Conceitos de Programação Linear

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Questão 1/5 - Pesquisa Operacional
Em programação linear estão definidos alguns elementos que compõem a chamada forma padrão, que engloba a formulação matemática do problema a ser solucionado. Portanto, podemos afirmar que:
I - A função objetivo é função c1x1+c2x2+…+cnxn que está sendo maximizada ou minimizada e corresponde ao primeiro elemento da forma padrão da programação linear.
II - Na estrutura da forma padrão, depois da função objetivo, se encontram as restrições e as restrições de não negatividade, respectivamente.
III - As restrições são as limitações do tipo ai1x1+ai2x2+…+cinxn=bi, com (i=1, 2,…, m) em que aij, bi e cj são as variáveis de decisão e  x1, x2,…, xn são as constantes.
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	I e III são verdadeiras.
	
	B
	III é verdadeira.
	
	C
	II é verdadeira.
	
	D
	I e II são verdadeiras
	
	E
	I, II e III são verdadeiras.
Questão 2/5 - Pesquisa Operacional
Segundo Andrade (2009) ao fazer uso da programação linear (PL) busca-se responder questões de otimização de processos, maximização de lucros, minimização de custos, etc.
Portanto, identifique em quais das questões a seguir poderiam ser aplicados corretamente os conceitos de programação linear:
 
I - Definidas as condições de trabalho, como designar os equipamentos para atividades de forma a minimizar o tempo de operação ou maximizar as despesas?
II - Conhecido o valor nutricional dos alimentos que compõem uma ração, qual quantidade de cada um deve ser usada a fim de satisfazer condições nutricionais mínimas e dar ao animal o crescimento desejado, ao custo mínimo?
III - Considerando determinadas condições de produção, quais insumos são plenamente usados? Quais insumos possuem estoque/disponibilidade para uso?
IV - Definidas as localizações da produção, dos fornecedores e dos pontos de consumo, como estabelecer os circuitos de distribuição de modo a minimizar o custo total?
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	II, III e IV são verdadeiras.
	
	B
	II e IV são verdadeiras.
	
	C
	III é verdadeira.
	
	D
	I, II e III são verdadeiras.
	
	E
	I, II, III e IV são verdadeiras.
Questão 3/5 - Pesquisa Operacional
Leia atentamente o enunciado a seguir:
 
A indústria Portas & Janelas S.A. fabrica dois tipos de produtos: portas e esquadrias de madeira. Os produtos apresentam margens de contribuição por unidade, conforme a Tabela 1.
TABELA 1 – Margens de contribuição unitárias dos produtos
	Produto
	Margem de Contribuição por Unidade ($)
	Portas
	10
	Esquadrias
	8
Os produtos são processados por dois departamentos: montagem e acabamento. Ao passar por esses departamentos, cada unidade do produto consome determinado número de horas, conforme indicado na Tabela 2.
TABELA 2 – Consumo de tempo nos departamentos
	Departamento
	Consumo de horas pelos produtos (por un.)
	Portas
	Esquadrias
	Montagem
	3
	3
	Acabamento
	6
	3
Os departamentos apresentam, contudo, limitação em sua capacidade produtiva, como mostra a Tabela 3.
TABELA 3 – Capacidade produtiva dos departamentos
	Departamento
	Capacidade máxima disponível em horas
	Montagem
	30
	Acabamento
	48
Tendo em vista as condições de produção das portas e esquadrias enunciadas acima podemos afirmar que:
I - A função objetivo Z=c1x1+c2x2+…+cnxn do problema de otimização acima será representado por, Maximizar Z=30x1+48x2 em que x1 é a unidade de portas produzidas e x2 é a unidade de esquadrias de janelas produzidas.
II - As restrições matemáticas do problema podem ser identificadas a partir das tabelas 2 e 3.
III - A única função matemática de restrição será expressa pela equação de restrição do departamento de montagem que é 3x1+3x2=30 em que x1 é a unidade de portas produzidas e x2 é a unidade de esquadrias de janelas produzidas.
IV -  As restrições matemáticas conhecidas como restrições de não negatividade são equações que definem as variáveis de decisão como sendo menores ou iguais a zero. Essas restrições são apenas simbólicas não tendo impacto no resultado do problema.   
 
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	I e IV são verdadeiras.
	
	B
	II é verdadeira.
	
