Cap IV - O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição - Ex 4.1

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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição
Louis Leithold 
Capítulo IV
Valores extremos das funções, 
técnicas de construção de gráficos e diferencial
Exercícios 4.1
Valor funcional máximo e mínimo
Resolvido por Nelson Poerschke
01.	
 
 quando:
 
 
Assim, e são números críticos de f. 
02.	
 
 quando:
 
 
Assim, e 2 são números críticos.
03.	
 
 quando:
 
 
Assim, e são números críticos.
4. 
 
Como não existe e 0 está no domínio de , 0 é um número crítico de .
E,
 
 
Como , e estão no domínio de , também são números críticos.
5. 
 
 não existe e 0 está no domínio de g. E quando 
Assim, 0 e 2 são números críticos de .
6. 
 
 
 
 
 quando 
Então, são números críticos de .
7. 
 
 não existem e e estão no domínio de .
 
Assim, são números críticos de .
8. 
 
 
 
Quando não existe, portanto são números críticos de .
Como , 0 também é número crítico de .
9. 
 
 não existe, mas -7 não está no domínio de .
 nunca será 0.
Logo, não possui números críticos.
11. 
 
Quando ou , não existe, mas -3 e 3 não estão no domínio de . 
Além disso, nunca será 0.
Então é possível concluir que não possui números críticos.
12. 
 
 
 quando .
Extraindo as raízes da equação quadrática encontramos .
Portanto, são números críticos de .
Observe-se, ainda, que não existe quando . No entanto, as únicas soluções desta equação são os números 1 e 4, que não estão no domínio de . Por conseguinte, nem o 1 nem o 4 são um número crítico de . 
13. 
 
 quando e isto acontece sempre que seja multiplicado por um número inteiro.
Logo, quando , onde é um número inteiro.
Então, os números críticos de são todos os números .
14. 
 
 quando e isto acontece sempre que seja multiplicado por um número inteiro.
Logo, quando , onde é um número inteiro.
Então, os números críticos de são todos os números .
15. 
 
 quando e isto acontece quando .
Assim, os números críticos de são todos os números , onde k é um inteiro qualquer.
16. 
 
 
Se , nós teremos:
 
Dividindo ambos os lados por obtemos:
 
Então:
 
Logo, , onde é um inteiro qualquer, é número crítico de .
17. 
 
 não existe quando onde k é um inteiro qualquer, mas esses valores não estão no domínio de ; e
 quando .
Assim, os números críticos de são todos os valores , onde é um inteiro qualquer.
18. 
 
 não existe quando onde k é um inteiro qualquer, mas esses valores não estão no domínio de ; e
 quando .
Assim, os números críticos de são todos os valores , onde é um inteiro qualquer.
19. 
 
 
 
 quando , e 
Assim, os números críticos de G são .
Nos exercícios 21 a 40, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
21. 
 
 nunca é 0, logo não tem extremos relativos.
 é um mínimo absoluto em I.
Não há máximo absoluto em I, pois:
Mas 
22. 
 
, e 0 está no intervalo, logo 1 é número crítico de em I.
, assim não tem máximo absoluto em I.
 que é o mínimo absoluto.
Nos exercícios 41 a 58, ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado usando o método dos exemplos 23 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.
41. 
 
Como é contínua em I, tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em I.
 existe em todo lugar e nunca é 0.
Logo, não tem números críticos.
 
 
O valor mínimo absoluto é e o valor máximo absoluto é .