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Sumário
1 Introdução 1
2 Estruturação da Lógica 3
3 Proposições e Conectivos 9
3.1 Operadores Lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Conjunção: “∧”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.2 Disjunção: “∨”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.3 Disjunção Exclusiva: “Y”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.4 Condicional: “→”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.5 Bicondicional: “↔”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.6 Negações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.7 Negação de conectivos “ ∧ ” e “ ∨ ” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.8 Negação de Condicional e Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.9 Outras Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Construção de Tabelas-Verdade 17
4.1 Tautologia, Contradição e Contigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.1 Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.2 Contradição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.3 Contigência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Relações de Implicação e Equivalência 25
5.1 Implicação Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 Propriedades da Implicação Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
5.2.1 Propriedades da Equivalência Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Propriedades dos Conectivos Lógicos 31
6.1 Propriedades da Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Propriedades da Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Propriedades da Conjunção e da Disjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 A Lógica na Teoria de Conjuntos 38
7.1 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Argumentos 44
8.1 Métodos para determinar a validade de um Argumento . . . . . . . . . . . 46
8.1.1 Regras de Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.1.2 Tabela-Verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.1.3 Demonstração Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.4 Demonstração Indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9 Sentenças Abertas e Quantificadores 52
9.1 Sentenças Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.2 Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.1 Quantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.2 Quantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.3 Negação de Proposições Quantificadas . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3 Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3.1 Conjunção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3.2 Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3.3 Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3.4 Álgebra das Sentenças Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10 Aplicações em circuitos 58
10.1 Circuitos com Interruptores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1.1 Circuito em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1.2 Circuito em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Referências Bibliográficas 63
2
Caṕıtulo 1
Introdução
Em nosso cotidiano, a palavra “lógica” é comumente empregada para expressar algo
que para nós, ou para a maioria, não possui sentido em expressões como “Não faz sen-
tido”, “Não tem lógica”, etc. No entanto, atrás do cenário intuitivo existe uma grande
linha de argumentação, simbologia e deduções bastante utilizadas em grandes áreas como
Matemática e Computação, por exemplo.
Este material terá enfoque em uma lógica voltada para a estruturação do racioćınio na
forma mais matemática, com alguns exemplos práticos. O primeiro caṕıtulo é dedicado
ao surgimento e desenvolvimento da lógica. No segundo caṕıtulo, veremos a estruturação
da lógica, bem como algumas representações simbólicas. Nos caṕıtulos 3 a 5, trabalhamos
com os cálculos proposicionais, suas consequências e propriedades. Posteriormente, ve-
remos a lógica e teoria de conjuntos, como funciona a argumentação e, por último, a
aplicação da lógica em circuitos elétricos.
Após o uso deste material, espero que possamos entender a estruturação de um
racioćınio, sendo capaz de analisar a veracidade de uma informação de maneira mais
formal.
Ressaltamos também que, embora a escrita acadêmica tenha como premissa ser cient́ıfica,
baseada em normas e padrões da academia, fugiremos um pouco às regras para nos apro-
ximarmos de vocês e para que os temas abordados cheguem de maneira clara e objetiva,
mas não menos cient́ıficas. Em segundo lugar, deixamos claro que este módulo é uma
compilaçãao das ideias de vários autores, incluindo aqueles que consideramos clássicos,
não se tratando, portanto, de uma redação original e tendo em vista o caráter didático
da obra, não serão expressas opiniões pessoais. Ao final do módulo, além da lista de re-
ferências básicas, encontram-se outras que foram ora utilizadas, ora somente consultadas,
mas que, de todo modo, podem servir para sanar lacunas que por ventura venham a surgir
1
ao longo dos estudos.
2
Caṕıtulo 2
Estruturação da Lógica
1. Lógica Formal
O objeto de estudo da Lógica são as formas do pensamento e do emprego correto de
regras para a investigação da verdade. Há ind́ıcios desses estudos na Índia, embora
tenha-se convencionado que a Lógica tenha nascido em meados do século IV a.C na
Grécia Antiga.
Os primeiros registros desses estudos são desenvolvidos por Parmênides, Zenão, e
pelo grupo conhecido como “sofistas”, sendo Aristóteles o de maior consagração,
haja vista que sistematizou e organizou esse conhecimento, elevando-o à categoria
de ciência. Em sua obra chamada Organum (que, em tradução livre, significa “fer-
ramenta”), Aristóteles estabeleceu prinćıpios tão gerais e tão sólidos que dominou
o pensamento ocidental durante dois mil anos, e até hoje são considerados válidos.
Aristóteles tinha como objetivo a busca da verdade, mas para isso era necessário
caracterizar a veracidade do racioćınio, partindo de conhecimentos considerados
verdadeiros. Nesse sentido, a Lógica teria a função de formular leis gerais de en-
cadeamentos, conceitos e júızos que levariam à descoberta de novas verdades.
Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento, enquanto as
afirmações envolvidas são chamadas proposições. Um argumento é um conjunto
de proposições, tal que se afirme que uma delas é derivada das demais, chamada
conclusão e, as demais, premissas. Em um argumento válido, as premissas são
consideradas provas evidentes da verdade da conclusão.
Considere o exemplo:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Eu ganhei na Loteria.
3
Logo, sou rico.
Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse
argumento é considerado válido.
A validade do argumento está diretamenteligada à forma pela qual ele se apresenta,
veja:
Se eu ganhar na Loteria, serei rico.
Não ganhei na Loteria.
Logo, não sou rico.
Este exemplo é similar ao anterior, no entanto, nessa forma, a conclusão não se segue
logicamente das premissas. Portanto, não é considerado um argumento válido.
2. Dedução e Indução
A Dedução e Indução são duas ferramentas utilizadas pelo racioćınio na busca de
novos resultados. Os argumentos dedutivos possibilitam que as premissas forneçam
uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido
quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua con-
clusão, isto é, quando for imposśıvel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão
falsa; caso contrário, o argumento dedutivo é dito inválido. Os dois argumentos cita-
dos anteriormente são do tipo dedutivo, o primeiro válido e o segundo inválido.
Os argumentos indutivos, por outro lado, não possibilitam que suas premissas se-
jam capazes de oferecer provas concretas da veracidades da conclusão, mas apenas
fornecem indicações dessa veracidade. Veja o exemplo abaixo:
Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou.
Joguei outra pedra no lago e ela também afundou.
Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou.
Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.
Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos; eles
costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas
conclusões sejam estabelecidas.
Normalmente, este tipo de argumento é utilizado quando se observa algo particular
e pretende-se generalizar o contrário do argumento dedutivo, que parte do geral
4
para obtenção de um determinado resultado.
3. Lógica Clássica e Lógica Simbólica
Os argumentos formulados em uma linguagem verbal escrita são de dif́ıcil avaliação.
Em virtude deste fato, a partir dos trabalhos de George Boole, em meados do século
XIX, foram sendo utilizados cada vez mais śımbolos de origem matemática para
expressar os enunciados e racioćınios da Lógica. A Lógica apresentada desta forma
é chamada Lógica Matemática ou Lógica Simbólica, enquanto a Lógica baseada em
linguagem verbal e natural é chamada Lógica Clássica. Sendo a segunda utilizada
para descrever e simplificar a primeira.
Uma outra vantagem da utilização de uma linguagem simbólica para a Lógica é a
computação, que é efiente no tratamento de enunciados e argumentos.
4. Proposições e Predicados
Os argumentos são compostos por proposições, também chamados enunciados ou
sentenças que se referem a um objeto, por exemplo:
“Eu ganhei na Loteria”.
“José atirou uma pedra no lago”.
“Sócrates é um homem”.
Existem outras proposições, no entanto, que fazem referência a conjuntos de objetos,
por exemplo, “Todos os homens são mortais”, “Alguns astronautas foram à Lua”.
Os termos “homens” e “astronautas” são conceitos, pois não fazem referência a
nenhum homem ou astronauta em espećıfico, mas sim ao conjunto de propriedades
que faz com que um objeto esteja em uma categoria ou em outra, estes são os
denominados predicados.
5. Prinćıpios da Lógica:
A Lógica Formal é baseada em três prinćıpios fundamentais que sustentam a vali-
dade dos passos do racioćınio, a saber:
Principio de Identidade:
5
Todo objeto é idêntico a si próprio.
Prinćıpio da Não Contradição:
Um objeto não pode, simultaneamente, ser e não ser. Ou seja, não é posśıvel afirmar
e negar o mesmo predicado para o mesmo objeto ao mesmo tempo. Isto diz que se
tivermos duas afirmações contraditórias, uma é necessariamente falsa.
Prinćıpio do Terceiro Exclúıdo:
Uma dada afirmação é necessariamente verdadeira ou falsa, não existe uma terceira
opção.
Sobre esses prinćıpios repousa todo o arcabouço da Lógica Clássica. A negação de
um ou mais desses prinćıpios dá origem a outras lógicas, chamadas genericamente
de Lógicas Não-Clássicas, cujas principais vertentes são:
as lógicas modais, que incluem os conceitos de possibilidade e de necessidade, e nas
quais o verbo pode ser modificado por um advérbio de modo, como nos enunciados
“talvez chova amanhã” e “certamente João saiu”.
as lógicas plurivalentes, nas quais o conceito de veracidade deixa de ser binário (ver-
dadeiro e falso) para assumir outros valores, como nas lógicas trivalentes, nas quais
as proposições podem ser verdadeiras, falsas e neutras, nas lógicas nebulosas, em
que existem gradações de veracidade e nas quais uma proposição pode ser mais ver-
dadeira que outra, e nas lógicas probabiĺısticas, nas quais existe uma probabilidade
de que uma proposição possa ser verdadeira;
as lógicas fracas, como a intuicionista, que não aceita o Principio do Terceiro Ex-
clúıdo, e, para a qual, a dupla negação não equivale à afirmação, o que pode ser
exemplificado pelo enunciado “não tenho nada”, onde o termo “não”, ao invés de
se contrapor ao termo “nada”, o reforça.
