TOPOGRAFIA II - APOSTILA COMPLETA

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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS 
MISSÕES – URI ERECHIM 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA II 
 
 
 
 
 
PROF. LEANDRO PINTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
2014 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO À ALTIMETRIA ............................................................................ 6 
2. NORMAS DE NIVELAMENTO ............................................................................. 7 
2.1. TIPOS DE NIVELAMENTO ................................................................................... 7 
2.1.1. Nivelamento geométrico ................................................................................. 7 
2.1.2. Nivelamento trigonométrico ............................................................................ 7 
2.1.3. Nivelamento taqueométrico ............................................................................ 8 
2.1.4. Nivelamento barométrico ................................................................................ 8 
2.2. CLASSIFICAÇÃO DOS NÍVEIS ............................................................................ 8 
2.3. CLASSES DE NIVELAMENTOS .......................................................................... 9 
2.3.1. Classe IN ........................................................................................................ 9 
2.3.2. Classe IIN ....................................................................................................... 9 
2.3.4. Classe IVN ..................................................................................................... 9 
2.4 TOLERÂNCIAS DE ACORDO COM O IBGE ........................................................ 9 
3. TÉCNICAS DE NIVELAMENTO ........................................................................ 10 
3.1. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES ........................................................ 10 
3.1.1. Pontos ....................................................................................................... 10 
3.1.2. Distâncias ................................................................................................. 11 
3.1.3. Leituras de ré ............................................................................................ 11 
3.1.4. Leituras de vante ...................................................................................... 11 
3.1.5. Diferenças de nível ................................................................................... 11 
3.1.6. Cotas ........................................................................................................ 12 
3.1.7. Verificação do cálculo da caderneta ............................................................. 13 
3.2 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO .................................................... 13 
3.2.1. Pontos .......................................................................................................... 14 
 
3 
 
3.2.2. Distâncias ..................................................................................................... 14 
3.2.3. Leituras de ré ............................................................................................... 14 
3.2.4. Leituras de vante .......................................................................................... 14 
3.2.5. Vante de mudança ....................................................................................... 14 
3.2.6. Diferenças de nível ....................................................................................... 14 
3.2.7. Cotas ............................................................................................................ 15 
3.2.8. Verificação do cálculo da caderneta ............................................................. 16 
3.3. ERROS ADMISSÍVEIS NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO ............................. 16 
3.3.1. Contranivelamento ....................................................................................... 17 
3.3.2. Compensação do erro .................................................................................. 17 
3.4. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO ................................................................ 18 
3.4.1. Introdução .................................................................................................... 18 
3.4.2. Distância reduzida ........................................................................................ 19 
3.4.3. Diferença de nível ......................................................................................... 19 
3.4.4. Cotas ............................................................................................................ 20 
4. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO ..................................................................... 20 
4.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 20 
4.1. PERFIL ............................................................................................................... 20 
4.1.1. Desenho dos perfis ....................................................................................... 21 
4.1.2. Tipos de perfis .............................................................................................. 21 
4.1.2.1. Perfil direto ............................................................................................. 21 
4.1.2.2. Perfil indireto .......................................................................................... 22 
4.1.3. Natureza dos perfis ...................................................................................... 24 
4.1.4. Direção de um perfil ..................................................................................... 24 
4.2. CURVAS DE NÍVEL ............................................................................................ 26 
4.2.1. Principais propriedades das curvas de nível ................................................ 27 
 
4 
 
4.2.2. Traçado das curvas de nível ........................................................................ 27 
4.3. DECLIVIDADE DO TERRENO ........................................................................... 31 
4.4. PONTOS COTADOS .......................................................................................... 31 
4.5. HACHURAS ........................................................................................................ 32 
4.6. CORES HIPSOMÉTRICAS ................................................................................. 32 
5. TEORIA DOS ERROS ....................................................................................... 33 
5.1 CONCEITO .......................................................................................................... 33 
5.2 CAUSAS DOS ERROS ........................................................................................ 34 
5.2.1 Condições ambientais ................................................................................... 34 
5.2.2 Instrumentais ................................................................................................. 34 
5.2.3 Pessoais ........................................................................................................ 34 
5.3. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS ......................................................................... 34 
5.3.1 Erros grosseiros ............................................................................................ 34 
5.3.2 Erros sistemáticos ......................................................................................... 35 
5.3.3 Erros aleatórios .............................................................................................35 
5.4 PRECISÃO E ACURÁCIA .................................................................................... 36 
5.5 CURVATURA DA TERRA E REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA ................................. 37 
6 TERRAPLANAGEM – CÁLCULO DE CORTE E ATERRO .................................. 39 
6.1 OBJETIVO ........................................................................................................... 39 
6.2 DEFINIÇÃO ......................................................................................................... 40 
6.3 TERRAPLANAGEM DE PLATAFORMAS ........................................................... 40 
6.3.1 Hipótese 1: plano horizontal sem a imposição de uma cota final determinada
 ............................................................................................................................... 41 
6.3.1.1 Nivelamento do terreno e definição da malha quadricular ...................... 42 
6.3.1.2 Determinação dos pesos das cotas ........................................................ 43 
6.3.1.3 Cálculo da cota de passagem ................................................................. 44 
 
5 
 
6.3.1.4 Cálculo das cotas de corte e aterro ........................................................ 46 
6.3.1.5 Obtenção dos volumes de corte e aterro ................................................ 47 
6.3.2 Hipótese 2: plano horizontal com a imposição de uma cota final determinada
 ............................................................................................................................... 48 
7 LEVANTAMENTOS HIDROGRÁFICOS .............................................................. 49 
7.1 BATIMETRIA ....................................................................................................... 49 
7.1.1 Conceitos ...................................................................................................... 49 
7.1.2 Equipamentos ............................................................................................... 49 
7.1.3 Levantamentos .............................................................................................. 50 
7.2 MEDIDA DE VAZÃO DE RIOS ............................................................................ 52 
7.2.1 Método do vertedor ....................................................................................... 52 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 56 
 
 
 
6 
 
1. INTRODUÇÃO À ALTIMETRIA 
Sabe–se que Topografia é a ciência que tem por objetivo representar, sobre um 
plano, uma superfície limitada da Terra, com todos os seus detalhes e acidentes (relevo). 
Altimetria é a parte da topometria que dá a ideia de relevo do terreno. Logo, é através 
da altimetria que se representa uma porção de terreno, como se este fosse cortado por 
um plano vertical, onde os pontos do terreno seriam marcados a partir de um plano 
horizontal, denominado plano de referência, podendo este ser tangente ao geoide 
(aproximação do nível médio dos mares) o que dá as altitudes (cotas verdadeiras), ou 
um plano arbitrário qualquer, que dá as cotas. 
 
Figura 1 – Representação das superfícies topográficas 
 
Fonte: Adaptado de Freiberger et al. (2011, p. 8) 
 
 
 
 
7 
 
2. NORMAS DE NIVELAMENTO 
 
2.1. TIPOS DE NIVELAMENTO 
Segundo a NBR 13.133 os nivelamentos são divididos em geométrico, 
trigonométrico, taqueométrico e barométrico. 
 
2.1.1. Nivelamento geométrico 
Nivelamento que realiza a medida da diferença 
de nível entre pontos do terreno por intermédio de 
leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas 
com um nível, em miras colocadas verticalmente nos 
referidos pontos. Se o instrumento ficar equidistante 
dos extremos (pontos a serem visados A e B) então 
evitará os erros de curvatura terrestre e refração 
atmosférica. A distância ideal na prática é de no máximo 50 m para cada lado. 
 
