Mec. Geral UEL

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MECÂNICA GERAL
ANTONIO EDSON GONÇALVES
13 de abril de 2015
2
Antonio Edson Gonçalves
Depto de Física - Centro de Ciências Exatas
Universidade Estadual de Londrina
Cx. Posta 86100 -Londrina - Paraná
goncalve@uel.br
01.07.2010
Sumário
1 Matrizes, Vetores e Cálculo Vetorial 13
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 O conceito de escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Transformação das coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Propriedades das Matrizes de Rotações . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Algumas Propriedades e Definições Adicionais . . . . . . . . . 27
1.7 O Significado Geométrico das Matrizes de Transformações . . 32
1.8 Definição de Escalar e Vetor em Termos das Propriedades de
Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 Operações Elementares com Vetores e Escalares . . . . . . . . 40
1.10 O Produto Escalar ou Interno de Dois Vetores. . . . . . . . . . 41
1.11 Vetores Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.12 O Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.13 Derivada de um Vetor com Relação a um Escalar . . . . . . . 50
1.14 Exemplos de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.14.1 Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Coordena-
das Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.15 Coordenadas Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.15.1 Cossenos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.15.2 Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé . . . . . . . 57
1.15.3 O Elemento de Volume e Operadores Diferenciais em
Coordenadas Curvilineares. . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.16 Os vetores Posição, Velocidade e Aceleração em Coordenadas
Curvilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.16.1 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas
Polares (r, φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.16.2 Os Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenadas
Cilindricas (ρ, φ, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
4 SUMÁRIO
1.16.3 Vetores Velocidade e Aceleração em Coordenada Esfé-
ricas (r, θ. φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.17 A velocidade Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.18 O Operador Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.19 Integral de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2 Mecânica Newtoniana - Dinâmica de uma partícula. 97
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2 As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Sistemas de Coordenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4 As Equações de Movimeto de uma Partícula. . . . . . . . . . . 101
2.4.1 Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5 Teoremas de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.5.1 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6 Os Limites de Validade da Mecânica Clássica. . . . . . . . . . 145
3 Oscilações 153
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2 O Oscilador Harmônico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3 Oscilações Harmônicas em Duas Dimensões. . . . . . . . . . . 157
3.3.1 Solução da equação de movimento (3.3.1) em coorde-
nadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.2 Solução da equação de movimento (3.3.1) em coorde-
nadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3.2.1 Solução via Equação de Movimento . . . . . . 160
3.3.2.2 Solução via Integral Primeira de Movimento. . 162
4 Gravitação 165
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.2 O Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.2.1 O Significado Físico do Potencial Gravitacional . . . . 170
4.3 A Lei de Gauss e a Equação de Poisson . . . . . . . . . . . . . 172
A Equações Diferencias de 2a Ordem Inomogêneas. 179
A.1 Funções de Green em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . 179
A.1.1 Algumas Propriedades da Função de Green . . . . . . . 181
B Tópicos em Funções Analíticas 185
B.1 O Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.2 A função de Heaviside ou Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.3 Solução Partícular da Equação Diferencial . . . . . . . . . . . 190
SUMÁRIO 5
B.4 Solução da Equação Homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Appendix 179
Referências Bibliográficas 191
Índice 192
6 SUMÁRIO
Lista de Figuras
1.2.1 Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’ . . . . . . . 14
1.3.1 Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coorde-
nadas S e S ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Rotação de S ′com relação a S ao redor do eixo x1 . . . . . . . 19
1.4.1 Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coorde-
nadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha definido
pelo ponto de coordenadas (α′, β′, γ′). . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadas
esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.3 Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o ponto
P é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P . . . . . 25
1.4.4 Rotação do ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Rotação do sistema ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2 Rotação do sistema ao redor do eixo x1 . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.3 Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah ao
redor do eixo x3para em seguida ser girado no sah, também
de 90o, ao redor do novo eixo x′1. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.4 Exemplo da não comutatividade de rotações. . . . . . . . . . . 36
1.7.5 Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ no
sah ao redor do eixo x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.6 Inversão total dos eixos do sistema S . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.1Componente A1,, A2, A3 do vetor A no sistema de coordena-
das x1, x2, x3. Também é mostrado o angulo α entre o vetor
A e o eixo x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.1Projeção do vetor B na direção do vetor A . . . . . . . . . . . 45
1.12.1O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área do
paralelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores A
e B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.13.1Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quando
o parâmetro s varia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7
8 LISTA DE FIGURAS
1.15.1Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem os
vetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadas
curvilineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.16.1Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.16.2Coordenadas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.17.1Movimento circular de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . 75
1.17.2Rotação infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.18.1Significado geométrico do gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.19.1Elemento diferencial de área da e sua direção normal à superfície 84
1.19.2O elemento diferencial de área de uma superfície que limita o
volume V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.19.3a figura mostra um contorno C que limita uma superfície
aberta e orientada. A dorientação do vetor unitário foi esco-
lhida de tal forma que um observador caminhando na fonteira
da superfície (curva C) tem o interior a sua esquerda. . . . . 85
1.19.4Geometriada integração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.19.5Geometria da integral do fluxo do campo A através de um
octante do cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.19.6Geometria da integração esférica . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.19.7Volume de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.3.1 Sistema de Coordenadas não inercial . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4.1 Bloco no plano inclinado: (a) deslizando sem atrito e (b) em
repouso com coeficiente de atrito estático µe. . . . . . . . . . . 101
2.4.2 Partícula em movimento horizontal com atrito . . . . . . . . . 104
2.4.3 Gráficos das funções x(t) e v(t) com κ = 1/s e v0 = 10m/s. . . 106
2.4.4 Partícula em queda livre num meio resistivo. . . . . . . . . . . 107
2.4.5 Gráfico da velocidade para diferentes valores do módulo da
velocidade inicial v0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.4.6 Movimento de um projétil num meio sem atrito e com campo
graviatacional uniforme de módulo g. . . . . . . . . . . . . . . 111
2.4.7 Gráfico da trajetória y(x) para as condições iniciais reais do
Canhão Kaiser Wilhelm Geschütz: v0 = 2000m/s, θ = 55opara
κ = 0, 10−2, 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.4.8 Tempo de voo T em função do coeficiente κ. Condições Iniciais
v0 = 2000m/s, θ = 55o, g ∼ 10m/s2. . . . . . . . . . . . . . . 120
2.4.9 Partícula de massa m e carga elétrica e em um campo eletro-
magnético externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.4.10Trajetória gerada pelas curvas paramétricas x(t), y(t) e z(t) . 126
2.5.1 Diferentes trajetórias de integração . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.2 Disco de raio R que gira com velocidade angular constante ω0 132
LISTA DE FIGURAS 9
2.5.3 Energia Total, Cinética e Potencial . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.5.4 Pontos de equilírio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.5.5 Potencial da molécula de amônia . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.0.1 Figura do problema 2.0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.1.1 Força restauradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.1 Energias cinética, potencial e total . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.2.2 Pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3.1 Trajetorias para A = B e δ = 0, pi, 2pi, pi/2, 3pi/2, pi/3, 2pi/3 159
3.3.2 Coordenadas polares de uma partícula sob a ação de uma força F160
4.1.1 Sistema referência para força gravitacional . . . . . . . . . . . 166
4.1.2 Experimento de Cavandish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.1.3 Integral volumétrica da força de interação gravitacional . . . . 167
4.3.1 Superfície arbitrária envolvendo uma massa m . . . . . . . . . 173
4.3.2 Camada de massa com raio interno b e externo a . . . . . . . . 175
A.1.1Contorno C para a integral da função de Green . . . . . . . . 181
A.1.2Contorno no semi-plano superior par o cálculo da integral I . 184
B.2.1Função de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B.2.2Contornos de integração para a função degrau . . . . . . . . . 188
10 LISTA DE FIGURAS
Lista de Tabelas
11
12 LISTA DE TABELAS
Capítulo 1
Matrizes, Vetores e Cálculo
Vetorial
1.1 Introdução
A descrição1 de um dado fenômeno físico, deve ser independente da escolha
do sistema de coordenadas utilizados para descrevê-lo, por exemplo a escolha
de coordenadas polares, cartesianas ou esféricas não deve interferir no resul-
tado final. Isto porque uma medida de uma determinada grandeza física tal
como velocidade de uma partícula ou sua massa não pode ser afetada pela
escolha do sitema de coordenadas. Certamente essa escolha é determinada
pela simplicidade da forma que as equações de movimento terão num dado
sitema de coordenadas.
Neste contexto, a descrição de fenômenos físicos utilizando o formalismo
vetorial é apropriado já que permite apresentar as equações de forma concisa,
compacta, de forma invariante com relação as transformações ortogonais e
independente da origem do sistema de coordenadas.
O conceito de vetor como uma quantidade que possui módulo, direção e
sentido é útil para o desenvolvimento conceitual e para uma identificação mais
direta (menos abstrata) de algumas grandezas físicas. Considerando que o
estudante já possui este conhecimento, os vetores são discutidos no contexto
de matrizes para evidenciar suas propriedades com relação as transformações
de coordenadas. A notação matricial e a convenção de soma de Einstein se-
rão amplamente utilizadas em todas as operações com matrizes, objetivando
expor ao estudante a notação utilizada no formalismo tensorial.
1O material deste capítulo é, em parte, baseado na referência ? .
13
14 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.2.1: Grandeza escalar com relação aos sistemas S e S’
1.2 O conceito de escalar
Considere o arranjo de esferas mostrados na figura 1.2.1 . Este consiste de
esferas com diferentes cores, aqui representado uma propriedade física do
sistema, por exemplo a massa ou o número quântico “color” que na Eletrodi-
nâmica Quântica descreve uma propriedade física dos quarqs. No sistema de
coordenadas S, a propriedade cor de uma esfera pode ser representada pelo
par de números (x, y), por exemplo
M(1, 2) = vermelho,
M(2, 2) = verde.
Já, no sitema S ′ a cor é representada pelo par de números (x′, y′), por exemplo
M ′(1, 41′; 1, 41′) = verde.
Como a cor ou a massa não mudam quando descritos ou medidos com re-
lação a diferentes sistemas de coordenadas, definimos um escalar como
uma grandeza que sob transformação de coordenadas transforma-
se como
M(x, y) = M ′(x′, y′). (1.2.1)
Em conclusão, a massa ou “cor ” de uma partícula pode ser descrita
por um número com relação a um dado sistema de coordenadas, entretanto
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS 15
outras grandezas físicas que caracterizam a partícula (por exemplos distância
ou velocidade) não podem ser descritas de forma tão simples, para isto será
necessário a utilização de vetores. Análogamente ao escalar que permanece
invariante sob transformações do sistema de coordenadas, o vetor pode ser
definido em termos de suas propriedades sob transformações do sistema de
coordenadas.
Para estudar estas transformações, iniciamos com as transformações das
coordenadas de um ponto quando o sistema de referência é girado com relação
a um eixo comum as duas origens.
1.3 Transformação das coordenadas
O objetivo desta seção é encontrar a relação entre as coordenadas de um
ponto referido a dois sistemas de coordenadas.
