matrizes

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Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática 
Aluno:____________________________________________________ 
N°____ Turma:____________ Data:__________ 
 
MATRIZES E DETERMINANTES 
 
 
MATRIZES: 
 
Em quase todos os jornais e revistas é possível encontrar tabelas informativas. Na Matemática 
chamaremos estas tabelas de MATRIZES. 
Observe o exemplo: 
Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ª Divisão 
Inglaterra 34363 18221 7849 
Alemanha 39109 17950 3964 
Espanha 31126 8341 ** 
Itália 22697 5838 2869 
Brasil 12401 7958 3274 
Fonte: Superinteressante Setembro 2008 
 
 
Esta matriz é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas. 
Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i é a linha e j a coluna onde se encontra este 
elemento. 
Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma: 
( )
nmij
mnmmm
n
n
n
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
×
=
















...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
 
Exemplo: Criar a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i² - j. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES: 
 
Matriz Linha: Quando m = 1 
Ex. A = [3 5 -2] 
 
 
Matriz coluna: Quando n = 1 
Ex. 










−
=
2
5
3
A 
 
 
Matriz Quadrada: Quando m = n 
Ex. 










−=
5410
302
713
A 
 
 
Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i≠j. Somente em matriz quadrada 










=
500
080
003
A 
 
 
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i=j 
Ex. 










=
100
010
001
A 
 
 
Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz 
Ex: 










=
987
654
321
M 










=
963
852
741
TM 
 
 
 
 
IGUALDADE ENTRE MATRIZES: 
Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais 
Ex. 





=





7
2
5
3
c
b
d
a
, então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Adição: A + B = (aij + bij)mxn 
 
Subtração: A – B = (aij – bij)mxn 
 
Dados 




−
=





−
=





=
15
21
25
32
23
01
CBA 





 −−
=





+−−+−
+−−+−
=




−
+





−
−





=+−
53
12
1)2(2553
230)1(21
15
21
25
32
23
01
CBA 
 
 
Multiplicação por Escalar: 
Se multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, todos os elementos dessa matriz 
também serão multiplicados por este número: 
Ex. 





=





×
315
96
15
32
3 
 
 
 
Multiplicação de Matrizes: 
 
Dados A = (aij)mxn e B = (bij)nxp AxB = C 
cik = ai1*b1k + ai2*b2k + ... + ain*bnk 
 IMPORTANTE: Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for o mesmo que 
o número de linhas de B. 
 
Ex. 





−
=





−
=
432
107
201
532
BA Calcule AxB e BxA 
 
 
MATRIZ INVERSA: 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se AxB = BxA = In. Neste caso 
chamaremos B de A-1. Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente de 0. 
Ex. 





=
52
01
A Achar a A-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1) Construa as seguintes Matrizes: 
a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j 
 
b) B = (bij)1x3, em que bij = i2 + i3 
 
c) C = (cij)3x3, em que cij = i + j 
 
 
 
2) Dada a Matriz 





=
58
23
A , ache AT e A-1 
 
 
3) Determine a, b, c e d que verifiquem: 




 −−
=





+ 05
61
1
32 c
db
a
 
 
 
 
4) Efetue: 
a) 










−
−+










27
83
62
68
37
53
 b) 





−−
−
+





−
−
715
3010
6115
073
 
 
 
 
5) Dadas as matrizes 










−=





=
23
11
40
065
732
BA 
Obtenha as matrizes: 
a) A
3
1
 b) 2B c) 3A + 2BT d) A*B 
 
 
 
6) Efetue as Multiplicações: 
a) ( )530
0
1
0
×










 b) 










−
−×










− 013
427
501
412
065
383
 
 
 
 
 
7) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes 
 
a) 





−
−
23
14
 b) 





21
05
 c) 





87
98
 d) 





10
01
 
 
 
 
 
 
8) (UFRGS) Se 





−−
=
11
11
A , então A² é a matriz 
 
a) 





−− 11
11
 b) 





00
00
 c) 





11
11
 d) 




 −−
11
11
 e) 





−− 22
22
 
 
 
 
 
 
9) (PUCRS) Sendo as matrizes 










−=
76
41
32
A e 





=
0
2
B , então o produto A*B é igual a 
 
 
a) [ ]1486 b) 










−
12
2
4
 c) 





00
64
 d) 










−
−
1412
82
64
 e) 










−
01412
801
640
 
 
 
 
 
 
10) (PUCRS) Sendo I a matriz identidade e 





−
−
=
34
23
M então a matriz X, tal que XM = I é 
 a) 





