Notas de Aula - Fetrans

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
CAMPUS SÃO JOSÉ DOS CAMPOS
Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Marina Oliveira de Souza Dias
São José dos Campos
2017
Contents
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Conceitos e Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Propriedades em um ponto de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Tensão num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Tensão superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Pressão em um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sistema e Volume de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Estática dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Equação geral da Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Fluidos compressíveis e incompressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Unidades, escalas e carga de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Medições de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Descrição de um fluido em movimento - Escoamentos . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Leis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Generalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Campo de escoamento em um fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.1 Escoamento permanente e transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Linhas de corrente e de curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Definições importantes para o escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ii
3.4.1 Classificação dos escoamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Conceito de sistema e volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Conservação da massa - relação integral e algumas formas especificas . . . . . . 18
5 Conservação da quantidade de movimento linear - relação integral e aplicações . 19
6 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Tensão nos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1 Escoamento laminar - Viscosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.1.1 Fluidos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.1.2 Fluidos não newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Equações diferenciais do escoamento dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.2 Equação da continuidade na forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.2.1 Casos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Fluido incompressível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Escoamento permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.2.2 Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . 30
8.3 Equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.3.1 Relações da viscosidade de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tensão de cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Tensão normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.4 Equações de Navier-Stokes - continuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.4.1 Equações de Navier-Stokes para coordenadas cilíndricas . . . . . . . 39
8.5 Escoamento laminar x turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.5.1 Camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.5.2 Região de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.5.3 Propriedades médias no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.5.4 Tensão de cisalhamento turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9 Transferência de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
iii
9.1 Origens físicas e equações das taxas de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.1.1 Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.1.2 Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1.3 Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.2 Conservação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.2.1 Casos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10 Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.1 Equação geral da condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2 Propriedades térmicas da matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2.1 Condutividade térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.2.2 Outras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.3 Equação da difusão do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.4 Condições iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10.5 Condução unidimensional em regime estacionário . . . . . . . . . . . . . . 60
10.5.1 Paredes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Distribuição da temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Resistência térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Paredes compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.5.2 Sistemas radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.6 Condução com geração de energia térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.6.1 Parede plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.6.2 Sistemas radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.7 Transferência de calor em superfícies estendidas . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.7.1 Aletas de área de seção transversal uniforme . . . . . . . . . . . . . 69
10.7.2 Desempenho da aleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.7.3 Eficiência global da superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.8 Condução Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
iv
Validade do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11 Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11.1 Camada limite térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.1.1 Significado físico dos números adimensionais . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 Escoamento externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2.1 Placa plana no escoamento paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Escoamento laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Escoamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.2.2 Resolução de problemas de convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3 Escoamento interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.2 Considerações térmicas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 84
11.3.3 Balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.3.4 Fluxo de calor constante na superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.3.5 Temperatura de superfície constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.4 Convecção livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12 Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.2 Radiação do corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Superfície de absorção, reflexão e transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.4 Troca de radiação entre superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4.1 Fator de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
v
Capítulo 1
Introdução
Fenômenos de Transporte: Estuda o transporte - movimentação de uma gran-
deza física de um ponto a outro do espaço - de quantidade de movimento (ou momentum),
transporte de calor e transporte de massa.
1.1 Conceitos e Definições
A transferência de momento em um fluido está relacionada ao estudo do movi-
mento dos fluidos e das forças que produzem estes movimentos. As forças agindo em um
fluido, como aquelas resultantes da pressão e da tensão de cisalhamento, são resultados da
transferência microscópica (molecular) de momento. Este é o assunto da primeira parte
desta disciplina, historicamente chamada de mecânica dos fluidos, mas também definida
como transferência de momento.
Do ponto de vista da mecânica dos fluidos, toda matéria encontra-se somente em
dois estados: fluido e sólido. A diferença entre os dois materiais está relacionada à forma
com que reagem à aplicação de uma força, ou tensão.
Existem dois tipos de forças que atuam em um fluido.
Forças de campo: atuam sem contato físico, como a força gravitacional e a ele-
trostática.
Forças de superfície: precisam de contato físico para transmissão, como a pressão
e o atrito.
As forças de superfície podem ser decompostas em duas componentes:
1) Componente tangencial (cisalhamento)
1
2) Componente normal (compressão)
Fluidos são substâncias que se deformam sob ação de força tangencial (tensão de
cisalhamento). Não oferecem resistência à deformação.
Fluidos tendem a escoar quando agimos sobre eles. Por exemplo, ao entornar uma
garrafa com água; sólidos tendem a se deformar ou dobrar, por exemplo como ao dobrar
uma folha de papel.
A distinção entre um fluido (líquido ou vapor/gás) e um sólido se deve ao seus
comportamentos quando submetidos a uma tensão de cisalhamento: um sólido deforma-
se quando uma tensão de cisalhamento é aplicada, mas sua deformação não aumenta
continuamente com o tempo, como indicado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Comportamento de um sólido e de um fluido sob ação de uma força de cisa-
lhamento constante.
Como o movimento do fluido continua sob a aplicação de uma tensão cisalhante,
podemos também definir um fluido como uma substância incapaz de suportar tensão de
cisalhamento.
Os fluidos são divididos em líquidos e gases; líquidos são praticamente incompres-
síveis, ocupam volumes definidos e tem superfícies livres. Gases são compressíveis; a massa
de gás expande-se até ocupar todas as partes do recipiente em que está contida.
Assim, se a densidade do fluido varia pouco com variações moderadas de tempe-
ratura e pressão, o fluido é definido como incompressível.
Se a densidade varia consideravelmente com relação à pressão e a temperatura, o
fluido é compressível.
2
1.1.1 Propriedades em um ponto de fluido
Massa específica
Hipótese do contínuo: considere um fluido, composto por moléculas mantidas
pela atração molecular, com certo movimento (dependente das características da subs-
tância). A massa especifica desse fluido é determinada pela relação entre sua massa e
volume. Diminuindo-se o volume do gás pela metade, mantém-se a massa específica, já
que a massa também diminui pela metade. No entanto, no limite do menor volume, as
distâncias são da ordem do caminho médio percorrido pelas moléculas e assim, a massa
especifica não se mantém no limite. Dessa forma, não seria possível aplicar o conceito de
derivada na formulação das equações de fenômenos de transporte. Para contornar essa
situação, a hipótese do Contínuo admite que a matéria é contínua nas condições normais
da engenharia.
O conceito de contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica, e é válido no
tratamento do comportamento dos fluidos sob condições normais. Ela falha quando a
trajetória média livre das moléculas torna-se da mesma ordem de grandeza da menor
dimensão característica significativa do problema. Isso ocorre em alguns casos especificos,
como no escoamento de um gás rarefeito - o que acontece em vôos nas camadas superiores
da atmosfera.
A massa específica é definida pela equação 1.1:
ρ = lim
∆V→δV
∆m
∆V
(1.1)
Em que δV é o menor volume para o qual o fluido pode ser considerado como
contínuo.
Unidades: [Massa específica] =
M
L3
[Densidade] = adimensional; d =
ρ
ρH2O,4oC
O peso específico (equação 1.2) é definido como o peso de uma substância
contida numa unidade de volume:
γ =
P
V
=
m.g
V
= ρ.g (1.2)
3
Tensão num ponto
Considere a força ∆
−→
F atuando em um elemento ∆A como mostrado na figura
1.2.
Figura 1.2: Esquema da decomposição de forças em forças normais e tangenciais
.
A força ∆
−→
F pode ser decomposta em componentes normal e tangencial (ou pa-
ralela) à superfície ∆A. A Tensão (ou pressão) em um ponto de fluido é definida como a
relação entre a força normal aplicada e a área onde ela atua:
T = lim
∆A→δA
∆
−→
F
∆A
(1.3)
Trabalhando com componentes:
Fn → normal à ∆A
Ft → tangencial à ∆A
Tensão normal: τii = lim∆A→0
∆Fn
∆A
Tensão tangencial ou de cisalhamento: τij = lim∆A→0
∆Ft
∆A
Notação τij: i = dimensão normal ao plano associado à tensão; j = direção de atu-
ação da tensão; Assim: τyx é a força agindo na direção x numa área unitária perpendicular
à direção y.
A tensão em um ponto é especificada pelas nove componentes:
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz

Onde σ indica uma tensão normal e τ uma tensão cisalhante.
4
Sinal: a tensão é considerada positiva se ambos (a normal externa à superfície
e a tensão) seguirem a orientação positiva ou negativa dos eixos coordenados. Assim,
τyx = 5lbf/in
2
representa uma tensão de cisalhamento num plano y positivo no sentido
de x positivo.
Tensão superficial
A tensão superficial σ é definida como o trabalho associado à criaçao de uma
superficie de líquido. Considere uma quantidade pequena de líquido (uma gota). Nesta
gota, as moléculas do líquido estão completamente rodeadas por outras moléculas, mas
perto da superfície existe um desequilíbrio porque a quantidade de moléculas não é uni-
forme, gerando uma descontinuidade. Assim, as partículas na superfície sofrem uma força
de atraçao na direçao do fluido relativamente forte. Assim, para que uma partícula se
mova para a superfície é necessário que ocorra trabalho, e o trabalho associado é a tensão
superficial.
Uma superfície é a interface entre duas fases. Assim, as duas fases terão uma
tensão superficial. Por exemplo, entre água e ar. A tensão superficial é função da pressão
e temperatura (mais importante).
Pressão em um fluido
A pressão em um ponto de um fluido estático em um recipiente é igual à relação
entre o peso do líquido localizado acima deste ponto e a área ocupada. Em um fluido
estático não existem tensões de cisalhamento.
Desenho de um elemento de fluido
PA =
peso
area
=
m.g
V/ha
= ρ.g.ha (1.4)
A pressão absoluta (ou total) no ponto A é igual à somaentre a pressão no ponto
A e a pressão atmosférica.
