Curso_TOPO_Topografia_II_Rev2018-2

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Notas de Aula de Topografia II 
 
Prof. Carolina Vieira 
2018-2 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA II 
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Sumário 
A. Nivelamentos – Parte I ............................................................................................................ 5 
1. Introdução ............................................................................................................................... 5 
2. Equipamentos.......................................................................................................................... 6 
2.1. Níveis ................................................................................................................................ 6 
2.2. A Mira ............................................................................................................................... 6 
3. Nivelamento Geométrico........................................................................................................ 7 
3.1. Nivelamento Geométrico Simples.................................................................................... 7 
3.2. Nivelamento Geométrico Composto ............................................................................... 7 
3.3. Método das Visadas iguais ............................................................................................... 8 
3.4. Método das visadas extremas. ....................................................................................... 10 
3.5. Método das visadas equidistantes. ................................................................................ 11 
3.6. Método das visadas recíprocas ...................................................................................... 12 
4. Organização dos dados de levantamento ............................................................................ 13 
4.1. Método de cálculo .......................................................................................................... 15 
4.2. Exercícios ........................................................................................................................ 15 
5. Contranivelamento ............................................................................................................... 20 
5.1. Erro Altimétrico .............................................................................................................. 20 
5.2. Avaliação do Erro Altimétrico......................................................................................... 20 
5.3. Distribuição do Erro Altimétrico ..................................................................................... 21 
5.4. Exercícios ........................................................................................................................ 22 
B. Nivelamentos – Parte II ......................................................................................................... 24 
6. Equipamentos........................................................................................................................ 24 
6.1. Teodolito......................................................................................................................... 24 
7. Nivelamento Trigonométrico................................................................................................ 25 
7.1. Determinação do Desnível para lances curtos ............................................................... 25 
7.2. Determinação das distâncias (Taqueometria ou Estadimetria) ..................................... 26 
7.2.1. Visada Horizontal .................................................................................................... 27 
7.2.2. Visada Inclinada....................................................................................................... 28 
7.3. Exercícios ........................................................................................................................ 29 
8. Erro Altimétrico ..................................................................................................................... 30 
8.1. Avaliação do Erro Altimétrico......................................................................................... 30 
8.2. Distribuição do Erro Altimétrico ..................................................................................... 30 
8.3. Exercícios ........................................................................................................................ 32 
 
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C. Erros em Altimetria ............................................................................................................... 35 
9. Determinação do Desnível para lances longos .................................................................... 35 
9.1. Erro de esfericidade........................................................................................................ 35 
9.2. Erro de refração.............................................................................................................. 36 
9.3. Determinação do desnível.............................................................................................. 37 
9.4. Exercícios ........................................................................................................................ 38 
D. Curvas de Nível ...................................................................................................................... 39 
10. Introdução ............................................................................................................................. 39 
10.1. Definição ..................................................................................................................... 39 
10.2. Planos Horizontais....................................................................................................... 40 
10.3. Classificação das Curvas de Nível................................................................................ 40 
10.4. Características ............................................................................................................. 40 
10.5. Regras Básicas ............................................................................................................. 42 
11. Traçado de Curvas de Nível................................................................................................... 43 
11.1. Métodos de interpolação............................................................................................ 43 
11.1.1. Método Gráfico – Diagrama de Paralelas ........................................................... 44 
11.1.2. Método Gráfico – Divisão em seguimentos ........................................................ 45 
11.1.3. Método Numérico ............................................................................................... 46 
11.2. Desenho das curvas .................................................................................................... 47 
11.3. Exercício ...................................................................................................................... 48 
12. Perfis Transversais................................................................................................................. 50 
E. Cálculo de Volume................................................................................................................. 53 
13. Introdução ............................................................................................................................. 53 
13.1. Hipóteses de Cálculo ................................................................................................... 53 
14. Cálculo.................................................................................................................................... 53 
14.1. Volume pelo método das alturas ponderadas........................................................... 53 
14.2. Exemplo de Cálculo ..................................................................................................... 54 
14.2.1. Primeira hipótese ................................................................................................ 55 
14.2.2. Exercícios ............................................................................................................. 59 
14.2.3. Segunda hipótese ................................................................................................ 61 
14.2.4. Exercícios ............................................................................................................. 61 
14.2.5. Terceira hipótese ................................................................................................. 62 
14.2.6. Exercícios ............................................................................................................. 64 
F. Referência Bibliográfica ........................................................................................................ 66 
 
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 Esse material foi elaborado com a finalidade 
de auxiliar os alunos da Disciplina de 
Topografia II. Esse material é compilação de 
outros materiais disponíveis na internet e 
livros. 
 
 
 
 
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A. Nivelamentos – Parte I 
A ABNT NBR 13133:1994 define o levantamento topográfico altimétrico ou nivelamento como 
“levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma 
superfície de referência dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhe, pressupondo-se o 
conhecimento de suas posições planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície 
levantada”. 
1. Introdução 
A determinação da cota/altitude de um ponto é uma atividade fundamental em engenharia. 
Projetos de redes de esgoto, de estradas, planejamento urbano, terraplanagens entre outros , 
são exemplos de aplicações que utilizam estas informações. 
A determinação do valor da cota/altitude está baseada em métodos que permitem obter o 
desnível entre pontos. Conhecendo-se um valor de referência inicial é possível calcular as demais 
cotas/altitudes. 
Estes métodos são denominados de nivelamento. Existem diferentes métodos que permitem 
determinar os desníveis, com precisões que variam de alguns centímetros até décimos de 
milímetro. A aplicação de cada um deles dependerá da finalidade do trabalho. 
 CURIOSIDADE 
Ao trabalhar com nivelamentos, é importante distinguir a Cota da Altitude. 
Altitude 
É a distância medida na vertical entre um ponto da superfície física da terra e a superfície de 
referência altimétrica, que no caso das altitudes, é o nível médio dos mares prolongado nos 
continentes. 
Cota 
É a distância medida ao longo da vertical de um ponto até um plano de referência qualquer, 
arbitrado. 
Na figura, a distância vertical do ponto A ao C é a Altitude e a distância vertical do ponto A ao 
B é a Cota. 
 
 
 
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2. Equipamentos 
 
2.1. Níveis 
Os níveis são equipamentos que permitem definir com precisão um plano horizontal ortogonal à 
vertical definida pelo eixo principal do equipamento. As principais partes de um nível são: luneta; 
nível de bolha; sistemas de compensação (para equipamentos automáticos) e dispositivos de 
calagem. 
Seu funcionamento será discutido com maiores propriedades durante as aulas práticas. 
2.2. A Mira 
Miras nada mais são do que réguas graduadas. Existem no mercado diversos modelos de miras, 
geralmente com comprimento entre 2 e 4 m. Possuem articulação do tipo telescópica ou 
dobradiça. As miras podem ser de madeira, fibra de vidro, alumínio ou ínvar1 
 IMPORTANTE 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos, que 
corresponderão aos valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este último 
é obtido por uma estimativa e os demais por leitura direta dos valores indicados na mira. 
 
 
Figura 1 – Exemplos de Mira e de Leitura 
 
1 O ínvar é uma liga de aço e níquel numa proporção de 65% de aço e 35% de níquel. É o material com o menor 
coeficiente de dilatação linear conhecido 
 
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Figura 2 – Fios Estadimétricos 
3. Nivelamento Geométrico 
De acordo com a ABNT NBR 13133:1994, é o “nivelamento que realiza a medida da diferença de 
nível entre pontos no terreno por intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais, 
obtidas com um nível, em miras colocadas verticalmente nos referidos pontos”. 
O nivelamento geométrico pode ser classificado quanto ao número de estações necessárias para 
sua realização e quanto aos métodos de sua execução. 
Assim, é possível dividir o nivelamento geométrico, quanto ao numero de estações em: 
 Nivelamento Geométrico Simples 
 Nivelamento Geométrico Composto 
E quanto aos métodos em: 
 Visadas iguais; 
 Visadas extremas; 
 Visadas recíprocas e 
 Visadas equidistantes. 
A seguir, cada um destes será detalhado. 
3.1. Nivelamento Geométrico Simples 
Através de uma única estação do instrumento, se determina as diferenças de nível dos pontos a 
nivelar. 
A distância máxima de visada preconizada pelas normas técnicas é de 80m, sendo ideal a 
distância de 60m para cada lado. 
3.2. Nivelamento Geométrico Composto 
Devido aos desníveis acentuados e extensão dos pontos a nivelar, se torna necessário estacionar 
o aparelho em mais de uma posição, para se nivelar o local em estudo. Então se decompõe o 
trecho a nivelar em trechos menores e realiza-se uma sucessão de nivelamentos geométricos 
simples. 
 
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Figura 3 - Exemplo de Nivelamento Geométrico Simples e Composto 
3.3. Método das Visadas iguais 
É o método mais preciso e de larga aplicação em engenharia. Nele as duas miras são colocadas à 
mesma distância do nível, sobre os pontos que se deseja determinar o desnível, sendo então 
efetuadas as leituras, ver Figura 4. É um processo bastante simples, onde o desnível será 
determinado pela diferença entre a leitura de ré e a de vante. 
 