Considere um ponto P representado pela 3 − upla (x1, x2, x3) repre-
sentando as coordenadas de P , no sistema de coordenadas 2S. Este mesmo
ponto pode ser referido com relação a outro sistema de coordenadas, digamos
S ′, obtido do primeiro por rotação3, e neste representado pela coordenadas
(x′1, x
′
2, x
′
3) . A figura 1.3.1 fornece uma representação esquemática desta
situação.
Desta, obtem-se as equações:
a = x1 cos θ, b = x2 sin θ,
c = x1 sin θ, d = x
′
2
(1.3.1)
c+ d = x2 cos θ,
a+ b = x′1,
(1.3.2)
que fornecem as equações relacionando as coordenadas do ponto P nos dois
sistemas S e S ′
x′1 = x1 cos θ + x2 sin θ = x1 cos θ + x2 cos
(pi
2
− θ
)
,
x′2 = −x1 sin θ + x2 cos θ = x1 cos
(
θ +
pi
2
)
+ x2 cos θ.
(1.3.3)
2Sistema de coordenadas: Conjunto de três retas perpendiculares fixas com origem nas
intersecções, utilizado para localizar pontos no espaço.
3O sistema S′pode ser obtido de forma geral por rotação e translação, para a discussão
inicial será considerada somente rotação
16 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.3.1: Coordenadas do ponto P com relação ao sistemas de coorde-
nadas S e S ′.
Uma mudança de notação mostra-se apropriada. O angulo θ que aparece nasequações anteriores é o angulo entre os eixos x′1 e x1, que será representado
como
(x′i, xj),
e o número cos(x′i, xj) por
λij ≡ cos(x′i, xj). (1.3.4)
Utilizando a figura 1.3.1 encontra-se os diversos números λij
λ11 = cos(x
′
1, x1) = cos θ,
λ12 = cos(x
′
1, x2) = cos(
pi
2
− θ) = sin θ
λ21 = cos(x
′
2, x1) = cos(
pi
2
+ θ) = − sin θ,
λ22 = cos(x
′
2, x2) = cos θ.
Destas equações encontramos que
λ11 = λ22; λ12 = −λ21;
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS 17
esta propriedades serão responsáveis pelas propriedades da matriz que estu-
daremos logo adiante. Em função deste parâmetros (λij) as equações (1.3.3)
tornam-se
x′1 = λ11x1 + λ12x2,
x′2 = λ21x1 + λ22x2.
(1.3.5)
Estas equações evidenciam a vantagem desta notação: em λ,os índices da
esquerda referem-se as coordenadas de S ′, enquanto que os da direita de S.
Estendendo os cálculos anteriores a três dimensões, com o eixo z perpendi-
cular ao plano xy encontra-se para λij :
λ11 = cos(x
′
1, x1) = cos θ,
λ12 = cos(x
′
1, x2) = cos(
pi
2
− θ) = sin θ,
λ13 = cos(x
′
1, x3) = cos
pi
2
= 0,
λ21 = cos(x
′
2, x1) = cos(
pi
2
+ θ) = − sin θ,
λ22 = cos(x
′
2, x2) = cos θ,
λ23 = cos(x
′
2, x3) = cos(
pi
2
) = 0,
λ31 = cos(x
′
3, x1) = cos
pi
2
= 0,
λ32 = cos(x
′
3, x2) = cos
pi
2
= 0,
λ33 = cos(x
′
3, x3) = cos 0 = 1,
e para as equações de transformação
x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3,
x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3,
x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3,
as quais podem ser escritas numa forma concisa como
x′i =
3∑
j=i
λijxj
Notaçao de Einstein−−−−−−−−−−−−−−−−→
Conv. soma indices repetidos
x′i = λijxj, i, j = 1, 2, 3. (1.3.6)
A transformação inversa é
x1 = x
′
1 cos(x
′
1, x1) + x
′
2 cos(x
′
2, x1) + x
′
3 cos(x
′
3, x1)
= x′1λ11 + x
′
2λ21 + x
′
3λ31
= λ11x
′
1 + λ21x
′
2 + λ31x
′
3,
18 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
note como “aparentemente ” a posição dos índices foi alterada. De fato os
índices de λ permanecem fixos, o que foi alterado foram as posições das
variáveis xi e x′i nas equações. Na notação de Einstein a expressão para a
coordenada x1 generalizada a todas dimensões torna-se
xi = x
′
jλji = λjix
′
j, i, j = 1, 2, 3. (1.3.7)
Os parâmetros λij são denominados de cosenos diretores dos eixos x′i
com relação aos eixos xi, na representação matricial possuem a forma
λ =
 λ11 λ12 λ13λ21 λ22 λ23
λ31 λ32 λ33
 . (1.3.8)
Uma vez encontrado os cosenos diretores, as equações de transformação
(1.3.6) e (1.3.7) ficam determinadas e desta forma determinando as relações
entre as coordenadas do ponto com relação aos sistemas S e S ′.
λ definido desta forma tem informações das propriedades de transforma-
ção das coordenadas do ponto P , por isto a matriz (1.15.4) é denominada de
matriz de transformação ou rotação.
Exemplo 1.3.1. As coordenadas de um ponto P no sistem S são (2, 1, 3),
e no sistema S ′,(x′1, x′2, x′3). Considerando que o sistema S ′ foi girado de
30ocom relação ao sistema S, ao redor do eixo x1, veja a figura 1.3.2, encontre
as coordenadas do ponto P no sitema S ′.
Para encontrar os valores das coordenadas do ponto P no sistema S ′ é
necessário calcular os cosenos diretores, λ, para esta rotação que se deu ao
redor do eixo x1. Note que na discussão efetuada no texto não foi explicitado,
mas uma rotação foi realizada ao redor do eixo x3. Como a rotação se deu
1.3. TRANSFORMAÇÃO DAS COORDENADAS 19
Figura 1.3.2: Rotação de S ′com relação a S ao redor do eixo x1
ao redor do eixo x1tem-se
λ11 = cos(x
′
1, x1) = cos 0 = 1,
λ12 = cos(x
′
1, x2) = cos
pi
2
= 0,
λ13 = cos(x
′
1, x3) = cos
pi
2
= 0,
λ21 = cos(x
′
2, x1) = cos
pi
2
= 0,
λ22 = cos(x
′
2, x2) = cos
pi
6
= 0, 866,
λ23 = cos(x
′
2, x3) = cos(
pi
2
− pi
6
) = 0, 5,
λ31 = cos(x
′
3, x1) = cos
pi
2
= 0,
λ32 = cos(x
′
3, x2) = cos(
pi
2
+
pi
6
) = −0, 5,
λ33 = cos(x
′
3, x3) = cos
pi
6
= 0, 866.
A forma matricial dos cosenos diretores é:
20 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
λ =
 1 0 00 0, 866 0, 5
0 −0, 5 0, 866
 .
Utilizando as equações (1.3.6), encontra-se que
x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3 = x1 = 2,
x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3 = 0, 866x2 + 0, 5x3 = 2, 37,
x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3 = −0, 5x2 + 0, 866x2 = 2, 1,
fornecendo para a 3-upla de coordenadas do ponto P em S ′ os valores (2, 2, 37, 2, 1).
A distância entre a origem dos sistemas de coordenadas O e o ponto P é in-
variante (um escalar!), portanto possui o mesmo valor
d =
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 =
√
x′21 + x
′2
2 + x
′2
3 = 3, 74.
1.4 Propriedades das Matrizes de Rotações
Para estudar as propriedades das matrizes de rotação é necessário conhecer
a relação que um dado eixo do sistema de coordenadas S ′ possui com os três
eixos do sistema de coordenads S,certamente estamos discutindo rotações
em 3 − d. Esta relação fornecerá informações de alguma propriedade dos
cosenos diretores λij. Na figura 1.4.1 estão esquematizados dois sistemas de
coordenadas
Figura 1.4.1: Segmento de linha (hipotenusa) definido pelo ponto de coorde-
nadas (α, β, γ). Adiciona-se outro segmento de linha definido pelo ponto de
coordenadas (α′, β′, γ′).
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES 21
sendo que um contém um seguimento de linha definido pela origem e pelo
ponto (α, β, γ) e no outro um segmento de linha definido pela origem e pelo
ponto (α′, β′, γ′), foi acrescentado, θ é o angulo entre eles. O seguimento
de linha O(α, β, γ) pode ser decomposto ao longo dos eixos x1,,x2, e x3 nos
seguimentos de linhas
Ox1 = O(α, β, γ) cosα,
Ox2 = O(α, β, γ) cos β,
Ox3 = O(α, β, γ) cos γ,
que, via Pitágoras, podem ser usados para calcular-se a diagonal principal, o
seguimento de linha O(α, β, γ). Antes, porém é necessário calcular o com-
primento da projeção da diagonal O(α, β, γ) no plano xy, seja O(α, β, γ)xy.
Obtem-se imediatamente que(
O(α, β, γ)
xy
)2
=
(
Ox1
)2
+
(
Ox2
)2
=
(
O(α, β, γ) cosα
)2
+
(
O(α, β, γ) cos β
)2
=
(
O(α, β, γ)
)2 (
cos2 α + cos2 β
)
;
e consequentemente(
O(α, β, γ)
)2
=
(
O(α, β, γ)
xy
)2
+
(
Ox3
)2
=
(
O(α, β, γ)
)2 (
cos2 α + cos2 β + cos2 γ
)
,
donde segue que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 (1.4.1)
Uma outra solução, muito mais simples. A idéia é usar coordenadas
cartesianas e esféricas para localiar um ponto no espaço a uma distância
unidade da origem do sistema de coordenadas. A configuração do problema
esta esquematizada na figura 1.4.2.
As projeções do segmento de linha OP nos eixos x1, x2, e x3 são
cosα = sin θ cosφ,
cos β = sin θ sinφ,
cos γ = cos θ.
Da figura encontra-se
cos2 θ + sin2 θ = 1⇐⇒ cos2 γ + sin2 θ = 1;
22 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.4.2: Cosenos diretores em coordenadas cartesianas e coordenadas
esféricas
porem, das equações anteriores obten-se que sin2 θ = cos2 α + cos2 β, que
substituida na equação anterior fornece a equação
cos2 γ + cos2 α + cos2 β = 1. (1.4.2)
Outra relação entre o angulo θ e os angulos α, α′, β, β′, γ, γ′, neces-
sária para a obtenção das propriedades da matriz de rotação, é4
cos θ = cosα cosα′ + cos β cos β′ + cos γ cos γ′, (1.4.3)
que não será demonstrada aqui mas será pedida como problema.
Considere que o seguimento OP ′ da figura (1.4.1) seja um dos eixos do
sistema de coordenadas S ′, por exemplo o eixo x′1. Isto possibilita identifi-
car os cosenos diretores com os parâmetros λij, e de fatos são as mesmas
quantidades! Neste caso à equação (1.4.2) corresponderá a relação
λ211 + λ
2
12 + λ
2
13 = 1, (1.4.4)
devido a correspondencia
λ11 = cos(x
′
1, x1) = cosα,
λ12 = cos(x
′1, x2) = cos β,
λ13 = cos(x
′
1, x3) = cos γ,
4Para obter esta relação utilize a lei dos cosenos
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES 23
Para os dois eixos do sistema S ′, por exemplo OP ↔ x′1 e OP ′ ↔ x′2 a
equação (1.4.3) escrita em função dos parâmetros λ torna-se
λ11λ21 + λ12λ22 + λ13λ23 = cos θ = cos(
pi
2
) = 0. (1.4.5)
As equações (1.13.6) e (1.4.5) podem ser reescritas como
3∑
j=1
λ21j = 1,
e
3∑
j=i
λ1jλ2j = 0.