2.1.2. Nivelamento trigonométrico 
Nivelamento que realiza a medição da diferença de nível entre 
pontos do terreno, indiretamente, a partir da determinação do 
ângulo vertical da direção que os une e da distância entre estes, 
fundamentando–se na relação trigonométrica entre o ângulo e a 
distância medidos, levando em consideração a altura do centro do 
limbo vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do 
sinal visado. 
 
 
 
 
8 
 
2.1.3. Nivelamento taqueométrico 
Nivelamento trigonométrico em que as distâncias 
são obtidas taqueometricamente e a altura do sinal 
visado é obtida pela visada do fio médio do retículo da 
luneta do teodolito sobre uma mira colocada 
verticalmente no ponto cuja diferença de nível em 
relação à estação do teodolito é objeto de 
determinação. 
 
2.1.4. Nivelamento barométrico 
Nivelamento realizado através de barômetros que, por 
meio da estimativa da pressão atmosférica, mensura a 
altitude do relevo em relação ao nível médio do mar. Este 
instrumento foi inventado em 1643 pelo físico e matemático 
italiano Torricelli. Existem dois tipos de barômetro: de coluna 
de mercúrio e aneróide (metálico). 
 
2.2. CLASSIFICAÇÃO DOS NÍVEIS 
Os níveis são classificados segundo desvio–padrão de 1 km de duplo 
nivelamento. A precisão dos níveis é informada pelos fabricantes. 
 
Quadro 1: Classificação dos níveis segundo à sua precisão 
Classes de precisão Desvio–padrão 
1 Baixa > ± 10 mm/km 
2 Média < ± 10 mm/km 
3 Alta < ± 3 mm/km 
4 Muito alta < ± 1 mm/km 
 
 
9 
 
2.3. CLASSES DE NIVELAMENTOS 
As finalidades das quatro classes de nivelamento de linhas ou circuitos e seções 
apresentadas na NBR 13.133 referem–se a: 
 
2.3.1. Classe IN 
Nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) de apoio 
altimétrico. 
 
2.3.2. Classe IIN 
Nivelamento geométrico para determinação de altitudes ou cotas em pontos de 
segurança (PS) e vértices de poligonais para levantamentos topográficos destinados a 
projetos básicos, executivos, como executado, e obras de engenharia. 
 
2.3.3. Classe IIIN 
Nivelamento trigonométrico para determinação de altitudes ou cotas em 
poligonais de levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de 
viabilidade em projetos. 
 
2.3.4. Classe IVN 
Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis para estudos 
expeditos. 
 
2.4 TOLERÂNCIAS DE ACORDO COM O IBGE 
Segundo a R.PR n° 22/83 do IBGE – Especificações e normas gerais para 
levantamentos geodésicos – a tolerância de fechamento do nivelamento é a seguinte: 
 
 
 
 
10 
 
Quadro 2: Classes de nivelamento segundo ao erro de fechamento 
 Classe Descrição Tolerância 
 Alta Precisão Rede altimétrica fundamental (1ª ordem) 3 mm (K) ½ 
 Precisão 
 Área mais desenvolvida (2ª ordem) 6 mm (K) ½ 
 Área menos desenvolvida (3ª ordem) 8 mm (K) ½ 
 Topográficos Local 12 mm (K) ½ 
 
 
3. TÉCNICAS DE NIVELAMENTO 
Dá–se o nome de nivelamento ao conjunto de operações de campo realizadas 
com a finalidade de medir as diferenças de nível entre pontos situados na superfície 
topográfica. Dependendo dos equipamentos usados, classificam–se os métodos de 
nivelamento em: geométrico, trigonométrico, taqueométrico e barométrico. 
 
3.1. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
É o nivelamento realizado em áreas 
pequenas e com pouca declividade, pois o 
equipamento fica em um lugar só, não 
sendo necessário trocar de lugar, 
determinando–se as cotas de todos os 
pontos. Para se realizar um nivelamento geométrico simples, usa–se anotar as leituras 
de ré e de vante de forma sistemática e lógica, para evitar omissõesou enganos, e 
permitir o cálculo da cota de cada ponto visado. 
 
3.1.1. Pontos 
É o número ou outra designação qualquer do vértice onde é colocada a régua, 
onde se faz leitura de ré e de vante. A cota do primeiro ponto pode ser conhecida ou 
arbitrada. 
 
11 
 
3.1.2. Distâncias 
A determinação indireta das 
distâncias pode ser feita através da 
taqueometria, com a utilização de 
equipamentos tradicionais e de 
distanciômetros eletrônicos e 
prismas com a utilização de 
estação total. Na taqueometria a 
distância horizontal pode ser 
obtida através da visada dos fios estadimétricos do retículo da luneta do teodolito ou 
nível aplicando–se a seguinte equação: 
 
DH = 100 . (Fs – Fi) 
 
3.1.3. Leituras de ré 
São as leituras realizadas no ponto de cota conhecida (ou arbitrada). 
 
3.1.4. Leituras de vante 
São as leituras na régua dos pontos subsequentes ao primeiro (ré). 
 
3.1.5. Diferenças de nível 
São as diferenças de altura do ponto de ré para os demais pontos (vantes). As 
diferenças de nível são calculadas pela equação: 
 
DN = leitura de ré – leitura de vante 
 
 
12 
 
 
 
3.1.6. Cotas 
São os valores de altitude dos pontos. A primeira cota, se não for conhecida, 
através de uma referencia de nível (RN) ou GPS, deve ser estipulada. As cotas seguintes 
podem ser calculadas através da equação: 
 
Cota = cota da ré + DN 
 
Quadro 3: Exemplo de uma caderneta para nivelamento geométrico simples 
Pontos Distâncias Leituras de ré 
Leituras de 
vante 
Diferenças de 
nível 
Cotas 
1 
 
1,50 100,00 
2 9,84 1,54 –0,04 99,96 
3 10,23 1,70 –0,20 99,80 
4 10,01 1,88 –0,38 99,62 
5 10,01 2,24 –0,74 99,26 
6 10,61 1,99 –0,49 99,51 
7 10,80 1,81 –0,31 99,69 
8 9,98 1,74 –0,24 99,76 
 
 
13 
 
3.1.7. Verificação do cálculo da caderneta 
Tal verificação é realizada apenas para determinar se os cálculos das cotas estão 
certos, mas não é possível determinar erros de leitura ou anotações nas leituras de ré ou 
de vante. Verifica–se o cálculo das cotas da seguinte forma: 
 
última cota – primeira cota = leitura de ré – última vante 
 
No exemplo temos: 
99,76 – 100 = 1,5 – 1,74 
–0,24 = –0,24 
Verdade matemática. Logo, no presente exemplo não há erro de cálculo. 
 
3.2 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
É o nivelamento mais realizado nas obras em geral, e é assim denominado 
porque são necessárias inúmeras trocas do equipamento de lugar. Para isso, faz–se uma 
nova leitura de ré, num vértice que já foi vante, ou seja, já tem cota conhecida, para 
assim determinar uma nova diferença de nível. 
Os princípios do método de cálculo são os mesmos do nivelamento geométrico 
simples, porém a diferença é que devido às diversas trocas do nível, tem–se uma série 
de planos (cota do instrumento) paralelos entre si. 
 
 
 
14 
 
3.2.1. Pontos 
 Da mesma forma que o nivelamento geométrico simples. 
 
3.2.2. Distâncias 
 Da mesma forma que o nivelamento geométrico simples. 
 
3.2.3. Leituras de ré 
É a coluna usada para as leituras realizadas nos pontos de cota conhecida (ou 
arbitrada). Lembrando que, quando houver a necessidade de trocar o nível de lugar, 
deve–se realizar nova leitura de ré sobre o ponto imediatamente anterior. 
 