	C
	III é verdadeira.
	
	D
	I e II são verdadeiras.
	
	E
	I, II e IV são verdadeiras.
Questão 4/5 - Pesquisa Operacional
Após a elaboração do modelo matemático de programação linear na forma padrão, pode-se empregar um processo de resolução do problema. A solução gráfica é um dos processos existentes para obtenção da solução do modelo, sendo utilizada principalmente como referencial didático no estudo da programação linear dada sua limitação de três variáveis de decisão.
A respeito do método de solução gráfica, ordene as etapas do processo de solução.
(    ) Identificar a área que as inequações definem como verdade.
(    ) Determinar os pontos de interseção entre as retas.
(    ) Traçar as retas originárias das inequações que definem as restrições.
(    ) Testar as possíveis soluções (vértices).
(    ) Encontrar o valor da função objetivo.
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	4 - 1 - 5 - 2 - 3.
	
	B
	1 - 4 - 2 - 3 - 5.
	
	C
	5 - 1 - 4 - 3 - 2.
	
	D
	3 - 2 - 1 - 4 - 5.
	
	E
	4 - 3 - 5 - 2 - 1.
Questão 5/5 - Pesquisa Operacional
Em pesquisa operacional, ao trabalhar para a solução de um problema, frequentemente nos deparamos com a possibilidade de usar uma solução pronta ou a de desenvolver uma solução que atenda pré-requisitos específicos para o problema em questão. Assim, faz-se necessário diferenciar os conceitos de “modelo” e de “modelagem” a serem empregados, pois há uma pequena sutileza no emprego dos referidos conceitos.
Preencha corretamente as lacunas utilizando os conceitos de “modelo” e “modelagem”.
 
Um(a) _________ pode ser usado para resolver problemas similares, dado que as condições usadas para a elaboração deste nem sempre são encontradas na realidade.
Para problema de baixa complexidade, o emprego de um(a) ________ pronto, pode ser o mais indicado por apresentar um menor custo que a(o) ___________, a solução pode ainda ser obtida em menor prazo.
A(O) _________, deve ser entendida como a elaboração específica de um algoritmo ou _________ matemática(o) para um problema a ser resolvido, que possui escopo e objetivos bem definidos, ou seja, será construído um(a) _________ ‘sob medida’, ‘personalizado’.
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Modelo - Modelo - Modelagem - Modelagem - Modelo - Modelo.
	
	B
	Modelagem - Modelagem - Modelo - Modelo - Modelagem - Modelo.
	
	C
	Modelo - Modelagem - Modelo - Modelo - Modelagem - Modelagem.
	
	D
	Modelo - Modelo - Modelagem - Modelo - Modelagem - Modelo.
	
	E
	Modelagem - Modelagem - Modelagem - Modelo - Modelo - Modelo.
Questão 1/5 - Pesquisa Operacional
Sabemos que o método simplex é um procedimento sistemático para solução que repete uma série de etapas, chamadas iterações, até que se chegue a um resultado desejado, mais a aplicação do método simplex só pode ocorrer após a obtenção da “forma padrão” de um problema de programação linear, ou seja, a partir da forma padrão se realiza transformações na função objetivo e nas restrições a fim de usar coeficientes e constantes na forma tabular. Neste procedimento preparatório estão inseridos novos conceitos e terminologias.
Portanto, em qual fase do estudo de pesquisa operacional obtemos a “forma padrão”:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Após a implementação da proposta.
	
	B
	Após a coleta de dados.
	
	C
	Após a realização da modelagem.
	
	D
	Após o estudo do problema.
	
	E
	Após a análise dos resultados.
Questão 2/5 - Pesquisa Operacional
A estruturação do método simplex combina conceitos de álgebra matricial com conjunto de regras básicas que conduzem à identificação dos problemas de Programação Linear, de forma resumida, pode-seafirmar que o método simplex é um método de resolução de equações lineares. Entretanto, seus conceitos subjacentes são geométricos. Entender esses conceitos geométricos dá uma forte sensação intuitiva de como o método simplex opera e o que o torna dão eficiente, portanto, podemos conectar a solução gráfica com o procedimento algébrico existente no método simplex, definindo que:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Em sua essência, o algoritmo (procedimento) do método simplex se baseia em buscar a solução ótima do problema na interseção (vértices) de duas ou mais linhas ou planos (restrições) e, para isto, realiza um trajeto de vértice em vértice por meio de iterações que melhoram a solução até encontrar a solução ótima, se houver.
	