Quando escritas para todos os três eixos obtem-se três equações do tipo
(1.13.6) e três do tipo (1.4.5), todas podem ser escritas em uma forma com-
pacta como
3∑
j=1
λ2ij = 1, i = 1, 2, 3.
3∑
k=i
λikλjk = 0, i, j = 1, 2, 3.
(1.4.6)
As equações (1.4.2) e (1.4.3) quando escritas para os parâmetros λij eviden-
ciam as seis relações existentes entres estes nove parâmetros, como resultado
obten-se somente três parâmetros independentes5. O conjunto de seis equa-
ções (1.4.6) pode ser escrito de forma compacta como
3∑
k=1
λikλjk = δij, i, j = 1, 2, 3. (1.4.7)
O simbolo δij denominado de delta de Kronecker, é definido como
δij =
{
1, i = j,
0, i 6= j. (1.4.8)
5Estes três parametros podem ser, por exemplo, os ângulos de Euler utilizados na
descrição de rotações de sólidos em três dimensões.
O número de parâmetros independentes é igual ao número total de parâmetros menos
o número de equações relacionando os parâmetros.
24 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
podendo ser representado por
(δij) =

∂x
∂x
∂x
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂y
∂y
∂y
∂z
∂z
∂x
∂z
∂y
∂z
∂z
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 ≡ I. (1.4.9)
Nesta altura da discussão algumas observações são pertinentes:
1. A escolha do ângulo θ = 90ona equação (1.4.3) resultando em (1.4.5) ca-
racteriza uma classe de transformações denominada de transformações
ortogonais já que os eixos dos sistemas de coordenadas transformados,
são ortogonais.
2. A representação matricial do simbolo de Kronecker é a matrix iden-
tidade I, que na forma (1.4.9) reflete a ortogonalidade dos eixos do
sistema de coordenadas S ′.
Se a transformação discutida anteriormente fosse realizada com o sistema S ′
fixo e o sistema S girado o que implicaria na decomposição dos eixos sem
linha em função dos eixos com linha, as equações de transformação seriam
3∑
k=1
λkiλkj = δij, i, j = 1, 2, 3. (1.4.10)
Note a posição dos índices que são somados. Eles estão no local das coorde-
nadas do sistema com linha, isto expressa a ortogonalidade do sistema sem
linha6. Em resumo a equação 1.4.7 expressa uma transformação ortogonal
entre dois sistemas de coordenadas, o S que é ortogonal por escolha e o S ′
que foi girado com relação a S e escolhido ortogonal (θ = pi/2 na equação
(1.4.3)). Já, a equação (1.4.10) também expressa uma transformação orto-
gonal entre dois sistemas de coordenadas, só que neste caso o sitema girado
foi o S e para ele foi feita a escolha do valor θ = pi/2, para o angulo entre
seus eixos.
Finalmente é necessário acrescentar que nada impede que ao invés de
girar o sistema de coordenadas, giremos o estado7 ou o ponto representativo
8 do sistema. Esta situação está esquematizada na figura 1.4.3.
6Na equação 1.4.3 aplicada a esta situação devemos escolher o angulo θ = pi/2, indi-
cando que ois eixos do sistema de coordenadas S são ortogonais.
7O estado do sistema pode ser representado por uma função de onda no espaço de
Hilbert
8Neste caso o estado do sistema pode ser representado por um ponto no espaço de
configuração ou um ponto no espaço de fase.
1.4. PROPRIEDADES DAS MATRIZES DE ROTAÇÕES 25
Figura 1.4.3: Rotação de um ângulo θ do sistema de coordenadas, o ponto
P é mantido fixo. Rotação de um ângulo θ do ponto P .
Figura 1.4.4: Rotação do ponto P
Para este procedimento e utilizando a configuração esquematizada na
figura 1.4.4 obtem-se para as coordenadas do ponto P
x1 = OP cosα,
x2 = OP sinα.
e para as coordenadas do ponto P ′:
x′1 = OP ′ cos(α− θ) = OP cosα cos θ +OP sinα sin θ = x1 cos θ + x2 sin θ,
x′2 = OP
′
sin(α− θ) = OP sinα cos θ −OP sin θ cosα = x2 cos θ − x1 sin θ,
OP = OP
′. Estas equações são iguais as equações de transformação (1.3.3)
obtidas da rotação do sistema de coordenadas.
As duas abordagens são matematicamente equivalentes.
26 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
1.5 Operações com Matrizes
A matriz λ definida na equação (1.15.4) é uma matriz quadrada, ou seja
possui o mesmo número de linhas e colunas. Existem diversos tipos de ma-
trizes: quadradas, retangulares, linhas ou colunas a b cd e f
g h i
 ;
 a b cd e f
g h i
 ; ( a b c ) ;
 ad
g
 .
Adotaremos a matriz na forma coluna, 3×1, para representar as coordenadas
de um ponto em um espaço de três dimensões
x =
 x1x2
x2
 , (1.5.1)
enquanto que a matriz transposta (obtida trocando-se as linhas pelas colunas)
será
xt =
(
x1 x2 x3
)
. (1.5.2)
A operação de multiplicação matricial pode ser utilizada para escrevermos a
equação (e todas as outras análogas) (1.3.6)
x′i =
3∑
j=i
λijxj,
na forma matricial
x′ = λx⇐⇒
 x′1x′2
x′2
 =
 λ11 λ12 λ13λ21 λ22 λ23
λ31 λ32 λ33
 x1x2
x2
 , (1.5.3)
que após ser múltiplicada adquire a forma
x′1 = λ11x1 + λ12x2 + λ13x3
x′2 = λ21x1 + λ22x2 + λ23x3
x′3 = λ31x1 + λ32x2 + λ33x3
 . (1.5.4)
Esta equação exemplifica a multiplicação de uma matriz quadrada 3× 3 por
uma matriz coluna 3× 1, resultando em matriz coluna 3× 1. Para recordar,
a multiplicação de uma matriz A por uma matriz B é definida somente se
o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da
segunda, ou seja na mltiplicação matricial
C = AB,
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS 27
o número de colunas da matriz A deve ser igual ao número de linhas da
matriz B; a matriz resultante C terá o número de linhas da matriz A e o
número de colunas da matriz B. Isto se evindencia ainda mais na expressão
Cij = (AB)ij = AikBkj, (1.5.5)
onde o índice k representa simultaneamente o número de colunas da matriz
A e o número de linhas da matriz.
Exemplo 1.5.1. Como exemplo faremos a multiplicação de uma matriz A,
2× 3, por uma matriz B,3× 2:
A =
(
1 2 3
4 5 6
)
, B =
 a bc d
e f
 ;
a matriz C resultante do produto destas duas matrizes é
C =
(
1 2 3
4 5 6
) a bc d
e f
 = ( a+ 2bc+ 3e b+ 2d+ 3f
4a+ 5c+ 6e 4b+ 5d+ 6f
)
,
que é uma matriz 2× 2!
Uma característica muito importante da múltiplicação matricial é a sua
não comutatividade, por exemplo, para as mesmas matrizes do exemplo an-
terior obterem-se
D = BA =
 a bc d
e f
( 1 2 3
4 5 6
)
=
 a+ 4b 2a+ 5b 3a+ 6bc+ 4d 2c+ 5d 3c+ 6d
e+ 4f 2e+ 5f 3e+ 6f
 ,
que é evidente da definição dop produto matricial
D = BA =⇒ Dij = BikAkj, (1.5.6)
onde agora o número de linhas da matriz D é igual ao número de linhas da
matriz A e o número de colunas é igual ao número de colunas da matriz A.
Resumidamente
AB 6= BA. (1.5.7)
1.6 Algumas Propriedades e Definições Adici-
onais
Definição 1.6.1. Amatriz transpostaAtde uma matrizA é obtida trocando-
se linhas por colunas.
28 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Portanto pela definição, em termos de elemento de matriz, teremos
λtij = λji . (1.6.1)
É imediato verificar que (
λt
)t
= λ. (1.6.2)
Tendo definido a matriz transposta, a equação (1.3.7), para a transformação
inversa das coordenadas, pode ser escrita na forma matricial
xi = x
′
jλji = λjix
′
j,
xi = λjix
′
j
= λtijx
′
j =⇒
x = λtx′,
(1.6.3)
ou na forma matricial x1x2
x2
 =
 λ11 λ21 λ31λ12 λ22 λ32
λ13 λ23 λ33
 x′1x′2
x′2
 , (1.6.4)
Definição 1.6.2. Matriz Identidade é a matriz que ao multiplicar qualquer
outra não altera esta última.
Representandoa matriz identidade por 1 ou I e uma matriz genérica
qualquer por A teremos
IA = AI = A.
A matriz identidade (ou unidade) I é diagonal e possui elememtos 0 ou 1,
em três dimensões ela possui a forma
I =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 , (1.6.5)
e seus elementos de matrix Iijpodem ser representados com a utilização da
delta de Kronecker
Iij = δij. (1.6.6)
Como uma interessante aplicação da matriz transposta, considere o pro-
duto da matriz λ por sua transposta λtem duas dimensões
λλt =
(
λ11 λ12
λ21 λ22
)(
λ11 λ21
λ12 λ22
)
=
(
λ211 + λ
2
12 λ11λ21 + λ22λ12
λ11λ21 + λ22λ12 λ
2
21 + λ
2
22
)
.
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS 29
Usando as condições de ortogonalidade, equação (1.4.7), encontramos
λ211 + λ
2
12 = λ
2
21 + λ
2
22 = 1,
λ11λ21 + λ22λ12 = λ11λ21 + λ22λ12 = 0,
de forma que
λλt =
(
1 0
0 1
)
= 1. (1.6.7)
Esta é a equação que expressa a ortogonalidade da matriz λ, a equação
(1.4.7) na forma matricial. De fato a equação (1.4.7) é que define a condição
de ortogonalidade da matriz de rotação λ, entretanto qualquer matriz A que
satisfaz a condição
AAt = I,
é por definição uma matriz ortogonal.
Definição 1.6.3. Uma matriz A é ortogonal se satisfizer a condição
AAt = I. (1.6.8)
Neste ponto podemos introduzir o conceito de matriz inversa, dada a
semelhança da expressão anterior com a operação
aa−1 = 1, a 6= 0 a ∈ R.
Seja A−1a matriz inversa da matriz A, então
AA−1 = A−1A = I. (1.6.9)
Comparando as equações (1.6.8) e (1.6.11), encontramos a importante pro-
priedade
At = A−1 , (1.6.10)
ou seja
Corolário 1.6.4. Seja A uma matriz ortogonal não singular, então é válida
a equação
At = A−1.
A utilização desta propriedade (válida para matrizes ortogonais) simpli-
fica imensamente o cálculo da matriz inversa. Se a matriz não for ortogonal
é necessário fazer o cálculo na força bruta utilizando um dos métodos de se
calcular a inversa, por exemplo dada uma matriz X qualquer, não singular9,
a sua inversa é:
9Uma matriz é singular se o seu determinante for nulo.