Figura 4- Nivelamento Geométrico – método das visadas iguais 
 
 
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 OBSERVAÇÃO 
A necessidade de o nível estar a igual distância entre as miras não implica necessariamente que 
o mesmo deva estar alinhado entre elas, conforme ilustra a figura abaixo. 
 
Neste procedimento o desnível independe da altura do nível, é possível observar que ao mudar 
a altura do nível as leituras também se modificam, porém o desnível calculado permanece o 
mesmo, conforme ilustra a Figura 5. 
 
Figura 5 - Nível em duas alturas diferentes. 
 IMPORTANTE 
A grande vantagem do método de visadas iguais é a minimização de erros causados pela 
curvatura terrestre, refração atmosférica e colimação do nível. Cabe salientar que os dois 
primeiros erros (curvatura e refração) são significativos no nivelamento geométrico aplicado em 
Geodésia. 
 
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3.4. Método das visadas extremas. 
Neste método determina-se o desnível entre a posição do nível e da mira através do 
conhecimento da altura do nível e da leitura efetuada sobre a mira, conforme a Figura 6. É um 
método de nivelamento bastante aplicado na área da construção civil. 
 
Figura 6 - Nivelamento Geométrico método das visadas extremas. 
Onde: ℎ𝑖 ∶ Altura do instrumento; 
𝐿 𝑀: Leitura do fio nivelador (fio médio); 
𝛥ℎ𝐴𝐵 : Desnível entre os pontos A e B.IMPORTANTE 
A grande vantagem deste método é o rendimento apresentado, pois se instala o nível em uma 
posição e faz-se a varredura dos pontos que se deseja determinar as cotas. 
O inconveniente deste método é não eliminar os erros de curvatura, refração e colimação, além 
da necessidade de medir a altura do instrumento, o que pode introduzir um erro de 0,5 cm ou 
maior. 
Para evitar erros na medida da altura do instrumento, costuma-se realizar uma visada de ré inicial 
sobre um ponto cuja cota seja conhecida e, desta forma, determinar a altura do instrumento já 
no referencial altimétrico a ser utilizado, ver Figura 7. 
 
Figura 7 - Visada a uma RN para determinação da altura do instrumento. 
 
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Onde: ℎ𝑖: Altura do instrumento; 
𝐿 𝑀: Leitura do fio nivelador (fio médio); 
𝐿 𝑅𝑁: Leitura na mira posicionada sobre a RN; 
𝐻𝑅𝑁 : Altitude do RN; 
𝐻𝐵: Altitude do ponto B; 
𝛥ℎ𝐴𝐵 : Desnível entre os pontos AB. 
 
3.5. Método das visadas equidistantes. 
Neste método de nivelamento geométrico efetuam-se duas medidas para cada lance conforme 
mostra a figura 5, o que permite eliminar os erros de colimação, curvatura e refração. A principal 
desvantagem deste método é a morosidade2 do mesmo. 
 
Figura 8 - Nivelamento Geométrico método das visadas equidistantes. 
Onde: 𝐸1: erro na visada no lado curto 
 𝐸2: erro na visada no lado longo 
Assim temos que o desnível 𝛥𝐻𝐴𝐵 é dado por: 
𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼 = 𝐿𝐴
𝐼 + 𝐸1 – (𝐿 𝐵
𝐼 + 𝐸2) 
𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼 = 𝐿𝐴
𝐼 + 𝐸1 – 𝐿 𝐵
𝐼 − 𝐸2 
 
𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼𝐼 = 𝐿𝐴
𝐼𝐼 + 𝐸2 – (𝐿𝐵
𝐼𝐼 + 𝐸1) 
 
2 Morosidade: s.f. Qualidade de moroso; tardança em fazer as coisas; demora, lentidão; vagar. 
 
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𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼𝐼 = 𝐿𝐴
𝐼𝐼 + 𝐸2 – 𝐿 𝐵
𝐼𝐼 − 𝐸1 
 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
(𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼 + 𝛥𝐻𝐴𝐵
𝐼𝐼 )
2
 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
(𝐿𝐴
𝐼 – 𝐿𝐵
𝐼 + 𝐿𝐴
𝐼𝐼 – 𝐿𝐵
𝐼𝐼 + 𝐸1 − 𝐸2 + 𝐸2 – 𝐸1)
2
 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
(𝐿𝐴
𝐼 – 𝐿𝐵
𝐼)
2
+
(𝐿𝐴
𝐼𝐼 – 𝐿 𝐵
𝐼𝐼 )
2
 
 IMPORTANTE 
Para que este método tenha sua validade é necessário que, ao instalar o nível nas duas posições, 
tome-se o cuidado de deixar as distâncias d1 e d2 sempre iguais (ou com uma diferença inferio r 
a 2m). Uma das principais aplicações para este método é a travessia de obstáculos, como rios, 
terrenos alagadiços, depressões, rodovias movimentadas, etc. 
 
3.6. Método das visadas recíprocas 
Consiste em fazer a medida duas vezes para cada lance, sendo que diferentemente dos outros 
casos, o nível deverá estar estacionado sobre os pontos que definem o lance, ver figura 6. Neste 
método também são eliminados os erros de refração, colimação e esfericidade, porém não se 
elimina o erro provocado pela medição da altura do instrumento. 
 
Figura 9 - Método das visadas recíprocas. 
Observando a figura é possível deduzir que: 
𝛥𝐻𝐴
𝐴𝐵 = ℎ𝑖𝐴 – (𝐿𝐵 + 𝐸) 
 
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𝛥𝐻𝐵
𝐵𝐴 = ℎ𝑖𝐵 – (𝐿𝐴 + 𝐸) 
𝛥𝐻𝐴
𝐴𝐵 = − ( 𝛥𝐻𝐵
𝐵𝐴) 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
(𝛥𝐻𝐴
𝐴𝐵 − 𝛥𝐻𝐵
𝐴𝐵)
2
 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
( ℎ𝑖𝐴 – 𝐿 𝐵 − 𝐸 − ℎ𝑖𝐵 + 𝐿𝐴 + 𝐸 )
2
 
𝛥𝐻𝐴𝐵 = 
(ℎ𝑖𝐴 – ℎ𝑖𝐵)
2
 + 
(𝐿𝐴 – 𝐿 𝐵)
2 
 
4. Organização dos dados de levantamento 
Para todos os métodos de nivelamento geométrico a forma de armazenagem e organização dos 
dados deve obedecer a um critério. 
Os dados obtidos em campo são: 
 Ponto de Estação; 
 Leitura de Ré (orientação); 
 Leitura de Vante; 
 Altura do instrumento (quando necessário). 
Os dados coletados serão organizados em uma tabela, conforme figura abaixo. 
 
Estação Ponto Visado Leitura de Ré 
Leitura de Vante 
Intermediária Mudança 
1 
A 1245 
B 1630 
 
A coluna da Estação corresponde à identificação do ponto onde está posicionado o equipamento 
(nível); 
A coluna do Ponto Visado corresponde à identificação do ponto onde está posicionado a mira; 
A Leitura de Ré corresponde à leitura dos fios estadimétricos (a leitura que aparece na tabela é 
aquela do fio médio) quando a mira está posicionada sobre o ponto que servirá de orientação 
altimétrica; 
A Leitura de Vante corresponde, assim como a Leitura de Ré, à leitura dos fios estadimétricos 
médios nos demais pontos identificados como vante; 
Quando o equipamento está posicionado em um determinado ponto e orientado em uma Ré, 
podemos coletar diversos pontos identificados como Vante. No entanto, apenas uma Leitura de 
Vante será chamada de Vante de Mudança, as demais serão denominadas de Leitura de Vante 
 
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Intermediária e correspondem aos detalhes quando trabalhamos com levantamento 
planimétrico. 
 
Figura 10 – Nivelamento Geométrico Simples com mais de uma Leitura de Vante 
Onde: 1: Estação; 
𝐴: Leitura de Ré; 
𝐵, 𝐶, 𝐷: Leituras de Vante. 
 
 IMPORTANTE 
No Nivelamento Geométrico Simples o equipamento será estacionado uma única vez, logo não 
será realizada nenhuma Leitura de Vante Intermediária. 
 
A Leitura de Vante de Mudança será feita antes da mudança do equipamento e por isso recebe 
o nome de Mudança, teremos nesse ponto duas leituras, uma como Leitura de Vante e outra 
como Leitura de Ré (miras C, F e H na Figura 11), depois que o equipamento for mudado de lugar. 
 