	B
	O algoritmo busca a solução possível para a resolução do problema.
	
	C
	O principal objetivo do algoritmo do método simplex se baseia em buscar a solução ótima do problema na solução do método gráfico.
	
	D
	A solução ótima só pode ser obtida pela iteração gráfica do problema.
	
	E
	Em sua essência, o procedimento do método simplex se baseia em buscar a melhor solução do problema nos vértices de duas linhas ou planos e, para isto, realiza um trajeto de vértice em vértice por meio de interações que melhoram a solução até encontrar a solução ótima, se houver.
Questão 3/5 - Pesquisa Operacional
Antes de se iniciar o algoritmo do método simplex é necessário transformar as desigualdades lineares das restrições (inequações) em equações lineares. A fim de aplicar o algoritmo do método simplex, é necessário então a introdução das chamadas “variáveis de folga”, elas reestruturam a forma padrão e permitem encontrar a solução do sistema de equações lineares que Maximiza Z (Lucro), uma vez que não há mais inequações (desigualdades).
As variáveis de folga são caracterizadas da seguinte maneira:
 
I - Variáveis não-básicas: são as variáveis às quais for atribuído na resolução, valor igual a zero.
II - Variáveis básicas: são as variáveis cujos valores são diferentes de zero (valores positivos).
III - Base: é o conjunto das variáveis básicas e das variáveis não-básicas.
 
Assinale a alternativa correta:
 
	
	A
	I, II e III são verdadeiras.
	
	B
	II e III são verdadeiras.
	
	C
	I e III são verdadeiras.
	
	D
	I e II são verdadeiras.
	
	E
	II é verdadeira.
Questão 4/5 - Pesquisa Operacional
O método simplex é um algoritmo que emprega tabelas numéricas, o que facilita a visualização e a execução de seus procedimentos. Após a montagem da tabela inicial – tableau – os procedimentos são iterativos (repetitivos) até que seja obtida uma solução ótima. A solução é considerada ótima porque não é possível obter uma solução melhor. O algoritmo do método simplex se tornará mais “amistoso” na medida em que for usado.
Enumere os passos abaixo que constituem o roteiro do algoritmo de resolução do método simplex:
(  ) Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis de folga.
(    ) Escolher a variável que deve deixar a base realizando os procedimentos.
(    ) Retornar para iniciar outra iteração.
(    ) Introduzir as variáveis de folga, uma para cada desigualdade (restrição).
(   ) Empregando operações válidas com as linhas da matriz (quadro), transformar o quadro de cálculos de modo a encontrar a nova solução básica.
(  ) Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não-básica que fornece, na última linha, a maior contribuição para o aumento da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo).
(  ) Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as variáveis com seus respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função objetivo transformada.
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	1 - 3 - 7 - 5 - 6 - 2 - 4.
	
	B
	3 - 5 - 7 - 1 - 6 - 4 - 2.
	
	C
	2 - 5 - 7 - 3 - 1 - 4 - 6.
	
	D
	1 - 2 - 7 - 3 - 4 - 5 - 6.
	
	E
	3 - 4 - 7 - 1 - 2 - 6 - 5.
Questão 5/5 - Pesquisa Operacional
O método simplex é um procedimento desenvolvido por George B. Dantzig em 1947 com o objetivo de solucionar problemas de programação linear. Por ser um método eficiente, é usado, com frequência, para solucionar problemas de grande porte nos computadores atuais.
 
Com a utilização do Método Simplex para a resolução de problemas é possível obter:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Mais informações a partir da solução gráfica dos dados obtidos.
	
	B
	A melhor e única solução do problema.
	
	C
	Uma solução pelo processo tabular.
	
	D
	A determinação do ponto ótimo através das interseções.
	