3.2.4. Leituras de vante 
 Da mesma forma que o nivelamento geométrico simples. 
 
3.2.5. Vante de mudança 
 São as leituras de vante da linha da nova leitura de ré. Quando mudamos o 
aparelho de lugar a próxima leitura de vante será a vante de mudança. 
 
3.2.6. Diferenças de nível 
Nesta coluna são anotadas as diferenças de nível entre os pontos, que são 
calculadas pela equação: 
 
DN = ré anterior – vante 
 
Observe no exemplo a seguir que para o cálculo da diferença de nível do ponto 4 
a leitura de ré utilizada foi a do ponto 3, pois a leitura da vante do ponto 4 não foi 
possível de ser realizada por falta de visibilidade sendo necessário realizar a troca do 
equipamento de lugar, ficando este alocado entre o ponto 3 (onde foi realizado uma 
 
15 
 
nova leitura de ré) e o ponto 4 (vante). Portanto, quando mudamos o equipamento de 
lugar, a leitura de ré do último ponto servirá de base para o cálculo das diferenças de 
nível dos pontos seguintes. 
 
3.2.7. Cotas 
Nesta coluna registram–se as cotas dos pontos calculadas no nivelamento 
realizado. A primeira cota, se não for conhecida (através de uma referencia de nível – 
RN), deve ser estipulada. As cotas seguintes podem ser calculadas através da equação: 
 
Cota = cota da vante de mudança + DN 
 
Como no caso da diferença de nível, a cota do ponto 4 foi calculada a partir da 
cota do ponto 3, onde foi realizada uma nova leitura de ré. Portanto, quando mudamos 
de lugar o equipamento, a cota calculada do último ponto servirá de base para o cálculo 
das cotas seguintes. 
 
Quadro 4: Exemplo de uma caderneta para nivelamento geométrico composto 
Pontos Distâncias Ré Vante 
Vante de 
mudança 
Diferenças 
de nível 
Cotas 
1 
 
1,60 100,00 
2 10,23 
 
1,58 
 
0,02 100,02 
3 9,93 1,12 
 
1,68 –0,08 99,92 
4 10,21 1,83 
 
–0,71 99,21 
5 10,16 1,85 
 
–0,73 99,19 
6 10,24 1,58 
 
–0,46 99,46 
7 10,41 1,58 
 
1,38 –0,26 99,66 
8 10,69 1,03 
 
0,55 100,21 
9 10,19 0,88 
 
0,70 100,36 
10 10,36 0,72 
 
0,86 100,52 
 
 
 
16 
 
3.2.8. Verificação do cálculo da caderneta 
Tal verificação é realizada apenas para determinar se os cálculos das cotas estão 
certos, mas não é possível determinar erros de leitura ou anotações nas leituras de ré ou 
de vante. Verifica–se o cálculo das cotas da seguinte forma: 
 
última cota – primeira cota = Σ rés – Σ vantes de mudança – última vante 
 
No exemplo temos: 
100,52 – 100 = (1,6 + 1,12 + 1,58) – (1,68 + 1,38) – 0,72 
 0,52 = 0,52 
Verdade matemática. Logo, no presente exemplo não há erro de cálculo. 
 
3.3. ERROS ADMISSÍVEIS NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
As tolerâncias admitidas em nivelamento geométrico nos levantamentos 
topográficos dependem da finalidade e dos objetivos de sua realização. Conforme as 
normas da A.G.I. (Associação Geodésica Internacional), os nivelamentos geométricos são 
classificados quanto a sua precisão, na ordem abaixo: 
 
Quadro 5: Erros admissíveis por classe de nivelamento 
Classe de nivelamento Erro admissível 
Alta precisão 1,5 mm/Km 
1ª ordem 2,5 mm/Km 
2ª ordem 1 cm/Km 
3ª ordem 3 cm/Km 
4ª ordem 10 cm/Km 
 
Normalmente, nas obras de engenharia em geral, usa–se a precisão ditada pela 
2º ou 3º ordem. Os nivelamentos de alta precisão e 1º ordem são usados para 
transporte de R.N. e certos tipos de nivelamento em instalações industriais. 
 
 
17 
 
3.3.1. Contranivelamento 
É a operação destinada a conferir um nivelamento, quando este não é uma 
poligonal fechada, pois na poligonal fechada volta–se ao vértice de origem, e o erro será 
a diferença de cota encontrada. Porém nas poligonais abertas, por exemplo, estradas, 
canais de irrigação, eixo longitudinal de barragens, etc., a única forma de conferir é o 
contranivelamento, que consiste em nivelar de volta a linha já nivelada. Usa–se a cada 2 
Km nivelados, voltar e fazer o contranivelamento. A fórmula para o erro tolerado é: 
 
Et = Ep . √n 
 
Et = erro tolerado (em mm). 
Ep = erro permitido (em mm, conforme a ordem do nivelamento). 
n = extensão do nivelamento (em Km) 
 
3.3.2. Compensação do erro 
A compensação do erro em nivelamento geométrico é feita distribuindo-se o 
erro nas leituras de ré e calculando–se novamente a caderneta,ou seja, as novas cotas, 
que estarão assim compensadas. 
 
Quadro 6: Caderneta calculada conforme as leituras de ré compensadas 
Pontos Distâncias Ré Vante 
Vante de 
mudança 
Diferenças 
de nível 
Cotas 
1 
 
1,585 100,000 
2 10,23 
 
1,58 
 
0,005 100,005 
3 9,93 1,105 
 
1,68 –0,095 99,905 
4 10,21 1,83 
 
–0,725 99,180 
5 10,16 1,85 
 
–0,745 99,160 
6 10,24 1,58 
 
–0,475 99,430 
7 10,41 1,565 
 
1,38 –0,275 99,630 
8 10,69 1,03 
 
0,535 100,165 
9 10,19 0,88 
 
0,685 100,315 
 
18 
 
10 10,36 
 
0,72 
 
0,845 100,475 
3.4. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 
 
3.4.1. Introdução 
Fundamenta–se o presente método em determinar a diferença de nível (DN) 
entre dois pontos com base na medida de uma distância horizontal (DH) e o ângulo de 
inclinação vertical (ângulo zenital) e a consequente solução trigonométrica deste 
triangulo retângulo. 
O nivelamento trigonométrico é chamado de nivelamento indireto devido às 
diferenças de alturas entre os dois pontos serem calculadas em função da distância 
horizontal e um ângulo de inclinação vertical, logo, determinada indiretamente. 
Quanto à precisão o nivelamento trigonométrico é considerado inferior ao 
nivelamento geométrico, pois qualquer erro cometido na medida das distâncias ou do 
ângulo de inclinação vertical acarretara erro considerável na determinação da diferença 
de nível entre os pontos. 
O nivelamento trigonométrico se baseia na medida direta da distância horizontal 
e a medida do ângulo de inclinação vertical. 
 