 
Figura 11 – Nivelamento Geométrico Composto com mais de uma Leitura de Vante 
 
 
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Onde: 1,2,3,4: Estações; 
𝐴: Leitura de Ré; 
𝐶, 𝐹, 𝐻: Leituras de Vante de Mudança e Leituras de Ré; 
𝐵, 𝐷, 𝐸, 𝐺, 𝐼: Leituras de Vante Intermediária; 
𝐽: Leitura de Vante de Mudança; 
 
4.1. Método de cálculo 
Para cada ponto de Estação será calculado um Plano Horizontal correspondente a essa estação. 
Devemos somar a cota/altitude do ponto de Ré com a Leitura de Ré desse mesmo ponto. 
Todas as Leituras de Vante realizadas a partir dessa Estação utilizarão esse Plano Horizontal 
calculado como referência para o cálculo das cotas. 
Estação 
Ponto 
Visado 
Leitura de 
Ré 
Leitura de Vante 
Plano 
Horizontal 
Cota 
Intermediária Mudança 
1 
A 1245 
𝑃𝐻1 
50,000 
B 1630 𝐶𝑜𝑡𝑎𝐵 
 
𝑃𝐻1 = 𝐶𝑜𝑡𝑎𝐴 + 𝐿𝑅é 𝐴 
𝑃𝐻1 = 50,000 + 1,245 
𝑃𝐻1 = 51,245𝑚 
 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝐵 = 𝑃𝐻1 − 𝐿 𝑉𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐵 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝐵 = 51,245 − 1,630 
𝐶𝑜𝑡𝑎𝐶 = 49,615𝑚 
 
4.2. Exercícios 
1) Em um nivelamento geométrico, em determinado lugar a altura do plano de visada (PH1) 
foi igual a 112,438m e sobre um ponto foi lido na mira o valor de 1,737m. Calcular a cota deste 
ponto. 
 
 
 
 
 
 
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2) Com os dados da planilha abaixo, resultante de um nivelamento geométrico, calcule as 
cotas dos pontos nivelados, sabendo-se que a cota do ponto 1=50,000m. 
 
Ponto 
Leituras 
Plano 
Horizontal 
Cotas 
Ré 
Vante 
Intermediária 
Vante 
mudança 
1 0,812 
 
50,000 
2 1,604 
3 1,752 
4 2,626 
4 0,416 
 
 
5 2,626 
5 3,712 
 
 
6 1,248 
7 2,409 
8 3,706 
 
 
 
 
 
3) Completar a tabela abaixo. 
 
Ponto 
Leituras 
Plano 
Horizontal 
Cotas 
Ré 
Vante 
Intermediária 
Vante 
mudança 
1 3,511 
 
100,000 
2 2,110 
3 0,813 
3 
 
 
4 3,120 103,348 
5 2,084 
6 106,258 
6 
109,982 
 
7 1,002 
 
 
 
 
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4) O desenho abaixo representa um Nivelamento Geométrico, as medidas escritas são as 
leituras do Fio Médio, os valores dados estão em metros. Com os dados fornecidos completar 
a tabela e calcular as cotas de todos os pontos, sabendo que a cota do RN=20,00. 
 
 
Ponto 
Leituras 
Plano 
HorizontalCotas 
Ré 
Vante 
Intermediária 
Vante de 
mudança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Utilizando a figura abaixo e seus conhecimentos de nivelamento geométrico, preencha a 
tabela com os dados do levantamento apresentado e faça os cálculos das cotas de todos os 
pontos sabendo que a cota do Ponto 𝐴 = 50,000 𝑚. Obs.: Os valores apresentados estão em 
metros. 
 
 
 
 
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Ponto 
Leituras 
Plano 
Horizontal 
Cotas 
Ré 
Vante 
Intermediária 
Vante de 
mudança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Abaixo está apresentado o esquema de um nivelamento geométrico, descreva 
sucintamente a sequência do levantamento para obtermos o desnível entre a RN (Referência 
de Nível) e o ponto 7. Por que devemos considerar a visada no ponto 7 como vante de 
mudança? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) Dado o esquema do nivelamento geométrico por visadas extremas, preencher a 
caderneta de campo e realizar os cálculos das cotas (as leituras estão em metros). 
 
 
 
PV 
Leituras 
PH Cota (m) 
Ré 
Vante 
Mudança 
Vante 
Interm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Contranivelamento 
Durante a execução de um serviço de nivelamento, nem sempre é possível garantir que a cota 
do último ponto seja aceitável. Faz-se então um contranivelamento, ou seja, faz-se outro 
nivelamento voltando-se ao ponto de partida, de preferência por um caminho distinto do 
primeiro. Com isso é possível recalcular a cota do ponto inicial, que deverá ser igual à cota inicial 
mais ou menos um erro admissível. 
 
Figura 12 – Exemplo de Nivelamento e Contranivelamento. 
5.1. Erro Altimétrico 
Devem-se somar as Leituras de Ré e as Leituras de Vante de Mudança. 
∆Z = 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑅é − 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑀𝑢𝑑𝑎𝑛ç𝑎 
O erro altimétrico é dado por: 
𝐸𝑧 = ∑ ∆Z − 𝐷𝑍 
Onde: 𝐷𝑧: Desnível entre o ponto de partida e o de chegada; 
∑ ∆Z: Diferença entre todas as Leituras de Ré e Vante de Mudança. 
 
 IMPORTANTE 
A fórmula apresentada é válida para todos os tipos de levantamento, desde que sejam conhecidos 
a cota/altitude de partida e de chegada. 
 
5.2. Avaliação do Erro Altimétrico 
A tolerância altimétrica (Tz) é definida conforme a fórmula abaixo: 
𝑇𝑍 = ±2 ∙ 𝑒 ∙ √𝑛 
Onde: 𝑇𝑧: erro médio de cada visada, valor definido pelo equipamento usado; 
e:erro médio admissível por visada de Ré ou Vante de Mudança 
n: número de visadas de Leituras de Ré e Leituras de Vante de Mudança, 𝑛 = 2 ∙ 𝑁; 
 
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𝑁:número de planos horizontais. 
5.3. Distribuição do Erro Altimétrico 
O erro altimétrico deve ser distribuído para todos os planos horizontais calculados, sendo assim 
deve-se: 
 Dividir o erro pelo número de planos horizontais; 
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 =
−𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 
𝑁
∙ 𝑁𝑖 
Onde: 𝑁𝑖: plano horizontal a ser corrigido. 
 
 Somar o valor a ser distribuído com cada plano horizontal calculado. 
 
EXEMPLO 
Foi feito um Nivelamento Geométrico Composto e os dados estão apresentados na tabela abaixo, 
devemos calcular as cotas e ajustar o erro. 
 
Est. PV LRé 
Leitura de Vante 
PH 
Cota 
Provisória 
(m) 
Cor. 
Cota 
Final 
(m) Interm. Mudança 
1 
A 
(RN) 
3437 
 
50,000 
 
 
F 2621 
G 563 
2 
G 3826 
 
 
 
 
B 2749 
3 
B 502 
 
 
 
 
H 894 
4 
H 392 
 
 
 
 
I 484 
A 
(RN) 
 3954 
 
 
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5.4. Exercícios 
1) Faça os cálculos do Nivelamento Geométrico apresentado na tabela abaixo. 
 
Est. PV LRé 
Leitura de Vante 
PH 
Cota 
Provisória 
(m) 
Cor. 
Cota 
Final 
(m) Interm. Mudança 
1 
A 
(RN1) 
3230 
 
100,000 
 
100,000 
B 2780 
C 2510 
2 
C 3170 
 
 
 
 
D 2530 
E 1830 
F 
(RN2) 
 860 103,034 
 
 
 
 
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2) Num nivelamento geométrico, todos os valores coletados foram anotados em uma 
mesma coluna por descuido do operador. Preencher corretamente a planilha e realizar o cálculo 
das cotas de todos os pontos. Lembrar que os pontos de vante intermediária são aqueles que 
não se repetem. Deverá ser feito o cálculo da tolerância e do erro altimétrico. 
 
Ponto 
Visado 
 Leituras 
Plano 
Horizontal 
Cotas 
(m) 
Correção 
Cota Final 
(m) Ré 
Vante 
Mudança 
Vante 
Intem. 
RN1 2052 787,531 
2 1835 
3 1294 
1 235 
1 2899 
5 1583 
4 784 
4 1778 
6 1863 
7 442 
7 3479 
8 1870 
9 231 
RN2 618 795,656 
 
 
 
 
 
 
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B. Nivelamentos – Parte II 
Dando prosseguimento aos estudos de nivelamentos, neste capítulo serão apresentados os 
conceitos relacionados ao Nivelamento Trigonométrico. Além disso, serão apresentados os 
equipamentos envolvidos e os cuidados necessários. 
6. Equipamentos 
Dentre os equipamentos necessários, os principais utilizados são: a Mira e o Teodolito. 
6.1. Teodolito 
Os teodolitos são equipamentos destinados à medição de ângulos, horizontais e verticais. 
Atualmente existem diversas marcas e modelos de teodolitos, os quais podem ser classificados 
pela finalidade como topográficos, geodésicos e astronômicos; quanto à forma construtiva como 
óptico-mecânicos ou eletrônicos e, quanto à precisão, em baixa, média ou alta. 
A NBR 13133:1994 classifica os teodolitos segundo o desvio padrão de uma direção observada 
em duas posições da luneta, conforme Tabela 1. 
A precisão do equipamento deve ser consultada em seu manual. 
Tabela 1 – Classificação dos Teodolitos 
Classe de Teodolitos Desvio-padrão / Precisão angular 
1 – Precisão Baixa ≤ ±30” 
2 – Precisão Média ≤ ±07” 
3 – Precisão Alta ≤ ±02” 
Seu funcionamento e manejo são discutidos com maiores propriedades durante as aulas práticas. 
 