30 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Definição 1.6.5. A matriz X−1, inversa da matriz X é
X−1 =
1
detX
(CofX)t , (1.6.11)
onde detX é o determinante da matriz X calculado, por exemplo, da forma
detX = εijkx1ix2jx3k, (1.6.12)
para uma matrizX3×3. Os termos x1i, x2j, x3k representam os elementos
das linha 1, 2 e 3, respectivamente da matrix X. O simbolo εijk precisa ser
definido! Ele é denominado de simbolo totalmente antisimétrico definido
como
εijk =

1, se i, j, k são permutações pares de 1,2,3, e i 6= j 6= k;
0 se pelo menos um índice (qualquer) for repetido,
−1 se i, j, k são permutações ímpares de 1,2,3, e i 6= j 6= k.
(1.6.13)
Alguns exemplos:
ε123 = 1,
ε231 = ε123=1,
ε132 = −ε123 = −1,
ε321 = ε213 = −ε123 = −1,
ε121 = ε223 = 0.
É interessante observar, embora ainda não tenhamos definido, que este sim-
bolo, (também conhecido como o tensor de Levi-Civita) está associado ao
produto vetorial misto, por exemplo
i · (k× j) = 1,
i · (j× k) = −1
i · (k× i) = 0.
,
\boldsymbol{\lambda}^{t} Uma outra definição muito utilizada em mecâ-
nica quântica e outras teorias também:
A Matriz Adjunta de uma matriz genérica X é definida como
Adj X = (CofX)t (1.6.14)
A matriz dos cofatores é definda como:
1.6. ALGUMAS PROPRIEDADES E DEFINIÇÕES ADICIONAIS 31
Definição 1.6.6. Seja A a matriz, n×n dos cofatores da matriz B também
n×n, então um elemento aij da matrizA é construido utilizando os elementos
da matriz B, da seguinte forma
aij ≡ (−1)i+jMij = (−1)i+j detB(n−1)×(n−1)|sem linha i; sem coluna j. (1.6.15)
A expressão anterior define o menor Mij :
Mij ≡ detB(n−1)×(n−1)|sem linha i; sem coluna j (1.6.16)
Com certeza um exemplo faz-se necessário.
Exemplo 1.6.7. Calcule a matriz adjunta A, da matriz
B =
 b11 b12 b13b21 b22 b23
b31 b32 b33
 .
Primeiramente calculamos a matriz dos cofatores:
a11 = (−1)1+1M11 = (−1)1+1
∣∣∣∣ b22 b23b32 b33
∣∣∣∣ = b22b33 − b32b23;
a12 = (−1)1+2M12 = (−1)1+2
∣∣∣∣ b21 b23b31 b33
∣∣∣∣ = −(b21b33 − b31b23);
a13 = (−1)1+3M13 = (−1)1+3
∣∣∣∣ b21 b22b31 b32
∣∣∣∣ = b21b32 − b31b22;
a21 = (−1)2+1M21 = (−1)1+2
∣∣∣∣ b12 b13b32 b33
∣∣∣∣ = −(b12b33 − b32b13);
a22 = (−1)2+2M22 = (−1)2+2
∣∣∣∣ b11 b13b31 b33
∣∣∣∣ = b11b33 − b31b13;
a23 = (−1)2+3M23 = (−1)2+3
∣∣∣∣ b11 b12b31 b32
∣∣∣∣ = −(b11b32 − b31b12);
a31 = (−1)1+3M31 = (−1)1+3
∣∣∣∣ b12 b13b22 b23
∣∣∣∣ = b12b23 − b22b13;
a32 = (−1)3+2M32 = (−1)3+2
∣∣∣∣ b11 b13b21 b23
∣∣∣∣ = −(b11b23 − b21b13);
a33 = (−1)3+2M33 = (−1)3+3
∣∣∣∣ b11 b12b21 b22
∣∣∣∣ = b11b22 − b21b12.
32 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
analogamente para os outros termos. A matriz dos cofatores da matriz B é
CofB =
 b22b33 − b32b23 −(b21b33 − b31b23) b21b32 − b31b22−(b12b33 − b32b13) b11b33 − b31b13 −(b11b32 − b31b13)
b12b23 − b22b13 −(b11b23 − b21b13) b11b22 − b21b12
 .
Utilizando a matrix CofB, calcula-se a matriz
A = AdjB = (CofB)t =
 b22b33 − b32b23 −(b12b33 − b32b13) b12b23 − b22b13−(b21b33 − b31b23) b11b33 − b31b13 −(b11b23 − b21b13)
b21b32 − b31b22 −(b11b32 − b31b13) b11b22 − b21b12

A título de curiosidade, a matriz dos menores da matriz B é
MB =
 b11b22 − b12b21 b11b23 − b13b21 b12b23 − b13b22b11b32 − b12b31 b11b33 − b13b31 b12b33 − b13b32
b21b32 − b22b31 b21b33 − b23b31 b22b33 − b23b32

O produto matricial, embora não comutativo é associativo
A(BC) = (AB)C, (1.6.17)
e a soma de matrizes é feita somando-se seus respectivos elementos: C =
A+B significa que
Cij = Aij +Bij. (1.6.18)
1.7 O Significado Geométrico das Matrizes de
Transformações
Considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao redor do do eixo x3,
como esquematizado na figura (1.7.1)
Após esta rotação os cosenos diretores λij (somente os diferentes de zero)
podem se calculados
λ12 = cos(x
′
1, x2) = 1,
λ21 = cos(x
′
2, x1) = −1,
λ33 = cos(x
′
3, x3) = 1.
de forma que a matriz dos cosenos diretores será
λ1 =
 0 1 0−1 0 0
0 0 1
 .
1.7. O SIGNIFICADOGEOMÉTRICO DASMATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES33
Figura 1.7.1: Rotação do sistema ao redor do eixo x3
Os novos eixos, ou seja os eixos do sistema S ′ estão relacionados aos eixos
do sistema S pelas equações x′1 = x2, x′2 = −x2 e x′3 = x3, imediatamente
obtida com a utilização da matriz de transformação λ1.
Na sequência, considere uma rotação de 900 no sentido anti-horário ao
redor do do eixo x1, como esquematizado na figura (1.7.2).
Novamente, calculamos os cosenos diretores λij (somente os diferentes de
zero)
λ23 = cos(x
′
2, x3) = 1,
λ32 = cos(x
′
2, x1) = −1,
λ11 = cos(x
′
1, x1) = 1.
de forma que a matriz dos cosenos diretores será
λ2 =
 1 0 00 0 1
0 −1 0
 .
Temos duas transformações individuais
x1 = λ1x,
x2 = λ2x,
que podemos usar para construir a transformação composta de duas trans-
formações sucessivas
x′ = λ1x,
x′′ = λ2x′ = λ2λ1x.
(1.7.1)
34 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.7.2: Rotação do sistema ao redor do eixo x1
Na forma matricial esta equação torna-se
 x′′1x′′2
x′′2
 =
 1 0 00 0 1
0 −1 0
 0 1 0−1 0 0
0 0 1
 x1x2
x2

=
 0 1 00 0 1
1 0 0
 x1x2
x2
 =
 x2x3
x1
 .
O significado deste resultado é que as duas matrizes de rotações podem ser
combinadas para representarem uma rotação composta. Note que fizemos
uma composição de rotações, a primeira com λ1transformando o sistema S
em S ′ e a segunda transformação devido a λ2 que transforma o sistema S ′
em S ′′, como esquematizado na figura (1.7.5)
λ3 = λ2λ1 =
 0 1 00 0 1
1 0 0
 , (1.7.2)
sendo
x′′1 = x2, x
′′
2 = x3, x
′′
3 = x1
a orientação final dos novos eixos. Como o produto matricialnão é comu-
tativo, a ordem da operação das matrizes de transformações nos vetores é
importante. Se fizermos primeiro uma transformação no eixo x1, para em se-
guida transformarmos com relação ao eixo x3, teremos como resultado uma
1.7. O SIGNIFICADOGEOMÉTRICO DASMATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES35
Figura 1.7.3: Composição de rotações: o sitema é girado de 90o no sah ao
redor do eixo x3para em seguida ser girado no sah, também de 90o, ao redor
do novo eixo x′1.
nova matriz de transformação
λ4 = λ1λ2 =
 0 1 0−1 0 0
0 0 1
 1 0 00 0 1
0 −1 0
 =
 0 0 1−1 0 0
0 −1 0
 6= λ3.,
(1.7.3)
implicando em uma diferente orientação final dos eixos.
A figura (1.7.4) ilustra as diferentes orientações de um livro submetido as
mesmas rotações λ2 e λ3 compostas em diferentes ordens: na figura (1.7.4)
superior a composição é λ2λ3 e na inferior λ3λ2. Note como as configurações
finais são claramente diferentes.
A rotação esquematizada na figura (1.7.5) possui os seguintes cossenos
diretores
36 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.7.4: Exemplo da não comutatividade de rotações.
Figura 1.7.5: Sistema de coordenadas S que foi girado de um angulo θ no
sah ao redor do eixo x3
1.7. O SIGNIFICADOGEOMÉTRICO DASMATRIZES DE TRANSFORMAÇÕES37
λ11 = cos(x
′
1, x1) = cos θ,
λ12 = cos(x
′
1, x2) = cos(
pi
2
− θ) = sin θ,
λ13 = cos(x
′
1, x3) = cos
pi
2
= 0,
λ21 = cos(x
′
2, x1) = cos(
pi
2
+ θ) = − sin θ,
λ22 = cos(x
′
2, x2) = cos θ,
λ23 = cos(x
′
2, x3) = cos(
pi
2
) = 0,
λ31 = cos(x
′
3, x1) = cos
pi
2
= 0,
λ32 = cos(x
′
3, x2) = cos
pi
2
= 0,
λ33 = cos(x
′
3, x3) = cos 0 = 1,
a representação matricial desses cossenos diretores, ou seja a matriz λ é
λ5 =
 cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
 , (1.7.4)
que representa uma rotação do sistema ao redor do eixo x3.
Uma outra transformação, importante no contexto de simetrias em par-
tículas elementares e teoria de campos, é a chamada inversão total. Em três
dimensões esta trasnformação é efetuada pelas operações x′1 = −x1, x′2 =
−x2, x′3 = −x3 e sua representação matricial é
λ6 =
 −1 0 00 −1 0
0 0 −1
 . (1.7.5)
O resultado de uma inversão total em 3− d é representado na figura (1.7.6).
Nos exemplos anteriores obtivemos a matriz de transformação λ3como
resultado de duas rotações sucessivas, cada rotação é uma transformação
ortogonal como já provamos na equação (1.4.10). O que faremos agora será
verificar se a composição de transformações ortogonais λ3 = λ2λ1resultará
em uma transformação ortogonal. Para isto considere
x′i = λijxj, x
′′
k = µklx
′
l;
que pode ser combinada como
x′′k = µklx
′
l = µklλljxj = [µλ]kj xj,
38 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.7.6: Inversão total dos eixos do sistema S
que é a representação matricial da composição de duas transformações orto-
gonais λ e µ que muda o sistema de S para S ′′. A transformação composta
será ortogonal se a matriz [µλ] for ortogonal, ou seja se [µλ]t = [µλ]−1.