A pressão em qualquer ponto de um líquido incompressível, em repouso, na mesma
horizontal, é igual.
5
1.1.2 Sistema e Volume de Controle
Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável, e é
separado do ambiente pelas suas fronteiras, que podem ser fixas ou móveis. Contudo, a
massa não pode cruzar as fronteiras de um sistema, ao contrário do calor e trabalho.
Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido
escoa. A fronteira geométrica do volume de controle é denominada superfície de controle,
e pode ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou movimento.
1.1.3 Unidades
Além do sistema internacional (SI), existem dois sistemas ingleses frequentemente
utilizados em engenharia. A base desses sistemas é a segunda lei de Newton: força é igual
à taxa de variação de momento no tempo. Assim, uma relaçao entre as grandezas força,
massa, comprimento e tempo (M,L,t) foi estabelecida nesses sistemas.
No sistema internacional, a unidade de força é o Newton (N), definida em termos
da segunda lei de Newton:
Força:
−→
F =
m−→a
gc
Em que gc é um fator de conversão que é incluído para manter a consistência das
unidades da equação.
No sistema SI, massa (kg), comprimento (m) e tempo (s) são as unidades básicas.
A unidade correspondente da força é o Newton, definido como a força necessária para
acelerar a massa de um kg a uma taxa de 1 m por segundo por segundo (1 m/s²). O fator
de conversão gc é igual a 1 kg.m/Ns².
1N = 1
kg.m
s2
A pressão é dada em Pascal (Pa): Pressão =
−→
F
A
; 1Pa = 1
N
m2
= 1
kg
ms2
Na engenharia, força, comprimento e tempo foram escolhidos como unidades fun-
damentais. No sistema inglês, a força é dada em libra-força (lbf), o comprimento em pés
(ft) e o tempo em segundos. A unidade de massa correspondente é aquela que é acelerada
a uma taxa de 1 ft/s² por uma força de 1 lbf. Assim, a massa nesse sistema tem dimensões
de lbf.s²/ft e é chamada de slug. O fator de conversão gc é igual a 1 slug.ft/lbf.s².
Um terceiro sistema utilizado na prática da engenharia envolve as quatro unidades
fundamentais. A força é dada em libra-força (lbf), a massa em libras (lbm), o comprimento
em pés (ft) e o tempo em segundos. A aceleração da gravidade para um corpo de 1 lbm
6
no nível do mar é igual a 32,174 ft/s², e a força exercida pela gravidade é de 1 lbf. Assim,
o fator de conversão gc nesse sistema é igual a 32,2 lbm.ft/lbf.s².
É importante verificar a homogeneidade dimensional de qualquer equação.
7
Capítulo 2
Estática dos fluidos
Um fluido é definido como uma substância que escoará ou deformará continua-
mente sempre que uma tensão de cisalhamento for aplicada sobre ela. Assim, a tensão de
cisalhamento de um fluido em repouso deve ser zero. Para um fluido estático, somente a
tensão normal, ou a pressão, existe.
O tópico a ser estudado neste capítulo também é chamado de hidrostática, apesar
de não estar restrito ao estudo da água. Os princípios aqui estudados fornecem subsídio
para o cálculo de forças atuantes em objetos submersos, o desenvolvimento de aparelhos
para medir pressões e deduzir propriedades da atmosfera e dos oceanos.
2.1 Equação geral da Estática
VER NOTAS DE AULA
2.1.1 Fluidos compressíveis e incompressíveis
Como dito anteriormente, fluidos incompressíveis apresentam massa específica
constante. Assim, para aceleração da gravidade constante:
dp
dy
= −ρg = constante (2.1)
Condições de contorno: pressão p0 para nível y0. Integrando os dois lados da
equação:
8
∫ p
p0
dp = −
∫ y
y0
ρgdy (2.2)
ou
p− p0 = −ρg(y − y0) = ρg(y0 − y) (2.3)
Para líquidos é conveniente medir profundidades (distâncias a partir da superficie)
como positivas. Assim:
y0 − y = h (2.4)
e
p− p0 = ρgh (2.5)
ou
p = p0 + ρgh (2.6)
Em fluidos compressíveis, como gases, a massa especifica varia consideravelmente
com a altitute. Nestes casos, a massa específica deve ser expressa como função das outras
variáveis dessa equação, usando por exemplo uma equação de estado. Considerando gás
ideal:
pV = nRT ⇒ p = m
MV
RT ⇒ p = ρRT
M
⇒ ρ = pM
RT
(2.7)
Para um processo isotérmico, T=cte.
Substituindo na equação:
dp
dy
= −ρg = −pM
RT
g ⇒ dp
p
= − M
RT
gdy (2.8)
Condições de contorno: pressão p0 para nível y0. Integrando os dois lados da
equação:
∫ p
p0
dp
p
= − M
RT
g
∫ y
y0
dy (2.9)
9
Assim:
ln
p
p0
= −Mg
RT
(y − y0) (2.10)
p
p0
= exp
[
Mg
RT
(y0 − y)
]
⇒ p = p0exp
[
Mg
RT
(y0 − y)
]
(2.11)
Para um caso com temperatura variável:
T (y) = T0 +K.y ⇒ dT
dy
= K ⇒ dy = dT
K
Substituindo na equação geral:
dp
dT/K
= −pM
RT
g ⇒ dp
p
= − gM
KR
dT
T
(2.12)
Condições de contorno: pressão p0 e temperatura T1 para nível y0. Integrando os
dois lados da equação:
∫ p
p0
dp
p
= − gM
KR
∫ T1
T
dT
T
(2.13)
ln
(
p
p0
)
= − gM
KR
ln
(
T1
T
)
(2.14)
p = p0
(
T1
T
) gM
KR
(2.15)
2.1.2 Unidades, escalas e carga de pressão
Atmosfera padrão:
Pressão atmosférica
Patm = 1atm =

101.325N/m2(Pa)
14, 7lbf/in2(psi) = 2116, 2lbf/ft2
760mmHg = 29, 12inHg = 10, 33mH2O
Medições de pressão
A pressão num ponto do sistema de fluido pode ser designada em termos absolutos
ou relativos. Pressão absoluta é medida em relação ao vácuo absoluto (que tem pressão
10
absoluta nula), enquanto que a pressão relativa (ou manométrica) é medida em relação à
pressão atmosférica. As pressões absolutas são sempre positivas, mas pressoes relativas
odem tanto ser positivas (quando a pressão é maior do que a pressão atmosférica local)
quanto negativas (pressão menor do que a atmosférica local - também referida como vacuo).
Manometria é o estudo de métodos e instrumentos para medição da pressão. Pres-
são manométrica é a diferença entre a pressão absoluta em um ponto e a pressão atmos-
férica local: P2 − Patm = P2g ⇒ gauge pressure.
Pressão atmosférica: patm = 14, 7psi(a) = 0psig (psi ou psia ⇒ pressão absoluta;
psig ⇒ pressão manométrica)
São três tipos principais de manômetros: colunas de líquido, mecânicos e eletro-
mecânicos. São aparelhos simples e baratos usados frequentemente na medição da pressão.
11
Capítulo 3
Descrição de um fluido em movimento -
Escoamentos
Escoamento de um fluido é definido como o processo de movimentação de suas
moléculas, umas em relação às outras e aos limites impostos ao escoamento.
O escoamento de fluidos geralmente é estudado em termos de volume de controle,
já que o que normalmente é de interesse na engenharia é o efeito do movimento global
do fluido sobre algum dispositivo (p.e., uma seção de asa ou curva de tubulação) e não o
movimento de uma dada massa de fluido. Nesse sentido é conveniente avaliar o escoamento
considerando-se as leis básicas (conservação da massa, primeira e segunda leis de Newton,
etc) aplicadas sobre um volume de controle, e não sobre um sistema como deve ter sido
estudado nas disciplinas anteriores.
3.1 Leis básicas
Resumindo-se as leis básicas para um sistema de controle:
Conservação de massa Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária de
matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria em todos os
instantes. A conservação da massa exige então que a massa M do sistema seja constante:
dM
dt
∣∣∣
sistema
= 0 (3.1)
em que:
12
Msistema =
∫
M(sistema)
dm =
∫
V (sistema)
ρdV (3.2)
Segunda lei de Newton Para um sistema movendo-se em relação a um referencial fixo,
a segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as forças externas agindo sobre
o sistemaé igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema:
−→
F =
d
−→
P
dt
∣∣∣
sistema
(3.3)
em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
−→
P sistema =
∫
M(sistema)
−→v dm =
∫
V (sistema)
−→v ρdV (3.4)
A primeira lei da Termodinâmica Conservação de energia para um sistema:
δQ− δW = dE ⇒ Q˙− W˙ = dE
dt
∣∣∣
sistema
(3.5)
em que a energia total do sistema é dada por:
Esistema =
∫
M(sistema)
edm =
∫
V (sistema)
eρdV (3.6)
e e = u+
v2
2
+ gz
em que Q˙ (taxa de transferência de calor) é positiva quando calor é adicionado ao
sistema pela vizinhança, W˙ (taxa de trabalho) é positivo quando o trabalho é realizado
pelo sistema sobre sua vizinhança; u é a energia interna específica, v a velocidade e z a
altura.
3.2 Generalização
Representando por N qualquer propriedade extensiva do sistema (que depende
do seu tamanho, por exemplo, massa, quantidade de movimento, energia e entropia) e
η a propriedade intensiva correspondente (propriedade extensiva por unidade de massa),
tem-se:
13
Nsistema =
∫
M(sistema)
ηdm =
∫
V (sistema)
ηρdV (3.7)
Um exemplo: A energia cinética, dada por
mv2
2
, é uma propriedade extensiva,
enquanto que a energia cinética por unidade de massa
v2
2
seria uma propriedade inten-
siva. A quantidade de uma propriedade extensiva em um sistema num dado instante (por
exemplo, a massa) é igual à somatória da quantidade de propriedade (ou coisa) associada
a cada partícula fluida que compõe o sistema.