6. Racioćınio Lógico:
Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos desde já nosso
racioćınio, e apelemos ao velho e útil bom senso para resolver os seguintes problemas:
6
1. Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é verdadeira ou falsa?
2. Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”. Con-
siderando que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos garantir que
é verdadeira? Ou que é falsa?
3. Tenho 9 pérolas idênticas, mas sei que uma delas é falsa, e é mais leve que as
outras; como posso identificar a pérola falsa, com apenas duas pesagens em uma
balança de dois pratos?
4. Tenho 12 pérolas idênticas, mas uma delas é falsa e tem peso um pouco diferente
das demais, não sei se mais leve ou mais pesada; como posso identificar a pérola
falsa, e se ela é mais leve ou mais pesada, com apenas três pesagens em uma balança
de dois pratos?
5. Tenho 10 grupos com 10 moedas cada um; todas as moedas pesam 10 gramas
cada uma, exceto as de um grupo, no qual as moedas pesam 9 gramas cada uma;
como posso identificar o grupo de moedas mais leves, com apenas uma pesagem em
uma balança de um prato?
6. Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses: o
deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às vezes
diz a verdade, às vezes, não; e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre
mentirosas. O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca:
“Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus
da mentira”. Afinal, quem é quem?
7. Há muitos anos atrás, vivia em uma pequena cidade um barbeiro, que ganhava
a vida fazendo a barba dos habitantes da região. Um dia, ele ficou muito doente, e,
na iminência de morrer, fez uma promessa ao santo de sua devoção: se ficasse bom,
faria gratuitamente, uma vez por ano, a barba de todos os homens, e unicamente
desses homens, que não fizessem sua própria barba. O barbeiro foi melhorando,
melhorando, até que ficou bom; dispôs-se então a cumprir a promessa: na data
aprazada, passou todo o dia barbeando os homens que não faziam sua própria
barba. À noite, antes de dormir, foi se barbear, e verificou que estava diante de um
impasse: se fizesse sua própria barba, estava barbeando um homem que fazia sua
própria barba, o que quebrava a promessa; por outro lado, se não fizesse, estaria
deixando de fazer a barba de um homem que não fazia sua própria barba, o que
tambem quebrava a promessa. Você tem idéia de como sair desse impasse ?
8. Um rei resolveu dar a um prisioneiro a oportunidade de obter a liberdade. Levou-o
7
até uma sala, com duas portas de sáıda, chamadas A e B, cada uma com um guarda.
Disse: “Uma das portas leva à liberdade, enquanto a outra leva à forca; além disso,
um dos guardas falasempre a verdade, enquanto o outro só fala mentiras. Você
pode fazer uma única pergunta a um dos guardas e escolher uma porta para sair”.
O prisioneiro pensou durante alguns segundos; depois, dirigiu-se a um dos guardas e
disse: “Se eu perguntasse a seu companheiro qual a porta que leva à liberdade, o que
ele me diria ?”. Depois de alguns segundos, o guarda respondeu: “A”. “Obrigado”,
disse o prisioneiro, e passou pela porta B. O prisioneiro obteve a liberdade ou foi
para a forca ? Como saber ?
9. Um outro rei resolveu dar a três prisioneiros uma oportunidade de obter a
liberdade. Mandou vir três chapéus brancos e dois vermelhos, e escolheu um chapéu
para cada prisioneiro; ganharia a liberdade aquele que fosse capaz de dizer a cor de
seu próprio chapéu, observando unicamente a cor dos chapéus de seus companheiros.
O primeiro prisioneiro observou o chapéu dos outros dois prisioneiros, mas não foi
capaz de dizer a cor de seu próprio chapéu e voltou para a prisão; o segundo, à
sua vez, após observar os chapéus dos outros prisioneiros também não soube dizer
que cor tinha seu chapéu, e também voltou para a prisão. O rei, ao perceber que
o terceiro prisioneiro era cego, nem ia se dar ao trabalho de perguntar, mas este
insistiu que deveria ter a mesma oportunidade. Inquirido, declarou corretamente a
cor de seu chapéu. Qual a cor do chapéu do prisioneiro cego, e como ele chegou à
conclusão correta ?
Texto extráıdo de [?]. O artigo: “Sobre a história da lógica, a lógica clássica e o
surgimento das lógicas “não-clássicas”, cujo os autores são: Ítala Maria Loffredo
DÓttaviano e Hércules de Araujo Feitosa. O artigo traz uma abordagem histórica
com motivações e contribuições dos vários estudiosos.
Para finalizar, aqui vai um paradoxo:
Paradoxo do Mentiroso (Paradoxo semântico). Um homem diz: “Eu estou mentindo”.
Se ele estiver mentindo, então o que ele diz é verdade e, portanto, ele não está
mentindo; se ele não estiver mentindo, então o que ele diz é verdade e, portanto, ele
está mentindo. Logo, ele está mentindo é “equivalente” a ele não está mentindo .
8
Caṕıtulo 3
Proposições e Conectivos
Definição 3.1. Chama-se de proposição ou sentença a toda oração declarativa que
pode ser classificada como verdadeira ou falsa.
Observações:
• toda oração possui sujeito e predicado (o que se atribui ao sujeito).
• declarativa significa que a oração não é de caráter exclamativo nem interrogativo e
que tem por finaidade declarar algo por meio de palavras ou śımbolos.
• os termos “verdadeiro” e “falso” são denominados valores lógicos de uma proposição.
A Lógica Matemática é fundamentada em dois prinćıpios (ou axiomas):
Prinćıpio do Terceiro Exclúıdo: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa,
não há terceira possibilidade.
Além disso, toda proposição deve atender ao Prinćıpio da não Contradição que
diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Exemplo 3.1. Considere as proposições abaixo:
1. 7 6= 12 (sete é diferente de doze).
2. 2 < 9 (dois é menor que 9).
3. 18 | 4 (dezoito é divisor de quatro).
4. Todo homem é mortal.
9
Note que de todas as proposições acima, somente a do item 3 não recebe o valor lógico
verdadeiro.
As proposições podem ser classificadas como “simples”, quando estão desacompan-
hadas de quaisquer outra ou “compostas”, quando possuem duas ou mais proposições
conectadas entre si. Para estabelecer esta “conexão”, fazemos o uso das conjunções ou,
para nós, “conectivos lógicos”, cujos mais usuais são: e, ou, se ... então, se e somente se.
Exemplo 3.2. Considere as seguintes proposições a seguir:
1. Ou Ilda é mineira, ou é paulista.
2. Wesley joga bola ou empina pipa.
3. Se fizer sol, então Leo irá ao clube.
4. Um número inteiro positivo, z, é par se, e somente se, z é múltiplo de 2.
A tabela abaixo identifica os conectivos com seus respectivos śımbolos bem como sua
classificação.
Conectivo Śımbolo Classificação
não, não é verdade que ∼ negação
e ∧ conjunção
ou ∨ disjunção
ou exclusivo Y disjunção
se ... então → condicional
se e somente se ↔ bicondicional
Veremos, por meio de tabelas verdade, que esta simbologia irá facilitar muito as
atribuições dos valores lógicos em cada caso. Por hora, vejamos como se aplica esta
simbologia em algumas das proposições utilizadas no exemplo anterior.
A proposição “Ou Ilda é mineira, ou é paulista” é composta. Sendo assim, podemos
separá-la em duas proposições simples p e q da seguinte forma:
p: Ilda é mineira.
q: Ilda é paulista.
10
Neste caso, o conectivo utilizado é o de disjunção: Y.
Em śımbolos, teŕıamos pY q.
Na proposição 2, temos:
p: Wesley joga bola
q: Wesley empina pipa
}
⇔ p ∨ q
Na proposição 3, temos:
p: Fizer sol
q: irei ao clube
}
⇔ p→ q
Na proposição 4, temos:
p: Um número inteiro positivo, z, é par
q: z é múltiplo de 2
}
⇔ p↔ q
Analisemos o valor lógico de proposições compostas, seja ela e “∧”, ou “∨”, condi-
cional “→”, bicondicional “↔”. Daremos primeiramente, um tratamento aos elementos
estruturais das proposições, a saber, os conectivos (e ∧, ou ∨), o modificador (∼) e as
condicionais (→,←,↔). Em seguida, iremos analisar as senteças por meio da construção
de tabelas-verdade.
3.1 Operadores Lógicos
São denominados operadores lógicos o que nos permite articular as proposições.
Grosso modo, seria compará-los como nas operações numéricas em que nos é permitido
realizar cálculos. Assim, os operadores irão permitir realizar os cálculos proposicionais.
3.1.1 Conjunção: “∧”:
p q (p ∧ q)
V V V
V F F
F V F
F F F
Note que em uma proposição composta com a conjunção e “∧” só é verdadeira se ambas
forem e falsa nos demais casos.
11
3.1.2 Disjunção: “∨”:
p q (p ∨ q)
V V V
V F V
F V V
F F F
Neste caso, a disjunção será verdadeira se pelo menos uma for e falsa quando ambas forem
falsas.
3.1.3 Disjunção Exclusiva: “Y”:
Esta disjunção possui caráter excludente, isto é, se uma das proposições for verdadeira
a outra deverá automaticamente ser falsa. Dessa forma, esta disjunção só será verdadeira
se uma proposição for verdadeira e a outra falsa, o que pode ser resumido na tabela-
verdade a seguir:
p q (p Y q)
V V F
V F V
F V V
F F F
3.1.4 Condicional: “→”:
Uma proposição da forma “se ... então” é composta em que o que se encontra antes
do então é tido como antecedente e será representada por p e o que fica depois do então
é tido como consequente, representado por q. Em śımbolos: p → q. Onde pode ser lido
das formas como segue:
• “p somente q”.
• “q, se p”.
