NOTA DE AULA IV - Cap 15 - Fluídos

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NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA 
 
 
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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202) 
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 15 – FLUÍDOS 
 
 
 
 
1. Fluidos 
 
 Os fluidos que incluem líquidos e gases, desempenham importantes funções no nosso 
cotidiano. Além de bebermos e respirarmos fluidos eles constituem 75% do corpo humano. 
 Há fluidos nos pneus de um carro, no tanque de combustível, no radiador, nas câmaras 
de combustão do motor, na bateria, no sistema de ar condicionado, etc. A energia elétrica que 
usamos é oriunda da energia potencial armazenada em um fluido. 
 Um fluido é uma substância que pode escoar. Os fluidos se ajustam aos limites dos 
reservatórios que são colocados. Um fluido não suporta uma força tangente à sua superfície. 
 
2. Massa Específica e Pressão 
 
 Quando estudamos corpos rígidos, nos interessamos por pedaços particulares de 
matéria, como o pistão em um cilindro de um motor. Nestes casos, as grandezas físicas úteis 
são massa e força. 
 Com fluídos, a substância se encontra esparramada. Nesse caso é mais útil em massa 
específica e pressão. 
 
Massa Específica 
 
 A massa específica é definida por: 
 
m
V
ρ ∆=
∆
 (escalar) (1) 
 
m∆ → massa 
V∆ → volume 
Unidade do S.I: Kg/m3 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 02 
 
 
Pressão 
 
 A pressão é definida por: 
 
 
Fp
A
= (escalar) (2) 
F → Força 
A → Área 
 
 
3. Fluídos em repouso 
 
Na figura ao lado mostra-se o diagrama de corpo 
livre para a água em repouso em um recipiente 
qualquer. As forças que atuam no cilindro de água em 
estudo estão identificadas na figura. O equilíbrio 
destas forças é dado por: 
 
2 1F F mg= + 
 
como 
1 1 2 2 1 2. , ( )F p A F p A e m V A y yρ ρ= = = = − 
 
vem 
2 1 1 2 2 1 1 2( ) ( )p A p A Ag y y p p g y yρ ρ= + − ⇒ = + − (3) 
 
Na equação anterior, supondo: 
 
1 2 1 00;y y h e p p= = − = (pressão atmosférica) 
vem 
0p p ghρ= + (4) 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 03 
 
 
 A equação anterior é uma relação para se encontrar a pressão em um ponto qualquer 
de um fluído a uma profundidade h. 
 Está equação se aplica também a pontos acima da superfície líquida. Para se encontrar 
a pressão atmosférica em uma distância d acima do nível 1, faz-se: 
 
1 0 2 20; , ary p p y d p p e ρ ρ= = = = = 
então: 
0 arp p gdρ= − 
 
4. Medindo Pressões 
 
O Barômetro de Mercúrio 
 
 A figura a seguir mostra um barômetro de mercúrio, que é um dispositivo usado para 
medir a pressão atmosférica. 
 O longo tubo de vidro é cheio de 
mercúrio e colocado sobre o recipiente 
com a extremidade aberta voltada para 
baixo, como: 
 
1 1 0
2 2
0,
0
y p p
y h p
= =
= =
 
tem-se 
 2 1 1 2 0( )p p g y y p ghρ ρ= + − ⇒ = 
 
com a relação anterior é possível calcular a pressão atmosférica. 
 
O Manômetro de Tubo Aberto 
 
 A pressão atmosférica de um gás pode ser medida por um manômetro de tubo aberto. 
Ele é formado por um tubo em U que contém um líquido, com uma extremidade do tubo 
ligada ao recipiente. Usando a relação 15.3 pode-se encontrar a pressão manométrica em 
termos da altura h mostrada na figura a seguir. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 04 
 
 
 
 Escolhendo-se os níveis 1 e 2 obtemos: 
 
1 1 0 2 20,y p p e y h e p p= = = − = 
 
Substituindo na eq. 15.3 tem-se: 
 
0gp p p ghρ= − = 
 
onde ρ → Densidade do Líquido 
 
 A pressão manométrica pode ser positiva (pneus do carro) ou negativa (nos pulmões 
ao sugar um líquido) 
 
5. Princípio de Pascal 
 
O enunciado do princípio de Pascal é dado a seguir. 
Uma mudança na pressão aplicada a um fluído 
incompressível confinado é transmitida integralmente a 
todas as partes do fluído e às paredes do seu recipiente. 
 