3.3 Campo de escoamento em um fluido
A velocidade é um dos principais parâmetros no estudo dos escoamentos; a ve-
locidade mede a alteração da posição de um elemento do fluido em função do tempo. A
diferença entre a velocidade de um fluido e de um corpo sólido é que no sólido, todas
as moléculas apresentam a mesma velocidade ou têm uma relação bem definida entre si,
enquanto que nos fluidos cada partícula ou molécula pode ter uma velocidade diferente.
A velocidade é uma grandeza vetorial; desta forma, possui módulo (ou magni-
tude), direção e sentido, sendo representada por cada um dos três componentes de eixos
coordenados. Considerando-se o sistema cartesiano de coordenadas, a velocidade em um
ponto ou partícula de fluido pode ser determinada como uma função da posição e do
tempo:
−→v = −→v (x, y, z, t) (3.8)
que também pode ser escrito em termos dos seus três componentes escalares vx,
vy e vz:
−→v = vx .ˆi+ vy.jˆ + vz.kˆ (3.9)
Alguns livros usam outra notação: u para vx, v para vy e w para vz.
3.3.1 Escoamento permanente e transiente
Se as propriedades em cada ponto de um campo de escoamento não mudam com
o tempo, o escoamento é denominado de permanente. Nesse caso, qualquer propriedade η
do fluido é independente do tempo:
14
∂η
∂t
= 0 (3.10)
No escoamento permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto a ponto
no campo, mas todas as propriedades permanecerão constantes com o tempo em cada
ponto.
Do contrário (ou seja, quando ocorre variação ao longo do tempo), o escoamento
é denominado de transiente.
3.3.2 Linhas de corrente e de curso
Para fazer uma representação visual do escoamento são utilizadas linhas de tempo,
emissão, corrente e curso (ou trajetória).
A linha de curso (ou trajetória) designa o caminho traçado por uma partícula
fluida em movimento. Linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento
de modo que, num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto,
como mostrado na figura abaixo.
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece
constante com o tempo e, portanto, as linhas de corrente não variam de um instante a
outro. Num escoamento permanente, linhas de corrente e de curso são idênticas no campo
do escoamento.
3.4 Definições importantes para o escoamento
Um escoamento pode ser classificado como uni, bi ou tridimensional de acordo com
o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar seu campo de velocidade.
Em algumas condições é possivel analisar o escoamento de um fluido em um tubo retilíneo
como um escoamento unidimensional, por exemplo, distante da entrada do tubo e da seção
15
divergente). Neste caso, o escoamento pode ser definido por:
v = vmax
[
1−
( r
R
)2]
(3.11)
Assim, o campo de velocidade v é função de apenas uma coordenada (r). Numa
seção divergente do tubo, a velocidade varia ao longo do comprimento do tubo, sendo
então caracterizado um escoamento bidimensional.
Em um escoamento uniforme, a velocidade é constante em qualquer seção reta,
normal ao escoamento.
Escoamento estabelecido é aquele em que o perfil de velocidades não mais se
modifica entre as seções transversais (normais) localizadas ao longo do eixo longitudinal
do escoamento. O trecho localizado na entrada do tubo onde o perfil de velocidades se
modifica de uma seção para outra é denominada de comprimento de entrada.
Escoamentos incompressiveis são aqueles que ocorrem com variações desprezi-
veis na massa especifica. A grande maioria dos escoamentos de líquidos estudados na
engenharia pode ser considerada incompressível. Para escoamentos gasosos, em regime
permanente, a compressibilidade pode ser desprezada quando a velocidade do escoamento
é baixa em relação à velocidade do som no fluido.
3.4.1 Classificação dos escoamentos
O escoamento é classificado de acordo com o comportamento das moléculas de
fluido. O primeiro estudo foi feito por Reynolds em 1883 - um trabalho clássico da me-
cânica dos fluidos. Neste trabalho Reynolds apresentou os resultados do estudo do hoje
chamado Experimento de Reynolds, que consistiu na injeção de um corante líquido na
posiçao central de um escoamento de água interno a um tubo circular de vidro transpa-
rente. O comportamento do filete de corante ao longo do escoamento no tubo define três
características distintass:
ˆ O corante não se mistura com o fluido, permanecendo na forma de um filete no centro
do tubo. Não ocorre mistura transversal entre o escoamento e o filete (observação
macroscópica). Como não há mistura, o escoamento aparenta ocorrer como se lâmi-
nas de fluido deslizassem umas sobre as outras e por isso foi chamado de escoamento
laminar.
ˆ O filete apresenta alguma mistura com o fluido, sofrendo ondulações. Foi chamado
de escoamento em regime de transição.
16
ˆ O filete de corante apresenta uma mistura transversal intensa, com dissipação rápida
no seio do fluido. São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da massa fluida
que provocam o deslocamento das moléculas entre as diferentes camadas de fluido.
Ocorre mistura intensa e movimentaçao desordenada. Este escoamento foi chamado
de regime turbulento.
Reynolds determinou que para escoamentos em dutos cilíndricos há um valor da
relaçao entre o diâmetro (D), a velocidade média (v) e a viscosidade cinemática ν = µ
ρ
para
o qual o escoamento passa do regime de laminar ao turbulento. O parâmetro estabelecido
por essas grandezas é denominado Número de Reynolds (Re) e é definido por:
Re =
ρ.v.D
µ
(3.12)
De modo geral: Re<2000: escoamento laminar; Re>2300: escoamento turbulento.
3.5 Conceito de sistema e volume de controle
Existem duas abordagens utilizadas para o estudo dos escoamentos em um meio
contínuo: o método de Lagrange e o método de Euler.
O método de Lagrange é desenvolvido com base no conceito de sistema definido
como uma massa de matéria definida e individualizada em relação ao meio. Consiste então
em isolar um sistema e estudar o comportamento individual de cada molécula ou partícula
e, a partir dessas informações, inferir o comportamento do todo. O sistema pode interagir
com o meio por vários modos: transferência de calor ou exercendo uma força de pressão
sãoalguns exemplos. Pode apresentar variação de forma e tamanho, mas apresenta sempre
a mesma massa.
O método de Euler é baseado no conceito de volume de controle, que consiste na
escolha de um volume fixo no espaço atravessado pelo escoamento em estudo. A fronteira
do volume de controle com o meio é denominada superfície de controle. O método de
Euler consiste na determinação das grandezas caracteristicas do campo de escoamento em
função do tempo na SC e no VC.
Lista de Exercícios 2
17
Capítulo 4
Conservação da massa - relação integral
e algumas formas especificas
O balanço global de massa segue o princípio da consevação de massa. Em um
volume de controle fixo:
Entra - Sai = Acúmulo
VER NOTAS DE AULA
18
Capítulo 5
Conservação da quantidade de
movimento linear - relação integral e
aplicações
A 2
a
Lei de Newton pode ser definida da seguinte forma: a variação de momento
em um sistema é igual à força resultante agindo em um sistema e age na direção dessa
resultante.
−→
F =
d
−→
P
dt
∣∣∣
sistema
⇒ d(m
−→v )
dt
= m
d−→v
dt
= m−→a
em que a quantidade de movimento linear do sistema é dada por:
−→
P =
∫
M(sistema)
−→v dm =
∫
V (sistema)
−→v ρdV
A taxa de mudança de momento linear de um sistema é igual à somatória das
forças que agem nesse sistema e atua na direçao desta somatória de forças.
VER NOTAS DE AULA
Lista de exercícios
19
Capítulo 6
Conservação da energia
A equação da conservaçao de energia é a aplicaçao da1
a
Lei da Termodinâmica a
um sistema e sua utilizaçao por meio de um volume de controle VC:
Q˙− W˙ = dE
dt
⇒ dE
dt
=
δQ
dt
− δW
dt
em que Q˙ é o calor trocado entre o sistema e o meio, sendo positivo quando
introduzido no sistema; W˙ é o trabalho trocado entre o sistema e o meio, sendo positivo
quando retirado do sistema; E é a energia do sistema.
E, a energia, é a soma de todas as energias existentes no sistema. Para o caso de
escoamentos de fluidos serão consideradas as energias cinética, potencial e interna:
E =
mv2
2
+mgh+ U
E é uma grandeza extensiva, e sua correspondente grandeza intensiva é a energia
especifica e:
e =
v2
2
+ gy + u
Em que u é a energia interna específica.
VER NOTAS DE AULA
20
Capítulo 7
Tensão nos fluidos
Existem dois tipos de forças que atuam em um fluido.
Forças de campo: atuam sem contato físico, como a força gravitacional e a ele-
trostática.
Forças de superfície: precisam de contato físico para transmissão, como a pressão
e o atrito.
As forças de superfície podem ser decompostas em duas componentes:
1) Componente tangencial (cisalhamento)
2) Componente normal (compressão)
As tensões descrevem o modo pela qual as forças atuantes nas fronteiras do meio
são transmitidas através dele, como indicado nas Figuras 7.1 e 7.2:
Figura 7.1: Esquema e definições das tensões que agem em um fluido.
Sinal: a tensão é considerada positiva se ambos (a normal externa à superfície e
21
Figura 7.2: Componentes das tensões que agem em um fluido.
a tensão) seguirem a orientação positiva ou negativa dos eixos coordenados. Uma tensão
é positiva quando o seu sentido e o plano no qual atua têm o mesmo sinal.
No repouso, não existem tensões de cisalhamento (ou tangenciais), somente ten-
sões normais: σxx, σyy e σzz.
σxx = σyy = σzz = σ = −p
Quando o fluido está em movimento, existem tensões de cisalhamento devido ao
atrito (deslizamento) entre as camadas de fluido e tensões normais, assim σxx 6= σyy 6= σzz.