• “p é condição suficiente para q”.
12
• “q é condição necessária para p”.
O exemplo abaixo ajuda a esclarecer os termos: “condição suficiente” e “condição
necessária”.
Exemplo 3.3. Na frase: “Se o passarinho canta, então ele está vivo”.
Declaremos as proposições:
p: O passarinho canta
q: ele está vivo
}
⇔ p→ q
Note que:
(i) o fato de o passarinho cantar é suficiente para ele estar vivo, isto é, é suficiente ele
cantar para garantirmos que ele está vivo.
(ii) o passarinho estar vivo é condição necessária para ele cantar, ou seja, é necessário
que o passarinho esteja vivo para que ele possa cantar.
O valor lógico da condicional p → q só será falso se p for verdadeiro e q for falso.
Dessa forma, se sairmos de algo falso, não importa o que se tenha depois, isso é sempre
verdade. Isto ocorre porque quando sáımos de algo falso, qualquer conclusão pode ser
tirada, verdadeira ou falsa, ou seja, se sair de algo falso tudo é válido. A tabela-verdade
sintetiza tais situações:
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F F
Exemplo 3.4. Neste exemplo as proposições não possuem nenhuma relação entre si.
Se o sol é azul, então 22 = 4.
Declaremos as sentenças:
p: O sol é azul
q: 22 =4
Assim, pelo que vimos, p → q é verdadeira, pois o fato do sol ser azul, nada influencia
no fato de 22 = 4.
13
Em Matemática, muitos resultados importantes são enunciados da forma “se ..., então
...” ou ainda: “se p, então q”, em que p é antecedente ou hipótese e o consequente q é a
tese. Neste caso, a hipótese p é suficiente para que a tese q ocorra. No entanto, o mesmo
não ocorre na condicional p → q, já que estamos interessados somente em seus valores
lógicos e p pode não ter relação alguma com q (como mostrado no exemplo 3.4). Dessa
forma, usamos o śımbolo de implicação:“⇒”, isto é, p ⇒ q (lê-se: p implica q) para o
primeiro caso e, “p condicional p”(p→ q) para o segundo caso.
O que queremos dizer é que na lógica, estamos sempre trabalhando com os operadores
lógicos (śımbolos) a fim de obter os valores lógicos das proposições, sem, no entanto,
importar se estas trazem ou não algum sentido concreto ou significativo.
A partir da condicional, definimos duas outras proposições:
(i) q → p denominada rećıproca.
(ii) ∼ q →∼ p denominada contrapositiva.
Exemplo 3.5. Considere a proposição: “Se 12 é par, então 12 é diviśıvel por 2”.
A rećıproca desta é: “Se 12 é diviśıvel por 2, então 12 é par”.
A contrapositiva da mesma é: “Se 12 não é diviśıvel por 2, então 12 não é par”.
3.1.5 Bicondicional: “↔”:
Dadas as proposições p e q, a proposição p ↔ q será verdadeira sempre que ambas
possúırem o mesmo valor lógico, e falsa nos demais casos. Proposições deste tipo podem
ser lidas das seguintes formas:
• p é condição necessária e suficiente para q, ou
• q é condição necessária e suficiente para p.
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
14
3.1.6 Negações
Veremos a seguir a negação das proposições. Como foi visto o śımbolo usado para
negar é o ∼. Dessa maneira, consideremos uma proposição p, para que ∼ p também
seja uma proposição é preciso que sejamos capazes de atribuir algum valor lógico para a
mesma, isto é: verdadeiro ou falso. Portanto, o valor lógico de ∼ p é o valor oposto de p.
Isto é:
p ∼ p
V F
F V
Exemplo 3.6. Considere os exemplos:
1. p : 5 = 2. Negação: ∼ p : 5 6= 2.
2. s : 9 > 2. Negação: ∼ s : 9 ≤ 2.
3. q: Rui Barbosa era baiano. Negação: ∼ q: Rui Barbosa não era baiano.
3.1.7 Negação de conectivos “ ∧ ” e “ ∨ ”
A negação de uma proposição composta por p e q será da seguinte forma:
∼ (p ∧ q)⇔ (∼ p ∨ ∼ q)
A negação de uma proposição composta por p ou q será:
∼ (p ∨ q)↔ (∼ p ∧ ∼ q)
Vimos a negação de (p ∧ q) e (p ∨ q), tais propriedades também são conhecidas como
Regras de De Morgan que será demonstrada nos Exemplos 4.1 e 4.2 da pág 20.
Estas regras nos dizem que:
(i) Negar duas proprosições que são verdadeiras ao mesmo tempo equivale dizer que
pelo menos uma delas é falsa.
(ii) Negar que pelo menos uma das duas proposições é verdadeira equivale dizer que
ambas são falsas.
15
3.1.8 Negação de Condicional e Bicondicional
A negação de uma condicional p→ q é:
∼ (p→ q)⇔ (p∧ ∼ q)
3.1.9 Outras Notações
É frequente o uso de outros śımbolos lógicos, tais como:
¬ Negação
• Conjunção
⊃ Condicional
16
Caṕıtulo 4
Construção de Tabelas-Verdade
A fim de facilitar a análise das proposições, faremos uso do dispositivo tabela-verdade.
Observemos que, para cada proposição simples p, há duas possibilidades, isto é, verdadeiro
(V) ou falso (F) mutuamente excludentes. Dessa forma, se tivermos n proposições simples
p1, p2, . . . , pn, como para cada proposição há 2 possibilidades, teremos: 2
n linhas na
tabela-verdade.
Vejamos, passo a passo, por meio de tabela-verdade, que p ↔ q e (p → q) ∧ (q → p)
são idênticas.
1. Nossa tabela-verdade será composta por 22 linhas, da seguinte forma:
p q
2. As colunas posteriores serão preenchidas de acordo com os conectivos, condicionais
e bicondicionais. Dessa forma, analisemos p↔ q. Isto é:
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
17
3. O próximo passo será analisar o que vem depois da equivalência. Afinal, queremos
comparar as tabelas-verdade. Então vejamos:
p q p→ q q → p p→ q ∧ q → p
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
4. Agora comparemos a úlima coluna da tabela do item anterior com a última coluna
deste item. Isto é:
p↔ q (p→ q) ∧ (q → p)
V V
F F
F F
V V
Observe que os valores lógicos de ambas são idênticos. Dessa forma, conseguimos
mostrar a equivalência enunciada.
De forma mais compacta, temos:
p q p↔ q p→ q q → p (p→ q) ∧ (q → p)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Dessa foma, a 3a e última coluna são idênticas.
Exemplo 4.1. Vimos que a negação de p∧ q é (∼ p∨ ∼ q). Iremos agora demonstrá-la
por meio da tabela-verdade como segue abaixo.
1. Como se trata de duas proposições, novamente nossa tabela terá 22 = 4 linhas.
2. Façamos a coluna de p ∧ q.
18
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
3. Para construirmos a coluna de (∼ p∨ ∼ q) precisamos primeiro das colunas de ∼ p
e ∼ q. Assim,
p q ∼ p ∼ q ∼ p ∨ ∼ q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
4. A tabela compacta é:
p q (p ∧ q) ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q (∼ p ∨ ∼ q)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Observemos que a 4a coluna é equivalente à última.
De agora em diante, usaremos somente a tabela-verdade na forma com-
pacta.
Exemplo 4.2. Verifiquemos por meio da tabela-verdade que a negação de (p ∨ q) é:
(∼ p ∧ ∼ q).
p q (p ∨ q) ∼ (p ∨ q) ∼ p ∼ q (∼ p ∧ ∼ q)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
De fato, observe que a 3a coluna é equivalente à última.
19
Exemplo 4.3. Verifiquemos a afirmação pela tabela-verdade como segue:
p q p→ q ∼ (p→ q) p ∼ q (p ∧ ∼ q)
V V V F V F F
V F F V V V V
F V V F F F F
F F V F F F F
Analogamente, verifiquemos que
∼ (p↔ q)⇔ (p∧ ∼ q) ∨ (q∧ ∼ p)
De fato,
p q p↔ q ∼ (p↔ q) p ∼ q (p ∧ ∼ q) q ∼ p (q ∧ ∼ p) (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)
V V V F V F F V F F F
V F F V V V V F F F V
F V F V F F F V V V V
F F V F F V F F V F F
4.1 Tautologia, Contradição e Contigência
4.1.1 Tautologia
Definição 4.1. Dizemos que uma proposição é tautologia ou logicamente verdadeira
se ela é composta, haja emprego de conectivos (∨ ou ∧), modificador (∼) ou de condi-
cionais (→ ou ↔) no qual a mesma admite sempre valor lógico V, independente dos
valores lógicos das proposições que a compõe.
Exemplo 4.4. Mostremos que ∼ (p ∧ q)↔ (∼ p∨ ∼ q) é uma tautologia.
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∼ q ∼ p∨ ∼ q ∼ (p ∧ q)↔∼ p∨ ∼ q
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
20
4.1.2 Contradição
Definição 4.2. Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, . . .,
será uma contradição ou logicamente falsa se ela sempre for falsa independente dos
valores lógicos das proposições p, q, r, . . . que a compõem.
Exemplo 4.5. Mostremos que (p∨ ∼ q)↔ (∼ p∧ q) é uma proposição logicamente falsa.
De fato,
p q ∼ p ∼ q p∨ ∼ q ∼ p ∧ q p∨ ∼ q ↔∼ p ∧ q
V V F F V F F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V V F F
4.1.3 Contigência
Definição 4.3. Uma proposição composta é dita contigência se não se encaixa em um
dos casos anteriores, isto é, sempre que não for tautologia ou contradição.