Demonstração 
 
 Seja o líquido contido em um cilindro como na figura acima. Sobre o pistão sem 
folgas coloca-se um recipiente com granalhas de chumbo. A atmosfera, o recipiente e a 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 05 
 
 
granalha exercem uma pressão Pext sobre o pistão e em conseqüência sobre o líquido. Então, a 
pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por: 
 
extp p ghρ= + 
 
 Acrescentando-se mais granalhas de chumbo, a pressão será aumentada de extp∆ . 
Como as grandezas ρ , g e h permanecem constantes, a variação da pressão será: 
 
extp p∆ = ∆ 
 
 Essa variação independe de h e vale para todos pontos do fluído. 
 
O princípio de Pascal e a Alavanca Hidráulica 
 
 O princípio de Pascal pode ser usado na análise do comportamento de uma alavanca 
hidráulica. 
 
 A figura anterior mostra uma alavanca sob ação de uma força externa Fe dirigida para 
baixo aplicada sob o pistão esquerdo, com área eA . Um líquido no recipiente produz uma 
força para cima de intensidade FS sobre o pistão direito, com área SA . Para manter o 
equilíbrio, deve existir uma força FS no pistão direito com sentido contrário, que não está 
mostrada na figura. Ambas as forças, eF
r
 e SF−
r
 produzem uma variação de pressão no líquido 
dada por: 
e S
e S
F Fp
A A
∆ = = 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 06 
 
 
então 
S
S e
e
AF F
A
= 
 
Neste caso S eF F> se S eA A> , mesmo estando em equilíbrio. 
 Deslocando o pistão de entrada para baixo de uma distância de, o pistão de saída se 
move para cima de uma distância ds, conservando o mesmo volume V, ou seja: 
 
a
e e s s s e
s
AV A d A d d d
A
= = ⇒ = 
 
 Da relação anterior notamos que, se s eA A> , o pistão de saída se move com uma 
distância menor que o pistão de entrada. 
 O trabalho no pistão de saída será. 
 
s e
s s s e e e e
e s
A AW F d F d F d
A A
  
= = =  
  
 
 
 Nota-se que o trabalho no pistão de saída é igual ao trabalho no pistão de entrada. 
 
6. O princípio de Arquimedes 
 
O fato de alguns corpos flutuarem na água, tais como embarcações, madeira, isopor é 
resultado do princípio de Arquimedes, que pode ser enunciado como: 
 
Quando um corpo total ou parcialmente submerso em um fluído, o fluído ao redor exerce 
uma força de empuxo eF
r
 sobre o corpo. A força está dirigida para cima e possui uma 
intensidade igual ao peso fm g do fluído que foi deslocado pelo corpo. 
A intensidade da força de empuxo é dada por: 
 
e fF m g= 
onde mf é massa do fluído que é deslocado pelo corpo. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 07 
 
 
 
 
 
 
 
Flutuação 
 
 Ao soltar um bloco de madeira na água de uma piscina, o mesmo flutua. Isso ocorre 
devido à força de empuxo que a água a água exerce no bloco. De um modo geral tem-se: 
 Quando um corpo flutua em um fluído, a intensidade Fe da força de empuxo sobre ocorpo é igual à intensidade Fg da força gravitacional sobre o corpo. 
 
Ou seja: 
g e
g f
F F
F m g
=
=
 
 
Peso Aparente em um Fluído 
 
 Se pendurarmos um corpo qualquer em um dinamômetro, estamos medindo a força 
peso que atua no mesmo. Porém se este corpo for mergulhado na água, a leitura a ser feita 
será do peso aparente do mesmo. A figura a seguir ilustra esse fato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o corpo imerso na água vale a relação: 
 
Paparente = Preal - Fempuxo 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 08 
 
