Cap III - O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição - Ex de revisão do capítulo

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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição
Louis Leithold 
Capítulo III
A derivada e a derivação
Exercícios 3.10
Revisão do capítulo III
Resolvido por Nelson Poerschke
Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada dafunção dada:
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
5. 
 
6. 
 
 
7. 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
9. 
 
 
10. 
 
11. 
 
 
12. 
 
 
 
13. 
 
 
14. 
 
 
 
15. 
 
 
 
 
16. 
 
 
 
 
 
Nos exercícios 17 a 24, calcule a derivada indicada.
17. 
[ 
 
 
 
 
18. 
 
19. 
 
 
20. 
 
 
 
 
 
21. 
 
 
23. 
 
= 
= 
Nos exercícios 25 a 34, ache 
25. 
 
 
26. 
 
 
 
27. 
 
 
 
28. 
 
 
 
29. 
 
 
 
 
 
33. 
 
 
36. Ache uma equação da reta normal à curva no ponto .
 
Substituindo por 3 e por 1, temos:
 
 
 
 
Uma equação da reta normal, que passa pelo ponto (3, 1) é:
 
38. Ache as equações das retas tangentes e normal à curva , no ponto . 
 
 
 
 
 
A equação da reta tangente é:
 
A equação da reta normal é:
 
41. Encontre se .
 
 
 
42. Dada , onde é uma constante e , uma função de , expresse em termos de e .
 
 
 
43. Dada . Para que valores de .
 
 
 
 
Portanto, quando .
45. Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal segundo a equação
, 
onde cm é a distância orientada da partícula até a origem no instante t s.
a) A partícula está no ponto inicial quando . Para que outros valores de a partícula estará de novo no ponto inicial?
Vejamos que, se , será igual a 100.
 
Logo, sempre que , t será igual a zero.
Então:
 
 
Então, a partícula estará no ponto inicial quando .
b) Determine a velocidade da partícula em cada instante em que ela estiver no ponto inicial e interprete o sinal da velocidade em cada caso.
 
 
 (a partícula move-se para a direita)
 (a partícula move-se para a esquerda)
 (a partícula move-se para a direita)
46. Uma partícula se movimenta sobre uma reta horizontal, de acordo com a equação
 
onde cm é a distância orientada da partícula a partir de um ponto em s. O sentido positivo do movimento é para a direita. Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula inverte o sentido de seu movimento na reta. Mostre o comportamento do movimento como uma figura e escolha os valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t nos quais a partícula inverte o sentido do movimento.
 
 
	
	
	
	
	Conclusão
	
	
	
	
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	
	0
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	
	
	
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	0
	
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	
	
	
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
48. Um objeto está escorregando por um plano inclinado de acordo com a equação , onde m é a distância orientada do objeto até o topo do plano, após s do início do movimento. 
a) Ache a velocidade aos 3 s.
 
 
 
b) Ache a velocidade inicial.
 
 
49. Uma bola é atirada para cima do topo de um prédio com 112 m de altura. Sua equação do movimento é , onde m é a distância orientada da bola ao ponto de partida, após s. 
a) Ache a velocidade instantânea da bola após 2s.
 
 
 
b) Qual a altura máxima atingida pela bola?
A bola atingirá a altura máxima quando 
 
 
c) Quanto tempo levará para atingir o solo?
Como a origem está 112 m acima do solo, 
 
 
Neste caso, utilizamos o valor positivo para o tempo.
d) Ache a velocidade instantânea da bola ao atingir o solo.
 
O valor negativo para a velocidade indica que o sentido da mesma é para baixo.
51. Se unidades quadradas for a área de um triângulo retângulo isóceles cujos catetos têm unidades de comprimento, ache:
a) a taxa média de variação de em relação a quando varia de 8,00 para 8,01.
A área do triângulo é onde é a base e a altura.
Como este triângulo possui os catetos iguais, podemos dizer que a base é igual à altura.
Então, mas, , logo, .
Assim, 
 
b) A taxa instantânea de variação de em relação a quando .
 
 
69. Se for a quantia em dinheiro correspondente ao custo total de fabricação de cadeiras e , ache:
a) a função custo marginal
A função custo marginal é a derivada da equação do custo.
 
 
b) o custo marginal quando 20 cadeiras são fabricadas.
 
 
c) o custo real de fabricação da 21ª cadeira.
 
. 
70. O rendimento total recebido da venda de lâmpadas é e . Ache:
a) a função rendimento marginal.
 
 
b) o rendimento marginal quando .
 
 
c) o rendimento real da venda da 16ª lâmpada.
 
 
71. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de peixes pequenos no lago, naqueleperíodo de tempo. Suponha que quando há peixes pequenos no lago, a população de predadores é e . Se a temporada de pesca terminou semanas atrás, A que taxa a população do peixe predador estará crescendo 9 semanas após o término da temporada de pesca? Não expresse em termos de mas use a regra da cadeia.
Após semanas haverá peixes pequenos e predadores, onde e 
Se e
 e
 
Assim, após 9 semanas, a população de predadores estará crescendo a uma taxa de 648 pixes por semana.
72. A equação de demanda para uma barra de chocolate é onde barras são demandadas por semanas quando centavos é o preço por unidade. Se o preço atual de cada barra for 49 centavos e estiver aumentando à taxa de 0,2 centavos por semana, ache a taxa de variação na demanda.
 
A taxa de variação na demanda é 
 
 
 
Nós multiplicamos os dois lados por:
 
A demanda decresce em 242 unidades/semana quando o preço sobe 0,2 centavos por semana.
73. Uma partícula move-se ao longo de uma reta, e onde m é a distância da partícula até a origem no instante s. Prove que o movimento é harmônico simples.
 
 
 
Observe-se que a equação da aceleração é igual à equação da posição multiplicada por – 16.
Então, 
Como a magnitude da aceleração é sempre proporcional à medida do deslocamento e a aceleração e o deslocamento têm sentidos opostos, o movimento é harmônico simples.
80. Quando o último vagão de um trem passa por baixo de um viaduto, um automóvel cruza o viaduto numa rodovia perpendicular aos trilhos e 30 m acima deles. O trem está a 80 m/s, enquanto que o automóvel está a 40 m/s. Com que velocidade se afastam um do outro após 2 s?
27. Um automóvel aproxima-se de um cruzamento a uma velocidade de 30 m/s. Quando o automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão a uma velocidade de 40 m/s atravessa o cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em ruas que se cruzam em ângulo reto. Com que velocidade o automóvel e o caminhão estarão se afastando um do outro, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento?
Em s depois que o caminhão passa pelo cruzamento:
 m (distância percorrida pelo caminhão)
 m (distância percorrida pelo automóvel)
 m (distância entre eles)
 
 
 
 
 
 
Como e 
Então em , e , temos:
 
Assim, 2 s após o caminhão ter passado pelo cruzamento, o automóvel e o caminhão estão se separando à taxa de 14 m/s.