Figura 13 – Exemplo de Teodolito Eletrônico Leica 
 
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7. Nivelamento Trigonométrico 
De acordo com a ABNT NBR 13133:1994, é o “nivelamento que realiza a medição da diferença 
de nível entre pontos do terreno, indiretamente, a partir da determinação do ângulo vertical da 
direção que os une e da distância entre estes, fundamentando-se na relação trigonométrica 
entre o ângulo e a distância medidos, levando em consideração a altura do centro do limbo 
vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado.”. 
É amplamente aplicado nos levantamentos topográficos em função de sua simplicidade e 
agilidade. A representação de um levantamento pode ser vista através da Figura 14. 
 
Figura 14 - Nivelamento Trigonométrico 
7.1. Determinação do Desnível para lances curtos 
Considera-se lance curto, visadas de até 150m. 
Para calcularmos o desnível entre os pontos A e B, tomemos por base a figura abaixo. 
 
𝛥ℎ𝐴𝐵 : Desnível entre A e B; 
ℎ𝑖 : Altura do instrumento; 
ℎ𝑠 : Altura lida; 
𝐷𝑖 : Distância inclinada; 
𝐷ℎ : Distância horizontal; 
𝐷𝑉 : Distância vertical; 
𝑍 : Ângulo zenital. 
Assim, pode-se escrever que o desnível 𝛥ℎ𝐴𝐵 será: 
𝐷𝑉 + ℎ𝑖 = ℎ𝑠 + 𝛥ℎ𝐴𝐵 ⇒ 𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 − ℎ𝑠 + 𝐷𝑉 
Calculando a distância vertical 𝐷𝑉 teremos: 
𝑡𝑎𝑛(𝑍) =
𝐷ℎ
𝐷𝑉
 ⇒ 𝐷𝑉 =
𝐷ℎ
𝑡𝑎𝑛(𝑍)
= 𝐷ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) ∴ 𝐷𝑉 = 𝐷ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) 
Ou então, simplesmente: 
𝐷𝑉 = 𝐷𝑖 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 
 
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Substituindo as equações de 𝐷𝑉 na de 𝛥ℎ𝐴𝐵 obtém-se: 
𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷ℎ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍) 
ou 
𝛥ℎ𝐴𝐵 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝑍) 
 ATENÇÃO! 
Os valores de 𝐷𝑖 (Distância inclinada) e de 𝐷ℎ (Distância horizontal) são coletados em campo 
de forma indireta. Na seção 7.2 é mostrado como as obtemos. 
7.2. Determinação das distâncias (Taqueometria ou Estadimetria) 
As observações de campo são realizadas com o auxílio de teodolitos. 
Com o teodolito realiza-se a medição do ângulo vertical ou do ângulo zenital, o qual, em conjunto 
com as leituras efetuadas, será utilizado no cálculo da distância. 
 LEMBRETE! 
Uma distância é medida de maneira indireta, quando no campo são observadas outras grandezas 
(no nosso caso ângulos) e através delas podemos calcular a distância desejada. 
Sendo assim, são necessários alguns cálculos sobre as medidas efetuadas em campo, para se 
obter indiretamente o valor da distância. Esse procedimento é chamado de Taqueometria ou 
Estadimetria. 
Estádias, ou miras estadimétricas são as réguas graduadas centimetricamente que conhecemos 
simplesmente por Miras. Na estádia são efetuadas as leituras dos fios estadimétricos (superior, 
inferior e médio). Por sua vez, os fios estadimétricos são as marcações encontradas no retículo 
do teodolito. 
 
Figura 15 – Exemplo de Estádia (ou Mira) e dos fios estadimétricos 
 
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7.2.1. Visada Horizontal 
Com os fios estadimétricos da luneta é possível efetuar leituras sobre uma mira graduada e 
relacioná-las com os valores constantes do instrumento. Mediante as considerações geométricas 
determina-se com facilidade a distância horizontal aparelho-mira. 
Na Figura 16, Ln é a luneta; 𝒅 é a distância entre os planos dos fios do retículo [Os fios do retículo 
e os fios estadimétricos estão todos num mesmo plano] e o foco 𝐹 da objetiva; 𝒈 é a distância 
vertical entre os fios estadimétricos; 𝑫𝒉 é a distância aparelho-mira; 𝐴𝐵 = 𝐺 é o número 
gerador obtido através da diferença de leituras sobre a mira dos fios superior 𝐹𝑆 e inferior 𝐹𝐼. 
 
Figura 16 - Determinação da distância com visadas horizontal 
Da semelhança entre os triângulos 𝑎𝑏𝐹 e 𝐴𝐵𝐹, extrai-se a seguinte relação: 
𝐷ℎ
𝑑
 = 
𝐴𝐵
𝑎𝑏
 
Conforme dito acima, 
𝐴𝐵 = 𝐹𝑆 − 𝐹𝐼 = 𝐺 
𝑎𝑏 = 𝑔 
Substituindo na primeira equação, pode-se escrever: 
𝐷ℎ
𝑑
 = 
𝐺
𝑔
 ⇒ 𝐷ℎ =
𝑑
𝑔
∙ 𝐺 
Os valores 𝑑 e 𝑔 são invariáveis, isto é, são constantes para cada instrumento. A relação 
𝑑
𝑔
= 𝑘, 
é a constante estadimétrica do instrumento. Para facilidade de operação os fabricantes 
costumam fazer 𝑘 = 100. Assim, a determinação da distância 𝑫𝒉 depende única e 
exclusivamente do número gerador 𝐺 que, como já se sabe, é obtido pela diferença de leituras 
sobre a mira, dos fios estadimétricos superior e inferior. 
Com isso, a equação anterior reveste-se da seguinte forma: 
𝐷ℎ = 𝑘 ∙ 𝐺 
 
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 ATENÇÃO! 
A fórmula 𝑫𝒉 = 𝒌 ∙ 𝑮 é válida SOMENTE para medidas efetuadas com NÍVEIS ou teodolitos 
com a luneta a 90°! (Visadas HORIZONTAIS) 
 
7.2.2. Visada Inclinada 
Na dedução da fórmula para o cálculo da distância utilizando uma visada inclinada, tome por 
base a figura a seguir. 
 
Figura 17 - Determinação da distância com visadas inclinadas 
Adotaremos as seguintes convenções: 
Ângulo Zenital: 𝑍; 
Ângulo Vertical: 𝑉; 
Distância Horizontal: 𝐷ℎ; 
Distância Inclinada: 𝐷𝑖; 
Número Gerador da Mira Real: 𝑮 (𝐺 = 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐵 − 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴); 
Número Gerador da Mira Fictícia: 𝑮′ (𝐺′ = 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐵′ − 𝐿𝑒𝑖𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴′). 
 
Sabemos que o seno de um ângulo é dado por: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
 
Da Figura 17 obtém-se: 
𝑠𝑒𝑛 𝑍 =
𝐺’
2
𝐺
2
= 
𝐺′
𝐺
 ⇒ 𝐺’ = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 
 
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𝑠𝑒𝑛 𝑍 = 
𝐷ℎ
𝐷𝑖
 ⇒ 𝐷ℎ = 𝐷𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 
Sabendo-se que para obter a distância utiliza-se a fórmula: 
𝐷𝑖 = 𝐺’ ∙ 𝑘 ⇒ 𝐷𝑖 = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ∙ 𝑘 
Onde 𝑘 é a constante estadimétrica do instrumento, definida pelo fabricante e geralmente igual 
a 100. 
Substituindo 𝐷𝑖 em 𝐷ℎ temos 
𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ∙ 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑍 ⇒ 𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝑘 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 𝑍 
Seguindo o mesmo raciocínio para o ângulo vertical, chega-se a: 
𝐷ℎ = 𝐺 ∙ 𝐾 ∙ 𝑐𝑜𝑠2 𝑉 
 
7.3. Exercícios 
1) Supondo-se que a cota de um ponto 𝑀 = 12,72𝑚 e a de um ponto 𝑃 = 33,92𝑚. Estando 
o instrumento instalado em 𝑀; ℎ𝑖 = 1,47𝑚, 𝐹𝑀 = 1,780𝑚 e 𝐷𝐻𝑀𝑃 = 88,15𝑚. Calcule 
o valor do ângulo zenital. 
 
 
 
 
 
2) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais, diferenças de 
nível e cotas dos pontos. A cota do ponto A=50,000m e PH=1,75m. 
 
EST PV Z FS FM FI (FS-FI) DH Δh COTA 
A 
1 97°47’ 2,390 1,745 1,100 
2 101°25’ 2,480 1,740 1,000 
3 81°27’ 2,530 1,615 0,700 
4 84°23’ 2,610 1,805 1,000 
 
3) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais, diferenças de 
nível e cotas dos pontos. A cota do ponto 00=50,000m e hi00=1,57m; hi01=1,48m; 
hi02=1,55m; hi03=1,60m. 
 