−−
−−
34
23
 b) 





−
−
34
23
 c) 





−
−
32
43
 d) 





32
43
 e) 





34
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) (ULBRA) Dadas as seguintes matrizes: 




−
=
3
1
A , 





=
0
3
B e 




−
=
8
2
C . O valor de 2ª - 3B – 
C é: 
 
a) 




−
6
2
 b) 




−
8
2
 c) 





0
0
 d) 





−
−
2
9
 e) 





5
1
 
 
 
 
 
12) (FEI-SP) Se B é a matriz inversa de A = 





31
21
, então: 
a) B = 





11
32
 b) B = 





13
12
 c) B = 





−
−
11
23
 d) B = 





21
13
 e) B = 





−
−
21
13
 
 
 
 
 
13) (PUCMG) Se 





=
ba
A
21
 e 





−
−
=
178
492A , o valor do produto ab é? 
a) -4 b) -6 c) -8 d) -12 e) -17 
 
 
 
 
 
14) (UFRN) Dadas as matrizes 





=
42
31
A e 





=
12
34
B , qual é resultado de AB – BA? 
 
a) 





00
00
 b) 




 −
012
180
 c) 





2032
1220
 d) 





208
4820
 e) 




 −
2012
1820
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTES: 
 
Chamamos de determinante de uma matriz ao número real associado a ela. 
 
Determinante de 1ª ordem 
A=[a11] → detA = a11 
 
Determinante de 2ª ordem 






=
2221
1211
aa
aa
A det A = a11*a22 – a12*a21 
Ex. 





34
12
 
 
 
Determinante de 3ª ordem 
Aplica-se a regra de Sarrus 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
















=
232221
131211
333231
232221
131211
det
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A ou 










3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 
 
Ex. 










− 322
541
132
 
 
 
Determinante de 4ª ordem ( esta regra pode sr aplicada em qualquer matriz quadrada ) 












=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 
 
Teorema de Laplace: Um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer pelos seus respectivos cofatores. 
 
Cofator: Cof ij = (-1)i+j*Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida excluindo-se a linha e a 
coluna do elemento aij. 
 
Ex. 












−
−−
−−
7409
2305
1123
01001
 
Propriedades dos determinantes: 
1) Toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula tem determinante nulo 
2) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua matriz transposta 
3) Toda matriz que possui duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo 
4) O determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas linhas ou colunas 
5) Uma matriz quadrada que possui duas linhas ou colunas proporcionais tem seu determinante 
nulo 
6) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes 
7) Multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz por um número real K, seu determinante fica 
respectivamente multiplicado por K. 
8) Uma matriz quadrada que possui todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal 
iguais a zero tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Calcule o valor de cada um dos determinantes: 
a) 










−
−
113
520
211
 b) 










−
−
201
152
346
 c) 










−
−
−
371
132
514
 d) 












−
−−
3301
0400
2105
1243
 
 
e) 










− 322
541
132
 f) 










−−
321
543
018
 g) 










−−
−
365
413
202
 
 
 
 
 
2) Se 




 −
=
20
11
A e 





=
02
51
B , então det(AB) é: 
a) -20 b) -10 c) 0 d) 10 e) 20 
 
 
 
 
3) Dada a matriz 





=
43
21
A , o determinante da matriz A² é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
 
 
 
4) (UFRGS) Sendo A=(aij)mxn uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i²-j, o determinante da matriz A 
é: 
 
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 
5) (UFRGS) A solução da equação 0
103
21
211
=









 −
x é 
 
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 
 
 
 
 
 
6) (UFRGS) O valor do determinante 












−
−
x
x
x
x
001
000
000
100
 é para todo ℜ∈x 
 
a) x²(x² + 1) b) x²(x² - 1) c) x4 + 1 d) x4 – 1 e) zero 
 
 
 
 
 
 
7) O determinante da matriz 




 −
=
senxx
xsenx
A
cos
cos
é equivalente a 
a) tg² x b) sec²x c) 1 d) zero e) sen²x – cos²x 
 
 
 
 
 
 
8) (PUCRS) Dadas as matrizes 





−
=
21
12
A e 




−
=
10
21
B , o determinante da matriz A*b é 
 
a) -7 b) -5 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
 
 
 
 
9) (UNISINOS) O valor de um determinante é 48. Se dividirmos a 2ª linha por 8 e multiplicarmos 
a 3ª coluna por 6, então o novo determinante valerá 
 
a) 20 b) 36 c) 64 d) 24 e) 48