Exemplo 4.6. A proposição p↔ (p ∧ q)
p q (p ∧ q) p→ (p ∧ q)
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
21
4.2 Exerćıcios
1. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:
p : Leo é inteligente.
q : Leo é extrovertido.
a) Leo é inteligente e extrovertido.
b) Leo é inteligente, mas não é extrovertido.
c) Não é verdade que Leo não é inteligente ou extrovertido.
d) Leo não é nem inteligente nem extrovertido.
e) Leo é inteligente ou não é extrovertido.
f) É falso que Leo é inteligente ou que não é extrovertido.
2. Construa as tabelas-verdade das seguintes proposições:
a) ∼ p ∧ r → q∨ ∼ r
b) p→ r ↔ q∨ ∼ r
c) p→ (p→∼ r)↔ (q ∨ r)
d) (p ∧ q → r) ∨ (∼ p↔ q∨ ∼ r)
3. Exprimaa bicondicional p↔ q em função dos três conectivos ∧, ∨ e ∼.
4.3 Respostas
1. a) p ∧ q.
b) p∧ ∼ q.
c) ∼ (∼ p ∨ q).
d) ∼ p∧ ∼ q.
e) p ∨ (∼ p ∧ q).
f) ∼ (∼ p∨ ∼ q).
22
2. a)
p q r ∼ p (∼ p ∧ r) ∼ r (q∨ ∼ r) (∼ p ∧ r)→ (q∨ ∼ r)
V V V F F F V V
V V F F F V V V
V F V F F F F F
V F F F F V V V
F V V V V F V V
F V F V F V V V
F F V V V F F F
F F F V F V V V
b)
p q r p→ r ∼ r (q∨ ∼ r) (p→ r)↔ (q∨ ∼ r)
V V V V F V V
V V F F V V F
V F V V F F F
V F F F V V F
F V V V F V V
F V F V V V V
F F V V F F F
F F F V V V V
c)
p q r ∼ r p→∼ r p→ (p→∼ r) (q∨ ∼ r) p→ (p→∼ r)↔ (q∨ ∼ r)
V V V F F F V F
V V F V V V V V
V F V F F F V F
V F F V V V F F
F V V F V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F V V V F F
23
d)
p q r p ∧ q p ∧ q → r ∼ p ∼ r q∨ ∼ r ∼ p↔ q∨ ∼ r
V V V V V F F V F
V V F V F F V V F
V F V V V F F F V
V F F F V F V V F
F V V F V V F V V
F V F F V V V V V
F F V F V V F F F
F F F F V V V V V
3.
p↔ q ⇔ (p→ q) ∧ (p→ q)
⇔ (∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p)
24
Caṕıtulo 5
Relações de Implicação e
Equivalência
Como foi dito anteriormente, as relações de implicação e equivalência diferem das
condicionais no contexto da lógica, embora no contexto matemático veremos que os condi-
cionais serão utilizados para a identificação das relações de implicação e equivalência.
Dessa forma, vale ressaltar novamente que “→” e “⇒” são diferentes, assim como “↔” e
“⇔” também o são.
As condicionais indicam uma operação lógica e as relações de implicação e equivalência
estabelecem quando P ↔ Q é tautológica.
5.1 Implicação Lógica
Dadas duas proposições p e q, dizemos que “p implica q”(p ⇒ q) quando na tabela
p e q não ocorre V—F em nenhuma linha, isto é, quando não temos simultaneamente p
verdadeira e q falsa.
Assim, p⇒ q quando o condicional p→ q for tautológico.
Observe que todo teorema é uma implicação da forma:
“hipótese ⇒ tese”
E, portanto, demonstrá-lo significa que nunca ocorre da hipótese ser verdadeira e a tese
falsa.
5.1.1 Propriedades da Implicação Lógica
(i) Reflexiva: Sejam p1, p2, . . . , pn proposições simples. Vale a Reflexividade, isto é:
25
(p1, p2, . . . , pn)⇒ (p1, p2, . . . , pn).
(ii) Transitiva: Se (p1, p2, . . . , pn)⇒ (q1, q2, . . . , qn) e (q1, q2, . . . , qn)⇒ (r1, r2, . . . , rn),
então vale a transitividade, ou seja, (p1, p2, . . . , pn)⇒ (r1, r2, . . . , rn).
Exemplo 5.1. Consideremos as sentenças p∧ q, p∨ q e p↔ q cujas tabelas-verdade são:
p q p ∧ q p ∨ q p→ q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
As três proposições, p ∧ q, p ∨ q e p↔ q são verdadeiras na primeira linha da tabela.
Assim, temos:
p ∧ q ⇒ p ∨ q e p ∧ q ⇒ p↔ q.
Pelas mesmas tabelas-verdade extráımos as Regras de Inferência, a saber:
(i) p⇒ p ∨ q e q ⇒ p ∨ q. (Adição)
(ii) p ∧ q ⇒ p e p ∧ q ⇒ q. (Simplificação)
Exemplo 5.2. Observemos a 1a e 4a linha das tabelas-verdade das proposições a seguir:
p↔ q, p→ q, q → p
p q p→ q q → p p↔ q
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Note que, nestas linhas, a proposição “p ↔ q” é verdadeira e “p → q” e “q → p”
também são. Dessa forma,
p↔ q ⇒ p→ q e p↔ q ⇒ q → p.
26
5.2 Equivalência
Dadas duas proposições p e q, dizemos que “p é equivalente a q”(p ⇔ q) quando p e
q possuem tabelas-verdade iguais, ou seja, quando possuem mesmo valor lógico. Dessa
forma, p⇔ q é de equivalência, quando o condicional p↔ q é verdadeiro ou tautológico.
Então, todo teorema cujo rećıproco é verdadeiro é uma equivalência de tal maneira a
expressar “hipótese ⇔ tese”.
Exemplo 5.3.
(p→ q)⇔ (∼ q →∼ p)
Basta verificarmos que (p→ q)↔ (∼ q →∼ p) é uma tautologia. De fato,
p q p→ q ∼ q ∼ p (∼ q →∼ p) (p→ q)↔ (∼ q →∼ p)
V V V F F V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F F V V V V V
5.2.1 Propriedades da Equivalência Lógica
(i) Reflexiva: P (p1, p2, . . . pn)⇔ P (p1, p2, . . . , pn).
(ii) Simétrica: P (p1, p2, . . . pn)⇔ Q(q1, q2, . . . , qn).
(iii) Transitiva: Se P (p1, p2, . . . pn)⇔ Q(q1, q2, . . . , qn) e Q(q1, q2, . . . qn)⇔ R(r1, r2, . . . , rn),
então P (p1, p2, . . . pn)⇔ R(r1, r2, . . . rn).
Exemplo 5.4. A Regra da Dupla Negação “∼∼ p” como pode ser vista na tabela-verdade:
p ∼ p ∼∼ p
V F V
F V F
Observe que a dupla negação equivale à afirmação.
Lei da Comutatividade
(i) p ∧ q ⇔ q ∧ p
(ii) p ∨ q ⇔ q ∨ p
27
Exemplo 5.5. “Fui ao parque e ao cinema” é equivalente a “Fui ao cinema e ao parque”.
Lei da Associatividade
(i) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
(ii) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
Lei da Distributividade
(i) p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(ii) p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Lei da Condicional
p→ q ⇔∼ p ∨ q
Exemplo 5.6. “Se continuar chovendo, o rio vai transbordar” equivale a “Ou para de
chover ou o rio vai transbordar”.
Lei da Bicondicional
(i) p↔ q ⇔ (p→ q) ∧ (q → p)
(ii) (p ∧ q) ∨ (∼ ∧ ∼ q)
Exemplo 5.7. “Um número é diviśıvel por 10 se e somente se terminar por zero” equivale
a “Se um número terminar por zero, então é múltiplo de 10 e, se for múltiplo de 10, então
termina em zero”; também equivale a “Ou o número é múltiplo de 10 e termina em zero,
ou não é múltiplo de 10 e não termina em zero”.
Lei da Contraposição
p→ q ⇔∼ q →∼ p
Exemplo 5.8. “Se João estudar, será aprovado” equivale a “Se João não estudar, não
será aprovado”.
Lei da Absorção
p→ p ∧ q ⇔ p→ q
28
Exemplo 5.9. (Lei de Clavius) A proposição “∼ p→ p” e “p” são equivalentes. Veja
a tabela-verdade:
p ∼ p ∼ p→ p ∼ p→ p↔ p
V F V V
F V F V
Lei da Refutação por Absurdo
(p→ q) ∧ (p→∼ q)⇔∼ p
Lei do Dilema
(p→ q) ∧ (∼ p→ q)⇔ q
Exemplo 5.10. “Se eu for aprovado, vou viajar, e, se não for, também vou” equivale a
“Vou viajar”.
Lei da Demonstração Por Absurdo
Seja F uma contradição, e seja a proposição p⇒ q, então:
p∧ ∼ q → F ⇔ p→ q
Lei de Exportação - Importação
p→ (q → r)⇔ p ∧ q → r
Exemplo 5.11. Considere as condicionais p → p ∧ q e p → q. Observe que possuem
tabelas-verdade idênticas, ou seja, é tautológica. De fato,
p q (p ∧ q) p→ (p ∧ q) p→ q p→ (p ∧ q)↔ p→ q
V V V V V V
V F F F F V
F V F V V V
F F F V V V
29
5.3 Exerćıcios
1. Demonstre que o conectivo “Y”(ou exclusivo) exprime-se em função dos conectivos
∼, ∧ e ∨ da seguinte forma:
p Y q ⇔ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
2. Utilize as tabelas-verdade para demonstrar que
(p→ q) ∨ (p→ r)⇔ p→ q ∨ r
5.4 Respostas
1.
p q p Y q (p ∨ q) (p ∧ q) ∼ (p ∧ q) (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q) (p Y q)↔ (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
V V F V V F F V
V F V V F V V V
F V V V F V V V
F F F F F V F V
2.
p q r (p→ q) (p→ r) (p→ q) ∨ (p→ r) q ∨ r p→ q ∨ r
V V V V V V V V
V V F V F V V V
V F V F V V V V
V F F F F F F F
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Basta observar que a 6a e a última coluna são idênticas.