Para verificar se está matriz é ortogonal vamos usar a propriedade, sem de-
monstração pois será pedida como problema,
(AB)t = BtAt, (1.7.6)
ou seja a transposta do produto de matrizes é igual ao produto das transpostas
em ordem reversa. Portanto
[µλ]t = λtµt, (1.7.7)
que usada no cálculo
[µλ]tµλ = λtµtµλ = λtµ−1µλ = λtIλ = λ−1λ = I.
Este cálculo é a demonstração que o produto de matrizes ortogonais µ e λ
resulta em uma matriz [µλ] que também é ortogonal. A equação anterior
pode ser reescrita como
[µλ]tµλ = I =⇒ [µλ]t = [µλ]−1 . (1.7.8)
O determinante de matrizes 3× 3 podem ser calculados explicitamente como
1.8. DEFINIÇÃODE ESCALAR E VETOR EMTERMOS DAS PROPRIEDADES DE TRANSFORMAÇÕES39
detλ = εijkλ1iλ2jλ3k
= ε123λ11λ22λ33 + ε231λ12λ23λ31 + ε312λ13λ21λ32
+ ε132λ11λ23λ32 + ε213λ12λ21λ33 + ε321λ13λ22λ31
= λ11(λ22λ33 − λ23λ32) + λ12(λ23λ31 − λ21λ33) + λ13(λ21λ32 − λ22λ31).
Em particular, para matrizes ortogonais pode-se calcular o determinante uti-
lizando a propriedade
λt = λ−1 =⇒
λλt = λλ−1 = I.
Utilizando as propriedades que serão pedidas como problemas
detλt = detλ, (1.7.9)
det(AB) = detA detB, (1.7.10)
encontra-se que
detλλt = detλ detλt = (detλ)2 = det I = 1 =⇒ detλ = ±1. (1.7.11)
A equação (1.7.11) posui um importante significado: todas as trasnformações
ortogonais possuem determinante ±1, as rotações, também denominadas de
transformações próprias possuem determinante igual a 1 enquanto que as
inversões, ou transformações impróprias possuem o determinante −1. Um
resultado muito importante é que uma transformação própria não pode ser
reduzida a imprópria e vice-versa, assim não é possível pela composição de
várias rotações obter uma reflexão!
Ainda que um pouco fora do contexto do curso, observamos que a pró-
priedade de o determinante de transformações ortogonais possuir os valores
±1possibilita classificar o grupo de rotações em duas categorias disjuntas: o
das transformações próprias ou rotações e o das trasnformações impróprias
ou reflexões. Existem outras transformações.
1.8 Definição de Escalar e Vetor em Termos das
Propriedades de Transformações
Considere a trasnformação das coordenadas do tipo, equação (1.3.6),
x′i =
3∑
j=i
λijxj
40 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
com os cosenos diretores satisfazendo a equação (condição de ortogonalidade)
(1.4.7)
3∑
k=1
λikλjk = δij.
Se sob esta transformação, uma dada quantidade φ não é alterado,
então φ é denominado de escalar ou escalar invariante. Quando φ
for uma função de uma ou várias variáveis contínua e diferenciável
(exceto possivelmente em alguns polos) costuma-se denominá-la de
campo escalar.
Se o conjunto de quantidades (3-uplas) (A1, A2, A3) se trans-
forma como as coordenadas xi do ponto P , conforme a equação
(1.4.7), ou equivalentemente em outras palavras Se a quantidade (A1, A2, A3)
se transforma do sistema xi para o sistema x′i via a matriz ortogonal
λ, como
A′i = λijAj, i, j = 1, 2, 3; (1.8.1)
então a quantidade A = (A1, A2, A3) é denominada de vetor.
1.9 Operações Elementares com Vetores e Es-
calares
Nas equações seguintes, A e B são vetores com componentes Ai e Bi;φ, ψ e
ξ são escalares.
Adição
Ai +Bi = Bi + Ai, Comutatividade da adição (1.9.1)
Ai + (Bi + Ci) = (Ai +Bi) + Ci, Associatividade da adição (1.9.2)
φ+ ψ = ψ + φ, Comutatividade da adição (1.9.3)
φ+ (ψ + ξ) = (φ+ ψ) + ξ, Associatividade da adição (1.9.4)
Multiplicação por um escalar
ξA = (ξA1, ξA2, ξA3) = B é um vetor (1.9.5)
1.10. O PRODUTO ESCALAR OU INTERNO DE DOIS VETORES. 41
ξφ = ψ, é um escalar. (1.9.6)
Na equação (1.9.5) assumimos que o resultado da multiplicação de um escalar
por um vetor, resulta em um vetor. De fato este resultado deve ser verificado
e isto pode ser feito utilizando a definição de vetor. Se B é um vetor ele deve
se transformar como
B′ = λB = λξA = ξλA = ξA′,
uma vez que o campo escalar é um invariante e A é um vetor. O resultado
anterior implica que B é um vetor. O procedimento anterior também pode
ser desenvolvido em função das componente dos vetores A e B.
1.10 O Produto Escalar ou Interno de Dois Ve-
tores.
O produto interno (representado por um ponto ·) de dois vetores A e B é
definido como
A ·B = AiBi, i = 1, 2, 3. (1.10.1)
O vetor A = (A1, A2, A3), de componente Ai possui módulo
|A| ≡ A = +
√
A21 + A
2
2 + A
2
3. (1.10.2)
Dividindo ambos os lados da equação (1.10.1) por AB obtem-se
A ·B
AB
=
Ai
A
Bi
B
, (1.10.3)
onde Ai/A é o cosseno diretor do vetor A com o eixo i dos sistema de coor-
denadas, da mesma forma, Bi/B é o cosseno diretor do vetor B com o eixo
i do sistema de coordenadas (veja a Figura (1.10.1)) .
Note que interessante, chamando de cos(A, B) o cosseno do angulo entre
os vetoresA e B a equação (1.10.3) fornece
cos θ =
A1
A
B1
B
+
A2
A
B2
B
+
A3
A
B3
B
= cosα cosα′ + cos β cos β′ + cos γ cos γ′
que é análoga à equação (1.4.3). Isto não é coincidência já que os dois vetores
A e B podem ser considerador os eixos x′1 e x′2 do sistema transformado S ′
com relação ao sistema S. De forma geral, sem dar nomes aos angulos, o
lado direito da equação (1.10.3) pode ser escrita na forma
cos(A, B) = ΛAi Λ
B
i , (1.10.4)
42 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.10.1: Componente A1,, A2, A3 do vetor A no sistema de coorde-
nadas x1, x2, x3. Também é mostrado o angulo α entre o vetor A e o eixo
x1
onde
ΛAi ≡
Ai
A
, ΛBi ≡
Bi
B
. (1.10.5)
Utilizando as equações (1.10.4) e (1.10.5), a equação (1.10.3) pode ser rees-
crita como
A ·B
AB
= cos(A, B) =⇒ A ·B = AB cos(A, B) , (1.10.6)
Proposição 1.10.1. O produto interno de dois vetores é uma grandeza es-
calar.
Demonstração. A e B são vetores portanto transformam-se sob a matriz
ortogonal λ da forma
A′i = λijAj, B
′
i = λijBj;
e o produto interno desses vetores ´e
A′ ·B′ = λijλikAjBk = δjkAjBk = AkBk = A ·B,
1.10. O PRODUTO ESCALAR OU INTERNO DE DOIS VETORES. 43
utilizando a equação (1.4.7). Este resultado, ou seja
A′ ·B′ = A ·B (1.10.7)
afirma que o produto interno é invariante sob transformações ortogonais,
neste caso rotações representadas pela matriz λ; portanto o produto interno
de vetores é um escalar invariante porque ele permanece inalterado pela trans-
formação ortogonal λ.
Este resultado pode ser usado para mostrar que a distância entre dois
pontos ou o módulo de um vetor (distância desde a origem do sistema de
coordenadas até um dado ponto no espaço) também é um invariante
|d| =
√
d · d =
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 =
√
xixi (1.10.8)
Em geral a distância entre dois pontos√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x2 − y3)2 =
√
(A−B) · (A−B) = |A−B|
(1.10.9)
é um invriante. Em resumo temos a seguinte afirmação:
Afirmação 1.10.2. Transformações ortogonais preservam a distância entre
dois pontos.
Podemos nos perguntar também sobre o que acontece com o angulo entre
dois vetores transformados. Para verificar esta questão, considere a definição
do angulo entre dois vetores, equação (1.10.6):
A ·B
AB
= cos(A, B).
O angulo antre os vetores A e B é função do produto interno desses vetores e
de seus módulos, que são todas quantidades invariantes como já demonstrado
anteriormente. Portanto:
Afirmação 1.10.3. Transformações ortogonais preservam o angulo entre ve-
tores.
Para completar esta seção observamos que o probuto interno é comutativo
e distributivo:
A ·B = AiBi = BiAi = B ·A
A · (B+C) = Ai(B + C)i = Ai(Bi + Ci) = AiBi + AiCi = A ·B+A ·C.
44 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
1.11 Vetores Unitários
É apropriado representar vetores em função de suas componentes nas três
direções de um dado sistema de coordenadas. Para este propósito introduz-
se vetores unitários, que são vetores que possuem o comprimento unidade no
sistema de coordenadas em consideração. Por exemplo o vetor unitário ao
longo da direção radial em coordenadas esféricas é construido como
er =
r
r
.
Em geral um vetor unitário é definido como
uA =
A
A
, (1.11.1)
e representado por diferentes notações equivalentes, por exemplo
i, j, k em coordenadas cartesianas,
e1, e2, e3 em um sistema de coordenadas curvilineares qualquer,
er, eθ, eφ em coordenadas esféricas,
rˆ, θˆ, φˆ em coordenadas esféricas.
(1.11.2)
Analogamente, um vetor pode ser representado por uma das seguintes formas
A = (A1, A2, A3),
A = A1e1 + A2e2 + A3e3,
A = A1i+ A2j+ A3k.
(1.11.3)
Neste texto adotaremos a notação e1, e2, e3 para os vetores unitários por
causa da convenção da soma:
A = Aiei,
cujas componentes são
Ai = ei ·A, i = 1, 2, 3. (1.11.4)
Em geral (a menos que se afirme o contrário) trabalharemos com bases orto-
gonais, portanto os vetores unitários satisfazem
ei · ej = δij, (1.11.5)
expressando a ortogonalidade da base.
1.11. VETORES UNITÁRIOS 45
Figura 1.11.1: Projeção do vetor B na direção do vetor A
Exemplo 1.11.1. Dado dois vetores A = i+ 2j− 2k e B = 4i+ 2j− 3k em
coordenadas cartesianas, calcule a distância AB entre os pontos OA e OB,
o angulo entre os vetores e o valor da projeção do vetor B ao longo do vetor
A.