Para representar a tensão em um fluido é usada uma grandeza tensorial, ou ten-
sor, que possui dois subscritos associados com direções coordenadas - vetores apresentam
um subscrito associado à direção. O tensor tensão, T˜ , é definido por 9 componentes:
σxx, σyy, σzz, τxy, τyz, τxz, τzx, τyx, τzy.
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz

Para o fluido em repouso:
22
 σxx 0 00 σyy 0
0 0 σzz
 =
 σ 0 00 σ 0
0 0 σ

Sendo I˜ o tensor diagonal unitário:
I˜ =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Tem-se então: σ = −p⇒ T˜ = −pI˜
Para o fluido em movimento:
A tensão σ é dividida em duas partes, uma devido à pressão P (forças normais) e
outra denominada por desvio da tensão, S˜, associado ao movimento relativo das partículas
no fluido:
T˜ = −pI˜ + S˜
Em que T˜ é o tensor tensão total, −pI˜ é o tensor tensão para um fluido estático
e S˜ é o tensor tensão extra-adicional devido ao movimento.
T˜ =
 σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz
 = −p
 1 0 00 1 0
0 0 1
+
 Sxx Sxy SxzSyx Syy Syz
Szx Szy Szz

Sxx é um termo viscoso e pode ser dado por expressão similar à Sxx = 2µ
∂vx
∂x
.
Sob ação de tensões o fluido se deforma. A deformação depende de fatores como
a natureza do fluido e a velocidade do escoamento. A tensão está relacionada à taxa
de deformação, e o comportamento de um fluido sob ação de tensão cisalhante é usado
para definir diferentes categorias de fluido. Um tensor deformação D˜ associado ao modelo
reológico do fluido pode ser obtido, sendo que o tensor tensão total será função do tensor
deformação:
T˜ = f(D˜)
23
7.1 Escoamento laminar - Viscosidade
A viscosidade de um fluido é uma medida de sua resistência ao escoamento. Ela
determina a taxa de deformação do fluido que é gerada pela aplicação de uma tensão de
cisalhamento.
Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas
(Figura 7.3). A placa superior move-se a velocidade constante, δv, sob influência de uma
força constante aplicada, δFx.
Figura 7.3: Deformação de um elemento de fluido.
A tensão de cisalhamento aplicada ao fluido é dada por:
τyx = lim
δAy→0
δFx
δAy
=
dFx
dAy
(7.1)
em que δAy é a área de contato do elemento fluido com a placa e δFx é a força
aplicada pela placa naquele elemento. Durante o intervalo de tempo t no qual a força
atua, o elemento de fluido é deformado, e a taxa de deformação é dada por:
taxa de deformação = lim
δt→0
δα
δt
=
dα
dt
(7.2)
A distância δl entre os pontos M e M' é dada por: δl = δvδt.
Para pequenos ângulos: δl = δyδα.
Igualando as duas expressões para δl, tem-se:
δα
δt
=
δv
δy
(7.3)
Tomando os limites dos dois lados da equação, tem-se:
24
dα
dt
=
dv
dy
(7.4)
Assim, o elemento de fluido submetido à tensão τxy experimenta uma taxa de
deformação, ou taxa de cisalhamento, dada por dv/dy. A relação entre taxa e tensão
de cisalhamento caracteriza o tipo de fluido; se tensão e taxa de cisalhamento forem
diretamente proporcionais, o fluido é denominado de fluido newtoniano. Os demais fluidos
são denominados fluidos não newtonianos.
7.1.1 Fluidos newtonianos
Os fluidos mais comuns são newtonianos em condições normais. Para estes fluidos:
τxy ∝
dv
dy
(7.5)
A constante de proporcionalidade desta equação é a viscosidade absoluta (ou
dinâmica), µ. A viscosidade de fluidos newtonianos varia com a temperatura e a pressão,
sendo que a temperatura tem um efeito mais forte do que a pressão. Assim, a lei de
Newton da viscosidade para o escoamento unidimensional ilustrado na Figura 7.3 é dada
por:
τxy = µ
dv
dy
(7.6)
A unidade da viscosidade no SI é kg/(m.s) ou Pa.s. No sistema métrico absoluto
a unidade básica de viscosidade é denominada poise (1 poise = 1 g/(cm.s)).
Na mecânica dos fluidos, a razão entre a viscosidade absoluta, µ, e a massa espe-
cífica, ρ, é denominada viscosidade cinemática e é representada por ν.
7.1.2 Fluidos não newtonianos
São os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional
à taxa de deformação. Exemplos dos diferentes tipos de fluidos são mostrados na Figura
7.4, que mostra uma curva reológica.
Para muitas aplicações da engenharia, essas relações podem ser representadaspelo
modelo exponencial:
25
Figura 7.4: Tensão de cisalhamento como função da taxa de deformação para um escoa-
mento unidimensional.
τxy = k
(
dv
dy
)n
(7.7)
em que n é chamado de índice de comportamento do escoamento e k de índice de
consistência. Esta equação reduz-se à lei de Newton para n = 1 e k = µ.
Para caracterizar estes fluidos é definida a propriedade viscosidade aparente, que
depende da tensão de cisalhamento. Reescrevendo a equação 7.7:
τxy = k
∣∣∣∣dvdy
∣∣∣∣n−1 dvdy = ηdvdy (7.8)
A viscosidade aparente, η, é definida como η = k
∣∣∣∣dvdy
∣∣∣∣n−1.
Para a maioria dos fluidos não newtonianos, a viscosidade aparente diminui en-
quanto a taxa de deformação cresce (n < 1), sendo chamados pseudoplásticos, pois tornam-
se mais finos quando sujeitos a tensões cisalhantes. Exemplos incluem soluções de polí-
meros, suspensões coloidais, etc. Se a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de
deformação cresce (n > 1), o fluido é chamado dilatante.
O plástico de Bingham se comporta como um sólido até que uma tensão limí-
trofe, τy, seja excedida, exibindo após esta tensão comportamento linear entre tensão de
cisalhamento e taxa de cisalhamento:
τxy = τy + µp
dv
dy
(7.9)
Suspensões de argila e pasta dental exibem esse comportamento.
26
Capítulo 8
Equações diferenciais do escoamento
dos fluidos
A análise do escoamento dos fluidos pode ser feita de duas formas diferentes:
1. Integral: região de interesse é um VC macroscópico
2. Diferencial: análise de variações pontuais das propriedades
A análise diferencial fornece, então, resultados diferentes da análise na forma
integral. As informações na análise integral são importantes no projeto como um todo,
enquanto que na forma diferencial são obtidas informações importantes em relação aos
mecanismos de transferência de massa, quantidade de movimento e energia.
8.1 Definições
Escoamento plenamente desenvolvido Aquele em que o perfil de velocidade não
varia ao longo do eixo do escoamento.
Condição de não-deslizamento Uma camada de fluido adjacente a uma fronteira tem
velocidade nula relativa à fronteira. Assim, se a fronteira é uma parede estacionária, a
camada de fluido ao lado da parede tem velocidade zero. Esta condição é resultado de
observações experimentais e falha quando o fluido não pode ser tratado como continuum.
Comprimento de entrada Distância entre a entrada de um tubo até o local onde se
inicia o escoamento completamente desenvolvido.
27
8.2 Equação da continuidade na forma diferencial
Na forma integral, a equação da continuidade é dada por:
∫∫
SC
ρ(−→v · −→n )dA+ ∂
∂t
∫∫∫
V C
ρdV = 0 (8.1)
que representa:
Fluxo de massa através da SC + taxa de acúmulo de massa no VC = 0
Um VC diferencial pode ser representado por:
A taxa líquida de massa através da SC pode ser definida a partir das 3 coordena-
das, considerando que m˙ = ρvA.
Direção x:
ρvx|x+∆x.∆y∆z − ρvx|x.∆y∆z = (ρvx|x+∆x − ρvx|x) .∆y∆z
Direção y:
(ρvy|y+∆y − ρvy|y) .∆x∆z
Direção z:
28
(ρvz|z+∆z − ρvz|z) .∆x∆y
Assim, a taxa líquida de massa no VC é igual a:
(ρvx|x+∆x − ρvx|x) .∆y∆z+(ρvy|y+∆y − ρvy|y) .∆x∆z+(ρvz|z+∆z − ρvz|z) .∆x∆y
A massa dentro do VC é igual a ρ∆x∆y∆z para ρ constante; assim, a taxa de
acúmulo é dada por:
∂
∂t
(ρ∆x∆y∆z)
Somando os dois termos, igualando a zero (equação da continuidade) e dividindo
pelo volume (∆x∆y∆z):
(ρvx|x+∆x − ρvx|x)
∆x
+
(ρvy|y+∆y − ρvy|y)
∆y
+
(ρvz|z+∆z − ρvz|z)
∆z
+
∂ρ
∂t
= 0 (8.2)
Fazendo o lim∆V→0:
∂(ρvx)
∂x
+
∂(ρvy)
∂y
+
∂(ρvz)
∂z
+
∂ρ
∂t
= 0 (8.3)
Utilizando o operador vetorial ∇, em que:
∇ = iˆ ∂
∂x
+ jˆ
∂
∂y
+ kˆ
∂
∂z
Então:
∂(ρvx)
∂x
+
∂(ρvy)
∂y
+
∂(ρvz)
∂z
= ∇ · ρ−→v
29
Assim, a conservação da massa pode ser escrita como:
∇ · ρ−→v + ∂ρ
∂t
= 0 (8.4)
8.2.1 Casos específicos
Fluido incompressível
Para um fluido incompressível, ρ = constante (não depende nem das coordenadas
espaciais nem do tempo). Assim, a equação da continuidade pode ser simplificada para:
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
= ∇ · −→v = 0 (8.5)
Escoamento permanente
No escoamento permanente, todas as propriedades dos fluidos são independentes
do tempo. Assim, a equação da continuidade é dada por:
∂ρvx
∂x
+
∂ρvy
∂y
+
∂ρvz
∂z
= ∇ · ρ−→v = 0 (8.6)
8.2.2 Equação da continuidade em coordenadas cilíndricas
Nas coordenadas cilíndricas, a equação da continuidade é dada por:
1
r
∂(rρvr)
∂r
+
1
r
∂(ρvθ)
∂θ
+
∂(ρvz)
∂z
+
∂ρ
∂t
= 0 (8.7)
Em coordenadas cilíndricas, o operador ∇ é dado por:
∇ = rˆ ∂
∂r
+ θˆ
1
r
∂
∂θ
+ kˆ
∂
∂z
30
E a equação 8.7 pode também ser escrita na forma ∇ · ρ−→v + ∂ρ
∂t
= 0
Para fluido incompressível:
1
r
∂(rvr)
∂r
+
1
r
∂vθ
∂θ
+
∂vz
∂z
= ∇ · −→v = 0 (8.8)
Para escoamento permanente:
1
r
∂(rρvr)
∂r
+
1
r
∂(ρvθ)
∂θ
+
∂(ρvz)
∂z
= ∇ · ρ−→v = 0 (8.9)
8.3 Equações de Navier-Stokes
As equações de Navier-Stokes representam a segunda lei de Newton na forma
diferencial. Considere o cubo representando o volume de controle diferencial e a equação
da quantidade de movimento na forma integral:
∑−→
F =
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA) + ∂
∂t
∫∫∫
V C
ρ−→v dV = 0 (8.10)
Lembrando que esta equação afirma que a somatória das forças externas agindo
no VC é igual à taxa líquida de quantidade de movimento linear através do VC somada à
variação da taxa de quantidade de movimento linear no VC.
