo x real; 03 Ou existe um número real R > 0 tal que a série converge absolutamente para todo x no intervalo x-x0<R e diverge para todo x no intervalo x-x0>R. Nos pontos x = x_0 – R e x = x_0 + R a série poderá convergir ou divergir. Assim, o caso (3) pode ser representado pela figura a seguir. Processing math: 9% javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira. DICA Caso você se interesse pela demonstração desse teorema, pode estudar as obras de referência desse tema. O número R é denominado de raio de convergência da série de potências. Assim, no caso (1), o valor de R = 0 e, no caso (2), o valor de R = \infty. O intervalo de convergência para o caso (1) será apenas o ponto x = x_0, no caso (2) será -∞<x<∞ e no caso (3) será x0-R<x<x0+R. Os testes de convergência estudados no módulo anterior devem ser usados para se verificar o valor do raio de convergência e para se checar a convergência ou não para x = x_0 – R e x = x_0 + R. EXEMPLO 24 Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{k!\ x^k}, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série. RESOLUÇÃO Usando o teste da razão: Processing math: 9% AN+1AN=N+1! XN+1N! XN=X (N+1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞x (n+1). Para x=0→limn→∞x (n+1)=0, a série será absolutamente convergente; Para x≠0→limn→∞x (n+1)→∞>1, a série será divergente. O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será x = 0. EXEMPLO 25 Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{{(-1)}^k\frac{x^{2k}} {2^{2k}\left(k!\right)^2}}, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série. RESOLUÇÃO Usando o teste da razão: an+1an= (-1)n+1x2(n+1)22(n+1)n+1!2(-1)nx2n22nn!2=-122n22n+1x2n+2x2nn!n+1!2=-1x21(n+1)2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞(-1)x21(n+1)2=limn→∞x21(n+1)2=0<1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Observe que para todos os valores de x o limite será menor do que 1 e, pelo teste da razão, será absolutamente convergente. Assim, o raio de convergência será \infty e o intervalo de convergência será (-\infty,\infty). EXEMPLO 26Processing math: 9% Verifique a convergência da série de potência \sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série. RESOLUÇÃO Usando o teste da razão: an+1an=1(n+1)(x+1)n+11n(x+1)n=nn+1x+1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞nn+1(x+1)=x+1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim: x+1<1→x+1<1→x<0x+1>-1→x>-2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para x no intervalo (– 2 , 0), a série será convergente. x+1>1→x+1>1→x>0x+1<-1→x<-2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para x no intervalo (-\infty,– 2) e (0, \infty), a série será divergente. Necessitamos analisar para x=0 e x=–2, pois para estes valores o teste da razão é não conclusivo pois o limite dará 1. Fazendo x=0 \rightarrow\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{k}, que é uma série harmônica que já sabemos que é divergente. Fazendo x=–2 \rightarrow\sum_{1}^{\infty}{\frac{1}{k}{(x+1)}^k}=\sum_{1}^{\infty} {{(-1)}^k\frac{1}{k}}, que é uma série alternada Pelo critério da série alternada, será uma série convergente. Assim o intervalo de convergência será –2≤x<0. O raio de convergência R será 1, pois a série será convergente para x+1<1. Processing math: 9% PODEMOS REPRESENTAR ALGUMAS FUNÇÕES F(X) ATRAVÉS DE UMA SÉRIE DE POTÊNCIAS, ISSO É: FX=∑N=0∞AN(X-X0)N Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma função expressa por uma série de potência centrada em x0 é dita função analítica em x0. Nesse caso, o domínio da função f(x) será o intervalo de x, ao redor de x0, em que a série converge. SAIBA MAIS Uma função analítica será contínua no seu domínio e poderá ser derivável e integrável. Vamos agora estudar dois casos particulares de séries de potência