A distância entre o pontos OA e OB é
|A−B| = |B−A| =
√
(1− 4)2 + (2− 2)²+ (−2 + 3)2 = √9 + 1 =
√
10,
o angulo entre os vetores é obtido de
cos θ =
A ·B
AB
=
(i+ 2j− 2k) · (4i+ 2j− 3k)√
1 + 4 + 4
√
16 + 4 + 9
=
4 + 4 + 6√
9× 29 =
14
3
√
29
= 0.867,
portanto
θ = 30◦.
A projeção de B na direção de A vale (Veja a figura (1.11.1))
A ·B = AB cos θ =⇒ B cos θ = A ·B
A
= eA ·B.
A quantidade eA ·B mede exatamente o quanto do vetor B esta na direção
do vetor A, o vetor eA é um vetor unitário na direção do vetor A, veja a
equação (1.11.1). Portanto
eA ·B = B cos θ =
√
29× 0.867 = 4.67.
46 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
1.12 O Produto Vetorial
Dois vetores podem ser combinados de forma a forncecer como resultado um
outro vetor10, a esta operação dá-se o nome de produto vetorial. Para dois
vetores A e B este produto é representado como
C = A×B (1.12.1)
onde C é o vetor resultante desta operação. As componentes do vetor C são
definidas pela equação
Ci ≡ εijkAjBk , (1.12.2)
onde εijk é o tensor de Levi-Civita, definido na equação (1.6.13). Utilizando
esta notação, as componentes do vetor C são calculadas como
C1 = ε123A2B3 + ε132A3B2
= A2B3 − A3B2;
C2 = A3B1 − A1B3;
C3 = A1B2 − A2B1.
(1.12.3)
Considere a expansão da quantidade [AB sin θ]2 :
(AB)2 sin2 θ = (AB)2(1− cos2 θ)
= (AB)2 − (AB)2 cos2 θ
= (AB)2 − (A ·B)2
= A2iB
2
j − (AiBi)2
= (A2B3 − A3B2)2 + (A3B1 − A1B3)2 + (A1B2 − A2B1)2,
após um pouco de álgebra. Por outro lado
|A×B|2 = |C|2 = C2 = C21 + C22 + C23 ,
com Ci dados na equação (1.12.3). Comparando estas duas equações (com
as componentes Ci dadas nas equações (1.12.3)) encontramos que
C = +AB sin θ. (1.12.4)
10De fato o resultado do produto vetorial não é um vetor verdadeiro mas sim um pseudo
vetor. Um vetor verdadeiro é invertido sub reflexão enquanto que um pseudo vetor não.
Por exemplo a velocidade é um vetor e o momento angular, um pseudo vetor.
1.12. O PRODUTO VETORIAL 47
Figura 1.12.1: O módulo do vetor C = A×B é igual ao valor da área do
paralelograma AB sin θ, onde θ é o angulo entre os vetores A e B.
O significado desta equação é: se C = A × B, então o módulo do vetor C
é igual ao módulo de A vezes o módulo de B vezes o seno do angulo entre
eles. No contexto geométrico interpretamos o módulo do produto vetorial
A × B como a área do paralelograma definido pelos vetores A e B, veja a
figura (1.12.1)
Exemplo 1.12.1. Usando as equações (1.10.1) e (1.12.2), mostre que
A · (B×D) = D · (A×B).
O lado esquerdo desta equação pode ser escrito como
A · (B×D) = AiεijkBjDk
= AiεkijBjDk
= DkεkijAiBj
= D · (A×B).
Também pode-se converser-se da igualdade acima lembrando que o produto
interno é um escalar invariante. Se nesta equação faz-se a escolha A = B
obten-se
A · (A×D) = D · (A×A) = 0,
mostrando que A é perpendicular à A×D.
48 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
O vetor A × B = C é perpendicular ao plano definido pelos vetores A
e B já que A · (A × B)=0 e B · (A × B)=0 . A área de um plano pode
ser representada por um vetor normal ao plano e cuja magnetude é igual a
área do plano. A orientação é aquela do sistema destrógiro para o sistema de
coordenadas (portanto para o produto vetorial) e a superfície orientada com
Jacobiano +1.
A definição do produto vetorial está completa: as componentes, o módulo,
sentido e interpretação geométrica foram apresentadas. Tudo indica que Cé realmente um vetor, entretanto devemos lembrar que não aplicamos a C a
definição de vetor! Ou seja, como esta quantidade se transforma sob rotações?
Para responder esta questão considere a quantidade;
C′ = A′ ×B′ = (λA)× (λB)
C ′i = (A
′ ×B′)i = [(λA)× (λB)]i
= εijkλjpApλkqBq
= εijkλjpλkqApBq.
(1.12.5)
O determinante da matriz λ, que é ortogonal, é igual a 1,
detλ = εijkλi1λj2λk3 = 1.
Este resultado pode ser utilizado para se obter
εijkλi1λj2λk3 = 1 =⇒
εijkλirλjpλkq = εrpq =⇒
εijkλirλjpλkq = δrlεlpq =⇒
εijkλirλjpλkq = λsrλslεlpq =⇒
λtrεijkλirλjpλkq = λtrλsrλslεlpq =⇒
εijkλtrλirλjpλkq = δstλslεlpq =⇒
εijkδitλjpλkq = λtlεlpq =⇒
εtjkλjpλkq = λtlεlpq
Finalmente provamos que
εijkλjpλkq = λilεlpq . (1.12.6)
Substituindo este resultado na equação (1.12.5) para a componente C ′i obtem-
se que
1.12. O PRODUTO VETORIAL 49
C ′i = εijkλjpλkqApBq
= εlpqλilApBq
= λilCl.
(1.12.7)
De outra forma
C′ = λC =⇒
C ′i = λijCj = λijεjklAkBl,
(1.12.8)
que concorda plenamente com o resultado anteiror. As equações (1.12.5)
(1.12.7) expressam o resultado do produto vetorial das componentes trans-
formadas, enquanto que a equação (1.12.8) é a transformação do produto
vetorial. Os dois resultados são iguais e se transformam segundo a lei de
transformações de vetores.
A seguir demonstramos alguma propriedades básicas do produto vetorial:
A×B = εijkeiAjBk = −εijkeiBjCk = B×A (1.12.9)
A× (B×C) = εijkeiAjεkpqBpCq = (δipδjq − δiqδjp)eiAjBpCq =
= eiAjBiCj − eiAjBjCi = B(A ·C)−C(A ·B);
(1.12.10)
(A×B)×C = εijkeiεjpqApBqCk
= − (δipδkq − δiqδkp) eiApBqCk
= eiAkBiCk − eiAiBkCk
B(A ·C)−A(B ·C).
(1.12.11)
Comparando as equações (1.12.10) e (1.12.11) conclui-se que
A× (B×C) 6= (A×B)×C, (1.12.12)
ou seja o produto vetorial de três vetores não é associativo.
Nos cálculos anteriores utilizamos uma importante propriedade do tensor
de Levi-Civita, cuja demonstração será pedida como problema;
εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (1.12.13)
Existem outras que também serão utilizadas, estas são
εijkεijq = 2δkq, (1.12.14)
50 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
εijkεijq = 3! (1.12.15)
De forma geral (em 3− d) podemos utilizar a forma
εijkεpqr =
∣∣∣∣∣∣
δip δiq δir
δjp δjq δjr
δkp δkq δkr
∣∣∣∣∣∣ . (1.12.16)
Exemplo 1.12.2. Utilizando as propriedades do tensor de Levi-Civita, es-
creva o produto mixto
(A×B) · (C×D)
somente em função do produto interno de vetores.
Solução. Utiliza-se a propriedade (1.12.13) porque na espressão aparece
um duplo produto vetorial:
(A×B) · (C×D) = εijkAjBkεipqCpDq = εijkεipqAjBkCpDq
= (δjpδkq − δjqδkp)AjBkCpDq
= AjBkCjDk − AjBkCkDj
= (A ·C)(B ·D)− (B ·C)(A ·D)
A ortogonalidade dos vetores unitários de uma base ortogonal pode ser
escrita como
ei × ej = εijkek. (1.12.17)
A título de observação, as equações seguintes são formas equivalentes de se
excrever o produto vetorial em 3− d:
C = A×B = εijkeiAjBk =
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
A1 A2 A3
B1 B2 B3
∣∣∣∣∣∣ , (1.12.18)
em coordenadas cartesianas! Esta expressão não é válida em coordenadas
curvilineares.
1.13 Derivada de um Vetor com Relação a um
Escalar
Se uma função escalar φ = φ(s) é derivada com relação ao parâmetro escalar s
obteremos como resultado uma função (campo) escalar já que tanto a função
quanto o parâmetro são escalares. A definição de escalar, equação (1.2.1),
1.13. DERIVADA DE UM VETOR COM RELAÇÃO A UM ESCALAR 51
implica que φ(x) = φ′(x′), o parâmetro s, que também é um escalar satisfaz
s = s′, portanto
dφ(s)
ds
=
dφ′(s′)
ds′
=
(
dφ(s)
ds
)′
. (1.13.1)
Analogamente, definine-se a derivada de um vetor com relação ao parâmetro
escalar:
d
ds
A(s) =
d
ds
Ai(s)ei(s), (1.13.2)
em geral. No sistema de coordenadas cartesianos os vetores unitários são
constantes, portanto não dependem do parâmetro s, qualquer que seja, e a
expressão anterior reduz-se a
d
ds
A(s) = ei
d
ds
Ai(s), (1.13.3)
em um sistema de coordenadas Cartesianos! Coloca-se agora a seguinte ques-
tão: A derivada de um vetor também é um vetor? Para responder a esta
questão utiliza-se a definição de vetor! Em outras palavras, deve-se verificar
como se comporta a derivada sob uma transformação ortogonal 11. Consi-
dere então a derivada das componente do vetor A no sistes S ′, sendo que
d/ds = d/ds′ tem-se que
dA′i
ds′
=
d
ds′
λijAj = λij
dAj
ds
=⇒
(
dAi
ds
)′
= λij(
dAj
ds
). (1.13.4)
Ou seja, as grandezas dAi/ds trasnformam como as componentes de um vetor
e por isto são as componentes de um vetor que na forma vertorial escrevemos
como aparece na equação (1.13.2).
As condições de analíticidade das funções e a existência das derivadas
também se aplicam ao vetores (certamente porque os vetores são campos
11O motivo de introduzir uma notação diferente para a componente Ai do vetor A é que
em coordenadas curvilineares tem-se os coeficientes de Lamé multiplicando cada compo-
nente, ou seja a expressão para um vetor em termos de suas componentes em coordenadas
cartesianas é
A = Aiei,
entretanto, em coordenadas curvilineares ortogonais a expressão é
A = Aξeξ.
52 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.13.1: Trajetória Γ(s) traçada pela exteremidade do vetor A quando
o parâmetro s varia .
ou funções com várias variáveis)12. Estendendo a definição de derivada de
funções à vetores analíticos13 escrevemos que
dA
ds
= lim
∆s→0
A(s+ ∆s)−A(s)
∆s
, (1.13.5)
que possui o seguinte significado geométrico: considere a figura (1.13.1) que
esquematiza a extremidade do vetor A(s) descrevendo uma curva contínua
Γ(s), quando o parâmetro s varia. No ponto P da curva Γ(s) A = A(s) e
no ponto Q, distante de P de ∆s a curva possui o valor Γ(s+ ∆s) e o vetor
A = A(s + ∆s). A diferença entre os valores do vetor A nos pontos P e
Q para distâncias infinitesimais é igual ao valor da derivada do vetor A no
ponto s.
