06 Perdas de Protensão

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05/08/2017
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Professora: Edilene Muniz de Oliveira
munizedi@gmail.com
2Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Ao se efetuar a protensão não se consegue um esforço constante ao longo
da mesma
 Efeitos decorrentes das técnicas de protensão influenciam na força
efetivamente aplicada
 Fenômenos reológicos do concreto e do aço influenciam na força de
protensão efetivamente aplicada
 Perda de Protensão: diminuição do esforço de protensão que ocorre ao
longo do cabo
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3Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Perdas imediatas
 Perda por atrito
 Perda por deformação da ancoragem
 Perda por deformação imediata do concreto
 Perdas progressivas ou diferidas
 Perda por retração do concreto
 Perda por fluência do concreto
 Perda por relaxação da armadura
4Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Em um trecho curvo do cabo, o mesmo tende a se retificar ocasionando
uma ação no concreto na direção radial
 Essas ações normais provocam atrito na direção longitudinal do cabo
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5Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Por equilíbrio, na direção horizontal:
  aFddFFdF 







2
cos
2
cos  1
2
cos dComo
NdF
FdF a


6Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Por equilíbrio, na direção vertical:
  NdsendFFdsenF 








22

22
 ddsenComo 
NddFFd 
2
 
 FdddFComo 
2
NFd 
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7Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Temos então:
Integrando ambos os lados:


d
F
dF
FdNdF


 





 
eFF
d
F
dF
SS
x
'
00
8Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Mesmo em cabos projetados como retilíneos ocorre a perda por atrito
devido a ondulações chamadas de parasitárias
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9Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A força de protensão após a perda por atrito é:
FS = Força de protensão na seção S
FS’ = Força de protensão na seção S’
μ = Coeficiente de atrito
Δα = desvio angular entre as tangentes ao cabo em S e S’ (rad)
β = desvio parasitório do cabo (rad/m)
x = distância entre S e S’, na projeção horizontal (m)
 x
SS eFF
  '
10Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Na falta de dados experimentais,  01,0
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11Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo logo após a
efetivação da protensão. Considerar que a tensão inicial de protensão no
cabo nas extremidades da peça é de σpi= 1200 MPa. Considerar como dados
os valores de μ = 0,23; β=0,01rad/m. Considere as duas ancoragens ativas.
Supor que a trajetória do cabo é parabólica (parábola do segundo grau).
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 Calcular

15
9,022
a
ftg
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13Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Por simetria, as tensões no cabo nos pontos D e E são iguais,
respectivamente, às dos pontos B e A
Seção x (m) Δα (rad) σρ (MPa)
A 0,00 0 1 1200
B 15,00 0,11943 0,93991 1128
C 24,00 0,11943 0,92066 1105
 xe  
14Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a força de protensão ao longo de um cabo de cordoalha
engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190 RB) que tem a trajetória dada na
figura. Considerar μ=0,05 e β=0,01rd/m e σpi= 1377 MPa. Supor que a
trajetória do cabo é parabólica (parábola do segundo grau).
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15Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
16Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Seção x (m) α (°) α (rad) Δα (rad) σρ (MPa)
0 0,00 0 0 0 1 1377
1 1,00 0 0 0 0,99950 1376
2 2,15 2,77 0,04831 0,04831 0,99652 1372
3 4,50 2,77 0,04830 0,09661 0,99294 1367
4 6,85 5,52 0,09638 0,19299 0,98701 1359
5 8,00 5,52 0,09640 0,28939 0,98170 1352
6 9,15 5,52 0,09640 0,38579 0,97642 1345
7 11,50 5,52 0,09638 0,48217 0,97058 1336
8 13,85 2,77 0,04830 0,53047 0,96710 1332
9 15,00 2,77 0,04831 0,57878 0,96422 1328
10 16,00 0 0 0,57878 0,96373 1327
 xe  
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17Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
18Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a força de protensão na seção do ponto 2 do cabo dado de
12 φ1/2” na figura em que é usada aderência posterior e cuja força de
protensão nas duas extremidades é de 1498 kN. Considerar o coeficiente de
atrito μ=0,20 e β=0,01rd/m. Supor que a trajetória do cabo é parabólica
(parábola do segundo grau).
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19Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
20Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Protensão à esquerda
Seção x (m) α (°) α (rad) Δα (rad) P (kN)
A 0,00 0 1 1498
1 5,00 0 0 0 0,99005 1483
2 25,00 8 0,13963 0,13963 0,92503 1386
3 35,00 10 0,17453 0,31416 0,87561 1312
4 45,00 10 0,17453 0,48869 0,82883 1242
B 50,00 0 0 0,48869 0,82058 1229
 xe  
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21Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Protensão à direita
Seção x (m) α (°) α (rad) Δα (rad) P (kN)
B 0,00 0 1 1498
4 5,00 0 0 0 0,99005 1483
3 15,00 10 0,17453 0,17453 0,93716 1404
2 25,00 10 0,17453 0,34907 0,88709 1329
1 45,00 8 0,13963 0,48869 0,82883 1242
A 50,00 0 0,00000 0,48869 0,82058 1229
 xe  
22Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
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23Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Na acomodação das cunhas de ancoragem há uma retrocesso no cabo
esticado, provocando uma perda na tensão
24Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Esse retrocesso depende do dispositivo de ancoragem.
 Os valores deste encurtamento são fornecidos pelos fabricantes das
ancoragens. No sistema atual VSL e Rudloff este encurtamento vale 6 mm.
A perda por deformação da ancoragem influencia apenas em um trecho e
vai diminuindo até zerar em um ponto indeslocável
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25Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 No trecho dx:
Integrando ambos os lados:
Área do diagrama 1-3-4 Encurtamento
 