EST PV Z FS FM FI (FS-FI) DH h Cota 
00 01 91°22'32" 2014 1757 1500 
00 d00 76°28'51" 2180 1940 1700 
01 02 95°06'44" 2670 1935 1200 
02 03 79°43'00" 2430 1815 1200 
03 d02 88°35'12" 2390 2295 2200 
 
 
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8. Erro Altimétrico 
Em se tratando de uma poligonal fechada, a soma algébrica das diferenças de nível parciais deve 
ser nula. Ou seja, ao se fechar a poligonal, a cota ou altitude calculada para o ponto de partida 
deve ser igual à cota a ele atribuída no início das operações de campo. 
Assim, o Erro altimétrico (𝐸𝑧) é dado por: 
𝐸𝑧 = ∑∆h − 𝐷𝑍 
Onde: 𝐷𝑧: Desnível entre o ponto de partida e o de chegada. Para poligonais fechadas, é 
igual à zero. 
∑ ∆h: Somatório das diferenças de nível parciais. 
 
8.1. Avaliação do Erro Altimétrico 
A tolerância altimétrica (𝑇𝑧) é definida por: 
𝑇𝑍 = ±2 ∙ 𝑒 ∙ √𝐾 
Onde: 𝑒: Erro médio admissível por quilômetro. 
𝐾: Número de quilômetros nivelados (perímetro da poligonal). 
O limite de tolerância varia de acordo com a precisão exigida pelas firmas que contratam os 
trabalhos topográficos, ficando assim, devidamente especificados , em normas ou cadastros por 
elas expedidos. 
 
EXEMPLO 
Se for adotado o limite de 5,0 𝑚𝑚/𝑘𝑚 para o erro, calcule o erro máximo permitido em 16,0 𝑘𝑚 
nivelados. 
𝜀𝑍 = 2 ∙ 5 
 𝑚𝑚
𝑘𝑚
 √16,0 𝑘𝑚 = 10 
 𝑚𝑚
𝑘𝑚
 ∙ 4 𝑘𝑚 = 40 𝑚𝑚. 
Portanto, se o erro encontrado for maior do que o valor estipulado pelo limite de tolerância, é 
sinal de que houve qualquer descuido no trabalho e, nestas condições, o nivelamento deverá ser 
realizado novamente. 
 
8.2. Distribuição do Erro Altimétrico 
O erro altimétrico deve ser distribuído para todos os alinhamentos da poligonal cadastrada, 
sendo assim temos: 
𝐶𝑍𝑖 =
− 𝐸𝑍
𝑛
 
Onde: 𝑛: Número total de pontos da poligonal 
𝐸𝑍: Erro altimétrico 
 
 
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CURIOSIDADE 
A NBR 13133:1994 define quatro classes de nivelamento de linhas ou circuitos e seções. 
 Classe IN - Nivelamento geométrico para implantação de referências de nível (RN) de apoio 
altimétrico; 
 Classe IIN - Nivelamento geométrico para determinação de altitudes ou cotas em pontos de 
segurança (PS) e vértices de poligonais para levantamentos topográficos destinados a 
projetos básicos, executivos, como executado (𝑎𝑠 𝑏𝑢𝑖𝑙𝑡), e obras de engenharia; 
 Classe IIIN - Nivelamento trigonométrico para determinação de altitudes ou cotas em 
poligonaisde levantamento, levantamento de perfis para estudos preliminares e/ou de 
viabilidade em projetos; 
 Classe IVN - Nivelamento taqueométrico destinado a levantamento de perfis para estudos 
expeditos. 
Para estas classes, a norma define: 
Classe Método Linha 
Extensão 
Máxima 
Lance 
Máximo 
Lance 
Mínimo 
N°. Máx. 
de 
Lances 
Tolerâncias 
fechamento 
IN (1) - 10 km 80 m 15 m - 12𝑚𝑚 ∙ √𝐾 
IIN (2) - 10 km 80 m 15 m - 20𝑚𝑚 ∙ √𝐾 
IIIN (3) 
Principal 10 km 500 m 40 m 40 0,15𝑚 ∙ √𝐾 
Secundária 5 km 300 m 30 m 20 0,20𝑚 ∙ √𝐾 
IVN (4) 
Principal 5 km 150 m 30 m 40 0,30𝑚 ∙ √𝐾 
Secundária 2 km 150 m 30 m 20 0,40𝑚 ∙ √𝐾 
(1) 
Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 3, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, providas de 
prumo esférico, leitura a ré e vante dos três fios, visadas equidistantes com diferença máxima de 10 m, ida e volta em horários distintos e com 
Ponto de Segurança (PS) a cada km, no máximo. 
(2) 
Nivelamento geométrico a ser executado com nível classe 2, utilizando miras dobráveis, centimétricas, devidamente aferidas, p rovidas de 
prumo esférico, leitura do fio médio, ida e volta ou circuito fechado, com Ponto de Segurança (PS) a cada dois km, no máximo. 
(3) 
Nivelamento trigonométrico a ser realizado através de medidas de distâncias executadas com medidor eletrônico de distância (MED) classe 
1, leituras recíprocas (vante e ré) em uma única série, ou medidas de distâncias executadas à trena de aço devidamente aferida, com controle 
estadimétrico de erro grosseiro, leituras do ângulo vertical conjugadas, direta e inversa, em uma série direta e inversa, com teodolito classe 2 ou 
estação total classe 2. 
(4) 
Nivelamento taqueométrico a ser realizado através de leitura dos três fios sobre miras centimétricas, devidamente aferidas, p rovidas de prumo 
esférico, leitura vante e ré, leitura do ângulo vertical simples, com correção de PZ (ponto zenital) ou de índice obtida no início e no fim da 
jornada de trabalho, por leituras conjugadas, direta e inversa, com teodolito classe 1. 
 
 
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8.3. Exercícios 
1) Com uma estação total montada numa estação de cota 200,00m, visou-se um ponto P, 
registrando as seguintes leituras: 
 
Ângulo Zenital 𝑧 = 82,0503° 
Distância Inclinada 𝑑𝑖 = 123,16 𝑚 
Altura do Aparelho ℎ𝑖 = 1,45 𝑚 
Altura da Visada ℎ𝑠 = 1,775 𝑚 
 
a. Calcule a distância horizontal ao ponto P e a respectiva cota 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Da mesma estação, substituímos a estação total por um teodolito e, utilizando os fios 
estadimétricos, visou-se uma mira colocada no ponto Q, tendo-se obtido os seguintes 
valores: 
𝐹𝑖 = 1136 𝑚𝑚 𝐹𝑠 = 2864 𝑚𝑚 𝑧 = 92,8467° 
Calcule a cota do ponto Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Explique, sem realizar cálculos, como é que poderia concluir que a cota de P é a superior 
à de Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) Você foi contratado para determinar o desnível entre dois pontos de um lote situado 
próximo a um marco geodésico. A altitude desse marco é Z=925,36m. Qual será o desnível 
entre os pontos, sabendo que os dados obtidos em campo com o aparelho situado no marco 
Z foram: 
Ponto 01: Ponto 02: 
Ângulo vertical com o Zênite = 90°35’38” Ângulo vertical com o Zênite = 78°46’45” 
Distância horizontal Z-01 = 285,56m Distância inclinada Z-02 = 161,43m 
Altura do aparelho = 1,68m Altura do aparelho = 1,68m 
Altura do prisma = 1,55m Altura do prisma = 1,55m 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Na figura abaixo podemos observar os desníveis entre os vértices do polígono. Conhecendo 
esses desníveis, calcule a cota de cada vértice (colocar os valores na tabela) e calcule o 
desnível entre os pontos 4 e 5 (h4-5). 
Obs.: Fique atento no sentido do desnível. 
 
 
Vértice Cota (metros) 
1 756,128 
2 
3 
4 
5 
6 
h4-5.=____________ 
 
 
 
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4) Com os elementos dados na planilha abaixo, verifique o erro altimétrico, distribua o erro e 
calcule as novas cotas sabendo que a cota do MP = 100,000m. 
EST PV h Correção hcorrigido Cota (metros) 
MP 01 0,162 
01 02 0,664 
01 D20 1,253 
01 D25 0,236 
02 03 0,556 
03 04 -1,119 
04 05 -0,302 
05 06 -0,522 
06 MP 0,492 
 
 
 
 
 
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C. Erros em Altimetria 
 
9. Determinação do Desnível para lances longos 
 ATENÇÃO! 
Para lances longos deve-se levar em consideração a influência da curvatura da Terra 
(esfericidade) e refração atmosférica! 
 
9.1. Erro de esfericidade 
Suponha que efetuemos uma visada na horizontal, a partir da estação E, para determinação da 
cota de um ponto B, a uma distância D no mesmo nível, comete-se um erro Ce, como 
representado na Figura 18. 
 