Dividindo a equação 8.11 pelo volume, ∆x∆y∆z e fazendo lim∆V→0:
lim
∆V→0
∑−→
F
∆x∆y∆z︸ ︷︷ ︸
1
= lim
∆V→0
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA)
∆x∆y∆z︸ ︷︷ ︸
2
+ lim
∆V→0
∂
∂t
∫∫∫
V C
ρ−→v dV
∆x∆y∆z︸ ︷︷ ︸
3
= 0 (8.11)
Termo 1: Soma das forças externas. As forças agindo sobre o volume de
controle são aquelas correspondentes às tensões normais e de cisalhamento (forças de
superfície) e às forças de campo, como a gravidade. A figura abaixo ilustra as tensões
agindo sobre o VC.
Direção x:∑−→
Fx = (σxx|x+∆x − σxx|x)∆y∆z
+ (τyx|y+∆y − τyx|y)∆x∆z
+ (τzx|z+∆z − τzx|z)∆x∆y + ρgx∆x∆y∆z
31
Dividindo pelo volume (∆x∆y∆z) e fazendo o lim∆V→0:
lim
∆V→0
∑−→
Fx
∆x∆y∆z
=
∂σxx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
+ ρgx (8.12)
Similarmente para as outras direções:
Direção y:
lim
∆V→0
∑−→
Fy
∆x∆y∆z
=
∂τxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂τzy
∂z
+ ρgy (8.13)
32
Direção z:
lim
∆V→0
∑−→
Fz
∆x∆y∆z
=
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σzz
∂z
+ ρgz (8.14)
Termo 2: Fluxo líquido de quantidade de movimento através do VC. O
fluxo de quantidade de movimento ilustrado no VC da figura abaixo é dado por:
lim
∆V→0
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA)
∆x∆y∆z
= lim
∆V→0
[
(ρ−→v vx|x+∆x − ρ−→v vx|x)∆y∆z
∆x∆y∆z
]
+ lim
∆V→0
[
(ρ−→v vy|y+∆y − ρ−→v vy|y)∆x∆z
∆x∆y∆z
]
+ lim
∆V→0
[
(ρ−→v vz|z+∆z − ρ−→v vz|z)∆x∆y
∆x∆y∆z
]
=
∂
∂x
(ρ−→v vx) + ∂
∂y
(ρ−→v vy) + ∂
∂z
(ρ−→v vz)
Diferenciando o lado direito da equação:
lim
∆V→0
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA)
∆x∆y∆z
= −→v
[
∂
∂x
(ρvx) +
∂
∂y
(ρvy) +
∂
∂z
(ρvz)
]
+ ρ
[
vx∂
−→v
∂x
+ vy
∂−→v
∂y
+ vz
∂−→v
∂z
]
33
Para simplificar, podemos usar a equação da continuidade:
∂(ρvx)
∂x
+
∂(ρvy)
∂y
+
∂(ρvz)
∂z
+
∂ρ
∂t
= 0
Assim, substituindo na equação:
lim
∆V→0
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA)
∆x∆y∆z
= −−→v ∂ρ
∂t
+ ρ
[
vx∂
−→v
∂x
+ vy
∂−→v
∂y
+ vz
∂−→v
∂z
]
(8.15)
Termo 3: Taxa de variação no tempo da quantidade de movimento no
VC:
lim
∆V→0
∂
∂t
∫∫∫
V C
ρ−→v dV
∆x∆y∆z
=
( ∂
∂t
)ρ−→v ∆x∆y∆z
∆x∆y∆z
=
∂
∂t
(ρ−→v ) = ρ∂
−→v
∂t+−→v ∂ρ
∂t
(8.16)
Assim, temos as 3 componentes da equação (equações 8.12, 8.13, 8.14, 8.15 e 8.16).
Termo 1:
lim
∆V→0
∑−→
F
∆x∆y∆z
=

(
∂σxx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
+ ρgx
)
iˆ(
∂τxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂τzy
∂z
+ ρgy
)
jˆ(
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σzz
∂z
+ ρgz
)
kˆ
Termo 2:
lim
∆V→0
∫∫
SC
ρ−→v (−→v · −→n dA)
∆x∆y∆z
= −−→v ∂ρ
∂t
+ ρ
[
vx∂
−→v
∂x
+ vy
∂−→v
∂y
+ vz
∂−→v
∂z
]
Termo 3:
lim
∆V→0
∂
∂t
∫∫∫
V C
ρ−→v dV
∆x∆y∆z
= ρ
∂−→v
∂t
+−→v ∂ρ
∂t
Podemos então escrever a equação da quantidade de movimento em cada compo-
34
nente x, y e z.
ρ
(
∂vx
∂t
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
∂vx
∂z
)
= ρgx +
∂σxx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
(8.17a)
ρ
(
∂vy
∂t
+ vx
∂vy
∂x
+ vy
∂vy
∂y
+ vz
∂vy
∂z
)
= ρgy +
∂τxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂τzy
∂z
(8.17b)
ρ
(
∂vz
∂t
+ vx
∂vz
∂x
+ vy
∂vz
∂y
+ vz
∂vz
∂z
)
= ρgz +
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σzz
∂z
(8.17c)
Os termos do lado esquerdo das equações representam a taxa de variação da
quantidade de movimento com o tempo, e do lado direito, representam as forças. Tomando
o lado esquerdo da equação 8.17a, por exemplo:
∂vx
∂t︸︷︷︸
aceleração local
+ vx
∂vx
∂x
+ vy
∂vx
∂y
+ vz
∂vx
∂z︸ ︷︷ ︸
aceleração convectiva
=
(
∂
∂t
+ vx
∂
∂x
+ vy
∂
∂y
+ vz
∂
∂z
)
vx
Em que a aceleração convectiva envolve a variação da velocidade ponto a ponto.
A soma dos dois termos (aceleração local e convectiva) é a aceleração total.
O termo do lado direito da equação sera equivalente à equação abaixo para as três
coordenadas:
(
∂
∂t
+ vx
∂
∂x
+ vy
∂
∂y
+ vz
∂
∂z
)
vi
Em que vi = vx, vy ou vz. A equação acima é definida como a derivada substantiva
de vi. Logo:
ρ
Dvx
Dt
= ρgx +
∂σxx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
(8.18a)
ρ
Dvy
Dt
= ρgy +
∂τxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂τzy
∂z
(8.18b)
ρ
Dvz
Dt
= ρgz +
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σzz
∂z
(8.18c)
As equações 8.18 são válidas para qualquer tipo de fluido, independentemente da
relação entre tensão e taxa de deformação.
35
8.3.1 Relações da viscosidade de Stokes
Como vimos nas aulas anteriores, a viscosidade está relacionada à tensão e à taxa
de deformação pela lei de Newton da viscosidade, válida para escoamento laminar:
τxy = µ
dv
dy
(8.19)
Stokes expandiu a definição de viscosidade para escoamento tridimensional, defi-
nindo taxa de deformação e tensão de cisalhamento para este escoamento.
A tensão de cisalhamento é um tensor que envolve magnitude, direção e orientação
em relação a um plano. Assim, para τxy, τ representa a magnitude, x a direção do eixo
normal à direção de ação da tensão, e y é a direção de ação da tensão. Assim, τxy age no
plano normal ao eixo x (plano yz) na direção y.
A taxa de deformação para um elemento de fluido tridimensional deve ser avaliada
considerando-se os planos xy, yz e xz. Para o plano xy na figura abaixo, a taxa de
deformação é igual a −dδ/dt, mas o elemento pode sofrer deformação nas direções x e y.
Enquanto o elemento muda da posição 1 para a posição 2 no tempo ∆t:
−dδxy
dt
= − lim
∆x,∆y,∆t→0
δ|t+∆t − δ|t
∆t
= − lim
∆x,∆y,∆t→0
{ pi
2
− arctan{[(vx|y+∆y − vx|y)∆t]/∆y}
∆t
+
− arctan{[(vy|x+∆x − vy|x)∆t]/∆x} − pi2
∆t
}
36
No limite: −dδxy
dt
=
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
.