 
 
19 
 
3.4.2. Distância reduzida 
Para se realizar o nivelamento trigonométrico de um ponto, ou seja, determinar a 
diferença de nível entre um vértice A e um vértice B deve–se medir a distância horizontal 
entre os dois pontos. Se for utilizada uma trena, deve–se converter a distância inclinada 
em distância reduzida ou horizontal através da seguinte equação: 
 
DH = DI . sen Z 
 
DH = distância horizontal 
DI = distância inclinada 
Z = ângulo zenital 
 
3.4.3. Diferença de nível 
Tendo em vista que o aparelho é instalado conforme uma altura cômoda para o 
operador, a cada nova posição do instrumento deve–se medir a altura entre o centro da 
luneta e o vértice inicial o que se chama de altura do aparelho (AP). A visada no vértice 
B deve ser lida a certa altura da régua ou no prisma, no caso de estação total, o que 
devemos chamar de AM (altura de mira) onde se lê o ângulo zenital (Z). 
Conhecendo os elementos acima se pode calcular a diferença de nível entre os 
pontos A e B através da equação: 
 
DN = (AP – AM) + (
DH
tg Z
) 
 
DN = diferença de nível 
AP = altura do aparelho 
AM = altura na mira 
DH = distância horizontal 
 
20 
 
Z = ângulo zenital 
 
3.4.4. Cotas 
Para o cálculo da cota dos vértices observados de uma mesma estação será a 
cota do vértice onde se encontra o aparelho mais a diferença de nível do vértice 
observado, conforme a equação: 
 
Cota = cota da estação + DN 
 
 
4. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
O relevo do solo se representa na planta ou no plano topográfico, por diversos 
processos, dentre os quais o mais claro e racional, e o mais usado é o das curvas de 
nível, mas também são usados outros processos, tais como: pontos cotados, hachuras, 
cores hipsométricas e perfis. 
 
4.1. PERFIL 
Chama–se perfil de um terreno, segundo determinada direção, a intersecção da 
superfície do relevo topográfico com o plano vertical que passa pelo alinhamento que 
define aquela direção considerada. 
São inúmeros os trabalhos em que é necessário conhecer–se o perfil do terreno. 
Ex: redes de água ou esgoto, canais de irrigação, rodovias ou ferrovias, cálculo de cortes 
e aterros, etc. 
 
 
21 
 
4.1.1. Desenho dos perfis 
Para se desenhar o perfil de um alinhamento qualquer, precisa–se conhecer as 
distâncias planimétricas e suas respectivas cotas, as quais podem ser medidas 
diretamente no terreno, ou projetadas sobre uma planta planialtimétrica, isto é, com as 
correspondentes curvas de nível. Para melhor ressaltar o relevo usam–se escalas 
diferenciadas, ou seja, escala vertical 10 vezes maior que a escala horizontal. Ex. se for 
usada uma escala horizontal 1:1.000, deve–se usar para escala vertical 1 :100. 
 
4.1.2. Tipos de perfis 
Os perfis se dividem em direto e indireto. 
 
4.1.2.1. Perfil direto 
Chama–se perfil direto aquele que é traçado utilizando apenas os dados 
levantados no campo, independente de existir ou não planta altiplanimétrica. Exemplo: 
Fez–se um levantamento de uma linha de 150 m de extensão, a qual foi estaqueada de 
10 em 10 m, e nesses pontos foram obtidas as cotas abaixo, através de nivelamento 
geométrico. 
0 70,00 8 68,03 
1 70,85 9 67,20 
2 71,50 10 66,86 
3 72,13 11 66,12 
4 71,40 12 66,83 
5 70,75 13 67,15 
6 69,42 14 67,90 
7 68,85 15 68,30 
 
Segue o desenho correspondente, tendo como escala horizontal 1:1.000 e escala 
vertical 1:100. 
 
22 
 
 
 
4.1.2.2. Perfil indireto 
É o desenho de um perfil através da planta planialtimétrica. É muito usado o 
traçado de perfis tomando por base as curvas de nível, já existentes em–uma planta 
planialtimétrica, uma vez que as curvas representam os planos horizontais que 
interceptam o terreno em cotas certas, geralmente separados de metro em metro (para 
obras de engenharia em geral);e a distância entre estas, representa a distância 
planimétrica. 
Logo, têm–se os dois elementos necessários ao traçado de um perfil, ou seja, a 
distância horizontal e as cotas (ou altitudes). Também no traçado de perfil indireto, para 
melhor representar o terreno usa–se a escala vertical dez vezes maior que a escala 
horizontal. Exemplo: Se a escala horizontal é 1:1000, a escala vertical deverá ser 1:100. 
Tendo–se uma planta altiplanimétrica, pode–se traçar uma infinidade de perfis, 
conforme as necessidades de uma obra a ser implantada ou cálculo de movimento de 
terra a ser realizado. A seguir, tem–se dois exemplos do traçado dos perfis A,B e C,D 
através de uma planta planialtimétrica: 
 
23 
 
 
 
 
 
24 
 
4.1.3. Natureza dos perfis 
Quanto à natureza dos perfis, estes podem ser divididos em perfis naturais ou 
perfis projetados. Chamam–se perfis naturais àqueles que representam o terreno 
natural, e perfis projetados aqueles que foram rebaixados ou elevados conforme as 
necessidades do projeto a ser implantado. 
Ocorre o caso de perfil projetado elevado no caso dos aterros, e perfil projetado 
rebaixado no caso de cortes. Nos desenhos abaixo, tem–se ambos os exemplos: 
 
 
4.1.4. Direção de um perfil 
Quanto à direção, os perfis podem ser classificados em perfis longitudinais, perfis 
transversais e perfis irradiantes. 
Os perfis longitudinais e transversais são os mais usados em obras de engenharia 
em geral, principalmente no estudo e projeto de estradais e barragens. No caso dos 
projetos de estradas, é através do perfil longitudinal que se projeta a grade (perfil da 
estrada construída), e são através dos perfis transversais que se realizam os cálculos dos 
movimentos de terra (volume de cortes e aterros) a serem efetuados. A figura ilustrada 
as linhas onde serão realizados os perfis longitudinais e transversais em um projeto de 
estrada, e perfis irradiantes. 
 
25 
 
 
 
 
 
Perfil longitudinal é o perfil de um caminhamento, sobre o qual se realiza uma 
base nivelada. 
Perfil transversal é o perfil de um alinhamento perpendicular ao perfil 
longitudinal (90° ou 270°), denominado secção transversal. O comprimentodas secções 
transversais depende do tipo de projeto a ser implantado no terreno (estrada, 
barragem, loteamento, etc). 
Perfil irradiado é a linha que se origina em um ponto, tomando várias direções, 
com a finalidade de um melhor estudo altimétrico do terreno. 
 
26 
 
4.2. CURVAS DE NÍVEL 
Definem–se curvas de nível, como sendo linhas que unem os pontos de mesma 
cota ou altitude. Logo, as curvas de nível são as projeções ortogonais horizontais das 
intersecções do terreno com planos horizontais equidistantes. 
A distância vertical entre dois planos horizontais sucessivos chama–se 
equidistância real. Para obras de engenharia em geral, usa– se a equidistância de 1 
metro, ou seja, curvas de nível de metro em metro. Para facilitar a interpretação do 
terreno são usadas curvas com traço reforçado, normalmente as múltiplas de 5 metros, 
que são denominadas curvas mestras. O desenho a seguir representa um terreno, cujo 
relevo está representado pelas respectivas curvas de nível. Através das figuras a seguir 
se tem uma noção clara, da intersecção dos planos de nível com o terreno, das secções 
produzidas por planos de nível e das curvas de nível do terreno. 
 
 
 
27 
 
4.2.1. Principais propriedades das curvas de nível 
a) Todos os pontos de uma mesma curva de nível têm a mesma cota ou altitude. 
b) Cada curva de nível fecha sobre si mesma, dentro dos limites de um plano 
considerado, ou fora destes limites. No segundo caso, a curva ficará interrompida 
pela linha marginal que delimita o plano considerado. 
c) As partes superiores de uma elevação sempre são representadas por curvas 
fechadas, e o mesmo ocorre para representar depressões fechadas. 
d) As curvas de nível nunca se cortam e nem se encontram, a não ser em uma 
escarpada vertical, ou em um corte ou aterro também vertical feito pelo homem, 
geralmente cortes em regiões rochosas ou aterros sustentados por muros de arrimo. 
e) As curvas de nível de uma superfície plana são linhas retas paralelas. 
f) Os aclives e declives uniformes são representados por curvas de níveis equidistantes. 
A maior ou menor aproximação das curvas indicam aclives ou declives mais 
acentuados. 
 