30
Caṕıtulo 6
Propriedades dos Conectivos Lógicos
6.1 Propriedades da Conjunção
Veremos que, assim como nos cálculos numéricos, as propriedades são muito úteis nos
cálculos proposicionais, pois agilizam o processo.
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e v, f também proposições simples cujo
valor lógico é V e F respectivamente.
1. Idempotente: p ∧ p⇔ p. De fato, observemos a tabela verdade
p p ∧ p p→ p ∧ p
V V V
F F V
Exemplo 6.1. Considere a proposição:
p: x > 2. Note que: x > 2 ∧ x > 2⇔ x > 2. Isto é p ∧ p⇔ p.
2. Comutatividade: p ∧ q ⇔ q ∧ p.
Vejamos pela tabela-verdade que a bicondicional p ∧ q ↔ q ∧ p é tautológica.
p q p ∧ q q ∧ p p ∧ q ↔ q ∧ p
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V
31
Exemplo 6.2. Consideremos
p: a 6= 2 e q:a < 1 então vale a comutatividade.
3. Associatividade: (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r). Com efeito, as colunas (p ∧ q) ∧ r
e p ∧ (q ∧ r) da tabela-verdade são equivalentes. Note que, neste caso, teremos 23
colunas.
p q r (p ∧ q) (p ∧ q) ∧ r (q ∧ r) p ∧ (q ∧ r) (p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F F F F V
V F F F F F F V
F V V F F V F V
F V F F F F F V
F F V F F F F V
F F F F F F F V
Portanto, a tabela-verdadenos mostra que a bicondicional (p∧ q)∧ r ↔ p∧ (q ∧ r)
é tautológica.
Exemplo 6.3. • (a ≥ b ∧ b 6= c) ∧ c < d⇔ a ≥ b(b 6= c ∧ c < d)
4. Identidade: (p ∧ v) ⇔ p e (p ∧ f) ⇔ c. De fato, as condicionais (p ∧ v) ↔ p e
(p ∧ f)↔ são tautológicas. Veja:
p v f (p ∧ v) (p ∧ f) (p ∧ v)↔ p (p ∧ f)↔ f
V V F V F V V
F V F F F V V
Neste caso, dizemos que v e f são, respectivamente, elemento neutro e elemento
absorvente da conjunção.
Exemplo 6.4. y 6= 1 ∧ y2 > 0⇔ y 6= 1 (neste caso, v : y2 > 0 é sempre verdadeiro
para qualquer que seja y visto que qualquer número elevado ao quadrado é sempre
positivo). Além disso, v : y2 > 0 é o elemento neutro.
32
y 6= 1 ∧ y2 < 0 ⇔ y2 < 0 (neste caso, y2 < 0 é sempre falso e y2 < 0 será o
elemento absorvente).
6.2 Propriedades da Disjunção
Consideremos novamente p, q e r proposições simples quaisquer e v, f também proposições
simples cujo valor logico é V e F respectivamente.
1. Idempotente: p ∨ p ⇔ p. Basta observar que na tabela-verdade a bicondicional
p ∨ p↔ p é tautológica.
p p ∨ p p ∨ p↔ p
V V V
F F V
Exemplo 6.5. x < 2 ∨ x < 2⇔ x < 2.
2. Comutativa: p ∨ q ⇔ q ∨ p Verifiquemos que a bicondicional p ∨ q ↔ q ∨ p
p q (p ∨ q) (q ∨ p) (p ∨ q)↔ (q ∨ p)
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F F V
Exemplo 6.6. Note que a < b ∨ c < d⇔ c < d ∨ a < b.
3. Associatividade: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r). Observemos pela tabela-verdade que
(p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r) é tautológica.
33
p q r (p ∨ q) (p ∨ q) ∨ r (q ∨ r) p ∨ (q ∨ r) (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ (q ∨ r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F V V F V V
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F F F F F V
4. Identidade: p∨ t⇔ v e p∨ f ⇔ p. De fato, pela tabela-verdade a seguir, veremos
que p ∨ t↔ v e p ∨ f ↔ p são tautológicas.
p v f (p ∨ v) (p ∨ f) (p ∨ v)↔ v (p ∨ f)↔ p
V V F V V V V
F V F V F V V
6.3 Propriedades da Conjunção e da Disjunção
Consideremos p, q e r proposições simples quaisquer.
1. Distributiva: Verifiquemos tal propriedade pelas tabelas-verdade abaixo:
(i) Distributividade da conjunção em relação à disjunção:
p ∧ (q ∨ r)⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
34
p q r (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) (p ∧ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∧ (q ∨ r)↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V V V V V V V V V
V V F V V V F V V
V F V V V F V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V
Exemplo 6.7. Considere a oração:
“Kelly dança e Nı́vea passeia ou escuta música”.
Declaremos as sentenças:
p: Kelly dança.
q: Nı́vea passeia.
r: Nı́vea escuta música.
Assim, como vale a Distributividade da conjunção em relação à disjunção,
podemos de maneira equivalente dizer:
“Kelly dança e Nı́vea passeia.” ou “Kelly dança e Nı́vea escuta música”.
(ii) Distributividade da disjunção em relação à conjunção
p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p q r (q ∧ r) p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) (p ∨ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∨ (q ∧ r)↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V V V V V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F V V V V V
V F F F V V V V V
F V V V V V V V V
F V F F F V F F V
F F V F F F V F V
F F F F F F F F V
35
Exemplo 6.8. Considere a proposição:
“Faz sol ou chove e esfria”.
Declaremos as senteças:
p: Faz sol.
q: Chove.
r: Esfria.
Usando a propriedade Distributiva da disjunção em relação à conjunção, segue:
“Faz sol ou chove.” e “Faz sol ou esfria.”
2. Absorção:
(i) p ∧ (p ∨ q)⇔ p.
De fato, as tabelas-verdade das proposições p ∧ (p ∨ q) e p são tautológicas.
p q (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q)↔ p
V V V V V
V F V V V
F V V F V
F F F F V
(ii) p ∨ (p ∧ q)⇔ p.
Verifiquemos pelas tabelas-verdade que a bicondicional p ∨ (p ∧ q)↔ p é tau-
tológica. De fato,
p q (p ∧ q) p ∨ (p ∧ q) p ∨ (p ∧ q)↔ p
V V V V V
V F F V V
F V F F V
F F F F V
Tabela de Propriedades:
36
Dupla Negação ∼ (∼ p) p
Idempotente p ∧ p p
Comutatividade p ∧ q q ∧ p
p ∨ q q ∨ p
Associatividade (p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r p ∨ (q ∨ r)
Elemento Neutro p ∧ V p
Distributividade p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Absorção p ∨ (p ∧ q) p
Negação da Condicional ∼ (p→ q) p ∧ ∼ q
Negação da Bicondicional ∼ (p↔ q) (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)
Leis de De Morgan ∼ (p ∧ q) ∼ p ∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ∼ p ∧ ∼ q
Elemento Absorvente p ∧ F F
p ∨ V V
37
Caṕıtulo 7
A Lógica na Teoria de Conjuntos
Neste caṕıtulo veremos a utilização da Lógica Matemática dentro da Teoria de Con-
juntos. Para tanto, é necessário relembrar alguns śımbolos.
Usamos o śımbolo ∈ para indicar pertinência de um elemento a um conjunto, isto é,
a ∈ A para indicar que o elemento a é um elemento do conjunto A. Sua negação seria 6∈
e, neste caso, indicaria que um elemento a não pertence ao conjunto A.
Se todo elemento de um conjunto A é também elemento de um outro conjunto B,
distinto do primeiro, então usamos o śımbolo “⊂” para dizer que A ⊂ B, neste caso, A é
dito subconjunto de B. Em śımbolos, seria:
A ⊂ B⇔ ∀ x ∈ A⇒ x ∈ B
Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.
Veremos que a conjunção e disjunção são operações lógicas a serem usadas na definição
de união e interseção entre dois conjuntos A e B, onde estes sejam subconjuntos de um
determinado conjunto universo U . Isto é: sejam A e B subconjuntos de um determinado
conjunto universo U, então:
1. A união de A e B denotado por A∪B é o conjunto A∪B = {x ∈ U/x ∈ A∨ x ∈ B}.
Sejam A,B e D subconjuntos de U.
Propriedades:
38
(i) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ D. (Associatividade)
(ii) A ∪ B = B ∪ A. (Comutatividade)
(iii) Se A ⊂ B, então A ∪ B = B.
(iv) A ∪ ∅ = A.
2. A interseção de A ∩ B denotado por A ∩ B é o conjunto A ∩ B = {x ∈ U/ x ∈
A ∧ x ∈ B}.
Propriedades:
(i) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ D. (Associatividade)
(ii) A ∩ B = B ∩ A. (Comutatividade)
(iii) Se A ⊂ B, então A ∩ B = A.
(iv) A ∩ ∅ = ∅.
Propriedades envolvendo União e Interseção
(i) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C) (Distributividade da união em relação à interseção).
(ii) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) (Distributividade da interseção em relação à união).
A diferença entre dois conjuntos A e B, denotada por A− B é o conjunto
A− B = {x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Quando A ⊂ B, A− B é dito complementar de A em relação à B e indicamos por A{.
Propriedades do Complementar
(i) (A{){ = A
(ii) (A ∪ B){ = A{ ∩ B{
(iii) (A ∩ B){ = A{ ∪ B{
(iv) A ∪ A{ = U
(v) A ∩ A{ = ∅
(vi) ∅{ = U
(vii) U{ = ∅
Podemos estabelecer um paralelo entre os operadores lógicos e a simbologia utilizada
para conjuntos da seguinte forma:
39
Conjunção ∧ Interseção ∩
Disjunção ∨ União ∪
Condicional → Relação de Inclusão ⊂
Bicondicional ↔ Relação de Igualdade =
Negação ∼ Complementar {
Contradição F Conjunto Vazioo ∅
Tautologia V Conjunto Universo U
Exemplo 7.1. Mostremos por exemplo que ∅ ⊂ A, onde os mesmos são subconjuntos
do conjunto universo A. Isto é, precisamos mostrar que qualquer que seja o elemento do
conjunto ∅, este também pertence ao conjunto A. Em śımbolos, ∀x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A.