	E
	A visualização de dados que poderão responder questões como: quais insumos/recursos estão plenamente usados? Quais insumos/recursos possuem disponibilidade para uso? Entre outros questionamentos.
Questão 1/3 - Pesquisa Operacional
O problema da designação é um tipo especial de problema de programação linear em que os designados estão sendo indicados para realizar tarefas, por exemplo, a definição de empregados (designados) que precisam receber designações de trabalho (tarefas) é uma aplicação comum do problema da designação. Os designados podem ser máquinas, veículos ou fábricas, ou até mesmo períodos a serem destinados a tarefas e, não necessariamente pessoas.
Para caracterizar um determinado problema como “problema de designação”, ele precisa ser formulado de maneira a satisfazer as seguintes hipóteses:
 
Marque V para Verdadeiro e F para Falso:
(   ) O número de designados e o número de tarefas é o mesmo. (Esse número é representado por n).
(    ) Deve-se atribuir a cada designado exatamente um custo fixo.
(    ) Cada tarefa deve ser realizada exatamente por um designado.
(  ) Há um custo associado ao designado i () executando a tarefa j ().
(  ) O objetivo é determinar como todas as n designações devem ser feitas para maximizar o custo total.
 
Assinale a alternativa correta:
 
	
	A
	V - F - V - F - V.
	
	B
	F - V - V - V - F.
	
	C
	V - F - V - V - F.
	
	D
	F - V - F - V - V.
	
	E
	V - F - V - F - F.
Questão 2/3 - Pesquisa Operacional
Problema de Transporte é um tipo de problema real que acontece no cotidiano e que pode ser aplicado em Programação Linear. O “chamado problema de transporte, recebeu esta denominação em virtude de suas aplicações envolverem como transportar mercadorias de maneira otimizada”.
Portanto o problema de transporte de um modo geral se refere a:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Determinar o caminho de menor custo entre dois pontos de fontes e destinos dados.
	
	B
	Distribuir de forma igualitária a capacidade máxima de itens transportados por uma rede de distribuição de mercadorias.
	
	C
	Determinar os custos das rotas de origem e destino e consequentemente o valor máximo do total transportado.
	
	D
	Distribuir qualquer commodity de qualquer grupo de centros de fornecimento, chamado origem, a qualquer grupo de centros de recepção, denominado destinos, de modo a minimizar o custo total de distribuição.
	
	E
	Determinar a rota de menor custo para que partindo de uma origem, um entregador passe por um determinado número de destinos e retorne a origem objetivando o menor custo possível.
Questão 3/3 - Pesquisa Operacional
O administrador sabe que no processo geral de produção e comercialização do produto, a estrutura de transporte deve ser cuidadosamente planejada a fim de cumprir o seu objetivo com o menor acréscimo possível no custo final do produto, por isto, o estudo do problema de transporte lhe capacitará na tomada de decisão.
A função objetivo que representa a formulação em programação linear do problema de transporte é:
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
A Teoria dasFilas é um método analítico que trabalha por meio de fórmulas matemáticase “trata de congestionamento de sistemas, cuja característica principal é a presença de “clientes” solicitando “serviços” de alguma maneira”. Quando se refere a um sistema de filas, basicamente se refere à existência de elementos que estão aguardando um posto de serviço ficar disponível, para serem atendidos.
 
Portanto os elementos principais que caracterizam um fila são:
I - Clientes e tamanho da população.
II - Taxa de ociosidade.
III - Probabilidade de ocupação total.
IV - Número de servidores.
V - Disciplina da fila.
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	I, II, III e IV são verdadeiras.
	
	B
	II, III, IV e V são verdadeiras.
	
	C
	II, III e V são verdadeiras.
	
	D
	I, IV e V são verdadeiras.
	
	E
	I, II, III, IV e V são verdadeiras.
Questão 2/5 - Pesquisa Operacional
Em Teoria das Filas são estudados diversos modelos de sistemas. Cada modelo possui equações matemáticas que o definem, ou seja, que caracterizam o seu comportamento. Os diferentes modelos disponibilizados pela Teoria das Filas nos permitem empregá-los para estudar situações semelhantes que ocorrem em nosso cotidiano. A Notação de Kendall - A/B/c/K/m/Z, é um desses modelos, pois é uma notação básica para descrever um modelo de fila.
Portanto, relacione corretamente as colunas de acordo com seus conceitos da notação:
 
1 - A
2 - B
3 - c
4 - K
5 - m
6 - Z
 
(   ) É a capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes.
(   ) Indica o tipo de distribuição de probabilidade do tempo de serviço (atendimento).
(   ) É a disciplina da fila.
(   ) É o tamanho da população de onde se originam os clientes.
(   ) Indica o tipo de distribuição de probabilidade dos intervalos entre chegadas.
(   ) É a capacidade máxima do sistema (número máximo de clientes no sistema).
 
