03 DETERMINANTES

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ALGEBRA LINEAR 2017.1 
 
DETERMINANTES 
 
 
 
 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Centro de Ciências Exatas e Naturais – CCEN 
Prof@: Valdenize Lopes 
1 
Definição 01: Uma permutação do conjunto de inteiros 
𝐼𝑛 = {1, 2, 3,… , 𝑛} é um rearranjo de todos estes 
números, em alguma ordem, sem repetições. 
 
Exemplo 01: Quais as permutações do conjunto 𝐼2? E do 
conjunto 𝐼3? 
 
Exemplo 02: Quantas são as permutações de 𝐼𝑛? 
DETERMINANTE 
Definição 02: Dizemos que uma permutação do 
conjunto dos inteiros 𝐼𝑛 possui uma inversão, quando 
ela apresenta um inteiro que precede outro menor que 
ele. 
 
Exemplo 03: Verifique quantas inversões possui cada 
permutação dos conjuntos 𝐼2e 𝐼3. 
Definição 03: Seja 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 uma matriz de ordem 𝑛. O 
determinante de 𝐴 é o número real definido por 
 𝒂𝒊𝒋 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = −𝟏
𝑱𝒂𝟏𝒋𝟏𝒂𝟐𝒋𝟐 …𝒂𝒏𝒋𝒏𝝆 
onde 𝐽 = 𝐽(𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑛) é o número de inversões da 
permutação (𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑛) do conjunto 𝐼𝑛 = {1, 2,… , 𝑛} e 
𝜌 indica que a soma é estendida a todas as 𝑛! 
permutações de 𝐼𝑛. 
Exemplo 04: Encontre a expressão para o determinante 
de uma matriz de ordem 2 e para o de uma matriz de 
ordem 3. 
 
Observações: 
1. Se a permutação 𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑛 possui um número par de 
inversões, o coeficiente −1 𝐽 do termo correspondente 
no somatório terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal 
negativo. 
 
2. Em cada termo do somatório, existe um e apenas um 
elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de 
cada coluna da matriz. 
 
3. Através de uma reordenação conveniente dos 
termos, mostra-se que também é possível definir o 
determinante por 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = −𝟏 𝑱𝒂𝒋𝟏𝟏𝒂𝒋𝟐𝟐…𝒂𝒋𝒏𝒏𝝆 
variando os primeiros e deixando fixos os segundos 
índices. 
 
 Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma 
matriz 𝐴 são nulos, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0; 
 
 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑡); 
 
 Se multiplicarmos uma linha (coluna) da matriz por uma 
constante, o determinante fica multiplicado por esta 
constante; 
 
Uma vez trocada a posição de duas linhas (colunas), o 
determinante troca de sinal; 
 
 
Propriedades 
 O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é zero; 
 
 𝑑𝑒𝑡
𝑎11
⋮
…
…
𝑎1𝑛
⋮
𝑏𝑖1 + 𝑐𝑖1
⋮
…
…
𝑏𝑖𝑛 + 𝑐𝑖𝑛
⋮
𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
= 𝑑𝑒𝑡
𝑎11
⋮
…
…
𝑎1𝑛
⋮
𝑏𝑖1
⋮
…
…
𝑏𝑖𝑛
⋮
𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
+ 𝑑𝑒𝑡
𝑎11
⋮
…
…
𝑎1𝑛
⋮
𝑐𝑖1
⋮
…
…
𝑐𝑖𝑛
⋮
𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
; 
 
 
 O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha 
multiplicada por uma constante; 
 
 𝑑𝑒𝑡 𝐴. 𝐵 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 . 𝑑𝑒𝑡 (𝐵). 
 
 
 
 
Dada a matriz 𝐴 com 𝑚 linhas e 𝑛 colunas , denotaremos 
por 𝐴𝑖𝑗 a submatriz obtida de 𝐴, retirando-se a sua i-ésima 
linha e a sua j-ésima coluna. 
 
𝐴 =
𝑎11 …
⋮ ⋱
 
𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 …
⋮ ⋱
 
𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛
 
DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE 
Definição 04: Dada a matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 , o cofator ou 
complemento algébrico do elemento 𝑎𝑖𝑗, denotado por 
Δ𝑖𝑗 , é dado por Δ𝑖𝑗 = (−1)
𝑖+𝑗 . det 𝐴𝑖𝑗 = −1
𝑖+𝑗 . 𝐴𝑖𝑗 . 
 
Exemplo 05: Encontre os cofatores dos elementos da 
matriz abaixo. 
𝐴 =
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
 
 
 
 
Observe que o determinante da matriz 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
, pode ser escrito das 
seguintes formas: 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11𝑎22𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11(𝑎22𝑎33 − 𝑎23𝑎32) − 𝑎12(𝑎21𝑎33 − 𝑎23𝑎31) + 𝑎13(𝑎21𝑎32 − 𝑎22𝑎31) 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11.
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
− 𝑎12.
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
+ 𝑎13.
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = −1 1+1 𝑎11 𝐴11 + −1
1+2 𝑎12 𝐴12 + −1
1+3 𝑎13 𝐴13 
 
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎11Δ11 + 𝑎12Δ12 + 𝑎13Δ13. 
 
 
O Desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência 
que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem 
𝑛, a partir dos determinantes de submatrizes de ordem 
(𝑛 − 1). Fixando-se a i-ésima linha ou a j-ésima coluna da 
matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 o determinante de A será dado por : 
 
d𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑖1Δ𝑖1 + 𝑎𝑖2Δ𝑖2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛Δ𝑖𝑛 
ou 
d𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎1𝑗Δ1𝑗 + 𝑎2𝑗Δ2𝑗 +⋯+ 𝑎𝑛𝑗Δ𝑛𝑗 
 
 
 
 
Exemplo 06: Calcule o determinante da matriz abaixo 
usando o desenvolvimento de Laplace. 
 
𝐴 =
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
 
 Capítulo 3 do Livro Texto: Exercícios de 03 à 08 e 13. 
(pg 90 - pg 92). 
 
EXERCÍCIOS