A derivada de um vetor satisfaz as mesmas propriedades das derivadas
de funções;
12As condições de exitência ou continuidade de uma função em um ponto são:
f(z0) existe;
lim
z→z0
f(z) existe,
lim
z→z0
f(z) = f(z0).
13Exemplos clássicos de campos vetorias que descrevem fenômenos físicos são, por exem-
plo, o campo gravitacional e eletromagnéticos. Estes campos não são analíticos para par-
tículas puntiformes! Eles possuem singularidades na origem do sistema de coordenadas.
1.14. EXEMPLOS DE DERIVADAS 53
d
ds
(A+B) =
dA
ds
+
dB
ds
, (1.13.6)
d
ds
(A ·B) = dA
ds
·B+A · dB
ds
, (1.13.7)
d
ds
(A×B) = dA
ds
×B+A× dB
ds
, (1.13.8)
d
ds
(φB) =
dφ
ds
B+ φ
dB
ds
. (1.13.9)
e similarmente para as outras propriedades.
1.14 Exemplos de Derivadas
1.14.1 Vetor Posição, Velocidade e Aceleração em Co-
ordenadas Cartesianas.
A descrição da dinâmica de partículas e dos sistemas de partículas com a
utilização de vetores simplifica a descrição e reduz o números de equações
por causa da notação vetorial ser compacta, ou seja as três dimensões estão
implicita em um único termo.
Para esta abordagem é necessário descrever na forma vetorial a posição,
velocidade e aceleração das partículas que compões o sistema. Costuma-se
especificar a posição com relação a um dado sistema de referência, a esta
posição associamos um vetor denominado de raio vetor representado por
r(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3, (1.14.1)
que depende continuamente do parâmetro t que neste caso representará o
tempo. A velocidade e aceleração são definidas como
v(t) ≡ dr(t)
dt
= r˙(t), (1.14.2)
a(t) ≡ dv(t)
dt
= v˙(t) =
d2r(t)
dt2
= r¨(t). (1.14.3)
Nesta notação os pontos sobre as variáveis dinâmicas representam derivadas
com relação ao tempo: um ponto significa derivada primeira e dois pon-
tos, derivada segunda. Em coordenadas cartesianas retangularesos vetores
posição, velocidade e aceleração podem ser escritos como
54 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Figura 1.15.1: Família de superfícies ortogonais cujas intersecções definem os
vetores unitários ortonormais de um sistema de coordenadas curvilineares.

r = x1e1 + x2e2 + x3e3 = xiei Vetor posição,
v = r˙ = x˙iei Vetor velocidade,
a = v˙ = r¨ = x¨iei Vetor aceleração .
(1.14.4)
O cálculo destas quantidades em coordenadas cartesianas é direto porque
os vetores unitários são constantes ou fixos. O sistema de coordenadas
cartesiano (retangular) é o único sistema que possui os vetores
unitários fixos!
De forma geral os vetores unitários não são fixos e com o movimento da
partícula no espaço, os vetores unitários podem mudar suas orientações (mas
permanecem ortogonais entre si) e deixam de ser constantes no tempo! Para
descrever a posição, velocidade e aceleração faremos uma breve incursão à
descrição de coordenadas curvilineares.
1.15 Coordenadas Curvilineares
O interesse14 em discutir coordenadas curvilineares é devido a possibilidade
de expressar as equações da física ( ou física matemática) em sistemas de
coordenadas nos quais a descrição do problema torna-se mais simples. A
discussão será restrita aos sistemas de coordenadas ortogonais onde as três
famílias de superfícies coordenadas são mutuamete ortogonais. Veja a figura
(1.15.1).
14O material desta seção é, em parte baseado na referência ?
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 55
Um sistema de coordenadas generalizadas consiste em uma família de
superfícies cujas equações em termos de coordenadas cartesianas são
ξ1(x, y, z) = c,
ξ2(x, y, z) = c,
ξ3(x, y, z) = c.
(1.15.1)
Se as transformações não forem singulares, o determinante do Jacobiano
det J =
∣∣∣∣∂(ξ1, ξ2, ξ3)∂(x, y, z)
∣∣∣∣ 6= 0,
possibilitando a inversão das equações que então fornecem as funções ξi i =
1, 2, 3 em função de x, y. z ou se for necessário x, y, z em função de
ξ1, ξ2, ξ3.
As linhas de intersecção das superfícies definem os novos eixos das co-
ordenadas curvilineares ortogonais, aos quais associamos os vetores unitário
ortonormais eξ1 , eξ2 , eξ3 no ponto (ξ1, ξ2, ξ3) tangentes às curvas defini-
das pelas intersecções das superfícies. Estes são vetores unitários genéricos
(de um dado sistema de coordenadas curvilineares) em termos dos quais es-
pressaremos as componentes de um dado vetor. Estes vetores unitários são
mutuamente perpendiculares
ea · eb = δab, (1.15.2)
ea × eb = εabcec (1.15.3)
1.15.1 Cossenos Diretores
Os cossenos diretores (os mesmos que já discutimos anteriormente) entre os
novos eixos de coordenadas (ξ1, ξ2, ξ3) e o sistemas cartesiano são
λai = cos(ξa, xi), (1.15.4)
que também são elementos de uma matriz ortogonal λ
λaiλbi = δab. (1.15.5)
Nesta notação os índices a, b, c, · · · são associados às coordenadas curvili-
neares enquanto que os índices i, j, k, · · · são associados às coordenadas
cartesianas. Desta forma os vetores unitários das coordenadas curvilineares
podem ser expandidos na base cartesiana como
ea = λaiei, a, i = 1, 2, 3. (1.15.6)
56 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Como a transformação não é singular a expressão anterior pode ser invertida
possibilitando escrever os vetores unitários do sistema cartesiano em termos
dos vetores unitários do sistema curvilinear
ei = λiaea. (1.15.7)
A matriz (λia) com elementos λia é a inversa (transposta já que a transfor-
mação é ortogonal) da matriz λai. Note que a ortogonalidade
λiaλja = δij, (1.15.8)
expressa a ortogonalidade da matriz λ nos eixos do sistema cartesiano! As
expansões anteriores podem ser escritas (como já feito anteriormente) na
forma de matricial e1e2
e3
 =
 λ1ξ1 λ1ξ2 λ1ξ3λ2ξ1 λ2ξ2 λ2ξ3
λ3ξ1 λ3ξ2 λ3ξ3
 eξ1eξ2
eξ3

 eξ1eξ2
eξ3
 =
 λξ11 λξ12 λξ13λξ21 λξ22 λξ23
λξ31 λξ32 λξ33
 e1e2
e3
 . (1.15.9)
As seguintes equações mostram a consistência das equações e notação:
ea · eb = δab ea = λaiei; (1.15.10)
ei · ej = δij, ei = λiaea, (1.15.11)
ea · eb = λaiei · λbjej = λaiλbjei · ej = λaiλbjδij = δab,
ei · ej = λiaea · λjbeb = λiaλjbea · eb = λiaλjbδab = δij.
Estas equações refletem a ortogonalidade nos eixos curvilineares e carte-
sianos, respectivamente.
Neste novo sistema de coordenada um dado vetor F é decomposto como
F = Faea, Fa = F · ea. (1.15.12)
Utilizando a equação (1.15.10), pode-se escrever as componentes do vetor F
do novo sistema de coordenadas, em função de suas coordenadas cartesianas,
da seguinte forma:
Fa = F · ea = F · (λaiei) = λaiF · ei
= λaiFi = λa1F1 + λa2F2 + λa3F3.
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 57
A expressão inversa é
Fi = F · ei = F · (λiaea) = λiaF · ea
= λiaFa = λiξ1Fξ2 + λiξ2Fξ2 + λiξ3Fξ3 .
Em resumo, as equações
Fa = λaiFi,
Fi = λiaFa,
(1.15.13)
definem a lei de transformação de vetores entre dois sistemas de coorde-
nadas curvilineares ortogonais. O conjunto de quantidades (Fx, Fy, Fz) e
(Fξ1 , Fξ2 , Fξ3) são vetores nos sitemas de coordenadas cortesianos e curvili-
near respectivamente, suas componentes são transformadas segundo a equa-
ção (1.15.13). As quantidades λai são as componentes da matriz λ que é
ortogonal, equação (1.6.8),
λt = λ−1.
1.15.2 Fatores de Escala ou Coeficientes de Lamé
A grandeza básica fundamental para estabelecermos todas as equações de
transformações entre dois sistemas de coordenadas (em particular os curvi-
lineares que são tratados neste texto) na geometria diferencial é o elemento
de comprimento de arco infinitesimal ds também denominado de distância
infinitesimal entre dois pontos em um dado espaço. O quadrado do elemento
de comprimento de arco é escrito como
ds2 = gabdx
adxb, (1.15.14)
onde gab é o tensor métrico fundamental cujo número de componentes de-
pende da dimensão do espaço (superfície) em consideração. Para um espaço
n− d (n-dimensional) o tensor métrico fundamental (gab) é uma matriz qua-
drada de ordem n, portanto (gab) é uma matriz n×n. dxa é um deslocamento
infinitesimal em uma dada direção. Para coordenads curvilineares ortogonais
o tensor métrico fundamental é diagonal
gab = δabh
2
b , (gab) =
 g11 g12 g13g21 g22 g23
g31 g32 g33
 =
 h21 0 00 h22 0
0 0 h23
 ; (1.15.15)
sem soma no índice b. Para as coordenadas curvilineares, o elemento de
comprimento de arco possui a seguinte forma reduzida
ds2 = gabdξ
adξb = δabh
2
bdξ
adξb = h2adξ
adξa (1.15.16)
58 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Um conceito muito importante é o da invariância da distância entre dois
pontos. Este conceito, já foi discutido anteriormente quando definiu-se o
módulo de um vetor e a invariância da distância entre dois pontos, medida
de quaisquer sistemas de coordenadas ortogonais relacionados pela matriz λ.
Em particular, para os sistemas ortogonais que estamos considerando, por
exemplo o cartesiano e um curvilinear qualquer, esta invariância é expressa
como
ds′2 = ds2 =⇒gabdξadξb = gijdxidxj = dxidxi,
gij = δij, em coordenadas cartesianas.
(1.15.17)
O elemento de comprimento de arco é um vetor que em 3−d escreve-se como
ds = eidx
i = haeadξa. sem soma no índice a (1.15.18)
Desta equação calcula-se
∂s
∂ξb
= hbeb =⇒ eb = 1
hb
∂s
∂ξb
,
∣∣∣∣ ∂s∂ξb
∣∣∣∣ = hb . (1.15.19)
Esta equação define os coeficientes de Lamé (ou as componentes do tensor
métrico fundamental) . Note que não há soma no índice b que aparece nessa
equação .
