Cap 3 - Determinantes

Prévia do material em texto

DE TERMINANTES 
 17 
– + 
– + 
3. DETERMINANTES 
Consideremos uma matriz quadrada 













nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
.......................................
...
...
321
2232221
1131211
 de ordem n. Podemos associar a ela 
um único número, denominado determinante de A, que simbolizaremos por Adet , e que será indicado 
colocando-se os elementos da matriz entre duas barras verticais - uma de cada lado. 
nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
........................................
...
...
det
321
2232221
1131211
 
O cálculo de determinantes é particularmente útil para sabermos se um sistema de n equações lineares com 
n incógnitas tem ou não solução única, como veremos mais tarde. 
Determinante de uma matriz de ordem 2 
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual a diferença entre o produto dos elementos da diagonal 
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Exemplo 2.1: Se 






52
34
A então 143254
52
34
det A . 
Exemplo 2.2: Se 







12
32
A então   83212
12
32
det 

A . 
Determinante de uma matriz de ordem 3 
Para calcularmos o determinante de uma matriz de ordem 3, existe a 
seguinte regra denominada Regra de Sarrus: 
Repetimos, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. 
Acompanhando os traços em diagonal, multiplicamos os elementos entre 
si, associando-lhes o sinal indicado (veja figura ao lado): 
Exemplo 2.3: Se 











312
405
234
A então 274516010240
312
405
234
det A . 
Exemplo 2.4: Se 











312
405
234
A então   434516010240
312
405
234
det A . 
É bastante interessante a introdução ao estudo dos determinantes encontrada em [4] páginas 64 e 65. 
Exercícios (em aula) 
1) Calcular os seguintes determinantes: 
a) 2 b) 
31
02
 c) 
31
02

 d) 
31
02

 
 
 
12
05
34
312
405
234
 
    + + + 
DE TERMINANTES 
 18 
2) Simplifique 
112
2 ba
bb
aa
 . 
 
 
 
 
 
 
3) Resolva a equação: 0
2
93

x
. 
 
 
 
 
 
4) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e 2I a matriz identidade de ordem 2. Chamam-se auto-valores (ou 
valores-próprios) de A as raízes da equação   OIA  det 1. Calcule os auto-valores de 






32
41
A . 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule 
122
431
201
1 D 
 
6) Calcule 
863
241
300
2 D . 
 
7) Resolva a equação 4
512
103
21


x
. 
 
 
 
 
 
 
1
 O polinômio resultante desta equação é chamado de polinômio característico. Outra definição equivalente 
é a seguinte: Um número real  é chamado de autovalor de A se existir um vetor não-nulo X tal que 
XAX  . 
DE TERMINANTES 
 19 
Menor complementar 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, 1n , e jia um elemento desta matriz. Se eliminarmos a linha i e 
a coluna j, isto é, a linha e a coluna do elemento jia , obteremos uma matriz de ordem 1n , cujo determinante 
será chamado menor complementar do elemento jia e é indicado por jiD . 
Exemplo 2.5: Seja 






52
13
A então 511 D e 121 D . 
Exemplo 2.6: Seja 











285
143
012
A então 0
28
14
11 D e 4
25
02
22 D . 
Cofator ou complemento algébrico 
O cofator de um elemento jia numa matriz quadrada A de ordem n, 1n , é igual a  
ji
1 multiplicado 
pelo menor complementar do elemento jia e é indicado por jiA . 
Exemplo 2.7: Seja 











285
143
012
A então   01 11
11
11 

DA ,   11
85
12
1
32
23 

A e 422 A . 
Determinante de uma matriz de ordem n 
O determinante de uma matriz quadrada  jiaA  de ordem n, 1n , é a soma dos produtos dos elementos 
de qualquer linha (ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. 
Exemplo 2.8: Se 






52
34
A então, desenvolvendo o determinante pela primeira linha, por exemplo, temos: 
    14|2|13|5|14det 2111  A 
 
 
Exemplo 2.9: Se 











312
405
234
A então, desenvolvendo o determinante pela segunda coluna, temos: 
      276021
45
24
11
32
24
10
32
45
13det
232221


A . 
 
 
Verifique que desenvolvendo por qualquer linha, ou por qualquer uma das colunas, o resultado é o mesmo. 
Atenção: O que vimos acima é conhecido como Teorema de Laplace e é especialmente útil para o cálculo 
de determinante de matrizes de ordem superior à 3. Neste caso escolhemos uma linha (ou coluna) conveniente. 
A
11
 A
12
 
A
12
 A
22
 A
32
 
DE TERMINANTES 
 20 
Propriedades 
Após cada propriedade existe um exemplo. Confira cada um deles! 
[a] 
tAA detdet  . 
Exemplo 2.10: 2
53
42
54
32
 e 0
963
852
741
987
654
321
 . Essa propriedade implica que todas as 
demais propriedades de determinante podem ser provadas apenas para as linhas que serão 
válidas imediatamente para as colunas e vice-versa. 
[b] Usando o Teorema de Laplace é fácil ver que se os elementos de uma linha (ou coluna) de A forem todos 
iguais a zero então: 0det A . 
Exemplo 2.11: 0
00
21
 0
04
01
 0
000
254
321


