1ª V.E. Matemática Básica

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UFF - IME - Departamento de Matema´tica Aplicada
Turma B1 - Prof. Leonardo Silvares
Nome:
1a VE de Matema´tica Ba´sica
01/11/16
Questa˜o Valor Nota
1 2,0
2 2,0
3 2,0
4 2,0
5 2,0
Total: 10,0
Atenc¸a˜o: Todas as afirmac¸o˜es feitas na soluc¸a˜o das questo˜es desta prova devem estar devida-
mente justificadas. Soluc¸o˜es sem justificativas na˜o sera˜o consideradas. Argumentos “geome´tricos”
ou “visuais” na˜o sera˜o aceitos, salvo quando forem expressamente solicitados.
1. Considere as proposic¸o˜es p:
2x− 4
x− 3 < 1 e q: x ∈ (1,+∞).
(a) Podemos dizer que p⇒ q?
(b) Podemos dizer que q⇒ p?
(c) Com base nos itens anteriores, pode-se dizer que (1,+∞) e´ o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
2x− 4
x− 3 < 1 ?
2. Responda os itens abaixo.
(a) Dada uma implicac¸a˜o p⇒ q, qual e´ sua contrapositiva?
(b) Diga o que e´ a prova pela contrapositiva de uma implicac¸a˜o p⇒ q.
(c) Prove que, se a2 < a, enta˜o 0 < a < 1.
3. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ dita uniformemente cont´ınua quando, para todo ε > 0, existir δ > 0 tal
que, se |x1−x2| < δ, enta˜o |f(x1)−f(x2)| < ε. Quando uma func¸a˜o na˜o e´ uniformemente cont´ınua?
Escreva a negac¸a˜o da definic¸a˜o acima.
4. Sejam a, b ∈ R, com a < b.
(a) Represente, por meio de um intervalo, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |x − a| < |a − b|. Atenc¸a˜o: As
justificativas da soluc¸a˜o da inequac¸a˜o devem ser feitas com base nas propriedades do mo´dulo.
(b) Explique, geometricamente, por que na˜o e´ verdade que |x− a| < |a− b| ⇒ x ∈ [a, b].
5. Sa˜o dadas cinco premissas sobre um conjunto A. Forme um argumento va´lido, acrescentando
como conclusa˜o (tese) tudo o que voceˆ puder concluir sobre o conjunto A a partir destas premissas.
i. A ⊂ Z ∩ [−5, 5).
ii. A possui pelo menos cinco elementos.
iii. Se x ∈ A, enta˜o −x /∈ A.
iv. Existe x ∈ A tal que x > 0.
v. Se x ∈ A e x > 1, enta˜o x+ 1 ∈ A.