4.2.2. Traçado das curvas de nível 
Para se traçar as curvas de nível, precisa–se da posição planimétrica dos pontos, 
obtidos por levantamento topográfico, e as cotas destes pontos obtidas por 
nivelamento geométrico, trigonométrico ou taqueométrico (que serão estudados a 
seguir). 
Tais pontos planimétricos são plotados conforme uma escala conveniente para 
cada caso, depois escreve–se as cotas dos referidos pontos a lápis (para apagar depois), 
por interpolação acha–se os pontos de cotas inteiras existentes entre os de cotas 
conhecidas, depois liga–se os mesmos entre si, formando cada curva. A seguir um 
exemplo prático: 
 
28 
 
 
O primeiro passo está concluído, têm–se os pontos plotados conforme sua 
posição planimétrica, e as cotas referentes a cada ponto. 
Em seguida ligam–se os pontos através de linhas retas e interpola– se as cotas 
inteiras. 
 
 
Entre o intervalo dos pontos de cota 81,6 e 84,7 passam as curvas inteiras 82, 83 e 
84, sabendo–se que o intervalo tem 30 mm, arma–se as seguintes regras de três, pois a 
diferença de nível entre os é de 3,1 m: 
 
29 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
E assim procedendo calcula–se todos os pontos de cota inteira, para cada 
alinhamento e respectivas diagonais. 
Concluída esta etapa de interpolações, unem–se através de curvas os pontos de 
mesma cota, tendo assim o relevo representado pelas curvas de nível, lembrando–se 
que em cada curva de nível deve ser escrito o valor da correspondente cota. 
 
 
31 
 
4.3. DECLIVIDADE DO TERRENO 
Declividade é a relação entre a diferença de altura entre dois pontos e a distância 
horizontal entre esses pontos. A declividade do terreno em porcentagem é expressa por: 
 
D(%) = 100 . 
DN
DH
 
 
D(%) = declividade do terreno em porcentagem 
DN = diferença de nível entre duas curvas de nível consecutivas 
DH = distância horizontal entre duas curvas de nível 
 
 A declividade pode ser obtida também em função do angulo de inclinação: 
 
D(%) = 100 . tan α 
 
D(%) = declividade do terreno em porcentagem 
α = ângulo de inclinação (90º – Z) 
 
4.4. PONTOS COTADOS 
Este processo consiste em escrever na planta planimétrica as cotas dos pontos, 
cuja importância possa servir de base para qualquer estudo altimétrico. É normalmente 
utilizado nas cartas topográficas como um sistema complementar às curvas de nível, 
particularmente nas regiões pobres de relevo. Esses pontos recebem as denominações 
de pontos trigonométricos, taqueométricos ou geométricos, dependendo do método 
de nivelamento usado para determiná–los. 
A figura abaixo mostra uma planta planimétrica com pontos cotados. 
 
32 
 
 
 
4.5. HACHURAS 
As hachuras são linhas paralelas ou ligeiramente divergentes, traçadas na direção 
dos declives. Elas são mais ou menos espaçadas conforme as encostas a representar 
sejam suaves ou íngremes. As figuras abaixo ilustram o método. 
 
 
4.6. CORES HIPSOMÉTRICAS 
O relevo é representado em certas plantas topográficas, por meio de cores; neste 
processo cada cor ou tonalidade representa determinada zona de altitude. Deve na 
referida planta, conter nas convenções a correspondência entre as cores e as altitudes. 
Tal representação de relevo não é usada com finalidades técnicas, somente para fins 
artísticos usa–se tal processo. 
 
33 
 
 
 
 
5. TEORIA DOS ERROS 
 
5.1 CONCEITO 
O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve 
erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). 
Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode–se realizar apenas uma ou 
várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou 
ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve–se extrair do 
processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e 
ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
 
 
34 
 
5.2 CAUSAS DOS ERROS 
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como 
direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por 
erros. As fontes de erro poderão ser: 
5.2.1 Condições ambientais 
Quando causados pelas variações das condições ambientais, como vento, 
temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da 
temperatura. 
 
5.2.2 Instrumentais 
Quando causados por problemas como a imperfeição na construção de 
equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser 
reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de 
técnicas particulares de observação. 
 
5.2.3 Pessoais 
Quando causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma 
medição, cansaço, etc. 
 
5.3. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS 
Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, 
poderão ser classificados em: 
 
5.3.1 Erros grosseiros 
Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação 
de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha 
no equipamento. Cabe ao observador cercar–se de cuidados para evitar a sua 
 
35 
 
ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar 
erros grosseiros. 
Alguns exemplos de erros grosseiros: 
– anotar 196 ao invés de 169; 
–engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena. 
5.3.2 Erros sistemáticos 
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, 
seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas 
conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou 
mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se 
acumulam ao longo do trabalho. 
Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas 
específicas: 
– efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de 
distância; 
– correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura. 
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de 
eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância 
entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que 
proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de 
paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular. 
 
5.3.3 Erros aleatórios 
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. 
São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, 
tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande. De acordo com 
GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais 
 
36 
 
apresentam uma distribuição de frequência que muito se aproxima da distribuição 
normal. 
Algumas peculiaridade dos erros aleatórios: 
– Erros pequenos ocorrem mais frequentemente do que os grandes, sendo mais 
prováveis; 
– Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual frequência, ou 
são igualmente prováveis; 
– A média dos resíduos é aproximadamente nula; 
– Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar 
próximo ao valor real. 
Exemplo de erros acidentais: 
– Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; 
– Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 
 
5.4 PRECISÃO E ACURÁCIA 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições 
semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios. 
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor 
verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. 
 
 
 
37 
 
5.5 CURVATURA DA TERRA E REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 
Para o nivelamento de precisão não devemos considerar apenas a curvatura da 
Terra somente, e sim, associá–la com a refração atmosférica. Na figura, querendo–se 
determinar a diferença de nível entre os pontos A e B, coloca–se em B uma mira em 
posição vertical e em A um instrumento devidamente nivelado, dando a horizontal AH, 
correspondente a superfície de nível aparente, que irá interceptar a mira em um ponto 
C, e não em B, pois o arco AB não pode ser determinado pelos aparelhos de topografia. 
É evidente que a substituição do nível verdadeiro pelo nível aparente provoca um 
erro na determinação da altura de um ponto do terreno, o qual é denominado erro 
devido à curvatura da terra. O erro cometido, ao se admitir que os pontos A e C estão 
em nível (nível aparente), é o erro EC = BC, denominado erro devido à curvatura da 
terra. Este erro pode ser calculado, desde que seja medida a extensão do alinhamento 
AC = D, uma vez que o raio da terra é conhecido. 
Como o erro é uma quantidade muito pequena em relação ao raio da Terra, 
pode–se, sem cometer erro sensível, desprezar EC no denominador, e a fórmula para o 
cálculo do erro devido à curvatura da terra é: 
 
EC = 
D²
2R
 
 
 
38 
 
 
 
Na prática das operações altimétricas, o erro devido à curvatura da Terra, 
apresenta–se diminuído, em razão do efeito da refração atmosférica sobre o raio visual. 
Quando se faz uma visada de um ponto para outro, o raio visual ao atravessar as 
camadas atmosféricas de densidades diferentes se refrata, seguindo uma trajetória 
curva, situada sobre o plano vertical visual, cuja concavidade é dirigida sobre a 
superfície do solo. 
Como consequência, o ponto C, quando visado de A é visto em C’, originando o 
erro de refração: ER = CC’. A superfície AC’ é dita superfície de nível ótico. Este erro é 
dependente da temperatura e do estado higrométrico do ar, além de outras 
circunstâncias locais. Em condições normais, a equação do erro de refração é a seguinte: 
 