Figura 18 – Efeito da Curvatura da Terra na Altimetria 
Observe que os pontos E e B tem a mesma cota, no entanto, como ilustra a figura, quando 
fazemos uma visada horizontal da estação E (tangente à superfície de nível em E) para o ponto 
B, devido à influência da curvatura da Terra, parece existir entre os dois pontos uma diferença 
de nível igual a Ce. Este é o erro de esfericidade. 
O cálculo desse erro de esfericidade é dado conforme abaixo. 
Ob2 = OE2 + Eb2 
Eb2 = Ob2 − OE2 
Eb2 = (Bb + OB)2 − OE2 
D2 = (Ce + R)2 − R2 
D2 = Ce2 + 2 ∙ Ce ∙ R + R2 − R2 
 
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D2 = Ce2 + 2 ∙ Ce ∙ R 
D2 = Ce ∙ (Ce + 2 ∙ R) 
Ce =
D2
(Ce + 2 ∙ R)
 
O valor da correção do erro altimétrico no denominador somado ao dobro do raio da terra é 
insignificante e portanto será desprezado. 
Temos então que a correção devido à curvatura da terra é dada pela fórmula abaixo. 
Ce =
D2
2 ∙ R
 
Onde o raio da terra possui aproximadamente 6.400 km. 
 
9.2. Erro de refração 
A refração atmosférica provoca nos raios de luz que atravessam a atmosfera uma trajetória 
curva. Por essa razão, a posição onde os pontos são observados não corresponde à sua posição 
real (observe a Figura 19). 
O ponto C’ é observado numa posição aparente, havendo a necessidade de uma correção. Em 
outras palavras, o raio visual, ao atravessar as camadas atmosféricas de densidades diferentes, 
se refrata, dando uma trajetória em alinhamento curvo situado sobre o plano vertical visual, cuja 
concavidade é dirigida para a superfície do solo. O ângulo CAC’ é denominado ângulo de 
refração. A Figura 19 representa o erro de refração 𝑪𝒓, representado pelo trecho CC’. 
 
Figura 19 – Influência da refração atmosférica 
O erro de refração é calculado conforme formulação abaixo. 
r = ângulo de refração; 
w = ângulo AOC; 
r = 0,079 ∙ w 
 
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Considerando os valores de AC, AC’ e AB insignificantes com relação ao raio terrestre, podem-se 
tomar como iguais os valores da tangente e do arco, conforme abaixo. 
r =
CC′
AC
=
Cr
D
 
w =
AC
AO
=
D
R
 
r = 0,079 ∙ w => 
𝐶𝑟
𝐷
= 0,079 ∙
𝐷
𝑅
 
𝐶𝑟 = 0,079 ∙
𝐷2
𝑅
 
 
9.3. Determinação do desnível 
Assim, nos casos onde as visadas são maiores que 150m, a expressão utilizada para cálculo do 
desnível é a mesma que foi apresentada nos capítulos anteriores, porém com a inclusão de um 
termo referente à correção relativa à esfericidade (curvatura da Terra) e um, relativo à refração 
atmosférica. 
e = Ce − Cr 
𝑒 =
D2
2 ∙ R
− 0,079 ∙
𝐷2
𝑅
 
𝑒 = (
𝐷2 
𝑅
) ∙ (
1
2
 – 0,079) 
𝑒 =
0,421 ∙ 𝐷2
𝑅
 
Onde: 
𝐷 = Distância medida entre os marcos em quilômetros; 
𝑅 = raio aproximado da Terra que pode ser tomado como 6.400 km; 
Assim, associando esta correção à expressão para o cálculo de desnível apresentado no capítulo 
anterior, temos a seguinte fórmula: 
𝜟𝒉𝑨𝑩 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷ℎ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑍)+
0,421 ∙ 𝐷2
𝑅
 
ou 
𝜟𝒉𝑨𝑩 = ℎ𝑖 – ℎ𝑠 + 𝐷𝑖 𝑐𝑜𝑠(𝑍) +
0,421 ∙ 𝐷2
𝑅
 
 
 
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EXEMPLO 
Calcule os erros relativos à esfericidade e curvatura para as distâncias apresentadas na tabela 
abaixo. 
Distância Erro 
40m 
60m 
80m 
100m 
120m 
140m 
160m 
180m 
 
 
9.4. Exercícios 
5) Com os elementos dados na planilha abaixo, calcule as distâncias horizontais, diferenças de 
nível e cotas dos pontos. A correção a ser feita é correspondente ao erro de curvatura e 
esfericidade. A cota do ponto 00 é 50,000 𝑚 e ℎ𝑖00 = 1,56 𝑚; ℎ𝑖01 = 1,48 𝑚; ℎ𝑖02 =
1,55 𝑚; ℎ𝑖03 = 1,60 𝑚. 
 
EST PV Z FS FM FI Dh Correção h COTA 
00 01 91°00'00" 2314 1557 800 
00 d00 89°28'50" 2580 1765 950 
00 d01 90°03'00" 2590 1720 850 
00 d02 89°23'10" 2300 1525 750 
01 02 90°06'20" 2670 1885 1100 
02 03 89°43'00" 2430 1665 900 
03 d03 89°26'20" 2434 1642 850 
03 d04 89°35'10" 2590 1795 1000 
 
 
 
 
 
 
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D. Curvas de Nível 
 
10. Introdução 
Linhas que unem pontos de igual valor, o uso de tais linhas tem como finalidade descrever uma 
superfície terrestre (curvas de nível) foi estudado teoricamente por Ducarla em 1771, e Charles 
Hutton usou-as no cálculo do volume de uma colina em 1777. 
Em 1791, um mapa da França feito por JL Dupain-Triel teria usado curvas de nível em intervalos 
de 20 metros, com hachuras, cotas pontuais e uma seção vertical. 
Em 1801, o chefe do Corpo de Engenheiros, Haxo, usou curvas de nível numa escala mais ampla 
de 1:500 em um plano de seus projetos para Rocca d'Aufo. 
Por volta de 1843, quando Ordnance Survey começou a levantar as curvas de nível na Grã-
Bretanha e Irlanda, elas já estavam disseminadas nos demais países europeus. (Fonte: Wikipédia) 
10.1. Definição 
Curvas de nível, ou isolinhas, são linhas curvas fechadas formadas a partir da interseção de vários 
planos horizontais com a superfície do terreno. 
 
Figura 20 – Interseção dos planos horizontais com a superfície do terreno para a formação das curvas 
de nível 
Cada uma dessas linhas pertence a um mesmo plano horizontal e tem, evidentemente, todos os 
pontos situados na mesma cota altimétrica, ou seja, todos os pontos estão no mesmo nível. 
 
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10.2. Planos Horizontais 
Os planos horizontais de interseção são sempre paralelos e equidistantes e a distância entre um 
plano e outro é denominada Equidistância Vertical. 
10.3. Classificação das Curvas de Nível 
As curvas de nível são classificadas em: 
 Mestras – são cotadas e sempre representadas por traços mais espessos; 
 Auxiliares – todas as curvas múltiplas da equidistância vertical, excluindo a mestra; 
 
Figura 21 – Representação de relevo através de curvas de nível 
10.4. Características 
A densidade das curvas de nível indica o quão plano ou acidentado é o terreno, ou seja, quanto 
mais próximas entre si, mais inclinado é o terreno que as curvas representam. Para ilustrar o 
conceito observe a Figura 22 abaixo que apresenta um trecho do Grand Canion. 
 
Figura 22 – Representação do Grand Canion através de curvas de nível. 
 
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Elevações e depressões têm representações semelhantes e geralmente são diferenciadas apenas 
pelas cotas. A Figura 23 e a Figura 24 ilustram estes conceitos. 
 
 
Figura 23 – Representação em planta e em 3D de uma elevação 
 
 
 
 
Figura 24 - Representação em planta e em 3D de uma depressão 
 
 
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10.5. Regras Básicas 
 As curvas de nível devem ser traçadas com curvas suaves, ou seja, sem apresentar quinas 
e cantos. 
 
 
Figura 25 – Traçado suave das curvas 
 
 
 Duas curvas de nível nunca se cruzam 
 
 
Figura 26 – Erro na representação das curvas 
 
 
 Duas curvas de nível nunca se encontram e continuam em uma só. 
 
 
Figura 27 - Erro na representação das curvas 
 
 
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11. Traçado de Curvas de Nível 
Com o levantamento topográfico altimétrico, ou o planialtimétrico, são coletados no terreno 
diversos pontos. No escritório, as cotas/altitudes destes pontos são estabelecidas e, em seguida, 
as curvas são traçadas. 
 
 
Figura 28 – Sequência de trabalho 
 
Para o traçado, utiliza-se a interpolação linear onde, a partir de dois pontos com cotas 
conhecidas, encontra-se o ponto com cota igual a da curva de nível que será representada. 
 
 
Figura 29 - Interpolação de um ponto 
 
11.1. Métodos de interpolação 
Dentre os métodos, os mais usados são: 
 
 
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11.1.1. Método Gráfico – Diagrama de Paralelas 
Nesse método traça-se um diagrama de linhas paralelas equidistantes , em papel transparente, 
correspondendo às cotas das curvas de nível. 
 
 
Figura 30 – Exemplo do Diagrama de Paralelas 
 
Em seguida, coloca-se o diagrama em cima da linha a ser interpolada de forma que as cotas dos 
pontos extremos coincidam com os valores das cotas indicadas no diagrama, conforme Figura 
31, abaixo. 
 
 
Figura 31 – Exemplo de aplicação do Diagrama de Paralelas 
 
 
Logo depois, marca-se na linha as posições onde houve interseção com diagrama de paralelas. 
 