utilizados para aproximar funções, que são as séries de Taylor e de Maclaurin. SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN Vimos que algumas funções podem ser representadas por uma série de potências. FX=∑N=0∞AN(X-X0)N FX=A0+A1X-X0+A2X-X02+…Processing math: 9% Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos obter os valores dos coeficientes em função do valor de f. FX0=A0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Se: FX=A0+A1X-X0+A2X-X02+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Então: F'X=A1+2A2X-X0+3A3X-X02+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal e F'(X0)=A1=1! A1→A1=F'(X0)1! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repetindo os passos: F''X=2A2+6A3X-X0+12A3X-X02+… Processing math: 9% Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E: F''X0=1. 2 A2=2!A2→A2=F''(X0)2! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repetindo mais uma vez: F'''X=6 A3+24 A3X-X0+60 A3X-X02+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E: F'''X0=2.3 A3=3!A3→A3=F'''(X0)3! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal De forma análoga, seguindo os mesmos passos podemos obter que: AN=F(N)(X0)N! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Podemos colocar agora essa descoberta na forma de um teorema. Se a função f(x) tiver uma representação através de uma série de potências em x0, isso é: Processing math: 9% FX=∑N=0∞AN(X-X0)N, COM X-X0<R Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Seus coeficientes an serão dadas pela fórmula: AN=F(N)X0N! Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo esses coeficientes na série, podemos representar a função f(x) por: FX=∑N=0∞F(N)X0N!(X-X0)N FX=FX0+F'X01!X-X0+F''X02!X-X02+F'''X03!X-X03+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Essa série será denominada de série de Taylor da função f(x) centrada em x0. Utilizamos a mesma para aproximar uma função ao redor de x0. Para o caso de x0 = 0, a série de Taylor se torna: FX=∑N=0∞F(N)0N!XN=F0+F'01!X+F''02!X2+F'''03!X3+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math: 9% ATENÇÃO Esse caso particular aparece com frequência e recebe um nome especial: série de Maclaurin. EXEMPLO 27 Represente a função f(x) = cos x através de uma série de Taylor centrada em x = \frac{\pi}{4}. RESOLUÇÃO Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, necessitamos das derivadas da função f(x) = cos (x) e o valor de f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. f’(x)=–sen(x)→f'π4=-22 f’’(x)=–cos(x) →f''π4=-22 f’’’(x)=sen(x) →f'''π4=22 f(4)(x)=cos(x) →f(4)π4=22 E assim sucessivamente. A série de Taylor será: fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+f'''x03!x-x03+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo os valores: fx=22-22x-π4+24x-π42+212x-π43+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma função pode ter uma boa aproximação através da série de Taylor (T_n(x)) ou não. Isso é medido por uma função denominada de resto (R_n(x)). Processing math: 9% FX=TNX+RN(X) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal DICA Esse assunto não será abordado, mas pode ser estudado, se for o caso, nas referências que se encontram no fim desse tema. Mas podemos adiantar que funções que são infinitamente deriváveis possuem uma aproximação através de séries de Taylor. Agora, vamos estudar um outro tipo de séries de funções denominado séries trigonométricas. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS Outro tipo de série de grande aplicação são as séries trigonométricas. Elas serão a base das Séries de Fourier, de grande aplicação na matemática para aproximação de funções. Seja an uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo: SNX=∑0NANCOSNX+BNSEN(NX) e SX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Processing math: 9% SAIBA MAIS O nome “trigonométrica” vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções trigonométricas em seno e cosseno. Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno como a cosseno são periódicas, com um período de 2π. Em outras palavras, a série se repete a cada período de x = 2π. Assim, s_n\left(x\right)=s_n\left(x+2k\pi\right) e S(x) = S(x+2kπ), com k inteiro. Agora, vamos recordar os conceitos de função par e função ímpar: A função g(x) será uma função par se e somente se g(x) = g( – x ) para todo x do seu domínio; A função g(x) será uma função ímpar se e somente se g(x) = – g( – x ) para todo x do seu domínio. Assim, vemos que cos(x) é uma função par e sen(x) é uma função ímpar. Dessa forma, representaremos: Séries trigonométricas pares (bn = 0 para todo n): Sx=∑0∞ancosnx. Séries trigonométricas ímpares (an = 0 para todo n): Sx=∑0∞bnsen nx. EXEMPLO Como exemplo de série trigonométrica, podemos citar a série de Fourier. A série de Fourier pode ser usada para aproximar funções, principalmente as funções que apresentam uma certa periodicidade. Para a série de Fourier, sendo: FX=∑0∞ANCOSNX+BNSEN(NX)Processing math: 9% Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Temos os seguintes coeficientes: A0=1Π∫-ΠΠFXDX AN=1Π∫-ΠΠFXCOSNXDX , N ≥1 BN=1Π∫-ΠΠFXSENNXDX , N ≥1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞(X+1)KK! : A) 12 e-12,12 B) 1 e-12,12 C) 0 e 12 D) 12 e-1,12 E) ∞ e -∞,∞ Processing math: 9% 2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SÉRIE TRIGONOMÉTRICA ÍMPAR. A) ∑0∞1ncosnx-1nsen(nx) B) ∑0∞n+1cosnx-nsen(nx) C) ∑0∞ln(nx) D) ∑0∞1n(x+1) E) ∑0∞n+1sen(nx) 3. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA,RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞ X-2KK+1:: A) 2 e-2,1 B) 1 e-2,1 C) 0 e 2 D) 12 e-1,12 E) ∞ e -∞,∞ 4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN PARA A FUNÇÃO F(X) = (1 – X )– 1 A) fx=1-x+x2-x3+… B) fx=1+2x+6x2+24x3+… C) fx=1+x+x2+x3+… D) fx=1-2x+6x2-24x3+… E) fx=x+x2+x3+x4+… Processing math: 9% 5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE TAYLOR PARA A FUNÇÃO F(X) = SEN X CENTRADA NO PONTO X=Π6. A) fx=12-32x-π6-14x-π62-312x-π63-148x-π64+… B) fx=12+32x-π6-14x-π62-312x-π63+148x-π64+… C) fx=12+32x-π6+14x-π62+312x-π63+148x-π64+… D) fx=12+12x-π6-34x-π62-112x-π63+348x-π64+… E) fx=12+22x-π6-14x-π62-212x-π63+148x-π64+… 6. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞(-2)KXKK4: A) 12 e-12,12 B) 1 e-12,12 C) 0 e 12 D) 12 e-1,12 E) ∞ e -∞,∞ GABARITO 1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑1∞(x+1)kk! : A alternativa "E " está correta. Usando o teste da razão: an+1an=(x+1)n+1n+1!(x+1)nn!=x+11(n+1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞x+1n+1=0 Assim, o limite é menor do que 1 para todo x, pelo teste da razão será absolutamente convergente para todo x.Processing math: 9% Assim, o raio de convergência será ∞ e o intervalo de convergência será (-∞,∞). 2. Marque a alternativa que apresenta uma série trigonométrica ímpar. A alternativa "E " está correta. Uma série trigonométrica ímpar é aquela com forma ∑0∞ansen(nx) Analisando as opções, a única que apresenta essa forma é a letra e. A letra a e b apresentam as funções cos(nx) que não são ímpares. As funções da letra c e d não são funções trigonométricas. 3. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑1∞ x-2kk+1:: A alternativa "C " está correta. Usando o teste da razão: an+1an=x-2n+1n+2!x-2nn+1!=(x-2) (n+2) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞(x-2) (n+2). Para x – 2 = 0→x=2→limn→∞(x-2) (n+2)=0, então a série será absolutamente convergente; Para x≠2→limn→∞(x-2) (n+2)→∞>1, então a série será divergente. O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será x = 2. 4. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin para a função f(x) = (1 – x )– 1 A alternativa "C " está correta. SÉRIES DE MACLAURIN Processing math: 9% 5. Marque a alternativa que apresenta a série de Taylor para a função f(x) = sen x centrada no ponto x=π6. A alternativa "B " está correta. Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, precisamos das derivadas da função f(x) = sen (x) e o valor de fπ6=12. f’(x)=cos(x)→f'π6=32 f’’(x)=–sen(x) →f''π6=-12 f’’’(x)=–cos(x) →f'''π6=-32 f(4)(x)=sen(x) →f(4)π6=12 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal e assim sucessivamente. A série de Taylor será: fx=fx0+f'x01!x-x0+f''x02!x-x02+f'''x03!x-x03+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo os valores: fx=12+32x-π6-14x-π62-312x-π63+148x-π64+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑1∞(-2)kxkk4: A alternativa "A " está correta. SÉRIES DE POTÊNCIAS Processing math: 9% GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Seja f(x) = 2 ln (x). Utilize a série de Taylor, até seu termo de quarta ordem, centrada no ponto x = 1, para obter o valor de f(x) nos pontos x = 1 – 0,001 e x = 1 + 0,001. RESOLUÇÃO SÉRIE DE TAYLOR VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. DETERMINE O RAIO E O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA, RESPECTIVAMENTE, DA SÉRIE DE POTÊNCIA ∑1∞ X+8KK+3: A) 2 e-8,1 B) 1 e 1,8 C) 0 e -8Processing math: 9% D) ∞ e -8 E) ∞ e -∞,∞ 2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A SÉRIE DE MACLAURIN DA FUNÇÃO F(X) = E5X. A) fx=1+5x+252x2+1253x3+… B) fx=1-5x+252x2-1256x3+… C) fx=1+5x+25x2+125x3+… D) fx=1+5x+252x2+1256x3+… E) fx=1+x+x2+x3+… GABARITO 1. Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência ∑1∞ x+8kk+3: A alternativa "C " está correta. Usando o teste da razão: an+1an=x+8n+1n+4!x+8nn+3!=(x+8) (n+4) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos analisar limn→∞(x+8)(n+4). Para x + 8 = 0→x=-8→limn→∞(x+8) (n+4)=0. Então, a série será absolutamente convergente; Para x≠–8→limn→∞(x+8) (n+4)→∞>1 Então, a série será divergente. O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será x = – 8. 2. Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f(x) = e5X. A alternativa "D " está correta. Processing math: 9% A série de Maclaurin será: fx=∑n=0∞f(n)0n!xn=f0+f'01!x+f''02!x2+f'''03!x3+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Necessitamos obter os valores dos coeficientes; para isso, precisamos das derivadas da função f(x) = e5x e o valor de f0=1. f’(x)=5e5x→f'0=5 f’’(x)=25e5x→f'0=25 f’’(x)=25e5x→f'0=25 f(4n)(x)=625e5x→f'0=625 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A série de Maclaurin será substituindo os valores fx=1+5x+252x2+1256x3+… Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Esse tema apresentou o conceito das séries. No primeiro módulo, apresentamos a definição e os conceitos iniciais da série numérica. No módulo dois, os testes de convergência que permitem verificar se uma determinada série é ou não convergente. No último módulo, apresentamos duas séries de funções, séries de potências e séries trigonométricas, de grande aplicação na aproximação de funções. Assim, esperamos que, ao chegar ao fim desse tema, você tenha capacidade de resolver os problemas de séries. Processing math: 9% AVALIAÇÃO DO TEMA: REFERÊNCIAS GUIDORIZZI, H.L. Cálculo. Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 2, p. 15-35, cap. 3, p. 36-65, cap.4, p. 66-74 HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 9, p.417-454 STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 11, p. 698- 791. EXPLORE+ Pesquise mais sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas aplicações na internet e em nossas referências. CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES Processing math: 9% javascript:void(0);
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