Seja p : x ∈ ∅ e q : x ∈ A, como p é falsa, então a condicional p→ q é verdadeira.
Exemplo 7.2. Mostrar que
x ∈ A⇒ x ∈ A ∪ B
Queremos mostrar que x ∈ A ∪ B, isto é: x ∈ A ∨ x ∈ B. Declaremos as sentenças
como segue:
p : x ∈ A e q : x ∈ B
Pela Regra de Inferência-Adição, vista no caṕıtulo 3, p → p ∨ q segue diretamente a
implicação x ∈ A⇒ x ∈ A ∪ B.
Exemplo 7.3. Mostremos que
x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Declaremos as sentenças
p : x ∈ A
q : x ∈ B
r : x ∈ C
Dessa forma, precisamos mostrar: p ∧ (q ∨ r)↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) que é a propriedade
de distributividade da conjunção em relação a disjunção. Logo, não há nada a fazer.
7.1 Diagramas de Venn
As proposições categóricas (faz referência a duas classes) podem ser representadas
graficamente, através de um esquema conhecido por Diagramas de Venn, utilizado pela
40
primeira vez pelo matemático inglês John Venn, que viveu no século XIX.
Nos diagramas de Venn, cada classe é representada por um ćırculo, que é rotuladocom
o nome da classe. O sombreamento no interior do ćırculo indicará o que está em análise
e inclúımos um x no ćırculo para indicar que há pelo menos um elemento que cumpre
alguma condição.
Vamos observar agora algumas situações utilizando o diagrama de Venn para inter-
pretar. Consideremos duas classes distintas, A e B.
41
Figura 7.1: Todo A é B.
Figura 7.2: Nenhum A é B.
Figura 7.3: Algum A é B.
Figura 7.4: Algum A não é B.
42
Exemplo 7.4. Considere as seguintes sentenças:
Todos os cães são ferozes.
Alguns gatos são ferozes.
Logo, alguns gatos são cães.
Abaixo segue a representação em diagrama de Venn, onde:
C representa cães, F representa feroz e G representa gatos.
Note que a área colorida representa a primeira premissa: “Todos os cães são ferozes”.
O x indica que alguns gatos são ferozes, por isso se encontra na interseção entre feroz e
gato. No entanto, será que podeŕıamos colocar o x também internamente a C? Claro que
não, pois dessa forma estaŕıamos dizendo que alguns gatos são ferozes e cães. Obviamente,
se são gatos não podem ser cães, por isso o x deve ficar situado no local indicado pela
figura, o que mostra portanto, que a conclusão “alguns gatos são cães” é inválida.
43
Caṕıtulo 8
Argumentos
Neste caṕıtulo estaremos interessados em observar a validade de argumentos do ponto
de vista lógico. Isto é, queremos um encadeamento de racioćınios e dizer sobre a veracidade
ou não dos mesmos.
Exemplo 8.1. Observemos as afirmações:
“Se tiver tempo, tocarei algumas músicas hoje”.
“Não toquei nenhuma música hoje”.
Observando estes argumentos, podemos concluir que “Não tive tempo”.
Exemplo 8.2. Considere as afirmações:
“Se fosse musicista, então seria artista”.
“Não sou musicista”.
Note que a conclusão: “Não sou artista” não é verdadeira.
No exemplo acima, vimos ser errado concluir que “Não sou artista”. Isto se deve ao
fato de que partimos de algo normalmente verdadeiro para que possamos concluir algo
significativo. Mas nada impede de sairmos de sentenças falsas, no entanto, isso pode nos
levar a conclusões não necessariamente verdadeiras. Partindo desse ponto de vista, a
lógica irá nos fornecer conclusões partindo de coisas verdadeiras.
44
Definição 8.1. Sejam P1, P2, . . . , Pn e Q proposições quaisquer. Chamamos de argu-
mento a toda afirmação cujas proposições P1, P2, . . . , Pn acarretam na proposição final
Q.
As proposições P1, P2, . . . , Pn são denominadas premissas e Q, conclusão.
Usamos a Notação P1, P2, . . . , Pn ` Q para dizer que:
• P1, P2, . . . , Pn acarretam Q.
• Q se deduz ou decorre de P1, P2, . . . , Pn.
Definição 8.2. Todo argumento que possui duas premissas é dito silogismo.
Exemplo 8.3. Abaixo seguem alguns exemplos clássicos de silogismo válidos:
1. Todos os homens são mortais.
Sócrates é homem.
Logo, Sócrates é mortal.
2. Todos os artistas são vaidosos.
Alguns artistas são pobres.
Logo, todos os pobres são vaidosos.
3. Alguns poĺıticos são honestos.
Nenhum estudante é poĺıtico.
Logo, nenhum estudante é honesto.
4. Todos os gregos são humanos.
Todos os atenienses são gregos.
Logo, todos os atenienses são humanos.
5. Todos os coelhos são velozes.
Alguns cavalos não são velozes.
Logo, alguns cavalos não são coelhos.
Exemplo 8.4. Este exemplo mostra um silogismo não válido:
45
Cada homem é um ser vivo.
Algum b́ıpede é um ser vivo.
Nenhum homem é um ser vivo.
Definição 8.3. Um argumento P1, P2, . . . , Pn ` Q é válido quando Q for verdadeira
sempre que todas suas premissas também assim o for.
Definição 8.4. Ao argumento não válido denominamos sofisma.
Teorema 8.1. Um argumento P1, P2, . . . , Pn ` Q é válido se, e somente se, P1 ∧ P2 ∧
. . . ∧ Pn → Q é tautologia.
Observações As premissas P1, P2, . . . , Pn são verdadeiras se, e somente se, a proposição
P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn assim o for.
No Exemplo 8.2, temos: P1 : Se fosse musicista, então seria artista, P2: Não sou
musicista e Q : Não sou artista. Em śımbolos, temos: P1, P2 ` Q. No entanto, observe
que podemos ter Q falsa e P1 ∧ P2 verdadeira. De fato, Matheus Nachtergaele, por
exemplo, é artista, mas não é cantor.
8.1 Métodos para determinar a validade de um Ar-
gumento
Alguns argumentos são bastante recorrentes, aos quais denominamos fundamentais ou
básicos. São eles:
1. Adição (AD):
(i) p ` p ∨ q
(ii) p ` q ∨ p
“Vou ao cinema, logo vou ao cinema ou ao teatro”.
2. Simplificação (SIMP):
(i) p ∧ q ` p
(ii) p ∧ q ` q
46
“Fui ao cinema e ao teatro; logo fui ao cinema”.
3. Conjunção (CONJ):
(i) p, q ` p ∧ q
(ii) p, q ` q ∧ p
4. Absorção (ABS):
p→ q ` p→ (p ∧ q)
“Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro”.
5. Modus Ponens (MP):
p→ q, p ` q
“Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria; logo, fiquei rico”.
6. Modus Tollens (MT):
p→ q, ∼ q `∼ p
“Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico; logo, não ganhei na Loteria”.
7. Silogismo Disjuntivo (SD):
(i) p ∨ q, ∼ p ` q
(ii) p ∨ q, ∼ q ` p
“Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo, estudo”.
8. Silogismo Hipotético (SH):
p→ q, q → r ` p→ r
9. Dilema Construtivo (DC):
p→ q, t→ s, p ∨ r ` q ∨ s
“Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou vou à festa ou fico vendo
televisão; logo, ou fico cansado ou durmo”.
10. Dilema Destrutivo (DD):
p→ q, r → s, ∼ q∨ ∼ s `∼ p∨ ∼ r
“Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou não fico cansado ou não
vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão”.
47
Estes argumentos básicos listados anteriormente são usados para fazer inferências,
ou seja, para executar os passos de uma dedução ou demonstração.
8.1.1 Regras de Inferência
Exemplo 8.5. Verificar que o argumento p → q, p ∧ r ` q é válido. De fato, usando
a Regra de Simplificação SIMP na segunda premissa P2 : p ∧ r, inferimos p. De p e
aplicando a Regra de Modus Ponens MP na primeira premissa P1 : p → q, inferimos q,
que é a conclusão do argumento dado.
Usemos o exemplo acima para introduzir o algoritmo abaixo, a fim de agilizar a análise.
Neste algoritmo, as premissas, indicadas por P, são colocadas acima do traço e a conclusão
é colocada abaixo do traço. Ao lado esquerdo, enumeramos as linhas e do lado direito
e, abaixo da linha, indicamos quais das linhas enumeradas anteriormente e qual(is) pro-
priedade(s) está(ão) sendo utilizada(s). Vejamos abaixo a ilustração do que foi descrito.
(1) p→ q P
(2) p ∧ r P
(3) p 2-SIMP
(4) q 1 e 3-MP
Exemplo 8.6. Verificar que é válido o argumento:
p ∧ q, p ∨ r → s ` p ∧ s
Usando SIMP em P1 : p∧ q inferimos p. De p, aplicando AD, inferimos p∨ r. De p∨ r
e usando MP em P2 : p∨ r → s, inferimos s. De s e p e usando CONJ, inferimos p∧ s
que é a conclusão.
O exemplo acima pode ser resolvido pelo algoritmo que segue abaixo:
(1) p ∧ q P
(2) p ∨ r → s P
(3) p 1-SIMP
(4) p ∨ r 1-AD
(5) s 2 e 4-MP
(6) p ∧ s 3 e 5-CONJ
8.1.2 Tabela-Verdade
Como foi visto, a validade de um argumento está associada à condicional P1 ∧ P2 ∧
. . . ∧ Pn → Q tautológica. No Exemplo 8.2, declaramos:
48
P1 : Se fosse musicista, então seria artista
P2: Não sou musicista.