 
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11.1.2. Método Gráfico – Divisão em seguimentos 
Inicialmente, toma-se o segmento AB que se deseja interpolar as curvas. 
Pelo ponto A traça-se uma reta r qualquer, com comprimento igual ao desnível entre os pontos 
A e B, definindo-se o ponto B´. 
Emprega-se a escala que melhor se adapte ao desenho, no exemplo foi utilizado 1,0 𝑚 = 1,0 𝑐𝑚. 
 
Figura 32 
Em seguida, marcam-se os valores das cotas sobre esta reta e une-se o ponto B´ ao ponto B. São 
traçadas então retas paralelas à reta B´B passando pelas cotas cheias marcadas na reta r. 
Finalmente, a interseção destas retas com o segmento AB é a posição das curvas interpoladas. 
 
 
Figura 33 
 
 
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11.1.3. Método Numérico 
Na interpolação numérica, emprega-se a regra de três simples para a determinação das curvas 
de nível. Para tal, devem ser conhecidas as cotas dos pontos, a distância entre eles e a 
equidistância das curvas de nível. 
EXEMPLO 
Observe a Figura 34. De um levantamento altimétrico realizado, obtivemos as cotas dos pontos 
A e B. 
Deseja-se interpolar a posição por onde passariam as curvas com cota 75m, 80m e 85m. 
 
 
 
 
Figura 34 – Exemplo para interpolação numérica 
Temos que: 
a. A distância entre os pontos A e B no papel é de ________________ cm. 
b. O desnível entre os pontos, em metros, é de __________________ m. 
 
 
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11.2. Desenho das curvas 
No traçado das curvas de nível, os pontos amostrados podem estar em formato de malha regular 
de pontos. 
Neste caso, as curvas de nível são desenhadas a partir desta malha. A sequência de trabalhos 
será: 
 Definir a malha de pontos; 
 Determinar a cota ou altitude de todos os pontos da malha; 
 Interpolar os pontos por onde passarão as curvas de nível; 
 Desenhar as curvas 
 
Figura 35 - Interpolação e desenho das curvas em uma célula da malha quadrada 
 
 
 
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11.3. Exercício 
1) Dados os pontos cotados, desenhar as curvas de nível com equidistância de 1m. As cotas 
estão em metros. 
 
92,45 93,25 93,85 92,76 
92,65 96,25 93,59 93,69 
94,69 95,60 96,59 94,50 
94,39 94,35 96,25 93,60 
93,29 94,76 96,89 94,45TO
PO
G
R
A
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R
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8
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P
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 4
9
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6
 
2) 
D
ados os pontos cotados, desen
har as curvas de nível com
 eq
uidistância de 0
,5m
. A
s cotas 
estão em
 m
etros. 
 
 
 
 
 
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12. Perfis Transversais 
Perfis transversais são cortes verticais do terreno ao longo de uma determinada linha. 
A Figura 36 mostra a vista em planta de uma área onde desejamos obter o perfil entre os pontos 
A e B. 
O perfil transversal é obtido a partir da interseção de um plano vertical com o terreno, a Figura 
37 mostra a representação tridimensional para facilitar a compreensão. 
 
Figura 36 – Planta para obtenção do perfil AB. 
 
Figura 37 – Visualização 3D do perfil 
 
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EXEMPLO 
Com base na Figura 36, traçar o perfil AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
3) Dadas as curvas de nível e os pontos 𝐴(110,135), 𝐵(155,125), 𝐶(170,115) e 𝐷(110, 105), 
pede-se: 
 
 
a) O espaçamento entre as curvas de nível (equidistância); 
 
 
b) A cota dos pontos A, B, C e D; 
 
 
c) A distância AB; 
 
 
d) Traçar o perfil da estrada entre os pontos D e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E. Cálculo de Volume 
 
13. Introdução 
O cálculo de volume aparece nas diversas modalidades de engenharia para as mais variadas 
funções. Um dos melhores exemplos do uso do calculo de volume para a engenharia civil é a 
utilização da terraplenagem, como a construção de rodovias, aeroportos, fábricas, ou mesmo a 
construção de uma residência. Como esta operação envolve a movimentação de terra, é 
necessário que conheçamos o volume de terra a ser trabalhado. 
Assim, neste capítulo será aborda uma forma de cálculo do volume de material a ser 
movimentado para a construção de plataformas (platôs) horizontais e inclinadas. 
 
ATENÇÃO! 
Para calcularmos este volume de material a ser movimentado, teremos que conhecer 
previamente o terreno. Isto é, antes de iniciar qualquer movimentação de terra, é necessário ter 
um levantamento topográfico planialtimétrico do local! 
13.1. Hipóteses de Cálculo 
De acordo com BORGES (1994, p.66), para a construção de platôs, o projeto de terraplenagem 
poderá solicitar da topografia o planejamento para uma das quatro hipóteses: 
1. Plano horizontal, sem a imposição de uma cota final; 
2. Plano final horizontal com a imposição de uma cota final; 
3. Plano inclinado sem a imposição da altura em que este plano deva estar; 
4. Plano inclinado impondo uma determinada altura para o mesmo, através da 
escolha da cota de um determinado ponto. 
Sabe-se que o custo da terraplanagem compõe-se basicamente do custo do corte e do 
transporte. O aterro é uma consequência direta do corte e do transporte, e como tal não é pago. 
Baseados nisso, nas hipóteses 1 e 3, a topografia poderá escolher uma cota do plano final que 
determine volumes finais IGUAIS de corte e de aterro, fazendo com que se corte o mínimo 
possível e também se reduza o transporte ao mínimo. Solução, portanto, mais econômica. 
Caso o projeto obrigue a utilização de uma determinada cota (hipóteses 2 e 4), restará à 
topografia sua aplicação e os cálculos dos volumes de corte e aterro que serão, obviamente, 
diferentes. 
14. Cálculo 
 
14.1. Volume pelo método das alturas ponderadas 
Este método baseia-se na decomposição de um sólido cujo volume deseja-se calcular em sólidos 
menores, mais fáceis de calcular o volume. A dedução do método não será apresentada. Na 
prática o terreno é dividido em uma malha regular e cada ponto desta malha tem a s ua cota 
calculada por algum método de nivelamento. O volume então é dado por: 
𝑉 =
𝑆
4
 (𝟏 ∙ ∑𝑍1 + 𝟐 ∙ ∑𝑍2 + 𝟑 ∙ ∑𝑍3 + 𝟒 ∙ ∑𝑍4) 
 
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Onde S é a área da célula da malha criada, 𝑍𝑖corresponde às cotas e os pesos 1, 2, 3 e 4 
correspondem respectivamente a: 
1. Pontos localizados nos cantos da malha. 
2. Pontos localizados nas bordas da malha. 
3. Pontos localizados em cantos reversos da malha. 
4. Pontos localizados no interior da malha. 
 
Figura 38 – Atribuição dos pesos à malha. 
14.2. Exemplo de Cálculo 
Para o exemplo de cálculo, usaremos o exercício clássico apresentado no livro do BORGES (1994 
– p.67) de um terreno retangular de 60x80m. 
Foi realizado o levantamento planialtimétrico do terreno e, a partir dele, é dada uma malha, 
espaçada de 20m, com pontos e as suas respectivas cotas. Na prática, o espaçamento entre os 
pontos da malha dependerá das características do terreno. Terrenos acidentados requerem uma 
malha com espaçamento menor. 
 
(a) 
 
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(b) 
Figura 39 – (a) Terreno levantado com a malha de pontos e (b) sua vista em perspectiva. 
14.2.1. Primeira hipótese 
Nesta hipótese, a topografia poderá escolher uma altura do plano final. 
Conforme discutido acima, por ser mais econômico, vamos escolher uma cota tal que o volume 
de corte seja igual ao volume de aterro, compensando a movimentação de terra. 
O primeiro passo, então, é determinar essa cota. Isto é realizado através do cálculo da média 
ponderada das cotas da malha. 
Veja abaixo como isso é feito: 
 
Figura 40 – Plano com cotas e seus respectivos pesos 
 
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Ponto Cota Peso Cota x Peso 
A1 36,3 1 36,3 
A2 34,8 2 69,6 
A3 33,5 2 67,0 
A4 32,2 2 64,4 
A5 30,8 1 30,8 
B1 36,4 2 72,8 
B2 34,9 4 139,6 
B3 33,6 4 134,4 
B4 32,3 4 129,2 
B5 32,1 2 64,2 
C1 36,6 2 73,2 
C2 35,5 4 142,0 
C3 34,4 4 137,6 
C4 33,5 4 134,0 
C5 32,9 2 65,8 
D1 37,2 1 37,2 
D2 36,3 2 72,6 
D3 35,8 2 71,6 
D4 35,1 2 70,2 
D5 33,9 1 33,9 
 Σ 48 1646,4 
 
𝐶 =
Σ(𝐶𝑜𝑡𝑎 𝑥 𝑃𝑒𝑠𝑜)
Σ 𝑃𝑒𝑠𝑜𝑠
= 
1646,4
48
= 34,3𝑚 
 
Portanto, se utilizarmos um plano de referência com cota 34,3 m, o volume de corte será igual 
ao volume de aterro. 
 
IMPORTANTE! 
Por questões de simplificação,não será considerado o empolamento do material. 
 