ER = 0,1306 . EC 
 
Sendo que 0,1306 representa o raio de curvatura de refração médio diário. A 
correção a ser feita na determinação da altura do ponto B, visto de A, será: 
 
C = EC – ER 
 
39 
 
 
Substituindo fica: 
 
C = 
0,4347 . D2
R
 
 
Onde: 
𝐶: erro devido à refração atmosférica e à curvatura terrestre 
𝐷: distância da visada 
𝑅: raio médio da Terra (6371 Km) 
 
Conhecendo–se o valor de R (aproximadamente 6.371 Km), pode–se determinar 
o erro devido à curvatura da terra e à refração atmosférica, para qualquer visada 
efetuada, por exemplo: para uma visada de 100 m, o erro será aproximadamente de 
0,0007 m; para uma visada de 120 m, o erro será igual a 0,0010 m; já para uma visada de 
1000 m, o erro será igual a 0,068 m. Assim, para distâncias menores que 120 m o erro 
devido à curvatura da terra e à refração atmosférica pode ser desprezado, por ser 
inferior ao milímetro. 
 
 
6 TERRAPLANAGEM – CÁLCULO DE CORTE E ATERRO 
 
6.1 OBJETIVO 
O serviço de terraplenagem tem como objetivo a conformação do relevo 
terrestre para implantação de obras de engenharia, tais como açudes, canais de 
navegação, canais de irrigação, rodovias, ferrovias, aeroportos, pátios industriais, 
edificações, barragens e plataformas diversas. 
 
 
40 
 
6.2 DEFINIÇÃO 
Terraplenagem é a técnica de engenharia de escavação e movimentação de solos 
e rochas. O termo técnico mais usualmente adotado para terraplenagem em rocha é 
desmonte de rocha. 
O serviço de terraplenagem compreende cinco etapas: 
1 – Cálculo dos volumes de corte e aterro; 
2 – Escavação; 
3 – Carregamento; 
4 – Transporte; 
5 – Espalhamento. 
Como as etapas 2, 3, 4 e 5 são meramente “braçais”, não serão abordadas nesse 
material. Nesta parte estaremos abordando o trabalho de terraplenagem para a 
construção de plataformas horizontais, pois são necessárias para a grande maioria das 
construções. 
 
6.3 TERRAPLANAGEM DE PLATAFORMAS 
 No exemplo que se seguirão poderemos verificar que todo o trabalho pode ser 
planejado para obter o resultado que se desejar desde que se conheça o modelo 
original do terreno, ou seja, a forma planimétrica e altimétrica do terreno, antes de 
serem iniciadas as atividades das máquinas. Caso sejam iniciados os trabalhos antes das 
medições planimétricas do local, torna–se impossível o conhecimento razoável dos 
volumes de corte e aterro movimentados. 
O método de levantamento mais apropriado para obtenção das curvas de nível 
do terreno é a quadriculação. A área a ser trabalhada deve ser locada e em seguida 
quadriculada; o lado do quadrado deve ser maior ou menor em função da extensão do 
trabalho e da sinuosidade do terreno, já que iremos obter as cotas do terreno apenas 
nos vértices dos quadrados; o lado, no terreno deve ser o mais próximo possível de uma 
reta. Deste modo a interpretação no cálculo se aproximará da realidade. Em geral, os 
 
41 
 
quadriculados são de 10, 20, 30 ou 50 metros. Para lotes urbanos de pequeno porte 
pode–se até usar quadrados de 4 ou 5 metros. 
 
6.3.1 Hipótese 1: plano horizontal sem a imposição de uma cota final determinadaSabemos que custo da terraplenagem compõe–se basicamente do custo do corte 
e do transporte. O aterro é uma consequência direta do corte e do transporte, e como 
tal não é pago. Baseado nisso a topografia poderá escolher uma altura do plano final 
que determine volumes iguais de corte e de aterro, fazendo com que se corte o mínimo 
possível e também se reduza o transporte ao mínimo. Solução, portanto mais 
econômica. Caso o projeto obrigue a uma determinada altura do plano, restará à 
topografia sua aplicação e os cálculos dos volumes de corte e aterro que resultarão, 
logicamente, diferentes. 
Para os exemplos de aplicação das duas hipóteses, vamos escolher o mesmo 
modelo de terreno. É um retângulo de 60 m x 80 m quadriculado de 20 em 20 metros, 
cujos vértices tiveram suas cotas obtidas por nivelamento geométrico com precisão 
decimétrica. Este modelo não está de acordo com realidade prática, pois para um 
terreno tão pequeno o quadriculado deveria máximo de 10 m e as cotas com precisão 
centimétrica. As curvas de nível foram traçadas após a obtenção das cotas inteiras por 
interpolação. 
 
42 
 
 
 
6.3.1.1 Nivelamento do terreno e definição da malha quadricular 
O primeiro passo para se calcular o volume de corte e aterro de um determinado 
terreno, é efetuar uma malha quadricular marcando os pontos onde deverão se aferido 
as leituras no nível. Para facilitar os cálculos e preenchimento da planilha, procura–se 
instalar o equipamento de leitura de forma que de em um único local possa–se efetuar 
a leitura de todos os pontos da malha. 
Para a determinação da malha no terreno procederemos da seguinte forma: a 
primeira etapa é a quadriculação do terreno. Esta etapa pode ser realizada somente a 
trena ou com auxílio de um instrumento como um teodolito, altímetro ou estação total. 
No exemplo abaixo, os pontos da malha foram materializados por piquetes. 
Depois se faz a determinação das cotas ou altitudes dos pontos, através de algum 
método de nivelamento. 
 
43 
 
 
 
6.3.1.2 Determinação dos pesos das cotas 
 Após a determinação de todas as cotas nos respectivos pontos, o próximo passo 
é efetuar um desenho da malha quadricular do terreno, para oferecer uma melhor 
visualização das cotas e posteriormente atribuir os pesos para cada cota. 
 Cada peso é determinado da seguinte forma e deve ser feito de forma sequencial 
crescente: 
– Peso 1: refere–se aos pontos localizados nos cantos da malha; 
– Peso 2: ficam localizados nas bordas da malha; 
– Peso 3: estão localizados nos cantos inversos da malha; 
– Peso 4: estão localizados no interior da malha. 
No exemplo dado, a distribuição das cotas para cada peso ficou da seguinte 
forma: 
 
44 
 
 
 
6.3.1.3 Cálculo da cota de passagem 
Após definir os pesos para cada ponto, o próximo passo é o preenchimento de 
uma nova tabela com as cotas e os pesos, a fim de determinar o valor da cota de 
passagem (CP), que é uma cota no terreno onde a partir dela, o cálculo de volume de 
corte é igual ao volume de aterro, é uma curva de nível pela qual as cotas acima deste 
serão de corte (+), e as cotas abaixo deste serão de aterro (–). 
 