Similarmente, as taxas de deformação nos planos yz e xz são iguais a:
−dδyz
dt
=
∂vy
∂z
+
∂vz
∂y
−dδxz
dt
=
∂vx
∂z
+
∂vz
∂x
Tensão de cisalhamento
A relação da viscosidade de Stokes para as componentes da tensão de cisalhamento
no escoamento laminar podem então ser definidas a partir dos desenvolvimentos para a
taxa de deformação. Considerando que a tensão de cisalhamento é igual ao produto da
viscosidade pela taxa de deformação, tem-se:
τxy = τyx = µ
(
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
)
(8.20a)
τyz = τzy = µ
(
∂vy
∂z
+
∂vz
∂y
)
(8.20b)
τzx = τxz = µ
(
∂vx
∂z
+
∂vz
∂x
)
(8.20c)
Tensão normal
Para um fluido em movimento, a tensão normal não é a mesma em todas as
direções e depende das variações das componentes de velocidade. A tensão normal também
pode ser definida a partir de uma relação entre tensão e taxa de deformação, mas o
desenvolvimento é muito mais complicado.
A tensão normal em coordenadas retangulares para um fluido newtoniano é dada
por:
37
σxx = µ
(
2
∂vx
∂x
− 2
3
∇ · −→v
)
− P (8.21a)
σyy = µ
(
2
∂vy
∂y
− 2
3
∇ · −→v
)
− P (8.21b)
σzz = µ
(
2
∂vz
∂z
− 2
3
∇ · −→v
)
− P (8.21c)
8.4 Equações de Navier-Stokes - continuação
Se substituirmos as equações 8.20 e 8.21 na equação 8.18:
ρ
Dvx
Dt
= ρgx +
∂σxx
∂x
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
(8.18)
ρ
Dvy
Dt
= ρgy +
∂τxy
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂τzy
∂z
ρ
Dvz
Dt
= ρgz +
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
∂σzz
∂z
Obtemos as equações de Navier-Stokes, válidas para escoamento Newtoniano e
laminar:
ρ
Dvx
Dt
= ρgx − ∂P
∂x
− ∂
∂x
(
2
3
µ∇ · −→v
)
+∇ ·
(
µ
∂−→v
∂x
)
+∇ · (µ∇vx) (8.23a)
ρ
Dvy
Dt
= ρgy − ∂P
∂y
− ∂
∂y
(
2
3
µ∇ · −→v
)
+∇ ·
(
µ
∂−→v
∂y
)
+∇ · (µ∇vy) (8.23b)
ρ
Dvz
Dt
= ρgz − ∂P
∂z
− ∂
∂x
(
2
3
µ∇ · −→v
)
+∇ ·
(
µ
∂−→v
∂z
)
+∇ · (µ∇vz) (8.23c)
Para um fluido incompressível, ∇ · −→v = 0 (da equação da continuidade, 8.5).
Assim, as equações 8.23 para escoamento incompressível tornam-se:
38
ρ
Dvx
Dt
= ρgx − ∂P
∂x
+ µ
(
∂2vx
∂x2
+
∂2vx
∂y2
+
∂2vx
∂z2
)
(8.24a)
ρ
Dvy
Dt
= ρgy − ∂P
∂y
+ µ
(
∂2vy
∂x2
+
∂2vy
∂y2
+
∂2vy
∂z2
)
(8.24b)
ρ
Dvz
Dt
= ρgz − ∂P
∂z
+ µ
(
∂2vz
∂x2
+
∂2vz
∂y2
+
∂2vz
∂z2
)
(8.24c)
Na forma vetorial, a equação fica mais compacta:
ρ
D−→v
Dt
= ρ−→g −∇P + µ∇2−→v (8.25)
A equação 8.25 é a equação de Navier-Stokes para escoamento incompressível, la-
minar e de viscosidade constante, considerações derivadas do uso da relação de viscosidade
de Stokes. Se o escoamento também for invíscido (µ = 0), a equação de Navier-Stokes
torna-se:
ρ
D−→v
Dt
= ρ−→g −∇P (8.26)
A equação 8.26 é conhecida como equação de Euler.
8.4.1 Equações de Navier-Stokes para coordenadas cilíndricas
Para escoamento com ρ e µ constantes:
39
40
8.5 Escoamento laminar x turbulento
Como vimos antes, o escoamento em um tubo pode ser laminar ou turbulento,
de acordo com o número de Reynolds Re =
ρvD
µ
. A diferença entre os dois tipos de
escoamento é ilustrada pelo experimento de Reynolds, onde escoamento laminar apresenta
valores para o número de Reynolds de até 2300, e o turbulento apresenta valores superiores
a 4000.
No escoamento laminar, as camadas adjacentes de fluido deslizam suavemente,
umas sobre as outras. A mistura entre as camadas ou lâminas de fluido ocorre somente
em nível molecular. Para fluidos Newtonianos, vale a relação de Newton para definir
completamente o estado de tensão nesse escoamento.
No escoamento turbulento pequenas porções macroscópicas de fluido passam de
uma lâmina à outra, e as camadas são desfeitas. O escoamento é caracterizado por flutu-
ações das propriedades. Tensões turbulentas são geradas e devem ser adicionadas à lei de
Newton para definir completamente o estado de tensão.
8.5.1 Camada limite
O fato de que o efeito das tensões de cisalhamento diminui à medida em que
aumenta o número de Reynolds levou à formulação da teoria da camada limite, que é a
camada do escoamento onde os efeitos de atrito estão concentrados. A camada limite em
uma placa plana é ilustrada na figura abaixo.
A espessurada camada limite, δ, é definida como a distância a partir da superfície
onde a velocidade atinge 99% da velocidade do escoamento. Para pequenas distâncias de
x, o escoamento dentro da camada limite é laminar, designando esta região como camada
limite laminar. Para valores maiores de x existe a região de transição, onde ocorrem
flutuações entre escoamento laminar e turbulento. A partir de um certo valor de x a
camada limite será turbulenta, e dentro desta região existe uma subcamada limite laminar
onde o escoamento ainda é laminar e grandes gradientes de velocidade existem.
O critério para se definir o tipo de camada limite existente é o número de Reynolds
41
local, Rex, que considera a distância x:
Rex =
xvρ
µ
Para um escoamento sobre uma placa dados empíricos indicam que a camada
limite é laminar para Rex < 2.10
5
, transiente (laminar ou turbulenta) para 2.105 < Rex <
3.106 e turbulento para Rex > 3.10
6
.
8.5.2 Região de entrada
A figura abaixo ilustra o escoamento laminar na região de entrada de um tubo
circular. O escoamento tem velocidade uniforme na entrada do tubo. Por causa da con-
dição de não-deslizamento, sabe-se que a velocidade na parede do tubo deve ser zero em
toda a extensão do tubo. Uma camada limite desenvolve-se então ao longo das paredes
do tubo. A superfície sólida exerce uma força de cisalhamento de retardamento sobre o
escoamento, então a velocidade do fluido nas vizinhanças da superfície sólida é reduzida.
Para escoamento incompressivel, a conservação da massa exige que conforme a
velocidade na parede é reduzida devido ao atrito, a velocidade na região central sem atrito
deve crescer para compensar e manter a vazão mássica. Assim, na região central a pressão
42
também vai cair um pouco (equação de Bernoulli).
Suficientemente longe da entrada do tubo a camada limite atinge a linha de centro
do tubo, e a forma do perfil de escoamento não varia mais ao longo da distância x. Neste
ponto, o escoamento está completamente desenvolvido. A distância a partir da entrada
até este ponto é chamada de comprimento de entrada.
Para escoamento laminar o comprimento de entrada, L é função do número de
Reynolds:
L
D
' 0, 06ρvD
µ
8.5.3 Propriedades médias no tempo
Em um escoamento turbulento, as variáveis do escoamento variam com o tempo,
ainda que o escoamento seja permanente. Por exemplo, a velocidade instantânea em um
ponto do escoamento varia conforme indicado na figura abaixo:
Figura 8.1: Variação da velocidade no tempo para o escoamento turbulento: (a) escoa-
mento estacionário; (b) escoamento transiente
Pequenas variações na velocidade ocorrem em torno do valor médio. Da mesma
forma, podemos expressar variáveis do fluido e do escoamento a partir de valores médios
e flutuações. Por exemplo, a velocidade na direção x é:
vx = vx(x, y, z) + v
′
x(x, y, z, t)
Em que vx(x, y, z) representa a velocidade média no ponto (x, y, z), definida por:
vx =
1
t1
∫ t1
0
vx(x, y, z, t)dt
No escoamento permanente, a média das flutuações no tempo de uma propriedade
é nula. Considere a propriedade Q.