dx
dx
 
dx
dxEE  
  
LL
dx
dxEdx
00
.
26Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a tensão de protensão ao longo do cabo dado na figura, após a
ancoragem do mesmo. Considere que é usada aderência posterior e a tensão
de protensão na extremidade ativa é de 1377 MPa, coeficiente de atrito
μ=0,20, β=0,01rd/m, ΔL=6mm e Ep=200000 MPa.
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27Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Seção x (m) α (°) α (rad) Δα (rad) σρ (MPa)
A 0,00 0 0 1 1377
1 5,00 4 0,069813 0,06981 0,97632 1344
2 15,00 8 0,139626 0,20944 0,93064 1281
3 25,00 8 0,139626 0,34907 0,88709 1222
4 45,00 8 0,139626 0,48869 0,82883 1141
B 50,00 0 0 0,48869 0,82058 1130
 xe  
28Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A área do gráfico deverá ser:
 Tentativa 1 - Supondo que o ponto indeslocável seja o ponto 2, ou seja, a
perda da tensão devida a acomodação da ancoragem influencie até o ponto
2:
O ponto indeslocável está à esquerda do ponto 2
     
cmMPacmMPa .120000.142500
2
100012811344500
2
12811344128113772
1
1




 
cmMPaEL .1200002000006,0. 
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29Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Tentativa 2 - Supondo que o ponto indeslocável sejao ponto 1:
O ponto indeslocável está entre o ponto 1 e o ponto 2
 Final:
 
cmMPacmMPa .120000.16500
500
2
134413772
2
2




 
500
063,0
1344
500
1344
1000
12811344



i
i
i
i
x
x


30Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
   
   
MPa
x
i
ii
i
i
i
i
1289
018844882751
1344500
063,0
1344500103500
1344
2
500500
2
134413772120000
2






 



 




cmxi 1373500063,0
12891344 
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31Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Seção Tensão após perda por atrito
Tensão após perda por 
deformação da ancoragem 
(MPa)
A 1377 1201
1 1344 1234
2 1281 1281
3 1222 1222
4 1141 1141
B 1130 1130
32Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a força de protensão ao longo do cabo do exemplo 2, após a
ancoragem. Considerar Δl = 6 mm, Ep=200000 MPa.
 Após as perdas por atrito encontramos:
 A área do gráfico deverá ser:
Seção σρ (MPa) Seção σρ (MPa)
0 1377 6 1345
1 1376 7 1336
2 1372 8 1332
3 1367 9 1328
4 1359 10 1327
5 1352
cmMPaEL .1200002000006,0. 
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33Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Tentativa 1 - Supondo que o ponto indeslocável seja o ponto 10:
Todo o cabo será influenciado pela perda por
deformação da ancoragem
       
       
       
       
     
cmMPacmMPa .120000.79530
2
100132713282115
2
13271328132713322
235
2
13271332132713362235
2
13271336132713452
115
2
13271345132713522115
2
13271352132713592
235
2
13271359132713672235
2
13271367132713722
115
2
13271372132713762100
2
13271376132713772
1
1






34Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Final:
Para a equivalência Ω=Ω1, o gráfico da tensão no cabo, além de rebatido
deverá deslocar-se para baixo Δσ, onde:
Logo, a tensão em qualquer ponto do cabo será:
MPa
LLaje
30,25
1600
795301200001 
    10,, 2 atritonatritonn
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35Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Seção Tensão após perda por atrito
Tensão após perda por 
deformação da ancoragem 
(MPa)
0 1377 1252
1 1376 1253
2 1372 1257
3 1367 1262
4 1359 1270
5 1352 1277
6 1345 1285
7 1336 1293
8 1332 1297
9 1328 1301
10 1327 1302
36Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Quando a aplicação da protensão é feita cabo ou cabo, ou seja, protende
um primeiro cabo e ancora para depois protender o segundo cabo, a
deformação no concreto que a protensão do segundo cabo provocará irá
reduzir a tensão do primeiro cabo
 Pode-se calcular a perda média, considerando um cabo resultante,
posicionado no centro da força de todos os cabos
 
n
n
I
Me
I
eN
A
N pp
pmédp 2
12
,





 
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37Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Tratando-se de pré-tração, em que a protensão na peça ocorre
simultaneamente para todos os cabos, temos:





I
Me
I
eN
A
N pp
pmédp
2
, 
38Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a perda de protensão por deformação imediata do cabo
representante dos 16 cabos que atuam na seção de extremidade da peça
(seção onde se dá a ancoragem ativa dos mesmos) cuja seção transversal
está indicada na figura. Considerar que a tangente a trajetória dos cabos
(todos) na seção é horizontal e que a força nos mesmos após a ancoragem é
de 1400 kN. Considerar ainda como dados os valores das características de
seção A = 6,15 m², I = 1,683 m⁴, y1 = 0,8595 m e h = 1,30 m. Considerar
ainda que a relação entre os módulos de elasticidade do aço de protensão e
do concreto seja igual a αp=7.
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39Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
cmy p 5,6216
1004804504204 
myhd pp 675,0625,03,1
' 
mdye pp 1845,0675,08595,0
'
1 
40Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 
  MPa
n
n
I
Me
I
eN
A
N
médp
pp
pmédp
67,28
162
116
683,1
1845,0140016
15,6
1400167
2
1
2
,
2
,





 








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41Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A retração provoca uma variação volumétrica no concreto, que por sua vez
provoca uma redução no estiramento da armadura.
 A retração inicia-se no endurecimento do concreto. Então para a perda de
protensão tomamos t0 como o dia referente à aplicação da protensão
 As variáveis que influenciam são a temperatura, a umidade do ambiente, a
espessura da peça e a quantidade de água do concreto
 A perda de tensão devida à retração do concreto é:
    pcssp Etttt 00, ,,  
42Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A retração do concreto entre os instantes t e t0 é:
Onde:
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43Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Em que:
44Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
05/08/2017
23
45Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
46Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Onde:
05/08/2017
24
47Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A idade fictícia do concreto é dada por:
48Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A espessura fictícia da peça é dada por:
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49Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Onde:
50Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a perda por retração que um cabo sofrerá, decorrido 12 meses,
atuando em uma viga que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o
concreto com 5 dias de idade, com abatimento entre 10 e 15 cm em um
ambiente de U=70% e temperatura média de 20°C. Considerar
Ep = 1,95 .10⁵ MPa. Considerar como dados adicionais concreto com
abatimento entre 10 e 15 cm, e temperatura média de 200C.
:
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51Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
γ = 1,74
hfic = 1,05 m
t(5) = 5 dias
t(360) = 355 dias
ε2s = 1,466
10⁴.ε1s = 3,4 Tabela
10⁴.εcs∞ = 4,98
βs(5) = 0
(Gráfico)
βs(360) = 0,52
10⁴.ε(t,t0) = 2,592
Δσp,s = 50,54 MPa
52Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A fluência provoca uma deformação no concreto, que por sua vez provoca
uma redução no estiramento da armadura.
 A fluência dar-se-á devido permanentes e se esses carregamentos
iniciarem a ação em idades diferentes, a fluência devido a eles deverá ser
avaliada separadamente
 A fluência é composta por uma parcela rápida e outra lenta. A rápida εcca é
irreversível e ocorre durante 24 h após a aplicação da carga e a lenta é
composta por outras duas parcelas: a irreversível εccf e a reversível εccd.
 A perda de tensão devida à fluência do concreto é:
    pcgpcp tttt  00, ,, 
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53Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Onde:
54Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
05/08/2017
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55Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
56Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
05/08/2017
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57Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a perda por fluência do concreto que um cabo sofrerá atuando em
uma vigaque tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 5
dias de idade, com abatimento entre 10 e 15 cm, temperatura média de
20°C, cimento CP-II e em um ambiente de U=75%. Considerar
Ep = 1,95 .10⁵ MPa, σcg,p=4 MPa e αp =7.
:
58Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
γ = 1,74
hfic = 1,05 m
t(5) = 10 dias
t(360 = 710 dias
fc(t0)/fc(t) = 0,507
φa = 0,39
φ1c = 2,28 Tabela
φ2c = 1,18
φ∞ = 2,68
βf(5) = 0,2
(Gráfico)
βf(360) = 0,62
φd∞ = 0,4
βd = 0,935
φ(t,t0) = 1,892
Δσp,c = 52,99 MPa
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59Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 A relaxação da armadura provoca uma redução no estiramento da
armadura.
 A perda de tensão devida à relaxação da armadura é:
Para tempo infinito pode-se considerar ψ (∞, t0) = 2,5 . Ψ1000
   00, ,, tttt pirp  
  



 
67,41
, 010000
tttt 
60Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Para tempo infinito pode-se considerar ψ (∞, t0) = 2,5 . ψ1000
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61Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Calcular a perda por relaxação de um cabo que na seção em que esta
sendo analisado tem uma tensão no tempo zero (após as perdas iniciais)
1247 MPa. Considerar aço CP190RB
656,0
1900
1247 R
  93,4972,15,25,2, 10000   tt
972,1k
    MPatttt pirp 48,610493,01247,, 00,  