 CURIOSIDADE 
Empolamento: aumento de volume verificado na terra, após o processo de extração. 
 
 
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O passo seguinte é o cálculo do volume de corte e aterro propriamente dito. Para isso, 
utilizaremos o método das seções transversais. Serão trabalhadas as seções A, B, C e D do 
terreno. 
 Assim temos: 
 
Figura 41 – Seção A 
Teremos então que calcular as áreas de corte e aterro para a seção acima. Por exemplo, a área 
de aterro total para a seção apresentada é a soma das áreas do triângulo PMS, dos trapézios 
MNRS e NOQR. Não nos esqueçamos de que a abertura da malha é de 20 m, ou seja, a distância 
entre os pontos MN é de 20m e assim por diante. 
No entanto, teremos que calcular por interpolação a distância PM, para podermos calcular a área 
do triângulo PMS. Assim temos: 
 
20𝑚 → 1,3𝑚 
𝑋𝑚 → 0,8𝑚 
𝑋 =
20 ∙ 0,8
1,3
= 12,308𝑚 
Portanto, a área de Aterro da Seçao A (SAA) será: 
 
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𝑆𝐴𝐴 =
12,308 ∙ 0,8
2
+
(2,1 + 0,8) ∙ 20
2
+
(3,5 + 2,1) ∙ 20
2
= 89,923 𝑚2 
E a área de Corte da Seçao A (SCA) será: 
𝑆𝐶𝐴 =
(2,0 + 0,5) ∙ 20
2
+
7,692 ∙ 0,5
2
= 26,923 𝑚2 
 
 
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14.2.2. Exercícios 
4) Calcular as áreas de Corte e Aterro das demais seções do terreno. As seções são dadas a 
seguir. 
 
Figura 42 – Seção B 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝐴𝐵 = 72,769 𝑚
2 𝑆𝐶𝐵 = 29,769 𝑚
2 
 
 
Figura 43 – Seção C 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝐴𝐶 = 29,111 𝑚
2 𝑆𝐶𝐶 = 48,111 𝑚
2 
 
 
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Figura 44 – Seção D 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝐴𝐷 = 1,333 𝑚
2 𝑆𝐶𝐷 = 112,333 𝑚
2 
 
Tendo todas as áreas de corte e aterro calculadas podemos então calcular o volume f inal de corte 
e aterro. Assim Volume de Aterro será: 
𝑉𝐴𝑇𝐸𝑅𝑅𝑂 = 𝑑 ∙ (
𝑆𝐴𝐴
2
+ 𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝐴𝐶 +
𝑆𝐴𝐷
2
) 
Onde o valor de “d” na fórmula é a distância entre duas seções consecutivas. 
 
 
 
 
 
 
E o Volume de Corte será: 
𝑉𝐶𝑂𝑅𝑇𝐸 = 𝑑 ∙ (
𝑆𝐶𝐴
2
+ 𝑆𝐶𝐵 + 𝑆𝐶𝐶 +
𝑆𝐶𝐷
2
) 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐴𝑡𝑒𝑟𝑟𝑜 = 2.950,160 𝑚
3 𝑉𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 = 2.950,160 𝑚
3 
 
 
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ATENÇÃO! 
Como esperado, o volume de corte e de aterro são praticamente iguais. A pequena diferença 
encontrada se deve aos arredondamentos e na prática seria insignificante. 
14.2.3. Segunda hipótese 
Na segunda hipótese, o projeto de terraplenagem define um plano horizontal com uma cota dada 
qualquer. Os cálculos são feitos da mesma forma que na hipótese anterior, diferenciando apenas 
que, agora, o plano vai estar numa cota pré-determinada. 
14.2.4. Exercícios 
5) Supondo que para o terreno do exemplo anterior o projeto solicite um plano horizontal na 
cota 34,0 m; Calcule o volume de Corte e Aterro. 
 
 
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14.2.5. Terceira hipótese 
Neste caso, o projeto solicita um plano inclinado na direção 1-5, com inclinação de 1%, por 
exemplo, sem determinar a altura do plano. 
Vamos então posicionar o plano inclinado de forma que a cota da linha média do terreno seja 
igual à cota do plano que foi calculado para a hipótese 01 (34,30m). Desta maneira também 
teremos para o plano inclinado volumes iguais de corte e aterro. 
Graficamente temos: 
 
 
 
Figura 45 – 3ª hipótese: Representação do terreno em planta, corte e perspectiva. 
 
Determinada a posição do plano necessitamos calcular as demais cotas dos pontos do plano 
inclinado, para depois podermos desenhar os perfis transversais e calcular as áreas de corte e 
aterro. 
O plano terá uma inclinação de 1%, ou seja, para cada 100m o terreno “sobe” ou “desce” 1m. Em 
20 m (distância da malha) o terreno então vai variar a sua cota em 0,20m. Uma vez que 
determinamos a cota da linha 3 (34,30m), para calcular a cota das demais linhas basta somar ou 
diminuir 0,20m, conforme o sentido de inclinação do plano. 
Uma vez que a inclinação se dá no sentido X da malha, todos os pontos localizados na linha 1 
terão a mesma cota, sendo o mesmo válido para as linhas 2, 3, 4 e 5. 
Graficamente temos: 
 
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Calculadas as cotas dos pontos do plano inclinado podemos esquematizar os perfis, conforme 
visto na hipótese 01 e calcular as áreas de corte e aterro. 
Abaixo é apresentada a seção A. 
 
A seguir é apresentado como realizar a interpolação do ponto P (interseção entre o plano 
inclinado e o terreno). 
 
Figura 46 - Interpolação do ponto P para o plano inclinado. 
Nesta interpolação não é possível obter o valor de x1 e x2 diretamente. Teremos que efetuar os 
cálculos por partes. 
 
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Iniciaremos por x1. Sabemos que o terreno sobe com um aclive de 1%, então em x1 metros o 
terreno subirá “hp” metros. Como não conhecemos este valor teremos uma primeira equação 
em função de x1 e hp. 
ℎ𝑝 = 1% ∙ 𝑥1 = 0,01 ∙ 𝑥1 
Podemos escrever outra equação em função de x1. 
Sabe-se que do ponto S até o ponto U (distantes 20m) o terreno sobe 1,3 m, então em x1 metros 
o terreno subirá 0,8m + hp. 
20𝑚 → 1,3𝑚 
𝑥1 → 0,8 + ℎ𝑝 
𝑥1 =
20 ∙ (0,8 + ℎ𝑝)
1,3
=
20 ∙ (0,8 + 0,01 ∙ 𝑥1)
1,3
=
16 + 0,2 ∙ 𝑥1 
1,3
 
1,3 𝑥1 − 0,2 𝑥1 = 16 
𝑥1 =
16
1,1
 ∴ 𝑥1 = 14,545 𝑚 
E, portanto: 
𝑥2 = 20 − 𝑥1 ∴ 𝑥2 = 5,455 𝑚 
Portanto, a área de Aterro da Seçao A (SAA) será: 
𝑆𝐴𝐴 = 82,8200 𝑚
2 
E a área de Corte da Seçao A (SCA) será: 
𝑆𝐶𝐴 = 19,8175 𝑚
2 
14.2.6. Exercícios 
6) Calcular as áreas de Corte e Aterro das demais seções do terreno. As seções são dadas a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOPOGRAFIA II 
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Tendo todas as áreas de corte e aterro calculadas podemos então calcular o volume final de corte 
e aterro. Assim Volume de Aterro será: 
𝑉𝐴𝑇𝐸𝑅𝑅𝑂 = 𝑑 ∙ (
𝑆𝐴𝐴
2
+ 𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝐴𝐶 +
𝑆𝐴𝐷
2
) 
Onde o valor de “d” na fórmula é a distância entre duas seções consecutivas. 
E o Volume de Corte será: 
𝑉𝐶𝑂𝑅𝑇𝐸 = 𝑑 ∙ (
𝑆𝐶𝐴
2
+ 𝑆𝐶𝐵 + 𝑆𝐶𝐶 +
𝑆𝐶𝐷
2
) 
 
 
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F. Referência Bibliográfica 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-13.133: Execução de Levantamento 
Topográfico. Rio de Janeiro: Abnt, 1994. 35 p. 
 
__. NBR-14.166: Rede de Referência Cadastral Municipal - Procedimento. Rio de Janeiro: Abnt, 
1998. 23 p. 
 
CORRÊA, Iran Carlos Stalliviere. Topografia aplicada à Engenharia Civil. 13. ed. Porto Alegre: 
Ufrgs, 2012. 140 p. 
 
 LEICA GEOSYSTEMS (Suiça). Leica FlexLine TS02/TS06/TS09: User Manual. Heerbrugg: Leica 
Geosystems Ag, 2008. 310 p. 
 
VEIGA, Luis Augusto Koenig; ZANETTI, Maria Aparecida Z.; FAGGION, Pedro Luis. FUNDAMENTOS 
DE TOPOGRAFIA. Curitiba: Ufpr, 2007. 205 p. 
 
VEIGA, Luís Augusto Koenig. Topografia Cálculo de Volumes: Notas de Aula. Curitiba: Ufpr, 2007. 
53 p.