43
Se
Q = Q+Q′
como
Q =
1
t1
∫ t1
0
Qdt
então:
Q =
1
t1
∫ t1
0
(Q+Q′)dt =
1
t1
∫ t1
0
Qdt+
1
t1
∫ t1
0
Q′dt
Como Q é constante,
Q =
Q
t1
∫ t1
0
dt+
1
t1
∫ t1
0
Q′dt = Q+
1
t1
∫ t1
0
Q′dt
Assim:
1
t1
∫ t1
0
Q′dt = 0
Por definição:
Assim:
Q′ =
1
t1
∫ t1
0
Q′dt
Então, Q′ = 0
Diferentes escoamentos turbulentos terão padrões de escoamento de diferentes
tamanhos, então o valor médio da velocidade não necessariamente fornece a intensidade
das flutuações em relação à velocidade média. Assim, foi introduzido também o conceito
de intensidade da turbulência, definida como a raiz quadrada do valor médio da flutuação:
I =
√
(v′2x + v′2y + v′2z )/3
v∞
8.5.4 Tensão de cisalhamento turbulenta
Considere um escoamento turbulento em uma tubulação.Usando as componentes
de velocidade vx e vy, em um dado instante, partículas de fluido se movem aleatoriamente
no escoamento. Em um instante de tempo dado, uma partícula do fluido move-se através
de uma área incremental dA, devido à flutuação da velocidade vy; ela entra em uma camada
vizinha de fluido que está se movendo a uma velocidade mais alta na direção x, e, assim,
44
fornece um efeito retardador sobre a camada vizinha. Uma partícula do fluido que se move
para uma camada vizinha que está se deslocando a uma velocidade menor na direção x
tenderia a acelerar o fluido mais lento. A componente x da força, que resulta devido ao
movimento aleatório de uma partícula do fluido passando através da área incremental dA
seria:
dFx = −ρv′ydAv′x
Em que v′x é a variação negativa na componente x da velocidade devido à troca
de quantidade de movimento e ρvydA é o fluxo de massa através da área. O sinal negativo
fornece um dFx positivo. Se dividirmos ambos os lados pela área dA, obteremos uma
"tensão", chamada de tensão de cisalhamento turbulenta:
τturb =
dFx
dA
= ρv′yv
′
x
A média temporal da tensão de cisalhamento turbulenta é chamada de tensão de
cisalhamento aparente:
τ turb = ρv′yv′x
A tensão de cisalhamento total em uma localização particular seria devida à vis-
cosidade e à troca de quantidade de movimento, ou seja:
τ = τ lam + τ turb = µ
∂vx
∂y
− ρv′xv′y
A contribuição turbulenta à tensão de cisalhamento é chamada de tensão de Rey-
nolds. No escoamento turbulento sua magnitude é muito maior do que aquela derivada da
contribuição molecular, que é expressa em termos da propriedade do fluido (viscosidade)
e da velocidade do escoamento (µ
∂vx
∂y
), enquanto a contribuição turbulenta é expressa em
termos de flutuações nas propriedades do escoamento, que não são expressas analitica-
mente.
Outro conceito importante é a viscosidade turbilhonar η, que é definida pela re-
lação:
v′xv′y = η
∂vx
∂y
45
Capítulo 9
Transferência de calor
Importância na Engenharia de Materiais
A Figura 9.1 apresenta um fluxograma geral ilustrando a produção de bobinas de
aço em usinas siderúrgicas. Neste processo podem ser identificadas várias aplicações do
estudo da Transferência de Calor.
Figura 9.1: Esquema da produção de bobinas de aço em usinas siderúrgicas
46
Na coqueria os gases quentes resultantes da combustão de gás de alto-forno, gás de
coqueria e ar transferem calor para as paredes refratárias das células de coqueificação que,
por sua vez, transferem calor para a mistura de carvões, promovendo a sua transformação
em coque. A eficiência térmica e a produtividade deste processo dependem da taxa de
transferência de calor.
Na sinterização, as trocas térmicas ocorrem entre os gases sendo succionados e as
partículas de sínter e da mistura a sinterizar. A taxa de transferência de calor entre estas
fases afeta a velocidade de descida da frente de combustão, gerada quando a mistura a
sinterizar sofre a ignição. A velocidade de avanço desta frente de combustão determina o
tempo necessário para que o processo ocorra e afeta a sua produtividade.
Que outros sistemas e situações relativos à engenharia de materiais envolvem
processos de transferência de calor?
Conceitos fundamentais
Definição: transferência de calor (ou calor) é a energia térmica em trânsito devido
a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma diferença de temperatura em
um meio ou entre meios diferentes, ocorre transferência de calor.
A energia térmica está associada à translação, rotação e vibração dos átomos e
moléculas. Está diretamente relacionada à temperatura da matéria.
A energia térmica é associada ao comportamento microscópico da matéria. É
designada por U ou u e suas unidades são o J ou J/kg. Já a temperatura é uma medidaindireta da quantidade de energia térmica armazenada na matéria, designada por T e
medida em K ou‰, por exemplo. Transferência de calor é o transporte de energia térmica
devido a gradientes de temperatura, e calor é a quantidade de energia térmica transferida
em um intervalo de tempo. Designado por Q, com unidades de J. A taxa de calor é a
energia térmica transferida por unidade de tempo, designado por q, com unidades de W.
Fluxo de calor é a energia térmica transferida por unidade de tempo e área superficial,
designado por q′′, com unidades de W/m².
Existem três modos diferentes de transferência de calor:
1. Condução: transferência de calor devido a gradiente de temperatura em um meio
estacionário, sólido ou líquido
2. Convecção: transferência de calor entre uma superfície e um fluido em movimento
47
3. Radiação: transferência de calor entre duas superfícies na ausência de um meio
entre elas. Todas as superfícies a uma temperatura finita emitem energia na forma
de ondas eletromagnéticas.
9.1 Origens físicas e equações das taxas de calor
Nesta seção são introduzidos os mecanismos físicos dos modos de transferência de
calor.
9.1.1 Condução
A condução de calor ocorre a nível atômico e molecular, e é consequente da trans-
ferência de energia das partículas mais energéticas para as partículas de menor energia em
um meio, devido às suas interações. Temperaturas elevadas estão associadas a energias
moleculares maiores, e quando as moléculas colidem, há transferência de energia entre as
moléculas de maior energia para as de menor energia. A transferência então ocorre devido
ao movimento aleatório dos átomos, moléculas ou elétrons.
A equação que calcula a transferência de calor é conhecida como lei de Fourier.
Considere:
48
Para uma parede plana com temperatura T (x), a equação da taxa de transferência
de calor é dada por:
q′′x = −k
dT
dx
(9.1)
Em que q′′x (W/m²) é a taxa de transferência de calor na direção x por unidade
de área perpendicular à direção de transferência, sendo proporcional ao gradiente de tem-
peratura dT/dx nessa direçao. A constante de proporcionalidade k é uma propriedade
de transporte conhecida como condutividade térmica (W/mK). O sinal negativo é con-
sequência do fato de que o calor é transferido no sentido decrescente da temperatura. Sob
condições de regime estacionário, com distribuição de temperatura linear, o gradiente de
temperatura pode ser expresso como:
dT
dx
=
T2 − T1
L
Então:
q′′x = −k
T2 − T1
L
= k
T1 − T2
L
= k
∆T
L
(9.2)
e qx = q
′′
xA.
9.1.2 Convecção
Na convecção, além da transferência de calor ocorrer devido ao movimento ale-
atório das moléculas, a energia é transferida também através do movimento global ou
macroscópico do fluido.
Considere o escoamento de um fluido sobre uma superfície sólida. Assim como
49
ocorre a formação de uma camada limite, que é a região onde a velocidade varia de 0
(na superfície da placa) até a velocidade do escoamento, se as temperaturas da superfície
e do fluido que escoa forem diferentes, existirá uma região do fluido através da qual a
temperatura irá variar de Ts em y = 0 até T∞, associada à região do escoamento afastada
da superfície. Essa região é chamada de camada limite térmica, e não necessariamente
coincide com a camada limite.
A transferência de calor por convecção pode ser classificada como forçada, quando
o escoamento é causado por meios externos, tais como um ventilador, ou livre, quando
o escoamento é induzido por forças de empuxo originadas por diferenças de densidade
causadas por variações de temperatura no fluido.
Normalmente a energia transferida é a energia sensível, ou térmica interna do
fluido, mas existem também processos que envolvem a troca de energia latente, geralmente
associada à mudança de fase entre os estados líquido e vapor do fluido (a ebulição e
condensação são exemplos). O movimento das bolhas de vapor geradas no fundo de uma
panela gera transferência de calor por convecção, assim como a condensaçao do vapor
d'água na superfície externa de uma tubulação por onde escoa água fria.
A equação da convecção é dada por:
q′′ = h(Ts − T∞) (9.3)
em que q′′ é o fluxo de calor convectivo (W/m²), e é proporcional à diferença de
temperaturas da superfície e do fluido Ts e T∞, respectivamente. Essa expressão é co-
nhecida como lei de resfriamento de Newton, e a constante h é chamada de coeficiente de
transferência por convecção. h depende das condições na camada limite, que são influencia-
das pela geometria da superfície, pelo movimento do fluido e propriedades termodinâmicas
e de transporte do fluido.
O fluxo de calor por convecção é considerado positivo se o calor for transferido a
partir da superfície Ts > T∞ e negativo se o calor for transferido para a superfície T∞ > Ts.
9.1.3 Radiação
Radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma
temperatura finita na forma de ondas eletromagnéticas. Ao contrário da condução e da
convecção, a radiação não requer a presença de um meio material, e ocorre de forma mais
eficiente no vácuo.
A radiação que é emitida pela superfície tem origem na energia térmica da ma-
50
téria limitada pela superfície e a taxa de energia liberada por unidade de área (W/m²)
é denominada poder emissivo E da superfície. O limite superior para o poder emissivo é
previsto pela lei de Stefan-Boltzmann:
Eb = σT
4
s (9.4)
em que Ts é a temperatura absoluta (K) da superfície e σ é a constante de Stefan-
Boltzmann (σ = 5, 67× 10−8W/m2K). Essa superfície é uma superfície ideal e é chamada
de corpo negro. O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele
do corpo negro, e é dado por:
E = εσT 4s (9.5)
em que ε é uma propriedade radiante da superfície denominada emissividade, e
0 ≤ ε ≤ 1.
Além de emitir radiação, uma superfície também pode receber radiação incidente,
e esta é designada irradiação (G). Uma parte da irradiação pode ser absorvida pela
superfície, aumentando dessa forma a energia térmica do material. A taxa na qual a energia
radiante é absorvida por unidade de área é quantificada pela propriedade absorvidade (α):
Gabs = αG
em que 0 ≤ α ≤ 1. Uma superfície opaca reflete irradiação se α < 1. Uma
superfície semitransparente pode transmitir irradiação. O valor de α depende da natureza
da irradiação, por exemplo pode ser diferente para a radiação solar e aquela emitida por
um forno.