 
Fluídos ideais em Movimento 
 
O movimento real dos fluídos é complexo e difícil de ser estudado. Neste curso 
estudaremos o comportamento dos fluídos ideais, que é definido a seguir: 
 
a. Escoamento Permanente 
 
No escoamento permanente (ou laminar) a velocidade do fluído em um ponto fixo 
qualquer não varia com o tempo, nem em módulo, nem em direção, nem em 
sentido. 
 
 
b. Escoamento Incompressível 
 
Supõe-se que o fluído em movimento seja incompressível, ou seja a densidade não 
muda. 
 
 
c. Escoamento não-viscoso 
 
A viscosidade de um fluído pode ser entendida como uma medida do quanto o 
fluído resiste ao escoamento. Por exemplo, o mel é mais viscoso que a água por 
resistir mais ao escoamento. A viscosidade é análogo ao atrito para os sólidos, 
permitindo a transferência de energia cinética para térmica. 
 
 
d. Escoamento Irrotacional 
 
No escoamento irrotacional, um corpo de teste se movendo com o fluído, apresenta 
apenas movimento de translação. Não há movimento de rotação para esse corpo 
(em torno do próprio eixo) 
 
8. Equação de Continuidade 
 
Seja um fluído qualquer em escoamento permanente como mostrado na figura a seguir: 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 09 
 
 
 
A1 e A2 são as áreas das seções transversais e v1 e v2 a velocidade do fluído. Se em um 
intervalo de tempo t∆ se desloca um volume v∆ na extremidade esquerda do tubo, o 
mesmo volume deve se deslocar na extremidade direita do tubo. Com base na figura a 
seguir, esse volume pode ser dado por: 
 
 
 
V A x Av t∆ = ∆ = ∆ 
 
 A relação anterior vale para as duas extremidades, ou seja: 
1 1 2 2V A v t A v t∆ = ∆ = ∆ 
ou 
1 1 2 2A v A v= 
 
 Esta relação é conhecida como equação de continuidade. Ela pode ser reescrita como: 
 
vR Av= = constante, 
 
onde Rv é a razão volumétrica do fluído, ou volume por unidade de tempo. Multiplicando-
se a relação anterior pela densidade do fluído, obtemos a razão mássica do mesmo. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 010 
 
 
 
m vR R Avρ ρ= = = constante 
 
Equação de Bernoulli 
 
 Considere o volume total de fluido mostrado na figura a seguir: 
 
 
Aplicando-se o princípio de conservação da energia 
através do teorema trabalho-energia cinética, tem-se 
 
W k= ∆ 
 
Para o fluído vale a relação: 
 
2 2
2 1
2 2
2 1
1 1
2 2
1 ( )
2
m m
k v v
v v vρ
∆ = ∆ − ∆
= ∆ −
 
 
 onde 
m
vρ∆ = ∆ é a massa do fluído deslocado. 
 O trabalho realizado pela força gravitacional é 
dado por: 
 
2 2
2 1
2 2
2 1
1
2
1 ( )
2
g m mW v v
v v vρ
= −∆ − ∆
= ∆ −
 
 
onde 
m
vρ∆ = ∆ é a massa do fluído deslocado. 
O trabalho realizado pela força gravitacional é dada por: 
 
2 1
2 1
( )
( )
g mW y y
g v y yρ
= −∆ −
= − ∆ −
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA IV 011 
 
 
 
este trabalho é negativo porque o deslocamento é para cima e a força gravitacional está 
voltada para baixo. 
 O trabalho realizado por uma força F sobre uma amostra de fluído contida em um tubo 
de área A para movê-lo de uma distância x∆ , é 
 
( )( ) ( )F x A x A x vρ ρ ρ∆ = ∆ = ∆ = ∆ 
 Neste caso o trabalho realizado sobre o sistema é vρ∆ e pelo sistema é 2 vρ− ∆ .Sua 
soma resulta em: 
 
2 1
2 1( )
W v v
v
ρ ρ ρ
ρ ρ
= − ∆ + ∆
= − − ∆
 
 
 Usando o teorema Trabalho – Energia Cinética, obtemos: 
 
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
gW W W k
g y y v v v v
ρ
ρ ρ ρ ρ
= + = ∆
− − − ∆ − = ∆ −
 
ou 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
v gy v gyρ ρ ρ ρ ρ ρ+ + = + + = constante que é a equação de Bernoulli.