A forma explicita dos coeficientes de Lamé relacionando coordenadas car-
tesianas com curvilineares é obtida da equação (1.15.20) fazendo:
gabdξ
adξb = gijdx
idxj = dxidxi =⇒
gab
∂ξa
∂ξc
∂ξa
∂ξd
=
∂xi
∂ξc
∂xi
∂ξd
=⇒
gabδacδbd =
∂xi
∂ξc
∂xi
∂ξd
=⇒
gcd = h
2
cδcd =
∂xi
∂ξc
∂xi
∂ξd
=⇒
h2c =
∂xi
∂ξc
∂xi
∂ξd
;
portantoh2a =
∣∣∣∣ ∂s∂ξa
∣∣∣∣ = ( ∂x∂ξa
)2
+
(
∂y
∂ξa
)2
+
(
∂z
∂ξa
)2
=⇒
ha =
√(
∂x
∂ξa
)2
+
(
∂y
∂ξa
)2
+
(
∂z
∂ξa
)2
.
(1.15.20)
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 59
Na obtenção desta equação utilizou-se a equação (1.15.17). Os coeficientes de
Lamé ou fatores de escala das coordenadas ξa podem ser entendidos como a
mudança ξadξa produzida na curva coordenada (a−ésima curva de intersecção
entre as superfícies coordenadas) por conta de um deslocamento infinitesimal
dξa produzido na coordenada ξa.
Como exemplos apresenta-se as grandezas h′as resultante das relações en-
tre as coordenadas cartesianas e os sistemas de coordenadas mais comuns:
cilindricas e esféricas.
Exemplo 1.15.1. Coordenadas Cilindricas: (ξ1, ξ2, ξ3) ≡ (ρ, φ, z)
Em coordenadas cartesianas o vetor posição é
r = xi+ yj+ zk = r(x, y, z),
enquanto que em coordenadas cilindricas, as coordenadas de um ponto no
espaço são determinadas pelas coordenadas ρ, φ, z, o vetor posição de um
ponto no espaço, neste sistema de coordenadas, é função destas variáveis, ou
seja
r = r(ρ, φ, z).
As equações de transformação relacionando os dois conjuntos de coordenadas
são
x = x(ρ, φ, z) = ρ cosφ,
y = y(ρ, φ, z) = ρ sinφ,
z = z(ρ, φ, z) = z.
Ou as transformações inversas
tanφ =
x
y
,
ρ2 = x2 + y2.
É necessário, para a construção dos vetores unitários, escrever o vetor posi-
ção nas coordenadas cartesianas em termos das equações de transformações.
Note que este vetor não está escrito em coordenadas cilindricas, mas sim em
coordenadas cartesianos em termos das variáveis das coordenadas cilindricas:
r = s = ρ cosφi+ ρ sinφj+ zk.
60 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Utilizando estas equações e a equação (1.15.20) pode-se calcular os fatores
de escala, ha:
hρ =
√(
∂x
∂ξ1
)2
+
(
∂y
∂ξ1
)2
+
(
∂z
∂ξ1
)2
=
√(
∂x
∂ρ
)2
+
(
∂y
∂ρ
)2
+
(
∂z
∂ρ
)2
=
√
(cosφ)2 + (sinφ)2 + (0)2
= 1;
hφ =
√(
∂x
∂ξ2
)2
+
(
∂y
∂ξ2
)2
+
(
∂z
∂ξ2
)2
=
√(
∂x
∂φ
)2
+
(
∂y
∂φ
)2
+
(
∂z
∂φ
)2
=
√
(−ρ sinφ)2 + (ρ cosφ)2 + (0)2
= ρ;
hz = 1.
Colecionando os resultados anteriores
hρ = 1,
hφ = ρ,
hz = 1.
(1.15.21)
Os vetores unitários nas coordenadas cilindricas são obtidos utilizando os
resultados anteriores e a equação (1.15.19)
eρ =
1
hρ
∂s
∂ρ
= cosφi+ sinφj,
eφ =
1
hφ
∂s
∂φ
= − sinφi+ cosφj,
ez = k.
(1.15.22)
A equação (1.15.4) combinada com a equação (de fato são equivalentes)
(1.15.6) fornece
λai = cos(ξa, xi) = ea · ei. (1.15.23)
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 61
Esta equação pode ser usada para se construirmr a matriz λ que transforma
o sitema de coordenadas cartesianas para cilindricas. Utilizando os vetores
unitários das coordenadas cartesianas e cilindrincas encontramos
λ =
 eρ · ei eρ · ej eρ · ekeφ · ei eφ · ej eφ · ek
ez · ei ez · ej ez · ek
 =
 cosφ sinφ 0− sinφ cosφ 0
0 0 1
 ,
e a matriz λ inversa (obtida calculando-se a transposta)
λ−1 =
 cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0
0 0 1
 .
Utilizando λ−1 pode-se inverter as equações que relacionam os vetores uni-
tários em coordenadas cilindricas e cartesianas para expressar os unitários
cartesianos em função dos unitários cilindricos: ij
k
 =
 cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0
0 0 1
 eρeφ
k
 =
 cosφeρ − sinφeφsinφeρ + cosφeφ
k
 ,
ou seja, temos as seguintes expressões para os vetores cartesianos unitários
em função dos cilindricos unitários
i = cosφeρ − sinφeφ,
j = sinφeρ + cosφeφ,
k = k.
(1.15.24)
O sistema de coordenadas esféricos também é bastante utilizado, ele será
o próximo exemplo.
Exemplo 1.15.2. Coordenadas esféricas: (ξ1, ξ2, ξ3) ≡ (r, θ, φ)
As equações de transformações relacionando as variáveis em coordenadas
cartesianas e esféricas são
x = x(r, θ, φ) = r sin θ cosφ,
y = y(r, θ, φ) = r sin θ sinφ,
z = z(r, θ, φ) = r cos θ.
O vetor posição r = xi + yj + zk em função das variáveir r, θ, φ fornece o
arco
s = r sin θ cosφi+ r sin θ sinφj+ r cos θk.
62 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
Os coeficientes de Lamé são
hr =
√(
∂x
∂ξ1
)2
+
(
∂y
∂ξ1
)2
+
(
∂z
∂ξ1
)2
=
√(
∂x
∂r
)2
+
(
∂y
∂r
)2
+
(
∂z
∂r
)2
=
√
(sin θ cosφ)2 + (sin θ sinφ)2 + (cos θ)2
= 1;
hθ =
√(
∂x
∂ξ2
)2
+
(
∂y
∂ξ2
)2
+
(
∂z
∂ξ2
)2
=
√(
∂x
∂θ
)2
+
(
∂y
∂θ
)2
+
(
∂z
∂θ
)2
= r
√
(cos θ cosφ)2 + (cos θ cosφ)2 + (− sin θ)2
= r;
hφ =
√(
∂x
∂ξ3
)2
+
(
∂y
∂ξ3
)2
+
(
∂z
∂ξ3
)2
=
√(
∂x
∂φ
)2
+
(
∂y
∂φ
)2
+ ξ˙b
(
∂z
∂φ
)2
= r
√
(− sin θ sinφ)2 + (sin θ cosφ)2 + (0)2
= r sin θ.
Resumidamente, os resultados anteriores são
hr = 1
hθ = r,
hφ = r sin θ.
(1.15.25)
Utilizando a equação (1.15.19) calcula-se os vetores unitários em coordenadas
esféricas:
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 63
er =
1
hr
∂s
∂r
= sin θ cosφi+ sin θ sinφj+ cos θk,
eθ =
1
hθ
∂s
∂θ
= cos θ cosφi+ cos θ sinφj− sin θk,
eφ =
1
hφ
∂s
∂φ
= − sinφi+ cosφj.
(1.15.26)
Novamente, utilizando a equação (1.15.23) constroi-se a matriz λ que tran-
forma coordenadas cartesianas para esféricas:
λ =
 er · ei er · ej er · ekeθ · ei eθ · ej eθ · ek
eφ · ei eφ · ej eφ · ek
 =
 sin θ cosφ sin θ sinφ cos θcos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ
−ξ˙b sin θ cosφ 0
 .
A matriz inversa é
λ−1 =
 sin θ cosφ cos θ cosφ − sin θsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ
cos θ − sin θ 0
 ,
que pode ser utilizada para se calcular as transformações inversas para os
vetores unitários:
 ij
k
 =
 sin θ cosφ cos θ cosφ − sin θsin θ sinφ cos θ sinφ cosφ
cos θ − sin θ 0
 ereθ
eφ

=
 er sin θ cosφ+ eθ cos θ cosφ− eφ sin θer sin θ sinφ+ eθ cos θ sinφ+ eφ cosφ
er cos θ − eθ sin θ
 ,
que fornecem as expressões para os vetores cartesianos unitários em funçãoes
dos esféricos unitários
i = er sin θ cosφ+ eθ cos θ cosφ− eφ sin θ,
j = er sin θ sinφ+ eθ cos θ sinφ+ eφ cosφ,
k = er cos θ − eθ sin θ.
(1.15.27)
64 CAPÍTULO 1. MATRIZES, VETORES E CÁLCULO VETORIAL
1.15.3 O Elemento de Volume e Operadores Diferenciais
em Coordenadas Curvilineares.
Apresentamos sem demonstração algumas expressões muito úteis para se
trabalhar em coordendas curvilineares.
Utilizando os fatores de escala, escreve-se os elementos infinitesimais de
arco, área e volume em coordenadas curvilineares como
ds = (he)adξa; (1.15.28)
dAa = 1
2!
εabcSbc, Sbc ≡ dξadξ′b − dξbdξ′a (1.15.29)
dV = hξ1hξ2hξ3dξ1dξ2dξ3 =
√
gdξ1dξ2dξ3. (1.15.30)
A expressão (1.15.29) deve ser utilizada com cuidado. Note que a grandeza
Sab é antisimétrica, Sab = −Sba por isto, por exempo em coordenadas carte-
sianas tem-se que:
dA1 = 1
2!
ε1bcSbc = S23 = dx2dx3 = dydz,
dA2 = 1
2!
ε2bcSbc = S31 = dx3dx1 = dzdx,
dA3 = 1
2!
ε3bcSbc = S12 = dx1dx2 = dxdy.
Na expressão anterior,
g ≡ det(gab) (1.15.31)
As expressões genéricas dos operadores diferenciais são
∇Ψ =
(e
h
)
a
∂aΨ, (1.15.32)
∇ ·A = 1
hξ1hξ2hξ3
∂a
[
hξ1hξ2hξ3
(
A
h
)
a
]
, (1.15.33)
∇×A = 1
hξ1hξ2hξ3
εabc(eh)a∂b(Ah)c, (1.15.34)
∇2Ψ = 1
hξ1hξ2hξ3
∑
a
∂a
[
hξ1hξ2hξ3
h2ξa
∂aΨ
]
(1.15.35)
∇2Ψ = − 1√
g
∂µ [
√
ggµν∂νΨ] . (1.15.36)
Vale observar que o operador de Laplace (Laplaciano), eq. (1.15.35), opera
tanto em campos escalares quanto vetoriais.
1.15. COORDENADAS CURVILINEARES 65
Exemplos
Exemplo 1.15.3. Seja o campo vetorial A = 5rer + 2 sinφeθ + 2 cos θeφ,
expresso em coordenadas esféricas. Obtenha a expressão deste campo em
coordenadas cartesianas.
As equações