 0
203
102
302


. Basta desenvolver o 
determinante, usando o Teorema de Laplace, pela linha ou coluna formada somente por zeros. 
[c] Se B é a matriz que se obtém da matriz A, quando trocadas entre si as posições de duas linhas (ou 
colunas), temos: AB detdet  ; 
Exemplo 2.12: Se 






43
21
A e 






34
12
B então 2det B e 2det A . 
Exemplo 2.13: Se 











142
111
101
A e 











101
111
142
B então 1detdet  AB . (Note que a matriz B foi 
obtida de A trocando-se a 1a e a 3a linha) 
Você pode, como exercício, fazer uma demonstração simples para o caso de matrizes 2 x 2 usando uma 
matriz genérica. 
[d] Se a matriz A tiver duas linhas (ou colunas) iguais então: 0det A . 
Exemplo 2.14: Se 











225
114
443
A e 






21
21
B então 0detdet  BA . 
Essa propriedade pode ser vista como uma conseqüência da propriedade anterior. De fato, se A é uma 
matriz contendo duas linhas iguais considere B a matriz obtida de A trocando-se essas linhas (iguais). 
Então B = A. Mas pela propriedade anterior: 
0det0det2detdetdetdet  AAAABA . 
[e] Sejam A uma matriz quadrada qualquer e B uma matriz obtida multiplicando-se os elementos de uma 
linha (ou coluna) de A por um escalar k. Então AkB detdet  ; 
Exemplo 2.15: Se 











142
222
101
A e 











142
666
101
B então 6det3det  AB . (Note que a matriz B foi 
obtida de A multiplicando-se a 2a linha por 3) 
Essa propriedade é conseqüência do Teorema de Laplace. De fato, seja A uma matriz quadrada qualquer 
e B uma matriz obtida de A multiplicando-se uma linha por um número k. Então desenvolvendo o 
determinante de B e o determinante de A ambos por essa linha vemos que os cofatores de B são um 
DE TERMINANTES 
 21 
múltiplo k dos cofatores de A. Uma conseqüência dessa propriedade é que   AkkA n detdet  , onde n é 
a ordem de A e k é um número real. 
Exemplo 2.16: Podemos usar as propriedades [d] e [e] em conjunto. Seja 











625
314
1243
A . Note que na 3a 
coluna de A todos os elementos são múltiplos de 3. Então 0
225
114
443
3det A . 
[f] Se A é uma matriz triangular superior (ou inferior) então o determinante será igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal; 
Exemplo 2.17: Se 











567
043
002
A então 40542det A . 
Essa propriedade é também conseqüência do Teorema de Laplace pois basta desenvolver o 
determinante da matriz em questão pela primeira linha e as matrizes menores seguintes também sempre 
pela primeiralinha. 
[g] Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem então BAAB detdetdet  ; 
Exemplo 2.18: Se 






30
21
A e 






22
34
B então 






66
78
AB e BAAB detdet6det  . (Verifique 
que 3det A e 2det B !) 
Como conseqüência de [g] temos que BAAB detdet  . No exemplo acima temos 






102
174
BA e 
6det BA (Confira!). Mas essa propriedade exige bastante cuidado. Veja o exemplo a seguir! 
Exemplo 2.19: Sejam 




 

102
421
A e 











11
41
20
B . Então temos os seguintes produtos: 





 

51
26
AB e 












523
027
204
BA . Verifique que 32det AB e 0det BA . Isso 
contradiz a propriedade [g] acima? Porquê? 
[h] Dadas três matrizes A, B e C de ordem n, com 1n linhas correspondentes iguais. Se os elementos da 
outra linha de C forem iguais à soma dos elementos correspondentes das linhas de A e B então: 
BAC detdetdet  (o mesmo vale para colunas). Mas cuidado:   BABA detdetdet  . 
Exemplo 2.20: Se 











124
703
512
A , 











324
203
112
B e 











424
503
612
C então 
BAC detdet
324
203
112
124
703
512
3124
2703
1512
424
503
612
det 



 . De fato, 
24det C , 27det A e 3det B . Além disso   96det  BA . 
DE TERMINANTES 
 22 
[i] Adicionando-se a uma linha de uma matriz A de ordem n, uma outra linha paralela a ela que se multiplica 
por uma constante, obtemos uma nova matriz B tal que: ;detdet AB  2 
Exemplo 2.21: Se 











021
143
002
A e 











521
1443
1002
B que é obtida adicionando-se à 3a coluna (de A) os 
elementos da 1
a
 coluna multiplicados por 5. Então 4detdet  AB . 
Exercícios (em aula) 
1) Calcule 
122
431
201
1 D e
863
241
300
2 D usando o teorema de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule o determinante: 
21010
41550
12040
00010
24321



. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 Essa propriedade é conhecida como Teorema de Jacobi. 
DE TERMINANTES 
 23 
Exercícios Propostos 
1) Calcule: a)
34
23


 b)
43
21

 c)
231
110
213



 d)
152
123
542



 e) 
1763
4103
5832



 
Respostas: a) –1 b) -10 c) 2 d) -89 e) Não existe 
2) Resolva as equações: a) 0
1
2

 x
x
 b) 0
201
123
40


x
 c) 0
201
123
40


x
x
 
 Respostas: a) Não existe b) 2x , c) 20  xx ou 
3) Calcule: a) 
10
01
, b) 
100
010
001
, c) 
1000
0100
0010
0001
. Respostas: Todos iguais à 1. 
4) Calcule: a)
00
12
, b)
000
540
321
, c)
1010
3022
1020
3041




. Respostas: 0, 0, 0 
5) Considere uma matriz quadrada A que tem uma linha com todos os elementos iguais a zero. Calcule o 
determinante de A. Resposta: 0 
6) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e 






10
01
I . Chamam-se auto-valores (ou valores-próprios) de 
A as raízes da equação   OxIA det . Calcule os auto-valores de: 
a) 





01
10
 b) 







13
11
 c) 





10
12
 
Respostas: a) 1 e –1 b) 2 e –2 c) 2 e 1 
Exercícios Complementares 
1) Sendo 0
dc
ba
x e 
db
ca
y
33
22


 calcule 
x
y
. Resposta: 6 
2) Calcule o conjunto solução de 
1
11
1
11
11
1
x
x
x
 . Resposta: 0x 
3) Calcule os valores próprios de: 






12
54
A e 








816
1016
B . Resposta: Ver [8] pág.283-286. 
4) Calcule os autovalores de: 






31
31
A , 








34
45
B , 








84
78
C e 











966
363
225
D . 
Resposta: 0 e 4, 1 e 1, 6 e –6. Ver [10] página 82 
5) Faça os exercícios 183 e 184 páginas 211-212 de [3]. 
DE TERMINANTES 
 24 
6) Calcule o determinante das seguintes matrizes: 













 

0512
1023
2640
0315
A 













2402
5101
1243
3102
B 




















21010
41550
12040
00010
24321
C 














0000
1311
8221
5430
D 
 Resposta: 90, -88, -25, 0 
7) Faça o exercício 23 página 94 de [4]. 
8) Calcule: a) 
30
12

, b) 
600
540
321

, c) 
1000
3200
1120
3541



, d) 
b
xa
0
, e) 
c
zb
yxa
00
0 , 
f)
d
wc
utb
zyxa
000
00
0
. Respostas: a) –6 b) –24 c) -4 d) ab e) abc f) abcd 
9) Vendo os resultados do exercício anterior, a que conclusão que podemos chegar? 
10) Considere A uma matriz triangular superior e de ordem 3. Calcule o determinante de A. 
11) Calcule 
23
23


, 
602
321
321

, 
412
162
412



, 
zyx
cba
cba
, 
cba
zyx
cba
, 
zyx
cba
cba
333 . Resposta: zero. 
12) Vendo os resultados do exercício anterior, a que conclusão que podemos chegar? 
13) Dada as matrizes 







xx
xx
A
sencos
cossen
 e 




 



cossen
sencos
B calcule Adet e Bdet Resposta: 1 e 1 
14) Data a matriz 






12
03
A calcule os cofatores 11A e 12A . Resposta: 1 e 0 
15) Dada a matriz 









 

210
402
531
A calcule os cofatores 11A e 22A . Resposta: -4 e 0 
16) Calcule o cofator do elemento 22a da matriz 












113
125
031
. Resposta: 2 
17) Calcule 
9615
0803
5374
2241



. Resposta: Ver [10] página 59. 
18) Sabendo que 
xx eea 2 e xx eeb 2 , calcule o determinante 
ab
ba
. Resposta: 1 
DE TERMINANTES 
 25 
Desafios 
1) Dada a matriz 

















x
x
x
x
x
A
0100
8000
0100
0010
0001
 e IRIR: f uma função definida por   Axf det . 
Calcule  1f . 
2) Desenvolver o determinante 
010
102
111
010
d
c
b
a


 pelos elementos da 2
a
 coluna. 
3) Se      21  xxxxf então calcule o determinante 
       
       
       
       6543
5432
4321
3210
ffff
ffff
ffff
ffff
. 
4) Prove que BAAB detdetdet  para o caso particular em que A e B são matrizes quadradas de ordem 2. 
5) Prove que   BABA detdetdet  para o caso particular em que A e B são matrizes quadradas de 
ordem 2 
6) Escreva uma algoritmo em Pascal (ou outra linguagem) para calcular o determinante de uma matriz de ordem 
30n . 
Dicas de Leitura 
 Para entender de onde vem o conceito de determinante leia [4] página 64-65. 
 Leia e faça alguns exercícios de [1], capítulo 13, para reforçar os conceitos vistos aqui. 
 As propriedades de determinantes vistas aqui podem ser revistas em [3] páginas 89-106 com mais 
exemplos e exercícios. Alternativamente pode-se ver [2] páginas 56-69.