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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL�
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CIV 457 - CONCRETO PROTENDIDO
Prof. Gustavo de Souza Veríssimo
2o TRABALHO PRÁTICO - 1999/2
- Cálculo de um poste de iluminação em concreto protendido
�EMBED MSDraw���
Condições de apoio do poste:
�EMBED MSDraw���
Dados:
A força F = 100 kgf
O diâmetro interno do poste é constante e igual a 5,0 cm
Pede-se:
Verificar o poste para içamento aos 10 dias de idade
Verificar o poste em serviço aos 90 dias de idade. Considerar a carga F e o vento atuando.
Analisar as tensões ao longo do poste. Verificar as seções críticas.
Dimensionar a armadura de protensão necessária.
Especificar o fck do concreto.
1. Equação do peso próprio
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
equação do diâmetro externo em centímetros: �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���			[ em cm2 ]
equação do diâmetro externo em metros: �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���		[ em m2 ]
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
representação gráfica do peso próprio:
�EMBED MSDraw���
Cálculo das reações de apoio
Para o cálculo das reações de apoio é necessário determinar a posição do centro de gravidade da parábola (ponto de atuação da resultante do peso próprio).
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
		= 189,00 - 1068,15 + 1961,53 = 1082,38 kgf
cálculo da abcissa do centro de gravidade da parábola:
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
		= 1417,50 - 7121,00 + 9807,65 = 4104,15 kgf.m
�EMBED Equation.3���
3,79 ( 1082,38 - 7 VB = 0�
(�
VA = 586,03 kgf
VB = 496,35 kgf�
�
Equação do momento fletor numa seção genérica de coordenada xo ( no trecha AB ):
�EMBED MSDraw���
�EMBED Equation.3���	{ xo é constante neste caso }
�EMBED Equation.3���
		�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
		�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
		�EMBED Equation.3���
		�EMBED Equation.3���
ponto de momento máximo
�EMBED Equation.3���
resolvendo a equação do 3o grau, achamos xo = 2,992 m
Em xo = 2,992 m ( �EMBED Equation.3���
momento negativo no apoio B:
em B,	x = 7,0 m
		MB = -222,70 kgf.m
�EMBED MSDraw���
Propriedades da seção
- para seção circular:	�EMBED Equation.3���
- para o poste, numa seção S genérica:
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Cálculo das tensões
Como a seção do poste varia ao longo do seu comprimento, vamos analisar 11 seções, uma a cada 100 cm.
�EMBED MSDraw���
Análise das tensões ao longo do poste
CASO 1: Verificação para o içamento do poste aos 10 dias de idade:
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Seção�
xo 
(cm)�
de 
(cm)�
Ac 
(cm2)�
W 
(cm3)�
M
(kgf.cm)�
(g1 (kgf/cm2)�
P( = (g 1 ( Ac (kgf)�
�
�
0�
0�
32,00�
784,61�
3.204,72�
0�
0�
0�
�
�
1�
100�
30,30�
701,43�
2.718,77�
40179�
(14,78�
10.367�
�
�
2�
200�
28,60�
622,79�
2.284,39�
62813�
(27,50�
17.127�
�
�
3�
300�
26,90�
548,69�
1.898,71�
69871�
(36,80�
20.192�
( Pmáx�
�
4�
400�
25,20�
479,12�
1.558,82�
63206�
(40,55�
19.428�
�
�
5�
500�
23,50�
414,10�
1.261,83�
44560�
(35,31�
14.622�
�
�
6�
600�
21,80�
353,62�
1.004,84�
15563�
(15,49�
5.478�
�
�
7�
700�
20,10�
297,67�
784,97�
-22270�
(28,37�
8.445�
�
�
8�
800�
18,40�
246,27�
599,31�
-9260�
(15,45�
3.805�
�
�
9�
900�
16,70�
199,40�
444,97�
-2133�
(4,79�
955�
�
�
10�
1000�
15,00�
157,08�
319,07�
0�
0�
0�
�
�
CASO 2: Verificação do poste em serviço:
�EMBED MSDraw����
�EMBED MSDraw���
Velocidade característica do vento:
�EMBED Equation.3���
Pressão do vento:
�EMBED Equation.3����
�
- projeção da área de incidência do vento:
�EMBED MSDraw����
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3����
�
Será considerada a tensão de compressão devido ao peso próprio:
 �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
análise das tensões no concreto para o caso 2:
seção�
xo 
(cm)�
W 
(cm3)�
M
(kgf.cm)�
(M 
(kgf/cm2)�
(g
(kgf/cm2)�
(ct2
(kgf/cm2)�
(cc2
(kgf/cm2)�
P( = (ct ( Ac (kgf)�
�
0�
0�
3.204,72�
-�
-�
-1,38�
-�
-�
-�
�
1�
100�
2.718,77�
-�
-�
-1,28�
-�
-�
-�
�
2�
200�
2.284,39�
139.760�
(61,18�
-1,17�
+60,01�
-62,35�
37.374�
�
3�
300�
1.898,71�
112.320�
(59,16�
-1,07�
+58,09�
-60,23�
31.873�
�
4�
400�
1.558,82�
84.880�
(54,45�
-0,95�
+53,50�
-55,40�
25.633�
�
5�
500�
1.261,83�
57.440�
(45,52�
-0,83�
+44,69�
-46,35�
18.506�
�
6�
600�
1.004,84�
30.000�
(29,86�
-0,70�
+29,16�
-30,56�
10.312�
�
7�
700�
784,97�
20.000�
(25,48�
-0,56�
+24,92�
-26,04�
7.408�
�
8�
800�
599,31�
10.000�
(16,69�
-0,41�
+16,28�
-17,10�
4.009�
�
9�
900�
444,97�
0�
0�
-0,22�
-0,22�
-0,22�
44�
�
10�
1000�
319,07�
0�
0�
0�
0�
0�
0�
�
Cálculo da armadura ativa
- força de protensão a ser aplicada:
		P = 37.374 kgf
	admitindo 20 % de perdas:
		�EMBED Equation.3���	para pré-tração e aço RB
	usando aço CP 190 RB:
		�EMBED Equation.3���
	(ou = 0,8 (pi = 12.312 kgf/cm2
	�EMBED Equation.3���
- soluções possíveis:
designação�
área (cm2)�
n�
folga�
carga/cordoalha�
�
�
CP 190 RB 3 ( 3,0�
0,2150�
15�
6 %�
3.309�
�
�
CP 190 RB 3 ( 3,5�
0,3000�
11�
9 %�
4.617�
�
�
CP 190 RB 3 ( 4,0�
0,3940�
8�
4 %�
6.064�
( melhor solução�
�
CP 190 RB 3 ( 4,5�
0,4620�
7�
6 %�
7.110�
�
�
CP 190 RB 3 ( 5,0�
0,6570�
5�
8 %�
10.111�
�
�
solução adotada: 8 ( 3 ( 4,0 ( Pi1 = 6.064 kgf 
Estimativa do fck
Devido ao próprio processo construtivo do poste, as cordoalhas são protendidas e ancoradas individualmente. A força inicialmente aplicada a cada cordoalha é Pi1 = 6.064 kgf. Como o processo de protensão utilizado é pré-tração, a força de protensão efetivamente aplicada ao poste é Pa1 = Pi1 - perdas por encunhamento.
Assim, considerando que:
cada cunha penetra 4,0 mm na ancoragem;
os cabos de protensão possuem um comprimento adicional de 1,0 m em cada extremidade do poste para ligação aos blocos de ancoragem.
L = 10,0 + 2,0 = 12,0 m
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Pa1 = Pi1 - (P1 = 6.064 - 256,10 = 5.808 kgf
�EMBED Equation.3��� de perdas na ancoragem
Análise das tensões no concreto nas fibras mais solicitadas aos 10 dias e aos 90 dias, desprezando-se as perdas de protensão nesse intervalo:
Essa primeira análise de tensões tem por objetivo a definição dos pontos de retirada
de cabos de serviço para manter as tensões no concreto em níveis aceitáveis.