 
 
 
45 
 
Tabela 1: pontos, cotas, pesos e suas multiplicações para a hipótese 1 
Pontos Cotas Pesos C x P 
A1 36,3 1 36,3 
A2 34,8 2 69,6 
A3 33,5 2 67,0 
A4 32,2 2 64,4 
A5 30,8 1 30,8 
B1 36,4 2 72,8 
B2 34,9 4 139,6 
B3 33,6 4 134,4 
B4 32,3 4 129,2 
B5 32,1 2 64,2 
C1 36,6 2 73,2 
C2 35,5 4 142,0 
C3 34,4 4 137,6 
C4 33,5 4 134,0 
C5 32,9 2 65,8 
D1 37,2 1 37,2 
D2 36,3 2 72,6 
D3 35,8 2 71,6 
D4 35,1 2 70,2 
D5 33,9 1 33,9 
 
 48 1646,4 
 
A fórmula para cálculo da cota de passagem (CP) é a seguinte: 
 
CP = 
∑(cota . peso)
∑ peso
 
 
A CP foi calculada a partir dos somatórios dos pesos e das cotas x pesos. 
𝐶𝑃 =
1646,4
48
 
𝐶𝑃 = 34,3 
 
 
46 
 
6.3.1.4 Cálculo das cotas de corte e aterro 
O próximo passo é organizar a tabela de modo que os pontos sejam classificados 
de forma crescente quanto ao seu peso, assim como criar uma nova coluna contendo o 
valor de cada cota subtraído da cota de passagem (CP). Recomenda–se, também, 
separar em colunas distintas as cotas, em módulo, de corte e aterro encontradas, 
lembrando que os valores referentes á coluna C – CP referem–se a os valores de corte 
(+), e os valores de aterro (–). 
 
Tabela 2: Cotas de corte e de aterro 
Pontos Cotas Pesos C x P C – CP 
Cotas de 
corte 
Cotas de 
aterro 
A1 36,3 1 36,3 2,0 2,0 
 
A5 30,8 1 30,8 –3,5 
 
3,5 
D1 37,2 1 37,2 2,9 2,9 
 
D5 33,9 1 33,9 –0,4 
 
0,4 
 
Σ 4,9 3,9 
A2 34,8 2 69,6 0,5 0,5 
 
A3 33,5 2 67,0 –0,8 
 
0,8 
A4 32,2 2 64,4 –2,1 
 
2,1 
B1 36,4 2 72,8 2,1 2,1 
 
B5 32,1 2 64,2 –2,2 
 
2,2 
C1 36,6 2 73,2 2,3 2,3 
 
C5 32,9 2 65,8 –1,4 
 
1,4 
D2 36,3 2 72,6 2,0 2,0 
 
D3 35,8 2 71,6 1,5 1,5 
 
D4 35,1 2 70,2 0,8 0,8 
 
 
Σ 9,2 6,5 
B2 34,9 4 139,6 0,6 0,6 
 
B3 33,6 4 134,4 –0,7 
 
0,7 
B4 32,3 4 129,2 –2,0 
 
2,0 
C2 35,5 4 142,0 1,2 1,2 
 
C3 34,4 4 137,6 0,1 0,1 
 
C4 33,5 4 134,0 –0,8 
 
0,8 
 
Σ 48 1646,4 
 
1,9 3,5 
 
 
47 
 
6.3.1.5 Obtenção dos volumes de corte e aterro 
Para o cálculo dos volumes, utilizaremos o método das alturas ponderadas, que 
se dá a partir da seguinte fórmula: 
 
V = 
 A 
4
[(1 ∑ P1) + (2 ∑ P2) + (3 ∑ P3) + (4 ∑ P4)] 
 
Onde A, é a área do quadrante menor, ou seja, no exemplo é de 400 m2 (20 x 20 
m). Os Σ de P1, P2, P3, e P4 são obtidos através do somatório das cotas de corte e aterro 
para cada peso. Assim, encontramos os seguintes valores nos somatórios: 
 
Tabela 3: Somatórios dos pesos 
Σ Corte Aterro 
Σ P1 4,9 3,9 
Σ P2 9,2 6,5 
Σ P4 1,9 3,5 
 
Substituindo na fórmula do método das alturas ponderadas: 
Para o volume de corte: 
𝑉𝐶 = 400/4 × [ 1 × (4,9) + 2 × (9,2) + 4 × (1,9)] 
𝑉𝐶 = 100 × (4,9 + 18,4 + 7,6) 
𝑉𝐶 = 100 × (30,9) 
𝑉𝐶 = 3090 m³ 
Para o volume de aterro: 
𝑉𝐴 = 400/4 × [ 1 × (3,9) + 2 × (6,5) + 4 × (3,5)] 
𝑉𝐴 = 100 × (3,9 + 13 + 14) 
𝑉𝐴 = 100 × (30,9) 
𝑉𝐴 = 3090 m³ 
 
 
48 
 
6.3.2 Hipótese 2: plano horizontal com a imposição de uma cota final determinada 
Para uma cota final determinada, procede–se da mesma forma descrita na 
hipótese 1 exceto pela substituição da cota de passagem pela cota determinada. 
Exemplo CD = 30 m. 
 
Tabela 4: pontos, cotas, pesos e suas multiplicações para a hipótese 2 
Pontos Cotas Pesos C x P C – CD 
Cota de 
corte 
Cota de 
aterro 
A1 36,3 1 36,3 6,3 6,3 
 
A5 30,8 1 30,8 0,8 0,8 
 
D1 37,2 1 37,2 7,2 7,2 
 
D5 33,9 1 33,9 3,9 3,9 
 
 
Σ 18,2 0,0 
A2 34,8 2 69,6 4,8 4,8 
 
A3 33,5 2 67,0 3,5 3,5 
 
A4 32,2 2 64,4 2,2 2,2 
 
B1 36,4 2 72,8 6,4 6,4 
 
B5 32,1 2 64,2 2,1 2,1 
 
C1 36,6 2 73,2 6,6 6,6 
 
C5 32,9 2 65,8 2,9 2,9 
 
D2 36,3 2 72,6 6,3 6,3 
 
D3 35,8 2 71,6 5,8 5,8 
 
D4 35,1 2 70,2 5,1 5,1 
 
 
Σ 45,7 0,0 
B2 34,9 4 139,6 4,9 4,9 
 
B3 33,6 4 134,4 3,6 3,6 
 
B4 32,3 4 129,2 2,3 2,3 
 
C2 35,5 4 142,0 5,5 5,5 
 
C3 34,4 4 137,6 4,4 4,4 
 
C4 33,5 4 134,0 3,5 3,5 
 
 
Σ 48 1646,4 
 
24,2 0,0 
 
Como com a cota determinada de 30 m não temos aterro, calculamos somente o 
volume de corte. Aplicando a fórmula, temos: 𝑉𝐶 = 20640 m³. 
 Podemos perceber a diferença do volume de terra a ser movimentado de um 
caso para o outro, o que se refletirá no custo total da obra a ser implantada. 
 
49 
 
7 LEVANTAMENTOS HIDROGRÁFICOS 
Os trabalhos hidrográficos podemser definidos como sendo os levantamentos 
topográficos efetuados para a obtenção da posição de pontos em leitos de água tais 
como rios, lagos, lagoas e ambientes oceânicos. Os objetivos principais é o 
conhecimento da morfologia de fundo destes ambientes para a construção de cartas 
náuticas bem como para a planificação e controle de projetos de engenharia como 
pontes, túneis, barragens, portos e outros trabalhos relacionados à engenharia. 
Consiste, também, na determinação da variação do nível d'água em um reservatório ou 
em um curso d'água. 
 
7.1 BATIMETRIA 
 
7.1.1 Conceitos 
A batimetria tem por finalidade conhecer o comportamento da morfologia de 
fundo de um reservatório, de um rio ou mesmo de um oceano. 
O levantamento batimétrico consiste, basicamente, na obtenção de um conjunto 
de pontos distribuídos, de forma homogênea, por toda a área do reservatório, do fundo 
oceânico ou da seção do rio referente ao projeto em estudo, de maneira que toda a 
área estudada seja coberta. Cada ponto obtido deverá apresentar três coordenadas, 
sendo as duas primeiras referentes a localização do ponto em relação a coordenadas 
geográficas e a terceira referente a profundidade naquele ponto 
A superfície, a ser mapeada, deve ser dividida em uma malha de linhas 
equidistantes de maneira conveniente para que sirva de diretriz para o levantamento. 
 