Normalmente a transferência de calor ocorre entre uma superfície pequena a Ts e
uma superfície isotérmica muito maior, chamada de vizinhança, cuja temperatura é Tviz.
51
Nesse caso, Gviz = σT
4
viz. Para o caso em que α = ε (superfície cinza), a taxa líquida de
transferência de calor por radiação a partir da superfície é dada por:
q′′rad =
q
A
= εEb(Ts)− αG = εσ(T 4s − T 4viz) (9.6)
9.2 Conservação da energia
Da primeira lei da termodinâmica, a taxa de energia (térmica e mecânica) que
entra em um VC (E˙e) mais a taxa em que energia é gerada (E˙g), menos a taxa em que
energia sai do VC (E˙s), é igual à taxa de aumento da energia armazenada no VC (E˙ar).
Ou seja:
E˙e + E˙g − E˙s = dEar
dt
= E˙ar (9.7)
com unidades de J/s ou W. Os termos E˙e e E˙s (entrada e saída de energia) repre-
sentam os fenômenos que ocorrem na superfície de controle e, por isso, a sua magnitude é
proporcional à área da superfície. O termo E˙g (geração de energia) representa a conversão
de energia (química, elétrica, nuclear) em energia térmica. Este é um fenômeno que ocorre
no volume de controle e, portanto, a sua magnitude é proporcional às suas dimensões
volumétricas. O mesmo é válido para o termo E˙ar (energia armazenada), que representa
as variações de energia interna, cinética e potencial do volume de controle.
A integraçãoem um intervalo de tempo ∆t fornece:
Ee + Eg − Es = ∆Ear (9.8)
9.2.1 Casos específicos
1) Sistema fechado de massa fixa, onde energia é transferida através de sua fron-
teira por meio de calor e trabalho, sem conversão de energia no interior do sistema e
energia cinética e potencial desprezadas:
Q−W = ∆U (9.9)
Em um instante:
52
q − W˙ = dU
dt
(9.10)
2) Sistema aberto, onde o fluxo de massa é responsável pelo transporte de energia
interna, cinética e potencial através do sistema. Nesse caso o trabalho é dividido em duas
partes: o trabalho de escoamento, associado ao trabalho realizado pelas forças de pressão
que movem o fluido através da fronteira do sistema, equivalente ao produto da pressão
pelo volume específico do fluido (pvˆ); e os demais trabalhos, incorporados no termo W.
Para operação no regime estacionário, E˙ar = 0 e:
m˙
(
u+ pvˆ +
v2
2
+ gy
)
e
− m˙
(
u+ pvˆ +
v2
2
+ gy
)
s
+ q − W˙ = 0 (9.11)
em que e indica a massa que entra e s a massa que sai. A soma da energia interna
com o trabalho de escoamento é igual à entalpia (u+ pvˆ = h).
Para um gás ideal com calor específico constante, a diferença das entalpias entre
o fluxo que entra e que sai é dada por:
he − hs = cp(Te − Ts)
Para um fluido incompressível, as capacidades caloríficas a pressão (cp) e volume
(cv) constantes são iguais, e em geral a diferença nos termos do trabalho de escoamento
(pvˆ)e − (pvˆ)s=0.
3) Balanço de energia em superfícies: não inclui massa ou volume, e portanto não
inclui geração ou armazenamento de energia, e a conservação é dada por:
Ee − Es = 0 (9.12)
Esta equação é válida para regimes permanente e transiente.
Considere a parede abaixo com transferência de calor por condução, convecção e
radiação:
q′′cond − q′′conv − q′′rad = 0⇒ k
T1 − T2
L
− h(T2 − T∞)− εσ(T 42 − T 4viz) = 0
53
54
Capítulo 10
Condução
10.1 Equação geral da condução
A equação geral da condução é definida pela lei de Fourier, uma equação empírica:
q′′x =
qx
A
= −kdT
dx
(10.1)
em que o fluxo de calor q′′x atua na direção normal à área de seção transversal
A e no sentido decrescente da temperatura. O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, e
portanto a forma mais geral da equação é:
−→
q′′ = −k
(
iˆ
∂T
∂x
+ jˆ
∂T
∂y
+ kˆ
∂T
∂z
)
(10.2)
10.2 Propriedades térmicas da matéria
Para usar a equação da taxa de condução (lei de Fourier), a condutividade térmica
do material deve ser conhecida. Esta propriedade indica a taxa pela qual a energia é
transferida pelo processo de difusão, e depende da estrutura física da matéria, relacionada
ao estado físico.
10.2.1 Condutividade térmica
A partir da lei de Fourier define-se a condutividade térmica como:
55
kx =
q′′x
dT/dx
(10.3)
Definições semelhantes podem ser obtidas para ky e kz, mas a condutividade
térmica de um material isotrópico não depende da direção (kx = ky = kz).
Assim, para uma dada diferença de temperatura, o fluxo de calor por condução
aumenta com o aumento da condutividade térmica. Como a condução ocorre pela trans-
ferência de energia entre átomos, a condutividade térmica de um sólido é, em geral, maior
que a de um líquido, que por sua vez é maior do que a de um gás. Alguns valores são
indicados na figura abaixo.
No estado sólido o transporte de energia térmica se dá por meio da migração
de elétrons livres e através de ondas vibracionais da rede de átomos. A condutividade
térmica de sólidos varia em função da temperatura.
Em sistemas de isolamento são utilizados materiais de baixa condutividade
térmica.
No caso de fluidos que possuem espaçamentos intermoleculares muito maiores
do que materiais no estado sólido, com movimento de moléculas mais aleatório, a energia
térmica transportada por condução é menos efetiva do que para sólidos.
10.2.2 Outras propriedades
As propriedades relevantes para os problemas de transferência de calor são pro-
priedades de transporte, como a condutividade térmica k, e propriedades termodinâmicas,
relacionadas ao estado de equilíbrio de um sistema, como a massa específica ρ e o calor
específico cp. O produto ρcp (denominado capacidade calorífica volumétrica) representa a
capacidade de um material de armazenar energia térmica. Na análise de transferência de
calor a razão entre condutividade térmica e capacidade calorífica volumétrica é definida
56
como difusividade térmica:
α =
k
ρcp
(10.4)
Esta propriedade mede a capacidade do material de conduzir energia térmica em
relação à sua capacidade de armazená-la.
10.3 Equação da difusão do calor
O principal objetivo da análise da condução é determinar o campo de temperatura
em um meio resultante das condições impostas em suas fronteiras; ou seja, desejamos
obter a distribuição de temperatura ao longo do espaço. Para isso, define-se um volume
de controle diferencial em coordenadas cartesianas:
Considerando que:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx (10.5a)
qy+dy = qy +
∂qy
∂y
dy (10.5b)
qz+dz = qz +
∂qz
∂z
dz (10.5c)
e que no interior do VC pode haver geração de energia:
E˙g = q˙dxdydz (10.6)
e que podem ocorrer variações na quantidade de energia térmica interna armaze-
nada no VC, se não houver mudança de fase:
57
E˙ar = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (10.7)
Como
Ee + Eg − Es = ∆Ear (10.8)
e a energia que entra é qx e que sai, qx+dx, similarmente para as outras direções:
qx + qy + qz + q˙dxdydz − qx+dx − qy+dy − qz+dz = ρcp∂T
∂t
dxdydz (10.9)
Substituindo as equações 10.5, tem-se:
− ∂qx
∂x
dx− ∂qy
∂y
dy − ∂qz
∂z
dz + q˙dxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (10.10)
As taxas de calor por condução podem ser avaliadas pela lei de Fourier:
qx = −kdydz∂T
∂x
(10.11a)
qy = −kdxdz∂T
∂y
(10.11b)
qz = −kdxdy∂T
∂z
(10.11c)
Substituindo as equações 10.11 na equação 10.10 e dividindo-se por dx dy dz,tem-
se:
∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
+
∂
∂y
(
k
∂T
∂y
)
+
∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
︸ ︷︷ ︸
fluxo líquido de energia térmica no VC
+ q˙︸︷︷︸
geração de energia térmica
= ρcp
∂T
∂t︸ ︷︷ ︸
variação na energia térmica armazenada
(10.12)
A equação 10.12 é a equação da difusão do calor em coordenadas cartesianas, e
é a ferramenta básica para a análise da condução de calor, a partir da qual obtém-se a
distribuição da temperatura T (x, y, z) como uma função do tempo.
Em coordenadas cilíndricas, a equação geral do fluxo de calor é dada por:
58
1
r
∂
∂r
(
kr
∂T
∂r
)
+
1
r2
∂
∂θ
(
k
∂T
∂θ
)
+
∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ q˙ = ρcp
∂T
∂t
(10.13)
O termo
∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
representa o fluxo líquido de calor por condução para o
interior do volume de controle na direção da coordenada x, já que, multiplicando esse
termo por dx, tem-se:
∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
dx = q′′x − q′′x+dx (10.14)
Simplificações da equação podem facilitar a resolução de problemas. Por exemplo,
se a condutividade térmica é constante:
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
+
∂2T
∂z2
+
q˙
k
=
1
α
∂T
∂t
(10.15)
Com α =
k
ρcp
como a difusividade térmica do meio.
No regime permanente:
∂
∂x
(
k
∂T
∂x
)
+
∂
∂y
(
k
∂T
∂y
)
+
∂
∂z
(
k
∂T
∂z
)
+ q˙ = 0 (10.16)
Se a condução for unidimensional na direção x e se não houver geração de energia:
d
dx
(
k
dT
dx
)
= 0 (10.17)
Essa equação significa que no estado estacionário, sem geração de energia, unidi-
mensional, o fluxo de calor é constante na direção da transferência (dq′′x/dx = 0).
10.4 Condições iniciais e de contorno
Para resolver os problemas é necessário determinar as condições físicas existentes
nas fronteiras do meio e no instante inicial. Como a equação do calor e de segunda