Seção�
xo 
(cm)�
Ac 
(cm2)�
cabos em
serviço�
Pa = Pa1 ( n
(kgf)�
(pa 
(kgf/cm2)�
(pa + (ct1
(kgf/cm2)�
(pa + (cc1
(kgf/cm2)�
(pa + (ct2
(kgf/cm2)�
(pa + (cc2
(kgf/cm2)�
�
0�
0�
784,61�
8�
46.464�
-59,22�
-59,22�
-59,22�
-59,22�
-59,22�
�
1�
100�
701,43�
8�
46.464�
-66,24�
-51,46�
-81,02�
-66,24�
-66,24�
�
2�
200�
622,79�
8�
46.464�
-74,61�
-47,11�
-102,11�
-14,60�
-136,96�
�
3�
300�
548,69�
8�
46.464�
-84,68�
-47,88�
-121,48�
-26,59�
-144,91�
�
4�
400�
479,12�
8�
46.464�
-96,98�
-56,43�
-137,53�
-43,48�
-152,38�
�
5�
500�
414,10�
8�
46.464�
-112,20�
-76,89�
-147,51�
-67,51�
-158,55�
�
6�
600�
353,62�
8�
46.464�
-131,40�
-115,91�
-146,89�
-102,24�
-161,96�
�
7�
700�
297,67�
6�
34.848�
-117,07�
-88,70�
-145,44�
-92,15�
-143,11�
�
8�
800�
246,27�
4�
23.232�
-94,34�
-78,89�
-109,79�
-78,06�
-111,44�
�
9�
900�
199,40�
4�
23.232�
-116,51�
-111,72�
-121,30�
-116,73�
-116,73�
�
10�
1000�
157,08�
2�
11.616�
-73,95�
-73,95�
-73,95�-73,95�
-73,95�
�
Para garantir que o estado limite de compressão excessiva não seja atingido é necessário satisfazer à condição:
�EMBED Equation.3���
- tensão máxima de compressão no concreto na data do transporte (10 dias): 
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3����
�
- resistência do concreto na data da protensão (90 dias): 
�EMBED Equation.3���
a máxima tensão admissível no concreto nessa data será:
�EMBED Equation.3���
que é maior que (pa + (cc2 = -161,96 kgf/cm2 , ou seja, o fck = 27 MPa atende perfeitamente. Vale ressaltar que a tensão de compressão no concreto aos 90 dias será menor do que -161,96 kgf/cm2 uma vez que vão ocorrer perdas progressivas nesse período, por retração e fluência do concreto e por relaxação do aço de protensão.
Cálculo das perdas de protensão
Cálculo das perdas por deformação imediata do concreto
Admitindo o fck = 27 MPa,
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Aci = Ac + (( - 1) Ap
(cPa = Pa / Ac
((p = ( . (cPa
(Po = (Pa - ((p
trecho�
Lo 
(cm)�
Ac_méd
(cm2)�
Ap
(cm2)�
Aci_méd
(cm2)�
(cPa_méd 
(kgf/cm2)�
(p=(c=(cPa /Ec
(kgf/cm2)�
(Lo 
(cm)�
((P
(kgf/cm2)�
(Po
(kgf/cm2)�
perda
(%)�
�
0-1�
100�
743,02�
8(0,394�
758,50�
-61,26�
1,8559E-04�
0,0186�
362,04�
14379,08�
2,35�
�
1-2�
100�
662,11�
8(0,394�
668,89�
-69,46�
2,1045E-04�
0,0210�
410,53�
14330,58�
2,67�
�
2-3�
100�
585,74�
8(0,394�
592,52�
-78,42�
2,3757E-04�
0,0238�
463,45�
14277,67�
3,01�
�
3-4�
100�
513,91�
8(0,394�
520,69�
-89,24�
2,7035E-04�
0,0270�
527,38�
14213,73�
3,43�
�
4-5�
100�
446,61�
8(0,394�
453,39�
-102,48�
3,1048E-04�
0,0310�
605,66�
14135,46�
3,94�
�
5-6�
100�
383,86�
8(0,394�
390,64�
-118,94�
3,6035E-04�
0,0360�
702,95�
14038,17�
4,57�
�
6-7�
100�
325,65�
6(0,394�
330,73�
-105,37�
3,1922E-04�
0,0319�
622,71�
14118,40�
4,05�
�
7-8�
100�
271,97�
4(0,394�
274,12�
-84,75�
2,5676E-04�
0,0257�
500,88�
14240,24�
3,25�
�
8-9�
100�
222,84�
4(0,394�
223,74�
-103,83�
3,1458E-04�
0,0315�
613,66�
14127,46�
3,99�
�
9-10�
100�
178,24�
2(0,394�
178,69�
-65,01�
1,9694E-04�
0,0197�
384,18�
14356,94�
2,50�
�
�
�
�
�
�
�
( =�
� =SUM(ACIMA) �0,2662��
�
�
�
�
A perda média de protensão por deformação imediata do concreto é da ordem de 3,37%.
CIV457 - Concreto Protendido
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