 
Assinale a alternativa correta:
 
	
	A
	2 - 3 - 6 - 1 - 4 - 5.
	
	B
	3 - 2 - 6 - 5 - 1 - 4.
	
	C
	4 - 1 - 3 - 2 - 5 - 6.
	
	D
	1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6.
	
	E
	6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1.
Questão 3/5 - Pesquisa Operacional
Em Teoria das Filas são estudados diversos modelos de sistemas. Cada modelo possui equações matemáticas que o definem, ou seja, que caracterizam o seu comportamento. Os diferentes modelos disponibilizados pela Teoria das Filas nos permitem empregá-los para estudar situações semelhantes que ocorrem em nosso cotidiano. O Modelo M/M/1 é um desses modelos, pois é uma notação básica para descrever um modelo de fila. Este modelo possui uma fila, um atendente e as seguintes características:
I - Chegadas de clientes: segue uma distribuição de Poisson com média  chegadas/tempo.
II - Atendimento de clientes: obedece a uma distribuição exponencial negativa com média  (ou seja, o número de atendimentos é uma distribuição de Poisson com média ).
III - Disciplina da fila: atendimento por ordem de chegada.
IV - Taxa de utilização: infinita.
 
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	I, II e III são verdadeiras.
	
	B
	I, III e IV são verdadeiras.
	
	C
	II e III são verdadeiras.
	
	D
	II e IV são verdadeiras.
	
	E
	I, II, III e IV são verdadeiras.
Questão 4/5 - Pesquisa Operacional
No estudo de um sistema de filas, podemos determinar várias medidas de desempenho do sistema. A escolha do parâmetro depende do objetivo do estudo. De acordo com o conceito descrito abaixo, determine qual é o tipo de “medida de efetividade do sistema” que se refere:
“É a média dos tempos gastos pelo cliente desde o instante de sua entrada até o momento de sua saída do sistema. Esta medida é significativa quando se contextualiza uma operação dentro de um período de jornada de trabalho de 8 horas/dia. Um tempo médio acima de 8 horas/dia pode implicar em custos adicionais ou a necessidade de se criar novos turnos de trabalho, o que também gera custos adicionais.”
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	Tamanho médio da fila.
	
	B
	Tamanho máximo da fila.
	
	C
	Tempo médio de espera na fila.
	
	D
	Ocupação do posto de atendimento.
	
	E
	Tempo médio no sistema.
Questão 5/5 - Pesquisa Operacional
A Teoria das Filas estuda a situação de “espera” nas mais variadas formas. Ela emprega “modelos de filas para representar os diversos tipos de sistemas de filas (sistemas que envolvem filas do mesmo tipo) que surgem na prática. As fórmulas para cada modelo indicam como o sistema de filas correspondente deve funcionar”. Tais modelos são muito úteis para determinar como operar de forma mais eficiente um sistema de filas.
Algumas aplicações da Teoria das Filas em administração são listadas abaixo:
 
I - Estabelecimento de uma política de atendimento ao público, em empresas concessionárias de serviços públicos, determinando o número de atendentes e a especialização de cada um.
II - Estudo de um sistema de almoxarifado, de modo a determinar os custos totais de operação.
III - Determinação de equipes de manutenção em grandes instalações, onde há custos elevados associados a equipamentos danificados, à espera de reparos.
IV - Estudo de operação de caixas (bancos, supermercados, etc.) com o objetivo de estabelecer uma política ótima de atendimento ao público.
 
 
Assinale a alternativa correta:
	
	A
	I, II e III são verdadeiras.
	
	B
	I, III e IV são verdadeiras.
	
	C
	II e IV são verdadeiras.
	
	D
	II, III e IV são verdadeiras.
	