Q : Não sou artista.
Consideremos p : Sou cantora e q : sou artista. Na linguagem simbólica, temos: (p →
q)∧ ∼ p `∼ q. Então, pelo Teorema 8.1, este argumento só será verdadeiro se a condi-
cional ((p→ q)∧ ∼ p)→∼ q for tautológica. Vejamos tebela-verdade:
p q p→ q ∼ p p→ q∧ ∼ p ∼ q p→ q∧ ∼ p→∼ q
V V V F F F V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V V V V V
Como a condicional é contigência, isto é, não temos tautologia. Logo, o argumento é
uma sofisma.
O método de tabela-verdade permite dizer sobre a validade de um argumento. No
entanto, quanto maior a quantidade de proposições simples que compõem as premissas,
mais trabalhosa será a construção das tabelas-verdade e menos práticase torna a análise
de um argumento.
8.1.3 Demonstração Condicional
Neste tipo de demosntração, é preciso que tenhamos as premissas e que a conclusão
seja uma condicional, isto é:
P1, P2, . . . , Pn ` A→ B
Vimos que este argumento é válido quando a condicional
(P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn)→ (A→ B)
é tautológica. Usando a regra de importação, esta última é equivalente à
(P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn ∧ A)→ B
Dessa forma, indroduz-se A como premissa adicional e deduz-se B.
P1, P2, . . . , Pn, A ` B
49
Exemplo 8.7. Demonstre a validade do argumento:
p ∨ (p→ r), ∼ r ` q → p
Vamos utilizar o algoritmo descrito anteriormente.
(1) p ∨ (q → r) P
(2) ∼ r P
(3) q PA (premissa adicional)
(4) p ∨ (∼ q ∨ r) 1-COND
(5) (P∨ ∼ q) ∨ r 4-ASSOC
(6) p∨ ∼ q 2 e 5-SD
(7) ∼∼ q 3-DN (dupla negação)
(8) p 6 e 7-SD
8.1.4 Demonstração Indireta
Usaremos o método de demonstração indireta ou bf redução ao absurdo para de-
terminarmos a validade de um argumento do tipo P1, P2, . . . , Pn ` Q. Este método
consiste em negar a conclusão Q e deduzir logicamente alguma contradição C a partir das
premissas P1, P2, . . . , Pn e ∼ Q.
Exemplo 8.8. P1 : Pedro vai ao show ou ao cinema.
P2 : Se for ao cinema, então telefona para seu amigo.
P3 : Pedro não telefonou.
Q : Pedro foi ao show.
Vamos supor, por absurdo, que “Pedro não foi ao show”. Então, por P1, ele foi
ao cinema e, consequentemente, telefonou para seu amigo, o que contradiz P3. Logo, o
argumento é válido.
Declaremos as sentenças:
p :“Pedro vai ao show”.
q : “Pedro vai ao cinema”.
r : “Pedro telefona”.
Podemos escrever nossas premissas em śımbolos como segue:
P1 : p ∨ q, P2 : q → r, P3 :∼ r ` Q : p
50
Assim, como valor proposicional de Q, V(Q)=V, então ∼ Q =∼ p =F. Por P1, segue
que V(q)=V. Como V(q)=V, dáı por P1 temos que V(r) =V, o que contradiz P3.
Exemplo 8.9. Mostre que
√
2 é irracional.
Suponhamos, por absurdo, que
√
2 seja racional. Isto é, existem a, b ∈ Z, não nulos
com mdc(a, b) = 1, tais que
√
2 =
a
b
, isto é, a fração
a
b
é irredut́ıvel. Elevando ambos os
membros dessa igualdade ao quadrado, temos:
(√
2
)2
=
(a
b
)2
⇔(√
2
)2
=
(a
b
)2
⇔
2 =
a2
b2
⇔
2b2 = a2
Assim, como 2b2 é par e 2b2 = a2 então a2 é par e, portanto a é par. Seja k ∈ Z tal
que a = 2k. Segue de 2b2 = a2 que 2b2 = (2k)2 ⇔ 2b2 = 4k2 ⇔ b2 = 2k. Logo, b é par.
Portanto, a fração
a
b
não é irredut́ıvel, o que contradiz a hipótese de que mdc(a, b) = 1.
51
Caṕıtulo 9
Sentenças Abertas e Quantificadores
9.1 Sentenças Abertas
Os cálculos proposicionais nem sempre são suficientes para resolver qualquer sentença.
Muitas vezes, e principalmente em Matemática, trabalhamos com “expressões” das quais
não é posśıvel atribuir um valor lógico.
Definição 9.1. Sentenças que contém variáveis são chamadas de sentenças abertas ou
funções proposicionais em que não é posśıvel atribuir V ou F, visto que seu valor lógico é
discut́ıvel, pois depende de valores atribúıdos às variáveis.
Exemplo 9.1. (a) p(x) : x + 2 = 9, onde x ∈ Z é verdadeira se substituirmos x por 7
e falsa para qualquer outro valor atribúıdo a x.
(b) q(x): x− 1 < 13; onde x ∈ R é verdadeira para qualquer valor real menor que 14 e,
caso contrário, falso.
(c) r(x) : x2 − 1 = 0; onde x ∈ R é verdadeiro somente para x = 1 e x = −1 e falso
para demais valores que se queira dar para a variável x.
Embora as sentenças abertas não possam ser proposicionais, há formas de torná-las.
Para isto,
(i) atribúımos valor às variáveis.
(ii) fazemos uso de quantificadores.
52
9.2 Quantificadores
9.2.1 Quantificador Universal
O quantificador universal, ∀, “para todo”, “qualquer que seja” é um dos quantifi-
cadores utilizado para transformar sentenças abertas em proposições.
Utilizando este quantificador para reescrever os itens do Exemplo 9.1, tem-se:
(a) x + 2 = 9, ∀ x ∈ Z. Lê-se:“ x + 2 = 9 para qualquer que seja x pertencente aos
inteiros”. Note que esta proposição é Falsa.
(b) x − 1 < 13, ∀ x ∈ R. Lê-se:“ x − 1 < 13 para todo x pertencente aos reais”. Esta
proposição também é Falsa.
(c) x2 − 1 = 0, ∀ x ∈ R. Lê-se:“ x2 − 1 = 0 para todo x pertencente aos reais”. Esta
proposição também é Falsa.
Exemplo 9.2. Considere as sentenças abertas:
(a) (z + 2)2 = z2 + 4z + 4, ∀ z ∈ R. Isto é: (z + 2)2 = z2 + 4z + 4 para qualquer que
seja o valor de z pertencente aos reais.
(b) a4+5 > 0, ∀a ∈ R. Isto é: a4+5 > 0 para qualquer que seja o valor de a pertencente
aos reais.
Note que: utilizando o quantificador ∀ nas duas sentenças abertas se transformaram em
proposições, onde ambas são verdadeiras.
9.2.2 Quantificador Existencial
Assim como “para todo” temos também o quantificador existencial, ∃, “existe”, “ex-
iste pelo menos um”. Quando existir “apenas um”,“um único” usaremos o śımbolo ∃!.
Retomando o Exemplo 9.1 e utilizando o quantificador existencial, temos:
(a) ∃! x ∈ Z/ x+ 2 = 9. Isto é: Existe um único valor de x pertencente aos inteiros, tal
que x + 2 = 9.
(c) ∃x ∈ R/x2−1 = 0. Lê-se: Existe pelo menos um valor real para x tal que x2−1 = 0.
Note que ambas proposições são verdadeiras.
Exemplo 9.3. Se usarmos o quantificador existencial na sentença aberta x + 2 = 0, ou
seja, ∃ x ∈ N/ x + 2 = 0 veremos que esta proposição será Falsa.
53
9.2.3 Negação de Proposições Quantificadas
A negação dos quantificadores são:
Quantificador Negação
∀ ∃
∃ ∀
Exemplo 9.4. Todo número primo é ı́mpar. Isto é:
∀ x ∈ Z tal que x é primo, x é ı́mpar.
Negação: Existe algum número inteiro que não é primo, ou ainda:
∃ x ∈ Z tal que x não é primo.
9.3 Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas
As operações lógicas usadas nas proposições também são usadas em sentenças abertas
como veremos.
9.3.1 Conjunção
Considere as sentenças abertas “xé viajante” e “x é músico”. Observe que a variável x
está no conjunto universo H dos humanos. Assim a conjunção “x é viajante∧x é músico”
é atendida sempre que houver indiv́ıduos que satisfaçam as duas condições ao mesmo
tempo.
Exemplo 9.5. Considere as proposições x > 1 e x < 7. Esta é uma sentença aberta
em R, ou seja, x > 1 ∧ x < 7, onde x ∈ R. A conjunção só será verdadeira quando as
sentenças abertas forem simultaneamente verdadeiras, então para valores de x entre 1 e
7, a proposição x > 1 ∧ x < 7 será verdadeira. Caso contrário, falsa.
Exemplo 9.6. Em N, considere a sentença aberta: 2|a ∧ 3|a⇔ 6|a.
Exemplo 9.7. Em R, consideremos as sentenças abertas: 2x − 3y = 8 ∧ x − 2y = 1.
Escrevemos: {
2x − 3y = 8
x − 2y = 1
54
Note que a solução dessa sentença são os valores de S = {(x, y) ∈ R2; x = 15 e y = 7}
Exemplo 9.8. x é retângulo ∧ x é losango⇔ x é quadrado.
9.3.2 Condicional
A condicional também é uma sentença aberta que liga duas sentenças abertas, a saber,
antecedente e consequente. A condicional só será falsa quando o antecedente for verdadeiro
e o consequente for falso.