7.1.2 Equipamentos 
Nos levantamentos batimétricos de áreas de pequena profundidade, podemos 
utilizar uma haste de madeira de ±5m de comprimento, graduada em centímetros e 
com seus extremos recobertos por uma lâmina metálica, a qual servirá de proteção. São 
 
50 
 
utilizados, também, cordas ou correntes com um lastro de 3 a 5kg preso na extremidade 
inferior. Na utilização deste tipo de equipamento para sondagem, deve–se ter cuidado 
em áreas que apresentem correntes no fluido aquoso, o que poderá ocasionar um 
desvio da vertical da sonda, acusando uma profundidade maior que a real. 
Equipamentos mais sofisticados, como os ecobatímetros, (Fig. 33d), podem ser 
utilizados em qualquer profundidade. Estes equipamentos realizam um registro 
contínuo e preciso da profundidade. Fundamentalmente, estes equipamentos são 
instalados no casco de uma embarcação e emitem uma onda de frequência 
preestabelecida e registra o intervalo de tempo desde o instante em que se produziu a 
onda original até o momento em que se capta o retorno do eco desta onda, vindo da 
superfície de fundo. Estes equipamentos estão ajustados para obterem a profundidade 
de acordo com a velocidade do som em relação ao tipo de água em que está sendo 
utilizado, seja água doce ou salgada. 
 
 
7.1.3 Levantamentos 
A operação batimétrica deve ser feita com o apoio topográfico de terra, para que 
se possa conferir o posicionamento correto da embarcação, que deve ser mantida em 
velocidade constante. 
 
51 
 
Para indicar as posições em que foram efetuadas as sondagens são utilizados 
alinhamentos, que são estaqueados nas margens ou, em áreas de pouca profundidade 
por estacas nos próprios pontos de sondagem ou boias flutuantes. 
 
 
A locação dos pontos de sondagem pode ser determinada pelo método da 
triangulação. Conhecendo–se as coordenadas das estações e os ângulos que os 
alinhamentos fazem entre si em relação ao ponto de sondagem, podemos determinar 
as coordenadas destes e locá–las, posteriormente, em cartas. 
Atualmente, em trabalhos que exijam uma maior precisão na localização dos 
pontos de sondagem, há uma tendência em complementar o apoio topográfico de 
terra com GPS ou DGPS e softwares especialmente desenvolvidos que permitem in loco 
registrar a cada momento a posição do barco e do ponto sondado. 
 
52 
 
 
 
7.2 MEDIDA DE VAZÃO DE RIOS 
Vazão de um curso de água é a quantidade de água que passa numa 
determinada seção num certo período de tempo. A vazão de qualquer curso natural de 
água varia constantemente, desde as menores, em época de seca, até as maiores, em 
época de chuva. O que interessa ao Engenheiro é estabelecer a vazão média. Para isso, 
necessita–se de tomada de dados por um período mais prolongado, alguns meses ou 
alguns anos. Um dos métodos que podem ser utilizado são o método do vertedor. 
 
7.2.1 Método do vertedor 
Este processo baseia–se na necessidade de se fazer toda a água que corre num 
determinado canal, do qual se quer medir a vazão, passar por um vertedor que pode 
apresentar forma retangular, triangular ou circular. 
 
 
 
53 
 
Por exemplo, vamos considerar um vertedor do tipo retangular que apresente 
uma abertura de 0,60 x 0,20 m. A parte inferior da abertura deve ser cortada de forma 
chanfrada para diminuir o atrito da água. Esta barreira deve ser colocada de forma a 
interceptar a passagem da água, vedando–se as partes laterais e o fundo, ou seja, 
represando a água entre as margens e a barreira. Como consequência, o nível d'água irá 
se elevar até atingir a abertura e começará a fluir por ela. Espera–se a estabilização do 
nível e iniciam–se as medidas para o cálculo da vazão. 
 
Para determinarmos a altura "h" (altura da água sobre a aresta do vertedor) com 
precisão milimétrica devemos utilizar o nivelamento geométrico. Efetua–se uma leitura 
de mira com ela apoiada na aresta do vertedor (lv) e outra (le) com a mira apoiada numa 
estaca localizada no leito do rio a uma distância de 4L (distância recomendada pela 
hidráulica), ou seja, para nosso exemplo de L=0,60m, a distância ficaria em 2,5m. 
Necessita–se medir a leitura "n", que corresponde à altura da água sobre a estaca. 
 
54 
 
 
Logo temos: 
 
h = lv – le + n 
 
Para o cálculo da vazão podemos utilizar as equações empíricas propostas por 
Bernouille ou por Francis, respectivamente: 
 
Q = 1,78 . L . √h
3
 
 
Q = 1,826 . L . √h
3
. (1 – 
 h 
5
) 
 
É necessário lembrar que, em ambas as equações, os valores de 𝐿 e ℎ devem ser 
em metros para que a vazão resulte na unidade de metros cúbicos por segundo. 
Para ambientes com vazão mais elevada, a solução para empregar o processo do 
vertedor é o de construir instalações permanentes de alvenaria ou concreto, desviando–
se o curso d'água temporariamente para ser construído o vertedor e, posteriormente, 
fazer o curso d'água retornar ao antigo leito. 
Para a obtenção das leituras diárias "n" (altura da água sobre a estaca), podemos 
instalar uma régua graduada fixa sobre esta estaca, a qual é conhecida como linígrafo 
ou régua de leitura. 
 
55 
 
Além deste método, existem os métodos dos flutuadores e dos molinetes, com 
os quais podemos determinar a vazão em diversos níveis de profundidade. Estes casos 
serão abordados pela hidrologia, já que os mesmos não fazem parte dos métodos 
topográficos. 
 
 
56 
 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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Levantamento Topográfico. São Paulo: ABNT, 1994. 
BORGES, A. de C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. 2ª ed., V. 2, São Paulo: 
Edgard Blücher, 1997. 
ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. Porto Alegre: Globo, 1982. 
BRANDALIZE, Maria Cecília Bonato. Topografia. Curitiba: PUC/PR (notas de aula), s/d. 
COMASTRI, J. A.; TULER, J. C. Topografia: altimetria. Viçosa, Universidade Federal de 
Viçosa,1987. 
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LOCH, C.; CORDINI, J. Topografia contemporânea: planimetria. Florianópolis: UFSC, 
1995. 
MEDEIROS Jr, J. R.; FIKER, J. A perícia judicial: como redigir laudos e argumentar 
dialeticamente. São Paulo: Pini, 1999. 
NADAL, C. A. Cálculo de poligonais topográficas. Curitiba: UFPR, 2000. 
PARREIRA,Álvaro. Topografia. Lisboa: ed. Pórtico, 1962. 
PHILIPS, Jürgen. Atualização em topografia e geodesia: uso de estação total e GPS. 
Florianópolis: UFSC (apostila), 1997. 
PHILIPS, Jürgen. Uma projeção geodésica para o cadastro imobiliário brasileiro. 
Recife: UFPE, 1997. 
PINTO, Luiz Edmundo Kruschewsky. Curso de topografia. Salvador: Ed. UFBA, 1980 
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FREIBERGER, J.; MORAES, C. V. de.; SAATKAMP, E. D. Geodésia e topografia. (notas de 
aula), UFSM, 2011.