	E
	I, II, III e IV são verdadeiras.
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional
Prof. Erico Lisboa 1 http://www.ericolisboa.eng.br
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 1
1.1 O Desenvolvimento da Pesquisa Operacional
Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade formal de pesquisa operacional.
Os resultados positivos conseguidos pela equipe de pesquisa operacional inglesa motivaram os Estados
Unidos a iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação deve-se principalmente à equipe de cientistas liderada por George B.
Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex.
Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de pesquisa operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. A natureza dos problemas encontrados é bastante abrangente e complexa, exigindo portanto uma abordagem que permita reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Uma característica importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de análise e de decisão é a utilização de modelos. Eles permitem a experimentação da solução proposta. Isto significa que uma decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada. A economia obtida e a experiência adquirida pela experimentação justificam a utilização da Pesquisa Operacional.
Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memória dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvido pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, além de serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do processo de cálculo.
1.2 Modelagem
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema, de modo a aumentarsua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a estrutura ideal do sistema.
A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente representa o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo depende diretamente da precisão do modelo em descrever o comportamento original do sistema.
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a ser bastante complicada.
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional
Prof. Erico Lisboa 2 http://www.ericolisboa.eng.br
1.3 Estrutura de Modelos Matemáticos Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos principais de elementos:
(1) variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do modelo. Parâmetros são valores fixos no problema;
(2) restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis);
(3) função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão.
Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo:
"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:
ü a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; ü o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; ü o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; ü estão disponíveis por mês 10 0 kg de carne e 30 0 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro."
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração. As restrições são os limites de carne e cereais e a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em função das variáveis de decisão e que deve ser maximizada.
1.4 Técnicas Matemáticas em Pesquisa Operacional
A formulação do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A função objetivo e as funções de restrições podem ser lineares ou não-lineares. As variáveis de decisão podem ser contínuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parâmetros podem ser determinísticos ou probabilísticos.
O resultado dessa diversidade de representações de sistemas é o desenvolvimento de diversas técnicas de otimização, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estas técnicas incluem, principalmente: programação linear, programação inteira, programação dinâmica, programação estocástica e programação não-linear. Programação linear é utilizada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo são lineares; programação inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras (ou discretas); programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores; programação estocástica é aplicada a uma classe especial de modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade; finalmente, programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares.
Uma característica presente em quase todas as técnicas de programação matemática é que a solução ótima do problema não pode ser obtida em um único passo, devendo ser obtida iterativamente. É escolhida uma solução inicial (que geralmente não é a solução ótima). Um algoritmo é especificado para determinar, a partir desta, uma nova solução, que geralmente é superior à anterior. Este passo é repetido até que a solução ótima seja alcançada (supondo que ela existe).
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional
Prof. Erico Lisboa 3 http://www.ericolisboa.eng.br
1.5 Fases do Estudo de Pesquisa Operacional Um estudo de pesquisa operacional geralmente envolve as seguintes fases:
(1) definição do problema; (2) construção do modelo;
(3) solução do modelo; (4) validação do modelo; (5) implementação da solução.
Apesar da seqüência acima não ser rígida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. A seguir, é apresentado um resumo da cada uma das fases.
1.5.1 Definição do problema A definição do problema baseia-se em três aspectos principais:
ü descrição exata dos objetivos do estudo; ü identificação das alternativas de decisão existentes; ü reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema.
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do estudo, pois a partir dela é que o modelo é concebido. Da mesma forma, é essencial que as alternativas de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas, para que as soluções obtidas ao final do processo sejam válidas e aceitáveis.
1.5.2 Construção do modelo
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através de métodos matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são muito complexas, talvez se faça necessária a utilização de combinações de metodologias.
1.5.3 Solução do modelo
O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto. Ao contrário das outras fases, que não possuem regras fixas, a solução do modelo é baseada geralmente em técnicas matemáticas existentes.
No caso de um modelo matemático, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das principais técnicas existentes. A solução obtido, neste caso, é dita "ótima".
1.5.4 Validação do modelo
Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se, levando-se em conta sua inexatidão em representar o sistema, ele for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema.
Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema apresentou.
1 - Introdução à pesquisa operacional Pesquisa Operacional
Prof. Erico Lisboa 4 http://www.ericolisboa.eng.br
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema.
1.5.5 Implementação da solução
Avaliadas as vantagens e a validação da solução obtida, esta deve ser convertida em regras operacionais. A implementação, por ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do estudo. É conveniente que seja controlada pela equipe responsável, pois, eventualmente, os valores da nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a necessidade de correções nas relações funcionais do modelo conjunto dos possíveis cursos de ação, exigindo a reformulação do modelo em algumas de suas partes.
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