Exemplo 9.9. Considere as sentenças abertas x2 + 2x − 8 = 0 e x2 − 16 = 0, ou seja:
x2 + 2x− 8 = 0→ x2 − 16 = 0 para x = 2 a primeira sentença é verdadeira e a segunda
é falsa, donde a condicional será falsa. Para x = −4 ambas são verdadeiras, logo a
condicional também é verdadeira.
De modo geral, a condicional será verdadeira para todo x em um conjunto A em que
a condicional p(x) → q(x) for verdadeira. Assim, o conjunto-verdade da condicional de
sentença aberta p(x)→ q(x) nesse conjunto A coincide com a senteça aberta ∼ p(x)∨q(x),
ou seja, p(x)→ q(x) ∼ p(x)∨q(x). Dessa forma, basta que façamos a união dos conjuntos
verdade de ∼ p(x) com q(x) em V∼p(x)A. Em śımbolos, consideremos Vp o conjunto
verdade de p(x), ou seja, Vp = {p(x);x inA}, então V∼p(x) = V∼p = V {∼p. Dáı, temos:
Vp→q = V∼p ∪ Vq = V {∼p ∪ Vq
Exemplo 9.10. Considere as sentenças abertas: p(x) : x|15 e q(x) : x|48, onde o universo
de x é A = N.
O conjunto-verdade de p(x) tal que x ∈ N é {1,3, 5, 15} e o conjunto-verdade de q(x)
tal que x ∈ N é {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}. Então o conjunto-verdade da condicional
p(x)→ q(x) será:
V {p = N− {1, 3, 5, 15} ∪ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} = N− {5, 15}
9.3.3 Bicondicional
De forma análoga à algebra das proposições, se tivermos uma sentença composta por
duas sentenças abertas, p(x) e q(x), em um mesmo conjunto universo A, onde estas estão
interligadas pela bicondicional “ ↔”, então a sentença será verdadeira para todos valores
em a ∈ A para os quais a bicondicional p(a)↔ q(a) for verdadeira.
55
Como vimos, a bicondicional p(x)↔ q(x) pode ser vista na forma p(x)→ q(x)∧q(x)→
p(x) e, portanto, é a interseção dos conjuntos-verdade das sentenças abertas. Em śımbolos,
seria:
Vp↔q = Vp→q ∩ Vq→p
= (V∼p ∪ Vq) ∩ (V∼q ∪ Vp)
= (V {p ∪ Vq) ∩ (V {q ∪ Vp)
Exemplo 9.11. Considere as seguintes sentenças abertas em N: p(x) : x|12 e q(x) : x|15.
Então
Vp↔q = (V
{
p ∪ Vq) ∩ (V {q ∪ Vp)
= (N− {1, 2, 3, 4, 6, 12} ∪ {1, 3, 5, 15}) ∩ (N− {1, 3, 5, 15} ∪ {1, 2, 3, 4, 6, 12})
= (N− {2, 4, 6, 12}) ∩ (N− {5, 15})
= N− {2, 4, 5, 6, 15}
9.3.4 Álgebra das Sentenças Abertas
As propriedades usadas pela álgebra das proposições também podem ser usadas para
a Álgebra das sentenças abertas. Assim, as propriedades de associatividade e comutativi-
dade contunuam sendo válidas para a conjunção e a disjunção das mesmas, bem como a
distributividade de uma em relação a outra, as propriedades de dupla negação e Leis de
De Morgan.
As propriedades de identidade
p ∧ v ⇔ p, p ∧ f ⇔ f, p ∨ v ⇔ v e p ∨ f ⇔ p,
onde v e f possuem valores lógicos sempre verdadeiros e falsos, respectivmente. Estas
propriedades irão assumir outro aspecto, descrito a seguir:
(i) A conjunção de uma sentença aberta com outra que exprime uma condição universal
é equivalente à primeira.
56
(ii) A conjunção de uma sentença aberta com uma outra que exprime uma condição
imposśıvel também exprime uma condição imposśıvel.
(iii) A disjunção de uma sentença aberta com outra que exprime uma condição imposśıvel
é equivalente a primeira.
(iv) A disjunção de uma sentença aberta com uma outra que exprime uma condição
universal também exprime uma condição universal.
Exemplo 9.12. Consideremos as sentenças abertas abaixo no conjunto universo R:{
2x − 5 > 7
x + 2 > x
e
{
2x − 5 > 7
x + 2 = x
Podemos reescrever na forma de conjunção, como segue:
2x− 5 > 7 ∧ x + 2 > x e 2x− 5 > 7 ∧ x + 2 = x
Note que a condição x + 2 > x é universal, enquanto que x + 2 = x exprime uma
condção imposśıvel. Dessa forma, usando a propriedade anterior, temos:
(2x− 5 > 7) ∧ (x + 2 > x)⇔ 2x− 5 > 7
(2x− 5 > 7) ∧ (x + 2 = x)⇔ x + 1 = x (imposśıvel)
Analogamente,
(2x− 5 > 7) ∨ (x + 2 > x)⇔ x + 2 > x (universal)
(2x− 5 > 7) ∨ (x + 2 = x)⇔ 2x− 5 > 7
Observação:
Quando houver várias sentenças abertas p1, p2, . . . , pn usa-se sempre p1 ∧ p2 ∧ p3 em lugar
de (p1 ∧ p2) ∧ p3, por exemplo e p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ p4 ao invés de (p1 ∧ p2 ∧ p3) ∧ p4, etc.
57
Caṕıtulo 10
Aplicações em circuitos
10.1 Circuitos com Interruptores
Chamamos de interruptor e, indicamos por p, o elemento do circuito elétrico que pode
assumir somente dois estados: fechado ou aberto. Quando este estiver fechado, ou seja,
com passagem de corrente, atribúımos o valor 1. Caso contrário, quando o mesmo estiver
aberto, atribúımos o valor 0 e, neste caso, não há passagem de corrente.
10.1.1 Circuito em Série
Neste circuito, a corrente só atravessa se ambos os interruptores p e q estiverem
fechadas. Indicamos esta situação por F = F (p, q).
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A tabela-verdade que representa este circuito é:
p q F
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Note que F (p, q) = p ∧ q.
10.1.2 Circuito em Paralelo
Um circuito em paralelo simples é da forma:
Neste tipo de circuito, a corrente consegue passar quando pelo menos um dos inter-
ruptores estão fechados. Indicamos esta situação por F = F (p, q), que satisfaz a tabela a
seguir.
p q F
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Observe que esta situação, F (p, q) é a mesma de p ∨ q. As propriedades de comuta-
tividade e associatividade são descritas abaixo.
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No esquema acima, a corrente passa somente quando pelo menos um dos interruptores
estiver fechado, isto é, (p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r).
Já no esquema abaixo, a corrente só irá passar se os três interruptores estiverem
fechados, isto é, é preciso que p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r
Distributiva: Nesta situação a corrente passa quando p estiver fechado ou q e r es-
tiverrem fechados, ou seja, p∨ (q ∧ r) = (p∨ q)∧ (p∨ r). Nos demais casos a corrente não
irá atravessar o circuito.
Até aqui, os circuitos vistos possúıam interruptores independentes. Veremos agora
alguns casos em que o interruptor é dependente, isto é, temos duas situações:
a) quando um liga o outro desliga, e vice-versa. Neste caso, denotaremos o outro
interruptor com ’ para diferenciar do primeiro. Exemplo: p′. Este caso funciona
como conjunto complementar.
b) quando um liga o outro liga, da mesma forma, quando um desliga o outro também
desliga. Neste caso ambos serão denotados pela mesma letra.
O circuito abaixo demostra um pouco a situação descrita.
60
Exemplo 10.1. Em śımbolos, podemos escrever:
F = F (p, q, r) = (p ∧ q′ ∧ r) ∨ [(rq∨) ∧ p′]
Podemos representá-lo em forma de tabela, como segue:
p q r p ∧ q′ ∧ r (r ∨ q) ∧ p′ F
1 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0
Logo, a corrente irá passar pelo circuitos nas seguinte situações:
1. p e r estão fechados e q está aberto (p ∧ q′ ∧ r).
2. q e r estão fechados e p está aberto (p′ ∧ q ∧ r).
3. q fechado, p e r estão abertos (p′ ∧ q ∧ r′).
4. r fechado, p e q abertos (p′ ∧ q′ ∧ r)
Como é de interesse que passe corrente, o circuito pode ser simplificado pelas linhas da
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tabela em que F possui 1. Isto é, podemos escrever:
F = (p ∧ q′ ∧ r) ∨ (p′ ∧ q ∧ r) ∨ (p′ ∧ q ∧ r′) ∨ (p′ ∧ q′ ∧ r)
= [(p′ ∧ q) ∧ (r ∨ r′)] ∨ [(q′ ∧ r) ∧ (p ∨ p′)]
= (p′ ∧ q) ∨ (q′ ∧ r)
Dessa forma, o circuito na forma simplificada será:
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Referências Bibliográficas
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[2] COSTA, N. C. A. da. Ensaios sobre os fundamentos da lógica, São Paulo,
Hucitec, 2a ed., 1994.
[3] DOMINGUES, Hygino H.. IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna, 4a Edição, Ed.
Atual, São Paulo, 2003.
[4] FILHO, Edgard de Almencar, Iniciação à Lógica Matemática, Ed. Nobel, São
Paulo, 2002.
[5] IEZZI, G; MURAKAMI, C, Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 1, 3a
Edição, Ed. Atual , São Paulo, 1977.
[6] MORTARI, Cezar Augusto. Introdução à Lógica. 1a ed. São Paulo: Unesp 2001.
[7] PINHO, Antônio A; Introdução à Lógica Matemática, Rio de Janeiro, 1999.
[8] ZIMBARG, J. Introdução à Lógica Matemática, Impa, 1973.
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